KVPY 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4+y^4+z^4+1=4xyz$ છે.
ચાર ધન સંખ્યાઓ $x^4, y^4, z^4, 1$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતા મુજબ:
$\frac{x^4+y^4+z^4+1}{4} \geq \sqrt[4]{x^4 y^4 z^4 \cdot 1}$
આપેલ સમીકરણની કિંમત મૂકતા:
$\frac{4xyz}{4} \geq |xyz|$
$xyz \geq |xyz|$
આ અસમતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $xyz \geq 0$ હોય. $AM \geq GM$ માં સમાનતા માટે,બધા પદો સમાન હોવા જોઈએ:
$x^4 = y^4 = z^4 = 1$
આનો અર્થ એ છે કે $|x| = 1, |y| = 1, |z| = 1$. તેથી,$x, y, z \in \{1, -1\}$.
મૂળ સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$1+1+1+1 = 4xyz$ $\Rightarrow 4 = 4xyz$ $\Rightarrow xyz = 1$.
જેનો ગુણાકાર $1$ થાય તેવી શક્ય ત્રિપુટીઓ $(x, y, z)$ નીચે મુજબ છે:
$(1, 1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1)$.
આમ,કુલ $4$ ત્રિપુટીઓ મળે છે.

(D) ગણ $A_r = \{e^{i \pi r n} : n \in \mathbb{N}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$A_1$ માટે, $e^{i \pi n} = (e^{i \pi})^n = (-1)^n$. $n \in \mathbb{N}$ હોવાથી, ગણ $\{-1, 1\}$ છે, જે શાંત છે.
$A_{0.3}$ માટે, $e^{i \pi (0.3) n} = e^{i \pi (3/10) n}$. આ ગણ શાંત છે કારણ કે $e^{i \pi (3/10) n}$ એ $n$ ની દર $20$ કિંમતો પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
$A_{1/\pi}$ માટે, $e^{i \pi (1/\pi) n} = e^{i n} = \cos(n) + i \sin(n)$. $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી અને $1$ એ $\pi$ નો સંમેય ગુણક ન હોવાથી, $e^{in}$ ની કિંમતો દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે અલગ છે, તેથી આ ગણ અનંત છે.
આમ, $A_{0.3}$ શાંત છે અને $A_{1/\pi}$ અનંત છે.
તેથી, વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^3 - 27x + k = 0$. ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. $x^2$ નો સહગુણક $0$ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = 0$ થાય. જો બે બીજ ભિન્ન પૂર્ણાંકો હોય,તો ત્રીજું બીજ પણ પૂર્ણાંક જ હોય.
ધારો કે બીજ $x_1, x_2, x_3$ છે. તો $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ અને $x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = -27$.
$x_3 = -(x_1 + x_2)$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $x_1 x_2 - (x_1 + x_2)^2 = -27$,જેનું સાદું રૂપ $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = 27$ થાય.
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે. આપણે પૂર્ણાંક ઉકેલો $(x_1, x_2)$ શોધીએ.
જો $x_1 = 3$ હોય,તો $x_2^2 + 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2+6)(x_2-3) = 0$. તેથી $x_2 = 3$ અથવા $x_2 = -6$. આ કિસ્સામાં $k = 54$.
જો $x_1 = -3$ હોય,તો $x_2^2 - 3x_2 - 18 = 0 \Rightarrow (x_2-6)(x_2+3) = 0$. તેથી $x_2 = 6$ અથવા $x_2 = -3$. આ કિસ્સામાં $k = -54$.
આમ,$k$ ના $2$ શક્ય મૂલ્યો મળે છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2 + px + q$ છે.
આ પરવલય બિંદુ $(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3 = (0)^2 + p(0) + q \implies q = 3$.
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2x + p$.
બિંદુ $(0, 3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $x = 0$ મૂકીને મેળવી શકાય છે:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 2(0) + p = p$.
આપેલ છે કે સ્પર્શકનો ઢાળ $-1$ છે,તેથી $p = -1$.
અંતે,$p + q$ ની કિંમત:
$p + q = -1 + 3 = 2$.

(D) ધારો કે $B = (0, a)$. $\triangle OAB$ માં $\angle OBA = 60^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(60^{\circ}) = \frac{OA}{OB} = \frac{OA}{a}$. તેથી,$OA = a\sqrt{3}$. એટલે કે $A = (a\sqrt{3}, 0)$.
$\triangle OAD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3a}{2})$ થશે.
$D(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3a}{2})$ અને $B(0, a)$ માંથી પસાર થતી રેખા $DB$ નો ઢાળ:
$m = \frac{\frac{3a}{2} - a}{\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(y-1)^2 = 4x+1$ છે. શિરોબિંદુ $A = (-1/4, 1)$,નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $D = (3/4, 3)$,અને $P = (0, 1)$ છે. ઢાળની ગણતરી કરતા $\tan^{-1}(2/19)$ મળે છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(0,0)$ છે. $A = (1, 0)$,$B = (\cos \theta, \sin \theta)$,અને $P = (\cos(\theta/2), \sin(\theta/2))$.
$\triangle AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sin \theta$ છે.
$\triangle APB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sin(\theta/2)(1 - \cos(\theta/2))$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\frac{1}{2} \sin \theta}{\sin(\theta/2)(1 - \cos(\theta/2))} = \sqrt{5} + 2$.
તેથી,$\frac{\cos(\theta/2)}{1 - \cos(\theta/2)} = \sqrt{5} + 2$.
ઉકેલતા,$\cos(\theta/2) = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ મળે છે.
હવે,$2\theta$ માટે ગુણોત્તર $\frac{\cos \theta}{1 - \cos \theta}$ છે.
$\cos \theta = 2\cos^2(\theta/2) - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $= \frac{(\sqrt{5} - 1)/4}{1 - (\sqrt{5} - 1)/4} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\cos(\sin x) = \sin(\cos x)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
તેથી,$\cos(\sin x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \cos x)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin x = 2n\pi \pm (\frac{\pi}{2} - \cos x)$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
કિસ્સો $1$: $\sin x + \cos x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$\sin x + \cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$ છે.
$n=0$ માટે,$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,જે વિસ્તારની બહાર છે.
કિસ્સો $2$: $\sin x - \cos x = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$.
$\sin x - \cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$ છે.
$n=0$ માટે,$-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$,જે વિસ્તારની બહાર છે.
કોઈપણ $n$ માટે સમીકરણનું સમાધાન મળતું નથી,તેથી $X$ માં ઘટકોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ધારો કે થાંભલાની ઊંચાઈ $h$ છે અને ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે. બિંદુ $P$ એ ગોળાનો નીચેનો ભાગ છે,તેથી જમીનથી $P$ ની ઊંચાઈ $h$ છે. બિંદુ $Q$ એ કેન્દ્ર $O$ ની સપાટી પર છે,તેથી જમીનથી $Q$ ની ઊંચાઈ $h+r$ છે. નિરીક્ષક $B$ થી થાંભલાનું આડું અંતર $AB = 50 \ m$ છે.
$\triangle APB$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{AP}{AB} = \frac{h}{50}$.
$\Rightarrow h = 50 \tan 30^{\circ} = \frac{50}{\sqrt{3}}$.
નિરીક્ષક,બિંદુ $Q$ અને બિંદુ $R$ (જ્યાં $R$ એ જમીન પર $Q$ નો પ્રક્ષેપ છે) દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં,આડું અંતર $BR = AB - r = 50 - r$ છે અને ઊભી ઊંચાઈ $RQ = h+r$ છે.
$\tan 60^{\circ} = \frac{RQ}{BR} = \frac{h+r}{50-r}$.
$\Rightarrow \sqrt{3}(50-r) = h+r$.
$h = \frac{50}{\sqrt{3}}$ મૂકતા:
$\sqrt{3}(50-r) = \frac{50}{\sqrt{3}} + r$.
$50\sqrt{3} - r\sqrt{3} = \frac{50}{\sqrt{3}} + r$.
$50\sqrt{3} - \frac{50}{\sqrt{3}} = r(1+\sqrt{3})$.
$50 \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) = r(1+\sqrt{3})$.
$r = \frac{50 \times 2}{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})} = 50 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(A) આપણી પાસે છે,$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 \int _{0}^{x} e^{t^3-x^3} dt = \lim _{x \rightarrow \infty} x^2 e^{-x^3} \int _{0}^{x} e^{t^3} dt = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2 \int _{0}^{x} e^{t^3} dt}{e^{x^3}}$.
આ $\frac{\infty}{\infty}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{d}{dx} (x^2 \int _{0}^{x} e^{t^3} dt)}{\frac{d}{dx} (e^{x^3})} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2x \int _{0}^{x} e^{t^3} dt + x^2 e^{x^3}}{3x^2 e^{x^3}} = \lim _{x \rightarrow \infty} \left( \frac{2 \int _{0}^{x} e^{t^3} dt}{3x e^{x^3}} + \frac{1}{3} \right)$.
પ્રથમ પદ માટે ફરીથી $L'Hospital$ નો નિયમ વાપરતા:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 e^{x^3}}{3(e^{x^3} + x \cdot 3x^2 e^{x^3})} + \frac{1}{3} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 e^{x^3}}{3 e^{x^3}(1 + 3x^3)} + \frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) ધારો કે બાજુઓની લંબાઈનો ગણ $S = \{10, 11, \ldots, 22\}$ છે. $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 13$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c \in S$ માટે,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ $a+b > c$,$a+c > b$,અને $b+c > a$ હોવું જોઈએ. જો $a \le b \le c$ લઈએ,તો આ $a+b > c$ ને સમતુલ્ય છે.
કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા:
$1$. સમબાજુ ત્રિકોણ $(a=b=c)$: $13$ શક્યતાઓ છે.
$2$. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ: $152$ ત્રિકોણો મળે છે.
$3$. વિષમબાજુ ત્રિકોણ: $283$ ત્રિકોણો મળે છે.
કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા $= 283 + 152 + 13 = 448$.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતો નિયમિત બહુકોણ સમતલને ત્યારે જ આવરી શકે જો તેનો અંતઃકોણ $360^{\circ}$ નો ભાજક હોય.
નિયમિત $n$-કોણનો અંતઃકોણ $\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1)$ સમબાજુ ત્રિકોણ $(n=3)$ માટે: અંતઃકોણ = $60^{\circ}$. $360^{\circ} / 60^{\circ} = 6$ હોવાથી,તે સમતલને આવરી શકે છે.
$(2)$ ચોરસ $(n=4)$ માટે: અંતઃકોણ = $90^{\circ}$. $360^{\circ} / 90^{\circ} = 4$ હોવાથી,તે સમતલને આવરી શકે છે.
$(3)$ નિયમિત પંચકોણ $(n=5)$ માટે: અંતઃકોણ = $108^{\circ}$. $360^{\circ} / 108^{\circ} = 3.33$ (પૂર્ણાંક નથી),તેથી તે સમતલને આવરી શકતું નથી.
$(4)$ નિયમિત ષટ્કોણ $(n=6)$ માટે: અંતઃકોણ = $120^{\circ}$. $360^{\circ} / 120^{\circ} = 3$ હોવાથી,તે સમતલને આવરી શકે છે.
આમ,સમતલને આવરી શકતા આકારો સમબાજુ ત્રિકોણ,ચોરસ અને નિયમિત ષટ્કોણ છે. આવા બરાબર ત્રણ આકારો છે.

(D) ધારો કે $P(x) = 1+x^2+x^4+\ldots+x^{22} = \frac{x^{24}-1}{x^2-1}$ અને $Q(x) = 1+x+x^2+\ldots+x^{11} = \frac{x^{12}-1}{x-1}$.
$P(x) = \frac{(x^{12}-1)(x^{12}+1)}{(x-1)(x+1)} = Q(x) \cdot \frac{x^{12}+1}{x+1}$.
$\frac{x^{12}+1}{x+1} = \frac{x^{12}-1+2}{x+1} = (x^{11}-x^{10}+x^9-\ldots-1) + \frac{2}{x+1}$.
$P(x) = Q(x) \cdot (x^{11}-x^{10}+x^9-\ldots-1) + \frac{2 Q(x)}{x+1}$.
અહીં $Q(x) = (1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10})$ હોવાથી,શેષ $2(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^{10})$ મળે છે.

(C) ધારો કે $t$ સમયે $k$-મી કીડીનું સ્થાન $x_k(t)$ છે.
આપેલ છે કે $x_k(0) = k^2$ અને $x_k(1) = (11-k)^2$.
ઝડપ સમાન હોવાથી,વેગ $v_k = x_k(1) - x_k(0) = (11-k)^2 - k^2 = 121 - 22k + k^2 - k^2 = 121 - 22k$.
આમ,$x_k(t) = k^2 + (121 - 22k)t$.
બે કીડીઓ $i$ અને $j$ (જ્યાં $i < j$) એક જ સ્થાને હોય જો $x_i(t) = x_j(t)$ હોય.
$i^2 + (121 - 22i)t = j^2 + (121 - 22j)t$
$i^2 - j^2 = (121 - 22j - 121 + 22i)t$
$(i-j)(i+j) = 22(i-j)t$
$i \neq j$ હોવાથી,આપણે $(i-j)$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$t = \frac{i+j}{22}$.
$1 \le i < j \le 10$ હોવાથી,$i+j$ માટે શક્ય કિંમતો $1+2=3$ થી $9+10=19$ સુધીની છે.
આમ,$t \in \{\frac{3}{22}, \frac{4}{22}, \dots, \frac{19}{22}\}$.
અલગ-અલગ કિંમતોની સંખ્યા $19 - 3 + 1 = 17$ છે.

(A) ધારો કે જમીન $x$-અક્ષ છે અને ખૂણાનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. દીવાલ જમીન સાથે $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = -x$ છે.
ધારો કે સીડીના અંત્યબિંદુઓ જમીન પર $P(x_1, 0)$ અને દીવાલ પર $Q(x_2, y_2)$ છે. $Q$ એ $y = -x$ પર હોવાથી,$Q$ એ $(x_2, -x_2)$ છે.
સીડીની લંબાઈ $l$ છે,તેથી $(x_1 - x_2)^2 + (0 - (-x_2))^2 = l^2$,જેનું સાદું રૂપ $(x_1 - x_2)^2 + x_2^2 = l^2$ થાય છે.
સીડીનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ એ $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{0-x_2}{2}\right) = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, -\frac{x_2}{2}\right)$ છે.
આથી,$x_2 = -2k$ અને $x_1+x_2 = 2h$,તેથી $x_1 = 2h + 2k$.
લંબાઈના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(2h+2k - (-2k))^2 + (-2k)^2 = l^2$,એટલે કે $(2h+4k)^2 + 4k^2 = l^2$.
વિસ્તરણ કરતા $4h^2 + 16hk + 20k^2 = l^2$ મળે છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $\frac{2\pi F}{\sqrt{4AC - B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $A=4, B=16, C=20, F=l^2$. છેદ $\sqrt{4(4)(20) - (16)^2} = 8$ થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{2\pi l^2}{8} = \frac{\pi l^2}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $\angle AOB = \theta$ અને ત્રિજ્યા $OF = OA = OB = d$ છે.
$\triangle ODB$ માં,$BD = OB \sin \theta = d \sin \theta$ થાય.
કારણ કે $E$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $ED = \frac{1}{2} BD = \frac{d}{2} \sin \theta$ થાય.
ધારો કે $F$ એ ચાપ $AB$ પરનું બિંદુ છે જેથી $EF \parallel OA$ થાય. ધારો કે $FM \perp OA$ જ્યાં $M$ એ $OA$ પર છે. તેથી $FM = ED = \frac{d}{2} \sin \theta$ થાય.
$\triangle OFM$ માં,$\sin \alpha = \frac{FM}{OF} = \frac{\frac{d}{2} \sin \theta}{d} = \frac{1}{2} \sin \theta$,જ્યાં $\alpha = \angle AOF$ છે.
આમ,$\alpha = \sin^{-1}(\frac{1}{2} \sin \theta)$ મળે.
ચાપ $AF$ ની લંબાઈ $d \alpha$ અને ચાપ $AB$ ની લંબાઈ $d \theta$ છે.
ચાપ $AF$ ની લંબાઈ અને ચાપ $AB$ ની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{d \alpha}{d \theta} = \frac{\alpha}{\theta} = \frac{\sin^{-1}(\frac{1}{2} \sin \theta)}{\theta}$ થાય.

(C) મધ્યકમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| = |\cos(c) \cdot (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})|$ કોઈ $c \in (\sqrt{n}, \sqrt{n+1})$ માટે.
કારણ કે $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$,આપણી પાસે $|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| = |\cos(c)| \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ છે.
જેમ $n \to \infty$,તેમ $\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \to 0$.
કારણ કે $|\cos(c)| \le 1$,પદ $|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})|$ જેમ $n \to \infty$ તેમ $0$ ને અનુલક્ષે છે.
કોઈપણ $\lambda > 0$ માટે,એવો $N$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી તમામ $n > N$ માટે,$|\sin(\sqrt{n+1}) - \sin(\sqrt{n})| < \lambda$ થાય.
આમ,$A_\lambda$ માં $N$ કરતા મોટી તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,જે $A_\lambda$ ને અનંત ગણ બનાવે છે.
પરિણામે,પૂરક ગણ $A_\lambda^c$ માં માત્ર શાંત સંખ્યાના ઘટકો હોય છે (જે $n \le N$ છે જે અસમતાનું પાલન કરતા નથી).
તેથી,$A_{1/2}^c, A_{1/3}^c, A_{2/5}^c$ બધા શાંત ગણ છે.

(C) ત્રણ શાળાઓમાંથી વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $2, 4$ અને $6$ છે. દરેક રૂમમાં એક જ શાળાના $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોવા જોઈએ,તેથી આપણે વિદ્યાર્થીઓને $2$ ના જૂથમાં વહેંચીએ છીએ:
શાળા $1$ માં $2$ વિદ્યાર્થીઓનું $1$ જૂથ છે.
શાળા $2$ માં $2$ વિદ્યાર્થીઓના $2$ જૂથ છે.
શાળા $3$ માં $2$ વિદ્યાર્થીઓના $3$ જૂથ છે.
કુલ જૂથોની સંખ્યા $= 1 + 2 + 3 = 6$ જૂથો.
પ્રથમ,આપણે આ $6$ જૂથોને $6$ અલગ-અલગ રૂમમાં ગોઠવીએ છીએ,જે $6!$ રીતે કરી શકાય છે.
ત્યારબાદ,આપણે શાળાઓની અંદર વિદ્યાર્થીઓની આંતરિક ગોઠવણી ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
શાળા $2$ માટે,$4$ વિદ્યાર્થીઓને $2$ ના $2$ જૂથમાં વહેંચવામાં આવે છે. આ કરવાની રીતો $\frac{4!}{2! \times 2! \times 2!} = 3$ છે.
શાળા $3$ માટે,$6$ વિદ્યાર્થીઓને $2$ ના $3$ જૂથમાં વહેંચવામાં આવે છે. આ કરવાની રીતો $\frac{6!}{2! \times 2! \times 2! \times 3!} = 15$ છે.
કુલ રીતો $= 6! \times 3 \times 15 = 720 \times 45 = 32400$.

(C) આપણને $|\alpha| < 1$ સાથે $w = \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}$ આપેલ છે.
$|z| < 1$ શરત ધ્યાનમાં લો.
આપણે $|w|^2 = w\bar{w}$ નું મૂલ્ય તપાસીએ.
$|w|^2 = \frac{|z|^2 - z\bar{\alpha} - \bar{z}\alpha + |\alpha|^2}{1 - \bar{z}\alpha - z\bar{\alpha} + |\alpha|^2|z|^2}$.
$|w|^2 - 1 = \frac{-(1 - |z|^2)(1 - |\alpha|^2)}{|1 - \bar{\alpha}z|^2}$.
કારણ કે $|z| < 1$ અને $|\alpha| < 1$,તેથી $(1 - |z|^2) > 0$ અને $(1 - |\alpha|^2) > 0$.
આમ,$|w|^2 - 1 < 0$,જે દર્શાવે છે કે બધા $|z| < 1$ માટે $|w| < 1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $p(x)=ax^2+bx+c$ જ્યાં $a, b, c > 0$ અને $2b=a+c$ છે,એટલે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$\alpha, \beta$ એ $p(x)=0$ ના પૂર્ણાંક બીજ છે. તેથી $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
$b = \frac{a+c}{2}$ હોવાથી,$\alpha+\beta = -\frac{a+c}{2a} = -\frac{1}{2} - \frac{c}{2a}$.
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ મૂકતા,$\alpha+\beta = -\frac{1}{2} - \frac{\alpha\beta}{2} \Rightarrow \alpha\beta + 2\alpha + 2\beta = -1$.
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા: $(\alpha+2)(\beta+2) = 3$.
પૂર્ણાંક ઉકેલો માટે $(\alpha+2, \beta+2)$ ની શક્ય જોડીઓ $(-1, -3)$ છે,જેનાથી $\alpha=-3, \beta=-5$ મળે.
તેથી $\alpha+\beta+\alpha\beta = -3-5+15 = 7$.

(C) આપણી પાસે છે,
$16^5 \times 5^{16} = (2^4)^5 \times 5^{16}$
$= 2^{20} \times 5^{16}$
$= 2^4 \times 2^{16} \times 5^{16}$
$= 16 \times (2 \times 5)^{16}$
$= 16 \times 10^{16}$
$= 160000000000000000$
આ સંખ્યામાં $2$ અંકો ($1$ અને $6$) અને ત્યારબાદ $16$ શૂન્ય છે.
તેથી,કુલ અંકોની સંખ્યા $2 + 16 = 18$ છે.

(B) આપેલ છે $t^2 = at + b$,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન પૂર્ણાંકો છે.
$t$ વડે ગુણતા,$t^3 = at^2 + bt$ મળે.
$t^2 = at + b$ ની કિંમત મૂકતા:
$t^3 = a(at + b) + bt = a^2t + ab + bt = (a^2 + b)t + ab$.
દરેક વિકલ્પને $(a^2 + b)t + ab$ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$(A)$ $4t + 3$: $a^2 + b = 4$ અને $ab = 3$. જો $a = 1$,તો $b = 3$,જે $1^2 + 3 = 4$ સંતોષે છે. શક્ય છે.
$(B)$ $8t + 5$: $a^2 + b = 8$ અને $ab = 5$. જો $a = 1$,$b = 5$,તો $a^2 + b = 6 \neq 8$. જો $a = 5$,$b = 1$,તો $a^2 + b = 26 \neq 8$. કોઈ ધન પૂર્ણાંક ઉકેલ શક્ય નથી.
$(C)$ $10t + 3$: $a^2 + b = 10$ અને $ab = 3$. જો $a = 3$,$b = 1$,તો $a^2 + b = 9 + 1 = 10$. શક્ય છે.
$(D)$ $6t + 5$: $a^2 + b = 6$ અને $ab = 5$. જો $a = 1$,$b = 5$,તો $a^2 + b = 1 + 5 = 6$. શક્ય છે.
આમ,$t^3$ ક્યારેય $8t + 5$ બરાબર ન હોઈ શકે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(1+a+b)^2=3(1+a^2+b^2)$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $1+a^2+b^2+2a+2b+2ab = 3+3a^2+3b^2$
પદોને ગોઠવતા: $2a^2+2b^2-2a-2b-2ab+2=0$
$2$ વડે ભાગતા: $a^2+b^2-a-b-ab+1=0$
પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે ફરીથી $2$ વડે ગુણતા: $2a^2+2b^2-2a-2b-2ab+2=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(a-1)^2+(b-1)^2+(a-b)^2=0$
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$a-1=0, b-1=0, a-b=0$
આનો અર્થ એ છે કે $a=1$ અને $b=1$.
આમ,બરાબર એક ઉકેલ જોડ $(a, b) = (1, 1)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ છે.
$AB=11, BC=4, CD=6, DA=3$.
$CE \parallel DA$ દોરો જેથી $E$ એ $AB$ પર આવે. તેથી $AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આમ,$AE=CD=6$ અને $CE=DA=3$.
$AB=11$ અને $AE=6$ હોવાથી,$EB = AB - AE = 11 - 6 = 5$ મળે.
$\triangle CEB$ માં,બાજુઓ $CE=3, BC=4, EB=5$ છે.
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$\triangle CEB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle ECB = 90^\circ$ છે.
$\triangle CEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times CE \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$.
વળી,$\triangle CEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times EB \times h$,જ્યાં $h$ એ $C$ માંથી $EB$ પરનો વેધ છે (જે $AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર છે).
$6 = \frac{1}{2} \times 5 \times h \Rightarrow h = \frac{12}{5} = 2.4$.
તેથી,$AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર $2.4$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A, B, C, D, E$ વર્તુળ પરના બિંદુઓ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCDE$ માં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}$.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ACDE$ માં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $\angle CDE + \angle CAE = 180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle CAE = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$.
આકૃતિ પરથી,$\angle ACE = 60^{\circ}$ મળે છે.

(C) ધારો કે વર્તુળોના કેન્દ્રો $A, B$ અને $C$ છે,જેમની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $r_1 = 3, r_2 = 2$ અને $r_3 = 1$ છે.
વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો થશે:
$AB = r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$
$BC = r_2 + r_3 = 2 + 1 = 3$
$AC = r_1 + r_3 = 3 + 1 = 4$
$\triangle ABC$ માં,આપણે જોઈએ છીએ કે $AB^2 = 5^2 = 25$ અને $BC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$AB^2 = BC^2 + AC^2$ હોવાથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $AB = 5$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા $R$ એ તેના કર્ણની અડધી હોય છે.
$R = \frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ એકમ.

(C) $\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle ABC = 90^{\circ}$ છે.
$\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M$ છે.
પરાવર્તનના ગુણધર્મો મુજબ,$AB$ એ $PP_1$ નો લંબદ્વિભાજક છે અને $BC$ એ $PP_2$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
$AB \perp BC$ હોવાથી,બિંદુ $B$ એ $P, P_1,$ અને $P_2$ થી સમાન અંતરે છે,કારણ કે $BP = BP_1$ અને $BP = BP_2$ છે.
આમ,$B$ એ $\triangle P_1PP_2$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
$\triangle ABC$ માં,$M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BM = AM = MC = \frac{AC}{2}$ (કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પરની મધ્યગાનો ગુણધર્મ).
તેથી,પરિકેન્દ્રો $B$ અને $M$ વચ્ચેનું અંતર $BM = \frac{AC}{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b > 0$ અને $a+2b \leq 1$.
વર્તુળ $C_1$ ની ત્રિજ્યા $ab^3$ અને વર્તુળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા $b^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi(ab^3)^2 = \pi a^2b^6$.
ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi(b^2)^2 = \pi b^4$.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi a^2b^6}{\pi b^4} = a^2b^2 = (ab)^2$.
$a$ અને $2b$ માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a+2b}{2} \geq \sqrt{a \cdot 2b} = \sqrt{2ab}$.
$a+2b \leq 1$ હોવાથી,$\frac{1}{2} \geq \sqrt{2ab}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} \geq 2ab$,જેનો અર્થ છે કે $ab \leq \frac{1}{8}$.
તેથી,$(ab)^2 \leq (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$.
$\frac{A_1}{A_2}$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{64}$ છે.

(D) ધારો કે બંને મીણબત્તીઓની પ્રારંભિક લંબાઈ $L$ છે.
પ્રથમ મીણબત્તીનો બળવાનો દર પ્રતિ કલાક $\frac{L}{5}$ છે અને બીજી મીણબત્તીનો દર પ્રતિ કલાક $\frac{L}{3}$ છે.
ધારો કે $t$ કલાક પછી પ્રથમ મીણબત્તીની લંબાઈ બીજી મીણબત્તી કરતા $3$ ગણી થાય છે.
$t$ સમય પછી બાકી રહેલી લંબાઈ $L_1 = L - \frac{L}{5}t$ અને $L_2 = L - \frac{L}{3}t$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$L_1 = 3L_2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $L - \frac{L}{5}t = 3(L - \frac{L}{3}t)$.
$L$ વડે ભાગતા: $1 - \frac{t}{5} = 3 - t$.
પદોને ગોઠવતા: $t - \frac{t}{5} = 3 - 1$.
$\frac{4t}{5} = 2$.
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \, hr$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $2.5 \times 60 = 150 \, min$.

(C) ધારો કે ચોરસ આધારની બાજુની લંબાઈ $x$ છે અને લંબઘનની ઊંચાઈ $y$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
લંબઘનની બધી ધારનો સરવાળો $4x + 4x + 4y = 8x + 4y$ છે.
બધી છ સપાટીઓના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $2x^2 + 4xy$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ધારનો સરવાળો = ક્ષેત્રફળનો સરવાળો:
$8x + 4y = 2x^2 + 4xy$
$2$ વડે ભાગતા:
$4x + 2y = x^2 + 2xy$
$y$ માટે ઉકેલતા:
$2y - 2xy = x^2 - 4x$
$2y(1 - x) = x(x - 4)$
$y = \frac{x(4 - x)}{2(x - 1)}$
$y > 0$ હોવાથી,$1 < x < 4$ હોવું જોઈએ. તેથી,$x$ ની કિંમત $2$ અથવા $3$ હોઈ શકે.
જો $x = 2$,તો $y = \frac{2(4 - 2)}{2(2 - 1)} = 2$.
ધારનો સરવાળો $= 8(2) + 4(2) = 24$.
જો $x = 3$,તો $y = \frac{3}{4}$,જે પૂર્ણાંક નથી.
આમ,એકમાત્ર પૂર્ણાંક ઉકેલ $x = 2, y = 2$ છે અને ધારનો સરવાળો $24$ છે.

(A) ધારો કે $|A_i| = n_i$ જ્યાં $i = 1, 2, \ldots, m$. કારણ કે ગણો પરસ્પર અલગ છે અને તે $100$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણો છે,તેથી તેમના કદનો સરવાળો નીચે મુજબ હોવો જોઈએ:
$\sum_{i=1}^{m} |A_i| \leq 100$.
કારણ કે $|A_i|$ એ ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો છે,$m$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $|A_i|$ માટે શક્ય સૌથી નાના ભિન્ન ધન પૂર્ણાંકો પસંદ કરીશું.
તેથી,$1 + 2 + 3 + \ldots + m \leq 100$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ $m$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{m(m+1)}{2}$ છે.
તેથી,$\frac{m(m+1)}{2} \leq 100$,જેનો અર્થ છે કે $m(m+1) \leq 200$.
$m = 13$ માટે,$13 \times 14 = 182 \leq 200$ (સાચું).
$m = 14$ માટે,$14 \times 15 = 210 > 200$ (ખોટું).
આમ,$m$ ની મહત્તમ કિંમત $13$ છે.

(C) ધારો કે $2$-અંકી સંખ્યા $n = 10a + b$ છે,જ્યાં $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
આપેલ છે કે,$n = a^2 + b^3$.
તેથી,$10a + b = a^2 + b^3$.
પદોને ગોઠવતા,$a^2 - 10a + b^3 - b = 0$,જેને $a(10 - a) = b(b - 1)(b + 1)$ તરીકે લખી શકાય.
$b$ ની કિંમતો ચકાસતા:
જો $b = 3$ હોય,તો $a(10 - a) = 3(2)(4) = 24$. સમીકરણ $a^2 - 10a + 24 = 0$ ઉકેલતા,$(a - 4)(a - 6) = 0$ મળે,તેથી $a = 4$ અથવા $a = 6$. આમ,સંખ્યાઓ $43$ અને $63$ છે.
અન્ય કિંમતો માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ મળતો નથી.
તેથી,આવી $2$ સંખ્યાઓ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $nx^2 + 7\sqrt{n}x + n = 0$ છે.
વિવેચક $D = (7\sqrt{n})^2 - 4(n)(n) = 49n - 4n^2 = n(49 - 4n)$ છે.
બીજ ભિન્ન હોવા માટે,$D \neq 0$ હોવું જોઈએ. $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$49 - 4n = 0$ નો અર્થ $n = 12.25$ થાય,જે પૂર્ણાંક નથી. તેથી,તમામ $n \in \mathbb{Z}^+$ માટે $D \neq 0$ છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,$D \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $n(49 - 4n) \geq 0$. $n > 0$ હોવાથી,$49 - 4n \geq 0$ એટલે કે $n \leq 12.25$. $n$ માટે શક્ય કિંમતો $\{1, 2, 3, \dots, 12\}$ છે. આ એક મર્યાદિત ગણ છે,તેથી વિધાન $II$ ખોટું છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ છે. અહીં,ગુણાકાર $\frac{n}{n} = 1$ છે,જે પૂર્ણાંક છે. તેથી,વિધાન $III$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $I$ અને $III$ સાચા છે.

(C) $\triangle OAC$ માં,$OA = 1$ અને $AC:CO = 2:1$,તેથી $AC = \frac{2}{3}$ અને $OC = \frac{1}{3}$.
$\triangle OCD$ માં,$OD = 1$ (ત્રિજ્યા) અને $OC = \frac{1}{3}$. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$CD = \sqrt{OD^2 - OC^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\triangle ACD$ માં,$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
યામ ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરતા: $O(0,0)$,$A(-1,0)$,$C(-\frac{1}{3}, 0)$,$D(-\frac{1}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3})$.
રેખા $AD$ નો ઢાળ $m = \sqrt{2}$ છે. $AD$ નું સમીકરણ: $y = \sqrt{2}x + \sqrt{2}$.
$OE$ એ $AD$ ને લંબ છે અને $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
$OE$ નું સમીકરણ: $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x$.
$CD$ $(x = -\frac{1}{3})$ અને $OE$ $(y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x)$ નું છેદબિંદુ $H$ છે: $y_H = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
$D$ નો $y$-યામ $y_D = \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$.
$DH = y_D - y_H = \frac{4}{3\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે સૌથી મોટા ચોરસની બાજુ $a$ છે.
યામ અક્ષોને સમાંતર બાજુઓ ધરાવતા ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}, \dots$ છે.
તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $S_1 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{4})^2 + \dots = a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{16} + \dots$ છે.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $A = a^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
આમ,$S_1 = \frac{a^2}{1 - 1/4} = \frac{a^2}{3/4} = \frac{4a^2}{3}$.
ત્રાંસા ચોરસની બાજુની લંબાઈ $\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{2\sqrt{2}}, \frac{a}{4\sqrt{2}}, \dots$ છે.
તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $S_2 = (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{2\sqrt{2}})^2 + (\frac{a}{4\sqrt{2}})^2 + \dots = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{32} + \dots$ છે.
આ એક અનંત ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $A = \frac{a^2}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
આમ,$S_2 = \frac{a^2/2}{1 - 1/4} = \frac{a^2/2}{3/4} = \frac{a^2}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2a^2}{3}$.
તેથી,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4a^2/3}{2a^2/3} = 2$.
સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ જ્યાં $x \in [0, \pi/2)$.
ધારો કે $t = \sin^2 x$. તો $\cos^2 x = 1 - t$. $x \in [0, \pi/2)$ હોવાથી,$t \in [0, 1)$.
આમ,તમામ $t \in [0, 1)$ માટે $P(t) = P(1 - t)$ થાય. $P$ એ બહુપદી હોવાથી,તમામ $t \in \mathbb{R}$ માટે $P(t) = P(1 - t)$ થશે.
ધારો કે $u = t - 1/2$. તો $t = u + 1/2$ અને $1 - t = 1/2 - u$.
શરત $P(u + 1/2) = P(1/2 - u)$ બને છે.
ધારો કે $Q(u) = P(u + 1/2)$. તો $Q(u) = Q(-u)$,જેનો અર્થ છે કે $Q(u)$ એ $u$ નું યુગ્મ વિધેય છે.
$Q(u)$ એ યુગ્મ બહુપદી હોવાથી,તેને $u^2$ ની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$u = x - 1/2$ મૂકતા,આપણને $P(x) = Q(x - 1/2)$ મળે છે,જે $(x - 1/2)^2$ માં બહુપદી છે,અથવા સમાન રીતે $(2x - 1)^2$ માં બહુપદી છે. આ વિધાન $II$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
$Q(u)$ એ યુગ્મ બહુપદી હોવાથી,તેની ઘાત યુગ્મ હોવી જોઈએ. આમ,$P(x)$ એ યુગ્મ ઘાતવાળી બહુપદી હોવી જોઈએ. આ વિધાન $III$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે $P(x) = P(1-x)$ નો અર્થ એ નથી કે $P(x) = P(-x)$ (દા.ત.,$P(x) = x(1-x)$ શરતનું પાલન કરે છે પણ તે યુગ્મ નથી).
તેથી,માત્ર $II$ અને $III$ સાચા છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x + \frac{1}{8} \sin(2 \pi x)$,$x \in [0, 1]$ માટે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x \in (0, 1/2)$ માટે $f(x) > x$,$x \in (1/2, 1)$ માટે $f(x) < x$,અને $x = 0, 1/2, 1$ માટે $f(x) = x$ છે.
$x \in (0, 1/2)$ માટે,શ્રેણી $f_n(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતી જાય છે અને $1/2$ થી ઉપર સીમિત છે,તેથી $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1/2$.
$x \in (1/2, 1)$ માટે,શ્રેણી $f_n(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતી જાય છે અને $1/2$ થી નીચે સીમિત છે,તેથી $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1/2$.
$x = 0$ માટે,બધા $n$ માટે $f_n(0) = 0$,તેથી લક્ષ $0$ છે.
$x = 1$ માટે,બધા $n$ માટે $f_n(1) = 1$,તેથી લક્ષ $1$ છે.
$x = 1/2$ માટે,બધા $n$ માટે $f_n(1/2) = 1/2$,તેથી લક્ષ $1/2$ છે.
આમ,બધા $x \in (0, 1)$ માટે લક્ષ $1/2$ છે. આવા અનંત $x$ હોવાથી,વિધાન $II$ સાચું છે.
વિધાન $I$ અને $III$ ખોટા છે કારણ કે લક્ષ માત્ર $x=0$ પર $0$ અને $x=1$ પર $1$ છે.
વિધાન $IV$ ખોટું છે કારણ કે બધા $x \in [0, 1]$ માટે લક્ષનું અસ્તિત્વ છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^3-3ax^2+(27a^2+9)x+2016$.
વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 3x^2 - 6ax + (27a^2 + 9)$.
આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીને વિકલનને ફરીથી લખી શકીએ:
$f'(x) = 3(x^2 - 2ax + 9a^2 + 3)$
$f'(x) = 3((x-a)^2 + 8a^2 + 3)$.
કારણ કે $(x-a)^2 \geq 0$,$8a^2 \geq 0$,અને $3 > 0$ છે,તેથી તમામ વાસ્તવિક $x$ અને તમામ વાસ્તવિક $a$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
કારણ કે વિકલન $f'(x)$ હંમેશા ધન છે,વિધેય $f(x)$ તમામ વાસ્તવિક $a$ માટે ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત રીતે વધતી ત્રિઘાત બહુપદી $x$-અક્ષને બરાબર એક વાર છેદે છે.
તેથી,કોઈપણ વાસ્તવિક $a$ માટે સમીકરણને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(C) ક્ષેત્રફળ સંકલન $A = \int_0^3 |x^3 - 4x^2 + 3x| dx$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,પદાવલિના અવયવ પાડો: $x^3 - 4x^2 + 3x = x(x-1)(x-3)$.
પદાવલિ $x(x-1)(x-3)$ એ $(0, 1)$ માં ધન અને $(1, 3)$ માં ઋણ છે.
તેથી,$A = \int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 3x) dx - \int_1^3 (x^3 - 4x^2 + 3x) dx$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{3 - 16 + 18}{12} = \frac{5}{12}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_1^3 = \left( \frac{81}{4} - \frac{108}{3} + \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{5}{12} \right) = \left( \frac{135}{4} - 36 \right) - \frac{5}{12} = -\frac{9}{4} - \frac{5}{12} = -\frac{32}{12} = -\frac{8}{3}$.
બીજો ભાગ ઋણ હોવાથી,આપણે તેનું માનાંક લઈએ છીએ: $|-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5 + 32}{12} = \frac{37}{12}$.

(A) આપેલ છે કે તમામ $x \in (0,1]$ માટે $f(x) < x^2$ છે.
બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન લેતા:
$\int_{0}^{1} f(x) dx < \int_{0}^{1} x^2 dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\int_{0}^{1} f(x) dx < \frac{1}{3}$ મળે.
પરંતુ,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{3}$.
આ વિરોધાભાસ પેદા કરે છે કારણ કે $x^2$ કરતા નાનું વિધેય હોય તો તેનું સંકલન પણ $x^2$ ના સંકલન કરતા ઓછું જ હોવું જોઈએ.
આમ,આવું કોઈ સતત વિધેય $f$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
તેથી આવા વિધેયોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ધારો કે ${x} = x - [x]$. તો $f(x) = \min \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ અને $g(x) = \max \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ થાય.
નોંધો કે $g(x) - f(x) = |\{x\} - (1 - \{x\})| = |2\{x\} - 1|$.
વિધેય $h(x) = g(x) - f(x) = |2\{x\} - 1|$ એ $1$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.
આપણે એક આવર્તગાળા $[0, 1]$ પર સંકલન ગણીએ:
$\int_0^1 |2\{x\} - 1| \, dx = \int_0^{1/2} (1 - 2x) \, dx + \int_{1/2}^1 (2x - 1) \, dx$
$= [x - x^2]_0^{1/2} + [x^2 - x]_{1/2}^1$
$= (1/2 - 1/4) + ((1 - 1) - (1/4 - 1/2)) = 1/4 + 1/4 = 1/2$.
વિધેય $1$ ના આવર્તમાન સાથે આવર્તી હોવાથી,$\int_0^n h(x) \, dx = n \int_0^1 h(x) \, dx = n \times \frac{1}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\int_0^n (g(x) - f(x)) \, dx = 100$,તેથી $\frac{n}{2} = 100$,જેનો અર્થ છે કે $n = 200$.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{v} - \hat{i}| = |\vec{v} - 2\hat{j}| = |\vec{v} - \hat{j}|$.
ધારો કે $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j}$. બિંદુઓ $A(1, 0)$,$B(0, 2)$,અને $C(0, 1)$ છે.
કારણ કે $\vec{v}$ એ $A, B$,અને $C$ થી સમાન અંતરે છે,તે $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
વર્ગ કરેલા અંતરોને સરખાવતા:
$|\vec{v} - \hat{i}|^2 = |\vec{v} - \hat{j}|^2 \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 \Rightarrow x = y$.
$|\vec{v} - \hat{j}|^2 = |\vec{v} - 2\hat{j}|^2$ ને સરખાવતા:
$x^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y-2)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 - 4y + 4 \Rightarrow 2y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$.
$x = y$ હોવાથી,$x = \frac{3}{2}$ મળે.
આમ,$\vec{v} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{4.5} \approx 2.12$.
$2 < 2.12 \leq 3$ હોવાથી,$|\vec{v}|$ એ $(2, 3]$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં વાદળી દડો નીકળવાની ઘટના છે.
ધારો કે $B$ એ પ્રથમ પ્રયત્નમાં લાલ દડો નીકળવાની ઘટના છે.
ધારો કે $C$ એ બીજા પ્રયત્નમાં વાદળી દડો નીકળવાની ઘટના છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં વાદળી દડો નીકળવાની સંભાવના $P(A) = \frac{b}{b+r}$ છે.
જો વાદળી દડો નીકળે,તો તેને બીજા એક વાદળી દડા સાથે પાછો મૂકવામાં આવે છે,તેથી હવે પેટીમાં $b+1$ વાદળી દડા અને $r$ લાલ દડા છે. કુલ દડાની સંખ્યા $b+r+1$ છે. તેથી,$P(C|A) = \frac{b+1}{b+r+1}$.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(B) = \frac{r}{b+r}$ છે.
જો લાલ દડો નીકળે,તો તેને બીજા એક લાલ દડા સાથે પાછો મૂકવામાં આવે છે,તેથી હવે પેટીમાં $b$ વાદળી દડા અને $r+1$ લાલ દડા છે. કુલ દડાની સંખ્યા $b+r+1$ છે. તેથી,$P(C|B) = \frac{b}{b+r+1}$.
સંપૂર્ણ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બીજો દડો વાદળી હોવાની સંભાવના:
$P(C) = P(A) \cdot P(C|A) + P(B) \cdot P(C|B)$
$P(C) = \left(\frac{b}{b+r}\right) \left(\frac{b+1}{b+r+1}\right) + \left(\frac{r}{b+r}\right) \left(\frac{b}{b+r+1}\right)$
$P(C) = \frac{b(b+1) + rb}{(b+r)(b+r+1)}$
$P(C) = \frac{b^2 + b + rb}{(b+r)(b+r+1)} = \frac{b(b+r+1)}{(b+r)(b+r+1)}$
$P(C) = \frac{b}{b+r}$

(C) આપેલ બહુપદી $P(x) = 4x^3 - 3x$ છે,જ્યાં $x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.
વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે વિકલન $P'(x) = 12x^2 - 3 = 3(4x^2 - 1) = 3(2x - 1)(2x + 1)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ માટે,$4x^2 < 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $4x^2 - 1 < 0$.
આમ,આપેલ અંતરાલમાં દરેક $x$ માટે $P'(x) < 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
$P(x)$ સતત અને ચુસ્ત ઘટતું હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(P(1/2), P(-1/2))$ થશે.
સીમાબિંદુઓ પર કિંમતોની ગણતરી કરતા:
$P(1/2) = 4(1/8) - 3(1/2) = 1/2 - 3/2 = -1$.
$P(-1/2) = 4(-1/8) - 3(-1/2) = -1/2 + 3/2 = 1$.
અંતરાલ ખુલ્લો હોવાથી,વિસ્તાર $(-1, 1)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) \geq 0$ અને $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$.
વિધેય $g(x) = f(x) e^{-2x}$ ધ્યાનમાં લો.
તો $g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) e^{-2x} - 2f(x) e^{-2x} = e^{-2x} (f^{\prime}(x) - 2f(x))$.
કારણ કે $f^{\prime}(x) \leq 2f(x)$,આપણી પાસે $f^{\prime}(x) - 2f(x) \leq 0$ છે.
આમ,તમામ $x > 0$ માટે $g^{\prime}(x) \leq 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $g(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
કારણ કે $g(0) = f(0) e^0 = 0 \times 1 = 0$ અને $x \geq 0$ માટે $g(x)$ ઘટતું વિધેય છે,તેથી તમામ $x \geq 0$ માટે $g(x) \leq g(0) = 0$ હોવું જોઈએ.
જો કે,$f(x) \geq 0$ અને $e^{-2x} > 0$ છે,તેથી તમામ $x \geq 0$ માટે $g(x) = f(x) e^{-2x} \geq 0$ છે.
તેથી,તમામ $x \geq 0$ માટે $g(x) = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ $x \geq 0$ માટે $f(x) = 0$ છે.

(D) કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ,જો $f(x)$ અને $g(x)$ સતત વિધેયો હોય,તો $(\int_a^b f(x)g(x) dx)^2 \leq (\int_a^b f^2(x) dx)(\int_a^b g^2(x) dx)$ થાય.
અહીં $g(x) = 1$ લેતા,$(\int_0^1 f(x) dx)^2 \leq (\int_0^1 f^2(x) dx)(\int_0^1 1^2 dx) = \int_0^1 f^2(x) dx$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\int_0^1 f^2(x) dx = (\int_0^1 f(x) dx)^2$,આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $f(x)$ એ $g(x)=1$ ના પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $f(x) = c$ (એક અચળ).
તેથી,$f(x)$ એક અચળ વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વિસ્તાર એક સિંગલટન (singleton) ગણ છે.

(A) વિધેય $f(x) = x 2^x$ ધ્યાનમાં લો. તમામ $x \neq 0$ માટે,$x 2^x > x$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{i=1}^{100} a_i 2^{a_i} > \sum_{i=1}^{100} a_i = 0$.
તે જ રીતે,$g(x) = x 2^{-x}$ માટે,તમામ $x \neq 0$ માટે $x 2^{-x} < x$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{i=1}^{100} a_i 2^{-a_i} < \sum_{i=1}^{100} a_i = 0$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f(8) = f(2 \cdot 2 \cdot 2) = f(2) + f(2) + f(2) = 3f(2)$.
આપેલ છે કે $f(8) = 15$,તેથી $3f(2) = 15$,જેનો અર્થ છે કે $f(2) = 5$.
હવે,આપણે $f(48)$ શોધવાનું છે.
આપણે $48 = 12 \cdot 4 = 12 \cdot 2 \cdot 2$ લખી શકીએ છીએ.
$f(xy) = f(x) + f(y)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$f(48) = f(12 \cdot 2 \cdot 2) = f(12) + f(2) + f(2)$.
જ્ઞાત કિંમતો $f(12) = 24$ અને $f(2) = 5$ મૂકતા:
$f(48) = 24 + 5 + 5 = 34$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે,$a^5-a^3+a=2$.
ધારો કે $f(a) = a^5-a^3+a-2$.
વિકલન $f'(a) = 5a^4-3a^2+1$ છે.
અહીં $f'(a) > 0$ હોવાથી,$f(a)$ એ વધતું વિધેય છે અને તેનું એકમાત્ર વાસ્તવિક બીજ છે.
$f(1) = -1 < 0$ અને $f(2) = 24 > 0$ હોવાથી,બીજ $a \in (1, 2)$ માં છે.
$a^6 = 3$ માટે $f(3^{1/6}) < 0$ અને $a^6 = 4$ માટે $f(4^{1/6}) > 0$ મળે છે.
તેથી,$3 < a^6 < 4$ સાચું છે.

(B) $3$-અંકની સંખ્યા $4$ અને $5$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તે $\text{lcm}(4, 5) = 20$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$3$-અંકની સંખ્યા $20$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તેનો છેલ્લો અંક $00, 20, 40, 60,$ અથવા $80$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $S$ એ તમામ $3$-અંકની સંખ્યાઓનો સમૂહ છે,$|S| = 900$.
આપણે એવી સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેના અંકોને $20$ ના ગુણક બનાવવા માટે ગોઠવી શકાય.
એક સંખ્યાને $20$ ના ગુણકમાં ફેરવી શકાય જો તેના અંકોમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય:
$1$. ઓછામાં ઓછો એક $0$ અને ${2, 4, 6, 8}$ માંથી એક બેકી અંક.
$2$. બે શૂન્ય અને કોઈપણ શૂન્યતર અંક.
$3$. બે બેકી અંક અને એક $0$.
અંકોના સમૂહ ${a, b, c}$ ની ગણતરી કર્યા પછી જે $20$ નો ગુણક બનાવી શકે છે,આપણને મળે છે કે આવી કુલ $145$ સંખ્યાઓ છે.
સંભાવના $\frac{145}{900} = \frac{29}{180}$ છે.