KVPY 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $x^3+3x^2+3x+3=0$ है।
मान लीजिए $f(x) = x^3+3x^2+3x+3$ है।
तब $f'(x) = 3x^2+6x+3 = 3(x+1)^2$ है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \geq 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एकदिष्ट वर्धमान फलन है।
अतः,समीकरण $f(x)=0$ का केवल एक वास्तविक मूल $\alpha$ है।
चूंकि $f(-3) = -27+27-9+3 = -6 < 0$ और $f(-2) = -8+12-6+3 = 1 > 0$ है,इसलिए वास्तविक मूल $\alpha$ अंतराल $(-3, -2)$ में स्थित है।
मान लीजिए कि त्रिघात समीकरण के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं,जहाँ $\beta$ और $\gamma$ अवास्तविक सम्मिश्र संयुग्मी मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -3$ है।
इसलिए,$\beta + \gamma = -3 - \alpha$ है।
चूंकि $-3 < \alpha < -2$ है,हमारे पास $-(-2) < -\alpha < -(-3)$ है,जिसका अर्थ है $2 < -\alpha < 3$।
सभी भागों में $-3$ जोड़ने पर: $2-3 < -3 - \alpha < 3-3$,जो $-1 < \beta + \gamma < 0$ देता है।
अतः,अवास्तविक मूलों का योग $-1$ और $0$ के बीच स्थित है।

(A) दी गई असमिका: $\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0 < \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n)$।
सबसे पहले,$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) > 0$ पर विचार करें:
$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) > 0 \implies \log _2 \log _2 \log _2(n) > 1 \implies \log _2 \log _2(n) > 2 \implies \log _2(n) > 4 \implies n > 2^4 = 16$.
इसके बाद,$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0$ पर विचार करें:
$\log _2 \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 0 \implies \log _2 \log _2 \log _2 \log _2(n) < 1 \implies \log _2 \log _2 \log _2(n) < 2 \implies \log _2 \log _2(n) < 4 \implies \log _2(n) < 16 \implies n < 2^{16} = 65536$.
अतः,$16 < n < 65536$ है।
$n$ के बाइनरी विस्तार में अंकों की संख्या $l = \lfloor \log_2(n) \rfloor + 1$ द्वारा दी जाती है।
$n > 16$ के लिए,न्यूनतम मान $\lfloor \log_2(16 + 1) \rfloor + 1 = 4 + 1 = 5$ है।
$n < 65536$ के लिए,अधिकतम मान $\lfloor \log_2(65535) \rfloor + 1 = 15 + 1 = 16$ है।
इसलिए,$l$ के न्यूनतम और अधिकतम मान $5$ और $16$ हैं।

(B) हमें व्यंजक $|a + b\omega + c\omega^2|$ दिया गया है जहाँ $a, b, c \in \{1, -1\}$ है।
चूंकि $\omega$ इकाई का घनमूल है,हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $\omega + \omega^2 = -1$.
हम $a, b, c \in \{1, -1\}$ के संभावित संयोजनों की जाँच करते हैं:
यदि $a=1, b=-1, c=-1$ है,तो $|1 - \omega - \omega^2| = |1 - (\omega + \omega^2)| = |1 - (-1)| = |1 + 1| = 2$.
यदि $a=1, b=1, c=-1$ है,तो $|1 + \omega - \omega^2| = |1 + \omega - (-1 - \omega)| = |2 + 2\omega| = 2|1 + \omega| = 2|-\omega^2| = 2$.
यदि $a=1, b=1, c=1$ है,तो $|1 + \omega + \omega^2| = |0| = 0$.
अतः,अधिकतम संभव मान $2$ है।

(B) दिया गया है कि रेखाएँ $ax + 9y = 5$ और $4x + by = 3$ समांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल (slopes) समान होनी चाहिए।
रेखा $ax + 9y = 5$ के लिए,ढाल $m_1 = -\frac{a}{9}$ है।
रेखा $4x + by = 3$ के लिए,ढाल $m_2 = -\frac{4}{b}$ है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,$m_1 = m_2$,जिसका अर्थ है $-\frac{a}{9} = -\frac{4}{b}$,इसलिए $ab = 36$ है।
हमें $a + b$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है जहाँ $a, b > 0$ है।
अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हुए:
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$
$ab = 36$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{36}$
$\frac{a + b}{2} \geq 6$
$a + b \geq 12$.
अतः,$a + b$ का न्यूनतम संभव मान $12$ है।

(B) माना $A, B, C, D$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त के केंद्र $(-g, -f)$ के ध्रुवीय निर्देशांक $-g = r \cos \theta$ और $-f = r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
$AB$,$X$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई है,इसलिए $a = 2\sqrt{g^2-c} \implies \frac{a^2}{4} = g^2-c$.
$CD$,$Y$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई है,इसलिए $b = 2\sqrt{f^2-c} \implies \frac{b^2}{4} = f^2-c$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $g^2-f^2 = \frac{a^2-b^2}{4}$.
$g = -r \cos \theta$ और $f = -r \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-r \cos \theta)^2 - (-r \sin \theta)^2 = \frac{a^2-b^2}{4}$
$r^2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \frac{a^2-b^2}{4}$
$r^2 \cos 2\theta = \frac{a^2-b^2}{4}$.

(A) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 1 = 4$ है।
रेखा $x=a$,$BC$ को $D(a, 1)$ पर और $AC$ को $E(a, a/9)$ पर काटती है।
रेखा $x=a$ के दाईं ओर बनने वाला त्रिभुज $\triangle DEC$ है जिसके शीर्ष $D(a, 1)$,$E(a, a/9)$,और $C(9, 1)$ हैं।
$\triangle DEC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (9-a) \times (1 - a/9) = \frac{(9-a)^2}{18}$ है।
चूंकि रेखा $x=a$ त्रिभुज को समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है,इसलिए $\triangle DEC$ का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा होना चाहिए: $\frac{(9-a)^2}{18} = 2$.
$(9-a)^2 = 36$.
वर्गमूल लेने पर,$9-a = 6$ (चूंकि $a < 9$),इसलिए $a = 3$.

(D) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $AB = AD$ है।
चूंकि $AB = AD$,इसलिए $\angle B = \angle ADB$ होगा।
मान लीजिए $\angle ADB = B$ है। तब $\angle ADC = \pi - B$ होगा। मान लीजिए $\angle ADC = \theta$,तो $\theta = \pi - B$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = DC = 1$ (अनुपात $m:n = 1:1$ लेने पर)।
$\triangle ABC$ में कोटैंजेंट प्रमेय का उपयोग करने पर:
$(m+n) \cot \theta = n \cot B - m \cot C$
$m=1, n=1$ और $\theta = \pi - B$ रखने पर:
$(1+1) \cot(\pi - B) = 1 \cdot \cot B - 1 \cdot \cot C$
$2(-\cot B) = \cot B - \cot C$
$-2 \cot B = \cot B - \cot C$
$\cot C = 3 \cot B$
$\frac{1}{\tan C} = \frac{3}{\tan B}$
$\frac{\tan B}{\tan C} = 3$.

(D) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ एक त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$।
दिए गए समीकरण:
$(i) \quad 2 \sin \alpha + 3 \cos \beta = 3 \sqrt{2}$
$(ii) \quad 3 \sin \beta + 2 \cos \alpha = 1$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(2 \sin \alpha + 3 \cos \beta)^2 = 18$
$4 \sin^2 \alpha + 9 \cos^2 \beta + 12 \sin \alpha \cos \beta = 18$
$(3 \sin \beta + 2 \cos \alpha)^2 = 1$
$9 \sin^2 \beta + 4 \cos^2 \alpha + 12 \sin \beta \cos \alpha = 1$
दोनों को जोड़ने पर:
$4(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 9(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 12 \sin(\alpha + \beta) = 19$
$13 + 12 \sin(\alpha + \beta) = 19$
$\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$
चूंकि $\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$,इसलिए $\sin \gamma = \frac{1}{2}$,अतः $\gamma = 30^{\circ}$।

(C) $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) f(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (1/x)}{1/x} \cdot f(x) = 1 \cdot M = M$। यह सत्य है।
$(B)$ चूँकि $\sin(x)$ एक सतत फलन है,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sin(f(x)) = \sin(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)) = \sin M$। यह सत्य है।
$(C)$ $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \left(e^{-x}\right) f(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} (x e^{-x}) \cdot \frac{\sin (e^{-x})}{e^{-x}} \cdot f(x)$। चूँकि $\lim _{x \rightarrow \infty} x e^{-x} = 0$,सीमा $0 \cdot 1 \cdot M = 0$ है। अतः,यह कथन कि सीमा $M$ है,गलत है।
$(D)$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} f(x) = (\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}) \cdot (\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)) = 0 \cdot M = 0$। यह सत्य है।

(A) मूल सूची $x_1, x_2, \ldots, x_n$ का माध्य $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ है।
नई सूची $y_1=0, y_2=x_2, \ldots, y_{n-1}=x_{n-1}, y_n=x_1+x_n$ है।
नई सूची का माध्य $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (0 + x_2 + x_3 + \ldots + x_{n-1} + x_1 + x_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = \mu$ है।
अब,वर्गों का योग $\sum y_i^2 = 0^2 + x_2^2 + \ldots + x_{n-1}^2 + (x_1+x_n)^2$ पर विचार करें।
इसका विस्तार करने पर,$\sum y_i^2 = x_2^2 + \ldots + x_{n-1}^2 + x_1^2 + x_n^2 + 2x_1x_n = \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2x_1x_n$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x_1 > 0$ और $x_n > 0$,इसलिए $2x_1x_n > 0$,अतः $\sum y_i^2 > \sum x_i^2$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ और $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\hat{\mu} = \mu$ और $\sum y_i^2 > \sum x_i^2$,इसलिए $\hat{\sigma}^2 > \sigma^2$,जिसका अर्थ है कि $\hat{\sigma} > \sigma$ है।
अतः,$\mu = \hat{\mu}$ और $\sigma < \hat{\sigma}$,जो $\sigma \leq \hat{\sigma}$ को संतुष्ट करता है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) $100 \leq n \leq 999$ के बीच कुल पूर्णांकों की संख्या $999 - 100 + 1 = 900$ है।
एक पूर्णांक $n$ में अधिकतम दो भिन्न अंक होते हैं यदि उसमें तीन भिन्न अंक न हों।
तीन भिन्न अंकों वाले पूर्णांकों की संख्या की गणना इस प्रकार है:
- पहला अंक (सैकड़े के स्थान पर) $1$ से $9$ तक कोई भी हो सकता है ($9$ विकल्प)।
- दूसरा अंक (दहाई के स्थान पर) पहले अंक को छोड़कर $0$ से $9$ तक कोई भी हो सकता है ($9$ विकल्प)।
- तीसरा अंक (इकाई के स्थान पर) पहले और दूसरे अंक को छोड़कर $0$ से $9$ तक कोई भी हो सकता है ($8$ विकल्प)।
अतः,तीन भिन्न अंकों वाले पूर्णांकों की संख्या $9 \times 9 \times 8 = 648$ है।
अधिकतम दो भिन्न अंकों वाले पूर्णांकों की संख्या = कुल पूर्णांक - तीन भिन्न अंकों वाले पूर्णांक
$= 900 - 648 = 252$।

(D) समुच्चय $S_n$ में $18$ क्रमागत पूर्णांक होते हैं।
$(a)$ यदि $n=10$ है,तो $S_{10} = \{11, 12, \ldots, 28\}$। $19$ का गुणज $19$ है। लेकिन यदि $n=19$ है,तो $S_{19} = \{20, 21, \ldots, 37\}$। $19$ का गुणज $38$ है जो $S_{19}$ में नहीं है। अतः,$(a)$ गलत है।
$(b)$ $S_n$ में हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है। यह सत्य है,लेकिन $(d)$ अधिक सटीक गुण है।
$(c)$ $n=10$ के लिए,$S_{10} = \{11, 12, \ldots, 28\}$। $5$ के गुणज $15, 20, 25$ हैं। केवल $3$ गुणज हैं। अतः,$(c)$ गलत है।
$(d)$ $18$ क्रमागत पूर्णांकों के किसी भी समुच्चय में,अधिकतम $6$ अभाज्य संख्याएँ होती हैं। अतः,$(d)$ सही विकल्प है।

(C) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के लिए,आंतरिक कोणों का योग $(n-2) \times 180^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 10$ के लिए,आंतरिक कोणों का योग $(10-2) \times 180^{\circ} = 8 \times 180^{\circ} = 1440^{\circ}$ है।
मान लीजिए $k$ प्रतिवर्ती कोणों (कोण $> 180^{\circ}$) की संख्या है और $m$ गैर-प्रतिवर्ती कोणों (कोण $\le 180^{\circ}$) की संख्या है।
हमारे पास $k + m = 10$ है।
$k$ प्रतिवर्ती कोणों का योग $k \times 360^{\circ}$ से कम होता है लेकिन $k \times 180^{\circ}$ से अधिक होना चाहिए।
$m$ गैर-प्रतिवर्ती कोणों का योग $0^{\circ}$ से अधिक और $m \times 180^{\circ}$ से कम या उसके बराबर होता है।
कुल योग $1440^{\circ}$ है।
यदि $k = 8$ है,तो प्रतिवर्ती कोणों का योग कम से कम $8 \times 180^{\circ} = 1440^{\circ}$ होगा,जो शेष $2$ कोणों के लिए $0^{\circ}$ छोड़ता है,जो एक बहुभुज के लिए असंभव है।
यदि $k = 7$ है,तो $7$ प्रतिवर्ती कोणों का योग $> 7 \times 180^{\circ} = 1260^{\circ}$ है। शेष $3$ कोणों का योग $1440^{\circ} - (7 \text{ प्रतिवर्ती कोणों का योग})$ होगा। चूंकि $7$ प्रतिवर्ती कोणों का योग $1260^{\circ}$ से थोड़ा अधिक हो सकता है,इसलिए शेष $3$ कोण धनात्मक हो सकते हैं और उनका योग $180^{\circ}$ से कम हो सकता है।
अतः,$k$ का अधिकतम मान $7$ है।

(A) दिया गया है कि $\sum_{k=1}^n (a k^3+b k^2+c k+d)=n^4$.
$n=1$ के लिए,$a+b+c+d=1^4=1$.
$n=2$ के लिए,$(a+b+c+d) + (8a+4b+2c+d)=2^4=16 \Rightarrow 9a+5b+3c+2d=16$.
$n=3$ के लिए,$(9a+5b+3c+2d) + (27a+9b+3c+d)=3^4=81 \Rightarrow 36a+14b+6c+3d=81$.
$n=4$ के लिए,$(36a+14b+6c+3d) + (64a+16b+4c+d)=4^4=256 \Rightarrow 100a+30b+10c+4d=256$.
इन समीकरणों को हल करने पर:
$a=4, b=-6, c=4, d=-1$.
अतः,$|a|+|b|+|c|+|d| = |4|+|-6|+|4|+|-1| = 4+6+4+1 = 15$.

(C) दिया गया परवलय $y^2=4x$ और रेखा $y=2x-4$ है।
आधार के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,$y=2x-4$ को $y^2=4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(2x-4)^2 = 4x$
$4(x-2)^2 = 4x$
$x^2-4x+4 = x$
$x^2-5x+4 = 0$
$(x-1)(x-4) = 0$
अतः,$x=1$ या $x=4$.
$x=1$ के लिए,$y=2(1)-4 = -2$. बिंदु $C = (1, -2)$.
$x=4$ के लिए,$y=2(4)-4 = 4$. बिंदु $B = (4, 4)$.
माना तीसरा शीर्ष $A = (x, 0)$ है जो $X$-अक्ष पर है।
चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,$AB=AC$,इसलिए $AB^2 = AC^2$.
$(x-4)^2 + (0-4)^2 = (x-1)^2 + (0-(-2))^2$
$x^2-8x+16+16 = x^2-2x+1+4$
$-8x+32 = -2x+5$
$6x = 27$
$x = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.
अतः,तीसरे शीर्ष के निर्देशांक $\left(\frac{9}{2}, 0\right)$ हैं।

(A) मान लीजिए $R$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है। मान लीजिए $\angle AOY = \theta$ और $\angle BOY = \theta$ है। चूंकि $AB \parallel XY$,बिंदु $A$ और $B$ $XY$ के लंब समद्विभाजक के सापेक्ष सममित हैं। निर्देशांक $A = (R \cos \theta, R \sin \theta)$ और $B = (-R \cos \theta, R \sin \theta)$ के रूप में दर्शाए जा सकते हैं।
$\triangle AOB$ की भुजाएँ $OA = R$,$OB = R$,और $AB = 2R \cos \theta$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{R + R + 2R \cos \theta}{2} = R(1 + \cos \theta)$ है।
$\triangle AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2R \cos \theta) \times (R \sin \theta) = R^2 \sin \theta \cos \theta$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\text{क्षेत्रफल}}{s} = \frac{R^2 \sin \theta \cos \theta}{R(1 + \cos \theta)} = R \frac{\sin \theta \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ है।
$r$ को अधिकतम करने के लिए,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dr}{d\theta} = R \frac{(1 + \cos \theta)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - (\sin \theta \cos \theta)(-\sin \theta)}{(1 + \cos \theta)^2} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(1 + \cos \theta)(2 \cos^2 \theta - 1) + \sin^2 \theta \cos \theta = 0$ मिलता है।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$(1 + \cos \theta)(2 \cos^2 \theta - 1) + (1 - \cos^2 \theta) \cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
$2 \cos^2 \theta - 1 + 2 \cos^3 \theta - \cos \theta + \cos \theta - \cos^3 \theta = 0$।
$\cos^3 \theta + 2 \cos^2 \theta - 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(\cos \theta + 1)(\cos^2 \theta + \cos \theta - 1) = 0$ मिलता है।
चूंकि $\cos \theta \neq -1$,इसलिए $\cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$ है।
$\cos \theta$ के लिए हल करने पर,$\cos \theta = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $\theta$ न्यून कोण है,$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ है।
अतः,$\angle BOY = \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$।

(D) मान लीजिए $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $H$ बिंदु $P$ पर प्रेक्षक की सतह से ऊँचाई है।
बिंदु $P$ से दिखाई देने वाले गोलाकार भाग का क्षेत्रफल $A = 2 \pi R h'$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h'$ कैप की ऊँचाई है।
गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi R^2$ है।
यह दिया गया है कि पृथ्वी की सतह का एक चौथाई भाग दिखाई देता है,इसलिए:
$2 \pi R h' = \frac{1}{4} (4 \pi R^2) = \pi R^2$
$h' = \frac{R}{2}$
गोले की ज्यामिति से,कैप की ऊँचाई $h'$ कोण $\theta$ (दृष्टि के शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण) से $h' = R(1 - \cos \theta)$ द्वारा संबंधित है।
$h'$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$R(1 - \cos \theta) = \frac{R}{2}$
$1 - \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^{\circ}$
पृथ्वी के केंद्र $O$,स्पर्श बिंदु $B$ और प्रेक्षक $P$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\cos \theta = \frac{OB}{OP} = \frac{R}{R + H}$
$\frac{1}{2} = \frac{R}{R + H}$
$R + H = 2R$
$H = R$
चूंकि $R = 6400 \, km$ दिया गया है,हमें $H = 6400 \, km$ प्राप्त होता है।

(C) $100$ कूपनों में से $5$ कूपन चुनने और व्यवस्थित करने के कुल तरीके $P(100, 5) = \frac{100!}{95!}$ हैं।
मान लीजिए $5$ चुनी गई संख्याओं का समुच्चय $S = \{a, b, c, d, e\}$ है जहाँ $a < b < c < d < e$ है।
$5$ अलग-अलग संख्याओं के किसी भी समुच्चय के लिए,हमें उन्हें इस तरह व्यवस्थित करने की आवश्यकता है कि $x_1 > x_2 > x_3$ और $x_3 < x_4 < x_5$ हो।
इसका अर्थ है कि $x_3$ को $5$ संख्याओं में सबसे छोटा होना चाहिए। अतः,$x_3$ समुच्चय के न्यूनतम तत्व के रूप में निश्चित है।
शेष $4$ संख्याओं को दो समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है: एक ${x_1, x_2}$ के लिए और एक ${x_4, x_5}$ के लिए।
शेष $4$ में से $x_1$ और $x_2$ बनने के लिए $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $\binom{4}{2} = 6$ हैं।
एक बार चुने जाने के बाद,उनका क्रम निश्चित है $(x_1 > x_2)$,और शेष $2$ का क्रम भी निश्चित है $(x_4 < x_5)$।
इस प्रकार,$5$ संख्याओं के किसी भी समुच्चय के लिए,$120$ कुल क्रमपरिवर्तनों में से $6$ अनुकूल व्यवस्थाएँ हैं।
प्रायिकता $\frac{6}{120} = \frac{1}{20}$ है।

(D) $n=5$ टीमों के टूर्नामेंट में,खेले गए खेलों की कुल संख्या $\binom{5}{2} = 10$ है। प्रत्येक खेल में विजेता को $1$ अंक और हारने वाले को $0$ अंक मिलता है,इसलिए अंकों का योग $10$ है। मान लीजिए टीमों के स्कोर $s_1, s_2, s_3, s_4, s_5$ हैं। हम जानते हैं कि $\sum s_i = 10$ है।
विकल्प $(d)$ कहता है: "अधिकतम चार टीमें ऐसी हैं जिनके पास अधिकतम दो अंक हैं।"
उस स्थिति पर विचार करें जहाँ सभी टीमों के अंक समान हैं: $s_1=s_2=s_3=s_4=s_5=2$।
यहाँ,सभी $5$ टीमों के पास अधिकतम $2$ अंक हैं।
चूंकि $5 > 4$,इसलिए "अधिकतम चार टीमों के पास अधिकतम दो अंक हैं" कथन इस स्थिति के लिए गलत है।
अतः,$(d)$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

(C) हमें $x+y+z=10$ की शर्त के तहत $f(x, y, z) = xyz + xy + yz + zx$ को अधिकतम करना है,जहाँ $x, y, z \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ है।
ध्यान दें कि $(x+1)(y+1)(z+1) = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1$ है।
$x+y+z=10$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x+1)(y+1)(z+1) = xyz + xy + yz + zx + 11$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $A = x+1, B = y+1, C = z+1$ है। तब $A+B+C = 13$ है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$ABC \leq (\frac{13}{3})^3 \approx 81.37$ है।
चूंकि $A, B, C$ पूर्णांक हैं,योग $13$ होने पर अधिकतम गुणनफल $4, 4, 5$ के लिए प्राप्त होता है।
$4 \times 4 \times 5 = 80$ है।
अतः,$xyz + xy + yz + zx + 11 \leq 80$ है।
$xyz + xy + yz + zx \leq 69$ है।
अधिकतम मान $69$ है।

(C) दिया गया समीकरण $2013 + a^2 = b^2$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $b^2 - a^2 = 2013$ प्राप्त होता है।
वर्गों के अंतर के सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$(b - a)(b + a) = 2013$ होता है।
$2013$ का अभाज्य गुणनखंड $3 \times 11 \times 61 = 33 \times 61$ है।
चूंकि $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं,$b + a > b - a$ और दोनों $2013$ के धनात्मक गुणनखंड होने चाहिए।
$ab$ को न्यूनतम करने के लिए,हम ऐसे गुणनखंड $(b - a)$ और $(b + a)$ देखते हैं जो एक-दूसरे के सबसे करीब हों।
मान लीजिए $b - a = 33$ और $b + a = 61$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2b = 94 \Rightarrow b = 47$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2a = 28 \Rightarrow a = 14$ प्राप्त होता है।
अतः,$ab$ का न्यूनतम मान $14 \times 47 = 658$ है।

(C) त्रिभुज के अस्तित्व के लिए,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए और सभी भुजाओं की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए।
माना भुजाएँ $a = b+5$,$c = 3b-2$ और $d = 6-b$ हैं।
भुजाओं के धनात्मक होने के लिए: $b > -5$,$b > 2/3$ और $b < 6$। अतः $2/3 < b < 6$।
स्थिति $I$: $b+5 = 3b-2$
$2b = 7 \Rightarrow b = 3.5$।
भुजाएँ $8.5, 8.5, 2.5$ हैं। यह एक वैध त्रिभुज है।
स्थिति $II$: $3b-2 = 6-b$
$4b = 8 \Rightarrow b = 2$।
भुजाएँ $7, 4, 4$ हैं। यह एक वैध त्रिभुज है।
स्थिति $III$: $b+5 = 6-b$
$2b = 1 \Rightarrow b = 0.5$।
यह शर्त $b > 2/3$ का उल्लंघन करता है।
अतः,$b$ के $2$ मान संभव हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: $a x^2+(a+b) x+b = 0$
गुणनखंड करने पर:
$a x^2 + a x + b x + b = 0$
$a x(x + 1) + b(x + 1) = 0$
$(a x + b)(x + 1) = 0$
मूल $x = -\frac{b}{a}$ और $x = -1$ हैं।
विश्लेषण:
$1$. चूँकि $-1$ एक मूल है,समीकरण में हमेशा कम से कम एक ऋणात्मक मूल होता है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
$2$. मूल $-1$ और $-\frac{b}{a}$ हैं। चूँकि $a$ और $b$ वास्तविक हैं,दोनों मूल वास्तविक हैं। अतः,कथन $III$ सत्य है।
$3$. धनात्मक मूल का अस्तित्व $-\frac{b}{a}$ के चिह्न पर निर्भर करता है। यदि $\frac{b}{a} > 0$ है,तो मूल ऋणात्मक है। यदि $\frac{b}{a} < 0$ है,तो मूल धनात्मक है। चूँकि $\frac{b}{a}$ का चिह्न निश्चित नहीं है,कथन $II$ अनिवार्य रूप से सत्य नहीं है।
अतः,कथन $I$ और $III$ अनिवार्य रूप से सत्य हैं।

(C) मान लीजिए $a = \frac{x}{y}$,$b = \frac{y}{z}$,और $c = \frac{z}{x}$ है।
दिया गया है कि $a+b+c = 7$ और $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 9$ है।
ध्यान दें कि $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} = 9$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ जानते हैं।
इसे $a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$abc = (\frac{x}{y})(\frac{y}{z})(\frac{z}{x}) = 1$ है।
साथ ही,$ab+bc+ca = (\frac{x}{y})(\frac{y}{z}) + (\frac{y}{z})(\frac{z}{x}) + (\frac{z}{x})(\frac{x}{y}) = \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + \frac{z}{y} = 9$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$a^3+b^3+c^3-3(1) = (7)((7)^2 - 3(9))$।
$a^3+b^3+c^3-3 = 7(49-27)$।
$a^3+b^3+c^3-3 = 7(22) = 154$।

(A) दो त्रिभुजों के समरूप होने के लिए,उनके संगत कोण बराबर होने चाहिए। $\triangle ABC$ में,कोणों का क्रम $\angle A < \angle B < \angle C$ है।
$\triangle ABD$ पर विचार करें। चूंकि $D$,$BC$ रेखाखंड के आंतरिक भाग में है,$\angle ADB$,$\triangle ADC$ का एक बहिष्कोण है,इसलिए $\angle ADB = \angle DAC + \angle C$। अतः,$\angle ADB > \angle C$। $\triangle ABC$ का सबसे बड़ा कोण $\angle C$ है,और $\triangle ABD$ में $\angle ADB$ कोण है जो $\angle C$ से बड़ा है,इसलिए $\triangle ABD$ के कोणों का समुच्चय $\triangle ABC$ के कोणों के समुच्चय के समान नहीं हो सकता है। इसलिए,$\triangle ABD$,$\triangle ABC$ के समरूप नहीं हो सकता है।

(C) माना $O$ वृत्त का केंद्र है। $OR$,$\angle PRQ$ का कोण समद्विभाजक है। माना $M$,$PQ$ और $OR$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूंकि $RP=RQ$,$\triangle RPQ$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है,और $RM \perp PQ$ तथा $PM = MQ = \frac{1}{2} PQ = 3$ है।
समकोण $\triangle RPM$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
$RM^2 = PR^2 - PM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow RM = 4$.
माना $\angle PRM = \theta$ है। तब $\tan \theta = \frac{PM}{RM} = \frac{3}{4}$ है।
समकोण $\triangle OPR$ में (जहाँ $\angle OPR = 90^\circ$ क्योंकि $PR$ स्पर्श रेखा है),$\angle ORP = \theta$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{OP}{PR} = \frac{r}{5}$ है।
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{r}{5} = \frac{3}{4} \Rightarrow r = \frac{15}{4}$.

(C) माना $H$,$\triangle ABC$ का लंबकेंद्र है। शीर्षलंब $AD, BE, CF$ को बढ़ाने पर वे परिवृत्त को $A_1, B_1, C_1$ पर मिलते हैं।
$\triangle ABD$ में,$\angle ADB = 90^{\circ}$ और $\angle ABD = 45^{\circ}$,अतः $\angle BAD = 45^{\circ}$।
चूंकि $A, B, A_1, C_1$ परिवृत्त पर स्थित हैं,$\angle B B_1 A_1 = \angle B A A_1 = \angle BAD = 45^{\circ}$ (समान चाप $BA_1$ द्वारा अंतरित कोण)।
इसी प्रकार,$\angle B B_1 C_1 = \angle B C C_1 = 45^{\circ}$ (समान चाप $BC_1$ द्वारा अंतरित कोण)।
अतः,$\angle A_1 B_1 C_1 = \angle B B_1 A_1 + \angle B B_1 C_1 = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$।

(C) दिया गया है कि $ABCD$ एक आयत है।
$\therefore AB = CD, BC = AD$.
$X$ और $Y$ क्रमशः $AD$ और $DC$ के मध्य-बिंदु हैं।
माना $AB = 2x, BC = 2y$.
$\therefore AX = XD = y$ और $DY = YC = x$.
आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 4xy = 60 \Rightarrow xy = 15$.
$\triangle ABX \cong \triangle DEX$ होने के कारण,$DE = AB = 2x$.
इसी प्रकार,$\triangle BCY \cong \triangle DFY$ होने के कारण,$FD = BC = 2y$.
$\triangle BEF$ का क्षेत्रफल $= 6xy = 6 \times 15 = 90$.

(D) दिया गया है कि $ABCDEF$ एक नियमित षट्भुज है जिसकी भुजा की लंबाई $1$ है।
$AFPS$ और $ABQR$ वर्ग हैं जिनकी भुजा की लंबाई $1$ है।
नियमित षट्भुज का आंतरिक कोण $120^{\circ}$ होता है।
वर्ग $ABQR$ में,$AB=BQ=1$ और $\angle ABQ = 90^{\circ}$ है।
$AQ$ वर्ग का विकर्ण है,इसलिए $AQ = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ है।
इसी प्रकार,वर्ग $AFPS$ में,$AP = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ है।
अनुपात की गणना करने पर,उत्तर $2$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए वृत्ताकार ट्रैक की परिधि $C$ है।
व्यक्ति $X$ एक चक्कर $40 \ s$ में पूरा करता है। इसलिए,$X$ की गति $v_X = \frac{C}{40} \ m/s$ है।
मान लीजिए $Y$ एक चक्कर $t \ s$ में पूरा करता है। इसलिए,$Y$ की गति $v_Y = \frac{C}{t} \ m/s$ है।
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में दौड़ रहे हैं,उनकी सापेक्ष गति $v_{rel} = v_X + v_Y = \frac{C}{40} + \frac{C}{t}$ है।
वे हर $15 \ s$ में मिलते हैं,जिसका अर्थ है कि $15 \ s$ में एक-दूसरे के सापेक्ष दोनों द्वारा तय की गई कुल दूरी एक पूर्ण परिधि $C$ है।
$v_{rel} \times 15 = C$
$\left(\frac{C}{40} + \frac{C}{t}\right) \times 15 = C$
दोनों पक्षों को $C$ से विभाजित करने पर:
$\left(\frac{1}{40} + \frac{1}{t}\right) \times 15 = 1$
$\frac{1}{40} + \frac{1}{t} = \frac{1}{15}$
$\frac{1}{t} = \frac{1}{15} - \frac{1}{40}$
$\frac{1}{t} = \frac{8 - 3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$
$t = 24 \ s$.

(C) दी गई असमिका: $\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} < 0.2$
बाएँ पक्ष का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < 0.2$
$\frac{(n+1)-(n-1)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < 0.2$
$\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} < 0.2$
$\frac{2}{0.2} < \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$
$10 < \sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}$
$n=25$ के लिए: $\sqrt{26}+\sqrt{24} \approx 5.099 + 4.899 = 9.998 < 10$ (असत्य)
$n=26$ के लिए: $\sqrt{27}+\sqrt{25} \approx 5.196 + 5 = 10.196 > 10$ (सत्य)
अतः,न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक $n = 26$ है।

(A) हम ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n! + 10 = k^2$ हो।
स्थिति $1$: यदि $n=1$,$1! + 10 = 11$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
स्थिति $2$: यदि $n=2$,$2! + 10 = 12$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
स्थिति $3$: यदि $n=3$,$3! + 10 = 6 + 10 = 16 = 4^2$ (पूर्ण वर्ग है)।
स्थिति $4$: यदि $n=4$,$4! + 10 = 24 + 10 = 34$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
स्थिति $5$: यदि $n=5$,$5! + 10 = 120 + 10 = 130$ (पूर्ण वर्ग नहीं है)।
स्थिति $6$: यदि $n \ge 5$,तो $n!$ में $10$ का गुणज है क्योंकि $n!$ में $2$ और $5$ गुणनखंड हैं।
अतः,$n \ge 5$ के लिए $n! + 10$ का अंतिम अंक $0$ है। किसी पूर्ण वर्ग संख्या का अंतिम अंक $0$ होने पर उसका दहाई का अंक भी $0$ होना चाहिए,जो यहाँ संभव नहीं है।
इसलिए,केवल $n=3$ ही शर्त को पूरा करता है।

(B) मान लीजिए कि $10$ बिंदु एक उत्तल दशभुज (convex decagon) के शीर्षों के रूप में व्यवस्थित हैं। दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा शेष $8$ बिंदुओं को $4-4$ बिंदुओं के दो समूहों में विभाजित करती है यदि और केवल यदि वह रेखा एक विकर्ण है जो एक तरफ $4$ शीर्षों और दूसरी तरफ $4$ शीर्षों को छोड़ती है।
क्रम में $1, 2, \dots, 10$ लेबल वाले शीर्षों के साथ एक उत्तल दशभुज में,ऐसी रेखा शीर्ष $i$ को शीर्ष $i+5$ से जोड़ती है (जहाँ सूचकांक $10$ के मापांक में लिए जाते हैं)।
संभावित रेखाएँ $(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), \text{ और } (5, 10)$ हैं।
अतः,ऐसी ठीक $5$ रेखाएँ हैं।

(B) मान लीजिए $S_1$ पहले समूह की कुल आय है (वेतन $< ₹ 10,000$) और $S_2$ दूसरे समूह की कुल आय है (वेतन $> ₹ 10,000$)।
दिया गया है कि $S_1 < S_2$ है।
मान लीजिए $N_1$ और $N_2$ क्रमशः पहले और दूसरे समूह में लोगों की संख्या हैं।
प्रारंभिक कुल आय $S_{total} = S_1 + S_2$ है।
परिवर्तन के बाद नई कुल आय $S'_{total} = S_1(1 + 0.05) + S_2(1 - 0.05) = 1.05 S_1 + 0.95 S_2$ है।
कुल आय में परिवर्तन $\Delta S = S'_{total} - S_{total} = (1.05 S_1 + 0.95 S_2) - (S_1 + S_2) = 0.05 S_1 - 0.05 S_2 = 0.05(S_1 - S_2)$ है।
चूंकि $S_1 < S_2$ है,इसलिए $S_1 - S_2 < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\Delta S < 0$ है।
अतः,कुल आय घटती है,और परिणामस्वरूप,सभी लोगों की औसत आय घटती है।

(B) मान लीजिए समांतर श्रेणी $a, b, c, d, e$ है और सार्व अंतर $D$ है।
श्रेणी को $c-2D, c-D, c, c+D, c+2D$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $a+b+c+d+e = 5c = \lambda^3$ और $b+c+d = 3c = u^2$ है।
$3c = u^2$ से,$c = \frac{u^2}{3}$ प्राप्त होता है।
इसे $5c = \lambda^3$ में रखने पर,$5(\frac{u^2}{3}) = \lambda^3$ मिलता है,जिसका अर्थ है $5u^2 = 3\lambda^3$।
इस शर्त को पूरा करने के लिए,$u$ को $3$ का गुणज और $\lambda$ को $5$ का गुणज होना चाहिए।
न्यूनतम प्राकृतिक संख्या के लिए,$c = 675$ प्राप्त होता है।
$675$ में $3$ अंक हैं।

(D) माना घनाभ की विमाएँ $x, y,$ और $z$ हैं। फलकों की विमाएँ $(x, y), (y, z),$ और $(x, z)$ हैं।
प्रत्येक फलक के लिए परिधि और क्षेत्रफल का योग:
$2(x+y) + xy = 16 \quad (i)$
$2(y+z) + yz = 24 \quad (ii)$
$2(x+z) + xz = 31 \quad (iii)$
प्रत्येक समीकरण में $4$ जोड़ने पर:
$(x+2)(y+2) = 20 \quad (iv)$
$(y+2)(z+2) = 28 \quad (v)$
$(x+2)(z+2) = 35 \quad (vi)$
माना $X = x+2, Y = y+2, Z = z+2$। तब $XY=20, YZ=28, XZ=35$।
गुणा करने पर: $(XYZ)^2 = 19600 \implies XYZ = 140$।
$Z = 7 \implies z = 5$,$X = 5 \implies x = 3$,$Y = 4 \implies y = 2$।
आयतन $V = xyz = 3 \times 2 \times 5 = 30$।
$30$ का मान $28$ और $35$ के बीच स्थित है,अतः विकल्प $(d)$ सही है।

(D) वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $3x$ मानिए। अतः $AB=BC=CD=AD=3x$.
$DP:PC=1:2$ दिया गया है,इसलिए $DP=x$ और $PC=2x$.
$\triangle DAP$ में,$AP = \sqrt{AD^2 + DP^2} = \sqrt{(3x)^2 + x^2} = \sqrt{10}x$.
$\triangle DAP \sim \triangle QBA$ होने के कारण,$\frac{AD}{QB} = \frac{AP}{AB} = \frac{DP}{AQ}$ प्राप्त होता है।
$QB = \frac{9x}{\sqrt{10}}$ और $AQ = \frac{3x}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।
$\triangle DAP$ का क्षेत्रफल $= 1.5x^2$.
$\triangle ABQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AQ \times QB = \frac{27x^2}{20} = 1.35x^2$.
चतुर्भुज $PQBC$ का क्षेत्रफल $= 9x^2 - 1.5x^2 - 1.35x^2 = 6.15x^2 = \frac{123}{20}x^2$.
अनुपात $= \frac{123/20}{9} = \frac{41}{60}$.

(C) मान लीजिए पिरामिड के वर्गाकार आधार की भुजा $x$ है और पिरामिड की ऊँचाई $y$ है।
पिरामिड का आयतन $V = \frac{1}{3} x^2 y$ है।
जब भुजा की लंबाई $x$ में $p \%$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $x' = x \left(\frac{100+p}{100}\right)$ होती है।
जब ऊँचाई $y$ में $p \%$ की कमी होती है,तो नई ऊँचाई $y' = y \left(\frac{100-p}{100}\right)$ होती है।
चूँकि आयतन समान रहता है,$V = \frac{1}{3} (x')^2 y' = \frac{1}{3} x^2 y$।
सरल करने पर,$1 = \left(\frac{100+p}{100}\right)^2 \left(\frac{100-p}{100}\right)$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर $p^2 + 100p - 10000 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$p = 50(\sqrt{5} - 1) \approx 61.8$ प्राप्त होता है।
अतः,$60 < p < 65$।

(B) दिया गया है $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$।
$A(t) = \int_0^1 ((\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t) dx$
$A(t) = [\frac{x^3}{3} \sin t - x^2 \cos t + x \sin t]_0^1$
$A(t) = \frac{1}{3} \sin t - \cos t + \sin t = \frac{4}{3} \sin t - \cos t$।
$A'(t) = \frac{4}{3} \cos t + \sin t$।
$I$. $A(t) = \frac{4}{3} \sin t - \cos t$। यह $t$ के आधार पर धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है,इसलिए $I$ गलत है।
$II$. $A'(t) = 0 \implies \sin t = -\frac{4}{3} \cos t \implies \tan t = -\frac{4}{3}$। इस समीकरण के $t$ के लिए अनंत हल हैं,इसलिए $A(t)$ के अनंत क्रांतिक बिंदु हैं। $II$ सत्य है।
$III$. $A(t) = 0 \implies \frac{4}{3} \sin t = \cos t \implies \tan t = \frac{3}{4}$। इस समीकरण के $t$ के लिए अनंत हल हैं,इसलिए $III$ सत्य है।
$IV$. $A'(t) = \frac{4}{3} \cos t + \sin t$। यह व्यंजक $t$ के बदलने पर अपना चिह्न बदलता है,इसलिए $IV$ गलत है।
अतः,कथन $II$ और $III$ सत्य हैं।

(A) दिया गया है $f(x) = \sqrt{2-x-x^2}$ और $g(x) = \cos x$।
$f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,$2-x-x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+x-2 \leq 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2, 1]$।
$f(g(x))$ के लिए,हमें $g(x) \in [-2, 1]$ की आवश्यकता है। चूँकि $-1 \leq \cos x \leq 1$,यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा सत्य है। अतः,$f(g(x))$ का प्रांत = $\mathbb{R}$।
$f((g(x))^2)$ के लिए,हमें $(g(x))^2 \in [-2, 1]$ की आवश्यकता है। चूँकि $0 \leq \cos^2 x \leq 1$,यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा सत्य है। अतः,$f((g(x))^2)$ का प्रांत = $\mathbb{R}$।
इसलिए,$f((g(x))^2)$ का प्रांत = $f(g(x))$ का प्रांत,अतः कथन $I$ सत्य है।
$g(f(x))$ के लिए,हमें $f(x)$ को परिभाषित होने की आवश्यकता है,इसलिए $x \in [-2, 1]$। अतः,$g(f(x))$ का प्रांत = $[-2, 1]$।
चूँकि $f(g(x))$ का प्रांत = $\mathbb{R}$ और $g(f(x))$ का प्रांत = $[-2, 1]$,कथन $II$ और $III$ असत्य हैं।
$g((f(x))^3)$ के लिए,हमें $f(x)$ को परिभाषित होने की आवश्यकता है,इसलिए $x \in [-2, 1]$। अतः,$g((f(x))^3)$ का प्रांत = $[-2, 1]$। यह $\mathbb{R}$ के बराबर नहीं है,इसलिए कथन $IV$ असत्य है।
अतः,केवल कथन $I$ सत्य है।

(A) फलन $f(x) = \int_{-10}^x 2^{[t]} dt$ एक स्टेप फलन का समाकलन है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि $g(t) = 2^{[t]}$ है,तो $f(x) = \int_{-10}^x g(t) dt$ हर जगह सतत है यदि समाकल्य $g(t)$ समाकलनीय है।
चूंकि $g(t) = 2^{[t]}$ एक टुकड़ों में अचर फलन है,यह पूर्णांकों को छोड़कर हर जगह सतत है।
हालाँकि,एक टुकड़ों में सतत फलन का समाकलन हमेशा सतत होता है।
विशेष रूप से,किसी भी पूर्णांक $n \in (-10, 10)$ के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x \to n^-} f(x) = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt$ है और दाएँ हाथ की सीमा $\lim_{x \to n^+} f(x) = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt + \lim_{x \to n^+} \int_n^x 2^n dt = \int_{-10}^n 2^{[t]} dt + 0 = f(n)$ है।
चूंकि अंतराल $(-10, 10)$ में प्रत्येक बिंदु $x$ पर बाएँ हाथ की सीमा,दाएँ हाथ की सीमा और फलन का मान समान है,इसलिए फलन $f(x)$ अंतराल में हर जगह सतत है।
अतः,असातत्य बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(D) मान लीजिए $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.
चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए $[x] = k$ होता है,इसलिए हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{x\} dx = \sum_{k=1}^{n-1} k \int_k^{k+1} (x-k) dx$.
मान लीजिए $u = x-k$,तो $du = dx$ होगा। जब $x=k, u=0$ और जब $x=k+1, u=1$ होगा।
अतः,$\int_k^{k+1} (x-k) dx = \int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$I = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$.
हमें दिया गया है कि $I > 2013$,इसलिए $\frac{n(n-1)}{4} > 2013$.
$n(n-1) > 8052$.
चूंकि $90 \times 89 = 8010$ और $91 \times 90 = 8190$ होता है,इसलिए असमिका को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा पूर्णांक $n = 91$ है।

(A) दिया गया है,$y=\cos x$.
$(-\pi/4, 1/\sqrt{2})$ और $(0,2)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 2 = \frac{2 - 1/\sqrt{2}}{0 - (-\pi/4)} (x - 0)$
$y = \frac{2\sqrt{2}-8}{\pi} x + 2$.
सममिति के कारण,छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल रेखा $y = \frac{2\sqrt{2}-8}{\pi} x + 2$ और वक्र $y = \cos x$ के बीच $x=0$ से $x=\pi/4$ तक के क्षेत्रफल का दोगुना है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{\pi/4} (2 + \frac{2\sqrt{2}-8}{\pi} x - \cos x) dx$
$= 2 [2x + \frac{2\sqrt{2}-8}{\pi} \frac{x^2}{2} - \sin x]_0^{\pi/4}$
$= 2 [2(\pi/4) + \frac{\sqrt{2}-4}{\pi} \frac{\pi^2}{16} - 1/\sqrt{2}]$
$= 2 [\pi/2 + \frac{(\sqrt{2}-4)\pi}{16} - 1/\sqrt{2}]$
$= \pi + \frac{(\sqrt{2}-4)\pi}{8} - \sqrt{2}$
$= \frac{8\pi + \sqrt{2}\pi - 4\pi}{8} - \sqrt{2} = \frac{4+\sqrt{2}}{8}\pi - \sqrt{2}$.

(D) कुल परिणामों की संख्या $n \times n = n^2$ है।
हम उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ $x, y$ को विभाजित करता है या $y, x$ को विभाजित करता है।
मान लीजिए $S$ उन युग्मों का समुच्चय है जहाँ $x|y$ या $y|x$ है।
यह उन युग्मों की गणना करने के बराबर है जहाँ $x|y$ है,साथ ही जहाँ $y|x$ है,और इसमें से उन युग्मों को घटाना है जहाँ $x|y$ और $y|x$ दोनों हैं (जो तब होता है जब $x=y$)।
एक निश्चित $x=k$ के लिए,$y$ की संख्या जिसके लिए $k|y$ है,$\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$ है।
अतः,उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या जिनके लिए $x|y$ है,$\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor$ है।
इसी प्रकार,उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या जिनके लिए $y|x$ है,$\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor$ है।
$x=y$ वाले युग्म $(1,1), (2,2), \ldots, (n,n)$ हैं,जो कुल $n$ युग्म हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत के अनुसार,अनुकूल परिणामों की संख्या $2 \sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - n$ है।
प्रायिकता $\frac{2 \sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - n}{n^2} = \frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor - \frac{1}{n}$ है।

(C) मान लीजिए कि इकाई सदिशों को उनके कोणों $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ द्वारा दर्शाया गया है जहाँ $\theta_1 \in (0, 90^{\circ})$,$\theta_2 \in (90^{\circ}, 180^{\circ})$,$\theta_3 \in (180^{\circ}, 270^{\circ})$,और $\theta_4 \in (270^{\circ}, 360^{\circ})$ है।
$(a)$ योग $v_1 + v_2 + v_3 + v_4$ अनिवार्य रूप से शून्य नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि सदिश धनात्मक $X$-अक्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के बहुत करीब हैं,तो योग शून्य नहीं होगा।
$(b)$ योग $v_i + v_j$ अनिवार्य रूप से प्रथम चतुर्थांश में नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $v_1$ $90^{\circ}$ के करीब है और $v_2$ $180^{\circ}$ के करीब है,तो उनके योग में $X$-घटक ऋणात्मक होगा।
$(c)$ प्रथम चतुर्थांश में $v_1$ और तीसरे चतुर्थांश में $v_3$ पर विचार करें। उनके बीच का कोण $|\theta_1 - \theta_3|$ है। चूँकि $\theta_1 \in (0, 90^{\circ})$ और $\theta_3 \in (180^{\circ}, 270^{\circ})$ है,अंतर $\theta_3 - \theta_1$ $(90^{\circ}, 270^{\circ})$ में स्थित है। डॉट प्रोडक्ट $v_1 \cdot v_3 = \cos(\theta_1 - \theta_3)$ है। चूँकि कोण का अंतर $90^{\circ}$ से अधिक हो सकता है,इसलिए कोसाइन ऋणात्मक हो सकता है। विशेष रूप से,यदि हम $v_1$ को $45^{\circ}$ के करीब और $v_3$ को $225^{\circ}$ के करीब चुनते हैं,तो कोण $180^{\circ}$ होता है,और डॉट प्रोडक्ट $\cos(180^{\circ}) = -1 < 0$ होता है। इस प्रकार,हमेशा ऐसे $i, j$ मौजूद होते हैं कि $v_i \cdot v_j < 0$ हो।
$(d)$ यह सभी जोड़ों के लिए अनिवार्य रूप से सत्य नहीं है,जैसा कि $(c)$ में दिखाया गया है।

(C) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) \leq 100$ और $f(1/2) = 100$,इसलिए $x = 1/2$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान है।
बहुपद $f(x)$ के लिए,यदि यह ऊपर से परिबद्ध है तो इसका अग्रणी गुणांक ऋणात्मक होना चाहिए।
कथन $(A)$ सत्य है क्योंकि यदि अग्रणी गुणांक धनात्मक होता,तो $x \to \infty$ के लिए $f(x) \to \infty$ हो जाता।
कथन $(C)$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है क्योंकि $f(x)$ अन्य बिंदुओं पर भी $100$ मान प्राप्त कर सकता है (उदाहरण के लिए $f(x) = -(x-1/2)^2(x-k)^2 + 100$)। अतः,$x \neq 1/2$ के लिए $f(x) = 100$ संभव है।

(C) मान लीजिए $AM = x AB$ और $AN = y AC$ है। चूँकि $G$ केंद्रक है,$G$ का स्थिति सदिश $\frac{A+B+C}{3}$ है।
चूँकि $M, G, N$ संरेख हैं,एक अदिश $k$ मौजूद है जिससे $\vec{G} = (1-k)\vec{M} + k\vec{N}$।
केंद्रक के गुण और दी गई शर्तों का उपयोग करके,यह दिखाया जा सकता है कि $\frac{1}{3x} + \frac{1}{3y} = 1$,या $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$ है।
क्षेत्रफलों का अनुपात $r = \frac{\text{Area}(\triangle AMN)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = xy$ है।
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$ से,हमें $y = \frac{x}{3x-1}$ मिलता है।
अतः $r = \frac{x^2}{3x-1}$ है।
चूँकि $M$ और $N$ रेखाखंडों के आंतरिक भाग में हैं,$0 < x < 1$ और $0 < y < 1$ है।
$y < 1$ के लिए,$\frac{x}{3x-1} < 1 \implies x > 1/2$ है।
साथ ही,$r$ का न्यूनतम मान $x=y=2/3$ पर होता है,जिससे $r = (2/3)(2/3) = 4/9$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $x \to 1/2$,$y \to 1$ होता है,इसलिए $r \to 1/2$ होता है।
अतः,$4/9 \leq r < 1/2$ है।

(A) हमारे पास $f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}$ है।
ध्यान दें कि $f'(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} = f(x) - \frac{x^4}{4!}$ है।
साथ ही,$f''(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{1}{2} > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।
चूंकि $f''(x) > 0$,$f'(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जैसे $x \to -\infty$,$f'(x) \to -\infty$ और जैसे $x \to \infty$,$f'(x) \to \infty$। अतः,$f'(x) = 0$ का केवल एक वास्तविक मूल $x_0$ है।
चूंकि $f'(x)$ वर्धमान है,$f(x)$ का $x = x_0$ पर वैश्विक न्यूनतम मान है।
हम देखते हैं कि $f'(-2) = -0.33 < 0$ और $f'(-1) = 0.33 > 0$ है। अतः $x_0 \in (-2, -1)$ है।
न्यूनतम बिंदु $x_0$ पर,$f(x_0) = 1 + x_0 + \frac{x_0^2}{2} + \frac{x_0^3}{6} + \frac{x_0^4}{24}$ है।
चूंकि $f'(x_0) = 0$,इसलिए $1 + x_0 + \frac{x_0^2}{2} + \frac{x_0^3}{6} = 0$ है।
अतः $f(x_0) = 0 + \frac{x_0^4}{24} = \frac{x_0^4}{24}$ है।
चूंकि $x_0 \neq 0$,इसलिए $f(x_0) = \frac{x_0^4}{24} > 0$ है।
चूंकि $f(x)$ का वैश्विक न्यूनतम मान धनात्मक है,इसलिए $f(x) = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(C) मान लीजिए $I = \int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$.
चूंकि अंतराल $[k, k+1)$ के लिए $[x]$ स्थिर है,जहाँ $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$I = \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{(\{x\})^k}{k} d x$.
$u = x-k$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = du$,और जैसे ही $x$,$k$ से $k+1$ तक बदलता है,$\{x\} = u$ होता है:
$I = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{0}^{1} u^k du = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \left[ \frac{u^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
अतः,$I = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है,इसलिए $I = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

(B) मान लीजिए कि $n$ ऑपरेशनों के बाद जार $J_1$ में तरल $X, Y, Z$ की मात्रा $x_n, y_n, z_n$ है।
शुरुआत में,$J_1$ में $100 \, ml$ $X$,$J_2$ में $100 \, ml$ $Y$,और $J_3$ में $100 \, ml$ $Z$ है।
एक ऑपरेशन के बाद,$J_1$ की संरचना बदल जाती है क्योंकि तरल बाहर निकाला जाता है और वापस लाया जाता है।
$n=4$ ऑपरेशनों के बाद,$X$ की मात्रा सबसे अधिक रहती है क्योंकि यह $J_1$ में शुरू हुआ था और केवल आंशिक रूप से हटाया गया था और आंशिक रूप से वापस लाया गया था।
$J_1$ में $Z$ की मात्रा बढ़ जाती है क्योंकि यह प्रत्येक ऑपरेशन के तीसरे चरण में $J_3$ से $J_1$ में स्थानांतरित हो जाता है।
$J_1$ में $Y$ की मात्रा सबसे कम है क्योंकि इसे $J_1$ तक पहुँचने से पहले $J_2$ और $J_3$ से गुजरना पड़ता है।
इस प्रकार,$J_1$ में मात्रा $x > z > y$ संबंध को संतुष्ट करती है।