KVPY 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) રીંગ લપસ્યા વગર ગબડી રહી હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ અંતિમ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા = સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા + ચાકગતિની ગતિઊર્જા
$\Rightarrow K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m R^{2}$ અને શુદ્ધ ગબડવાની શરત $v = R \omega$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = v / R$.
આ કિંમતોને ઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (m R^{2}) (v / R)^{2}$
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = m v^{2}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ ગતિઊર્જા શૂન્ય થાય છે,તેથી કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$m v^{2} = m g h$
$h = \frac{v^{2}}{g}$

(A) અચાનક થતા વિસ્તરણમાં,સમયગાળો ખૂબ જ ટૂંકો હોય છે.
પ્રક્રિયા ખૂબ ઝડપથી થતી હોવાથી,વાયુ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માના વિનિમય માટે પૂરતો સમય મળતો નથી.
તેથી,ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ થાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જે થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં તંત્રમાં ઉષ્માનો પ્રવેશ કે બહાર નીકળતી નથી,તેને એડિયાબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,છિદ્રમાંથી વાયુના અણુઓના પ્રસરણનો દર બંને બાજુથી સમાન હોવો જોઈએ. એવા છિદ્ર માટે જ્યાં $d \gg \lambda$ હોય,પ્રવાહ હાઇડ્રોડાયનેમિક પરિસ્થિતિઓ દ્વારા સંચાલિત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે બંને ભાગોમાં દબાણ સમાન હોવું જોઈએ,એટલે કે $P_{I} = P_{II}$.
વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi d_{m}^{2}P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d_{m}$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{T}{P}$.
આ સ્થિતિ માટે સ્થાયી અવસ્થામાં $P_{I} = P_{II}$ હોવાથી,સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{I}}{\lambda_{II}} = \frac{T_{I} / P_{I}}{T_{II} / P_{II}} = \frac{T_{I}}{T_{II}}$
આપેલ તાપમાનની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_{I}}{\lambda_{II}} = \frac{150}{300} = 0.5$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) કણની સ્થિતિ ઉર્જા $U(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંતુલન બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે $U(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dU}{dx} = x^3 - x = x(x^2 - 1) = 0$.
આનાથી $x = 0$ અને $x = \pm 1$ પર નિર્ણાયક બિંદુઓ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d^2U}{dx^2} = 3x^2 - 1$.
$x = 0$ પર,$\frac{d^2U}{dx^2} = -1$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
$x = \pm 1$ પર,$\frac{d^2U}{dx^2} = 2$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
સ્થિતિ ઉર્જાનો આલેખ $x = 0$ પર અવરોધ દ્વારા અલગ પડેલા બે કૂવા દર્શાવે છે. કારણ કે કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E$ નાની અને ઋણ છે (ખાસ કરીને,$E < U(0) = 0$),કણ એક સ્થિતિ ઉર્જાના કૂવામાં ફસાયેલો છે.
આપેલ છે કે $t = 0 \, s$ પર,કણ $x = -0.5 \, m$ પર છે,તેથી તે ડાબી બાજુના સ્થિતિ ઉર્જાના કૂવામાં સ્થિત છે. કારણ કે કુલ ઉર્જા $x = 0$ પરના સ્થિતિ ઉર્જા અવરોધ કરતા ઓછી છે,કણ અવરોધને ઓળંગી શકશે નહીં અને $x = -1.0 \, m$ થી $x = 0.0 \, m$ ના વિસ્તારમાં ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સની વચ્ચે સીમિત રહેશે.

(D) બ્લડ પ્રેશરને ગેજ પ્રેશર તરીકે માપવામાં આવે છે.
વાસ્તવિક દબાણ $=$ વાતાવરણીય દબાણ $+$ ગેજ પ્રેશર.
આપેલ છે કે,વાતાવરણીય દબાણ $\approx 760 \,mm$ of $Hg$ અને ગેજ પ્રેશર $= 190 \,mm$ of $Hg$ છે.
તેથી,વાસ્તવિક દબાણ $= 760 \,mm$ of $Hg + 190 \,mm$ of $Hg = 950 \,mm$ of $Hg$ થાય.
હવે,વાતાવરણીય દબાણ સાથેનો ગુણોત્તર ગણતા:
$\frac{950 \,mm \text{ of } Hg}{760 \,mm \text{ of } Hg} = 1.25$.
આમ,વાસ્તવિક દબાણ એ વાતાવરણીય દબાણના $1.25$ ગણું છે.

(B) વક્ર પથ પર ગતિ કરતા કણના વેગ $v$ ને ત્રિજ્યાવર્તી $(v_r = dr/dt)$ અને સ્પર્શકીય (અથવા ટ્રાન્સવર્સ,$v_{\theta} = r(d\theta/dt)$) વેગ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
પરિણામી વેગ $v$ અને ત્રિજ્યાવર્તી વેગ $v_r$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = v_{\theta} / v_r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{\theta}$ અને $v_r$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\tan \alpha = \frac{r(d\theta/dt)}{dr/dt} = r \cdot \frac{d\theta}{dr} = \frac{r}{dr/d\theta}$
અહીં આપેલ છે કે $dr/d\theta = r$,તેથી:
$\tan \alpha = \frac{r}{r} = 1$
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(B) ઘન પદાર્થમાં બે પરમાણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ તેમના અંતર $r$ ના વિધેય તરીકે એક અસંમિત વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જેમ જેમ ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,તેમ પરમાણુઓની કંપન ઊર્જા વધે છે.
સ્થિતિ ઊર્જા વક્રની અસંમિતતાને કારણે,પરમાણુઓ ઊંચી ઊર્જા પર મોટા કંપનવિસ્તાર સાથે કંપન કરે છે.
કારણ કે વક્ર $r < r_0$ (જ્યાં $r_0$ એ સંતુલન અંતર છે) માટે વધુ ઢાળવાળો છે અને $r > r_0$ માટે ઓછો ઢાળવાળો છે,તેથી જેમ કુલ ઊર્જા વધે છે તેમ પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધે છે.
પરમાણુઓના સરેરાશ અંતરમાં આ વધારો ઘન પદાર્થના મેક્રોસ્કોપિક ઉષ્મીય પ્રસરણ તરીકે જોવા મળે છે.

(B) અવાજનું સ્તર (ડેસિબલમાં) $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં $I$ એ અવાજની તીવ્રતા છે અને $I_0$ એ સંદર્ભ તીવ્રતા છે.
એન્ટિલોગ લેતા,આપણને મળે છે $\frac{I}{I_0} = 10^{\beta/10}$,જેનો અર્થ છે $I = I_0 \times 10^{\beta/10}$.
આપેલ રેખીય સંબંધ $\beta = kf + c$ છે,જ્યાં $f$ એ $kHz$ માં આવૃત્તિ છે:
$f = 1 \, kHz$ પર,$\beta = 20 \implies 20 = k(1) + c \quad (i)$.
$f = 9 \, kHz$ પર,$\beta = 60 \implies 60 = k(9) + c \quad (ii)$.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $40 = 8k \implies k = 5$.
$k = 5$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $20 = 5 + c \implies c = 15$.
આમ,$f = 5 \, kHz$ પર,$\beta = 5(5) + 15 = 40 \, dB$.
હવે,તીવ્રતાની ગણતરી કરતા:
$I_{1 \, kHz} = I_0 \times 10^{20/10} = I_0 \times 10^2$.
$I_{5 \, kHz} = I_0 \times 10^{40/10} = I_0 \times 10^4$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_{5 \, kHz}}{I_{1 \, kHz}} = \frac{10^4}{10^2} = 100$ છે. $5 \, kHz$ પરની તીવ્રતા $1 \, kHz$ પરની તીવ્રતા કરતા $100$ ગણી છે.

(C) જ્યારે ફુગ્ગાને આડી દિશામાં થોડું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળનો આડો ઘટક જમીન સાથે જોડાયેલા દોરીના છેડાની સાપેક્ષમાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે. આ ટોર્ક ફુગ્ગાના આડા દોલનો ઉત્પન્ન કરે છે.
પુનઃસ્થાપક ટોર્ક નીચે મુજબ છે:
$\tau_1 = F_b \sin \theta \times l = V(\rho_{air} - \rho_{He})g l \sin \theta$
નાના કોણીય સ્થાનાંતર માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી:
$\tau_1 = V(\rho_{air} - \rho_{He})g l \theta$
ફુગ્ગા પરનું જડત્વનું ટોર્ક:
$\tau_2 = I \alpha = (m l^2) \alpha = (V \rho_{He}) l^2 \alpha$
બંને ટોર્કને સરખાવતા (પુનઃસ્થાપક પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લેતા):
$V \rho_{He} l^2 \alpha = -V(\rho_{air} - \rho_{He}) g l \theta$
$\alpha = -\left(\frac{\rho_{air} - \rho_{He}}{\rho_{He}}\right) \frac{g}{l} \theta$
સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega^2 = \left(\frac{\rho_{air} - \rho_{He}}{\rho_{He}}\right) \frac{g}{l}$
આવર્તકાળ $T$:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\left(\frac{\rho_{He}}{\rho_{air} - \rho_{He}}\right) \frac{l}{g}}$

(A) દળ $m_1$ ની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ $m_1$ અને $m_2$ ની ગતિ ઊર્જા અને ગરગડીની ચાકગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેમજ $m_2$ ની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 g h = m_2 g h + \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં,$m_1$ એ $h$ અંતર નીચે પડે છે,$m_2$ એ $h$ અંતર ઉપર જાય છે,$v$ એ બંને દળ જ્યારે એકબીજાને પસાર કરે છે ત્યારની ઝડપ છે,અને $\omega = \frac{v}{R}$ એ ગરગડીની કોણીય ઝડપ છે.
સમીકરણમાં $\omega = \frac{v}{R}$ મૂકતા:
$(m_1 - m_2) g h = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2$
$(m_1 - m_2) g h = \frac{1}{2} v^2 \left(m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}\right)$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{2 g h (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}$
$v = \sqrt{\frac{2 g h (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}}$
આમ,ઝડપ $v$ એ $\sqrt{\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) આપેલ $T-S$ ચક્રમાં:
$b-c$ અને $a-d$ સમતાપી પ્રક્રિયાઓ છે। આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U = nC_vT)$, તેથી આ પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન $U$ અચળ રહે છે। આમ, $U-V$ આલેખ પર, આ આડી રેખાઓ તરીકે દેખાય છે.
$a-b$ અને $c-d$ સમએન્ટ્રોપિક (એડિબેટિક) પ્રક્રિયાઓ છે $(S = \text{અચળ})$. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$. કારણ કે $U \propto T$, આપણી પાસે $UV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે, જેનો અર્થ છે કે $U \propto V^{1-\gamma}$। આ $U-V$ આલેખ પર એક વક્ર દર્શાવે છે.
પ્રક્રિયાઓની સરખામણી કરતા: $b-c$ માં, $T$ ઊંચું છે, તેથી $U$ ઊંચું છે। $a-d$ માં, $T$ નીચું છે, તેથી $U$ નીચું છે। આમ, $U-V$ આલેખ પરના ચક્રમાં બે અલગ-અલગ $U$ સ્તરો પર બે આડી રેખાઓ હોય છે, જે બે વક્રો દ્વારા જોડાયેલ હોય છે। આ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આકૃતિ સાથે મેળ ખાય છે।

(A) પ્રતિવર્તી સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $dQ = dU + dW = 0$ છે,તેથી $dU = -dW$.
આપેલ છે કે $dU = C_V dT$ અને $dW = P dV = \frac{RT}{V} dV$ (એક મોલ આદર્શ વાયુ માટે).
તેથી,$C_V dT = -\frac{RT}{V} dV$.
$C_V = \frac{3R(1 + aRT)}{2}$ મૂકતા:
$\frac{3R(1 + aRT)}{2} dT = -\frac{RT}{V} dV$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{3(1 + aRT)}{2T} dT = -\frac{R}{V} dV$.
$\frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\frac{R}{V} dV$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\int \frac{R}{V} dV$.
$\frac{3}{2} (\ln T + aRT) = -R \ln V + \text{અચળાંક}$.
$\ln T^{3/2} + \frac{3}{2} aRT = -\ln V^R + \text{અચળાંક}$.
$\ln (T^{3/2} V^R) + \frac{3}{2} aRT = \text{અચળાંક}$.
$R$ અચળ હોવાથી,આપણે $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{અચળ}$ લખી શકીએ છીએ.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{અચળ}$ છે.

(A) આપણે ઉગમબિંદુને $P$ બિંદુ પર પસંદ કરીએ છીએ. નાના ઘનના શિરોબિંદુ $O$ ના યામ $(b, b, b)$ છે.
ધારો કે ઘનની દળ ઘનતા $\rho$ છે.
મોટા ઘનનું દળ $M_1 = \rho a^3$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ પર છે.
દૂર કરેલા નાના ઘનનું દળ $M_2 = \rho b^3$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(\frac{b}{2}, \frac{b}{2}, \frac{b}{2})$ પર છે.
બાકી રહેલા ઘનના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે ઋણ દળના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$x_{CM} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2} = b$
$\Rightarrow \frac{\rho a^3 (a/2) - \rho b^3 (b/2)}{\rho a^3 - \rho b^3} = b$
$\Rightarrow \frac{a^4 - b^4}{2(a^3 - b^3)} = b$
$\Rightarrow a^4 - b^4 = 2b(a^3 - b^3)$
$b^4$ વડે ભાગતા અને $X = a/b$ મૂકતા:
$X^4 - 1 = 2(X^3 - 1)$
$X^4 - 2X^3 + 1 = 0$
$X \neq 1$ હોવાથી,$(X-1)$ વડે ભાગતા:
$(X-1)(X^3 - X^2 - X - 1) = 0$
આમ,$X^3 - X^2 - X - 1 = 0$.

(D) વ્યક્તિનું સ્થાનાંતર સદિશ $r = 3.18 \,km$ છે જે પૂર્વથી ઉત્તર તરફ $\theta = 25.0^{\circ}$ ના ખૂણે છે.
ઉત્તર દિશામાં અને ત્યારબાદ પૂર્વ દિશામાં ચાલીને સમાન સ્થાને પહોંચવા માટે,આપણે સ્થાનાંતર સદિશના લંબ ઘટકો મેળવવા પડશે.
પૂર્વ દિશા (x-અક્ષ) તરફનો ઘટક $x = r \cos \theta = 3.18 \times \cos 25.0^{\circ} \approx 3.18 \times 0.9063 = 2.88 \,km$ છે.
ઉત્તર દિશા (y-અક્ષ) તરફનો ઘટક $y = r \sin \theta = 3.18 \times \sin 25.0^{\circ} \approx 3.18 \times 0.4226 = 1.34 \,km$ છે.
તેથી,તે જ સ્થાને પહોંચવા માટે વ્યક્તિએ $1.34 \,km$ ઉત્તર તરફ અને $2.88 \,km$ પૂર્વ તરફ ચાલવું પડશે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 3.95 \,m$,$\Delta l = 0.05 \,m$. પહોળાઈ $b = 3.05 \,m$,$\Delta b = 0.05 \,m$.
ક્ષેત્રફળ $A = l \times b = 3.95 \times 3.05 = 12.0475 \,m^2 \approx 12.05 \,m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta A = A \times \left( \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} \right) = 12.0475 \times \left( \frac{0.05}{3.95} + \frac{0.05}{3.05} \right)$.
$\Delta A = 12.0475 \times (0.012658 + 0.016393) = 12.0475 \times 0.029051 \approx 0.35 \,m^2$.
યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$\Delta A \approx 0.34 \,m^2$ મળે છે.
આમ,ફ્લોરનું ક્ષેત્રફળ $12.05 \pm 0.34 \,m^2$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $v$ ઝડપ ધરાવતા પ્રથમ પથ માટે:
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi R}{v} \Rightarrow v = \frac{2\pi R}{T}$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R}$.
$R' = 2R$ ત્રિજ્યા અને $v'$ ઝડપ ધરાવતા બીજા પથ માટે:
નવો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c' = 8a_c = \frac{v'^2}{2R}$.
સમીકરણમાં $a_c = \frac{v^2}{R}$ મૂકતા: $\frac{v'^2}{2R} = 8 \left( \frac{v^2}{R} \right) \Rightarrow v'^2 = 16v^2 \Rightarrow v' = 4v$.
નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે:
$T' = \frac{2\pi R'}{v'} = \frac{2\pi (2R)}{4v} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi R}{v} \right) = \frac{T}{2}$.

(B) આઉટપુટ પાવર $P$ એ પડતા પાણીની પ્રતિ સેકન્ડ સ્થિતિ ઊર્જાના $50 \%$ જેટલો છે.
પાવર $P = 0.50 \times \left( \frac{mgh}{t} \right)$.
દળ $m = \rho V$ હોવાથી,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(1000 \,kg/m^3)$ છે અને $V$ એ કદ છે,તેથી:
$P = 0.50 \times \left( \frac{V}{t} \right) \rho g h$.
આપેલ છે કે $P = 1.00 \times 10^9 \,W$,$g = 10 \,ms^{-2}$,$\rho = 1000 \,kg/m^3$,અને $h = 500 \,m$.
પ્રવાહ દર $\frac{V}{t}$ માટે સૂત્ર:
$\frac{V}{t} = \frac{P}{0.50 \times \rho \times g \times h}$.
$\frac{V}{t} = \frac{1.00 \times 10^9}{0.50 \times 1000 \times 10 \times 500}$.
$\frac{V}{t} = \frac{1.00 \times 10^9}{2.5 \times 10^6} = 400 \,m^3/s$.

(C) દડાની ગતિને ત્રણ ભાગમાં વહેંચી શકાય છે:
$1$. $A$ થી $B$ સુધી: સપાટી સમક્ષિતિજ છે,તેથી દડો અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. અંતર-સમયનો આલેખ અચળ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
$2$. $B$ થી $C$ સુધી: સપાટી ઢળતી છે,તેથી ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે દડો પ્રવેગિત થાય છે. વેગ વધે છે,અને અંતર-સમયનો આલેખ વધતા ઢાળ સાથેનો પરવલયાકાર વળાંક છે.
$3$. $C$ થી $D$ સુધી: સપાટી ફરીથી સમક્ષિતિજ છે,તેથી દડો નવા અચળ વેગથી (પ્રારંભિક વેગ કરતા વધારે) ગતિ કરે છે. અંતર-સમયનો આલેખ $A B$ વિભાગ કરતા વધારે અચળ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ આ વર્તનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં પ્રારંભિક સીધા વિભાગ પછી ઢાળ વધે છે અને ત્યારબાદ ઉચ્ચ મૂલ્ય પર અચળ રહે છે.

(B) ધારો કે જમીનથી બિંદુની ઊંચાઈ $h$ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે જે $u$ ઝડપે નીચે ફેંકવામાં આવે છે:
$-h = -u t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2 \Rightarrow h = u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 \quad \dots(i)$
બીજા પથ્થર માટે જે $u$ ઝડપે ઉપર ફેંકવામાં આવે છે:
$-h = u t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2 \Rightarrow h = \frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2 \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2$
$u(t_1 + t_2) = \frac{1}{2} g (t_2^2 - t_1^2) = \frac{1}{2} g (t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$
$u = \frac{g}{2} (t_2 - t_1)$
બીજા પથ્થર દ્વારા જમીનથી પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ એ બિંદુની ઊંચાઈ $h$ અને બિંદુથી ઉપર પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈનો સરવાળો છે:
$H = h + \frac{u^2}{2g}$
$(ii)$ માંથી $h$ અને $u$ ની કિંમત મૂકતા:
$H = (\frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2) + \frac{u^2}{2g}$
$H = \frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{g}{2}(t_2 - t_1)t_2 + \frac{1}{2g} \cdot \frac{g^2}{4}(t_2 - t_1)^2$
$H = \frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{1}{2} g t_2^2 + \frac{1}{2} g t_1 t_2 + \frac{g}{8}(t_2^2 - 2 t_1 t_2 + t_1^2)$
$H = \frac{g}{8}(4 t_1 t_2 + t_2^2 - 2 t_1 t_2 + t_1^2) = \frac{g}{8}(t_1^2 + 2 t_1 t_2 + t_2^2) = \frac{g}{8}(t_1 + t_2)^2$

(A) આપેલ પોટેન્શિયલ $V(r) = K r^{-n}$ છે.
કણ પર લાગતું બળ $F$ એ પોટેન્શિયલના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ દ્વારા મળે છે:
$F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{d}{dr}(K r^{-n}) = -K(-n)r^{-n-1} = \frac{nK}{r^{n+1}}$.
$m$ દળ ધરાવતો કણ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ આ કેન્દ્રીય બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = F = \frac{nK}{r^{n+1}}$.
પદોને ગોઠવતા:
$v^2 = \frac{nK}{m} \cdot \frac{r}{r^{n+1}} = \frac{nK}{m} \cdot r^{-n}$.
આમ,$v^2 r^n = \frac{nK}{m}$.
અહીં $n$,$K$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$v^2 r^n$ નું મૂલ્ય અચળ રહેશે.
તેથી,$v_1^2 r_1^n = v_2^2 r_2^n$.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
થર્મોમીટરમાં વપરાતું પ્રવાહી સરળતાથી જોઈ શકાય તેવું,સમાન રીતે અને નોંધપાત્ર રીતે વિસ્તરણ પામતું અને ઓરડાના તાપમાને પ્રવાહી અવસ્થામાં રહેવું જોઈએ.
પારાનો ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેનો ઉષ્મીય પ્રસરણાંક વધારે છે,તે ચમકદાર છે (જેથી તેને વાંચવું સરળ બને છે),અને તે ઓરડાના તાપમાને પ્રવાહી છે.
વધારે ઘનતા એ પારાનો ભૌતિક ગુણધર્મ છે,પરંતુ તે ક્લિનિકલ થર્મોમીટરમાં તેના ઉપયોગ માટેની જરૂરિયાત કે કારણ નથી.

(A) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $d$ અંતરે રહેલી અક્ષ વિશે પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ઊંચાઈ ધરાવતી એક સમાન ત્રિકોણીય લેમિના માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના પાયાથી $h/3$ અંતરે આવેલું હોય છે.
જો અક્ષ પાયાથી $x$ અંતરે હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અક્ષનું અંતર $d = |x - h/3|$ થાય.
આ કિંમત પ્રમેયમાં મૂકતા,આપણને $I = I_{CM} + M(x - h/3)^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે જેનું શિરોબિંદુ $x = h/3$ પર છે,જ્યાં જડત્વની ચાકમાત્રા લઘુત્તમ $(I = I_{CM})$ હોય છે.
જેમ $x$ ની કિંમત $0$ થી $h$ સુધી વધે છે,તેમ $I$ નું મૂલ્ય પહેલા $x = h/3$ સુધી ઘટે છે અને ત્યારબાદ $x$ નું મૂલ્ય $h/3$ થી વધતા તે વધે છે.
તેથી,જે આલેખ $x = h/3$ પર લઘુત્તમ મૂલ્ય ધરાવતો પરવલયાકાર વક્ર દર્શાવે છે તે સાચો છે.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB=3 \,cm, AC=4 \,cm$ અને $BC=5 \,cm$ છે. $3^2 + 4^2 = 5^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $A$ પાસે કાટખૂણો છે.
પ્લેટનું દળ $M = 540 \,g$ છે. પ્લેટનું વજન તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ માંથી પસાર થાય છે.
$BC$ બાજુને સમક્ષિતિજ રાખવા માટે,પ્લેટના વજનને કારણે $A$ બિંદુ પર લાગતા ટોર્કને શિરોબિંદુ પર ઉમેરેલા વધારાના દળ $m_1$ દ્વારા સંતુલિત કરવું પડે.
$AE$ એ $BC$ પરનો વેધ છે. $\triangle ABC$ માં,$AE = (AB \times AC) / BC = (3 \times 4) / 5 = 2.4 \,cm$.
$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{3^2 - 2.4^2} = 1.8 \,cm$.
$EC = BC - BE = 5 - 1.8 = 3.2 \,cm$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું $A$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાથી સમક્ષિતિજ અંતર $GH = 1.4/3 \,cm$ છે.
સંતુલન માટે,$M \times g \times GH = m_1 \times g \times BE$.
$540 \times (1.4/3) = m_1 \times 1.8$.
$180 \times 1.4 = m_1 \times 1.8$.
$252 = 1.8 \times m_1 \Rightarrow m_1 = 140 \,g$ જે $B$ પર ઉમેરવું જોઈએ.

(C) ગોળીની ગતિઊર્જા ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે ગોળી અને મીણ બંનેનું તાપમાન વધારે છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} m_b v_b^2 = (m_w c_w + m_b c_b) \Delta T$
આપેલ છે:
$m_b = 20 \,g = 0.02 \,kg$,$v_b = 2000 \,m/s$,$c_b = 5000 \,J/(kg \cdot ^{\circ}C)$
$m_w = 1.0 \,kg$,$c_w = 3000 \,J/(kg \cdot ^{\circ}C)$,$T_i = 25^{\circ}C$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 0.02 \times (2000)^2 = (1.0 \times 3000 + 0.02 \times 5000) \Delta T$
$0.01 \times 4,000,000 = (3000 + 100) \Delta T$
$40,000 = 3100 \Delta T$
$\Delta T = \frac{400}{31} \approx 12.9^{\circ}C$
અંતિમ તાપમાન $T_f = T_i + \Delta T = 25 + 12.9 = 37.9^{\circ}C$.

(A) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
જ્યારે પદાર્થને એક છેડેથી લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે બીજી ભુજા સમક્ષિતિજ રહે છે. દરેક ભુજાનું વજન તેના મધ્યબિંદુ પર કાર્ય કરે છે.
આકૃતિ મુજબ,ટોર્કનું સંતુલન લેતા:
$Mg \times (l/2) \cos \theta = Mg \times (l/2)(1 - 2 \cos \theta)$
$\Rightarrow \cos \theta = 1 - 2 \cos \theta$
$\Rightarrow 3 \cos \theta = 1$
$\Rightarrow \cos \theta = 1/3$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}(1/3)$.

(C) કિરણો પ્રતિબિંબ રચતી વખતે એકબીજાને છેદી શકે છે.
- પ્રકાશના કિરણો એ પ્રકાશના તરંગોનો માર્ગ દર્શાવે છે અને બે તરંગો એકબીજાની લાક્ષણિકતાઓને અસર કર્યા વિના એકબીજાને ઓળંગી શકે છે.
- સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહમાં,વહેતા પ્રવાહીના વિવિધ સ્તરો એકબીજા સાથે ભળતા નથી. તેથી,સમગ્ર પ્રવાહમાં સ્ટ્રીમલાઇન્સ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી.
- વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ ક્ષેત્રની માત્ર એક જ અનન્ય દિશા હોય છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \frac{h c}{\lambda} - \phi_{0}$
તેથી,કાર્ય વિધેય $\phi_{0}$:
$\phi_{0} = \frac{h c}{\lambda} - K_{\max} \quad \dots(i)$
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ફરે છે:
$R = \frac{m v}{q B} \implies v = \frac{q B R}{m}$
મહત્તમ ગતિઊર્જા:
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{q B R}{m} \right)^{2} = \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
$K_{\max}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\phi_{0} = \frac{h c}{\lambda} - \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
નોંધો કે વિકલ્પ $(d)$ આ પરિણામને સમાન છે:
$2 m \left( \frac{q B R}{2 m} \right)^{2} = 2 m \left( \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{4 m^{2}} \right) = \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) જેમ સળિયો જમણી તરફ ગતિ કરે છે,તેમ લૂપનું ક્ષેત્રફળ વધે છે,જેનાથી લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ ફ્લક્સના વધારાનો વિરોધ કરશે. તેથી,પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેશે.
સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = IlB = (\frac{Blv}{R})lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ છે. આ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે ડાબી તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = -F = -\frac{B^2l^2v}{R}$.
આમ,$m \frac{dv}{dt} = -\frac{B^2l^2v}{R}$. આ દર્શાવે છે કે વેગ સમય સાથે ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે,રેખીય રીતે નહીં.
અંતર $x$ શોધવા માટે,આપણે $v \frac{dv}{dx} = -\frac{B^2l^2v}{Rm}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$dv = -\frac{B^2l^2}{Rm} dx$ નું $v_0$ થી $0$ અને $0$ થી $x_{max}$ સુધી સંકલન કરતા:
$v_0 = \frac{B^2l^2}{Rm} x_{max} \Rightarrow x_{max} = \frac{m v_0 R}{B^2l^2}$.
તેથી,કાપેલું અંતર $R$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ વોલ્ટના સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલ વેગમાન $p = \sqrt{2meV}$ છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે,$e$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ સ્થિતિમાન છે.
આ ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ છે.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\beta = \frac{hD}{d\sqrt{2meV}}$ મળે છે. આમ,$\beta \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
જો સ્થિતિમાન બમણું કરવામાં આવે $(V_f = 2V_i)$,તો નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta_f = \frac{\beta_i}{\sqrt{2}} = \frac{\omega}{\sqrt{2}} \approx 0.707\omega$ થાય.
તેથી,પહોળાઈ $0.7\omega$ ની નજીક છે.

(C) જ્યારે ધાતુના ગોળાને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ધાતુમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન એવી રીતે પુનઃવિતરિત થાય છે કે જેથી વાહકની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય.
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની સપાટી સાથેના સંપર્કના દરેક બિંદુએ લંબ હોવી જોઈએ.
જેમ જેમ ક્ષેત્ર રેખાઓ ધાતુના ગોળાની નજીક આવે છે,તેમ તે ગોળાની સપાટીને લંબ (પરપેન્ડીક્યુલર) બનવા માટે વળે છે.
ગોળામાંથી પસાર થયા પછી,તે બીજી બાજુથી બહાર આવે છે,અને ફરીથી સપાટીને લંબ રહે છે.
વિકલ્પ $(c)$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે ક્ષેત્ર રેખાઓ ધાતુના ગોળાની સપાટીને લંબ રૂપે મળવા માટે વળે છે અને બીજી બાજુથી લંબ રૂપે બહાર આવે છે,જ્યારે ગોળાથી દૂર સમાન ક્ષેત્રની પેટર્ન જાળવી રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં રહેલા હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં જવા માટેની જરૂરી ઉર્જા $E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ છે.
જો આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E$ એ $10.2 \,eV$ કરતા ઓછી હોય,તો હાઇડ્રોજન પરમાણુ કોઈ ઉર્જાનું શોષણ કરી શકતું નથી કારણ કે $n=1$ અને $n=2$ ની વચ્ચે કોઈ ઉર્જા સ્તર ઉપલબ્ધ નથી. પરિણામે,આંતરિક ઉર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક રહે છે.
જો ગતિઊર્જા $E$ એ $10.2 \,eV$ કે તેથી વધુ હોય,તો હાઇડ્રોજન પરમાણુ $n=2$ અવસ્થામાં જવા માટે $10.2 \,eV$ ઉર્જાનું શોષણ કરી શકે છે. આ કિસ્સામાં,અથડામણ અસ્થિતિસ્થાપક બને છે.
તેથી,$E < 10.2 \,eV$ માટે અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હશે.

(D) $X$-ray સ્પેક્ટ્રમનો સતત ભાગ ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે કોઈ ઉચ્ચ-ગતિ ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન (જેને ઘણીવાર પ્રોજેક્ટાઇલ અથવા આપાત ઇલેક્ટ્રોન કહેવામાં આવે છે) લક્ષ્ય પરમાણુના ન્યુક્લિયસના વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા ધીમો પડે છે. આ પ્રક્રિયાને બ્રેમસ્ટ્રાલુંગ (Bremsstrahlung) અથવા બ્રેકિંગ રેડિયેશન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ આંતરક્રિયા દરમિયાન,ઇલેક્ટ્રોન તેની ગતિ ઊર્જા ગુમાવે છે,જે $X$-ray ફોટોન સ્વરૂપે ઉત્સર્જિત થાય છે. ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $\Delta K = hf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta K$ એ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે.
આ પ્રક્રિયા મૂળભૂત રીતે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરથી ઉલટી છે. ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,પદાર્થમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે ફોટોનનું શોષણ થાય છે. સતત $X$-ray ના ઉત્પાદનમાં,ફોટોન ઉત્સર્જિત કરવા માટે ઇલેક્ટ્રોનને ધીમો પાડવામાં આવે છે. તેથી,તેને વ્યસ્ત ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર કહેવામાં આવે છે.

(C) ફોટોન માટે,ઉર્જા $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફોટોનની ઉર્જા અને ઇલેક્ટ્રોનના વેગમાનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E}{p} = \frac{hc / \lambda}{h / \lambda} = c$.
અહીં આપેલ છે કે ફોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન બંને માટે તરંગલંબાઇ $\lambda$ સમાન છે,તેથી ગુણોત્તર માત્ર પ્રકાશની ઝડપ $c$ પર આધાર રાખે છે.
$c = 3 \times 10^8 \, m/s$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{E}{p} = 3 \times 10^8 \, m/s$.

(A) જ્યારે પ્રોટોનનું મર્યાદિત દળ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે,ત્યારે ઉર્જાના સમીકરણમાં ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e$ ના બદલે રિડ્યુસ્ડ માસ (reduced mass) $\mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$ લેવામાં આવે છે.
ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{\mu e^4}{8 n^2 \epsilon_0^2 h^2} = \left( \frac{m_p}{m_e + m_p} \right) E_{n, \text{infinite mass}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રિડ્યુસ્ડ માસ અને ઇલેક્ટ્રોનના દળનો ગુણોત્તર $\frac{\mu}{m_e} = \frac{m_p}{m_e + m_p} = \frac{1}{1 + \frac{m_e}{m_p}}$ છે.
નાના $x = \frac{m_e}{m_p}$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\mu}{m_e} \approx 1 - \frac{m_e}{m_p}$.
ઉર્જામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta E}{E} = \frac{m_e}{m_p} = \frac{9.10 \times 10^{-31}}{1.60 \times 10^{-27}} \approx 5.68 \times 10^{-4}$ છે.
આને ટકામાં ફેરવતા: $5.68 \times 10^{-4} \times 100 \% \approx 0.0568 \% \approx 0.06 \%$ થાય.

(B) આપેલ ગોઠવણી આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે।
ખૂણો $\theta = 0.5 \times 10^{-3} \,\text{રેડિયન}$।
સ્ત્રોત $S$ અને તેના પ્રતિબિંબ $S_1$ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \times (SO \times \sin \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। $\theta$ ખૂબ નાનો હોવાથી, $\sin \theta \approx \theta$.
$d = 2 \times 20.0 \,cm \times 0.5 \times 10^{-3} = 20 \times 10^{-3} \,cm = 2 \times 10^{-4} \,m$.
સ્ત્રોત $S$ અને $S_1$ નું પડદાથી અંતર $D = a + b = 20.0 \,cm + 100.0 \,cm = 120.0 \,cm = 1.2 \,m$.
વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = 440 \,nm = 440 \times 10^{-9} \,m$ છે।
$S$ અને $S_1$ બંને સુસંબદ્ધ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે અને પડદા પર વ્યતિકરણ શલાકાઓ ઉત્પન્ન કરે છે।
શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$\beta = \frac{440 \times 10^{-9} \,m \times 1.2 \,m}{2 \times 10^{-4} \,m} = \frac{528 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-4}} \,m = 264 \times 10^{-5} \,m = 2.64 \times 10^{-3} \,m = 2.64 \,mm$.

(B) ફ્યુઅલ રોડના એકમ કદ દીઠ ઉત્પન્ન થતી ઉર્જા $P_v = 5 \times 10^8 \,W/m^3$ છે.
નળાકાર રોડનું કદ $V = \pi r^2 h = \pi \times (4 \times 10^{-3} \,m)^2 \times 0.2 \,m = \pi \times 16 \times 10^{-6} \times 0.2 \,m^3 = 3.2 \pi \times 10^{-6} \,m^3$ છે.
ફ્યુઅલ રોડ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉર્જા (પાવર) $P = P_v \times V = (5 \times 10^8) \times (3.2 \pi \times 10^{-6}) = 1600 \pi \,W$ છે.
કુલન્ટ દ્વારા પ્રતિ એકમ સમયમાં શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = m_f c \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m_f$ એ દળનો પ્રવાહ દર છે,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં વધારો છે.
આપેલ છે કે $m_f = 0.2 \,kg/s$ અને $c = 4 \times 10^3 \,J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$,તેથી ઉષ્મા શોષણનો દર $Q = 0.2 \times 4000 \times \Delta T = 800 \Delta T \,W$ છે.
ઉત્પન્ન થયેલ પાવરને શોષાયેલી ઉષ્મા સાથે સરખાવતા: $800 \Delta T = 1600 \pi$.
$\Delta T = \frac{1600 \pi}{800} = 2 \pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28 \,^{\circ}C$.
આમ,તાપમાનમાં વધારો આશરે $6 \,^{\circ}C$ છે.

(A) ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બિંદુ $P$ પર ન્યૂનતમ છે,જે પ્રથમ તારથી $x$ અંતરે છે.
પ્રથમ તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x}$ છે.
બીજા તારને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (d-x)}$ છે,જ્યાં $d = 4 \, cm$ છે.
તારની વચ્ચે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્યતર ન્યૂનતમ હોવા માટે,ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહો પ્રતિ-સમાંતર હોવા જોઈએ.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0}{2 \pi} |\frac{I_1}{x} - \frac{I_2}{d-x}|$ છે.
$B$ ન્યૂનતમ હોવા માટે,વિકલન $\frac{dB}{dx} = 0$ થાય.
$\frac{d}{dx} (\frac{I_1}{x} - \frac{I_2}{d-x}) = 0 \Rightarrow -\frac{I_1}{x^2} - \frac{I_2}{(d-x)^2} = 0$.
આ સૂચવે છે કે $\frac{I_1}{x^2} = -\frac{I_2}{(d-x)^2}$. $I_1, I_2 > 0$ હોવાથી,આ સાબિત કરે છે કે પ્રવાહો પ્રતિ-સમાંતર છે.
મૂલ્યો લેતા: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{(d-x)^2}{x^2}$.
$d = 4 \, cm$ અને $x = 1 \, cm$ આપેલ હોવાથી,$\frac{I_2}{I_1} = \frac{(4-1)^2}{1^2} = \frac{3^2}{1^2} = 9$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{I_2}{I_1} = 9$ છે અને પ્રવાહો પ્રતિ-સમાંતર છે.

(A) ધારો કે નાના સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. મોટા સમઘનની બાજુની લંબાઈ $2a$ છે અને તે આવા $8$ નાના સમઘનનો બનેલો છે.
ધારો કે $V_c$ એ $a$ બાજુ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા નાના સમઘનના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન છે. મોટા સમઘનના કેન્દ્ર (બિંદુ $A$) પરનું કુલ સ્થિતિમાન તેની આસપાસના $8$ નાના સમઘનને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
મોટા સમઘનનું કેન્દ્ર એ $8$ નાના સમઘનનો સામાન્ય ખૂણો હોવાથી,કેન્દ્ર $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = 8 \times V_{\text{નાના સમઘનનો ખૂણો}}$ થાય.
$a$ બાજુ ધરાવતા નાના સમઘન માટે,તેના પોતાના વિદ્યુતભાર $Q = \rho a^3$ ને કારણે તેના ખૂણા પરનું સ્થિતિમાન $V_{\text{ખૂણો}} = k \frac{Q}{a} = k \rho a^2$ છે (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
આમ,$V_A = 8 \times (k \rho a^2) = 8 k \rho a^2$.
હવે,$2a$ બાજુ ધરાવતા મોટા સમઘનના ખૂણા $B$ પરના સ્થિતિમાનનો વિચાર કરો. $L$ બાજુ અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા સમઘનના ખૂણા પરનું સ્થિતિમાન $\rho L^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$2a$ બાજુ ધરાવતા મોટા સમઘન માટે,$V_B = k \rho (2a)^2 = 4 k \rho a^2$.
કેન્દ્ર પરના સ્થિતિમાન અને ખૂણા પરના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{8 k \rho a^2}{4 k \rho a^2} = 2$ થાય.

(D) આપેલ ગોઠવણીમાં,બિંદુ $P$ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા તારના ભાગો $AB$,$CD$,$EF$,$GH$ અને વર્તુળાકાર ચાપના ભાગો $BC$ અને $FG$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. બિંદુ $P$ એ સીધા તાર $EF$ અને $GH$ ની અક્ષ પર આવેલું છે. તેથી,આ ભાગોને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે: $B_{EF} = B_{GH} = 0$.
$2$. તેના છેડાથી $r$ અંતરે રહેલા અર્ધ-અનંત તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ છે.
$3$. સીધા ભાગ $AB$ ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ (પાનાની અંદરની દિશામાં) છે.
$4$. સીધા ભાગ $CD$ ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ (પાનાની અંદરની દિશામાં) છે.
$5$. ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર ચાપ $BC$ ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{BC} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ (પાનાની બહારની દિશામાં) છે.
$6$. ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર ચાપ $FG$ ને કારણે $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{FG} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ (પાનાની અંદરની દિશામાં) છે.
$7$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_{AB} + B_{CD} + B_{FG} - B_{BC} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{8 r} - \frac{\mu_0 I}{8 r} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) $L$ લંબાઈના એક-પરિમાણીય બોક્સમાં બંધાયેલા $m$ દળના કણ માટે,ઉર્જા સ્તરો $E_k = \frac{k^2 h^2}{8 m L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $L = \sqrt{\frac{35 h \lambda}{8 m c}}$,તેથી $L^2 = \frac{35 h \lambda}{8 m c}$.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $L^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$E_k = \frac{k^2 h^2}{8 m (35 h \lambda / 8 m c)} = \frac{k^2 h c}{35 \lambda}$.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $\lambda$ તરંગલંબાઈનો ફોટોન શોષે છે,ત્યારે તે $k=1$ થી $n$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$E_n - E_1 = \frac{h c}{\lambda}$
$\frac{n^2 h c}{35 \lambda} - \frac{1^2 h c}{35 \lambda} = \frac{h c}{\lambda}$
$\frac{n^2 - 1}{35} = 1 \Rightarrow n^2 - 1 = 35 \Rightarrow n^2 = 36 \Rightarrow n = 6$.
ત્યારબાદ,ઇલેક્ટ્રોન $\lambda^{\prime} = 1.75 \lambda = \frac{7}{4} \lambda$ તરંગલંબાઈનો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરીને $n=6$ થી $m$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$E_6 - E_m = \frac{h c}{\lambda^{\prime}}$
$\frac{6^2 h c}{35 \lambda} - \frac{m^2 h c}{35 \lambda} = \frac{h c}{1.75 \lambda}$
$\frac{36 - m^2}{35} = \frac{1}{1.75} = \frac{1}{7/4} = \frac{4}{7}$
$36 - m^2 = 35 \times \frac{4}{7} = 5 \times 4 = 20$
$m^2 = 36 - 20 = 16 \Rightarrow m = 4$.
આમ,$n=6$ અને $m=4$.

(C) આપેલ સર્કિટ એ અવરોધ અને કેપેસિટર ધરાવતું લો-પાસ ફિલ્ટર છે.
લો-પાસ $RC$ સર્કિટ માટે,આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_o$ અને ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_i$ વચ્ચેનો ફેઝ તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = -\omega RC = -2 \pi f RC$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ ફેઝ એંગલ $|\phi|$ નું મૂલ્ય વધે છે,અને $\phi$ ઋણ હોવાથી (આઉટપુટ ઇનપુટ કરતા પાછળ રહે છે),$\phi$ નું મૂલ્ય વધુ ઋણ બને છે.
$f = 0$ પર,$\phi = 0$ છે. જેમ $f \to \infty$,તેમ $\phi \to -90^{\circ}$ અથવા $-\pi/2$ રેડિયન થાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,જે આલેખ $\phi$ ને $0$ થી શરૂ થતો અને $f$ વધવાની સાથે ઘટતો (વધુ ઋણ બનતો) દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $C$ માં આપેલી વક્ર છે.

(D) ધારો કે પ્રિઝમના ખૂણા $\angle B = \alpha$ અને $\angle C = 90^{\circ} - \alpha$ છે.
પ્રથમ કિરણ માટે જે $AB$ પર $BC$ ને સમાંતર આપાત થાય છે,આપાતકોણ $i = \alpha$ છે. કિરણ $AC$ ને સ્પર્શીને બહાર નીકળે છે,તેથી બીજા સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $90^{\circ}$ છે. પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\sin \alpha = \mu \sin(90^{\circ} - \alpha) = \mu \cos \alpha$. આમ,$\tan \alpha = \mu$.
કિરણ $AC$ સપાટીને સ્પર્શે છે,તેથી $AC$ પર આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ $\theta_c$ છે. આમ,$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$.
ભૂમિતિ પરથી,$r_1 = 90^{\circ} - \theta_c$. $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ હોવાથી,$\alpha = \theta_c$ મળે. તેથી,$\tan \alpha = \mu \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$.
$\sin \alpha = \sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,$\frac{1}{\mu} = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}} \Rightarrow 1+\mu^2 = \mu^4 \Rightarrow \mu^4 - \mu^2 - 1 = 0$. $\mu^2$ માટે ઉકેલતા,$\mu^2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ મળે.
બીજા કિરણ માટે જે $AC$ પર $BC$ ને સમાંતર આપાત થાય છે,આપાતકોણ $i' = 90^{\circ} - \alpha$ છે. $AB$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે,$i' > \theta_c \Rightarrow 90^{\circ} - \alpha > \theta_c \Rightarrow \cos \alpha > \sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$.
$\tan \alpha = \mu$ હોવાથી,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$. આમ,$\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}} > \frac{1}{\mu}$ મળે.
આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $\sqrt{2} < \mu < \sqrt{3}$ મળે છે.

(C) ટ્રાન્સફોર્મર વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે, જેના માટે સેકન્ડરી ગૂંચળામાં વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ પ્રેરિત કરવા માટે સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ફ્લક્સની જરૂર હોય છે.
પ્રાયમરી ગૂંચળાને બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે, જે $1.5 \, V$ નો અચળ ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ વોલ્ટેજ પૂરો પાડે છે.
પ્રવાહ અચળ હોવાથી, પ્રાયમરી ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે બદલાતું ન હોવાથી, સેકન્ડરી ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી $(\frac{d\Phi}{dt} = 0)$.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ, સેકન્ડરી ગૂંચળામાં પ્રેરિત $EMF$ $e = -N \frac{d\Phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $\frac{d\Phi}{dt} = 0$ હોવાથી, સેકન્ડરી ગૂંચળામાં પ્રેરિત વોલ્ટેજ $0 \, V$ થશે.

(C) લૂપ $B$ માં રહેલો પ્રવાહ $I_B$ ડાબી તરફ (લૂપ $A$ માંથી પસાર થતું) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપ $A$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ તેમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે.
જો આપણે લૂપ $A$ ને જમણી તરફ ($B$ ની નજીક) ખસેડીએ,તો $A$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,$A$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ જમણી તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે,જે ડાબી બાજુથી જોતા ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ દર્શાવે છે.
જો આપણે $A$ ને $Y$-અક્ષની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવીએ (ઉપરથી જોતા),તો $A$ ના ક્ષેત્રફળ સદિશ અને $B$ માંથી આવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો એવી રીતે બદલાય છે કે $A$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ વધે છે,જે પણ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે.
આમ,બંને ક્રિયાઓ $(I)$ અને $(IV)$ ના પરિણામે $A$ માંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે,જે ઇચ્છિત દિશામાં પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે.

(C) બે સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ એક તાર દ્વારા બીજા તારના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ અને સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેમની વચ્ચે મૂકવામાં આવેલી ધાતુની પ્લેટ જેવી બિન-ચુંબકીય સામગ્રીની હાજરીથી પ્રભાવિત થતું નથી.
જોકે ધાતુની પ્લેટમાં એડી પ્રવાહ ઉત્પન્ન થઈ શકે છે જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલાતું હોય,પરંતુ સ્થિર $DC$ પ્રવાહની સ્થિતિમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ધાતુની પ્લેટમાંથી પસાર થાય છે અને તે અવરોધાતી નથી કે નોંધપાત્ર રીતે બદલાતી નથી.
તેથી,બે તાર વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ $F$ ધાતુની પ્લેટ મૂકવાથી બદલાતું નથી.
આમ,$F_A = F_B \neq 0$.

(D) બંને લૂપને અલગ-અલગ ધ્યાનમાં લો. પ્રથમ લૂપમાં,પ્રવાહ $i_1$ એ અવરોધ $R_1$ અને કોષ $\varepsilon_1$ માંથી વહે છે. કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,$i_1 = \frac{\varepsilon_1}{R_1}$.
તે જ રીતે,બીજા લૂપમાં,પ્રવાહ $i_2$ એ અવરોધ $R_2$ અને કોષ $\varepsilon_2$ માંથી વહે છે. કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ,$i_2 = \frac{\varepsilon_2}{R_2}$.
દરેક લૂપ એકબીજાથી સ્વતંત્ર બંધ પરિપથ હોવાથી,વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ કોઈપણ જંકશનમાં દાખલ થતો પ્રવાહ તેમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
બે લૂપને તાર $1$ સાથે જોડતા જંકશન માટે,જો આપણે કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ કરીએ,તો પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ. લૂપ એકબીજાથી પ્રવાહની દ્રષ્ટિએ અલગ હોવાથી,વ્યક્તિગત લૂપની સાતત્યતા જાળવવા માટે જોડતા તાર $1$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહી શકતો નથી. આમ,તાર $1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(A) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R = r_0 A^{1/3}$ છે.
આપેલ છે $r_0 = 1.3 \times 10^{-15} \, m$ અને $A = 206$.
$R = 1.3 \times 10^{-15} \times (206)^{1/3} \approx 1.3 \times 10^{-15} \times 5.9 \approx 7.67 \times 10^{-15} \, m$.
વ્યાસાંતે રહેલા બે પ્રોટોન વચ્ચેનું અંતર $d = 2R = 2 \times 7.67 \times 10^{-15} = 15.34 \times 10^{-15} \, m$ છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ કુલંબના નિયમ દ્વારા મળે છે: $F = \frac{k e^2}{d^2}$.
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(15.34 \times 10^{-15})^2} \approx \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{235.3 \times 10^{-30}} \approx \frac{23.04 \times 10^{-29}}{235.3 \times 10^{-30}} \approx 0.0979 \times 10^1 \approx 1 \, N$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,પરિમાણનો ક્રમ $10^2 \, N$ છે (કારણ કે ગણતરીમાં ઘણીવાર સરળ પાઠ્યપુસ્તક મોડેલોમાં $d=R$ લેવામાં આવે છે,જે $F \approx 10^2 \, N$ તરફ દોરી જાય છે). તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
દ્વિ-અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = -R$ અને $R_2 = +R$ છે,તેથી $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = -\frac{2}{R}$ થાય.
આમ,$\frac{1}{f} = -\frac{2}{R}(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)$.
લેન્સ અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે તે માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) > 0$,અથવા $\mu_l > \mu_m$.
વિકલ્પ $(d)$ માં,લેન્સને $CS_2$ $(\mu_l = 1.6)$ વડે ભરવામાં આવે છે અને પાણી $(\mu_m = 1.33)$ માં ડૂબાડવામાં આવે છે.
કારણ કે $1.6 > 1.33$,શરત $\mu_l > \mu_m$ સંતોષાય છે,અને લેન્સ અપસારી લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન સ્થિત વિદ્યુત આકર્ષણ બળને કારણે તારની આસપાસ ફરે છે. આપેલ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E \propto r^{-1}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $E = k r^{-1}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = e E = k e r^{-1}$ છે.
આ બળ ઇલેક્ટ્રોનની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{k e}{r}$
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{k e}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{k e}{m}}$
જેમ કે વેગ $v$ એ ત્રિજ્યા $r$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી બંને કક્ષાઓમાં ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ સમાન છે,એટલે કે $v_1 = v_2$.
કક્ષાનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$r_1 = 1 \mathring{A}$ અને $r_2 = 2 \mathring{A}$ ત્રિજ્યા માટે આવર્તકાળનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi r_1 / v_1}{2 \pi r_2 / v_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{1 \mathring{A}}{2 \mathring{A}} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે કિરણ ડાબી સપાટી પર લંબ રૂપે આપાત થાય છે. તે પ્રથમ પ્રિઝમ (વક્રીભવનાંક $\mu_1$) માં વિચલન વગર પ્રવેશે છે.
પ્રિઝમ $\mu_1$ અને $\mu_2$ વચ્ચેની સપાટી પર,આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$ છે. સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu_1 \sin 45^{\circ} = \mu_2 \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
તેથી,$\mu_1 \frac{1}{\sqrt{2}} = \mu_2 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{\mu_1}{\sqrt{2} \mu_2} \quad \dots(1)$
પ્રિઝમ $\mu_2$ અને $\mu_3$ વચ્ચેની સપાટી પર,કિરણ $r_2 = \alpha - \theta$ ના આપાતકોણે અથડાય છે. ભૂમિતિ પરથી,$\alpha = 90^{\circ}$. તેથી,$r_2 = 90^{\circ} - \theta$.
કિરણ જમણી સપાટીમાંથી લંબ રૂપે બહાર નીકળે છે,એટલે કે બીજા અંતરાય પર વક્રીભવન કોણ $45^{\circ}$ છે.
બીજા અંતરાય પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu_2 \sin(90^{\circ} - \theta) = \mu_3 \sin 45^{\circ} \implies \mu_2 \cos \theta = \mu_3 \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos \theta = \frac{\mu_3}{\sqrt{2} \mu_2} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \left(\frac{\mu_1}{\sqrt{2} \mu_2}\right)^2 + \left(\frac{\mu_3}{\sqrt{2} \mu_2}\right)^2$
$1 = \frac{\mu_1^2}{2 \mu_2^2} + \frac{\mu_3^2}{2 \mu_2^2} \implies 2 \mu_2^2 = \mu_1^2 + \mu_3^2$.