वास्तविक रेखा R पर,हम दो फलनों f और g को इस प | vedclass

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Question

(C) माना ${x} = x - [x]$ है। तब $f(x) = \min \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ और $g(x) = \max \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ है।ध्यान दें कि $g(x) - f(x) = |\{x\} - (1 -

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$200$

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(C) माना ${x} = x - [x]$ है। तब $f(x) = \min \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ और $g(x) = \max \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ है।ध्यान दें कि $g(x) - f(x) = |\{x\} - (1 - \{x\})| = |2\{x\} - 1|$ है।फलन $h(x) = g(x) - f(x) = |2\{x\} - 1|$ का आवर्तकाल $1$ है।हम एक आवर्तकाल $[0, 1]$ पर समाकलन की गणना करते हैं:$\int_0^1 |2\{x\} - 1| \, dx = \int_0^{1/2} (1 - 2x) \, dx + \int_{1/2}^1 (2x - 1) \, dx$$= [x - x^2]_0^{1/2} + [x^2 - x]_{1/2}^1$$= (1/2 - 1/4) + ((1 - 1) - (1/4 - 1/2)) = 1/4 + 1/4 = 1/2$.चूंकि फलन $1$ के आवर्तकाल के साथ आवर्ती है,इसलिए $\int_0^n h(x) \, dx = n \int_0^1 h(x) \, dx = n 	imes \frac{1}{2}$ होगा।दिया गया है कि $\int_0^n (g(x) - f(x)) \, dx = 100$,इसलिए $\frac{n}{2} = 100$,जिसका अर्थ है कि $n = 200$।

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