किसी भी वास्तविक संख्या r के लिए, मान लीजिए A | vedclass

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Question

(D) समुच्चय को $A_r = \{e^{i \pi r n} : n \in \mathbb{N}\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$A_1$ के लिए, $e^{i \pi n} = (e^{i \pi})^n = (-1)^n$। चूँक

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$A_{0.3}$ एक परिमित समुच्चय है और $A_{1/\pi}$ एक अनंत समुच्चय है

Vedclass · Answer

(D) समुच्चय को $A_r = \{e^{i \pi r n} : n \in \mathbb{N}\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$A_1$ के लिए, $e^{i \pi n} = (e^{i \pi})^n = (-1)^n$। चूँकि $n \in \mathbb{N}$, समुच्चय $\{-1, 1\}$ है, जो परिमित है।$A_{0.3}$ के लिए, $e^{i \pi (0.3) n} = e^{i \pi (3/10) n}$। यह समुच्चय परिमित है क्योंकि $e^{i \pi (3/10) n}$ का मान $n$ के प्रत्येक $20$ मानों के बाद दोहराता है।$A_{1/\pi}$ के लिए, $e^{i \pi (1/\pi) n} = e^{i n} = \cos(n) + i \sin(n)$। चूँकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है और $1$, $\pi$ का परिमेय गुणज नहीं है, इसलिए $e^{in}$ के मान प्रत्येक $n \in \mathbb{N}$ के लिए अलग-अलग हैं, जिससे यह समुच्चय अनंत हो जाता है।अतः, $A_{0.3}$ परिमित है और $A_{1/\pi}$ अनंत है।इसलिए, विकल्प $(d)$ सही है।

किसी भी वास्तविक संख्या $r$ के लिए, मान लीजिए $A_r = \{e^{i \pi r n} : n \in \mathbb{N}\}$ सम्मिश्र संख्याओं का एक समुच्चय है। तब,

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