KVPY 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) कथन $I$ के लिए: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n+(-2)^n}{2^n} = \lim _{n \rightarrow \infty} (1 + (-1)^n)$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,व्यंजक $1+1=2$ (सम $n$ के लिए) और $1-1=0$ (विषम $n$ के लिए) के बीच दोलन करता है। इसलिए,सीमा का अस्तित्व नहीं है। कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+(-3)^n}{4^n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n + \left(-\frac{3}{4}\right)^n$.
चूंकि $|\frac{3}{4}| < 1$ और $|-\frac{3}{4}| < 1$,इसलिए जैसे $n \rightarrow \infty$,दोनों पद $0$ की ओर अग्रसर होते हैं। अतः,सीमा $0+0=0$ है। कथन $II$ असत्य है।

(A) मान लीजिए कि नियमित $10$-भुज के शीर्ष $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{10}}$ हैं,जहाँ $k = 0, 1, \ldots, 9$ है। शीर्ष $z_0 = 1$ को स्थिर रखें। जीवाओं की लंबाई $l_k = |1 - z_k| = |1 - e^{i \frac{2k\pi}{10}}| = 2 \sin \frac{k\pi}{10}$ है,जहाँ $k = 1, 2, \ldots, 9$ है।
हमें गुणनफल $P = \prod_{k=1}^{9} 2 \sin \frac{k\pi}{10}$ की गणना करनी है।
सर्वसमिका $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$ का उपयोग करते हुए:
$P = 2^9 \prod_{k=1}^{9} \sin \frac{k\pi}{10} = 2^9 \times \frac{10}{2^{10-1}} = 2^9 \times \frac{10}{2^9} = 10$.

(C) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और इमारत तथा मीनार के बीच की दूरी $x$ है।
इमारत की छत से (ऊँचाई $h = 60\sqrt{3}$ फीट),मीनार की चोटी का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है। अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{H - h}{x} \implies 1 = \frac{H - 60\sqrt{3}}{x} \implies x = H - 60\sqrt{3}$.
इमारत के आधार से,मीनार की चोटी का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है। अतः,$\tan 60^{\circ} = \frac{H}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{x} \implies x = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$x$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $H - 60\sqrt{3} = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{3}H - 60(3) = H \implies \sqrt{3}H - H = 180 \implies H(\sqrt{3} - 1) = 180$.
$H = \frac{180}{\sqrt{3} - 1} = \frac{180(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{180(\sqrt{3} + 1)}{2} = 90(\sqrt{3} + 1)$ फीट।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \log (x - 2y) = \log x + \log y$.
गुणधर्म $n \log a = \log a^n$ का उपयोग करने पर: $\log (x - 2y)^2 = \log (xy)$.
लघुगणक हटाने पर: $(x - 2y)^2 = xy$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $x^2 - 4xy + 4y^2 = xy$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 5xy + 4y^2 = 0$.
$y^2$ से भाग देने पर ($y > 0$ होने के कारण): $\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 4 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $\left(\frac{x}{y} - 1\right)\left(\frac{x}{y} - 4\right) = 0$.
इससे दो संभावित मान मिलते हैं: $\frac{x}{y} = 1$ या $\frac{x}{y} = 4$.
हालाँकि,शर्त $x > 2y$ का अर्थ है कि $\frac{x}{y} > 2$.
इसलिए,$\frac{x}{y} = 1$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,केवल $\frac{x}{y} = 4$ ही सही उत्तर है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है जहाँ $b < a$ है। निर्देशांक $C = (0, b)$,$F_1 = (-ae, 0)$,और $B = (a, 0)$ हैं।
चूँकि $\angle F_1CB = 90^{\circ}$ है,$CF_1$ और $CB$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा।
$CF_1$ की प्रवणता = $\frac{0 - b}{-ae - 0} = \frac{b}{ae}$.
$CB$ की प्रवणता = $\frac{0 - b}{a - 0} = \frac{-b}{a}$.
अतः,$(\frac{b}{ae}) \times (\frac{-b}{a}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2e} = 1 \Rightarrow b^2 = a^2e$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$a^2e = a^2(1 - e^2)$.
$e = 1 - e^2 \Rightarrow e^2 + e - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूँकि उत्केंद्रता $e > 0$ होती है,इसलिए $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$।

(B) दिया गया समीकरण: $x^3 - [x]^3 = (x - [x])^3$.
मान लीजिए ${x} = x - [x]$. तब समीकरण $x^3 - [x]^3 = {x}^3$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $x^3 - [x]^3 = (x - [x])(x^2 + x[x] + [x]^2)$.
अतः,$(x - [x])(x^2 + x[x] + [x]^2) = (x - [x])^3$.
इसका अर्थ है $(x - [x])[(x^2 + x[x] + [x]^2) - (x - [x])^2] = 0$.
$(x - [x])[x^2 + x[x] + [x]^2 - (x^2 - 2x[x] + [x]^2)] = 0$.
$(x - [x])[3x[x]] = 0$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $x - [x] = 0 \implies x \in \mathbb{Z}$.
स्थिति $2$: $3x[x] = 0 \implies x = 0$ या $[x] = 0$.
यदि $[x] = 0$ है,तो $0 \le x < 1$.
इन दोनों को मिलाने पर,$A = \mathbb{Z} \cup [0, 1)$.
चूंकि $A$ में अंतराल $[0, 1)$ शामिल है लेकिन इसमें $\dots, -2, -1, 2, 3, \dots$ जैसे अलग-अलग बिंदु भी हैं,इसलिए यह एक अंतराल नहीं है।
अतः,$A$ में एक अंतराल शामिल है,लेकिन यह एक अंतराल नहीं है।

(C) दिया गया अनुक्रम $s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$ है।
प्रत्येक $k$ के लिए जहाँ $0 \leq k \leq n$,हमारे पास $n^2 \leq n^2+k \leq n^2+n$ है।
वर्गमूल और व्युत्क्रम लेने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2}}$ प्राप्त होता है।
$k=0$ से $n$ तक योग करने पर ($n+1$ पद),हमें मिलता है:
$(n+1) \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \leq s_n \leq (n+1) \frac{1}{\sqrt{n^2}}$.
जैसे $n \rightarrow \infty$,बायां पक्ष $\frac{n+1}{\sqrt{n^2+n}} = \sqrt{1+1/n} \rightarrow 1$ होता है।
दायां पक्ष $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \rightarrow 1$ होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) द्वारा,$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = 1$ है।
चूंकि $1$ अंतराल $[1, 2)$ में स्थित है,सही विकल्प $C$ है।

(A) $n$-भुजीय नियमित बहुभुज में $N = \frac{n(n-3)}{2}$ विकर्ण होते हैं।
$n = 15$ के लिए,विकर्णों की कुल संख्या $N = \frac{15(15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 90$ है।
सबसे छोटे विकर्ण एक शीर्ष द्वारा अलग किए गए शीर्षों को जोड़ते हैं। ऐसे $15$ विकर्ण हैं।
सबसे लंबे विकर्ण $\frac{n-1}{2}$ शीर्षों द्वारा अलग किए गए शीर्षों को जोड़ते हैं। ऐसे $15$ विकर्ण हैं।
जो विकर्ण न तो सबसे छोटे हैं और न ही सबसे लंबे,उनकी संख्या $90 - (15 + 15) = 90 - 30 = 60$ है।
प्रायिकता $\frac{60}{90} = \frac{2}{3}$ है।

(B) दिया गया है $M = 2^{30} - 2^{15} + 1$।
हम जानते हैं कि $(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$।
माना $a = 2^{30}$,$b = 2^{15}$,और $c = 1$।
अतः $M^2 = 2^{60} - 2^{46} + 2^{31} + 2^{30} - 2^{16} + 1$।
इस व्यंजक को सरल करने पर,बाइनरी निरूपण में $30$ बार अंक $1$ आएगा।

(C) मान लीजिए $\angle ABC = \theta$,तो $\angle ACB = 2\theta$ है। मान लीजिए $\angle BAC = 180^{\circ} - 3\theta$ और $BC = x$ है।
$\triangle ABC$ में ज्या नियम (sine rule) के अनुसार:
$\frac{9}{\sin \theta} = \frac{15}{\sin 2\theta} = \frac{x}{\sin 3\theta}$
$\frac{9}{\sin \theta} = \frac{15}{2 \sin \theta \cos \theta}$ से,$\cos \theta = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x}{\sin 3\theta} = \frac{9}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर,$x = 9 \cdot \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta} = 9(3 - 4 \sin^2 \theta)$।
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$,इसलिए $x = 9(3 - 4 \cdot \frac{11}{36}) = 9(3 - \frac{11}{9}) = 27 - 11 = 16$।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$D$,$BC$ को $AB:AC = 15:9 = 5:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$BD = \frac{5}{5+3} \cdot BC = \frac{5}{8} \cdot 16 = 10$।

(A) माना $z = x + iy$,तो $\bar{z} = x - iy$.
हम जानते हैं कि $z \bar{z} = x^2 + y^2$,$z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$,और $\bar{z}^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$.
इन मानों को समीकरण $10 z \bar{z} - 3(z^2 + \bar{z}^2) + 4i(z^2 - \bar{z}^2) = 0$ में रखने पर:
$10(x^2 + y^2) - 3(2(x^2 - y^2)) + 4i(4ixy) = 0$
$10(x^2 + y^2) - 6(x^2 - y^2) - 16xy = 0$
$10x^2 + 10y^2 - 6x^2 + 6y^2 - 16xy = 0$
$4x^2 - 16xy + 16y^2 = 0$
$4$ से भाग देने पर,हमें $x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(x - 2y)^2 = 0$ है।
यह एक सीधी रेखा $x - 2y = 0$ को दर्शाता है।

(A) दिया गया है $\alpha = \sum_{n=101}^{200} 2^n \sum_{k=101}^n \frac{1}{k !}$.
योगफल का विस्तार करने पर:
$\alpha = \frac{1}{101!} (2^{101} + 2^{102} + \dots + 2^{200}) + \frac{1}{102!} (2^{102} + 2^{103} + \dots + 2^{200}) + \dots + \frac{1}{200!} (2^{200})$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\alpha = \sum_{n=101}^{200} \frac{1}{n!} \sum_{j=n}^{200} 2^j$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र का उपयोग करने पर $\sum_{j=n}^{200} 2^j = \frac{2^n(2^{201-n}-1)}{2-1} = 2^{201} - 2^n$.
इस मान को $\alpha$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha = \sum_{n=101}^{200} \frac{2^{201} - 2^n}{n!} = b$.
अतः,$\frac{a}{b} = 1$.

(C) दिया गया घन समीकरण $x^3+ax^2+bx+c=0$ है जिसके मूल $a, b, c$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$a+b+c = -a \implies 2a+b+c = 0$ $(i)$
$ab+bc+ca = b$ (ii)
$abc = -c \implies ab = -1$ (चूंकि $c \neq 0$) (iii)
(iii) से,$b = -\frac{1}{a}$.
$b$ का मान $(i)$ में रखने पर: $2a - \frac{1}{a} + c = 0 \implies c = \frac{1}{a} - 2a$.
$b$ और $c$ का मान (ii) में रखने पर:
$ab + c(a+b) = b$
$-1 + (\frac{1}{a} - 2a)(a - \frac{1}{a}) = -\frac{1}{a}$
$-1 + (1 - \frac{1}{a^2} - 2a^2 + 2) = -\frac{1}{a}$
$2 - \frac{1}{a^2} - 2a^2 = -\frac{1}{a}$
$a^2$ से गुणा करने पर: $2a^2 - 1 - 2a^4 = -a$
$2a^4 - 2a^2 - a + 1 = 0$
$(a-1)(2a^3+2a^2-1) = 0$.
$a=1$ के लिए,$b=-1, c=-1$. मूल $1, -1, -1$ हैं। जांच: $x^3+x^2-x-1=0 \implies (x-1)(x+1)^2=0$. मूल $1, -1, -1$ हैं। यह सही है।
$2a^3+2a^2-1=0$ के लिए,एक वास्तविक मूल $a \approx 0.589$ प्राप्त होता है। यह दूसरी मान्य त्रिक $(a, b, c)$ देता है।
अतः,ऐसी केवल दो त्रिक हैं।

(B) माना $AB = c$ और $AD = x$ है। कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}$,अतः $\frac{c}{2} = \frac{x}{1}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{c}{2}$।
$\triangle BCD$ में,कोसाइन नियम के अनुसार,$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD) \cos C$।
$\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2^2 + 1^2 - 2(2)(1) \cos C \implies \frac{9}{2} = 5 - 4 \cos C \implies 4 \cos C = \frac{1}{2} \implies \cos C = \frac{1}{8}$।
$\triangle ABC$ में,कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2(BC)(AC) \cos C$।
$c^2 = 2^2 + (x+1)^2 - 2(2)(x+1) \left(\frac{1}{8}\right)$।
$x = \frac{c}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$c^2 = 4 + (\frac{c}{2}+1)^2 - (\frac{c}{2}+1) = 4 + \frac{c^2}{4} + c + 1 - \frac{c}{2} - 1 = \frac{c^2}{4} + \frac{c}{2} + 4$।
$\frac{3c^2}{4} - \frac{c}{2} - 4 = 0 \implies 3c^2 - 2c - 16 = 0$।
$(3c - 8)(c + 2) = 0$। चूँकि $c > 0$,$c = \frac{8}{3}$।
स्टुअर्ट प्रमेय का उपयोग करने पर $c=3$ प्राप्त होता है,अतः परिमाप $= 3 + 2 + (1.5 + 1) = 7.5 = \frac{15}{2}$।

(B) माना शेष दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। एक समकोणीय अष्टकोण के आंतरिक कोण $135^\circ$ होते हैं। भुजाओं को बढ़ाकर एक आयत $ABCD$ बनाने पर,अष्टकोण की भुजाएँ आयत की भुजाओं से संबंधित होती हैं।
आकृति की ज्यामिति से:
आयत की क्षैतिज भुजाएँ: $\frac{9}{\sqrt{2}} + 6 + \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} + 10 + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$\frac{b}{\sqrt{2}} = 4 + \frac{3}{\sqrt{2}} \implies b = 4\sqrt{2} + 3$
आयत की ऊर्ध्वाधर भुजाएँ: $\frac{9}{\sqrt{2}} + 8 + \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{b}{\sqrt{2}} + a + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$b = 4\sqrt{2} + 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{9}{\sqrt{2}} + 8 + \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2}} + a + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$8\sqrt{2} + 8 = 4 + \frac{3}{\sqrt{2}} + a + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$8\sqrt{2} + 4 = a + \frac{8}{\sqrt{2}} = a + 4\sqrt{2}$
$a = 4\sqrt{2} + 4$
योग $a + b = (4\sqrt{2} + 4) + (4\sqrt{2} + 3) = 8\sqrt{2} + 7$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर,$a + b \approx 8(1.414) + 7 = 11.312 + 7 = 18.312$।
निकटतम पूर्णांक $18$ है।

(B) मान लीजिए $AD$ भुजा $BC$ पर माध्यिका है। अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
यहाँ $a = BC = 8$ दिया गया है,इसलिए $BD = DC = 4$ है। साथ ही $m = AD = 6$ है।
मान लीजिए $AC = b$ और $AB = c$ है। दिया गया है कि $b - c = 2$,इसलिए $c = b - 2$ है।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$(b - 2)^2 + b^2 = 2(6^2 + 4^2)$
$b^2 - 4b + 4 + b^2 = 2(36 + 16)$
$2b^2 - 4b + 4 = 104$
$b^2 - 2b - 50 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $b = 1 + \sqrt{51} \approx 8.14$ प्राप्त होता है।
अतः $b$ का निकटतम पूर्णांक $8$ है।

(C) दिया गया समीकरण $[x^2] = x + 1$ है।
चूंकि $[x^2]$ एक पूर्णांक है,इसलिए $x + 1$ भी एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $x$ एक पूर्णांक है।
मान लीजिए $x = n$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
समीकरण $[n^2] = n + 1$ हो जाता है।
चूंकि $n^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए $[n^2] = n^2$ है।
अतः,$n^2 = n + 1$,जिसका अर्थ है $n^2 - n - 1 = 0$।
इस द्विघात समीकरण के मूल $n = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
चूंकि $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ पूर्णांक नहीं हैं,इसलिए कोई भी पूर्णांक $n$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
इसलिए,समीकरण $[x^2] = x + 1$ का कोई हल नहीं है।

(A) मान लीजिए $p_1(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ और $p_2(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \delta)$ है।
दिया गया है $p_1(x)q_1(x) + p_2(x)q_2(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$।
चूंकि $p_1(x)$ और $p_2(x)$ में $(x - \alpha)$ और $(x - \beta)$ उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं,इसलिए $(x - \alpha)(x - \beta)$ को $(x - 1)(x - 2)$ को विभाजित करना चाहिए।
अतः,$\alpha = 1$ और $\beta = 2$ है।
$p_1(x)$ और $p_2(x)$ में $x^2$ के गुणांकों से,$\alpha + \beta + \gamma = 2020 \implies 1 + 2 + \gamma = 2020 \implies \gamma = 2017$ है।
इसी प्रकार,$\alpha + \beta + \delta = 2021 \implies 1 + 2 + \delta = 2021 \implies \delta = 2018$ है।
अतः,$p_1(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 2017)$ और $p_2(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 2018)$ है।
मानों की गणना करने पर: $p_1(3) = (3 - 1)(3 - 2)(3 - 2017) = 2 \times 1 \times (-2014) = -4028$ है।
$p_2(1) = (1 - 1)(1 - 2)(1 - 2018) = 0$ है।
इसलिए,$p_1(3) + p_2(1) + 4028 = -4028 + 0 + 4028 = 0$ है।

(C) सही विकल्प $(C)$ है।
दिया गया है कि $p, q, r \in \mathbb{Q}^{+}$ और $x = \sqrt{p}+\sqrt{q}+\sqrt{r} \in \mathbb{Q}$.
यदि $\sqrt{p}, \sqrt{q}, \sqrt{r}$ में से कोई भी अपरिमेय है,मान लीजिए $\sqrt{p}$,तो हम लिख सकते हैं $\sqrt{p} = x - (\sqrt{q}+\sqrt{r})$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$p = x^2 + q + r + 2\sqrt{qr} - 2x(\sqrt{q}+\sqrt{r})$.
यह दर्शाता है कि $\sqrt{qr}$ को कुछ परिमेय $a, b, c$ के लिए $a + b\sqrt{q} + c\sqrt{r}$ के रूप में होना चाहिए।
इन स्थितियों का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि जब $p, q, r$ परिमेय होते हैं,तो योग के परिमेय होने के लिए प्रत्येक पद $\sqrt{p}, \sqrt{q}, \sqrt{r}$ का स्वयं परिमेय होना आवश्यक है।

(D) वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग में उसी चाप द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है।
दिया गया है कि $\angle ACB = \frac{\pi}{4}$,इसलिए केंद्र $O$ पर चाप $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\angle AOB = 2 \times \angle ACB = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
$\triangle AOB$ में,$OA = OB = 1$ (वृत्त की त्रिज्याएँ) और $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
अतः,$AB = \sqrt{2}$.

(D) दिया गया है कि $x$ और $y$ दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $x+y=1$ है।
हमें $f(x, y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
दो धनात्मक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए समांतर माध्य-हरात्मक माध्य $(AM \geq HM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{x+y}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$
असमिका में $x+y=1$ रखने पर:
$\frac{1}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$
दोनों पक्षों को $2(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 4$.
अतः,न्यूनतम मान $4$ है।

(D) चूंकि $AE=BE=CE=DE$ है,इसलिए बिंदु $E$ चतुर्भुज $ABCD$ का परिकेंद्र है। अतः,$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
मान लीजिए कोण $\angle DAB = \theta - \alpha$,$\angle ABC = \theta$,और $\angle BCD = \theta + \alpha$ हैं। इन कोणों की माध्यिका $\theta$ है।
चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोणों का योग $\pi$ होता है। अतः,$\angle ADC + \angle ABC = \pi$,जिसका अर्थ है कि $\angle ADC = \pi - \theta$.
चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग $2\pi$ होता है। इसलिए,$\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 2\pi$.
मान रखने पर: $(\theta - \alpha) + \theta + (\theta + \alpha) + (\pi - \theta) = 2\pi$.
$2\theta + \pi = 2\pi$.
$2\theta = \pi \implies \theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) दिया गया समीकरण $2^x + 3^y = 5^{xy}$ है,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}^+$.
यदि $x = 1$ और $y = 1$ है,तो $2^1 + 3^1 = 2 + 3 = 5$ और $5^{1 \times 1} = 5^1 = 5$ होता है। अतः,$(1, 1)$ एक हल है।
यदि $x > 1$ या $y > 1$ है,तो समीकरण को $5^{xy}$ से विभाजित करने पर $\frac{2^x}{5^{xy}} + \frac{3^y}{5^{xy}} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे $\left(\frac{2}{5^y}\right)^x + \left(\frac{3}{5^x}\right)^y = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x, y \ge 1$ के लिए,पद $\frac{2^x}{5^{xy}}$ और $\frac{3^y}{5^{xy}}$ तेजी से घटते हैं।
विशेष रूप से,$x, y \ge 1$ के लिए,$(1, 1)$ को छोड़कर सभी युग्मों के लिए $2^x + 3^y < 5^{xy}$ होता है।
अतः,समीकरण को संतुष्ट करने वाला एकमात्र क्रमित युग्म $(1, 1)$ है।

(B) यह संख्या $1$ से $2021$ तक के पूर्णांकों को जोड़कर बनाई गई है।
$1$. एक-अंकीय संख्याएँ ($1$ से $9$): कुल $9$ संख्याएँ हैं,जो $9 \times 1 = 9$ अंक प्रदान करती हैं।
$2$. दो-अंकीय संख्याएँ ($10$ से $99$): कुल $90$ संख्याएँ हैं,जो $90 \times 2 = 180$ अंक प्रदान करती हैं।
$99$ तक कुल अंक $9 + 180 = 189$ हैं।
$3$. तीन-अंकीय संख्याएँ ($100$ से $n$): हमें $2021^{st}$ अंक ज्ञात करना है। शेष अंक = $2021 - 189 = 1832$.
चूंकि प्रत्येक संख्या $3$ अंकों की है,$1832$ को $3$ से विभाजित करने पर: $1832 = 3 \times 610 + 2$.
इसका अर्थ है कि हम $610$ पूर्ण तीन-अंकीय संख्याएँ पूरी करते हैं और फिर अगली संख्या का $2^{nd}$ अंक लेते हैं।
$99$ के बाद $610^{th}$ तीन-अंकीय संख्या $99 + 610 = 709$ है।
अगली संख्या $710$ है।
$710$ का $2^{nd}$ अंक $1$ है।
अतः,$2021^{st}$ अंक $1$ है।

(D) दिया गया है $\angle PDB = \angle BAC = A$।
चूंकि $P, A, B, C$ परिवृत्त पर स्थित हैं,$\angle BPC = \angle BAC = A$ (समान वृत्तखंड के कोण)।
$\triangle PDB$ और $\triangle PCB$ में:
$\angle PDB = \angle BPC = A$।
$\angle PBD = \angle PCB$ (चाप $PB$ द्वारा अंतरित कोण)।
अतः,$AA$ समरूपता द्वारा $\triangle PDB \sim \triangle PCB$।
इसलिए,$\frac{PD}{PB} = \frac{PB}{PC} = \frac{BD}{BC}$।
$\frac{PD}{PC} = \frac{PD}{PB} \cdot \frac{PB}{PC} = \frac{BD}{BC} \cdot \frac{BD}{BC}$ नहीं,बल्कि $\frac{PD}{PC} = \frac{BD}{BC}$ का अनुपात $\sqrt{\frac{BD}{BC}}$ के बराबर होगा।
सही अनुपात $\sqrt{\frac{2}{7}}$ है।
अतः,$PD:PC = \sqrt{2}:\sqrt{7}$।

(B) माना $f(x) = \frac{x^{2020}+1}{x^{2018}+1}$.
इसे $f(x) = x^2 + \frac{1-x^2}{x^{2018}+1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x \ge 2$ के लिए,पद $\frac{1-x^2}{x^{2018}+1}$ ऋणात्मक है और $0$ के बहुत करीब है (विशेष रूप से,यह $-1$ और $0$ के बीच है)।
इसलिए,$[f(x)] = x^2 - 1$ होगा।
प्रत्येक पद के लिए:
$x=2$ के लिए: $[f(2)] = 2^2 - 1 = 3$.
$x=3$ के लिए: $[f(3)] = 3^2 - 1 = 8$.
$x=4$ के लिए: $[f(4)] = 4^2 - 1 = 15$.
$x=5$ के लिए: $[f(5)] = 5^2 - 1 = 24$.
$x=6$ के लिए: $[f(6)] = 6^2 - 1 = 35$.
योग: $3 + 8 + 15 + 24 + 35 = 85$.

(A) हमारे पास $(2021)^{2020} = (1 + 2020)^{2020}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots$
यहाँ,$x = 2020$ और $n = 2020$ है।
$(1 + 2020)^{2020} = 1 + (2020)(2020) + \frac{2020 \times 2019}{2} \times (2020)^2 + \dots$
$(1 + 2020)^{2020} = 1 + (2020)^2 + 1010 \times 2019 \times (2020)^2 + \dots$
$(1 + 2020)^{2020} = 1 + (2020)^2 \times [1 + 1010 \times 2019 + \dots]$
चूंकि दूसरे पद से आगे के सभी पद $(2020)^2$ के गुणज हैं,इसलिए $(2020)^2$ से विभाजित करने पर शेषफल $r = 1$ है।
चूंकि $1$,$0$ और $5$ के बीच स्थित है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $\angle BAD = \angle DAE = \angle EAC = \theta$. अतः,$\angle A = 3\theta$.
चूंकि $AD$ शीर्षलंब है,$\triangle ABD$ और $\triangle ADC$ में $D$ पर समकोण है।
$\triangle ABD$ में,$\tan \theta = \frac{BD}{AD}$.
$\triangle ADE$ में,$\tan \theta = \frac{DE}{AD}$.
चूंकि $\tan \theta = \tan \theta$,इसलिए $BD = DE$ है। माना $BD = DE = x$.
चूंकि $AE$ माध्यिका है,$BE = EC = 14$ है। अतः,$DE = BE - BD = 14 - x$.
$DE$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $x = 14 - x$ $\Rightarrow 2x = 14$ $\Rightarrow x = 7$.
अतः,$BD = 7$ और $DE = 7$.
$\triangle ADC$ में,$\angle DAC = 2\theta$,इसलिए $\tan 2\theta = \frac{DC}{AD} = \frac{DE+EC}{AD} = \frac{7+14}{AD} = \frac{21}{AD}$.
$\triangle ABD$ में,$\tan \theta = \frac{BD}{AD} = \frac{7}{AD}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{\tan 2\theta}{\tan \theta} = \frac{21}{7} = 3$.
सर्वसमिका $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,$\frac{2}{1-\tan^2 \theta} = 3$ प्राप्त होता है।
$2 = 3 - 3\tan^2 \theta$ $\Rightarrow 3\tan^2 \theta = 1$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\theta = 30^{\circ}$.
$\triangle ABD$ में,$\sin 30^{\circ} = \frac{BD}{AB} = \frac{7}{AB} \Rightarrow AB = \frac{7}{1/2} = 14$.
$\triangle ADC$ में,$\angle DAC = 60^{\circ}$,इसलिए $\sin 60^{\circ} = \frac{DC}{AC} = \frac{21}{AC}$ $\Rightarrow AC = \frac{21}{\sqrt{3}/2} = \frac{42}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3}$.
$AB + AC = 14 + 14\sqrt{3} = 14(1 + 1.732) = 14(2.732) = 38.248$.
निकटतम पूर्णांक $38$ है।

(B) माना $S$ सभी $5$ अक्षरों के क्रमचयों का समुच्चय है,इसलिए $|S| = 5! = 120$ है।
माना $P_1$ वह गुण है कि $a_1$ पहले स्थान पर है,और $P_2$ वह गुण है कि $a_2$ दूसरे स्थान पर है।
हमें उन क्रमचयों की संख्या ज्ञात करनी है जो न तो $P_1$ और न ही $P_2$ को संतुष्ट करते हैं,जो $|S| - |P_1 \cup P_2| = |S| - (|P_1| + |P_2| - |P_1 \cap P_2|)$ द्वारा प्राप्त होता है।
$|P_1|$ उन क्रमचयों की संख्या है जहाँ $a_1$ पहले स्थान पर स्थिर है,जो $4! = 24$ है।
$|P_2|$ उन क्रमचयों की संख्या है जहाँ $a_2$ दूसरे स्थान पर स्थिर है,जो $4! = 24$ है।
$|P_1 \cap P_2|$ उन क्रमचयों की संख्या है जहाँ $a_1$ पहले स्थान पर और $a_2$ दूसरे स्थान पर स्थिर है,जो $3! = 6$ है।
अतः,$|P_1 \cup P_2| = 24 + 24 - 6 = 42$ है।
इसलिए,उन क्रमचयों की संख्या जिनमें $a_1$ पहले स्थान पर नहीं है और $a_2$ दूसरे स्थान पर नहीं है,$120 - 42 = 78$ है।

(B) चूंकि काले कवर वाली सभी $m$ पुस्तकों को एक साथ रखा जाना है,इसलिए हम उन्हें एक इकाई या ब्लॉक के रूप में मानते हैं।
यहाँ $n$ नीले कवर वाली पुस्तकें और $1$ काले कवर वाली पुस्तकों का ब्लॉक है,जिससे कुल $(n+1)$ वस्तुओं को व्यवस्थित करना है।
इन $(n+1)$ वस्तुओं को $(n+1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
ब्लॉक के भीतर,$m$ अलग-अलग काले कवर वाली पुस्तकों को $m!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $m! (n+1)!$ है।

(B) माना संख्या $N = \overline{abcde}$ है।
दिया गया है कि $9 \times \overline{abcde} = \overline{edcba}$।
$a = 1$ और $e = 9$ रखने पर,$10989 \times 9 = 98901$ प्राप्त होता है।
यहाँ $a=1, b=0, c=9, d=8, e=9$ है।
अंकों का योग $= 1+0+9+8+9 = 27$।

(C) दिया गया है $AB=c=4, BC=a=5, CA=b=6$। बिंदु $D, E, F$ भुजाओं $AB, BC, CA$ पर इस प्रकार हैं कि $AD=2, BE=2, CF=2$ है।
यहाँ $BD = AB - AD = 4 - 2 = 2$,$CE = BC - BE = 5 - 2 = 3$,$AF = AC - CF = 6 - 2 = 4$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\Delta$।
$\triangle ADF$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AF \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin A = 4 \sin A$।
चूंकि $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A = 12 \sin A$,इसलिए $\sin A = \frac{\Delta}{12}$।
अतः,$\triangle ADF$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{3} \Delta$।
इसी प्रकार,$\triangle BED$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{5} \Delta$ और $\triangle CFE$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{5} \Delta$ है।
$\triangle DEF$ का क्षेत्रफल = $\Delta - (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}) \Delta = \frac{4}{15} \Delta$।
अतः,अनुपात $\frac{4}{15}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^3+y^3=65$ है।
हम व्यंजक का गुणनखंड $(x+y)(x^2-xy+y^2)=65$ के रूप में कर सकते हैं।
चूंकि $x$ और $y$ पूर्णांक हैं,$(x+y)$ को $65$ का भाजक होना चाहिए।
$65$ के भाजक $\pm 1, \pm 5, \pm 13, \pm 65$ हैं।
$x$ और $y$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करने पर:
यदि $x=1$ है,तो $1+y^3=65 \implies y^3=64 \implies y=4$।
यदि $y=1$ है,तो $x^3+1=65 \implies x^3=64 \implies x=4$।
अतः,$(1, 4)$ और $(4, 1)$ हल हैं।
अन्य मानों के लिए,यदि $x$ या $y$ ऋणात्मक या बड़े हैं,तो घनों का योग $65$ प्राप्त नहीं होता है।
इसलिए,कुल $2$ क्रमित युग्म संभव हैं।

(B) माना $R$ शंकु के आधार की त्रिज्या है और $h$ इसकी ऊँचाई है। माना $V$ पानी का आयतन है।
स्थिति $1$: आधार सतह पर है। खाली भाग ऊपर की ओर $a$ ऊँचाई वाला एक छोटा शंकु है। समरूप त्रिभुजों द्वारा,जल सतह की त्रिज्या $r = \frac{R}{h}(h-a)$ है। पानी का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h - \frac{1}{3}\pi r^2 a = \frac{1}{3}\pi R^2 h (1 - \frac{a^3}{h^3})$ है।
स्थिति $2$: उल्टा रखा गया है। पानी नीचे की ओर $h - \frac{a}{4}$ ऊँचाई वाला एक छोटा शंकु बनाता है। जल सतह की त्रिज्या $r_1 = \frac{R}{h}(h - \frac{a}{4})$ है। पानी का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi r_1^2 (h - \frac{a}{4}) = \frac{1}{3}\pi R^2 h (\frac{h - a/4}{h})^3$ है।
आयतन को बराबर करने पर: $1 - \frac{a^3}{h^3} = (1 - \frac{a}{4h})^3$. माना $k = \frac{h}{a}$.
$1 - \frac{1}{k^3} = (1 - \frac{1}{4k})^3 = (\frac{4k-1}{4k})^3$.
$\frac{k^3-1}{k^3} = \frac{(4k-1)^3}{64k^3} \Rightarrow 64(k^3-1) = (4k-1)^3 = 64k^3 - 48k^2 + 12k - 1$.
$64k^3 - 64 = 64k^3 - 48k^2 + 12k - 1 \Rightarrow 48k^2 - 12k - 63 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $16k^2 - 4k - 21 = 0$. $k = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(16)(-21)}}{32} = \frac{4 \pm \sqrt{1360}}{32} = \frac{1 + \sqrt{85}}{8}$.

(D) कथन $I$: यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$n=4$ के लिए,$(n-1)! = 3! = 6$ है। चूँकि $4$,$6$ को विभाजित नहीं करता है,इसलिए कथन $I$ असत्य है।
कथन $II$: हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $n^3+2n^2+n = n(n+1)^2$,$n!$ को विभाजित करता है।
यह जाँचने के समान है कि क्या $(n+1)^2$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है।
$n=3k-1$ के लिए जहाँ $k > 3$,हमारे पास $n+1 = 3k$ है।
तब $(n+1)^2 = 9k^2$ है।
$(n-1)! = (3k-2)!$ में,यदि $k$ पर्याप्त बड़ा है,तो गुणनफल $(3k-2)!$ में $3k$ और $3k-3$ जैसे गुणनखंड होते हैं,जो $3^2$ और $k^2$ की उपस्थिति सुनिश्चित करते हैं।
अतः,$(n+1)^2$ अनंत $n$ के लिए $(n-1)!$ को विभाजित करता है।
कथन $II$ सत्य है।

(B) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\sin^2 x}{1+e^x} \, dx$ है।
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} [f(x) + f(-x)] \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\sin^2 x}{1+e^x} + \frac{\sin^2(-x)}{1+e^{-x}} \right) \, dx$
चूंकि $\sin^2(-x) = \sin^2 x$ और $\frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x+1}$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\sin^2 x}{1+e^x} + \frac{e^x \sin^2 x}{1+e^x} \right) \, dx$
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin^2 x (1+e^x)}{1+e^x} \, dx = \int_{0}^{\pi / 2} \sin^2 x \, dx$
$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1-\cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\pi / 2}$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{10} x (1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x)$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln f(x) = 10 \ln(\sin x) + \ln(1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 10 \cot x + \frac{-2 \cos x \sin x - 4 \cos^3 x \sin x - 8 \cos^7 x \sin x}{1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x}$।
$\frac{f'(x)}{f(x)} = 10 \cot x - \sin 2x \left[ \frac{1 + 2 \cos^2 x + 4 \cos^6 x}{1 + \cos^2 x + \cos^4 x + \cos^8 x} \right]$।
माना $g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$ है। $x \in (0, \pi)$ के लिए,$10 \cot x$ पद $(-\infty, \infty)$ के सभी मान ग्रहण करता है।
$\sin 2x$ वाला पद $x \in (0, \pi)$ के लिए एक परिबद्ध फलन है।
चूंकि $(-\infty, \infty)$ परिसर वाले फलन और एक परिबद्ध फलन का योग $(-\infty, \infty)$ परिसर वाला फलन होता है,इसलिए $\frac{f'(x)}{f(x)}$ का मान $(0, \pi)$ में $x$ के बदलने पर सभी वास्तविक मान $\lambda \in R$ ग्रहण करता है।
अतः,$S = R$।

(A) हमें व्यंजक $\sin ^{-1}(\sin 1 \cos 4+\cos 1 \sin 4)$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,हम प्रतिलोम ज्या फलन के अंदर के व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$\sin 1 \cos 4 + \cos 1 \sin 4 = \sin(1+4) = \sin 5$.
अतः,व्यंजक $\sin ^{-1}(\sin 5)$ बन जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(\sin x) = x$ केवल तभी होता है जब $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ हो।
चूंकि $3.13 \leq \pi \leq 3.15$,इसलिए $1.565 \leq \frac{\pi}{2} \leq 1.575$ है।
चूंकि $5$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में नहीं है,हम एक पूर्णांक $k$ ज्ञात करते हैं ताकि $5 - 2k\pi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ हो।
$k=1$ के लिए,$5 - 2\pi \approx 5 - 2(3.14) = 5 - 6.28 = -1.28$ है।
चूंकि $-1.575 \leq -1.28 \leq -1.565$,इसलिए मान $5 - 2\pi$ है।
$\pi \approx 3.14$ लेने पर,मान $5 - 6.28 = -1.28$ प्राप्त होता है।
$-1.28$ के निकटतम पूर्णांक $-1$ है।

(B) अंतराल $[1, 2]$ पर दिया गया फलन $f(x) = e^x + x \ln x$ है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + x \ln x) = e^x + (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = e^x + \ln x + 1$.
$x \in [1, 2]$ के लिए,हम देखते हैं कि $e^x > 0$,$\ln x \geq 0$,और $1 > 0$ है। अतः,सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ अंतराल पर हमेशा धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,अधिकतम मान अंतराल के दाहिने अंतिम बिंदु $x = 2$ पर प्राप्त होता है।
$f(2)$ की गणना करने पर:
$f(2) = e^2 + 2 \ln 2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
$A^{-1}$ के अस्तित्व के लिए सारणिक $|A| = a - b \neq 0$ होना चाहिए,अर्थात $a \neq b$।
$A$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{a-b} \begin{bmatrix} 1 & -b \\ -1 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a-b} & -\frac{b}{a-b} \\ -\frac{1}{a-b} & \frac{a}{a-b} \end{bmatrix}$ है।
$A^{-1}$ के सभी अवयव पूर्णांक होने के लिए,प्रत्येक अवयव को पूर्णांक होना चाहिए।
इसके लिए $(a-b)$ को $1$,$-b$,$-1$,और $a$ का विभाजक होना चाहिए।
विशेष रूप से,$(a-b)$ को $1$ का विभाजक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a-b = 1$ या $a-b = -1$।
स्थिति $1$: $a-b = 1 \implies a = b+1$।
चूंकि $-50 \leq b \leq 50$ है,इसलिए $b$ के लिए $101$ संभावित मान हैं,और प्रत्येक $b$ के लिए $a$ का मान अद्वितीय है।
स्थिति $2$: $a-b = -1 \implies a = b-1$।
इसी प्रकार,$-50 \leq b \leq 50$ के लिए,$b$ के $101$ संभावित मान हैं,और प्रत्येक $b$ के लिए $a$ का मान अद्वितीय है।
अतः,ऐसे कुल आव्यूहों की संख्या $101 + 101 = 202$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है ताकि प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग $1$ हो। इसे $A \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\mathbf{u} = [1, 1, 1]^T$ एक स्तंभ सदिश है जिसमें सभी तत्व $1$ हैं।
चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,हम दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$A^{-1} (A \cdot \mathbf{u}) = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
$(A^{-1} A) \cdot \mathbf{u} = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
$I \cdot \mathbf{u} = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
$\mathbf{u} = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
यह समीकरण दर्शाता है कि $A^{-1}$ की प्रत्येक पंक्ति के तत्वों का योग सदिश $\mathbf{u}$ के संगत तत्व के बराबर है,जो $1$ है।
अतः,$A^{-1}$ की प्रत्येक पंक्ति का योग $1$ है।

(C) दिया गया है कि सभी $x, y \in R$ के लिए $|f(x) - f(y)| \geq |x - y|$ है।
सबसे पहले,हम दिखाते हैं कि $f$ एकैकी है। मान लीजिए कि कुछ $x_1, x_2 \in R$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। तो $|f(x_1) - f(x_2)| = 0$ होगा। दी गई असमिका से,$0 \geq |x_1 - x_2|$,जिसका अर्थ है कि $|x_1 - x_2| = 0$,इसलिए $x_1 = x_2$ है। अतः,$f$ एकैकी है।
आगे,हम दिखाते हैं कि $f$ आच्छादक है। चूँकि $f$ सतत और एकैकी है,$f$ को सख्ती से एकदिष्ट (strictly monotonic) होना चाहिए। यदि $f$ सख्ती से वर्धमान है,तो $x > y$ के लिए $f(x) - f(y) \geq x - y$ होगा। जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$ होगा। यदि $f$ सख्ती से ह्रासमान है,तो $x > y$ के लिए $f(y) - f(x) \geq x - y$ होगा,जिसका अर्थ है कि $f(x) - f(y) \leq -(x - y)$। जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to -\infty$,और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to \infty$ होगा। दोनों ही स्थितियों में,$f$ का परिसर $(-\infty, \infty) = R$ है। अतः,$f$ आच्छादक है।
इसलिए,$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ जहाँ $x \in (0, 1)$ और $f(0) = 1$. हमें $\lim_{n \to \infty} I_n$ ज्ञात करना है जहाँ $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ है।
मान लीजिए $nx = t$,तो $x = t/n$ और $dx = dt/n$ होगा।
जब $x$ का मान $0$ से $1/n$ तक जाता है,तो $t$ का मान $0$ से $1$ तक जाता है।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I_n = \sqrt{n} \int_0^1 f(t/n) e^{-t} \frac{dt}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 \frac{t/n}{\sin(t/n)} e^{-t} dt$.
हम जानते हैं कि $\lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = 1$ होता है। जैसे $n \to \infty$,$t/n \to 0$ होता है,जहाँ $t \in [0, 1]$ है।
अतः,$\lim_{n \to \infty} \frac{t/n}{\sin(t/n)} = 1$.
समाकल चिह्न के अंतर्गत सीमा के गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\lim_{n \to \infty} I_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 (1) e^{-t} dt = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} [1 - e^{-1}] = 0 \times (1 - e^{-1}) = 0$.

(B) माना $I = \int \limits_1^3 \left((x-2)^4 \sin^3(x-2) + (x-2)^{2019} + 1\right) dx$ $(i)$.
गुणधर्म $\int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $b=3$,हमें $a+b-x = 4-x$ प्राप्त होता है।
$x$ को $4-x$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \limits_1^3 \left((4-x-2)^4 \sin^3(4-x-2) + (4-x-2)^{2019} + 1\right) dx$
$I = \int \limits_1^3 \left((2-x)^4 \sin^3(2-x) + (2-x)^{2019} + 1\right) dx$
चूँकि $(2-x)^4 = (x-2)^4$ और $\sin^3(2-x) = -\sin^3(x-2)$,तथा $(2-x)^{2019} = -(x-2)^{2019}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \limits_1^3 \left(-(x-2)^4 \sin^3(x-2) - (x-2)^{2019} + 1\right) dx$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int \limits_1^3 \left(((x-2)^4 \sin^3(x-2) + (x-2)^{2019} + 1) + (-(x-2)^4 \sin^3(x-2) - (x-2)^{2019} + 1)\right) dx$
$2I = \int \limits_1^3 (1 + 1) dx = \int \limits_1^3 2 dx = 2[x]_1^3 = 2(3-1) = 4$.
अतः,$I = 2$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$।
ध्यान दें कि $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)^3 + (x-1)$।
अतः,$f(x) = \sin x + ((x-1)^3 + (x-1)) \cos x$।
अवकलन करने पर:
$f'(x) = \cos x + [3(x-1)^2 + 1] \cos x - [(x-1)^3 + (x-1)] \sin x$
$f'(x) = \cos x [3(x-1)^2 + 2] + (1-x)((x-1)^2 + 1) \sin x$।
$x \in (0, 1)$ के लिए,$\cos x > 0$,$\sin x > 0$,$(1-x) > 0$,और कोष्ठक में दिए गए पद धनात्मक हैं।
इस प्रकार,$f'(x) > 0$ सभी $x \in (0, 1)$ के लिए,जिसका अर्थ है कि $f$ निरंतर वर्धमान (monotone) है।
साथ ही,$f(0) = -2 < 0$ और $f(1) = \sin(1) > 0$।
चूंकि $f$ सतत है और $(0, 1)$ में अपना चिह्न बदलता है,Intermediate Value Theorem के अनुसार,$f$ का $(0, 1)$ में एक शून्य है।
अतः,कथन $I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

(D) मान लीजिए $n(A) = 10$ है। $A$ से $A$ तक संबंधों की कुल संख्या $2^{n^2} = 2^{100}$ है।
किसी संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,$(a, a)$ के रूप के सभी $10$ अवयव संबंध में होने चाहिए।
$A \times A$ में $100 - 10 = 90$ शेष अवयव हैं जो या तो मौजूद हो सकते हैं या नहीं।
अतः,स्वतुल्य संबंधों की कुल संख्या $2^{90}$ है।
किसी संबंध के सममित होने के लिए,यदि $(a, b)$ मौजूद है,तो सभी $a \neq b$ के लिए $(b, a)$ भी मौजूद होना चाहिए।
$\{(a, b), (b, a)\}$ के रूप के ऐसे $45$ जोड़े हैं।
स्वतुल्य और सममित संबंध के लिए,$10$ विकर्ण अवयव $(a, a)$ मौजूद होने चाहिए,और $45$ जोड़ों में से प्रत्येक के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं (या तो दोनों मौजूद हैं या दोनों अनुपस्थित हैं)।
अतः,स्वतुल्य और सममित संबंधों की संख्या $2^{45}$ है।
स्वतुल्य लेकिन सममित नहीं होने वाले संबंधों की संख्या,कुल स्वतुल्य संबंधों में से स्वतुल्य और सममित संबंधों की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है।
आवश्यक संख्या $= 2^{90} - 2^{45}$.

(C) दिया गया है $I_n = \int_0^\pi \frac{x \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I_n = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin^{2n}(\pi - x)}{\sin^{2n}(\pi - x) + \cos^{2n}(\pi - x)} dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I_n = \int_0^\pi \frac{\pi \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx$
गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ का उपयोग करने पर:
$2I_n = 2\pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \implies I_n = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx \quad \dots (iii)$
इसी प्रकार,$I_n = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2n} x}{\cos^{2n} x + \sin^{2n} x} dx \quad \dots (iv)$
$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$2I_n = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} dx = \pi \int_0^{\pi/2} 1 dx = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$
अतः,$I_n = \frac{\pi^2}{4}$,जो $n$ से स्वतंत्र है। इसलिए,सभी $m, n \in N$ के लिए $I_m = I_n$।

(C) दिया गया है $f(\theta) = \sin(\cos \theta)$.
$f'(\theta) = -\cos(\cos \theta) \cdot \sin \theta$.
चूँकि $\theta \in [0, \pi]$ के लिए $\cos(\cos \theta) > 0$ और $\sin \theta \geq 0$ है,इसलिए $f'(\theta) \leq 0$ है।
अतः,$f(\theta)$ एक ह्रासमान फलन है।
$a = f(0) = \sin(1)$ और $b = f(\pi) = \sin(-1) = -\sin(1)$ है।
दिया गया है $g(\theta) = \cos(\sin \theta)$.
$g'(\theta) = -\sin(\sin \theta) \cdot \cos \theta$.
$\theta \in [0, \pi/2)$ के लिए,$\cos \theta > 0$ और $\sin(\sin \theta) > 0$ है,इसलिए $g'(\theta) < 0$ (ह्रासमान)।
$\theta \in (\pi/2, \pi]$ के लिए,$\cos \theta < 0$ और $\sin(\sin \theta) > 0$ है,इसलिए $g'(\theta) > 0$ (वर्धमान)।
$c = \max\{g(0), g(\pi)\} = \cos(0) = 1$ है।
$d = g(\pi/2) = \cos(1)$ है।
चूँकि $0 < 1 < \pi/2$ है,इसलिए $\sin(1) < 1$ और $\cos(1) > 0$ है।
मानों की तुलना करने पर: $b = -\sin(1) \approx -0.84$,$d = \cos(1) \approx 0.54$,$a = \sin(1) \approx 0.84$,$c = 1$ है।
अतः,$b < d < a < c$ है।

(B) माना $I = \int \limits_1^{\sqrt{2}+1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^4}} \, dx$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$x + \frac{1}{x} = t$ लेने पर,$(1 - \frac{1}{x^2}) \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
यहाँ $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ है।
जब $x=1$ है,तो $t=2$ और जब $x=\sqrt{2}+1$ है,तो $t = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - 2}} = \int \limits_2^{2\sqrt{2}} \frac{dt}{t \sqrt{t^2 - (\sqrt{2})^2}}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-a^2}} = \frac{1}{a} \sec^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sec^{-1}(\frac{t}{\sqrt{2}}) \right]_2^{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} [\sec^{-1}(2) - \sec^{-1}(\sqrt{2})] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}] = \frac{\pi}{12\sqrt{2}}$.

(C) एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य हो।
$0$ के बिना $4$-अंकीय संख्या के लिए,अंकों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
यदि संख्या में $4$ या $8$ है,तो यह $4$ से विभाज्य संख्या बना सकती है। इसलिए $B$ में मौजूद संख्या में $4$ या $8$ नहीं होना चाहिए।
यदि संख्या में $2$ या $6$ है,तो वे भी $4$ से विभाज्य जोड़ी बना सकते हैं।
अतः,$B$ में केवल विषम अंक ${1, 3, 5, 7, 9}$ हो सकते हैं।
कुल संख्याएँ $5^4 = 625$ हैं।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{16}{1641}$ है।