જો $A$ એક ચોરસ શ્રેણિક હોય,જેથી $A^2=A$ થાય,તો $(I+A)^3$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે. જો $|\operatorname{adj}(24A)| = |\operatorname{adj}(3 \operatorname{adj}(2A))|$ હોય,તો $|A^2|$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha^2 & 1 & \alpha \\ \alpha & \alpha^2 & 1 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\omega$ એ સંકર સંખ્યા $\cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}$ છે. તો $\left|\begin{array}{ccc} z+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & z+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & z+\omega \end{array}\right| = 0$ નું સમાધાન કરતી ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ $z$ ની સંખ્યા કેટલી થાય?

કોઈપણ $3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે,$|M|$ એ $M$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. ધારો કે $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે. ધારો કે $E$ અને $F$ બે $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જેથી $(I-EF)$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો છે. જો $G=(I-EF)^{-1}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A) |FE|=|I-FE||FGE|$
$(B) |I-FE|(I+FGE)=I$
$(C) EFG=GEF$
$(D) (I-FE)(I-FGE)=I$

જો $A = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ અને $B = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{dt}{{t\left( {1 + {t^2}} \right)}}} $,(જ્યાં $\theta \in \left( {0, \frac{\pi }{2}} \right)$),તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \\ {{e^{A + B}}} & {{B^2}} & { - 1} \\ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$ નું મૂલ્ય શું છે?