KCET 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) બંને પદાર્થો પર લાગતો આઘાત $J = F \cdot t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને પદાર્થો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા હોવાથી,આઘાત એ દરેક પદાર્થ માટે વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
આમ,$p_{1} = p_{2} = F \cdot t$.
$m$ દળ અને $p$ વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $E = \frac{p^{2}}{2m}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$E_{1} = \frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}}$ અને $E_{2} = \frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}$.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{p_{1}^{2} / 2m_{1}}{p_{2}^{2} / 2m_{2}}$ મળે છે.
$p_{1} = p_{2}$ હોવાથી,આ ગુણોત્તર $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ તરીકે સરળ બને છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે એકમ સમયમાં કાપેલું ક્ષેત્રફળ અચળ હોય છે:
$\frac{A_{1}}{t_{1}} = \frac{A_{2}}{t_{2}} = \frac{A_{3}}{t_{3}}$
અહીં $t_{1} = 2$ દિવસ,$t_{2} = 3$ દિવસ અને $t_{3} = 6$ દિવસ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{A_{1}}{2} = \frac{A_{2}}{3} = \frac{A_{3}}{6}$
આ સમીકરણને સરળ બનાવવા માટે,આખા સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા:
$6 \times \frac{A_{1}}{2} = 6 \times \frac{A_{2}}{3} = 6 \times \frac{A_{3}}{6}$
$3 A_{1} = 2 A_{2} = A_{3}$

(C) જ્યારે કોઈ બ્લોકને ઢળતી સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ),લંબબળ $N$ (સપાટીને લંબ) અને સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ (ઢાળની ઉપરની તરફ) છે.
બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે,$N = mg \cos \theta$ અને $f_s = mg \sin \theta$ થાય.
જ્યારે સ્થિત ઘર્ષણ તેના સીમાંત મૂલ્ય સુધી પહોંચે ત્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે,એટલે કે $f_s = \mu_s N$.
$f_s$ અને $N$ ના સમીકરણો મૂકતા,આપણને $mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$ મળે છે.
બંને બાજુને $mg \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ મળે છે.
આમ,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\tan \theta$ છે.

(D) $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે લાગતા બળ $F$ ના ઘટકો $F_{x} = F \cos \theta$ અને $F_{y} = F \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી:
$F_{x} = F \cos 30^{\circ} = F \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} F$.
$F_{y} = F \sin 30^{\circ} = F \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} F$.
આમ,$X$ અને $Y$ ઘટકો અનુક્રમે $\frac{\sqrt{3}}{2} F$ અને $\frac{1}{2} F$ છે.

(A) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થના વજનમાં થતો દેખીતો ઘટાડો તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલો હોય છે.
વજનમાં ઘટાડો $w = V \rho_{w} g$,જ્યાં $V$ એ પદાર્થનું કદ છે અને $\rho_{w}$ એ પાણીની ઘનતા છે.
બંને ગોળાઓનું દળ $m$ સમાન હોવાથી,$m = V_{iron} \rho_{iron} = V_{lead} \rho_{lead}$ થાય.
તેથી,કદ $V = \frac{m}{\rho}$ થાય.
આ કિંમત વજનમાં ઘટાડાના સૂત્રમાં મૂકતા: $w = \frac{m}{\rho} \rho_{w} g = m g \frac{\rho_{w}}{\rho}$.
લોખંડના ગોળા માટે,$w_{1} = m g \frac{\rho_{w}}{\rho_{iron}}$.
સીસાના ગોળા માટે,$w_{2} = m g \frac{\rho_{w}}{\rho_{lead}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{w_{1}}{w_{2}} = \frac{\rho_{lead}}{\rho_{iron}}$.
સીસાની ઘનતા લોખંડની ઘનતા કરતા વધારે હોવાથી $(\rho_{lead} > \rho_{iron})$,તેથી $\frac{w_{1}}{w_{2}} > 1$ થાય.

(B) ધારો કે દડાને મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે। પ્રશ્ન મુજબ,$t = 1 \,s$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે। ગતિના સમીકરણ $v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u - (10)(1)$,જેનો અર્થ છે કે પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m/s$ છે। દડા દ્વારા પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $h$ એ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। કિંમતો મૂકતા,$h = (10)(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 10 - 5 = 5 \,m$. વૈકલ્પિક રીતે,સ્થિર સ્થિતિમાંથી નીચે પડતા પદાર્થ માટે $h = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા (જે ઉપરની ગતિને સમાન છે),$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \,m$.

(B) જો કોઈ ગતિ ચોક્કસ સમયના અંતરાલે તેના માર્ગનું પુનરાવર્તન કરે,તો તેને આવર્ત ગતિ કહેવામાં આવે છે. નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ દરેક સમયગાળા $T = \frac{2\pi r}{v}$ પછી તે જ સ્થાને પાછો ફરે છે,તેથી તે આવર્ત ગતિ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ એ દોલિત ગતિનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જ્યાં પુનઃસ્થાપક બળ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે $(F = -kx)$.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ હંમેશા કેન્દ્ર તરફ હોય છે (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ),જે સુરેખ રેખા પર $SHM$ માટેની શરતનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એ આવર્ત ગતિ છે પરંતુ $SHM$ નથી.

(C) સાદું આવર્ત પ્રગામી તરંગ એવું તરંગ છે જે માધ્યમના કણોના કાયમી સ્થાનાંતર વગર માધ્યમમાં આગળ વધે છે.
ગાણિતિક રીતે,પ્રગામી તરંગને $y = f(vt \pm x)$ અથવા $y = a \sin(\omega t \pm kx + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં,$y$ એ સ્થાનાંતર છે,$a$ એ કંપવિસ્તાર છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,$t$ એ સમય છે,$k$ એ તરંગ સંખ્યા છે અને $x$ એ સ્થાન છે.
વિકલ્પ $A$ એ નિશ્ચિત સ્થાને સાદી આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $B$ એ સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $C$ એ સાદા આવર્ત પ્રગામી તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે કારણ કે તેમાં કળાના પદમાં સ્થાન $(x)$ અને સમય $(t)$ બંને ચલનો સમાવેશ થાય છે.
વિકલ્પ $D$ એ માત્ર અવકાશી ફેરફાર દર્શાવે છે.

(B) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કંપવિસ્તાર $A = 0.2 \,m$,આવર્તકાળ $T = 24 \,s$,અને સ્થાનાંતર $x = 0.1 \,m$ આપેલ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \,rad/s$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0.1 = 0.2 \sin(\frac{\pi}{12} t)$
$\frac{0.1}{0.2} = \sin(\frac{\pi}{12} t)$
$\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{12} t)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{\pi}{12} t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{12}{6} = 2 \,s$.
આમ,જરૂરી સમય $2 \,s$ છે.

(B) વાહકનો ઉષ્મીય અવરોધ $R_{th} = \frac{L}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$K$ ઉષ્મીય વાહકતા છે,અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. વાહકો સમાન હોવાથી,$L$ અને $A$ બધા માટે સમાન છે.
ધારો કે $R_0 = \frac{L}{KA}$. તો ઉષ્મીય અવરોધો નીચે મુજબ છે:
$R_A = \frac{L}{KA} = R_0$
$R_B = \frac{L}{(2K)A} = \frac{R_0}{2}$
$R_C = \frac{L}{(K/2)A} = 2R_0$
સ્થાયી અવસ્થામાં,શ્રેણી જોડાણમાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ અચળ રહે છે:
$H = \frac{\Delta T}{R_{total}} = \frac{100 - 0}{R_A + R_B + R_C} = \frac{100}{R_0 + \frac{R_0}{2} + 2R_0} = \frac{100}{3.5 R_0} = \frac{200}{7 R_0}$
ધારો કે $A$ અને $B$ ના જંકશનનું તાપમાન $T'$ છે. $A$ માંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ:
$H = \frac{100 - T'}{R_A} = \frac{100 - T'}{R_0}$
$H$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{100 - T'}{R_0} = \frac{200}{7 R_0}$
$100 - T' = \frac{200}{7}$
$T' = 100 - 28.57 = 71.43^{\circ} C$
આમ,તાપમાન આશરે $71^{\circ} C$ છે.

(B) ન્યુટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_{0})$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{70 - 68}{t_{1}} = k \left( \frac{70 + 68}{2} - 30 \right) \implies \frac{2}{t_{1}} = k(69 - 30) = 39k$ (સમીકરણ $i$).
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 59.5}{t_{2}} = k \left( \frac{60 + 59.5}{2} - 30 \right) \implies \frac{0.5}{t_{2}} = k(59.75 - 30) = 29.75k$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ ને સમીકરણ $ii$ વડે ભાગતા: $\frac{2/t_{1}}{0.5/t_{2}} = \frac{39k}{29.75k} \implies \frac{4t_{2}}{t_{1}} \approx 1.31 \implies t_{2} \approx 0.33 t_{1}$.
નોંધ: જો આપણે $\frac{dT}{dt} \approx k(T_{avg} - T_{0})$ અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ,તો પરિણામ ચોક્કસ સરેરાશ તાપમાન પર આધાર રાખે છે. આ પ્રકારના પ્રશ્નો માટે પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તક અભિગમ મુજબ,જ્યાં $T_{avg}$ ને ઘણીવાર પ્રારંભિક તાપમાન તરીકે લેવામાં આવે છે,ત્યાં $t_{2} = 2t_{1}$ પરિણામ સામાન્ય રીતે અપેક્ષિત છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે,જે $U = nC_{v}T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $V-T$ આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ એક શિરોલંબ રેખા છે,જેનો અર્થ છે કે તાપમાન $T$ અચળ છે. આમ,$A \rightarrow B$ એ સમતાપી પ્રક્રિયા છે.
$A$ આગળનું તાપમાન $(T_{A})$ એ $B$ આગળના તાપમાન $(T_{B})$ જેટલું હોવાથી,$A$ આગળની આંતરિક ઉર્જા એ $B$ આગળની આંતરિક ઉર્જા જેટલી જ છે.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ માટે,કદ $V$ અચળ છે,અને તાપમાન $T_{B}$ થી વધીને $T_{C}$ થાય છે. $T_{C} > T_{B}$ હોવાથી,$C$ આગળની આંતરિક ઉર્જા $B$ કરતા વધારે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે $A$ અને $B$ આગળ આંતરિક ઉર્જા સમાન છે.

(D) કોણીય આવૃત્તિનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{0} T^{-1}]$ છે.
આને $[M^{a} L^{b} T^{c}]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=0, b=0, c=-1$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક માટે,સૂત્ર $[M^{1} L^{0} T^{-2}]$ છે.
પૃષ્ઠતાણ માટે,સૂત્ર $[M^{1} L^{0} T^{-2}]$ છે.
બળ માટે,સૂત્ર $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$ છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(B) ચાલો દરેક વિધાનનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. 'વિવર્તન' એ તમામ તરંગોનો ગુણધર્મ છે,જેમાં ધ્વનિ અને પ્રકાશ બંનેનો સમાવેશ થાય છે. તે તેમની વચ્ચે તફાવત કરવામાં મદદ કરતું નથી કારણ કે બંને વિવર્તન દર્શાવે છે.
$2$. લંબગત તરંગો યાંત્રિક (દા.ત.,હવામાં ધ્વનિ તરંગો) અથવા વિદ્યુતચુંબકીય (દા.ત.,પ્લાઝ્મા તરંગો) હોઈ શકે છે. તેથી,આ વિધાન કે લંબગત તરંગ 'યાંત્રિક જ હોવું જોઈએ' તે ખોટું છે.
$3$. યાંત્રિક તરંગો લંબગત (દા.ત.,દોરી પરના તરંગો) અથવા સંગત (દા.ત.,હવામાં ધ્વનિ તરંગો) હોઈ શકે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$4$. યાંત્રિક તરંગોને પ્રસરણ માટે ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોય છે અને તે શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકતા નથી. આ વિધાન સાચું છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ એ ખોટું વિધાન છે.

(D) ધ્વનિની તીવ્રતાનું સ્તર શોધવાનું સૂત્ર: $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) \ dB$ છે.
અહીં,આપેલી તીવ્રતા $I = 10^{-8} \ W/m^2$ અને સંદર્ભ તીવ્રતા $I_0 = 10^{-12} \ W/m^2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{10^{-8}}{10^{-12}} \right) \ dB$.
$\beta = 10 \log_{10} (10^4) \ dB$.
કારણ કે $\log_{10} (10^4) = 4$,તેથી:
$\beta = 10 \times 4 \ dB = 40 \ dB$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ પદાર્થની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પદાર્થ $u$ વેગથી $s_{1}$ અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે:
$F s_{1} = \frac{1}{2} m u^{2} \quad (i)$
બીજા કિસ્સામાં,પદાર્થ $2u$ વેગથી $s_{2}$ અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે:
$F s_{2} = \frac{1}{2} m (2u)^{2} = \frac{1}{2} m (4u^{2}) = 4 \left( \frac{1}{2} m u^{2} \right) \quad (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{F s_{2}}{F s_{1}} = \frac{4 (\frac{1}{2} m u^{2})}{\frac{1}{2} m u^{2}}$
$\frac{s_{2}}{s_{1}} = 4$
$s_{2} = 4s_{1}$

(A) આપેલ સર્કિટમાં,$V_{1}$ એ અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ માપે છે,$V_{2}$ એ ઇન્ડક્ટર $L$ પરનો વોલ્ટેજ માપે છે,અને $V_{3}$ એ કેપેસિટર $C$ પરનો વોલ્ટેજ માપે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ $(X_{L} = X_{C})$ જેટલું હોય છે.
કારણ કે $R, L$ અને $C$ ના શ્રેણી જોડાણમાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે,તેથી ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_{L} = I X_{L}$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_{C} = I X_{C}$ થાય છે.
તેથી,અનુનાદ સમયે,$V_{L} = V_{C}$ થાય છે.
જેથી $V_{2}$ એ $V_{L}$ માપે છે અને $V_{3}$ એ $V_{C}$ માપે છે,તેથી $V_{2}$ અને $V_{3}$ ના રીડિંગ સમાન હોય છે.

(B) આપેલ વોલ્ટેજ $V = 100 \sqrt{2} \sin(1000 t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ $V = V_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 1000 \ rad/s$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 1000 \times 0.5 = 500 \ \Omega$ છે.
અવરોધ $R = 500 \ \Omega$ છે.
$RL$ શ્રેણી પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{500^2 + 500^2} = 500 \sqrt{2} \ \Omega$ થાય.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos \phi = \frac{500}{500 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(D) સૂર્યપ્રકાશનો વર્ણપટ એ સતત ઉત્સર્જન વર્ણપટનું ઉદાહરણ છે. સૂર્યનો ગર્ભ વિશાળ તરંગલંબાઇના વિસ્તારમાં વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે,જેના પરિણામે સતત વર્ણપટ મળે છે. જોકે સૂર્યના વાતાવરણમાં રહેલા ઠંડા વાયુઓ દ્વારા શોષણને કારણે તેમાં કેટલીક કાળી રેખાઓ (ફ્રોનહોફર રેખાઓ) જોવા મળે છે,તેમ છતાં સૂર્યના વર્ણપટની પ્રાથમિક પ્રકૃતિ સતત ઉત્સર્જન વર્ણપટ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(B) કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = IA$ છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2 \pi r}$ અને $A = \pi r^2$,તેથી $M = \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{1}{2} evr$ મળે છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ અને કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2} evr}{mvr} = \frac{e}{2m}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{e}{2m}$ છે.

(C) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ તરીકે ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે કક્ષીય વેગ $v$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $v_1$ અને $r_1$ એ ધરાસ્થિતિમાં વેગ અને ત્રિજ્યા છે,અને $v_2$ અને $r_2$ એ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં વેગ અને ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $v_1 = v$,$r_1 = R$,અને $v_2 = \frac{v}{3}$.
સંબંધ $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{v}{v/3} = \frac{r_2}{R}$.
$r_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $3 = \frac{r_2}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 3R$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$.
જેમ $n$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ છેદ $n^2$ વધે છે,જેનાથી અપૂર્ણાંક $\frac{13.6}{n^2}$ નું મૂલ્ય નાનું થાય છે.
ઉર્જા ઋણ હોવાથી,નાનું મૂલ્ય એટલે કે તે શૂન્યની નજીક જાય છે (એટલે કે તે વધે છે).
તેથી,જેમ $n$ વધે છે તેમ ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા વધે છે.

(B) સૌ પ્રથમ, $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધવા માટે આપણે પરિપથને સરળ બનાવીએ।
$1$. વચ્ચેના બે $3 \, \mu F$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3 \, \mu F + 3 \, \mu F = 6 \, \mu F$ થાય.
$2$. હવે, પરિપથમાં ચાર કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે: $6 \, \mu F$, $3 \, \mu F$, $6 \, \mu F$ (સમાંતર જોડાણનું પરિણામ) અને $3 \, \mu F$.
$3$. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ આ રીતે મળે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2+1+2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \, \mu F^{-1}$. તેથી, $C_{eq} = 1 \, \mu F$.
$4$. શ્રેણી જોડાણમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $q = C_{eq} \times V = 1 \, \mu F \times 60 \, V = 60 \, \mu C$ છે.
$5$. બધા કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી, દરેક કેપેસિટરમાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $q = 60 \, \mu C$ પસાર થાય છે.
$6$. $6 \, \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{q}{C} = \frac{60 \, \mu C}{6 \, \mu F} = 10 \, V$ થાય.

(C) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} CV^2$
આપેલ છે:
કેપેસીટન્સ $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 10 \text{ V}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (10 \text{ V})^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 500 \times 10^{-6} \text{ J}$
$U = 500 \mu J$

(D) ઇલેક્ટ્રોનના ડ્રિફ્ટ વેગ $(v_{d})$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{d} = \frac{I}{n e A}$
જ્યાં:
$I = 2 \,A$ (વિદ્યુતપ્રવાહ)
$n = 5 \times 10^{26} \,m^{-3}$ (મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ (ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર)
$A = 2 \times 10^{-6} \,m^{2}$ (આડછેદનું ક્ષેત્રફળ)
કિંમતો મૂકતા:
$v_{d} = \frac{2}{(5 \times 10^{26}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{2}{16 \times 10^{26-19-6}} = \frac{2}{16 \times 10^{1}} = \frac{2}{160} = \frac{1}{80} \,ms^{-1}$

(D) ધારો કે $2 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ છે. આ પ્રવાહ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે: એકમાં $(6+9) \Omega = 15 \Omega$ અને બીજીમાં $5 \Omega$ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$5 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_1$ છે:
$I_1 = I \times \frac{15}{15+5} = I \times \frac{15}{20} = \frac{3}{4} I$
$5 \Omega$ ના અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H_1 = I_1^2 \times 5 \times t = (\frac{3}{4} I)^2 \times 5 \times t = \frac{9}{16} I^2 \times 5 \times t = \frac{45}{16} I^2 t = 4.05 \ J$.
આથી,$I^2 t = \frac{4.05 \times 16}{45} = 0.09 \times 16 = 1.44$.
$2 \Omega$ ના અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2 \times 2 \times t = 2 \times (I^2 t) = 2 \times 1.44 = 2.88 \ J$.

(A) આપેલ સમય $(t)$ માં $R$ અવરોધ ધરાવતા ધાત્વિક વાહકમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા ઉર્જા $(U)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{V^2}{R} t$
અહીં અવરોધ $(R)$ અને સમય $(t)$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$U \propto V^2$
આ સંબંધ એક પરવલય (parabola) દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થઈને ઉપરની તરફ ખુલે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલો આલેખ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) આ પરિપથમાં ત્રણ અવરોધો $R_{1} = 10 \ \Omega$,$R_{2} = 15 \ \Omega$,અને $R_{3} = 30 \ \Omega$ સમાંતર જોડાણમાં છે,જેમાં કુલ પ્રવાહ $I = 1.2 \ A$ જંકશનમાં પ્રવેશે છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ,અવરોધ $R_{2}$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_{2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_{2} = I \times \frac{\frac{1}{R_{2}}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I_{2} = 1.2 \times \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30}}$
પ્રથમ,વાહકતાનો સરવાળો ગણીએ:
$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 2 + 1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \ \Omega^{-1}$
હવે,આ કિંમત $I_{2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I_{2} = 1.2 \times \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{5}} = 1.2 \times \frac{5}{15} = 1.2 \times \frac{1}{3} = 0.4 \ A$

(D) કોપર એક વાહક (ધાતુ) છે. ધાતુઓ માટે,તાપમાન ઘટતા અવરોધ ઘટે છે કારણ કે લેટીસ વાઇબ્રેશન (અથડામણો) ઘટે છે.
જર્મેનિયમ એક અર્ધવાહક છે. અર્ધવાહકો માટે,તાપમાન ઘટતા અવરોધ વધે છે કારણ કે ઉષ્મીય ઉર્જામાં ઘટાડાને કારણે ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ગતિઊર્જા $K = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણનું વેગમાન $p$ એ ગતિઊર્જા સાથે $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV}$ સંબંધ ધરાવે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રોટોન માટે,$m_p = m$ અને $q_p = e$. આલ્ફા કણ માટે,$m_{\alpha} = 4m$ અને $q_{\alpha} = 2e$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8}$.

(A) $\lambda$ તરંગલંબાઈ ધરાવતા એક ફોટોનનું વેગમાન $p = \frac{h}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n$ ફોટોન કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા શોષાય છે,ત્યારે પદાર્થને મળતું કુલ વેગમાન એ તમામ $n$ ફોટોનના વેગમાનનો સરવાળો છે.
તેથી,પદાર્થ દ્વારા મેળવેલ કુલ વેગમાન $P = n \times p = n \times \frac{h}{\lambda} = \frac{nh}{\lambda}$ થાય.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વાહકમાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા નક્કી કરવા માટે ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ થાય છે. આ નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથના અંગૂઠા,તર્જની અને મધ્યમા આંગળીને એકબીજાને લંબ રહે તે રીતે ફેલાવો,જેથી અંગૂઠો વાહકની ગતિની દિશામાં હોય અને તર્જની ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં હોય,તો મધ્યમા આંગળી પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા દર્શાવશે.

(D) $X$-કિરણો,ગામા કિરણો અને માઇક્રોવેવ્સ એ તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના પ્રકારો છે.
શૂન્યાવકાશમાં,તમામ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે,જે પ્રકાશની ઝડપ $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ છે.
જોકે,તેઓ તેમની આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઇમાં $c = f \lambda$ સંબંધ મુજબ અલગ પડે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
તેમની આવૃત્તિઓ અલગ હોવાથી,સમાન અચળ વેગ $c$ જાળવી રાખવા માટે તેમની તરંગલંબાઇ પણ અલગ હોવી જોઈએ.

(C) કણ ભૌતિકવિજ્ઞાનના સંદર્ભમાં,બેરીયોન એ ત્રણ ક્વાર્કથી બનેલા સંયુક્ત કણો છે. તમામ બેરીયોન પૈકી,પ્રોટોન એ મુક્ત અવકાશમાં એકમાત્ર સ્થાયી કણ છે. જોકે ન્યુટ્રોન પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાં બંધાયેલો હોય ત્યારે સ્થાયી હોય છે,પરંતુ તે મુક્ત અવસ્થામાં અસ્થાયી છે અને લગભગ $880 \ s$ ના સરેરાશ આયુષ્ય સાથે પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં ક્ષય પામે છે. તેથી,પ્રોટોન એ સૌથી સ્થાયી બેરીયોન છે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
થયેલું કાર્ય $W = qEx = \frac{1}{2}mv^2$.
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$v = \sqrt{\frac{2qEx}{m}} = \sqrt{2 \left(\frac{e}{m}\right) Ex}$.
આપેલ કિંમતો: $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \text{ C kg}^{-1}$,$E = 1 \times 10^{4} \text{ N C}^{-1}$,અને $x = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{2 \times (1.8 \times 10^{11}) \times (1 \times 10^{4}) \times (2 \times 10^{-2})}$
$v = \sqrt{7.2 \times 10^{13}} = \sqrt{72 \times 10^{12}}$
$v \approx 8.485 \times 10^{6} \text{ m s}^{-1} \approx 8.5 \times 10^{6} \text{ m s}^{-1}$.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = ma$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
બળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $ma = qE$.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$ થાય.

(A) ધારો કે $q = 5 \mu C = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$ અને $Q = -5 \mu C = -5 \times 10^{-6} \text{ C}$. અંતર $AC = CB = 3 \text{ m}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
$C$ આગળ સ્થિતિઊર્જા $U_C = 2 \times \frac{k q Q}{r}$ છે,જ્યાં $r = 3 \text{ m}$.
$D$ આગળ સ્થિતિઊર્જા $U_D = 2 \times \frac{k q Q}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ છે,જ્યાં $x = CD$.
સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો = $U_C - U_D = 2kq|Q| \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 + x^2}} \right) = K_{initial} = 0.06 \text{ J}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{3^2 + x^2}} \right) = 0.06$.
$0.45 \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} \right) = 0.06$.
$\frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} = \frac{0.06}{0.45} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
$\frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} = \frac{1}{3} - \frac{2}{15} = \frac{5-2}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
$\sqrt{9 + x^2} = 5 \implies 9 + x^2 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \text{ m}$.

(A) વિદ્યુતપ્રવાહ $I_2$ ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપ દ્વારા તેની અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અક્ષની દિશામાં જ હોય છે.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ $I_1$ ધરાવતો સીધો વાહક આ લૂપની અક્ષ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સીધા વાયરમાં વહેતો પ્રવાહ લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને સમાંતર હોય છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તત્વ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સીધા વાહકમાં વહેતો પ્રવાહ લૂપ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને સમાંતર હોવાથી,પ્રવાહ તત્વ $I_1\vec{dl}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ થાય છે.
તેથી,બળ $F = I_1 dl B \sin(\theta) = 0$ થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,લૂપ દ્વારા સીધા વાહક પર લાગતું બળ શૂન્ય છે,અને પરિણામે,સીધા વાહક દ્વારા લૂપ પર લાગતું બળ પણ શૂન્ય છે.

(C) બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ,અનંત લંબાઈના સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$
અહીં,$\mu_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે અને $I$ એ વાહકમાંથી વહેતો સ્થિર પ્રવાહ છે.
આમ,$\mu_{0}$,$I$ અને $2 \pi$ અચળ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$B \propto \frac{1}{r}$.

(C) લૂપ $R_{1}$ અને $R_{2}$ ત્રિજ્યાના બે અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ અને બે સીધા વિભાગોની બનેલી છે. સીધા વિભાગો $O$ તરફ અથવા $O$ થી દૂર નિર્દેશ કરે છે,તેથી $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં તેમનું યોગદાન શૂન્ય છે.
કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો બનાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi R}$ છે.
અહીં,બંને ચાપ અર્ધ-વર્તુળ છે,તેથી $\theta = \pi$.
$R_{1}$ ત્રિજ્યાના ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{1}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{1}}$ (પાનાની અંદરની તરફ).
$R_{2}$ ત્રિજ્યાના ચાપને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{2} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{2}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{2}}$ (પાનાની બહારની તરફ).
$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = |B_{1} - B_{2}| = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right) = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}} \right)$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{\mu_{0} I}{8} (\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}})$ છે.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર હોય $(v = 0)$,તો બળ શૂન્ય હોય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે બળ હંમેશા વેગને લંબ હોય છે,તેથી કોઈ કાર્ય થતું નથી અને ગતિઊર્જા અચળ રહે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં લંબ રૂપે પ્રવેશે છે,ત્યારે તે તેના પ્રારંભિક વેગને લંબ અચળ બળ અનુભવે છે,જેના પરિણામે તે પરવલયાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત છે,તેથી તે વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્થિતવિદ્યુત બળ $F = -eE$ અનુભવે છે. જો તે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરે,તો તેનો વેગ ઘટે છે,એટલે કે તે ગતિઊર્જા ગુમાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટું વિધાન છે.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mK}$ થાય.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ મળે.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$ છે. પ્રોટોન માટે,દળ $m_p$ અને વિદ્યુતભાર $q_p = e$ છે.
બંનેની ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે અને તેઓ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દાખલ થાય છે,તેથી ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{\sqrt{m_{\alpha}} / q_{\alpha}}{\sqrt{m_p} / q_p} = \frac{\sqrt{4m_p} / 2e}{\sqrt{m_p} / e} = \frac{2\sqrt{m_p} / 2e}{\sqrt{m_p} / e} = \frac{1}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(B) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી ઊર્જા $\Delta E = E_{\text{final}} - E_{\text{initial}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E = \text{દળ ક્રમાંક} \times \text{વિશિષ્ટ બંધન ઊર્જા}$.
પ્રક્રિયા $(1): D \rightarrow 2B$ માટે
$\Delta E = (2 \times 60 \times 8.5) - (120 \times 7) = 1020 - 840 = +180 \text{ MeV}$. (ઊર્જા મુક્ત થાય છે)
પ્રક્રિયા $(2): C \rightarrow B + A$ માટે
$\Delta E = (60 \times 8.5 + 30 \times 5) - (90 \times 8) = (510 + 150) - 720 = 660 - 720 = -60 \text{ MeV}$. (ઊર્જાનું શોષણ થાય છે)
પ્રક્રિયા $(3): B \rightarrow 2A$ માટે
$\Delta E = (2 \times 30 \times 5) - (60 \times 8.5) = 300 - 510 = -210 \text{ MeV}$. (ઊર્જાનું શોષણ થાય છે)
આમ,માત્ર પ્રક્રિયા $(1)$ માં ઊર્જા મુક્ત થાય છે.

(D) વિશિષ્ટ બંધન ઉર્જા એટલે ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા.
રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ સામાન્ય રીતે અસ્થાયી હોય છે અને વધુ સ્થાયી પુત્રી ન્યુક્લિયસમાં ક્ષય પામવાનું વલણ ધરાવે છે.
$\alpha$-કણના ઉત્સર્જનથી ન્યુક્લિયસ વધુ સ્થાયી બને છે,તેથી પરિણામી ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા મૂળ ન્યુક્લિયસ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
તેથી,$E_{2} > E_{1}$.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા શોધવાનું સૂત્ર $R = R_{0} A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_{0} = 1.2 \times 10^{-15} \ m$ અને $A$ એ પરમાણુ દળાંક છે.
${ }_{29} Cu^{64}$ માટે,દળાંક $A = 64$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (64)^{1/3} \ m$
કારણ કે $(64)^{1/3} = 4$,તેથી:
$R = 1.2 \times 4 \times 10^{-15} \ m$
$R = 4.8 \times 10^{-15} \ m$
$1 \ \text{Fermi} = 10^{-15} \ m$ હોવાથી,ત્રિજ્યા $4.8 \ \text{Fermi}$ થાય.

(A) સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
નમૂના $A$ માટે,ક્ષય અચળાંક $\lambda_A = 15x$ છે. $t = \frac{1}{6x}$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા:
$N_A = N_0 e^{-(15x)(\frac{1}{6x})} = N_0 e^{-15/6} = N_0 e^{-5/2}$.
નમૂના $B$ માટે,ક્ષય અચળાંક $\lambda_B = 3x$ છે. $t = \frac{1}{6x}$ સમય પછી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા:
$N_B = N_0 e^{-(3x)(\frac{1}{6x})} = N_0 e^{-3/6} = N_0 e^{-1/2}$.
$A$ અને $B$ માં બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5/2}}{N_0 e^{-1/2}} = e^{-5/2 - (-1/2)} = e^{-4/2} = e^{-2}$.

(A) જ્યારે ન્યુક્લિયસ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પામે છે,ત્યારે $\alpha$-કણ $(^4_2 He)$ ના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે.
$\beta$-કણ $(^0_{-1} e)$ ના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે અને દળ ક્રમાંક બદલાતો નથી.
ગામા $(\gamma)$ ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક કે દળ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આપેલ છે: $n_{\alpha} = 4$,$n_{\beta} = 3$,$n_{\gamma} = 8$.
અંતિમ પરમાણુ ક્રમાંક $Z' = Z - 2(n_{\alpha}) + 1(n_{\beta}) = Z - 2(4) + 3 = Z - 8 + 3 = Z - 5$.
અંતિમ દળ ક્રમાંક $A' = A - 4(n_{\alpha}) + 0(n_{\beta}) = A - 4(4) = A - 16$.
તેથી,પરિણામી ન્યુક્લિયસનો પરમાણુ ક્રમાંક $Z-5$ અને દળ ક્રમાંક $A-16$ છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ પાણી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર ક્રાંતિકોણ $(\theta_{c})$ પર આપાત થાય છે,ત્યારે વક્રીભૂત કિરણ આંતરપૃષ્ઠને સમાંતર બને છે.
આપેલ ઊંડાઈ $h = \sqrt{7} \ m$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = 4/3$ છે.
વર્તુળાકાર તેજસ્વી ભાગની ત્રિજ્યા $R$ એ $R = h \tan \theta_{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\sin \theta_{c} = 1/\mu$,તેથી $\tan \theta_{c} = \frac{1}{\sqrt{\mu^{2}-1}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$R = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{(4/3)^{2}-1}} = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{16/9-1}} = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{7/9}} = \sqrt{7} \times \frac{3}{\sqrt{7}} = 3 \ m$.

(D) જ્યારે બે પાતળા લેન્સ સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ છે.
આપેલ ત્રણેય કિસ્સાઓમાં,આપણી પાસે બે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ છે,જે દરેકની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ છે. જ્યારે તેમને સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે આ સંયોજન એક લેન્સ સિસ્ટમ તરીકે કાર્ય કરે છે.
કિસ્સો $(i)$: બંને લેન્સ તેમની વક્ર સપાટીઓ એક જ દિશામાં રહે તે રીતે સંપર્કમાં છે. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{F_1} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ થાય,તેથી $F_1 = \frac{f}{2}$.
કિસ્સો $(ii)$: બંને લેન્સ સંપર્કમાં આવીને એક બહિર્ગોળ લેન્સ બનાવે છે. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{F_2} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ થાય,તેથી $F_2 = \frac{f}{2}$.
કિસ્સો $(iii)$: બંને લેન્સ તેમની વક્ર સપાટીઓ એકબીજાની સામે રહે તે રીતે સંપર્કમાં છે. અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{F_3} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ થાય,તેથી $F_3 = \frac{f}{2}$.
આમ,તેમની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈનો ગુણોત્તર $F_1 : F_2 : F_3 = \frac{f}{2} : \frac{f}{2} : \frac{f}{2} = 1 : 1 : 1$ છે.

(A) ધારો કે અંતર $s$ છે. માધ્યમ $A$ માં તરંગલંબાઈ $\lambda_{1}$ છે અને માધ્યમ $B$ માં તરંગલંબાઈ $\lambda_{2}$ છે.
માધ્યમ $A$ માં $s$ અંતરમાં $x$ તરંગો હોવાથી,$s = x \lambda_{1}$ થાય.
માધ્યમ $B$ માં $s$ અંતરમાં $y$ તરંગો હોવાથી,$s = y \lambda_{2}$ થાય.
$s$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$x \lambda_{1} = y \lambda_{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{y}{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $n$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે $n \propto \frac{1}{\lambda}$).
તેથી,માધ્યમ $B$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $A$ નો વક્રીભવનાંક $n_{AB} = \frac{n_{A}}{n_{B}} = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $n_{AB} = \frac{x}{y}$ મળે છે.

(B) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c/n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $n$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
કોશીના સૂત્ર મુજબ,પદાર્થનો વક્રીભવનાંક $n$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda$ પર આધાર રાખે છે.
કાચ માટે,વક્રીભવનાંક જાંબલી રંગ માટે સૌથી વધુ અને લાલ રંગ માટે સૌથી ઓછો હોય છે.
જેમ કે $v \propto 1/n$,પ્રકાશની ઝડપ વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,કારણ કે કાચમાં લાલ રંગનો વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો હોય છે,તે અન્ય રંગોની તુલનામાં મહત્તમ ઝડપે ગતિ કરે છે.

(C) કરંટ ગેઇન $\alpha$ (કોમન-બેઝ) અને $\beta$ (કોમન-એમિટર) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\alpha = \frac{\beta}{1 + \beta}$.
અહીં $\beta = 100$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\alpha = \frac{100}{1 + 100} = \frac{100}{101}$.
ભાગાકાર કરતા,આપણને $\alpha \approx 0.99$ મળે છે.

(D) આપેલ ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. જ્યારે $A=1, B=0$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ = $1$ મળે છે.
$2$. જ્યારે $A=1, B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ = $0$ મળે છે.
$3$. જ્યારે $A=0, B=1$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ = $1$ મળે છે.
$4$. જ્યારે $A=0, B=0$ હોય,ત્યારે આઉટપુટ = $0$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત લોજિક ગેટ સાથે સરખાવતા:
- $XOR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ ત્યારે જ $1$ મળે છે જ્યારે ઇનપુટ અલગ-અલગ હોય $(A \neq B)$.
- આ ટેબલમાં,જ્યારે $(A=1, B=0)$ અથવા $(A=0, B=1)$ હોય ત્યારે આઉટપુટ $1$ મળે છે,અને જ્યારે $(A=1, B=1)$ અથવા $(A=0, B=0)$ હોય ત્યારે આઉટપુટ $0$ મળે છે.
- આ વર્તણૂક $XOR$ ગેટ (Exclusive-$OR$ gate) સાથે સંપૂર્ણ રીતે મેળ ખાય છે,જેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = A \oplus B$ છે.

(B) એક સ્લિટના વિવર્તનના પ્રયોગમાં,મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે મધ્યસ્થ અધિક્તમની પહોળાઈ $\beta$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\beta \propto 1/a)$.
તેથી,જો સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ઘટાડવામાં આવે,તો મધ્યસ્થ અધિક્તમની રેખીય પહોળાઈ $\beta$ વધશે.
વધુમાં,જેમ સ્લિટની પહોળાઈ ઘટે છે,તેમ સ્લિટમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો જથ્થો ઘટે છે,જેના પરિણામે મધ્યસ્થ અધિક્તમની તીવ્રતામાં ઘટાડો થાય છે અને તે ઓછી પ્રકાશિત બને છે.

(C) ધ્રુવીભવનની ઘટના એ લંબગત તરંગોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે. સંગત તરંગો,જેમ કે ધ્વનિ તરંગો,ધ્રુવીભૂત થઈ શકતા નથી કારણ કે તેમનું દોલન પ્રસરણની દિશામાં જ હોય છે. પ્રકાશનું ધ્રુવીભવન થઈ શકે છે,જે સાબિત કરે છે કે પ્રકાશના તરંગો લંબગત પ્રકૃતિના છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
જ્યારે પડદાનું અંતર $D$ માં $\Delta D$ જેટલો ફેરફાર થાય, ત્યારે ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \frac{\lambda \Delta D}{d}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે:
$\Delta D = 5 \times 10^{-2} \,m$
$\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \,m$
$d = 1 \times 10^{-3} \,m$
તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \,m) \times (1 \times 10^{-3} \,m)}{5 \times 10^{-2} \,m}$
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} \,m$
$\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$
નેનોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \,nm = 10^{-9} \,m)$:
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$.

(B) સ્થાયી વ્યતિકરણ માટે,ઉદગમો સુસંબદ્ધ હોવા જોઈએ,જે સ્થિર વ્યતિકરણ ભાત માટે જરૂરી શરત છે.
વધુમાં,ઉચ્ચ કોન્ટ્રાસ્ટ શલાકાઓ માટે (જ્યાં ન્યૂનતમ તીવ્રતા શૂન્ય હોય),બંને ઉદગમોની તીવ્રતા સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,આદર્શ અને સ્થાયી વ્યતિકરણ શલાકાઓ માટે બંને શરતો આવશ્યક છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto w)$.
જો સ્લિટની પહોળાઈ અસમાન હોય,તો બે સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશના તરંગોની તીવ્રતા $I_{1}$ અને $I_{2}$ અસમાન હશે $(I_{1} \neq I_{2})$.
વ્યતિકરણ ભાતની તીવ્રતા $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^2$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $I_{1} \neq I_{2}$,તેથી $I_{\min}$ નું મૂલ્ય શૂન્ય કરતાં મોટું હોય છે $(I_{\min} > 0)$.
તેથી,અપ્રકાશિત શલાકાઓ સંપૂર્ણપણે અપ્રકાશિત હોતી નથી.

(A) રેલેના પ્રકીર્ણનના નિયમ મુજબ, પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ તેની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ની ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $I \propto \frac{1}{\lambda^{4}}$.
આવૃત્તિ $(f)$ એ તરંગલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(\lambda = \frac{c}{f})$, આપણે તીવ્રતાને આવૃત્તિના પદમાં $I \propto f^{4}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આપેલ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $f_{1} : f_{2} = 1 : 2$ છે, તેથી પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \left(\frac{f_{1}}{f_{2}}\right)^{4}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}$.
તેથી, પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $1: 16$ છે.