KVPY 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) इकाई के मूल समीकरण $z^n = 1$ के हलों द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{N}$ है।
ये मूल $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ के रूप में होते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,इकाई के सभी मूलों का समुच्चय $\bigcup_{n=1}^{\infty} \{e^{i \frac{2k\pi}{n}} : k=0, 1, \dots, n-1\}$ इकाई वृत्त $|z|=1$ पर सघन (dense) हो जाता है।
चूँकि धनात्मक लंबाई के किसी भी चाप पर इस सघन समुच्चय के अनंत बिंदु स्थित होते हैं,इसलिए ऐसे किसी भी चाप पर इकाई के अनंत मूल होते हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ है।
बिंदु $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} \cos \theta + \frac{y}{2} \sin \theta = 1$ है।
इस स्पर्श रेखा के अक्षों पर अंतःखंड $(3 \sec \theta, 0)$ और $(0, 2 \operatorname{cosec} \theta)$ हैं।
चारों स्पर्श रेखाएँ $(\pm 3 \sec \theta, 0)$ और $(0, \pm 2 \operatorname{cosec} \theta)$ शीर्षों वाला एक समचतुर्भुज बनाती हैं।
इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A(\theta) = 4 \times \left( \frac{1}{2} \times |3 \sec \theta| \times |2 \operatorname{cosec} \theta| \right)$ है।
$A(\theta) = 12 \sec \theta \operatorname{cosec} \theta = \frac{12}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{\sin 2 \theta}$.
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,$\sin 2 \theta$ का अधिकतम मान $1$ है (जब $\theta = \frac{\pi}{4}$ हो)।
अतः,$A(\theta)$ का न्यूनतम मान $\frac{24}{1} = 24$ है।

(D) हमें समुच्चय $S = \{x \in R : \cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) < 2\}$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि कोसाइन फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,जो तब प्राप्त होता है जब कोण $2\pi$ का पूर्णांक गुणज हो।
$\cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) = 2$ होने के लिए,$\cos(x)$ और $\cos(\sqrt{2}x)$ दोनों का एक साथ $1$ होना आवश्यक है।
इसका अर्थ है कि $x = 2n\pi$ और $\sqrt{2}x = 2m\pi$ किसी पूर्णांक $n, m$ के लिए।
यदि $x = 0$ है,तो $n = 0$ और $m = 0$,जो शर्त $\cos(0) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$ को संतुष्ट करता है।
यदि $x \neq 0$ है,तो $\frac{\sqrt{2}x}{x} = \frac{2m\pi}{2n\pi} \implies \sqrt{2} = \frac{m}{n}$,जो असंभव है क्योंकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,योग $\cos(x) + \cos(\sqrt{2}x)$ केवल $x = 0$ के लिए $2$ के बराबर है,और शेष सभी $x \in R \setminus \{0\}$ के लिए यह $2$ से कम रहता है।
इसलिए,$S = R \setminus \{0\}$।

(B) आयताकार अतिपरवलय $x^2-y^2=a^2$ है।
माना $B$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ और $C$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, -a \tan \theta)$ हैं।
चूँकि $\triangle ABC$ समबाहु है,$AB^2 = BC^2$ होगा।
भुजा $BC = 2a \tan \theta$ है।
$AB^2 = (a \sec \theta + a)^2 + (a \tan \theta)^2 = a^2(\sec \theta + 1)^2 + a^2 \tan^2 \theta$।
$AB^2 = BC^2$ रखने पर:
$a^2(\sec \theta + 1)^2 + a^2 \tan^2 \theta = 4a^2 \tan^2 \theta$।
$(\sec \theta + 1)^2 = 3 \tan^2 \theta = 3(\sec^2 \theta - 1) = 3(\sec \theta + 1)(\sec \theta - 1)$।
$\sec \theta + 1 = 3 \sec \theta - 3 \implies 2 \sec \theta = 4 \implies \sec \theta = 2$।
अतः $\tan \theta = \sqrt{3}$।
भुजा की लंबाई $BC = 2a \sqrt{3}$ है।
भुजा की लंबाई $ka$ दी गई है,इसलिए $k = 2 \sqrt{3} \approx 3.464$।
अतः,$k \in (2, 4]$।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2} = \cos^2 x + \sec^2 x$ है।
बायां पक्ष $(LHS)$ लें: $f(x) = \cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2}$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\cos^2(\theta) \leq 1$ और $\frac{1}{1+x^2} \leq 1$ होता है,इसलिए $f(x) \leq 1 + 1 = 2$ है।
दायां पक्ष $(RHS)$ लें: $g(x) = \cos^2 x + \sec^2 x$ है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार,$\cos^2 x + \sec^2 x \geq 2 \sqrt{\cos^2 x \cdot \sec^2 x} = 2 \sqrt{1} = 2$ है।
समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$f(x) = 2$ और $g(x) = 2$ होना चाहिए।
$g(x) = 2$ तब होता है जब $\cos^2 x = \sec^2 x$,जिसका अर्थ है $\cos^4 x = 1$,यानी $\cos x = \pm 1$,जिसका अर्थ है $x = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = \cos^2(0) + \frac{1}{1+0} = 1 + 1 = 2$ और $g(0) = \cos^2(0) + \sec^2(0) = 1 + 1 = 2$ है।
यदि $x = n\pi$ जहाँ $n \neq 0$ है,तो $\frac{1}{1+x^2} < 1$ होगा,इसलिए $f(x) < 2$,जो $f(x) = 2$ का विरोधाभास करता है।
अतः,केवल एक वास्तविक हल $x = 0$ है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है,जहाँ $a>b$ है।
चूँकि $\triangle ABC$ समबाहु है,इसलिए $\angle BAC = 60^{\circ}$ है।
दीर्घवृत्त की सममिति के कारण,रेखा $AO$ (y-अक्ष) $\angle BAC$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle OAF_2 = 30^{\circ}$ है।
समकोण $\triangle AOF_2$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{OF_2}{OA}$ है।
यहाँ,$OF_2 = ae$ और $OA = b$ है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{ae}{b}$,जिसका अर्थ है $b = \sqrt{3}ae$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2 = 3a^2e^2$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1-e^2)$ का उपयोग करने पर,$a^2(1-e^2) = 3a^2e^2$ मिलता है।
$a^2$ से विभाजित करने पर,$1-e^2 = 3e^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4e^2 = 1$ हो जाता है।
इस प्रकार,$e^2 = \frac{1}{4}$,और चूँकि $e>0$ है,इसलिए $e = \frac{1}{2}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = (\cos \theta + i \sin \theta)^n$ होता है।
$\theta = 1^{\circ}$ और $n = 90$ के लिए,$\cos 90^{\circ} + i \sin 90^{\circ} = (\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ})^{90} = i$ है।
यह दर्शाता है कि $\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ}$ बहुपद $z^{90} - i = 0$ का एक मूल है।
कोई भी सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ बीजीय होती है यदि और केवल यदि उसका वास्तविक भाग $a$ और काल्पनिक भाग $b$ दोनों बीजीय हों।
चूंकि $\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ}$,$z^{90} = i$ का मूल है,इसलिए $z^{180} = -1$,या $z^{180} + 1 = 0$ होगा।
अतः,$\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ}$ एक बीजीय संख्या है।
यह एक ज्ञात परिणाम है कि यदि $\alpha$ एक बीजीय संख्या है,तो $\pi$ के परिमेय गुणजों के लिए $\cos \alpha$ और $\sin \alpha$ बीजीय होते हैं।
चूंकि $1^{\circ} = \frac{\pi}{180}$ रेडियन है,इसलिए $\cos 1^{\circ}$ और $\sin 1^{\circ}$ दोनों बीजीय संख्याएँ हैं।

(A) मान लीजिए $n = 2018$ है। हमें $N = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ दिया गया है।
असमानता $I$ के लिए,हम कोशी-श्वार्ट्ज असमानता का उपयोग करते हैं: $(\sum a_k b_k)^2 \leq (\sum a_k^2)(\sum b_k^2)$।
मान लीजिए $a_k = \sqrt{k}$ और $b_k = \sqrt{k} x_k$ है। तब:
$\left(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \cdot \sqrt{k} x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k})^2\right) \left(\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k} x_k)^2\right)$
$\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} k\right) \left(\sum_{k=1}^{n} k x_k^2\right) = N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$।
अतः,$I$ सत्य है।
असमानता $II$ के लिए,हम देखते हैं कि चूंकि $k \geq 1$ है,इसलिए सभी $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ के लिए $k^2 \geq k$ है।
इसलिए,$\sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2 \geq \sum_{k=1}^{n} k x_k^2$।
चूंकि $I$ सत्य है,हमारे पास $\left(\sum_{k=1}^{n} k x_k\right)^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k x_k^2 \leq N \sum_{k=1}^{n} k^2 x_k^2$ है।
अतः,$II$ भी सत्य है।
इसलिए,$I$ और $II$ दोनों सत्य हैं।

(C) परवलय $x^2=4ky$ है। नाभिलंब $BC$ रेखा $y=k$ है। $B$ और $C$ के निर्देशांक $(-2k, k)$ और $(2k, k)$ हैं।
चूंकि $BD=DE=EC$ और $BC=4k$,इसलिए $DE = \frac{4k}{3}$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $P$,$DE$ का मध्यबिंदु $(0, k)$ है।
दीर्घवृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$ पर परवलय को स्पर्श करता है। माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ है।
यह $O(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{0}{a^2} + \frac{(-k)^2}{b^2} = 1$,जिससे $b^2 = k^2$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $BC$ (रेखा $y=k$) को $D$ और $E$ पर काटता है। $y=k$ रखने पर,$\frac{x^2}{a^2} = 1$,जिससे $x = \pm a$ मिलता है।
अतः,$D = (-a, k)$ और $E = (a, k)$। $DE = 2a = \frac{4k}{3}$ होने के कारण,$a = \frac{2k}{3}$ है।
चूंकि $a < b$,उत्केंद्रता $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ है।
अतः,$e = \frac{\sqrt{5}}{3}$।

(D) आयत $R$,वृत्त $C$ और त्रिभुज $T$ की परिधियों पर उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संभावित संख्या $6$ है। इसे आकृतियों को इस प्रकार व्यवस्थित करके देखा जा सकता है कि उनकी सीमाएँ $6$ अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें,जैसा कि दी गई आकृति में दिखाया गया है।

(C) दिया गया समीकरण $x^4+4y^4+16z^4+64=32xyz$ है।
$AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करते हुए,$x^4, 4y^4, 16z^4, 64$ के लिए:
$\frac{x^4+4y^4+16z^4+64}{4} \geq \sqrt[4]{x^4 \cdot 4y^4 \cdot 16z^4 \cdot 64} = 8|xyz|$.
अतः,$x^4+4y^4+16z^4+64 \geq 32|xyz|$.
समानता के लिए,$|x|=2\sqrt{2}, |y|=2, |z|=\sqrt{2}$ होना चाहिए और $xyz > 0$ होना चाहिए।
$(x, y, z)$ के लिए संभावित मान:
$1$. $(2\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}) \implies x+y+z = 3\sqrt{2}+2$.
$2$. $(2\sqrt{2}, -2, -\sqrt{2}) \implies x+y+z = \sqrt{2}-2$.
$3$. $(-2\sqrt{2}, 2, -\sqrt{2}) \implies x+y+z = 2-3\sqrt{2}$.
$4$. $(-2\sqrt{2}, -2, \sqrt{2}) \implies x+y+z = -\sqrt{2}-2$.
इस प्रकार,$x+y+z$ के लिए $4$ अलग-अलग मान संभव हैं।

(B) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = r^2$ है,जिसका केंद्र $O(0, 0)$ है।
मान लीजिए $M = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ है।
$M$ पर स्पर्श रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = r$ है।
$B(r, 0)$ पर स्पर्श रेखा $l$,$x = r$ है।
$M$ पर स्पर्श रेखा और $l$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ज्ञात करने के लिए $x = r$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:
$r \cos \theta + y \sin \theta = r \implies y \sin \theta = r(1 - \cos \theta) \implies y = r \tan(\theta/2)$।
अतः,$P = (r, r \tan(\theta/2))$ है।
$P$ से होकर जाने वाली और $AB$ ($x$-अक्ष) के समानांतर रेखा $y = r \tan(\theta/2)$ है।
रेखा $OM$,$(0, 0)$ और $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = x \tan \theta$ है।
$Q(h, k)$,$y = r \tan(\theta/2)$ और $y = x \tan \theta$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,$k = r \tan(\theta/2)$ और $k = h \tan \theta$ है।
$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ का उपयोग करने पर,हमें $k = h \cdot \frac{2(k/r)}{1 - (k/r)^2}$ प्राप्त होता है।
$1 - k^2/r^2 = 2h/r \implies r^2 - k^2 = 2hr \implies k^2 = -2r(h - r/2)$।
$Q(x, y)$ का बिंदुपथ $y^2 = -2r(x - r/2)$ है,जो कि एक परवलय है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin(x+x^2) - \sin(x^2) = \sin x$
सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \sin(\frac{A-B}{2}) \cos(\frac{A+B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{2x^2+x}{2}) = \sin x$
चूँकि $\sin x = 2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})$,समीकरण बनता है:
$2 \sin(\frac{x}{2}) [\cos(\frac{2x^2+x}{2}) - \cos(\frac{x}{2})] = 0$
स्थिति $1$: $\sin(\frac{x}{2}) = 0 \Rightarrow x = 2n\pi$। $n=1$ के लिए $x=2\pi \approx 6.28$,जो $[2, 3]$ के बाहर है।
स्थिति $2$: $\cos(\frac{2x^2+x}{2}) = \cos(\frac{x}{2}) \Rightarrow x^2 = 2k\pi$ या $x^2 + x - 2k\pi = 0$।
$k=1$ के लिए $x = \sqrt{2\pi} \approx 2.506$ और $x^2 + x - 2\pi = 0$ का धनात्मक हल $x \approx 2.055$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(B) दिया गया परवलय $y=x^2+x+10$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$y = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{39}{4}$,या $(x + \frac{1}{2})^2 = (y - \frac{39}{4})$ प्राप्त होता है।
यह $X^2 = 4aY$ के रूप का परवलय है जहाँ $4a = 1$,अतः नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई $1$ है।
परवलय और $L$ लंबाई की जीवा द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल का सूत्र $A = \frac{L^3}{6 \cdot (4a)}$ होता है।
यहाँ $L = 1$ और $4a = 1$ है।
अतः,क्षेत्रफल $A = \frac{1^3}{6 \cdot 1} = \frac{1}{6}$।

(B) दिया गया समीकरण $11 z^8 + 21 i z^7 + 10 i z - 22 = 0$ है।
इसे $11 z^8 - 22 = -21 i z^7 - 10 i z$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|11 z^8 - 22| = |-21 i z^7 - 10 i z|$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज असमिका का उपयोग करने पर,$|11 z^8 - 22| \leq 11|z|^8 + 22$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$|-21 i z^7 - 10 i z| = |z| |21 i z^6 + 10 i| \leq |z| (21|z|^6 + 10)$ प्राप्त होता है।
इस बहुपद के मूलों के लिए यह सिद्ध किया जा सकता है कि $1 < |z| < 2$ है।
मान लीजिए $r = |z|$,तो $1 < r < 2$ है।
$S = r^2 + r + 1$ लेने पर,$1^2 + 1 + 1 < S < 2^2 + 2 + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$3 < S < 7$ है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(D) दी गई असमिकाएँ $a^4+b^4 < 1$ और $a^2+b^2 > 1$ हैं,जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में $x, y > 0$ के लिए वक्र $x^2+y^2=1$ ($1$ त्रिज्या वाला वृत्त) और $x^4+y^4=1$ (स्कवर्कल) पर विचार करें।
वृत्त $x^2+y^2=1$ पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ के लिए,$x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = 1 - 2x^2y^2$ होता है। चूँकि $x, y > 0$,इसलिए $x^2y^2 > 0$,जिसका अर्थ है कि $x^4+y^4 < 1$ है।
इसका अर्थ है कि प्रथम चतुर्थांश में $a^4+b^4 < 1$ वाला क्षेत्र वृत्त $a^2+b^2=1$ के बाहर स्थित है,जबकि $a^2+b^2 > 1$ वाला क्षेत्र वृत्त के बाहर स्थित है। हालाँकि,वक्र $a^4+b^4=1$ वास्तव में प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $a^2+b^2=1$ की तुलना में अधिक क्षेत्र को घेरता है।
विशेष रूप से,$a, b > 0$ के लिए,$a^2+b^2 > 1$ और $a^4+b^4 < 1$ प्रथम चतुर्थांश में वृत्त और स्कवर्कल के बीच के क्षेत्र को दर्शाता है।
चूँकि इस क्षेत्र का क्षेत्रफल शून्य नहीं है,इसलिए इन असमिकाओं को संतुष्ट करने वाले धनात्मक वास्तविक संख्याओं के अनंत युग्म $(a, b)$ मौजूद हैं।
अतः,ऐसे युग्मों की संख्या $2$ से अधिक है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^4-x^2+2x-1=0$
समीकरण को इस प्रकार लिखें: $x^4-(x^2-2x+1)=0$
यह सरल होकर बनता है: $x^4-(x-1)^2=0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$(x^2-(x-1))(x^2+(x-1))=0$
$(x^2-x+1)(x^2+x-1)=0$
स्थिति $1$: $x^2-x+1=0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1-4 = -3$. चूँकि $D < 0$,कोई वास्तविक मूल नहीं है।
स्थिति $2$: $x^2+x-1=0$. विविक्तकर $D = (1)^2 - 4(1)(-1) = 1+4 = 5$. चूँकि $D > 0$,दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
अतः,वास्तविक मूलों की कुल संख्या $2$ है।

(C) दिया गया है,$S_m = n$ और $S_n = m$.
प्रथम $k$ पदों के योग का सूत्र $S_k = \frac{k}{2}[2a + (k-1)d]$ है।
अतः,$S_m = \frac{m}{2}[2a + (m-1)d] = n \implies 2a + (m-1)d = \frac{2n}{m} \quad (i)$.
इसी प्रकार,$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = m \implies 2a + (n-1)d = \frac{2m}{n} \quad (ii)$.
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ घटाने पर:
$(m-n)d = \frac{-2(m-n)(m+n)}{mn} \implies d = \frac{-2(m+n)}{mn}$.
यह मान रखने पर,$S_{m+n} = \frac{m+n}{2}[2a + (m+n-1)d] = -(m+n)$.

(B) कथन $I$ असत्य है। सुसंगत रैखिक समीकरणों के युग्म के या तो अद्वितीय हल (प्रतिच्छेदी रेखाएं) हो सकते हैं या अनंत हल (संपाती रेखाएं) हो सकते हैं।
कथन $II$ असत्य है। मान लीजिए कि दो क्रमागत पूर्णांक $x$ और $x+1$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$x^2 + (x+1)^2 = 365$.
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365$
$2x^2 + 2x - 364 = 0$
$x^2 + x - 182 = 0$
$(x + 14)(x - 13) = 0$
अतः,$x = 13$ या $x = -14$.
यदि $x = 13$ है,तो पूर्णांक $13$ और $14$ हैं। जाँच: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$.
चूंकि ऐसे पूर्णांक मौजूद हैं,इसलिए कथन $II$ असत्य है।
अतः,$I$ और $II$ दोनों असत्य हैं।

(A) माना $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ जहाँ $a_i \in \mathbb{Z}$ है।
दिया गया है कि $p(2) = 2$ और $p(4) = 5$ है।
पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों के गुणधर्म के अनुसार,किन्हीं दो भिन्न पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,$(a-b)$,$(p(a) - p(b))$ को विभाजित करना चाहिए।
यहाँ,$a = 4$ और $b = 2$ है।
अतः,$(4-2)$ को $(p(4) - p(2))$ को विभाजित करना चाहिए।
$(4-2) = 2$ और $(p(4) - p(2)) = 5 - 2 = 3$ है।
चूंकि $2$,$3$ को विभाजित नहीं करता है,इसलिए ऐसा कोई पूर्णांक गुणांक वाला बहुपद मौजूद नहीं है।
अतः,ऐसे बहुपदों की संख्या $0$ है।

(B) $7$ से विभाज्य $4$-अंकीय संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं: $1001, 1008, 1015, \ldots, 9996$.
यहाँ,प्रथम पद $a = 1001$ और सार्व अंतर $d = 7$ है।
अंतिम पद $l = a + (n-1)d$,इसलिए $9996 = 1001 + (n-1)7$.
$8995 = (n-1)7 \implies n-1 = 1285 \implies n = 1286$.
चूँकि पदों की संख्या $n = 1286$ सम है,माध्यिका $\left(\frac{n}{2}\right)$-वें और $\left(\frac{n}{2}+1\right)$-वें पद का औसत है।
माध्यिका $= \frac{a_{643} + a_{644}}{2}$.
$a_{643} = 1001 + (643-1)7 = 1001 + 4494 = 5495$.
$a_{644} = 1001 + (644-1)7 = 1001 + 4501 = 5502$.
माध्यिका $= \frac{5495 + 5502}{2} = \frac{10997}{2} = 5498.5$.

(C) माना बेलन की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है।
बेलन का आयतन $V_{cyl} = \pi r^2 h$ है और अर्धगोले का आयतन $V_{hemi} = \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
प्रणाली का कुल आयतन $V_1 = \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$ है।
जब बेलन की ऊँचाई को दोगुना किया जाता है $(h \to 2h)$,तो नया आयतन $V_2$ होता है:
$V_2 = \pi r^2 (2h) + \frac{2}{3} \pi r^3 = 2 \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3$.
यह दिया गया है कि आयतन $50\,\%$ बढ़ जाता है,इसलिए $V_2 = 1.5 V_1 = \frac{3}{2} V_1$.
$\frac{2 \pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3}{\pi r^2 h + \frac{2}{3} \pi r^3} = \frac{3}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर,$4 \pi r^2 h + \frac{4}{3} \pi r^3 = 3 \pi r^2 h + 2 \pi r^3$.
$\pi r^2 h = \frac{2}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है कि $h = \frac{2}{3} r$.
अब,यदि ऊँचाई $h$ को स्थिर रखते हुए त्रिज्याओं को दोगुना किया जाता है $(r \to 2r)$,तो नया आयतन $V'_2$ होता है:
$V'_2 = \pi (2r)^2 h + \frac{2}{3} \pi (2r)^3 = 4 \pi r^2 h + \frac{16}{3} \pi r^3$.
$h = \frac{2}{3} r$ को $V'_2$ के व्यंजक में रखने पर:
$V'_2 = 4 \pi r^2 (\frac{2}{3} r) + \frac{16}{3} \pi r^3 = \frac{8}{3} \pi r^3 + \frac{16}{3} \pi r^3 = \frac{24}{3} \pi r^3 = 8 \pi r^3$.
$r$ के पदों में मूल आयतन $V_1$:
$V_1 = \pi r^2 (\frac{2}{3} r) + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r^3$.
अनुपात $\frac{V'_2}{V_1} = \frac{8 \pi r^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 8 \times \frac{3}{4} = 6$.
आयतन में वृद्धि $V'_2 - V_1 = 6 V_1 - V_1 = 5 V_1$.
प्रतिशत वृद्धि = $\frac{5 V_1}{V_1} \times 100\,\% = 500\,\%$.

(C) $\triangle PQR$ में,मान लीजिए शीर्ष $P, Q, R$ हैं। $M$,$QR$ का मध्यबिंदु है और $N$,$PR$ का मध्यबिंदु है। माध्यिकाएं $PM$ और $QN$ केंद्रक $G$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
माध्यिकाओं के गुण का उपयोग करते हुए,$QG = \frac{2}{3}QN$ और $GM = \frac{1}{3}PM$.
$\triangle QGM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,यदि $\angle QGM = 90^{\circ}$ है,तो $QG^2 + GM^2 = QM^2$.
हम जानते हैं कि $QM = \frac{1}{2}QR$,इसलिए $QM^2 = \frac{1}{4}QR^2$.
माध्यिकाओं के लिए अपोलोनियस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$QN^2 = \frac{2PQ^2 + 2QR^2 - PR^2}{4}$ और $PM^2 = \frac{2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4}$.
तब $QG^2 + GM^2 = \left(\frac{2}{3}QN\right)^2 + \left(\frac{1}{3}PM\right)^2 = \frac{4}{9}QN^2 + \frac{1}{9}PM^2$.
$QN^2$ और $PM^2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{4}{9} \left(\frac{2PQ^2 + 2QR^2 - PR^2}{4}\right) + \frac{1}{9} \left(\frac{2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4}\right)$
$= \frac{1}{9} \left( \frac{8PQ^2 + 8QR^2 - 4PR^2 + 2PQ^2 + 2PR^2 - QR^2}{4} \right)$
$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 2PR^2}{4} \right)$.
दिया गया है कि $PR^2 = 5PQ^2 - QR^2$,इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 2(5PQ^2 - QR^2)}{4} \right)$
$= \frac{1}{9} \left( \frac{10PQ^2 + 7QR^2 - 10PQ^2 + 2QR^2}{4} \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{9QR^2}{4} \right) = \frac{1}{4}QR^2 = QM^2$.
चूंकि $QG^2 + GM^2 = QM^2$,$\triangle QGM$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle QGM = 90^{\circ}$ है।

(C) मान लीजिए $\triangle ABC$ की भुजाएँ $BC = a, AC = b, AB = c$ हैं और माध्यिकाएँ $AD = l, BE = m, CF = n$ हैं।
किसी भी त्रिभुज में,माध्यिका की लंबाई उसकी संलग्न भुजाओं के योग के आधे से कम होती है। अतः,$l < \frac{b+c}{2}$,$m < \frac{a+c}{2}$,और $n < \frac{a+b}{2}$.
इन असमिकाओं को जोड़ने पर,$l+m+n < a+b+c$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$K = \frac{l+m+n}{a+b+c} < 1$.
साथ ही,मान लीजिए $G$ त्रिभुज का केंद्रक है। $\triangle BGC$ में,त्रिभुज असमिका के अनुसार,$BG + GC > BC$। केंद्रक माध्यिका को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $BG = \frac{2}{3}m$ और $GC = \frac{2}{3}n$। अतः,$\frac{2}{3}(m+n) > a$.
इसी प्रकार,$\frac{2}{3}(n+l) > b$ और $\frac{2}{3}(l+m) > c$.
इन तीनों असमिकाओं को जोड़ने पर,$\frac{4}{3}(l+m+n) > a+b+c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $K = \frac{l+m+n}{a+b+c} > \frac{3}{4}$.
अतः,$K \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$।

(A) मान लीजिए $P(x_0, y_0)$ इकाई वृत्त $x^2+y^2 \leq 1$ के बाहर स्थित एक निश्चित बिंदु है।
मान लीजिए $Q(x, y)$ वृत्त पर या उसके अंदर कोई भी बिंदु है।
व्यंजक $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$ बिंदुओं $P$ और $Q$ के बीच की दूरी का वर्ग $PQ^2$ दर्शाता है।
मान लीजिए $O$ मूल बिंदु $(0, 0)$ है। दूरी $OP = \sqrt{x_0^2+y_0^2}$ है।
चूंकि $P$ वृत्त के बाहर है,इसलिए $OP > 1$ है।
दूरी $PQ$ तब न्यूनतम होती है जब $Q$ रेखाखंड $OP$ पर स्थित होता है।
इस स्थिति में,दूरी $PQ = OP - OQ$ होती है।
चूंकि न्यूनतम दूरी $PQ$ तब प्राप्त होती है जब $Q$ वृत्त की परिधि पर होता है,इसलिए $OQ = 1$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $PQ = \sqrt{x_0^2+y_0^2} - 1$ है।
इसलिए $PQ^2$ का न्यूनतम मान $(\sqrt{x_0^2+y_0^2}-1)^2$ है।

(C) दिया है,$\triangle PQR$ में,
$PQ=3$
शीर्षलंब $RS=\sqrt{3}$
$PS=QR$
$\triangle SQR$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$QR^2=SR^2+SQ^2$ है।
चूंकि $PS=QR$,इसलिए $PS^2=SR^2+SQ^2$ है।
हम जानते हैं कि $SQ=PQ-PS=3-PS$ है।
मान रखने पर,$PS^2=(\sqrt{3})^2+(3-PS)^2$ है।
$PS^2=3+9-6PS+PS^2$
$6PS=12 \Rightarrow PS=2$ है।
$\triangle PRS$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PR^2=PS^2+RS^2$ है।
$PR^2=2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7$ है।
अतः,$PR=\sqrt{7}$ है।

(D) कुल छात्रों की संख्या $n = 50$ है।
औसत अंक $\bar{x} = 47.5$ है।
सभी छात्रों द्वारा प्राप्त कुल अंक $= 50 \times 47.5 = 2375$ हैं।
माना $k$ उन छात्रों की संख्या है जिन्होंने औसत $(47.5)$ से अधिक अंक प्राप्त किए हैं। चूंकि अंक पूर्णांक हैं,इन छात्रों ने कम से कम $48$ अंक प्राप्त किए होंगे।
शेष $(50 - k)$ छात्रों ने न्यूनतम संभव अंक,जो कि $0$ है,प्राप्त किए हैं।
$k$ को अधिकतम करने के लिए,हम मानते हैं कि इन $k$ छात्रों ने औसत से अधिक न्यूनतम संभव अंक यानी $48$ प्राप्त किए हैं।
अतः,$48k + (50 - k) \times 0 \leq 2375$ है।
$48k \leq 2375$ है।
$k \leq \frac{2375}{48} \approx 49.479$ है।
चूंकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $k$ का अधिकतम मान $49$ है।

(B) दी गई संख्या $n = 15^2 \times 5^{18}$ है।
$n = (3 \times 5)^2 \times 5^{18} = 3^2 \times 5^2 \times 5^{18} = 9 \times 5^{20}$.
अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $\log_{10} n = \log_{10} (9 \times 5^{20}) = \log_{10} 9 + 20 \log_{10} 5$ की गणना करते हैं।
$\log_{10} 3 \approx 0.4771$ और $\log_{10} 5 \approx 0.6990$ का उपयोग करते हुए:
$\log_{10} n = 2 \times 0.4771 + 20 \times 0.6990 = 0.9542 + 13.98 = 14.9342$.
चूंकि विशेषता $14$ है,संख्या $n$ में $14 + 1 = 15$ अंक हैं।
$15$ अंकों की संख्या के लिए अंकों का अधिकतम योग $9 \times 15 = 135$ है। हालाँकि,$n = 9 \times 5^{20}$ का अंतिम अंक $5$ है।
इसलिए अंकों का योग $S$ शर्त $S \leq 9 \times 14 + 5 = 126 + 5 = 131$ को पूरा करता है।
अतः,$6 \leq S < 140$।

(A) $\triangle PQR$ में,मान लीजिए $PQ = r$,$QR = p$,और $PR = q$ है। चूँकि $PQ < QR$,इसलिए $r < p$ है।
$1$. शीर्षलंब $QQ_1$,$Q$ से रेखा $PR$ तक की सबसे छोटी दूरी है। अतः,$PQ_1$ सबसे छोटी दूरी है।
$2$. माध्यिका $QQ_3$,$PR$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $PQ_3 = \frac{1}{2} PR$ है।
$3$. कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,कोण समद्विभाजक $QQ_2$,$PR$ को भुजाओं के अनुपात $PQ:QR = r:p$ में विभाजित करता है। अतः,$PQ_2 = \left(\frac{r}{r+p}\right) PR$ है।
चूँकि $r < p$,इसलिए $r+p > 2r$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{r}{r+p} < \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$PQ_2 < \frac{1}{2} PR = PQ_3$ है।
$PR$ पर बिंदुओं की स्थिति की तुलना करने पर,$PQ_1 < PQ_2 < PQ_3$ प्राप्त होता है। सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $(a-8)^2-(b-7)^2=5$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(a-8-b+7)(a-8+b-7)=5$
$\Rightarrow (a-b-1)(a+b-15)=5$
चूंकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं,$(a-b-1)$ और $(a+b-15)$ को $5$ के पूर्णांक गुणनखंड होना चाहिए। $xy=5$ के लिए संभावित जोड़े $(1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$ हैं।
स्थिति $1$: $a-b-1=1$ और $a+b-15=5 \Rightarrow a-b=2$ और $a+b=20$. जोड़ने पर $2a=22 \Rightarrow a=11$,अतः $b=9$.
स्थिति $2$: $a-b-1=5$ और $a+b-15=1 \Rightarrow a-b=6$ और $a+b=16$. जोड़ने पर $2a=22 \Rightarrow a=11$,अतः $b=5$.
स्थिति $3$: $a-b-1=-1$ और $a+b-15=-5 \Rightarrow a-b=0$ और $a+b=10$. जोड़ने पर $2a=10 \Rightarrow a=5$,अतः $b=5$.
स्थिति $4$: $a-b-1=-5$ और $a+b-15=-1 \Rightarrow a-b=-4$ और $a+b=14$. जोड़ने पर $2a=10 \Rightarrow a=5$,अतः $b=9$.
शीर्ष $(11, 9), (11, 5), (5, 5), (5, 9)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई आसन्न शीर्षों के बीच की दूरी है:
लंबाई $L = \sqrt{(11-11)^2+(9-5)^2} = 4$
चौड़ाई $W = \sqrt{(11-5)^2+(5-5)^2} = 6$
परिमाप $= 2(L+W) = 2(4+6) = 20$.

(B) मान लीजिए $P(n)$,$n$ के अंकों का गुणनफल है। हमें दिया गया है $P(n) = n^2-10n-36$.
चूंकि $P(n) \geq 0$,इसलिए $n^2-10n-36 \geq 0$। $n^2-10n-36 = 0$ को हल करने पर $n = 5 \pm \sqrt{61}$ प्राप्त होता है। चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $n \geq 5 + \sqrt{61} \approx 12.8$,अतः $n \geq 13$।
यदि $n$ एक $2$-अंकीय संख्या है,$n = 10a+b$,तो $P(n) = ab \leq 81$। अतः $n^2-10n-36 \leq 81$,जिसका अर्थ है $n^2-10n-117 \leq 0$। इसके मूल $5 \pm \sqrt{142} \approx 5 \pm 11.9$ हैं,इसलिए $n \leq 16.9$। अतः $n \in \{13, 14, 15, 16\}$।
$n=13$ के लिए,$P(13) = 1 \times 3 = 3$ और $13^2-10(13)-36 = 169-130-36 = 3$। यह संतुष्ट होता है।
$n=14, 15, 16$ के लिए समीकरण संतुष्ट नहीं होता है।
यदि $n$ एक $3$-अंकीय संख्या है,तो $n^2-10n-36$ का मान $3$-अंकीय संख्या के अधिकतम गुणनफल $729$ से बहुत अधिक हो जाता है।
अतः केवल $n=13$ ही हल है।

(C) दो आसन्न अंकों का योग विषम होने के लिए,एक अंक सम और दूसरा विषम होना चाहिए। अंकों का समूह $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ है,जहाँ विषम अंक $O = \{1, 3, 5\}$ (कुल $3$) और सम अंक $E = \{2, 4\}$ (कुल $2$) हैं।
स्थिति $I$: पुनरावृत्ति के साथ $(m)$
पैटर्न $1$: $O-E-O-E-O$. तरीकों की संख्या $= 3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 108$.
पैटर्न $2$: $E-O-E-O-E$. तरीकों की संख्या $= 2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 2 = 72$.
कुल $m = 108 + 72 = 180$.
स्थिति $II$: पुनरावृत्ति के बिना $(n)$
पैटर्न $1$: $O-E-O-E-O$. तरीकों की संख्या $= 3 \times 2 \times 2 \times 1 \times 1 = 12$.
पैटर्न $2$: $E-O-E-O-E$. यह असंभव है क्योंकि हमारे पास केवल $2$ सम अंक हैं और इस पैटर्न के लिए $3$ सम अंकों की आवश्यकता होती है।
कुल $n = 12$.
अतः,$\frac{m}{n} = \frac{180}{12} = 15$.

(B) माना शंकु की ऊँचाई और त्रिज्या क्रमशः $h$ और $r$ है,जहाँ $h, r \in \mathbb{Z}^+$.
दिया गया है कि शंकु का आयतन उसके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है:
$\frac{1}{3} \pi r^2 h = \pi r l + \pi r^2$,जहाँ $l = \sqrt{h^2 + r^2}$.
$\pi r$ से भाग देने पर $(r \neq 0)$:
$\frac{1}{3} r h = \sqrt{h^2 + r^2} + r$
$\frac{1}{3} r h - r = \sqrt{h^2 + r^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$r^2(\frac{h-3}{3})^2 = h^2 + r^2$
$r^2(h^2 - 6h + 9) = 9h^2 + 9r^2$
$r^2 h^2 - 6h r^2 = 9h^2$
$h$ से भाग देने पर:
$h(r^2 - 9) = 6r^2$
$h = 6 + \frac{54}{r^2 - 9}$.
$h$ के पूर्णांक होने के लिए,$r^2 - 9$ को $54$ का भाजक होना चाहिए और $r > 3$ होना चाहिए।
$54$ के भाजक $1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54$ हैं।
यदि $r^2 - 9 = 27$,तो $r^2 = 36 \Rightarrow r = 6$. अतः $h = 6 + 2 = 8$.
इस प्रकार,केवल एक ही शंकु संभव है $(r, h) = (6, 8)$.

(D) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $1$ है। अतः,$AB = AD = 1$.
मान लीजिए वर्ग $PQRS$ की भुजा की लंबाई $s$ है।
चूंकि $PQ$ और $RS$,$AC$ के समानांतर हैं,विकर्ण $AC$,$AB$ और $AD$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
मान लीजिए $A$ मूल बिंदु $(0,0)$ है। तो $A=(0,0)$,$B=(1,0)$,$D=(0,1)$ है।
चाप $BD$,वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ का हिस्सा है।
रेखा $AC$,$y=x$ है। चूंकि $PQ$,$AC$ के समानांतर है,इसका समीकरण $y=x+c$ है।
वर्ग $PQRS$ की ज्यामिति और चाप के गुणों का उपयोग करते हुए,भुजा की लंबाई $s$ के लिए $s^2 = 2/5$ प्राप्त होता है जब $ABCD$ की भुजा $1$ हो।
अतः,क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{s^2}{1^2} = \frac{2}{5}$ है।

(B) मान लीजिए समांतर भुजाएँ $AB = x$ और $CD = y$ हैं,और ऊँचाई $h$ है। समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times h(x + y) = 12$ है,जिसका अर्थ है $h(x + y) = 24$।
चूँकि $h, x, y$ पूर्णांक हैं,$h, 24$ का एक गुणनखंड होना चाहिए। समलंब चतुर्भुज के लिए,तिरछी भुजा ऊँचाई $h$ से बड़ी होनी चाहिए। यदि हम एक समकोण समलंब चतुर्भुज लें जहाँ एक तिरछी भुजा ऊँचाई के बराबर हो,तो $h=3$ के लिए,$x+y=8$ प्राप्त होता है। पाइथागोरस त्रिक $(4, 3, 5)$ का उपयोग करने पर,$x-y=4$ मिलता है।
$x+y=8$ और $x-y=4$ को हल करने पर,$x=6$ और $y=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|AB-CD| = |6-2| = 4$।

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ और $A^2 = A$ है।
$A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^2 = A$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $ab + bd = b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b(a + d) = b$.
चूंकि अवयव शून्य नहीं हैं,$b \neq 0$,इसलिए $b$ से विभाजित करने पर हमें $a + d = 1$ प्राप्त होता है।

(B) वक्र $y_1 = x^2-4$ और $y_2 = \frac{4-x^2}{2}$ हैं।
माना आयत के शीर्ष ऊपरी वक्र पर $C(h, y_2)$ और $D(-h, y_2)$ हैं,और निचले वक्र पर $B(h, y_1)$ और $A(-h, y_1)$ हैं,जहाँ $h > 0$ है।
आयत की चौड़ाई $2h$ है और ऊँचाई $y_2 - y_1 = \frac{4-x^2}{2} - (x^2-4) = 6 - \frac{3x^2}{2}$ है।
$x$ के स्थान पर $h$ रखने पर,क्षेत्रफल $A(h) = 2h \times (6 - \frac{3h^2}{2}) = 12h - 3h^3$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dh} = 12 - 9h^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{dA}{dh} = 0$ रखने पर,$9h^2 = 12$,अतः $h^2 = \frac{4}{3}$,जिसका अर्थ है $h = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 12(\frac{2}{\sqrt{3}}) - 3(\frac{2}{\sqrt{3}})^3 = \frac{24}{\sqrt{3}} - \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ है।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$A \approx \frac{16 \times 1.732}{3} \approx 9.237$ प्राप्त होता है।
$9.237$ के सबसे निकटतम पूर्णांक $9$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x |\sin x|$.
$x = n\pi$ (जहाँ $n \in Z$) पर,हम अवकलनीयता की परिभाषा का उपयोग करके जाँच करते हैं:
$f'(n\pi) = \lim_{x \to n\pi} \frac{f(x) - f(n\pi)}{x - n\pi} = \lim_{x \to n\pi} \frac{x |\sin x| - 0}{x - n\pi} = \lim_{x \to n\pi} \frac{x |\sin x|}{x - n\pi}$.
मान लीजिए $x = n\pi + h$,जहाँ $h \to 0$.
तब $f'(n\pi) = \lim_{h \to 0} \frac{(n\pi + h) |\sin(n\pi + h)|}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(n\pi + h) |(-1)^n \sin h|}{h} = \lim_{h \to 0} (n\pi + h) \frac{|\sin h|}{|h|} \cdot |h| \cdot \frac{(-1)^n}{h}$.
चूँकि $h \to 0$ होने पर $\frac{|\sin h|}{h} \to 1$,सीमा $\lim_{h \to 0} (n\pi + h) \cdot 1 \cdot \frac{|h|}{h} \cdot (-1)^n$ बन जाती है।
$n = 0$ के लिए,$f'(0) = \lim_{h \to 0} h \cdot \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0} |h| = 0$। अतः,$f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
$n \neq 0$ के लिए,सीमा $\lim_{h \to 0} n\pi \cdot (-1)^n \cdot \frac{|h|}{h}$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि बाएँ हाथ की सीमा $-n\pi(-1)^n$ है और दाएँ हाथ की सीमा $n\pi(-1)^n$ है।
इसलिए,$f(x)$ सभी $x$ के लिए अवकलनीय है सिवाय $x = n\pi$ जहाँ $n = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ है।

(C) $x=0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज की सीमा का परीक्षण करते हैं:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \left| \cos \left(\frac{\pi}{h}\right) \right| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \left| \cos \left(\frac{\pi}{h}\right) \right|$.
चूँकि $|\cos(\frac{\pi}{h})| \leq 1$,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim_{h \to 0} h \left| \cos \left(\frac{\pi}{h}\right) \right| = 0$. अतः,$f$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।
$x \neq 0$ के लिए,$f(x) = x^2 |\cos(\frac{\pi}{x})|$। फलन $|\cos(\frac{\pi}{x})|$ वहाँ अवकलनीय नहीं है जहाँ निरपेक्ष मान का तर्क शून्य हो,अर्थात $\cos(\frac{\pi}{x}) = 0$.
$\cos(\frac{\pi}{x}) = 0 \implies \frac{\pi}{x} = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in Z$.
$x = \frac{2}{2n+1}$.
अतः,$f$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ $x = \frac{2}{2n+1}$ है,जहाँ $n \in Z$।

(C) माना $I = \int_0^\pi (1 - |\sin 8x|) dx$.
हम समाकल को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_0^\pi 1 dx - \int_0^\pi |\sin 8x| dx$.
पहला भाग $\int_0^\pi dx = \pi$ है।
दूसरे भाग के लिए,माना $f(x) = |\sin 8x|$ है। $|\sin 8x|$ का आवर्तकाल $\frac{\pi}{8}$ है।
चूंकि अंतराल $[0, \pi]$ में $|\sin 8x|$ फलन के $8$ पूर्ण आवर्तकाल शामिल हैं,हम लिख सकते हैं:
$\int_0^\pi |\sin 8x| dx = 8 \int_0^{\pi/8} |\sin 8x| dx$.
अंतराल $[0, \pi/8]$ में,$\sin 8x \ge 0$ है,इसलिए $|\sin 8x| = \sin 8x$ होगा।
अतः,$8 \int_0^{\pi/8} \sin 8x dx = 8 \left[ -\frac{\cos 8x}{8} \right]_0^{\pi/8} = -(\cos \pi - \cos 0) = -(-1 - 1) = 2$.
इन मानों को $I$ के समीकरण में रखने पर:
$I = \pi - 2$.

(D) फलन $f^{\prime}(x) = \ln(x^2-1)$ तब परिभाषित होता है जब $x^2-1 > 0$,जिसका अर्थ है $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$।
चूंकि $S = (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ दो अलग-अलग अंतरालों से बना एक असंबद्ध समुच्चय है,इसलिए समाकलन के स्थिरांक को प्रत्येक अंतराल के लिए स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है।
मान लीजिए $x \in (1, \infty)$ के लिए $f(x) = \int \ln(x^2-1) dx + C_1$ और $x \in (-\infty, -1)$ के लिए $f(x) = \int \ln(x^2-1) dx + C_2$ है।
दिया गया है कि $f(2) = 0$,इसलिए हम $C_1$ को अद्वितीय रूप से निर्धारित कर सकते हैं।
हालाँकि,अंतराल $(1, \infty)$ पर फलन के मान को अंतराल $(-\infty, -1)$ से जोड़ने वाली कोई शर्त नहीं है।
चूंकि स्थिरांक $C_2$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है,इसलिए ऐसे अनंत फलन $f$ मौजूद हैं।

(D) दिया गया समीकरण $\int_0^x f(t) dt = p f(x)$ है।
यदि $p = 0$ है,तो सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\int_0^x f(t) dt = 0$ होगा। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f(x) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$p = 0$ के लिए कोई गैर-शून्य फलन $f$ मौजूद नहीं है।
यदि $p \neq 0$ है,तो कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f(x) = p f'(x) \implies \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{p}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)| = \frac{x}{p} + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि किसी स्थिरांक $A$ के लिए $f(x) = A e^{x/p}$ है।
इस मान को मूल समाकल समीकरण में $x = 0$ पर रखने पर:
$\int_0^0 f(t) dt = p f(0) \implies 0 = p A e^0 \implies p A = 0$.
चूंकि $p \neq 0$,इसलिए $A = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $f(x) = 0$ है।
अतः,किसी भी $p \in \mathbb{R}$ के लिए,दिए गए समीकरण को संतुष्ट करने वाला कोई गैर-शून्य निरंतर फलन $f$ मौजूद नहीं है।
इसलिए,$S = \mathbb{R}$।

(A) मान लीजिए $M$ वह घटना है कि एक पुरुष चुना जाता है और $W$ वह घटना है कि एक महिला चुनी जाती है। मान लीजिए $D$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी है और $D^c$ वह घटना है कि व्यक्ति को बीमारी नहीं है। मान लीजिए $T^+$ वह घटना है कि रक्त परीक्षण सकारात्मक है।
दिया गया है:
$P(M) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$
$P(W) = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$
$P(D|M) = \frac{1}{2}$,इसलिए $P(D^c|M) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(D|W) = \frac{1}{5}$,इसलिए $P(D^c|W) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
परीक्षण $\frac{4}{5}$ संभावना के साथ सही है,इसलिए:
$P(T^+|D) = \frac{4}{5}$ (सत्य सकारात्मक)
$P(T^+|D^c) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ (असत्य सकारात्मक)
हमें $P(M|T^+)$ ज्ञात करना है। बेयस प्रमेय द्वारा:
$P(M|T^+) = \frac{P(M) \cdot P(T^+|M)}{P(T^+)}$
$P(T^+|M) = P(T^+|D)P(D|M) + P(T^+|D^c)P(D^c|M) = (\frac{4}{5} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}) = \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$P(T^+|W) = P(T^+|D)P(D|W) + P(T^+|D^c)P(D^c|W) = (\frac{4}{5} \times \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} \times \frac{4}{5}) = \frac{4}{25} + \frac{4}{25} = \frac{8}{25}$
$P(T^+) = P(M)P(T^+|M) + P(W)P(T^+|W) = (\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}) + (\frac{2}{5} \times \frac{8}{25}) = \frac{3}{10} + \frac{16}{125} = \frac{75 + 32}{250} = \frac{107}{250}$
$P(M|T^+) = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{107}{250}} = \frac{3/10}{107/250} = \frac{3}{10} \times \frac{250}{107} = \frac{75}{107}$

(B) दी गई शर्त $|f(x)-f(y)|=|x-y|$ है,जहाँ $x, y \in [0,1]$ है।
इसका अर्थ है कि फलन $f$ की ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए,अर्थात $f'(x) = 1$ या $f'(x) = -1$ है।
स्थिति $1$: यदि $f'(x) = 1$,तो $f(x) = x + c$ है। सह-प्रांत $[0,1]$ होने के कारण,$f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ के लिए $f(0) \ge 0$ और $f(1) \le 1$ होना चाहिए। अतः,$0+c \ge 0$ और $1+c \le 1$,जिससे $c=0$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = x$ है।
स्थिति $2$: यदि $f'(x) = -1$,तो $f(x) = -x + c$ है। $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ के लिए $f(0) \le 1$ और $f(1) \ge 0$ होना चाहिए। अतः,$0+c \le 1$ और $-1+c \ge 0$,जिससे $c=1$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = 1-x$ है।
अतः,ऐसे ठीक $2$ फलन हैं: $f(x) = x$ और $f(x) = 1-x$।

(A) आव्यूह $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके अवयव $S = \{-1000, -999, \ldots, 1000\}$ समुच्चय से हैं। $S$ में कुल अवयवों की संख्या $2001$ है।
संभावित आव्यूहों $A$ की कुल संख्या $(2001)^9$ है।
स्थिति $1$: $A^2 = -I$. यदि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,तो अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I) = 0$ द्वारा दिया जाता है। केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A$ अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है। यदि $A^2 = -I$ है,तो न्यूनतम बहुपद $x^2 + 1$ को विभाजित करता है। चूंकि न्यूनतम बहुपद की घात को आयाम $3$ को विभाजित करना चाहिए,और $x^2+1$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए वास्तविक (पूर्णांक) अवयवों वाले $3 \times 3$ आव्यूह के लिए यह असंभव है। अतः,ऐसे आव्यूहों की संख्या $0$ है।
स्थिति $2$: $A$ एक विकर्ण आव्यूह है। मान लीजिए $A = \text{diag}(a, b, c)$ है। ऐसे आव्यूहों की संख्या $(2001)^3$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $(2001)^3$ है।
प्रायिकता $P = \frac{(2001)^3}{(2001)^9} = \frac{1}{(2001)^6}$ द्वारा दी जाती है।
हमारे पास $P = \frac{1}{(2001)^6} = \frac{1}{(2000 + 1)^6} = \frac{1}{2000^6 (1 + \frac{1}{2000})^6} = \frac{1}{64 \times 10^{18} (1 + \frac{1}{2000})^6}$ है।
चूंकि $(1 + \frac{1}{2000})^6 > 1$,इसलिए $P < \frac{1}{64 \times 10^{18}} < \frac{1}{10^{18}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P < \frac{1}{10^{18}}$।

(B) मान लीजिए $h(x) = g(f(x))$ है। हमें दिया गया है कि $h: [0,1] \rightarrow [0,2]$ आच्छादक है।
चूँकि $h$ आच्छादक है,$h$ का परिसर उसके सह-प्रांत $[0,2]$ के बराबर है।
चूँकि $h(x) = g(f(x))$,$h$ का परिसर $g$ के परिसर का एक उपसमुच्चय है।
अतः,$g$ के परिसर में $[0,2]$ शामिल होना चाहिए।
हालाँकि,$g$ का सह-प्रांत $[0,2]$ है,इसलिए $g$ का परिसर वास्तव में $[0,2]$ ही होना चाहिए।
यह दर्शाता है कि $g$ आच्छादक है।
चूँकि $g$ एकैकी दिया गया है और अब यह आच्छादक भी सिद्ध हो गया है,इसलिए $g$ एक बाइजेक्शन है।
$h = g \circ f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का आच्छादक होना अनिवार्य है।
यदि $f$ आच्छादक नहीं होता,तो $[-1,1]$ में कोई ऐसा $y$ मौजूद होता जो $f$ के परिसर में नहीं होता।
चूँकि $g$ एक बाइजेक्शन है,$g(y)$ का मान $g \circ f$ के परिसर में नहीं होता,जो $h$ की आच्छादकता का खंडन करता है।
इसलिए,$f$ को आच्छादक होना ही चाहिए।

(A) माना $g(x) = p(x) - x^2$ है।
दिया गया है कि $p(0) = 0$,इसलिए $g(0) = p(0) - 0^2 = 0$ है।
सभी $x \neq 0$ के लिए $p(x) > x^2$ है,इसलिए $g(x) > 0$ है।
अतः,$x = 0$ फलन $g(x)$ के लिए एक स्थानीय न्यूनतम है।
एक अवकलनीय फलन $g(x)$ के लिए $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम होने के लिए,द्वितीय अवकलज $g^{\prime \prime}(0) \geq 0$ होना चाहिए।
$g(x)$ का द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर:
$g^{\prime}(x) = p^{\prime}(x) - 2x$
$g^{\prime \prime}(x) = p^{\prime \prime}(x) - 2$
$x = 0$ पर:
$g^{\prime \prime}(0) = p^{\prime \prime}(0) - 2 = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}$ है।
चूंकि $-\frac{3}{2} < 0$ है,इसलिए $g^{\prime \prime}(0) \geq 0$ की शर्त का उल्लंघन होता है।
अतः,ऐसा कोई बहुपद $p(x)$ अस्तित्व में नहीं है।
ऐसे बहुपदों की संख्या $0$ है।

(A) हम सीमा $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
प्रतिस्थापन $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{dt}{\sqrt{n}}$ प्राप्त होता है।
जैसे ही $n \rightarrow \infty$,समाकलन $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^{\sqrt{n}} \frac{1}{(1 + t^2/n)^n} \cdot \frac{dt}{\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\sqrt{n}} (1 + t^2/n)^{-n} dt$ हो जाता है।
घातांकीय फलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + t^2/n)^{-n} = e^{-t^2}$ होता है।
अतः,$L = \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt$।
हम जानते हैं कि गॉसियन समाकलन $\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ है।
चूंकि $\pi \approx 3.14159$,इसलिए $\sqrt{\pi} \approx 1.772$।
अतः,$L = \frac{1.772}{2} = 0.886$।
चूंकि $0.5 < 0.886 < 2$,सही विकल्प $\frac{1}{2} < L < 2$ है।

(A) समुच्चय $A_n$ में $(n+1)^2$ बिंदु हैं। कम से कम दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखाओं की कुल संख्या $S_n$,$O(n^4)$ के रूप में बढ़ती है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $ax+by+c=0$ है,जहाँ $a, b, c$ पूर्णांक हैं।
मूल बिंदु से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=R^2$ है,जहाँ $R^2 = n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$ है।
एक रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा होती है यदि $d^2 = R^2$,जिसका अर्थ है $\frac{c^2}{a^2+b^2} = n^2\left(1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^2\right)$।
चूंकि $a, b, c$ पूर्णांक हैं,$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ एक परिमेय संख्या है। हालाँकि,अधिकांश $n$ के लिए,$R^2$ अपरिमेय है। यहाँ तक कि जब $R^2$ परिमेय होता है,तब भी इस शर्त को पूरा करने वाली रेखाओं की संख्या $S_n$ में रेखाओं की कुल संख्या की तुलना में नगण्य है जैसे-जैसे $n \rightarrow \infty$।
अतः,प्रायिकता $P_n$ कि एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है,$n \rightarrow \infty$ होने पर $0$ की ओर प्रवृत्त होती है।

(D) दिया गया है कि $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक एकैकी और सतत फलन है जो $-1 < f(0) < f(1) < 1$ को संतुष्ट करता है।
चूंकि $f$,$[0,1]$ पर सतत और एकैकी है,इसलिए इसे सख्ती से वर्धमान (strictly increasing) होना चाहिए।
$f$ का परिसर $[f(0), f(1)]$ है,जो $(-1, 1)$ का एक उपसमुच्चय है।
हमें ऐसे फलनों $g:[-1,1] \rightarrow [0,1]$ को खोजना है ताकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(g \circ f)(x) = x$ हो।
इसका अर्थ है कि किसी भी $y \in [f(0), f(1)]$ के लिए,$g(y) = f^{-1}(y)$ होगा।
हालाँकि,$y \in [-1, 1] \setminus [f(0), f(1)]$ के लिए,फलन $g(y)$ का मान $[0, 1]$ में कुछ भी हो सकता है क्योंकि इन मानों के लिए $g$ पर कोई प्रतिबंध नहीं है।
चूंकि समुच्चय $[-1, 1] \setminus [f(0), f(1)]$ रिक्त नहीं है और इसमें अनंत बिंदु हैं,इसलिए हम इस समुच्चय के लिए $g(y)$ को अनंत तरीकों से परिभाषित कर सकते हैं।
अतः,ऐसे अनंत फलन $g$ मौजूद हैं।