KVPY 2016 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) चूंकि वलय बिना फिसले लुढ़क रही है,इसलिए कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $h$ ऊँचाई पर कुल अंतिम स्थितिज ऊर्जा के बराबर है।
कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = स्थानांतरण गतिज ऊर्जा + घूर्णन गतिज ऊर्जा
$\Rightarrow K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
वलय के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = m R^{2}$ है और शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) की शर्त $v = R \omega$ है,जिसका अर्थ है $\omega = v / R$।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (m R^{2}) (v / R)^{2}$
$K.E. = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = m v^{2}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,अंतिम गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है,इसलिए कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$m v^{2} = m g h$
$h = \frac{v^{2}}{g}$

(A) अचानक हुए प्रसार में,समय की अवधि बहुत कम होती है।
चूंकि प्रक्रिया बहुत तेजी से होती है,इसलिए गैस और उसके परिवेश के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के लिए पर्याप्त समय नहीं मिलता है।
इसलिए,ऊष्मा का प्रवाह $\Delta Q = 0$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,वह ऊष्मागतिक प्रक्रिया जिसमें कोई ऊष्मा न तो प्रणाली में प्रवेश करती है और न ही बाहर निकलती है,रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया कहलाती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) स्थायी अवस्था में,छिद्र के माध्यम से गैस अणुओं के विसरण की दर दोनों तरफ से समान होनी चाहिए। ऐसे छिद्र के लिए जहाँ $d \gg \lambda$ हो,प्रवाह हाइड्रोडायनामिक स्थितियों द्वारा नियंत्रित होता है,जिसका अर्थ है कि दोनों भागों में दबाव समान होना चाहिए,अर्थात $P_{I} = P_{II}$।
गैस अणु का माध्य मुक्त पथ $\lambda$ सूत्र $\lambda = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi d_{m}^{2}P}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d_{m}$ अणु का व्यास है।
इस समीकरण से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{T}{P}$।
इस स्थिति के लिए स्थायी अवस्था में $P_{I} = P_{II}$ होने के कारण,माध्य मुक्त पथ का अनुपात होगा:
$\frac{\lambda_{I}}{\lambda_{II}} = \frac{T_{I} / P_{I}}{T_{II} / P_{II}} = \frac{T_{I}}{T_{II}}$
दिए गए तापमान के मान रखने पर:
$\frac{\lambda_{I}}{\lambda_{II}} = \frac{150}{300} = 0.5$
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}$ द्वारा दी गई है।
संतुलन बिंदु खोजने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $U(x)$ का अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dU}{dx} = x^3 - x = x(x^2 - 1) = 0$.
इससे $x = 0$ और $x = \pm 1$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $\frac{d^2U}{dx^2} = 3x^2 - 1$.
$x = 0$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = -1$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = \pm 1$ पर,$\frac{d^2U}{dx^2} = 2$ (स्थानीय न्यूनतम)।
स्थितिज ऊर्जा का ग्राफ $x = 0$ पर एक अवरोध द्वारा अलग किए गए दो कुओं को दर्शाता है। चूंकि कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ छोटी और ऋणात्मक है (विशेष रूप से,$E < U(0) = 0$),कण एक स्थितिज ऊर्जा कूप में फंसा हुआ है।
यह देखते हुए कि $t = 0 \, s$ पर,कण $x = -0.5 \, m$ पर है,यह बाईं ओर के स्थितिज ऊर्जा कूप में स्थित है। चूंकि कुल ऊर्जा $x = 0$ पर स्थितिज ऊर्जा अवरोध से कम है,कण अवरोध को पार नहीं कर सकता है और $x = -1.0 \, m$ से $x = 0.0 \, m$ के क्षेत्र में टर्निंग पॉइंट्स के बीच सीमित रहेगा।

(D) रक्तचाप को गेज दबाव के रूप में मापा जाता है।
वास्तविक दबाव $=$ वायुमंडलीय दबाव $+$ गेज दबाव।
दिया गया है,वायुमंडलीय दबाव $\approx 760 \,mm$ of $Hg$ और गेज दबाव $= 190 \,mm$ of $Hg$ है।
इसलिए,वास्तविक दबाव $= 760 \,mm$ of $Hg + 190 \,mm$ of $Hg = 950 \,mm$ of $Hg$ होगा।
अब,वायुमंडलीय दबाव के साथ अनुपात की गणना करने पर:
$\frac{950 \,mm \text{ of } Hg}{760 \,mm \text{ of } Hg} = 1.25$.
अतः,वास्तविक दबाव वायुमंडलीय दबाव का $1.25$ गुना है।

(B) वक्र पथ पर गति कर रहे कण के वेग $v$ को त्रिज्यीय $(v_r = dr/dt)$ और अनुप्रस्थ $(v_{\theta} = r(d\theta/dt))$ वेग घटकों में वियोजित किया जा सकता है।
परिणामी वेग $v$ और त्रिज्यीय वेग $v_r$ के बीच का कोण $\alpha$,$\tan \alpha = v_{\theta} / v_r$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{\theta}$ और $v_r$ के व्यंजक रखने पर:
$\tan \alpha = \frac{r(d\theta/dt)}{dr/dt} = r \cdot \frac{d\theta}{dr} = \frac{r}{dr/d\theta}$
यहाँ दिया गया है कि $dr/d\theta = r$,इसलिए:
$\tan \alpha = \frac{r}{r} = 1$
अतः,$\alpha = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(B) ठोस में दो परमाणुओं की स्थितिज ऊर्जा $U$ को उनके पृथक्करण $r$ के फलन के रूप में एक असममित वक्र द्वारा दर्शाया जाता है।
जैसे-जैसे ठोस का तापमान बढ़ता है,परमाणुओं की कंपन ऊर्जा बढ़ती है।
स्थितिज ऊर्जा वक्र की असममितता के कारण,परमाणु उच्च ऊर्जा पर बड़े आयामों के साथ कंपन करते हैं।
चूंकि वक्र $r < r_0$ (जहां $r_0$ संतुलन पृथक्करण है) के लिए अधिक तीव्र है और $r > r_0$ के लिए कम तीव्र है,इसलिए जैसे-जैसे कुल ऊर्जा बढ़ती है,परमाणुओं के बीच का औसत पृथक्करण बढ़ जाता है।
परमाणुओं के औसत पृथक्करण में यह वृद्धि ठोस के स्थूल ऊष्मीय प्रसार के रूप में प्रकट होती है।

(B) ध्वनि स्तर (डेसिबल में) को $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $I$ ध्वनि की तीव्रता है और $I_0$ संदर्भ तीव्रता है।
एंटीलॉग लेने पर,हमें $\frac{I}{I_0} = 10^{\beta/10}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I = I_0 \times 10^{\beta/10}$।
दिया गया रैखिक संबंध $\beta = kf + c$ है,जहाँ $f$ आवृत्ति ($kHz$ में) है:
$f = 1 \, kHz$ पर,$\beta = 20 \implies 20 = k(1) + c \quad (i)$।
$f = 9 \, kHz$ पर,$\beta = 60 \implies 60 = k(9) + c \quad (ii)$।
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर: $40 = 8k \implies k = 5$।
$k = 5$ को $(i)$ में रखने पर: $20 = 5 + c \implies c = 15$।
अतः,$f = 5 \, kHz$ पर,$\beta = 5(5) + 15 = 40 \, dB$।
अब,तीव्रताओं की गणना करने पर:
$I_{1 \, kHz} = I_0 \times 10^{20/10} = I_0 \times 10^2$।
$I_{5 \, kHz} = I_0 \times 10^{40/10} = I_0 \times 10^4$।
इसलिए,अनुपात $\frac{I_{5 \, kHz}}{I_{1 \, kHz}} = \frac{10^4}{10^2} = 100$ है। $5 \, kHz$ पर तीव्रता $1 \, kHz$ पर तीव्रता की $100$ गुना है।

(C) जब गुब्बारे को क्षैतिज रूप से थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो उत्प्लावन बल का क्षैतिज घटक जमीन से जुड़ी डोरी के सिरे के परितः एक टॉर्क उत्पन्न करता है। यह टॉर्क गुब्बारे के पार्श्व दोलन उत्पन्न करता है।
प्रत्यानयन टॉर्क है:
$\tau_1 = F_b \sin \theta \times l = V(\rho_{air} - \rho_{He})g l \sin \theta$
छोटे कोणीय विस्थापन के लिए,$\sin \theta \approx \theta$,अतः:
$\tau_1 = V(\rho_{air} - \rho_{He})g l \theta$
गुब्बारे पर जड़त्वीय टॉर्क है:
$\tau_2 = I \alpha = (m l^2) \alpha = (V \rho_{He}) l^2 \alpha$
दोनों टॉर्क को बराबर करने पर (प्रत्यानयन प्रकृति को ध्यान में रखते हुए):
$V \rho_{He} l^2 \alpha = -V(\rho_{air} - \rho_{He}) g l \theta$
$\alpha = -\left(\frac{\rho_{air} - \rho_{He}}{\rho_{He}}\right) \frac{g}{l} \theta$
सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega^2 = \left(\frac{\rho_{air} - \rho_{He}}{\rho_{He}}\right) \frac{g}{l}$
आवर्तकाल $T$ है:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\left(\frac{\rho_{He}}{\rho_{air} - \rho_{He}}\right) \frac{l}{g}}$

(A) द्रव्यमान $m_1$ की स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि $m_1$ और $m_2$ की गतिज ऊर्जा और घिरनी की घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,साथ ही $m_2$ की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$m_1 g h = m_2 g h + \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
यहाँ,$m_1$ दूरी $h$ नीचे गिरता है,$m_2$ दूरी $h$ ऊपर उठता है,$v$ द्रव्यमानों की चाल है जब वे एक-दूसरे को पार करते हैं,और $\omega = \frac{v}{R}$ घिरनी की कोणीय चाल है।
समीकरण में $\omega = \frac{v}{R}$ रखने पर:
$(m_1 - m_2) g h = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{R}\right)^2$
$(m_1 - m_2) g h = \frac{1}{2} v^2 \left(m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}\right)$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{2 g h (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}$
$v = \sqrt{\frac{2 g h (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}}$
अतः,चाल $v$,$\sqrt{\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2 + \frac{I}{R^2}}}$ के समानुपाती है।

(A) दिए गए $T-S$ चक्र में:
$b-c$ और $a-d$ समतापीय प्रक्रियाएं हैं। चूंकि एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है $(U = nC_vT)$, इसलिए इन प्रक्रियाओं के दौरान $U$ स्थिर रहता है। इस प्रकार, $U-V$ आरेख पर, ये क्षैतिज रेखाओं के रूप में दिखाई देती हैं।
$a-b$ और $c-d$ समएन्ट्रोपिक (रुद्धोष्म) प्रक्रियाएं हैं $(S = \text{स्थिर})$. रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिर}$। चूंकि $U \propto T$, हमारे पास $UV^{\gamma-1} = \text{स्थिर}$ है, जिसका अर्थ है $U \propto V^{1-\gamma}$। यह $U-V$ आरेख पर एक वक्र को दर्शाता है।
प्रक्रियाओं की तुलना करने पर: $b-c$ में, $T$ उच्च है, इसलिए $U$ उच्च है। $a-d$ में, $T$ कम है, इसलिए $U$ कम है। इस प्रकार, $U-V$ आरेख पर चक्र में विभिन्न $U$ स्तरों पर दो क्षैतिज रेखाएं होती हैं, जो दो वक्रों द्वारा जुड़ी होती हैं। यह विकल्प $A$ में दिए गए निरूपण से मेल खाता है।

(A) उत्क्रमणीय रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम $dQ = dU + dW = 0$ है,इसलिए $dU = -dW$।
दिया गया है $dU = C_V dT$ और $dW = P dV = \frac{RT}{V} dV$ (एक मोल आदर्श गैस के लिए)।
अतः,$C_V dT = -\frac{RT}{V} dV$।
$C_V = \frac{3R(1 + aRT)}{2}$ रखने पर:
$\frac{3R(1 + aRT)}{2} dT = -\frac{RT}{V} dV$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{3(1 + aRT)}{2T} dT = -\frac{R}{V} dV$।
$\frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\frac{R}{V} dV$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{3}{2} (\frac{1}{T} + aR) dT = -\int \frac{R}{V} dV$।
$\frac{3}{2} (\ln T + aRT) = -R \ln V + \text{नियतांक}$।
$\ln T^{3/2} + \frac{3}{2} aRT = -\ln V^R + \text{नियतांक}$।
$\ln (T^{3/2} V^R) + \frac{3}{2} aRT = \text{नियतांक}$।
चूंकि $R$ एक नियतांक है,हम इसे $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{नियतांक}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $TV^{3/2} e^{aRT} = \text{नियतांक}$ है।

(A) हम मूल बिंदु को $P$ पर चुनते हैं। छोटे घन के शीर्ष $O$ के निर्देशांक $(b, b, b)$ हैं।
मान लीजिए घन का द्रव्यमान घनत्व $\rho$ है।
बड़े घन का द्रव्यमान $M_1 = \rho a^3$ है और इसका द्रव्यमान केंद्र $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ पर है।
हटाए गए छोटे घन का द्रव्यमान $M_2 = \rho b^3$ है और इसका द्रव्यमान केंद्र $(\frac{b}{2}, \frac{b}{2}, \frac{b}{2})$ पर है।
शेष ठोस के द्रव्यमान केंद्र के लिए ऋणात्मक द्रव्यमान के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$x_{CM} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2} = b$
$\Rightarrow \frac{\rho a^3 (a/2) - \rho b^3 (b/2)}{\rho a^3 - \rho b^3} = b$
$\Rightarrow \frac{a^4 - b^4}{2(a^3 - b^3)} = b$
$\Rightarrow a^4 - b^4 = 2b(a^3 - b^3)$
$b^4$ से विभाजित करने पर और $X = a/b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$X^4 - 1 = 2(X^3 - 1)$
$X^4 - 2X^3 + 1 = 0$
चूंकि $X \neq 1$,हम $(X-1)$ से विभाजित करते हैं:
$(X-1)(X^3 - X^2 - X - 1) = 0$
अतः,$X^3 - X^2 - X - 1 = 0$.

(D) व्यक्ति का विस्थापन सदिश $r = 3.18 \,km$ है जो पूर्व से उत्तर की ओर $\theta = 25.0^{\circ}$ के कोण पर है।
उत्तर दिशा में और फिर पूर्व दिशा में चलकर उसी स्थान पर पहुँचने के लिए,हमें विस्थापन सदिश को उसके आयताकार घटकों में वियोजित करना होगा।
पूर्व दिशा (x-अक्ष) के अनुदिश घटक $x = r \cos \theta = 3.18 \times \cos 25.0^{\circ} \approx 3.18 \times 0.9063 = 2.88 \,km$ है।
उत्तर दिशा (y-अक्ष) के अनुदिश घटक $y = r \sin \theta = 3.18 \times \sin 25.0^{\circ} \approx 3.18 \times 0.4226 = 1.34 \,km$ है।
अतः,उसी स्थान पर पहुँचने के लिए व्यक्ति को $1.34 \,km$ उत्तर की ओर और $2.88 \,km$ पूर्व की ओर चलना होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया है: लंबाई $l = 3.95 \,m$,$\Delta l = 0.05 \,m$. चौड़ाई $b = 3.05 \,m$,$\Delta b = 0.05 \,m$.
क्षेत्रफल $A = l \times b = 3.95 \times 3.05 = 12.0475 \,m^2 \approx 12.05 \,m^2$.
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b}$ द्वारा दी जाती है।
$\Delta A = A \times \left( \frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta b}{b} \right) = 12.0475 \times \left( \frac{0.05}{3.95} + \frac{0.05}{3.05} \right)$.
$\Delta A = 12.0475 \times (0.012658 + 0.016393) = 12.0475 \times 0.029051 \approx 0.35 \,m^2$.
उचित सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$\Delta A \approx 0.34 \,m^2$ प्राप्त होता है।
अतः,फर्श का क्षेत्रफल $12.05 \pm 0.34 \,m^2$ है।

(C) $R$ त्रिज्या और $v$ चाल वाले पहले पथ के लिए:
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi R}{v} \Rightarrow v = \frac{2\pi R}{T}$.
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R}$.
$R' = 2R$ त्रिज्या और $v'$ चाल वाले दूसरे पथ के लिए:
नया अभिकेंद्र त्वरण $a_c' = 8a_c = \frac{v'^2}{2R}$.
समीकरण में $a_c = \frac{v^2}{R}$ रखने पर: $\frac{v'^2}{2R} = 8 \left( \frac{v^2}{R} \right) \Rightarrow v'^2 = 16v^2 \Rightarrow v' = 4v$.
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है:
$T' = \frac{2\pi R'}{v'} = \frac{2\pi (2R)}{4v} = \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi R}{v} \right) = \frac{T}{2}$.

(B) आउटपुट शक्ति $P$,गिरते हुए पानी की प्रति सेकंड स्थितिज ऊर्जा का $50 \%$ है।
शक्ति $P = 0.50 \times \left( \frac{mgh}{t} \right)$.
चूंकि द्रव्यमान $m = \rho V$,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(1000 \,kg/m^3)$ है और $V$ आयतन है,इसलिए:
$P = 0.50 \times \left( \frac{V}{t} \right) \rho g h$.
दिया गया है $P = 1.00 \times 10^9 \,W$,$g = 10 \,ms^{-2}$,$\rho = 1000 \,kg/m^3$,और $h = 500 \,m$.
प्रवाह दर $\frac{V}{t}$ के लिए सूत्र:
$\frac{V}{t} = \frac{P}{0.50 \times \rho \times g \times h}$.
$\frac{V}{t} = \frac{1.00 \times 10^9}{0.50 \times 1000 \times 10 \times 500}$.
$\frac{V}{t} = \frac{1.00 \times 10^9}{2.5 \times 10^6} = 400 \,m^3/s$.

(C) गेंद की गति को तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. $A$ से $B$ तक: सतह क्षैतिज है,इसलिए गेंद एक स्थिर वेग के साथ चलती है। दूरी-समय ग्राफ एक स्थिर ढलान वाली सीधी रेखा है।
$2$. $B$ से $C$ तक: सतह झुकी हुई है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण के कारण गेंद त्वरित होती है। वेग बढ़ता है,और दूरी-समय ग्राफ बढ़ती ढलान के साथ एक परवलयिक वक्र है।
$3$. $C$ से $D$ तक: सतह फिर से क्षैतिज है,इसलिए गेंद एक नए स्थिर वेग (प्रारंभिक वेग से अधिक) के साथ चलती है। दूरी-समय ग्राफ $A B$ अनुभाग की तुलना में अधिक स्थिर ढलान वाली एक सीधी रेखा है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ इस व्यवहार का सही प्रतिनिधित्व करता है,जहाँ प्रारंभिक सीधे अनुभाग के बाद ढलान बढ़ जाती है और फिर एक उच्च मान पर स्थिर रहती है।

(B) मान लीजिए कि जमीन से बिंदु की ऊँचाई $h$ है।
नीचे की ओर $u$ गति से फेंके गए पहले पत्थर के लिए:
$-h = -u t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2 \Rightarrow h = u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 \quad \dots(i)$
ऊपर की ओर $u$ गति से फेंके गए दूसरे पत्थर के लिए:
$-h = u t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2 \Rightarrow h = \frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2 \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2$
$u(t_1 + t_2) = \frac{1}{2} g (t_2^2 - t_1^2) = \frac{1}{2} g (t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$
$u = \frac{g}{2} (t_2 - t_1)$
दूसरे पत्थर द्वारा जमीन से प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$,बिंदु की ऊँचाई $h$ और बिंदु से ऊपर प्राप्त ऊँचाई का योग है:
$H = h + \frac{u^2}{2g}$
$(ii)$ से $h$ और $u$ का मान रखने पर:
$H = (\frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2) + \frac{u^2}{2g}$
$H = \frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{g}{2}(t_2 - t_1)t_2 + \frac{1}{2g} \cdot \frac{g^2}{4}(t_2 - t_1)^2$
$H = \frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{1}{2} g t_2^2 + \frac{1}{2} g t_1 t_2 + \frac{g}{8}(t_2^2 - 2 t_1 t_2 + t_1^2)$
$H = \frac{g}{8}(4 t_1 t_2 + t_2^2 - 2 t_1 t_2 + t_1^2) = \frac{g}{8}(t_1^2 + 2 t_1 t_2 + t_2^2) = \frac{g}{8}(t_1 + t_2)^2$

(A) दिया गया विभव $V(r) = K r^{-n}$ है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F$,विभव के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है:
$F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{d}{dr}(K r^{-n}) = -K(-n)r^{-n-1} = \frac{nK}{r^{n+1}}$.
$m$ द्रव्यमान का कण जब $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ चाल से गति करता है,तो अभिकेंद्र बल इस केंद्रीय बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$\frac{mv^2}{r} = F = \frac{nK}{r^{n+1}}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$v^2 = \frac{nK}{m} \cdot \frac{r}{r^{n+1}} = \frac{nK}{m} \cdot r^{-n}$.
अतः,$v^2 r^n = \frac{nK}{m}$.
चूंकि $n$,$K$ और $m$ नियतांक हैं,इसलिए $v^2 r^n$ का मान स्थिर रहेगा।
अतः,$v_1^2 r_1^n = v_2^2 r_2^n$.

(D) सही उत्तर $D$ है।
थर्मामीटर में उपयोग किए जाने वाले तरल को आसानी से दिखाई देने वाला,समान रूप से और काफी हद तक फैलने वाला और कमरे के तापमान पर तरल अवस्था में रहना चाहिए।
पारे का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि इसका ऊष्मीय प्रसार गुणांक अधिक होता है,यह चमकदार होता है (जिससे इसे पढ़ना आसान हो जाता है),और यह कमरे के तापमान पर तरल होता है।
उच्च घनत्व पारे का एक भौतिक गुण है,लेकिन यह क्लिनिकल थर्मामीटर में इसके उपयोग के लिए कोई आवश्यकता या कारण नहीं है।

(A) समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र से $d$ दूरी पर स्थित अक्ष के परितः किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I = I_{CM} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ ऊंचाई वाले एक समान त्रिकोणीय लैमिना के लिए,द्रव्यमान केंद्र उसके आधार से $h/3$ दूरी पर स्थित होता है।
यदि अक्ष आधार से $x$ दूरी पर है,तो द्रव्यमान केंद्र से अक्ष की दूरी $d = |x - h/3|$ होगी।
इसे प्रमेय में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = I_{CM} + M(x - h/3)^2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण ऊपर की ओर खुलने वाले एक परवलय को दर्शाता है जिसका शीर्ष $x = h/3$ पर है,जहाँ जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम $(I = I_{CM})$ होता है।
जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $h$ तक बढ़ता है,$I$ का मान पहले $x = h/3$ तक घटता है और फिर $x$ के $h/3$ से आगे बढ़ने पर बढ़ता है।
अतः,जो ग्राफ $x = h/3$ पर न्यूनतम मान वाला परवलयाकार वक्र दर्शाता है,वही सही है।

(C) त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB=3 \,cm, AC=4 \,cm$ और $BC=5 \,cm$ हैं। चूंकि $3^2 + 4^2 = 5^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $A$ पर समकोण है।
प्लेट का द्रव्यमान $M = 540 \,g$ है। प्लेट का भार उसके केंद्रक $G$ से होकर गुजरता है।
$BC$ भुजा को क्षैतिज रखने के लिए,प्लेट के भार के कारण बिंदु $A$ पर लगने वाले टॉर्क को एक शीर्ष पर जोड़े गए अतिरिक्त द्रव्यमान $m_1$ द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
$AE$ भुजा $BC$ पर लंब है। $\triangle ABC$ में,$AE = (AB \times AC) / BC = (3 \times 4) / 5 = 2.4 \,cm$.
$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{3^2 - 2.4^2} = 1.8 \,cm$.
$EC = BC - BE = 5 - 1.8 = 3.2 \,cm$.
केंद्रक $G$ की $A$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से क्षैतिज दूरी $GH = 1.4/3 \,cm$ है।
संतुलन के लिए,$M \times g \times GH = m_1 \times g \times BE$.
$540 \times (1.4/3) = m_1 \times 1.8$.
$180 \times 1.4 = m_1 \times 1.8$.
$252 = 1.8 \times m_1 \Rightarrow m_1 = 140 \,g$ जिसे $B$ पर जोड़ा जाना चाहिए।

(C) गोली की गतिज ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे गोली और मोम दोनों का तापमान बढ़ जाता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} m_b v_b^2 = (m_w c_w + m_b c_b) \Delta T$
दिया गया है:
$m_b = 20 \,g = 0.02 \,kg$,$v_b = 2000 \,m/s$,$c_b = 5000 \,J/(kg \cdot ^{\circ}C)$
$m_w = 1.0 \,kg$,$c_w = 3000 \,J/(kg \cdot ^{\circ}C)$,$T_i = 25^{\circ}C$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 0.02 \times (2000)^2 = (1.0 \times 3000 + 0.02 \times 5000) \Delta T$
$0.01 \times 4,000,000 = (3000 + 100) \Delta T$
$40,000 = 3100 \Delta T$
$\Delta T = \frac{400}{31} \approx 12.9^{\circ}C$
अंतिम तापमान $T_f = T_i + \Delta T = 25 + 12.9 = 37.9^{\circ}C$.

(A) माना प्रत्येक छड़ की लंबाई $l$ है और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
जब पिंड को एक सिरे से लटकाया जाता है,तो दूसरी भुजा क्षैतिज रहती है। प्रत्येक भुजा का भार उसके मध्य बिंदु पर कार्य करता है।
चित्र के अनुसार,टॉर्क को संतुलित करने पर:
$Mg \times (l/2) \cos \theta = Mg \times (l/2)(1 - 2 \cos \theta)$
$\Rightarrow \cos \theta = 1 - 2 \cos \theta$
$\Rightarrow 3 \cos \theta = 1$
$\Rightarrow \cos \theta = 1/3$
अतः,$\theta = \cos ^{-1}(1/3)$।

(C) किरणें प्रतिबिंब बनाते समय एक-दूसरे को काट सकती हैं।
- प्रकाश किरणें प्रकाश तरंगों का पथ दर्शाती हैं और दो तरंगें एक-दूसरे की विशेषताओं को प्रभावित किए बिना एक-दूसरे को पार कर सकती हैं।
- स्ट्रीमलाइन प्रवाह में,बहते द्रव की विभिन्न परतें एक-दूसरे के साथ नहीं मिलती हैं। इसलिए,पूरे प्रवाह में स्ट्रीमलाइन्स कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं।
- विद्युत क्षेत्र रेखाएं और चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं क्योंकि अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर क्षेत्र की केवल एक ही अद्वितीय दिशा होती है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{\max} = \frac{h c}{\lambda} - \phi_{0}$
अतः,कार्य फलन $\phi_{0}$ है:
$\phi_{0} = \frac{h c}{\lambda} - K_{\max} \quad \dots(i)$
जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला इलेक्ट्रॉन $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $v$ वेग से गति करता है,तो वह $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है:
$R = \frac{m v}{q B} \implies v = \frac{q B R}{m}$
अधिकतम गतिज ऊर्जा है:
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m \left( \frac{q B R}{m} \right)^{2} = \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
$K_{\max}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\phi_{0} = \frac{h c}{\lambda} - \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
ध्यान दें कि विकल्प $(d)$ इस परिणाम के समान है:
$2 m \left( \frac{q B R}{2 m} \right)^{2} = 2 m \left( \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{4 m^{2}} \right) = \frac{q^{2} B^{2} R^{2}}{2 m}$
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) जैसे-जैसे छड़ दाईं ओर बढ़ती है,लूप का क्षेत्रफल बढ़ता है,जिससे लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा इस फ्लक्स वृद्धि का विरोध करने के लिए प्रवाहित होगी। अतः,धारा वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में बहती है।
छड़ पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = IlB = (\frac{Blv}{R})lB = \frac{B^2l^2v}{R}$ है। यह बल गति के विपरीत दिशा में यानी बाईं ओर कार्य करता है।
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = -F = -\frac{B^2l^2v}{R}$।
इस प्रकार,$m \frac{dv}{dt} = -\frac{B^2l^2v}{R}$। यह दर्शाता है कि वेग समय के साथ घातीय रूप से घटता है,न कि रैखिक रूप से।
दूरी $x$ ज्ञात करने के लिए,हम $v \frac{dv}{dx} = -\frac{B^2l^2v}{Rm}$ का उपयोग करते हैं।
$dv = -\frac{B^2l^2}{Rm} dx$ का $v_0$ से $0$ और $0$ से $x_{max}$ तक समाकलन करने पर:
$v_0 = \frac{B^2l^2}{Rm} x_{max} \Rightarrow x_{max} = \frac{m v_0 R}{B^2l^2}$।
अतः,तय की गई दूरी $R$ के समानुपाती है।

(B) जब इलेक्ट्रॉनों को $V$ वोल्ट के विभव के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो इलेक्ट्रॉनों द्वारा प्राप्त संवेग $p = \sqrt{2meV}$ होता है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$e$ आवेश है और $V$ विभव है।
इन इलेक्ट्रॉनों से जुड़ी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ होती है।
यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ स्क्रीन की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें $\beta = \frac{hD}{d\sqrt{2meV}}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
यदि विभव को दोगुना कर दिया जाए $(V_f = 2V_i)$,तो नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta_f = \frac{\beta_i}{\sqrt{2}} = \frac{\omega}{\sqrt{2}} \approx 0.707\omega$ होगी।
इसलिए,चौड़ाई $0.7\omega$ के करीब है।

(C) जब एक धात्विक गोले को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो धातु में मौजूद मुक्त इलेक्ट्रॉन खुद को इस तरह पुनर्वितरित करते हैं कि चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं संपर्क के प्रत्येक बिंदु पर चालक की सतह के लंबवत होनी चाहिए।
जैसे-जैसे क्षेत्र रेखाएं धात्विक गोले के पास पहुंचती हैं,वे गोले की सतह के लंबवत (परपेंडिकुलर) होने के लिए मुड़ जाती हैं।
गोले से गुजरने के बाद,वे दूसरी तरफ से बाहर निकलती हैं,और फिर से सतह के लंबवत रहती हैं।
विकल्प $(c)$ सही ढंग से दिखाता है कि क्षेत्र रेखाएं धात्विक गोले की सतह से लंबवत मिलने के लिए मुड़ती हैं और दूसरी तरफ से लंबवत बाहर निकलती हैं,जबकि गोले से दूर एक समान क्षेत्र पैटर्न बनाए रखती हैं।
इसलिए,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) मूल अवस्था $(n=1)$ में हाइड्रोजन परमाणु की प्रथम उत्तेजन ऊर्जा (first excitation energy),प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ तक जाने के लिए $E_2 - E_1 = -3.4 \,eV - (-13.6 \,eV) = 10.2 \,eV$ होती है।
यदि आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E$,$10.2 \,eV$ से कम है,तो हाइड्रोजन परमाणु कोई ऊर्जा अवशोषित नहीं कर सकता क्योंकि $n=1$ और $n=2$ के बीच कोई ऊर्जा स्तर उपलब्ध नहीं है। परिणामस्वरूप,आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है और टक्कर प्रत्यास्थ होती है।
यदि गतिज ऊर्जा $E$,$10.2 \,eV$ या उससे अधिक है,तो हाइड्रोजन परमाणु $n=2$ अवस्था में जाने के लिए $10.2 \,eV$ ऊर्जा का अवशोषण कर सकता है। इस स्थिति में,टक्कर अप्रत्यास्थ (inelastic) होती है।
अतः,$E < 10.2 \,eV$ के लिए टक्कर प्रत्यास्थ होगी।

(D) $X$-ray स्पेक्ट्रम का निरंतर भाग तब उत्पन्न होता है जब एक उच्च-गति वाला इलेक्ट्रॉन (जिसे अक्सर प्रक्षेप्य या आपतित इलेक्ट्रॉन कहा जाता है) लक्ष्य परमाणु के नाभिक के विद्युत क्षेत्र द्वारा धीमा हो जाता है। इस प्रक्रिया को ब्रेमस्ट्रालांग (Bremsstrahlung) या ब्रेकिंग रेडिएशन के रूप में जाना जाता है।
इस अंतःक्रिया के दौरान,इलेक्ट्रॉन अपनी गतिज ऊर्जा खो देता है,जो $X$-ray फोटॉन के रूप में उत्सर्जित होती है। उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta K = hf$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta K$ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन है।
यह प्रक्रिया अनिवार्य रूप से प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) के विपरीत है। प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,किसी पदार्थ से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए फोटॉन का अवशोषण होता है। निरंतर $X$-ray के उत्पादन में,फोटॉन उत्सर्जित करने के लिए इलेक्ट्रॉन को धीमा किया जाता है। इसलिए,इसे व्युत्क्रम प्रकाश-विद्युत प्रभाव कहा जाता है।

(C) एक फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
एक इलेक्ट्रॉन के लिए,संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
फोटॉन की ऊर्जा और इलेक्ट्रॉन के संवेग का अनुपात लेने पर:
$\frac{E}{p} = \frac{hc / \lambda}{h / \lambda} = c$.
यहाँ दिया गया है कि फोटॉन और इलेक्ट्रॉन दोनों के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ समान है,इसलिए अनुपात केवल प्रकाश की गति $c$ पर निर्भर करता है।
$c = 3 \times 10^8 \, m/s$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{E}{p} = 3 \times 10^8 \, m/s$.

(A) जब प्रोटॉन के परिमित द्रव्यमान को ध्यान में रखा जाता है,तो ऊर्जा व्यंजक में इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $m_e$ को रिड्यूस्ड मास (reduced mass) $\mu = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}$ से प्रतिस्थापित किया जाता है।
ऊर्जा स्तर $E_n = -\frac{\mu e^4}{8 n^2 \epsilon_0^2 h^2} = \left( \frac{m_p}{m_e + m_p} \right) E_{n, \text{infinite mass}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
रिड्यूस्ड मास और इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान का अनुपात $\frac{\mu}{m_e} = \frac{m_p}{m_e + m_p} = \frac{1}{1 + \frac{m_e}{m_p}}$ है।
छोटे $x = \frac{m_e}{m_p}$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^{-1} \approx 1 - x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\mu}{m_e} \approx 1 - \frac{m_e}{m_p}$।
ऊर्जा में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta E}{E} = \frac{m_e}{m_p} = \frac{9.10 \times 10^{-31}}{1.60 \times 10^{-27}} \approx 5.68 \times 10^{-4}$ है।
इसे प्रतिशत में बदलने पर: $5.68 \times 10^{-4} \times 100 \% \approx 0.0568 \% \approx 0.06 \%$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यवस्था आकृति में दिखाई गई है।
कोण $\theta = 0.5 \times 10^{-3} \,\text{रेडियन}$ है।
स्रोत $S$ और उसके प्रतिबिंब $S_1$ के बीच की दूरी $d = 2 \times (SO \times \sin \theta)$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है, $\sin \theta \approx \theta$.
$d = 2 \times 20.0 \,cm \times 0.5 \times 10^{-3} = 20 \times 10^{-3} \,cm = 2 \times 10^{-4} \,m$.
स्रोत $S$ और $S_1$ की पर्दे से दूरी $D = a + b = 20.0 \,cm + 100.0 \,cm = 120.0 \,cm = 1.2 \,m$ है।
उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 440 \,nm = 440 \times 10^{-9} \,m$ है।
$S$ और $S_1$ दोनों कला-संबद्ध स्रोतों के रूप में कार्य करते हैं और पर्दे पर व्यतिकरण फ्रिंज उत्पन्न करते हैं।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$\beta = \frac{440 \times 10^{-9} \,m \times 1.2 \,m}{2 \times 10^{-4} \,m} = \frac{528 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-4}} \,m = 264 \times 10^{-5} \,m = 2.64 \times 10^{-3} \,m = 2.64 \,mm$.

(B) ईंधन छड़ के प्रति इकाई आयतन में उत्पन्न ऊर्जा $P_v = 5 \times 10^8 \,W/m^3$ है।
बेलनाकार छड़ का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi \times (4 \times 10^{-3} \,m)^2 \times 0.2 \,m = \pi \times 16 \times 10^{-6} \times 0.2 \,m^3 = 3.2 \pi \times 10^{-6} \,m^3$ है।
ईंधन छड़ द्वारा प्रति सेकंड उत्पन्न कुल ऊर्जा (शक्ति) $P = P_v \times V = (5 \times 10^8) \times (3.2 \pi \times 10^{-6}) = 1600 \pi \,W$ है।
शीतलक द्वारा प्रति इकाई समय में अवशोषित ऊष्मा $Q = m_f c \Delta T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m_f$ द्रव्यमान प्रवाह दर है,$c$ विशिष्ट ऊष्मा है,और $\Delta T$ तापमान में वृद्धि है।
दिया गया है $m_f = 0.2 \,kg/s$ और $c = 4 \times 10^3 \,J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}$,इसलिए ऊष्मा अवशोषण की दर $Q = 0.2 \times 4000 \times \Delta T = 800 \Delta T \,W$ है।
उत्पन्न शक्ति को अवशोषित ऊष्मा के बराबर करने पर: $800 \Delta T = 1600 \pi$.
$\Delta T = \frac{1600 \pi}{800} = 2 \pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28 \,^{\circ}C$.
अतः,तापमान में वृद्धि लगभग $6 \,^{\circ}C$ है।

(A) मान लीजिए कि चुंबकीय क्षेत्र बिंदु $P$ पर न्यूनतम है,जो पहले तार से $x$ दूरी पर है।
पहले तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x}$ है।
दूसरे तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (d-x)}$ है,जहाँ $d = 4 \, cm$ है।
तारों के बीच कुल चुंबकीय क्षेत्र के गैर-शून्य न्यूनतम होने के लिए,क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि धाराएं प्रति-समानांतर होनी चाहिए।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0}{2 \pi} |\frac{I_1}{x} - \frac{I_2}{d-x}|$ है।
$B$ के न्यूनतम होने के लिए,अवकलन $\frac{dB}{dx} = 0$ होना चाहिए।
$\frac{d}{dx} (\frac{I_1}{x} - \frac{I_2}{d-x}) = 0 \Rightarrow -\frac{I_1}{x^2} - \frac{I_2}{(d-x)^2} = 0$.
यह दर्शाता है कि $\frac{I_1}{x^2} = -\frac{I_2}{(d-x)^2}$। चूंकि $I_1, I_2 > 0$,यह पुष्टि करता है कि धाराएं प्रति-समानांतर हैं।
परिमाण लेने पर: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{(d-x)^2}{x^2}$।
$d = 4 \, cm$ और $x = 1 \, cm$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{I_2}{I_1} = \frac{(4-1)^2}{1^2} = \frac{3^2}{1^2} = 9$।
अतः,अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = 9$ है और धाराएं प्रति-समानांतर हैं।

(A) मान लीजिए कि छोटे घन की भुजा की लंबाई $a$ है। बड़े घन की भुजा की लंबाई $2a$ है और यह ऐसे $8$ छोटे घनों से बना है।
मान लीजिए $V_c$,$a$ भुजा और $\rho$ घनत्व वाले छोटे घन के केंद्र पर विभव है। बड़े घन के केंद्र (बिंदु $A$) पर कुल विभव इसके चारों ओर के $8$ छोटे घनों के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
चूंकि बड़े घन का केंद्र $8$ छोटे घनों का सामान्य कोना है,इसलिए केंद्र $A$ पर विभव $V_A = 8 \times V_{\text{छोटे घन का कोना}}$ है।
$a$ भुजा वाले छोटे घन के लिए,इसके अपने आवेश $Q = \rho a^3$ के कारण इसके कोने पर विभव $V_{\text{कोना}} = k \frac{Q}{a} = k \rho a^2$ है (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
अतः,$V_A = 8 \times (k \rho a^2) = 8 k \rho a^2$.
अब,$2a$ भुजा वाले बड़े घन के कोने $B$ पर विभव पर विचार करें। $L$ भुजा और $\rho$ घनत्व वाले घन के कोने पर विभव $\rho L^2$ के समानुपाती होता है।
$2a$ भुजा वाले बड़े घन के लिए,$V_B = k \rho (2a)^2 = 4 k \rho a^2$.
केंद्र पर विभव और कोने पर विभव का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{8 k \rho a^2}{4 k \rho a^2} = 2$ है।

(D) दी गई व्यवस्था में,बिंदु $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार के खंडों $AB$,$CD$,$EF$,$GH$ और वृत्ताकार चाप खंडों $BC$ और $FG$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. बिंदु $P$ सीधे तारों $EF$ और $GH$ की अक्ष पर स्थित है। इसलिए,इन खंडों के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है: $B_{EF} = B_{GH} = 0$.
$2$. अपने सिरे से $r$ दूरी पर स्थित अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ होता है।
$3$. सीधे खंड $AB$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{AB} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ (पृष्ठ के अंदर की दिशा में) है।
$4$. सीधे खंड $CD$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ (पृष्ठ के अंदर की दिशा में) है।
$5$. चतुर्थांश वृत्ताकार चाप $BC$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{BC} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ (पृष्ठ के बाहर की दिशा में) है।
$6$. चतुर्थांश वृत्ताकार चाप $FG$ के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{FG} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ (पृष्ठ के अंदर की दिशा में) है।
$7$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{AB} + B_{CD} + B_{FG} - B_{BC} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{8 r} - \frac{\mu_0 I}{8 r} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) $L$ लंबाई के एक-आयामी बॉक्स में सीमित $m$ द्रव्यमान वाले कण के लिए,ऊर्जा स्तर $E_k = \frac{k^2 h^2}{8 m L^2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है $L = \sqrt{\frac{35 h \lambda}{8 m c}}$,इसलिए $L^2 = \frac{35 h \lambda}{8 m c}$.
ऊर्जा समीकरण में $L^2$ का मान रखने पर:
$E_k = \frac{k^2 h^2}{8 m (35 h \lambda / 8 m c)} = \frac{k^2 h c}{35 \lambda}$.
जब इलेक्ट्रॉन $\lambda$ तरंगदैर्ध्य के फोटॉन को अवशोषित करता है,तो वह $k=1$ से $n$ में संक्रमण करता है:
$E_n - E_1 = \frac{h c}{\lambda}$
$\frac{n^2 h c}{35 \lambda} - \frac{1^2 h c}{35 \lambda} = \frac{h c}{\lambda}$
$\frac{n^2 - 1}{35} = 1 \Rightarrow n^2 - 1 = 35 \Rightarrow n^2 = 36 \Rightarrow n = 6$.
इसके बाद,इलेक्ट्रॉन $\lambda^{\prime} = 1.75 \lambda = \frac{7}{4} \lambda$ तरंगदैर्ध्य के फोटॉन का उत्सर्जन करके $n=6$ से $m$ में संक्रमण करता है:
$E_6 - E_m = \frac{h c}{\lambda^{\prime}}$
$\frac{6^2 h c}{35 \lambda} - \frac{m^2 h c}{35 \lambda} = \frac{h c}{1.75 \lambda}$
$\frac{36 - m^2}{35} = \frac{1}{1.75} = \frac{1}{7/4} = \frac{4}{7}$
$36 - m^2 = 35 \times \frac{4}{7} = 5 \times 4 = 20$
$m^2 = 36 - 20 = 16 \Rightarrow m = 4$.
अतः,$n=6$ और $m=4$.

(C) दिया गया परिपथ एक प्रतिरोधक और संधारित्र से बना लो-पास फिल्टर है।
लो-पास $RC$ परिपथ के लिए,आउटपुट वोल्टेज $V_o$ और इनपुट वोल्टेज $V_i$ के बीच कलांतर (phase difference) $\phi$ को $\tan \phi = -\omega RC = -2 \pi f RC$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,कला कोण $|\phi|$ का परिमाण बढ़ता है,और चूंकि $\phi$ ऋणात्मक है (आउटपुट इनपुट से पीछे रहता है),$\phi$ का मान अधिक ऋणात्मक हो जाता है।
$f = 0$ पर,$\phi = 0$ होता है। जैसे $f \to \infty$,$\phi \to -90^{\circ}$ या $-\pi/2$ रेडियन हो जाता है।
दिए गए विकल्पों में से,जो ग्राफ $\phi$ को $0$ से शुरू होकर $f$ के बढ़ने के साथ घटते हुए (अधिक ऋणात्मक होते हुए) दर्शाता है,वह विकल्प $C$ में दिया गया वक्र है।

(D) मान लीजिए कि प्रिज्म के कोण $\angle B = \alpha$ और $\angle C = 90^{\circ} - \alpha$ हैं।
$AB$ पर $BC$ के समानांतर आपतित पहली किरण के लिए,आपतन कोण $i = \alpha$ है। किरण $AC$ को स्पर्श करते हुए बाहर निकलती है,इसलिए दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $90^{\circ}$ है। पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए: $\sin \alpha = \mu \sin(90^{\circ} - \alpha) = \mu \cos \alpha$। इस प्रकार,$\tan \alpha = \mu$।
चूंकि किरण $AC$ सतह को स्पर्श करती है,इसलिए $AC$ पर आपतन कोण क्रांतिक कोण $\theta_c$ है। इस प्रकार,$\sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$।
ज्यामिति से,$r_1 = 90^{\circ} - \theta_c$। चूंकि $r_1 = 90^{\circ} - \alpha$ है,इसलिए $\alpha = \theta_c$ प्राप्त होता है। अतः,$\tan \alpha = \mu \Rightarrow \sin \alpha = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$।
चूंकि $\sin \alpha = \sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$ है,इसलिए $\frac{1}{\mu} = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}} \Rightarrow 1+\mu^2 = \mu^4 \Rightarrow \mu^4 - \mu^2 - 1 = 0$। $\mu^2$ के लिए हल करने पर,$\mu^2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ प्राप्त होता है।
$AC$ पर $BC$ के समानांतर आपतित दूसरी किरण के लिए,आपतन कोण $i' = 90^{\circ} - \alpha$ है। $AB$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए,$i' > \theta_c \Rightarrow 90^{\circ} - \alpha > \theta_c \Rightarrow \cos \alpha > \sin \theta_c = \frac{1}{\mu}$।
चूंकि $\tan \alpha = \mu$ है,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$। इस प्रकार,$\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}} > \frac{1}{\mu}$ प्राप्त होता है।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $\sqrt{2} < \mu < \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) ट्रांसफार्मर विद्युत चुंबकीय प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करता है, जिसके लिए द्वितीयक कुंडली में विद्युत वाहक बल $(EMF)$ प्रेरित करने हेतु समय के साथ बदलते चुंबकीय फ्लक्स की आवश्यकता होती है।
प्राथमिक कुंडली को एक बैटरी से जोड़ा गया है, जो $1.5 \, V$ का स्थिर दिष्ट धारा $(DC)$ वोल्टेज प्रदान करती है।
चूंकि धारा स्थिर है, इसलिए प्राथमिक कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स स्थिर रहता है।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स समय के साथ नहीं बदलता है, इसलिए द्वितीयक कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है $(\frac{d\Phi}{dt} = 0)$।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार, द्वितीयक कुंडली में प्रेरित $EMF$ $e = -N \frac{d\Phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $\frac{d\Phi}{dt} = 0$ है, इसलिए द्वितीयक कुंडली में प्रेरित वोल्टेज $0 \, V$ होगा।

(C) लूप $B$ में धारा $I_B$ बाईं ओर (लूप $A$ से गुजरने वाला) चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
लेंज के नियम के अनुसार,लूप $A$ में प्रेरित धारा उससे गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करेगी।
यदि हम लूप $A$ को दाईं ओर ($B$ के करीब) ले जाते हैं,तो $A$ से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है। इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,$A$ में प्रेरित धारा दाईं ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी,जो बाईं ओर से देखने पर वामावर्त धारा के अनुरूप है।
यदि हम $A$ को $Y$-अक्ष के परितः वामावर्त घुमाते हैं (ऊपर से देखने पर),तो $A$ के क्षेत्रफल सदिश और $B$ से आने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के बीच का कोण इस प्रकार बदलता है कि $A$ से गुजरने वाला फ्लक्स बढ़ जाता है,जिससे भी वामावर्त धारा प्रेरित होती है।
अतः,दोनों क्रियाएं $(I)$ और $(IV)$ के परिणामस्वरूप $A$ से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि होती है,जो वांछित दिशा में धारा प्रेरित करती है।

(C) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच चुंबकीय बल एक तार द्वारा दूसरे तार के स्थान पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र द्वारा निर्धारित होता है।
बायो-सावर्ट नियम और अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,मुक्त स्थान में धारावाही तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र उनके बीच रखी गई धातु की प्लेट जैसी गैर-चुंबकीय सामग्री की उपस्थिति से प्रभावित नहीं होता है।
हालांकि यदि चुंबकीय क्षेत्र बदल रहा होता तो धातु की प्लेट में भंवर धाराएं (eddy currents) उत्पन्न हो सकती थीं,लेकिन स्थिर $DC$ धारा की स्थिति में,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं धातु की प्लेट से बिना रुके या महत्वपूर्ण रूप से परिवर्तित हुए गुजरती हैं।
इसलिए,दोनों तारों के बीच चुंबकीय बल $F$ धातु की प्लेट डालने से अपरिवर्तित रहता है।
अतः,$F_A = F_B \neq 0$.

(D) दोनों लूपों पर अलग-अलग विचार करें। पहले लूप में,धारा $i_1$ प्रतिरोध $R_1$ और सेल $\varepsilon_1$ से होकर बहती है। किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,$i_1 = \frac{\varepsilon_1}{R_1}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे लूप में,धारा $i_2$ प्रतिरोध $R_2$ और सेल $\varepsilon_2$ से होकर बहती है। किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार,$i_2 = \frac{\varepsilon_2}{R_2}$ है।
चूंकि प्रत्येक लूप एक-दूसरे से स्वतंत्र एक बंद परिपथ है,आवेश संरक्षण के सिद्धांत का अर्थ है कि किसी भी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धारा उससे बाहर निकलने वाली धारा के बराबर होनी चाहिए।
दो लूपों को तार $1$ से जोड़ने वाले जंक्शन के लिए,यदि हम किरचॉफ का धारा नियम लागू करते हैं,तो धाराओं का योग शून्य होना चाहिए। चूंकि लूप धारा प्रवाह के संबंध में एक-दूसरे से अलग-थलग हैं,इसलिए व्यक्तिगत लूप की निरंतरता बनाए रखने के लिए जोड़ने वाले तार $1$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो सकती है। अतः,तार $1$ से प्रवाहित होने वाली धारा शून्य है।

(A) नाभिक की त्रिज्या $R = r_0 A^{1/3}$ है।
दिया गया है $r_0 = 1.3 \times 10^{-15} \, m$ और $A = 206$.
$R = 1.3 \times 10^{-15} \times (206)^{1/3} \approx 1.3 \times 10^{-15} \times 5.9 \approx 7.67 \times 10^{-15} \, m$.
व्यास के विपरीत सिरों पर स्थित दो प्रोटॉन के बीच की दूरी $d = 2R = 2 \times 7.67 \times 10^{-15} = 15.34 \times 10^{-15} \, m$ है।
स्थिर-वैद्युत बल $F$ कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{k e^2}{d^2}$.
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(15.34 \times 10^{-15})^2} \approx \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{235.3 \times 10^{-30}} \approx \frac{23.04 \times 10^{-29}}{235.3 \times 10^{-30}} \approx 0.0979 \times 10^1 \approx 1 \, N$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,परिमाण की कोटि $10^2 \, N$ है (क्योंकि गणना में अक्सर सरल पाठ्यपुस्तक मॉडल में $d=R$ लिया जाता है,जिससे $F \approx 10^2 \, N$ प्राप्त होता है)। अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(D) लेंस की फोकस दूरी $f$ लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
द्वि-अवतल लेंस के लिए,वक्रता त्रिज्याएँ $R_1 = -R$ और $R_2 = +R$ होती हैं,इसलिए $(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = -\frac{2}{R}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{f} = -\frac{2}{R}(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)$.
लेंस के अपसारी लेंस के रूप में कार्य करने के लिए,फोकस दूरी $f$ ऋणात्मक होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) > 0$,या $\mu_l > \mu_m$.
विकल्प $(d)$ में,लेंस को $CS_2$ $(\mu_l = 1.6)$ से भरा जाता है और पानी $(\mu_m = 1.33)$ में डुबोया जाता है।
चूंकि $1.6 > 1.33$,शर्त $\mu_l > \mu_m$ पूरी होती है,और लेंस एक अपसारी लेंस के रूप में कार्य करता है।

(B) इलेक्ट्रॉन स्थिरवैद्युत आकर्षण बल के कारण तार के चारों ओर घूमता है। दिया गया है कि विद्युत क्षेत्र $E \propto r^{-1}$,इसलिए हम लिख सकते हैं $E = k r^{-1}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला स्थिरवैद्युत बल $F = e E = k e r^{-1}$ है।
यह बल इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\frac{m v^2}{r} = \frac{k e}{r}$
वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{k e}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{k e}{m}}$
चूंकि वेग $v$ त्रिज्या $r$ से स्वतंत्र है,इसलिए दोनों कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन की गति समान है,अर्थात $v_1 = v_2$ है।
कक्षा का आवर्तकाल $T$,$T = \frac{2 \pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$r_1 = 1 \mathring{A}$ और $r_2 = 2 \mathring{A}$ त्रिज्याओं के लिए आवर्तकालों का अनुपात है:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2 \pi r_1 / v_1}{2 \pi r_2 / v_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{1 \mathring{A}}{2 \mathring{A}} = \frac{1}{2}$.

(C) मान लीजिए कि किरण बाईं सतह पर लंबवत आपतित होती है। यह बिना किसी विचलन के पहले प्रिज्म (अपवर्तनांक $\mu_1$) में प्रवेश करती है।
प्रिज्म $\mu_1$ और $\mu_2$ के बीच की सतह पर,आपतन कोण $i = 45^{\circ}$ है। स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu_1 \sin 45^{\circ} = \mu_2 \sin \theta$,जहाँ $\theta$ अपवर्तन कोण है।
अतः,$\mu_1 \frac{1}{\sqrt{2}} = \mu_2 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{\mu_1}{\sqrt{2} \mu_2} \quad \dots(1)$
प्रिज्म $\mu_2$ और $\mu_3$ के बीच की सतह पर,किरण $r_2 = \alpha - \theta$ के आपतन कोण पर टकराती है। ज्यामिति से,$\alpha = 90^{\circ}$ है। इसलिए,$r_2 = 90^{\circ} - \theta$.
किरण दाईं सतह से लंबवत बाहर निकलती है,जिसका अर्थ है कि दूसरे इंटरफ़ेस पर अपवर्तन कोण $45^{\circ}$ है।
दूसरे इंटरफ़ेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर: $\mu_2 \sin(90^{\circ} - \theta) = \mu_3 \sin 45^{\circ} \implies \mu_2 \cos \theta = \mu_3 \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos \theta = \frac{\mu_3}{\sqrt{2} \mu_2} \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \left(\frac{\mu_1}{\sqrt{2} \mu_2}\right)^2 + \left(\frac{\mu_3}{\sqrt{2} \mu_2}\right)^2$
$1 = \frac{\mu_1^2}{2 \mu_2^2} + \frac{\mu_3^2}{2 \mu_2^2} \implies 2 \mu_2^2 = \mu_1^2 + \mu_3^2$.