KCET 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે: $\log _{2}\left(9^{x-1}+7\right)-\log _{2}\left(3^{x-1}+1\right)=2$
ગુણધર્મ $\log_{a} m - \log_{a} n = \log_{a} (\frac{m}{n})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{2}\left(\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}\right)=2$
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}=2^{2}=4$
ધારો કે $y = 3^{x-1}$. તો $9^{x-1} = (3^{2})^{x-1} = (3^{x-1})^{2} = y^{2}$.
સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{y^{2}+7}{y+1}=4$
$y^{2}+7=4(y+1)$
$y^{2}-4y+3=0$
$(y-3)(y-1)=0$
તેથી,$y=3$ અથવા $y=1$.
કિસ્સો $1$: $3^{x-1}=3^{1}$ $\Rightarrow x-1=1$ $\Rightarrow x=2$.
કિસ્સો $2$: $3^{x-1}=3^{0}$ $\Rightarrow x-1=0$ $\Rightarrow x=1$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $1, 2$ છે.

(B) ગુસાઅ $(24, 92)$ શોધવા માટે,આપણે યુક્લિડની ભાગવિધિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$92 = 3 \times 24 + 20$
$24 = 1 \times 20 + 4$
$20 = 5 \times 4 + 0$
આમ,$(24, 92) = 4$.
હવે,$4$ ને $24$ અને $92$ ના સુરેખ સંયોજન તરીકે દર્શાવો:
$4 = 24 - 1 \times 20$
$20 = 92 - 3 \times 24$ મૂકતા:
$4 = 24 - 1 \times (92 - 3 \times 24)$
$4 = 24 - 92 + 3 \times 24$
$4 = 4 \times 24 - 1 \times 92$
આને $24m + 92n = 4$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n = -1$ મળે છે.
તેથી,$(m, n) = (4, -1)$.

(D) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^{3}+4x+2=0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
ઘન સમીકરણ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ના ગુણધર્મો મુજબ:
બીજનો સરવાળો $\Sigma \alpha = -\frac{b}{a} = 0$.
બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a} = 4$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} = -2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3 \alpha \beta \gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha)$.
અહીં $\Sigma \alpha = 0$ હોવાથી,જમણી બાજુ $0$ થશે.
તેથી,$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} = 3 \alpha \beta \gamma$.
બીજના ગુણાકારની કિંમત મૂકતા:
$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} = 3(-2) = -6$.

(A) કારણ કે $(x-1)$ એ $x^{5}-4 x^{3}+2 x^{2}-3 x+k=0$ નો અવયવ છે,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$x=1$ આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x=1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1)^{5}-4(1)^{3}+2(1)^{2}-3(1)+k=0$
$1-4+2-3+k=0$
$-4+k=0$
$k=4$

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$.
આપેલ છે કે $z^{2} + \overline{z} = 0$,તેથી $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(x^{2} + x - y^{2}) + i(2xy - y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x^{2} + x - y^{2} = 0$ $(i)$
$y(2x - 1) = 0$ (ii)
(ii) પરથી,$y = 0$ અથવા $x = 1/2$.
કિસ્સો $1$: જો $y = 0$,તો $x^{2} + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x = -1$. આનાથી $z = 0$ અને $z = -1$ ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x = 1/2$,તો $(1/2)^{2} + 1/2 - y^{2} = 0$ $\Rightarrow 1/4 + 1/2 = y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} = 3/4$ $\Rightarrow y = \pm \sqrt{3}/2$. આનાથી $z = 1/2 + i\sqrt{3}/2$ અને $z = 1/2 - i\sqrt{3}/2$ ઉકેલો મળે છે.
આમ,કુલ $4$ ઉકેલો છે.

(B) આપેલ છે કે $(x + iy)(1 - 2i)$ નો અનુબદ્ધ $1 + i$ છે.
ધારો કે $z = (x + iy)(1 - 2i)$.
તેથી $\bar{z} = 1 + i$.
$z = (x + iy)(1 - 2i)$ ની બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા,$\bar{z} = \overline{(x + iy)(1 - 2i)} = \overline{(x + iy)} \cdot \overline{(1 - 2i)}$.
$\bar{z} = 1 + i$ હોવાથી,$(x - iy)(1 + 2i) = 1 + i$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે લખી શકીએ $z = \overline{1 + i} = 1 - i$.
આમ,$(x + iy)(1 - 2i) = 1 - i$.
બંને બાજુ $(1 - 2i)$ વડે ભાગતા,આપણને $x + iy = \frac{1 - i}{1 - 2i}$ મળે છે.
આ વિકલ્પ $(B)$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આપેલ છે કે $|\beta|=1$,તેથી $|\beta|^2 = \beta \bar{\beta} = 1$ થાય.
પદ $\left|\frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}\right|$ ને ધ્યાનમાં લો.
છેદમાં $1 = \beta \bar{\beta}$ મૂકતા,આપણને મળે:
$\left|\frac{\beta-\alpha}{\beta \bar{\beta}-\bar{\alpha} \beta}\right| = \left|\frac{\beta-\alpha}{\beta(\bar{\beta}-\bar{\alpha})}\right|$.
માનાંકના ગુણધર્મ $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ અને $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{|\beta-\alpha|}{ |\beta| |\bar{\beta}-\bar{\alpha}| }$.
કારણ કે $|\beta|=1$ અને $|\bar{z}| = |z|$,આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{\beta}-\bar{\alpha}| = |\overline{\beta-\alpha}| = |\beta-\alpha|$.
તેથી,પદની કિંમત $\frac{|\beta-\alpha|}{1 \cdot |\beta-\alpha|} = 1$ થાય.

(C) આપેલ છે,$\alpha^{2}-\alpha+1=0$.
$(\alpha+1)$ વડે ગુણતા,$(\alpha+1)(\alpha^{2}-\alpha+1)=0$ મળે,જેનો અર્થ છે $\alpha^{3}+1=0$,તેથી $\alpha^{3}=-1$.
તેથી,$\alpha^{6}=1$.
આપણે $\alpha^{2011}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $2011 = 6 \times 335 + 1$,તેથી $\alpha^{2011} = (\alpha^{6})^{335} \times \alpha^{1} = (1)^{335} \times \alpha = \alpha$.
આમ,$\alpha^{2011} = \alpha$.

(D) $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $13^{th}$ પદ સામાન્ય પદના સૂત્ર $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = 12$ માટે,આપણી પાસે છે:
$T_{13} = {}^{n}C_{12} (x^{2})^{n-12} (\frac{2}{x})^{12}$
$T_{13} = {}^{n}C_{12} x^{2n-24} \cdot \frac{2^{12}}{x^{12}}$
$T_{13} = {}^{n}C_{12} \cdot 2^{12} \cdot x^{2n-36}$
પદ $x$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$2n - 36 = 0$ $\Rightarrow 2n = 36$ $\Rightarrow n = 18$.
$n = 18$ ના ભાજકો $1, 2, 3, 6, 9, 18$ છે.
ભાજકોનો સરવાળો $1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39$ થાય છે.

(A) $7^{886}$ નો છેલ્લો અંક શોધવા માટે,આપણે $7$ ના ઘાતાંકોના છેલ્લા અંકની પેટર્ન જોઈએ:
$7^{1} = 7$
$7^{2} = 49$ (છેલ્લો અંક $9$)
$7^{3} = 343$ (છેલ્લો અંક $3$)
$7^{4} = 2401$ (છેલ્લો અંક $1$)
છેલ્લા અંકનું ચક્ર $(7, 9, 3, 1)$ છે,જેની આવર્તકાળ $4$ છે.
આપણે ઘાતાંક $886$ ને $4$ વડે ભાગીએ:
$886 = 4 \times 221 + 2$
આમ,$7^{886} = (7^{4})^{221} \times 7^{2}$.
$(7^{4})^{221}$ નો છેલ્લો અંક $1^{221} = 1$ છે.
$7^{2}$ નો છેલ્લો અંક $9$ છે.
તેથી,$7^{886}$ નો છેલ્લો અંક $1 \times 9 = 9$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0} + { }^{n} C_{1} x + { }^{n} C_{2} x^{2} + \ldots + { }^{n} C_{n} x^{n}$ છે.
$x=1$ અને $n=10$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2^{10} = { }^{10} C_{0} + { }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9} + { }^{10} C_{10}$.
કારણ કે ${ }^{10} C_{0} = 1$ અને ${ }^{10} C_{10} = 1$,સમીકરણ આ મુજબ થાય છે:
$2^{10} = 1 + ({ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9}) + 1$.
$2^{10} = 2 + ({ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9})$.
તેથી,${ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9} = 2^{10} - 2$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{\sin 70^{\circ}+\cos 40^{\circ}}{\cos 70^{\circ}+\sin 40^{\circ}}$ છે.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(90^{\circ}-\theta)$ અને $\sin \theta = \cos(90^{\circ}-\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin 70^{\circ}+\sin 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ}+\cos 50^{\circ}}$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રો $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ અને $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin 60^{\circ} \cos 10^{\circ}}{2 \cos 60^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$= \frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.

(B) ધારો કે $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,અને $z_3 = e^{i\gamma}$.
આપેલ છે કે $z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 0$.
જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ થાય.
તેથી,$z_1^3 + (2z_2)^3 + (3z_3)^3 = 3(z_1)(2z_2)(3z_3) = 18z_1 z_2 z_3$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખતા: $e^{i3\alpha} + 8e^{i3\beta} + 27e^{i3\gamma} = 18e^{i(\alpha + \beta + \gamma)}$.
$\alpha + \beta + \gamma = \pi$ હોવાથી,$18e^{i\pi} = 18(\cos \pi + i \sin \pi) = -18 + 0i$.
કાલ્પનિક ભાગને સરખાવતા,$\sin 3 \alpha + 8 \sin 3 \beta + 27 \sin 3 \gamma = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$\sin 2x = 4 \cos x$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x \cos x = 4 \cos x$
$2 \sin x \cos x - 4 \cos x = 0$
$2 \cos x (\sin x - 2) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $\cos x = 0$ અથવા $\sin x = 2$.
$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = 2$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$\cos x = 0$.
$\cos x = 0$ માટેનો વ્યાપક ઉકેલ $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ છે,જેને $x = n \pi + \frac{\pi}{2}$ અથવા $x = 2n \pi \pm \frac{\pi}{2}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $n \in Z$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ ના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$m_{1} = nm_{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_{1}+m_{2} = -\frac{2h}{b}$ અને $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$.
$m_{1} = nm_{2}$ ને સરવાળા અને ગુણાકારના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$m_{2}(n+1) = -\frac{2h}{b} \implies m_{2} = -\frac{2h}{b(n+1)}$.
$nm_{2}^{2} = \frac{a}{b}$.
$m_{2}$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$n \left( -\frac{2h}{b(n+1)} \right)^{2} = \frac{a}{b}$.
$n \left( \frac{4h^{2}}{b^{2}(n+1)^{2}} \right) = \frac{a}{b}$.
$4nh^{2} = ab(n+1)^{2}$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $F(11, 9)$,$E(2, 1)$ અને $D(2, -1)$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
મધ્યબિંદુઓથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{11+2+2}{3}, \frac{9+1-1}{3}\right) = \left(\frac{15}{3}, \frac{9}{3}\right) = (5, 3)$ છે.
આમ,મૂળ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(5, 3)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(1, 1)$ નું પ્રતિબિંબ $Q(h, k)$ છે.
પરાવર્તનની રેખા $x + y = 0$ છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{h+1}{2}, \frac{k+1}{2}\right)$ છે,જે રેખા $x + y = 0$ પર હોવું જોઈએ.
$\frac{h+1}{2} + \frac{k+1}{2} = 0 \Rightarrow h + k + 2 = 0 \quad \dots(i)$
રેખા $PQ$ એ રેખા $x + y = 0$ (જેનો ઢાળ $-1$ છે) ને લંબ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $\frac{k-1}{h-1}$ છે.
$PQ$ એ $x + y = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$\left(\frac{k-1}{h-1}\right) \times (-1) = -1$ $\Rightarrow \frac{k-1}{h-1} = 1$ $\Rightarrow k - 1 = h - 1$ $\Rightarrow k = h$.
સમીકરણ $(i)$ માં $k = h$ મૂકતા:
$h + h + 2 = 0$ $\Rightarrow 2h = -2$ $\Rightarrow h = -1$.
$k = h$ હોવાથી,$k = -1$ મળે.
આમ,બિંદુ $(1, 1)$ નું રેખા $y = -x$ ની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબ $(-1, -1)$ છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ લેતા,તેનું કેન્દ્ર $(\pm r, \pm r)$ થશે.
કેન્દ્રથી રેખાનું લંબઅંતર $r$ હોવું જોઈએ.
ગણતરી કરતા,પ્રથમ ચરણમાં $2$ વર્તુળો,બીજા ચરણમાં $1$ વર્તુળ અને ચોથા ચરણમાં $1$ વર્તુળ મળે છે.
આમ,કુલ $4$ વર્તુળો શક્ય છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^{2} + y^{2} - 4x - 2y - 20 = 0$.
$x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -2, f = -1, c = -20$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (2, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{(-2)^{2} + (-1)^{2} - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(10, 7)$ છે અને $C$ એ કેન્દ્ર $(2, 1)$ છે.
$P$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(10 - 2)^{2} + (7 - 1)^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
વર્તુળથી બિંદુનું ન્યૂનતમ અંતર $d - r = 10 - 5 = 5$ છે.
વર્તુળથી બિંદુનું મહત્તમ અંતર $d + r = 10 + 5 = 15$ છે.
આમ,ન્યૂનતમ અને મહત્તમ અંતર અનુક્રમે $5$ અને $15$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2 + y^2 = 16x$
પદોને ગોઠવતા: $x^2 - 16x + y^2 = 0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x - 8)^2 + y^2 = 64$
આમ,કેન્દ્ર $(8, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = 8$ છે.
રેખા $3x + 4y - k = 0$ વર્તુળને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(8, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = 8$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$8 = \frac{|3(8) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$8 = \frac{|24 - k|}{5}$
$|24 - k| = 40$
કિસ્સો $1$: $24 - k = 40 \Rightarrow k = -16$
કિસ્સો $2$: $24 - k = -40 \Rightarrow k = 64$
તેથી,$k$ ની કિંમતો $-16$ અને $64$ છે.

(A) $(-5, -4)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y+4 = m(x+5)$ છે,જે $mx - y + (5m - 4) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ માટે,કેન્દ્ર $(-2, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(-2)^{2} + (-3)^{2} - 8} = \sqrt{5}$ છે.
રેખા સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(-2, -3)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું થાય:
$\frac{|m(-2) - (-3) + (5m - 4)|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \sqrt{5}$
$|3m - 1| = \sqrt{5} \sqrt{m^{2} + 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3m - 1)^{2} = 5(m^{2} + 1)$
$9m^{2} - 6m + 1 = 5m^{2} + 5$
$4m^{2} - 6m - 4 = 0$
$(2m + 1)(m - 2) = 0$
તેથી,$m = 2$ અથવા $m = -\frac{1}{2}$.
$m = 2$ માટે: $2x - y + 6 = 0$.
$m = -\frac{1}{2}$ માટે: $x + 2y + 13 = 0$.

(C) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો:
$x = t^{2} + 2$
$y = 2t$
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y}{2}$ મળે.
$t$ ની આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = (\frac{y}{2})^{2} + 2$
$x = \frac{y^{2}}{4} + 2$
$x - 2 = \frac{y^{2}}{4}$
$y^{2} = 4(x - 2)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે $(\alpha, \beta)$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_{1}=T^{2}$ દ્વારા મળે છે.
જો સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય,તો $x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
આ શરતનું સાદું રૂપ આપતા:
$\left(\frac{1}{a^{2}}\right)\left(\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1\right) - \frac{\alpha^{2}}{a^{4}} + \left(\frac{1}{b^{2}}\right)\left(\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1\right) - \frac{\beta^{2}}{b^{4}} = 0$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{\beta^{2}}{a^{2}b^{2}} - \frac{1}{a^{2}} + \frac{\alpha^{2}}{a^{2}b^{2}} - \frac{1}{b^{2}} = 0$
$\alpha^{2} + \beta^{2} = a^{2}b^{2}\left(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}\right) = a^{2} + b^{2}$
આમ,$(\alpha, \beta)$ નો બિંદુપથ $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ છે,જેને નિયામક વર્તુળ (director circle) કહેવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે,$x-y=1$ $(i)$ અને $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ (ii).
$(i)$ માંથી $y=x-1$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા:
$\frac{x^{2}}{4}-\frac{(x-1)^{2}}{3}=1$
$12$ વડે ગુણતા:
$3x^{2}-4(x-1)^{2}=12$
$3x^{2}-4(x^{2}-2x+1)=12$
$3x^{2}-4x^{2}+8x-4=12$
$-x^{2}+8x-16=0$
$x^{2}-8x+16=0$
$(x-4)^{2}=0$
$x=4$.
$x=4$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$4-y=1 \Rightarrow y=3$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(4,3)$ છે.

(A) આપેલ લક્ષ: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^{x}-1)}{1-\cos x}$
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $L$'Hopital નો નિયમ વાપરીએ:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(x 2^{x}-x)}{\frac{d}{dx}(1-\cos x)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x} + x 2^{x} \ln 2 - 1}{\sin x}$
આ હજુ પણ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ છે. ફરીથી $L$'Hopital નો નિયમ વાપરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x} \ln 2 + 2^{x} \ln 2 + x 2^{x} (\ln 2)^{2}}{\cos x}$
$x = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{2^{0} \ln 2 + 2^{0} \ln 2 + 0}{\cos 0} = \frac{\ln 2 + \ln 2}{1} = 2 \ln 2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a \equiv b \pmod{m}$,તેથી $m \mid (a-b)$.
$(i)$ $(a+x) \equiv (b+x) \pmod{m}$ માટે,$(a+x) - (b+x) = a-b$. $m \mid (a-b)$ હોવાથી,આ સાચું છે.
(ii) $(a-x) \equiv (b-x) \pmod{m}$ માટે,$(a-x) - (b-x) = a-b$. $m \mid (a-b)$ હોવાથી,આ સાચું છે.
(iii) $ax \equiv bx \pmod{m}$ માટે,$ax - bx = x(a-b)$. $m \mid (a-b)$ હોવાથી,$m \mid x(a-b)$,તેથી આ સાચું છે.
(iv) $(a+x) \equiv (b \div x) \pmod{m}$ માટે,આ સામાન્ય રીતે સાચું નથી કારણ કે મોડ્યુલર અંકગણિતમાં ભાગાકાર એ સરવાળા કે ગુણાકારની જેમ વ્યાખ્યાયિત નથી,અને $b \div x$ પૂર્ણાંક પણ ન હોઈ શકે. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ગર્ભિતાર્થ $A \rightarrow B$ એ $\sim A \vee B$ ને તાર્કિક રીતે સમાન છે.
$p \rightarrow \sim q$ માટે આ નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$p \rightarrow \sim q \equiv \sim p \vee \sim q$.
આ સત્યતા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને પણ ચકાસી શકાય છે:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \rightarrow \sim q$ | $\sim p \vee \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
$p$ અને $q$ ના તમામ શક્ય સત્ય મૂલ્યો માટે $p \rightarrow \sim q$ અને $\sim p \vee \sim q$ ના સત્ય મૂલ્યો સમાન હોવાથી,તેઓ તાર્કિક રીતે સમાન છે.

(C) ધારો કે $C = A \cap B$. $A$ અને $B$ માં $n$ ઘટકો સામાન્ય હોવાથી,ગણ $C$ માં $n$ ઘટકો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$.
$C = A \cap B$ મૂકતા,આપણને $(A \times B) \cap (B \times A) = C \times C$ મળે છે.
$C \times C$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(C) \times n(C) = n \times n = n^{2}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$A \times B$ અને $B \times A$ માં સામાન્ય ઘટકોની સંખ્યા $n^{2}$ છે.

(A) ધારો કે $x$ અને $y$ બે ધન સંખ્યાઓ છે.
આપેલ છે કે તેમનો સરવાળો અચળ છે,$x + y = a$.
ધારો કે $z = x^3 + y^3$.
$y = a - x$ મૂકતા,આપણને $z = x^3 + (a - x)^3$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dz}{dx} = 3x^2 - 3(a - x)^2 = 3(x^2 - (a^2 - 2ax + x^2)) = 3(2ax - a^2) = 3a(2x - a)$.
$\frac{dz}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $2x - a = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = \frac{a}{2}$.
$y = a - x$ હોવાથી,$y = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2z}{dx^2} = 6a$. $a > 0$ હોવાથી,$\frac{d^2z}{dx^2} > 0$,જે $x = \frac{a}{2}$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,$x = y$,એટલે કે બંને સંખ્યાઓ સમાન છે.

(B) આપેલ છે,$y=e^{\log _{e} [1+x+x^{2}+\ldots]}$
આપણે જાણીએ છીએ કે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $1+x+x^{2}+\ldots = \frac{1}{1-x}$ થાય છે,જ્યાં $|x| < 1$.
તેથી,$y = e^{\log _{e} (1-x)^{-1}}$.
ગુણધર્મ $e^{\log _{e} f(x)} = f(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y = (1-x)^{-1}$ મળે છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} (1-x)^{-1} = -1(1-x)^{-2} \cdot \frac{d}{d x}(1-x)$
$\frac{d y}{d x} = -1(1-x)^{-2} \cdot (-1) = (1-x)^{-2} = \frac{1}{(1-x)^{2}}$.

(D) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ રેડિયનમાં સેક્ટરનો ખૂણો છે. પરિમિતિ $P = 2r + r\theta = k$ (અચળ).
તેથી,$r = \frac{k}{2+\theta}$.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}r^{2}\theta$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$A = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{2+\theta} \right)^{2} \theta = \frac{k^{2}}{2} \frac{\theta}{(2+\theta)^{2}}$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^{2}}{2} \left[ \frac{(2+\theta)^{2}(1) - \theta(2)(2+\theta)}{(2+\theta)^{4}} \right] = \frac{k^{2}}{2} \frac{2-\theta}{(2+\theta)^{3}}$.
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ લેતા,$2-\theta = 0$,તેથી $\theta = 2^{c}$.
દ્વિતીય વિકલન $\theta = 2$ પર ઋણ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(C) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $s = 22t - 11t^{2}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે, આપણે $s$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ શોધીએ છીએ.
$\frac{ds}{dt} = 22 - 22t$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ શૂન્ય હોય છે, તેથી $22 - 22t = 0$, જે $t = 1 \text{ સેકન્ડ}$ આપે છે.
$t = 1$ ને સ્થાનાંતર સમીકરણમાં મૂકતા:
$s = 22(1) - 11(1)^{2} = 22 - 11 = 11 \text{ એકમ}$.
દડો $s=0$ થી શરૂ થાય છે અને $11 \text{ એકમ}$ ની મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે, તેથી દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $11 \text{ એકમ}$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $xy = 25$ છે. ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. $P$ વક્ર પર હોવાથી $x_1 y_1 = 25$ થાય.
$xy = 25$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ મળે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{y_1}{x_1}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ છે.
$x_1$ વડે ગુણતા,$x_1 y - x_1 y_1 = -y_1 x + x_1 y_1$,જેનું સાદું રૂપ $x_1 y + y_1 x = 2 x_1 y_1$ થાય.
$2 x_1 y_1$ વડે ભાગતા,$\frac{x}{2 x_1} + \frac{y}{2 y_1} = 1$ મળે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(2 x_1, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, 2 y_1)$ માં છેદે છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2 x_1) \times (2 y_1) = 2 x_1 y_1$.
$x_1 y_1 = 25$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $2(25) = 50$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) આપેલ છે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \tan x \\ x^3 & x^2 & x \\ 2x & 1 & x \end{array} \right|$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = \sin x(x^3 - x) - \cos x(x^4 - 2x^2) + \tan x(x^3 - 2x^4)$.
આપણે $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$ શોધવાનું છે.
$\frac{f(x)}{x^2} = \frac{\sin x}{x} (x^2 - 1) - \cos x (x^2 - 2) + \frac{\tan x}{x} (x^2 - 2x^3)$.
$x \to 0$ લેતા:
$= (1)(0 - 1) - (1)(0 - 2) + (1)(0 - 0)$.
$= -1 + 2 + 0 = 1$.

(A) કોઈ ગણ $G$ દ્વિ-ક્રિયા $\cdot$ સાથે ગ્રુપ ત્યારે જ કહેવાય જો તે સંવૃતતા,જૂથનો નિયમ,તટસ્થ ઘટક અને વ્યસ્ત ઘટક ધરાવતું હોય.
$(N, \cdot)$ માટે,જ્યાં $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,કોઈપણ ઘટક $a \in N$ (જ્યાં $a \neq 1$) માટે વ્યસ્ત ઘટક $1/a$ એ $N$ માં નથી.
આથી,$(N, \cdot)$ વ્યસ્ત ઘટકનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી અને તે ગ્રુપ નથી.
$(N, +)$ એ સેમી-ગ્રુપ છે કારણ કે તે સરવાળા માટે સંવૃત અને જૂથનો નિયમ પાળે છે.
$(Z, +)$ એ ગ્રુપ છે કારણ કે તે ગ્રુપના તમામ સ્વયંસિદ્ધિઓનું પાલન કરે છે.
યુગ્મ પૂર્ણાંકોનો ગણ $2Z = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}$ સરવાળા હેઠળ ગ્રુપ બનાવે છે કારણ કે તેમાં તટસ્થ ઘટક $0$ છે,દરેક ઘટકનો વ્યસ્ત ઘટક છે,અને તે સંવૃત તથા જૂથનો નિયમ પાળે છે.
તેથી,વિધાન $(N, \cdot)$ એ ગ્રુપ છે તે ખોટું છે.

(D) જો કોઈ જૂથ $G$ નો ઉપગણ $H$ એ જ પ્રક્રિયા હેઠળ જૂથ બનાવે,તો તેને ઉપજૂથ કહેવાય છે.
$H = \{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$. કારણ કે દરેક $n \in \mathbb{Z}$ માટે $2n \in \mathbb{Z}$ થાય,તેથી $H \subset G$.
$1.$ સંવૃતતા: $4^{n} \cdot 4^{m} = 4^{n+m} \in H$.
$2.$ તટસ્થ ઘટક: $4^{0} = 1 = 2^{0} \in H$.
$3.$ વ્યસ્ત ઘટક: $4^{n} \in H$ માટે,તેનો વ્યસ્ત $4^{-n} \in H$ છે.
આમ,$\{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ એ $G$ નો ઉપજૂથ છે.

(A) અમને સમૂહ $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માં ગુણાકાર મોડ્યુલો $7$ હેઠળ સમીકરણ $4 \otimes_{7} x = 5$ આપેલ છે.
$x$ શોધવા માટે,આપણે સમૂહના ઘટકો ચકાસીએ છીએ:
$4 \otimes_{7} 1 = 4$
$4 \otimes_{7} 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 3 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 4 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 5 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 6 = 24 \equiv 3 \pmod{7}$
આપેલ સમીકરણ $4 \otimes_{7} x = 5$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $x = 3$.

(D) $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - \lambda I| = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $-\lambda^3 + \text{tr}(A)\lambda^2 - (\dots)\lambda + |A| = 0$ માં પરિણમે છે.
આપેલ લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^{3}-5 \lambda^{2}-3 \lambda+2=0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\dots)\lambda - |A| = 0$ સાથે સરખાવતા.
અચળ પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $-|A| = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $|A| = -2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ થાય છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|\text{adj}(A)| = (-2)^2 = 4$ મળે છે.

(D) ધારો કે $A$ એ $n \times n$ ક્રમનો વિકર્ણ શ્રેણિક છે,જે $A = \text{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a_i \neq 0$ છે કારણ કે શ્રેણિક બિન-શૂન્ય (non-singular) છે.
વિકર્ણ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત $A^{-1} = \text{diag}(1/a_1, 1/a_2, \dots, 1/a_n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $A^{-1}$ ના તમામ વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો $0$ રહે છે,તેથી પરિણામી શ્રેણિક $A^{-1}$ પણ એક વિકર્ણ શ્રેણિક છે.
આમ,વિકર્ણ બિન-શૂન્ય શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શ્રેણિક એ વિકર્ણ શ્રેણિક જ હોય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e = \left|\begin{array}{ccc}x^{3}+3 x & x-1 & x+3 \\ x+1 & -2 x & x-4 \\ x-3 & x+4 & 3 x\end{array}\right|$.
$e$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ $x = 0$ મૂકીએ.
નિશ્ચાયકમાં $x = 0$ મૂકતા:
$e = \left|\begin{array}{ccc}0+3(0) & 0-1 & 0+3 \\ 0+1 & -2(0) & 0-4 \\ 0-3 & 0+4 & 3(0)\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -4 \\ -3 & 4 & 0\end{array}\right|$.
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$e = 0(0 - (-16)) - (-1)(0 - 12) + 3(4 - 0)$
$e = 0(16) + 1(-12) + 3(4)$
$e = 0 - 12 + 12 = 0$.
આમ,$e = 0$ થાય.

(C) ધારો કે $\cos ^{-1} x = y$,તેથી $x = \cos y$. $\cos ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,$0 \leq y \leq \pi$ મળે.
આપેલ સમીકરણ $2y = \sin ^{-1} (2 \cos y \sin y) = \sin ^{-1} (\sin 2y)$ છે.
$\sin ^{-1} (\sin 2y) = 2y$ થવા માટે,$-\frac{\pi}{2} \leq 2y \leq \frac{\pi}{2}$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$.
$0 \leq y \leq \pi$ અને $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ ને જોડતા,આપણને $0 \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ મળે.
અહીં $y = \cos ^{-1} x$ હોવાથી,$0 \leq \cos ^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$ થાય.
બંને બાજુ કોસાઈન લેતા (કોસાઈન વિધેય $[0, \pi]$ માં ઘટતું વિધેય હોવાથી),$\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$ મળે.
આમ,$1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$,એટલે કે $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{2}$ છે.
પ્રદેશ માટે,આપણી પાસે $x(x+1) \ge 0$ અને $0 \le x^2+x+1 \le 1$ હોવું જોઈએ.
શરત $x^2+x+1 \le 1$ નો અર્થ છે $x^2+x \le 0$,જેનો અર્થ છે $x(x+1) \le 0$.
$x(x+1) \ge 0$ અને $x(x+1) \le 0$ ને જોડતા,આપણને $x(x+1) = 0$ મળે છે,તેથી $x=0$ અથવા $x=-1$.
જો $x=0$ હોય,તો સમીકરણ $\tan ^{-1} (0) + \sin ^{-1} (1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ બને છે. આ એક ઉકેલ છે.
જો $x=-1$ હોય,તો સમીકરણ $\tan ^{-1} (0) + \sin ^{-1} (1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ બને છે. આ પણ એક ઉકેલ છે.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + (2r-1)x + (r^2-r+1)}\right)$ છે,જ્યાં $r=1, 2, \dots, n$.
આપણે દલીલને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{1}{1 + (x+r)(x+r-1)} = \frac{(x+r) - (x+r-1)}{1 + (x+r)(x+r-1)}$.
તેથી,$T_r = \tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)$.
$r=1$ થી $n$ સુધી આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$y = \sum_{r=1}^{n} [\tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$y = (\tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}(x)) + (\tan^{-1}(x+2) - \tan^{-1}(x+1)) + \dots + (\tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x+n-1))$.
$y = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(x+n)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$x=0$ આગળ કિંમત મુકતા:
$y'(0) = \frac{1}{1+n^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1+n^2} - 1 = \frac{1 - 1 - n^2}{1+n^2} = -\frac{n^2}{1+n^2}$.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,વિધેય $f(x)$ યુગ્મ છે જો $f(-x) = f(x)$ હોય.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]$
$f^{\prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime}(x)$
$-f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$
$f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$
કારણ કે $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$,તેથી વિકલિત $f^{\prime}(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.

(A) ધારો કે $x_{1}, x_{2} \in R$.
એક-એક વિધેય માટે,ધારો કે $f(x_{1}) = f(x_{2})$.
$2x_{1} + 3 = 2x_{2} + 3$
$2x_{1} = 2x_{2}$
$x_{1} = x_{2}$.
તેથી,$f$ એક-એક વિધેય છે.
વ્યાપ્ત વિધેય માટે,ધારો કે $y \in \text{સહપ્રદેશ } R$.
ધારો કે $y = f(x) = 2x + 3$.
$y - 3 = 2x$
$x = \frac{y-3}{2}$.
દરેક $y \in R$ માટે,$x = \frac{y-3}{2} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $f$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને હોવાથી,$f^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ મળે છે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ થવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(2) = 2$.
આપણે લક્ષની કિંમત મેળવીએ: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - (a+2)x + a}{x-2}$.
જો લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને છેદ $0$ ને અનુલક્ષે,તો અંશ પણ $x = 2$ આગળ $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ.
અંશમાં $x = 2$ મૂકતા: $2^2 - (a+2)(2) + a = 0$.
$4 - 2a - 4 + a = 0$.
$-a = 0 \implies a = 0$.
અથવા,એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{x \to 2} \frac{2x - (a+2)}{1} = 2(2) - a - 2 = 2 - a$.
$f(2)$ સાથે સરખાવતા: $2 - a = 2 \implies a = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\pi^{2} \approx 9.86$.
જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે:
$[\pi^{2}] = [9.86] = 9$.
$[-\pi^{2}] = [-9.86] = -10$.
આ કિંમતોને વિધેય $f(x)$ માં મૂકતા:
$f(x) = \sin(9x) + \cos(-10x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$,તેથી:
$f(x) = \sin(9x) + \cos(10x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(9x)) + \frac{d}{dx}(\cos(10x))$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = 9 \cos(9x) - 10 \sin(10x)$.

(B) આપેલ વક્ર $x^{n} y^{m}=a^{m+n}$,જ્યાં $m, n > 0$ છે. બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$n \ln x + m \ln y = (m+n) \ln a$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n}{x} + \frac{m}{y} \frac{dy}{dx} = 0$.
વિકલિત માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{n}{m} \cdot \frac{y}{x}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $|\frac{y}{dy/dx}|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
વિકલિતની કિંમત મૂકતા:
$|\frac{y}{-(n/m)(y/x)}| = |-\frac{m}{n} x| = \frac{m}{n} |x|$.
આમ,$(x_{1}, y_{1})$ બિંદુએ સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $\frac{m}{n} |x_{1}|$ થાય.

(C) ધારો કે વક્ર $y = f(x)$ છે. સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $|y \frac{dx}{dy}|$ દ્વારા અને સબનોર્મલની લંબાઈ $|y \frac{dy}{dx}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ઓર્ડિનેટ $y$ છે.
તેથી,સબટેન્જન્ટ અને સબનોર્મલનો ગુણાકાર:
$\text{Subtangent} \times \text{Subnormal} = |y \frac{dx}{dy}| \times |y \frac{dy}{dx}| = |y^2| = y^2$.
અહીં પ્રથમ અને ત્રીજા પદનો ગુણાકાર એ બીજા પદ (ઓર્ડિનેટ) ના વર્ગ જેટલો હોવાથી,આ ત્રણેય રાશિઓ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.

(B) ધારો કે $y = x e^{-x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot (-e^{-x}) + e^{-x} \cdot (1) = e^{-x}(1 - x)$.
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે,આપણે $\frac{dy}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$e^{-x}(1 - x) = 0$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} \neq 0$ હોવાથી,$1 - x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે દ્વિતીય વિકલન શોધીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-x}(-1) + (1 - x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - e^{-x} + x e^{-x} = e^{-x}(x - 2)$.
$x = 1$ આગળ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-1}(1 - 2) = -\frac{1}{e} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન $x = 1$ આગળ ઋણ હોવાથી,વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $y(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$ છે.

(C) આપેલ છે,$\frac{3x+1}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}$
બંને બાજુ $(x-1)(x+3)$ વડે ગુણતા:
$3x+1 = A(x+3) + B(x-1)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$3x+1 = (A+B)x + (3A-B)$
$x$ ના સહગુણકો અને અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$A+B = 3$ $(i)$
$3A-B = 1$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(A+B) + (3A-B) = 3+1$
$4A = 4 \Rightarrow A = 1$
સમીકરણ $(i)$ માં $A=1$ મૂકતા:
$1+B = 3 \Rightarrow B = 2$
હવે,$\sin^{-1} \frac{A}{B}$ ની કિંમત શોધો:
$\sin^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

(B) આપેલ છે કે $I_{n}=\int(\log x)^{n} dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = (\log x)^{n}$ અને $dv = dx$.
તેથી $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_{n} = x(\log x)^{n} - \int x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$
$I_{n} = x(\log x)^{n} - n \int (\log x)^{n-1} dx$
$I_{n} = x(\log x)^{n} - n I_{n-1}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$I_{n} + n I_{n-1} = x(\log x)^{n} + C$.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} d x$ $(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x)}{\sin ^{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x) + \cos ^{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x)} d x$
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3}(\frac{\pi}{2} - x)}{\sin ^{3}(\frac{\pi}{2} - x) + \cos ^{3}(\frac{\pi}{2} - x)} d x$
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ અને $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$,તેથી:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\cos ^{3} x}{\cos ^{3} x + \sin ^{3} x} d x$ (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3} x + \cos ^{3} x}{\sin ^{3} x + \cos ^{3} x} d x$
$2I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} 1 d x$
$2I = [x]_{\pi / 6}^{\pi / 3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(D) સંકલન $\int_{0}^{11} [x] dx$ ને એકમ લંબાઈના અંતરાલોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે જ્યાં $[x]$ અચળ રહે છે:
$\int_{0}^{11} [x] dx = \sum_{k=0}^{10} \int_{k}^{k+1} [x] dx$
કારણ કે $x \in [k, k+1)$ માટે,$[x] = k$ થાય છે,તેથી:
$\int_{k}^{k+1} [x] dx = \int_{k}^{k+1} k dx = k(k+1 - k) = k$
તેથી,સરવાળો નીચે મુજબ થશે:
$\int_{0}^{11} [x] dx = \sum_{k=0}^{10} k = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55$
આમ,સંકલનનું મૂલ્ય $55$ છે.

(A) આપેલ છે,$m \sin ^{-1} x = \log _{e} y$
$\Rightarrow y = e^{m \sin ^{-1} x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$y' = e^{m \sin ^{-1} x} \times \frac{m}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\Rightarrow \sqrt{1 - x^{2}} \cdot y' = m y$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(1 - x^{2}) (y')^{2} = m^{2} y^{2}$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$(1 - x^{2}) \cdot 2 y' \cdot y'' + (y')^{2} (-2 x) = m^{2} \cdot 2 y y' $
બંને બાજુ $2 y'$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$(1 - x^{2}) y'' - x y' = m^{2} y$

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{dy/dx} = x$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\frac{dy}{dx} = \log x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int dy = \int \log x \, dx$
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,જ્યાં $u = \log x$ અને $dv = dx$:
$y = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$y = x \log x - \int 1 \, dx$
$y = x \log x - x + C$
$y = x(\log x - 1) + C$ (સમીકરણ $i$)
આપેલ શરતો $x = 1$ અને $y = 0$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$0 = 1(\log 1 - 1) + C$
$0 = 1(0 - 1) + C$
$0 = -1 + C$
$C = 1$
આમ,$C = 1$ ને સમીકરણ $i$ માં મૂકતા આપણને મળે છે:
$y = x(\log x - 1) + 1$

(D) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ વિકર્ણ: $\vec{d_1} = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = 3\hat{i}-2\hat{j}$.
પ્રથમ વિકર્ણની લંબાઈ: $|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
બીજો વિકર્ણ: $\vec{d_2} = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = -\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$.
બીજા વિકર્ણની લંબાઈ: $|\vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+16+4} = \sqrt{21}$.
આમ,વિકર્ણોની લંબાઈ $\sqrt{13}$ અને $\sqrt{21}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સદિશો $a$ અને $b$ માટે,$(a \times b)^{2} + (a \cdot b)^{2} = |a|^{2} |b|^{2} \sin^{2} \theta + |a|^{2} |b|^{2} \cos^{2} \theta$ થાય છે.
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી આ સમીકરણ $|a|^{2} |b|^{2}$ માં પરિણમે છે.
આપેલ સમીકરણ $(a \times b)^{2} + (a \cdot b)^{2} = 144$ પરથી,આપણને $|a|^{2} |b|^{2} = 144$ મળે છે.
અહીં $|a| = 4$ આપેલ છે,તેથી $|a|^{2} = 16$ મૂકતા:
$16 |b|^{2} = 144$.
બંને બાજુ $16$ વડે ભાગતા,આપણને $|b|^{2} = 9$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$|b| = 3$ મળે છે.

(B) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સદિશ ગુણાકારના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = (4)^2 = 16$.
આમ,જવાબ $16$ છે.

(D) આપેલ છે કે $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$.
આપણે પદાવલિ $E = (a+b) \cdot p + (b+c) \cdot q + (c+a) \cdot r$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$p, q, r$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = (a+b) \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} + (b+c) \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} + (c+a) \cdot \frac{a \times b}{[a b c]}$
$E = \frac{1}{[a b c]} [a \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (a \times b) + a \cdot (a \times b)]$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{[a b c]} [[a b c] + 0 + [b c a] + 0 + [c a b] + 0]$
કારણ કે $[a b c] = [b c a] = [c a b]$ હોવાથી:
$E = \frac{[a b c] + [a b c] + [a b c]}{[a b c]} = \frac{3[a b c]}{[a b c]} = 3$.