मान लीजिए A_1, A_2, ldots, A_m समुच्चय {1, 2, | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $|A_i| = n_i$ जहाँ $i = 1, 2, \ldots, m$ है। चूँकि समुच्चय युग्मवार असंयुक्त हैं और $100$ तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय हैं,उनके आकार

Vedclass · Accepted Answer

$13$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $|A_i| = n_i$ जहाँ $i = 1, 2, \ldots, m$ है। चूँकि समुच्चय युग्मवार असंयुक्त हैं और $100$ तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय हैं,उनके आकारों का योग निम्नलिखित होना चाहिए:$\sum_{i=1}^{m} |A_i| \leq 100$.चूँकि $|A_i|$ भिन्न धनात्मक पूर्णांक हैं,$m$ को अधिकतम करने के लिए,हम $|A_i|$ के लिए सबसे छोटे संभव भिन्न धनात्मक पूर्णांक चुनते हैं।अतः,$1 + 2 + 3 + \ldots + m \leq 100$ होना चाहिए।प्रथम $m$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $\frac{m(m+1)}{2}$ है।इसलिए,$\frac{m(m+1)}{2} \leq 100$,जिसका अर्थ है $m(m+1) \leq 200$।$m = 13$ के लिए,$13 	imes 14 = 182 \leq 200$ (सत्य)।$m = 14$ के लिए,$14 	imes 15 = 210 > 200$ (असत्य)।अतः,$m$ का अधिकतम मान $13$ है।

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