KCET 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दोनों पिंडों पर लगाया गया आवेग $J = F \cdot t$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि दोनों पिंड विरामावस्था से शुरू होते हैं,इसलिए आवेग प्रत्येक पिंड के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
अतः,$p_{1} = p_{2} = F \cdot t$.
$m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^{2}}{2m}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$E_{1} = \frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}}$ और $E_{2} = \frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}$.
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{p_{1}^{2} / 2m_{1}}{p_{2}^{2} / 2m_{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p_{1} = p_{2}$,इसलिए अनुपात सरल होकर $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ हो जाता है।

(B) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है।
इसका अर्थ है कि प्रति इकाई समय में तय किया गया क्षेत्रफल स्थिर होता है:
$\frac{A_{1}}{t_{1}} = \frac{A_{2}}{t_{2}} = \frac{A_{3}}{t_{3}}$
यहाँ $t_{1} = 2$ दिन,$t_{2} = 3$ दिन और $t_{3} = 6$ दिन दिए गए हैं,इसलिए:
$\frac{A_{1}}{2} = \frac{A_{2}}{3} = \frac{A_{3}}{6}$
इसे सरल बनाने के लिए,पूरे समीकरण को $6$ से गुणा करने पर:
$6 \times \frac{A_{1}}{2} = 6 \times \frac{A_{2}}{3} = 6 \times \frac{A_{3}}{6}$
$3 A_{1} = 2 A_{2} = A_{3}$

(C) जब किसी ब्लॉक को नत समतल (inclined plane) पर रखा जाता है,तो उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर),अभिलंब बल $N$ (सतह के लंबवत) और स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ (ढलान के ऊपर की ओर) हैं।
ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,$N = mg \cos \theta$ और $f_s = mg \sin \theta$ होता है।
ब्लॉक तब फिसलना शुरू करता है जब स्थैतिक घर्षण अपने सीमांत मान तक पहुँच जाता है,यानी $f_s = \mu_s N$।
$f_s$ और $N$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\tan \theta$ है।

(D) $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर कार्य करने वाले बल $F$ के घटक $F_{x} = F \cos \theta$ और $F_{y} = F \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$F_{x} = F \cos 30^{\circ} = F \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} F$.
$F_{y} = F \sin 30^{\circ} = F \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} F$.
अतः,$X$ और $Y$ घटक क्रमशः $\frac{\sqrt{3}}{2} F$ और $\frac{1}{2} F$ हैं।

(A) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,किसी तरल में डूबी हुई वस्तु के भार में आभासी कमी उस वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होती है।
भार में कमी $w = V \rho_{w} g$,जहाँ $V$ वस्तु का आयतन है और $\rho_{w}$ पानी का घनत्व है।
चूंकि दोनों गोलों का द्रव्यमान $m$ समान है,इसलिए $m = V_{iron} \rho_{iron} = V_{lead} \rho_{lead}$ होगा।
अतः,आयतन $V = \frac{m}{\rho}$ होगा।
इस मान को भार में कमी के सूत्र में रखने पर: $w = \frac{m}{\rho} \rho_{w} g = m g \frac{\rho_{w}}{\rho}$।
लोहे के गोले के लिए,$w_{1} = m g \frac{\rho_{w}}{\rho_{iron}}$।
सीसे के गोले के लिए,$w_{2} = m g \frac{\rho_{w}}{\rho_{lead}}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{w_{1}}{w_{2}} = \frac{\rho_{lead}}{\rho_{iron}}$।
चूंकि सीसे का घनत्व लोहे के घनत्व से अधिक है $(\rho_{lead} > \rho_{iron})$,इसलिए $\frac{w_{1}}{w_{2}} > 1$ होगा।

(B) मान लीजिए कि गेंद को अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t$ है। प्रश्न के अनुसार,$t = 1 \,s$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है। गति के समीकरण $v = u - gt$ का उपयोग करने पर,$0 = u - (10)(1)$,जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m/s$ है। गेंद द्वारा प्राप्त ऊँचाई $h$ को $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर,$h = (10)(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 10 - 5 = 5 \,m$। वैकल्पिक रूप से,विरामावस्था से नीचे गिरने वाली वस्तु के लिए $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करने पर (जो ऊपर की गति के समान है),$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \,m$।

(B) यदि कोई गति निश्चित समय अंतराल पर अपने पथ को दोहराती है,तो उसे आवर्ती गति कहा जाता है। एक समान वृत्तीय गति में,कण प्रत्येक समय अंतराल $T = \frac{2\pi r}{v}$ के बाद उसी स्थान पर वापस आ जाता है,इसलिए यह आवर्ती है।
सरल आवर्त गति $(SHM)$ दोलनी गति का एक विशिष्ट प्रकार है जहाँ प्रत्यानयन बल माध्य स्थिति से विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है $(F = -kx)$।
एक समान वृत्तीय गति में,त्वरण हमेशा केंद्र की ओर निर्देशित होता है (अभिकेंद्र त्वरण),जो एक सीधी रेखा पर $SHM$ के लिए आवश्यक शर्त को पूरा नहीं करता है।
इसलिए,एक समान वृत्तीय गति आवर्ती है लेकिन $SHM$ नहीं है।

(C) एक सरल आवर्ती प्रगामी तरंग वह तरंग है जो माध्यम के कणों के स्थायी विस्थापन के बिना माध्यम में यात्रा करती है।
गणितीय रूप से,एक प्रगामी तरंग को $y = f(vt \pm x)$ या $y = a \sin(\omega t \pm kx + \phi)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
इस व्यंजक में,$y$ विस्थापन है,$a$ आयाम है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,$t$ समय है,$k$ तरंग संख्या है,और $x$ स्थिति है।
विकल्प $A$ एक निश्चित स्थिति पर सरल आवर्त गति को दर्शाता है।
विकल्प $B$ एक अप्रगामी तरंग (standing wave) को दर्शाता है।
विकल्प $C$ एक सरल आवर्ती प्रगामी तरंग का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि इसमें कला (phase) के तर्क में स्थान $(x)$ और समय $(t)$ दोनों चर शामिल हैं।
विकल्प $D$ केवल स्थानिक परिवर्तन को दर्शाता है।

(B) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए कण का विस्थापन $x = A \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आयाम $A = 0.2 \,m$,आवर्तकाल $T = 24 \,s$,और विस्थापन $x = 0.1 \,m$ दिया गया है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12} \,rad/s$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$0.1 = 0.2 \sin(\frac{\pi}{12} t)$
$\frac{0.1}{0.2} = \sin(\frac{\pi}{12} t)$
$\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{12} t)$
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{\pi}{12} t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{12}{6} = 2 \,s$.
अतः,आवश्यक समय $2 \,s$ है।

(B) चालक का ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{th} = \frac{L}{KA}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लंबाई है,$K$ ऊष्मीय चालकता है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। चूँकि चालक समान हैं,इसलिए $L$ और $A$ सभी के लिए समान हैं।
मान लीजिए $R_0 = \frac{L}{KA}$। तब ऊष्मीय प्रतिरोध हैं:
$R_A = \frac{L}{KA} = R_0$
$R_B = \frac{L}{(2K)A} = \frac{R_0}{2}$
$R_C = \frac{L}{(K/2)A} = 2R_0$
स्थिर अवस्था में,श्रेणी संयोजन से गुजरने वाली ऊष्मा धारा $H$ स्थिर रहती है:
$H = \frac{\Delta T}{R_{total}} = \frac{100 - 0}{R_A + R_B + R_C} = \frac{100}{R_0 + \frac{R_0}{2} + 2R_0} = \frac{100}{3.5 R_0} = \frac{200}{7 R_0}$
मान लीजिए $A$ और $B$ के जंक्शन का तापमान $T'$ है। $A$ से गुजरने वाली ऊष्मा धारा है:
$H = \frac{100 - T'}{R_A} = \frac{100 - T'}{R_0}$
$H$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{100 - T'}{R_0} = \frac{200}{7 R_0}$
$100 - T' = \frac{200}{7}$
$T' = 100 - 28.57 = 71.43^{\circ} C$
अतः,तापमान लगभग $71^{\circ} C$ है।

(B) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,शीतलन की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_{0})$.
पहले अंतराल के लिए: $\frac{70 - 68}{t_{1}} = k \left( \frac{70 + 68}{2} - 30 \right) \implies \frac{2}{t_{1}} = k(69 - 30) = 39k$ (समीकरण $i$).
दूसरे अंतराल के लिए: $\frac{60 - 59.5}{t_{2}} = k \left( \frac{60 + 59.5}{2} - 30 \right) \implies \frac{0.5}{t_{2}} = k(59.75 - 30) = 29.75k$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $i$ को समीकरण $ii$ से विभाजित करने पर: $\frac{2/t_{1}}{0.5/t_{2}} = \frac{39k}{29.75k} \implies \frac{4t_{2}}{t_{1}} \approx 1.31 \implies t_{2} \approx 0.33 t_{1}$.
नोट: यदि हम $\frac{dT}{dt} \approx k(T_{avg} - T_{0})$ सन्निकटन का उपयोग करते हैं,तो परिणाम विशिष्ट औसत तापमान पर निर्भर करता है। इस प्रकार के प्रश्नों के लिए मानक पाठ्यपुस्तक दृष्टिकोण के अनुसार,जहाँ $T_{avg}$ को अक्सर प्रारंभिक तापमान के रूप में सरल किया जाता है,$t_{2} = 2t_{1}$ परिणाम आमतौर पर अपेक्षित होता है।

(A) आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान का फलन है,जो $U = nC_{v}T$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए $V-T$ ग्राफ से,प्रक्रिया $A \rightarrow B$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,जिसका अर्थ है कि तापमान $T$ स्थिर है। अतः,$A \rightarrow B$ एक समतापीय प्रक्रिया है।
चूंकि $A$ पर तापमान $(T_{A})$,$B$ पर तापमान $(T_{B})$ के बराबर है,इसलिए $A$ पर आंतरिक ऊर्जा $B$ पर आंतरिक ऊर्जा के बराबर है।
प्रक्रिया $B \rightarrow C$ के लिए,आयतन $V$ स्थिर है,और तापमान $T_{B}$ से बढ़कर $T_{C}$ हो जाता है। चूंकि $T_{C} > T_{B}$,इसलिए $C$ पर आंतरिक ऊर्जा $B$ से अधिक है।
अतः,सही कथन यह है कि $A$ और $B$ पर आंतरिक ऊर्जा समान है।

(D) कोणीय आवृत्ति का विमीय सूत्र $[M^{0} L^{0} T^{-1}]$ है।
इसे $[M^{a} L^{b} T^{c}]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=0, b=0, c=-1$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग नियतांक के लिए,सूत्र $[M^{1} L^{0} T^{-2}]$ है।
पृष्ठ तनाव के लिए,सूत्र $[M^{1} L^{0} T^{-2}]$ है।
बल के लिए,सूत्र $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(B) आइए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें:
$1$. 'विवर्तन' सभी तरंगों का एक गुण है,जिसमें ध्वनि और प्रकाश दोनों शामिल हैं। यह उनके बीच अंतर नहीं करता है क्योंकि दोनों विवर्तन प्रदर्शित करते हैं।
$2$. अनुदैर्ध्य तरंगें यांत्रिक (जैसे,हवा में ध्वनि तरंगें) या विद्युत चुम्बकीय (जैसे,प्लाज्मा तरंगें) हो सकती हैं। इसलिए,यह कथन कि एक अनुदैर्ध्य तरंग को 'यांत्रिक ही होना चाहिए' गलत है।
$3$. यांत्रिक तरंगें अनुप्रस्थ (जैसे,डोरी पर तरंगें) या अनुदैर्ध्य (जैसे,हवा में ध्वनि तरंगें) हो सकती हैं। यह कथन सही है।
$4$. यांत्रिक तरंगों को संचरण के लिए एक भौतिक माध्यम की आवश्यकता होती है और वे निर्वात में यात्रा नहीं कर सकती हैं। यह कथन सही है।
अतः,विकल्प $B$ गलत कथन है।

(D) ध्वनि की तीव्रता का स्तर ज्ञात करने का सूत्र है: $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) \ dB$।
यहाँ,दी गई तीव्रता $I = 10^{-8} \ W/m^2$ है और संदर्भ तीव्रता $I_0 = 10^{-12} \ W/m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{10^{-8}}{10^{-12}} \right) \ dB$।
$\beta = 10 \log_{10} (10^4) \ dB$।
चूँकि $\log_{10} (10^4) = 4$,इसलिए:
$\beta = 10 \times 4 \ dB = 40 \ dB$।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
पहले मामले के लिए,पिंड $u$ वेग से $s_{1}$ दूरी तय करने के बाद रुक जाता है:
$F s_{1} = \frac{1}{2} m u^{2} \quad (i)$
दूसरे मामले के लिए,पिंड $2u$ वेग से $s_{2}$ दूरी तय करने के बाद रुक जाता है:
$F s_{2} = \frac{1}{2} m (2u)^{2} = \frac{1}{2} m (4u^{2}) = 4 \left( \frac{1}{2} m u^{2} \right) \quad (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{F s_{2}}{F s_{1}} = \frac{4 (\frac{1}{2} m u^{2})}{\frac{1}{2} m u^{2}}$
$\frac{s_{2}}{s_{1}} = 4$
$s_{2} = 4s_{1}$

(A) दिए गए परिपथ में,$V_{1}$ प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज मापता है,$V_{2}$ प्रेरक $L$ के सिरों पर वोल्टेज मापता है,और $V_{3}$ संधारित्र $C$ के सिरों पर वोल्टेज मापता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$ धारितीय प्रतिघात $X_{C}$ $(X_{L} = X_{C})$ के बराबर होता है।
चूंकि $R, L$ और $C$ के श्रेणी संयोजन से समान धारा $I$ प्रवाहित होती है,इसलिए प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_{L} = I X_{L}$ और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V_{C} = I X_{C}$ होता है।
अतः,अनुनाद पर,$V_{L} = V_{C}$ होता है।
चूंकि $V_{2}, V_{L}$ को मापता है और $V_{3}, V_{C}$ को मापता है,इसलिए $V_{2}$ और $V_{3}$ के पाठ्यांक समान होते हैं।

(B) दिया गया वोल्टेज $V = 100 \sqrt{2} \sin(1000 t)$ है।
इसे मानक समीकरण $V = V_0 \sin(\omega t)$ से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 1000 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
प्रेरकीय प्रतिघात (inductive reactance) $X_L = \omega L = 1000 \times 0.5 = 500 \ \Omega$ है।
प्रतिरोध $R = 500 \ \Omega$ है।
$RL$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{500^2 + 500^2} = 500 \sqrt{2} \ \Omega$ है।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,$\cos \phi = \frac{500}{500 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) सूर्य के प्रकाश का स्पेक्ट्रम एक सतत उत्सर्जन स्पेक्ट्रम का उदाहरण है। सूर्य का केंद्र तरंग दैर्ध्य की एक विस्तृत श्रृंखला में विकिरण उत्सर्जित करता है,जिसके परिणामस्वरूप एक सतत स्पेक्ट्रम प्राप्त होता है। यद्यपि सूर्य के वायुमंडल में ठंडी गैसों द्वारा अवशोषण के कारण इसमें कुछ काली रेखाएं (फ्रॉनहोफर रेखाएं) दिखाई देती हैं,फिर भी सौर स्पेक्ट्रम की प्राथमिक प्रकृति को सतत उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(B) कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति से जुड़ा चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = IA$ है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
चूंकि $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2 \pi r}$ और $A = \pi r^2$,इसलिए $M = \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{1}{2} evr$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात लेने पर:
$\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2} evr}{mvr} = \frac{e}{2m}$।
अतः,अनुपात $\frac{e}{2m}$ है।

(C) बोर के सिद्धांत के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ के रूप में क्वांटीकृत होता है।
इसका तात्पर्य यह है कि कक्षीय वेग $v$,त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $v \propto \frac{1}{r}$।
मान लीजिए $v_1$ और $r_1$ मूल अवस्था में वेग और त्रिज्या हैं,और $v_2$ और $r_2$ उत्तेजित अवस्था में वेग और त्रिज्या हैं।
दिया गया है कि $v_1 = v$,$r_1 = R$,और $v_2 = \frac{v}{3}$।
संबंध $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{v}{v/3} = \frac{r_2}{R}$।
$r_2$ के लिए हल करने पर,हमें $3 = \frac{r_2}{R}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r_2 = 3R$।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र है: $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$.
जैसे-जैसे $n$ का मान बढ़ता है,हर $n^2$ बढ़ता है,जिससे भिन्न $\frac{13.6}{n^2}$ का परिमाण छोटा हो जाता है।
चूंकि ऊर्जा ऋणात्मक है,इसलिए परिमाण छोटा होने का अर्थ है कि मान शून्य की ओर बढ़ता है (अर्थात यह बढ़ता है)।
अतः,जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा बढ़ती है।

(B) सबसे पहले, $A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता ज्ञात करने के लिए हम परिपथ को सरल बनाते हैं।
$1$. बीच में लगे दो $3 \, \mu F$ संधारित्र समांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 3 \, \mu F + 3 \, \mu F = 6 \, \mu F$ है।
$2$. अब, परिपथ में चार संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं: $6 \, \mu F$, $3 \, \mu F$, $6 \, \mu F$ (समांतर संयोजन का परिणाम) और $3 \, \mu F$।
$3$. तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2+1+2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \, \mu F^{-1}$। अतः, $C_{eq} = 1 \, \mu F$।
$4$. श्रेणी संयोजन से प्रवाहित कुल आवेश $q = C_{eq} \times V = 1 \, \mu F \times 60 \, V = 60 \, \mu C$ है।
$5$. चूंकि सभी संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं, इसलिए प्रत्येक संधारित्र से समान आवेश $q = 60 \, \mu C$ प्रवाहित होता है।
$6$. $6 \, \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{q}{C} = \frac{60 \, \mu C}{6 \, \mu F} = 10 \, V$ होगा।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$U = \frac{1}{2} CV^2$
दिया गया है:
धारिता $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$
विभवांतर $V = 10 \text{ V}$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-6} \text{ F}) \times (10 \text{ V})^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 500 \times 10^{-6} \text{ J}$
$U = 500 \mu J$

(D) इलेक्ट्रॉनों के अनुगमन वेग $(v_{d})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{d} = \frac{I}{n e A}$
जहाँ:
$I = 2 \,A$ (विद्युत धारा)
$n = 5 \times 10^{26} \,m^{-3}$ (मुक्त इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश)
$A = 2 \times 10^{-6} \,m^{2}$ (अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल)
मान रखने पर:
$v_{d} = \frac{2}{(5 \times 10^{26}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6})}$
$v_{d} = \frac{2}{16 \times 10^{26-19-6}} = \frac{2}{16 \times 10^{1}} = \frac{2}{160} = \frac{1}{80} \,ms^{-1}$

(D) माना $2 \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली कुल विद्युत धारा $I$ है। यह धारा दो समानांतर शाखाओं में विभाजित होती है: एक में $(6+9) \Omega = 15 \Omega$ और दूसरी में $5 \Omega$ है।
धारा विभाजक नियम का उपयोग करते हुए,$5 \Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I_1$ है:
$I_1 = I \times \frac{15}{15+5} = I \times \frac{15}{20} = \frac{3}{4} I$
$5 \Omega$ के प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $H_1 = I_1^2 \times 5 \times t = (\frac{3}{4} I)^2 \times 5 \times t = \frac{9}{16} I^2 \times 5 \times t = \frac{45}{16} I^2 t = 4.05 \ J$ है।
इससे,$I^2 t = \frac{4.05 \times 16}{45} = 0.09 \times 16 = 1.44$ प्राप्त होता है।
$2 \Omega$ के प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 \times 2 \times t = 2 \times (I^2 t) = 2 \times 1.44 = 2.88 \ J$ है।

(A) दिए गए समय $(t)$ में $R$ प्रतिरोध वाले धात्विक चालक में उत्पन्न ऊष्मा ऊर्जा $(U)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{V^2}{R} t$
चूंकि प्रतिरोध $(R)$ और समय $(t)$ स्थिर हैं,इसलिए हमारे पास है:
$U \propto V^2$
यह संबंध एक परवलय (parabola) को दर्शाता है जो मूल बिंदु $(0,0)$ से शुरू होकर ऊपर की ओर खुलता है।
अतः,विकल्प $(A)$ में दिया गया ग्राफ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) इस परिपथ में तीन प्रतिरोध $R_{1} = 10 \ \Omega$,$R_{2} = 15 \ \Omega$,और $R_{3} = 30 \ \Omega$ समानांतर क्रम में जुड़े हैं,जिसमें कुल धारा $I = 1.2 \ A$ जंक्शन में प्रवेश करती है।
धारा विभाजक नियम (current divider rule) के अनुसार,प्रतिरोध $R_{2}$ से गुजरने वाली धारा $I_{2}$ इस प्रकार है:
$I_{2} = I \times \frac{\frac{1}{R_{2}}}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$I_{2} = 1.2 \times \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30}}$
सबसे पहले,चालकता (conductance) का योग ज्ञात करें:
$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{3 + 2 + 1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \ \Omega^{-1}$
अब,इस मान को $I_{2}$ के समीकरण में रखने पर:
$I_{2} = 1.2 \times \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{5}} = 1.2 \times \frac{5}{15} = 1.2 \times \frac{1}{3} = 0.4 \ A$

(D) कॉपर एक चालक (धातु) है। धातुओं के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध घटता है क्योंकि जाली कंपन (टक्कर) कम हो जाते हैं।
जर्मेनियम एक अर्धचालक है। अर्धचालकों के लिए,तापमान कम होने पर प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि तापीय ऊर्जा में कमी के कारण आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या में काफी कमी आ जाती है।

(B) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण की गतिज ऊर्जा $K = qV$ द्वारा दी जाती है।
कण का संवेग $p$,गतिज ऊर्जा से $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV}$ के रूप में संबंधित है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का मान $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ होता है।
प्रोटॉन के लिए,$m_p = m$ और $q_p = e$ है। अल्फा कण के लिए,$m_{\alpha} = 4m$ और $q_{\alpha} = 2e$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8}$.

(A) $\lambda$ तरंगदैर्ध्य वाले एक फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n$ फोटॉन कृष्णिका द्वारा अवशोषित किए जाते हैं,इसलिए निकाय को स्थानांतरित कुल संवेग सभी $n$ फोटॉनों के संवेग का योग है।
अतः,निकाय द्वारा प्राप्त कुल संवेग $P = n \times p = n \times \frac{h}{\lambda} = \frac{nh}{\lambda}$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित धारा की दिशा निर्धारित करने के लिए फ्लेमिंग के दाएं हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है। इस नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाएं हाथ के अंगूठे,तर्जनी और मध्यमा उंगली को एक-दूसरे के लंबवत फैलाते हैं,ताकि अंगूठा चालक की गति की दिशा में हो और तर्जनी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में हो,तो मध्यमा उंगली प्रेरित धारा की दिशा को इंगित करेगी।

(D) एक्स-किरणें,गामा किरणें और सूक्ष्म तरंगें सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रकार हैं।
निर्वात में,सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें समान गति से यात्रा करती हैं,जो प्रकाश की गति $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ है।
हालाँकि,वे $c = f \lambda$ संबंध के अनुसार अपनी आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य में भिन्न होती हैं,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि उनकी आवृत्तियाँ अलग-अलग होती हैं,इसलिए समान स्थिर वेग $c$ बनाए रखने के लिए उनकी तरंगदैर्ध्य भी अलग-अलग होनी चाहिए।

(C) कण भौतिकी के संदर्भ में,बेरियन तीन क्वार्क से बने मिश्रित कण होते हैं। सभी बेरियन में से,प्रोटॉन मुक्त अंतरिक्ष में एकमात्र स्थिर कण है। हालांकि न्यूट्रॉन परमाणु के नाभिक के भीतर बंधे होने पर स्थिर होता है,लेकिन यह मुक्त अवस्था में अस्थिर होता है और लगभग $880 \ s$ के औसत जीवनकाल के साथ प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में क्षय हो जाता है। इसलिए,प्रोटॉन सबसे स्थिर बेरियन है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = qEx = \frac{1}{2}mv^2$.
वेग $v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$v = \sqrt{\frac{2qEx}{m}} = \sqrt{2 \left(\frac{e}{m}\right) Ex}$.
दिए गए मान: $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \text{ C kg}^{-1}$,$E = 1 \times 10^{4} \text{ N C}^{-1}$,और $x = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{2 \times (1.8 \times 10^{11}) \times (1 \times 10^{4}) \times (2 \times 10^{-2})}$
$v = \sqrt{7.2 \times 10^{13}} = \sqrt{72 \times 10^{12}}$
$v \approx 8.485 \times 10^{6} \text{ m s}^{-1} \approx 8.5 \times 10^{6} \text{ m s}^{-1}$.

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में $q$ आवेश वाले कण द्वारा अनुभव किया गया बल $F = qE$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = ma$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
बल के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $ma = qE$ प्राप्त होता है।
अतः,त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ होगा।

(A) माना $q = 5 \mu C = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$ और $Q = -5 \mu C = -5 \times 10^{-6} \text{ C}$ है। दूरी $AC = CB = 3 \text{ m}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,गतिज ऊर्जा में कमी,स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
$C$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_C = 2 \times \frac{k q Q}{r}$ है,जहाँ $r = 3 \text{ m}$ है।
$D$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_D = 2 \times \frac{k q Q}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ है,जहाँ $x = CD$ है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $U_C - U_D = 2kq|Q| \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 + x^2}} \right) = K_{initial} = 0.06 \text{ J}$.
मान रखने पर: $2 \times (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{3^2 + x^2}} \right) = 0.06$.
$0.45 \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} \right) = 0.06$.
$\frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} = \frac{0.06}{0.45} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
$\frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} = \frac{1}{3} - \frac{2}{15} = \frac{5-2}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
$\sqrt{9 + x^2} = 5 \implies 9 + x^2 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \text{ m}$.

(A) धारा $I_2$ ले जाने वाली एक वृत्ताकार लूप द्वारा उसकी अक्ष पर किसी भी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र स्वयं अक्ष की दिशा में होता है।
जब धारा $I_1$ ले जाने वाले एक सीधे चालक को इस लूप की अक्ष पर रखा जाता है,तो सीधे तार में प्रवाहित धारा लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के समानांतर होती है।
धारावाही तत्व पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सीधे चालक में धारा लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर है,इसलिए धारा तत्व $I_1\vec{dl}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$,$0^\circ$ या $180^\circ$ है।
इसलिए,बल $F = I_1 dl B \sin(\theta) = 0$ है।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,लूप द्वारा सीधे चालक पर लगाया गया बल शून्य है,और परिणामस्वरूप,सीधे चालक द्वारा लूप पर लगाया गया बल भी शून्य है।

(C) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक अनंत लंबे सीधे धारावाही चालक से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$
यहाँ,$\mu_{0}$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है और $I$ चालक से बहने वाली स्थिर धारा है।
चूंकि $\mu_{0}$,$I$ और $2 \pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम देख सकते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र $B$ दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
अतः,$B \propto \frac{1}{r}$.

(C) लूप $R_{1}$ और $R_{2}$ त्रिज्या के दो अर्ध-वृत्ताकार चापों और दो सीधे खंडों से बना है। सीधे खंड $O$ की ओर या $O$ से दूर इंगित करते हैं,इसलिए $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में उनका योगदान शून्य है।
केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi R}$ है।
यहाँ,दोनों चाप अर्ध-वृत्त हैं,इसलिए $\theta = \pi$ है।
$R_{1}$ त्रिज्या के चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{1}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{1}}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर)।
$R_{2}$ त्रिज्या के चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{2} = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi R_{2}} = \frac{\mu_{0} I}{4 R_{2}}$ (पृष्ठ के बाहर की ओर)।
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = |B_{1} - B_{2}| = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right) = \frac{\mu_{0} I}{4} \left( \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}} \right)$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{\mu_{0} I}{8} (\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}})$ है।

(D) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है। यदि इलेक्ट्रॉन विराम अवस्था में है $(v = 0)$,तो बल शून्य होता है। अतः,विकल्प $A$ सही है।
जब एक इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो बल हमेशा वेग के लंबवत होता है,इसलिए कोई कार्य नहीं होता है और गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है। अतः,विकल्प $B$ सही है।
जब एक इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह अपने प्रारंभिक वेग के लंबवत एक स्थिर बल का अनुभव करता है,जिसके परिणामस्वरूप वह एक परवलयाकार पथ पर चलता है। अतः,विकल्प $C$ सही है।
इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होता है,इसलिए यह विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरीत स्थिरवैद्युत बल $F = -eE$ का अनुभव करता है। यदि यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में गति करता है,तो इसकी गति धीमी हो जाती है,जिसका अर्थ है कि यह गतिज ऊर्जा खो देता है। अतः,विकल्प $D$ गलत कथन है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए संवेग $p = \sqrt{2mK}$ होता है।
इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,$r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2e$ है। प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m_p$ और आवेश $q_p = e$ है।
चूंकि दोनों की गतिज ऊर्जा $K$ समान है और वे समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करते हैं,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात होगा:
$\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{\sqrt{m_{\alpha}} / q_{\alpha}}{\sqrt{m_p} / q_p} = \frac{\sqrt{4m_p} / 2e}{\sqrt{m_p} / e} = \frac{2\sqrt{m_p} / 2e}{\sqrt{m_p} / e} = \frac{1}{1}$.
अतः,अनुपात $1: 1$ है।

(B) नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा $\Delta E = E_{\text{final}} - E_{\text{initial}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E = \text{द्रव्यमान संख्या} \times \text{विशिष्ट बंधन ऊर्जा}$ है।
अभिक्रिया $(1): D \rightarrow 2B$ के लिए
$\Delta E = (2 \times 60 \times 8.5) - (120 \times 7) = 1020 - 840 = +180 \text{ MeV}$। (ऊर्जा मुक्त होती है)
अभिक्रिया $(2): C \rightarrow B + A$ के लिए
$\Delta E = (60 \times 8.5 + 30 \times 5) - (90 \times 8) = (510 + 150) - 720 = 660 - 720 = -60 \text{ MeV}$। (ऊर्जा अवशोषित होती है)
अभिक्रिया $(3): B \rightarrow 2A$ के लिए
$\Delta E = (2 \times 30 \times 5) - (60 \times 8.5) = 300 - 510 = -210 \text{ MeV}$। (ऊर्जा अवशोषित होती है)
अतः,केवल अभिक्रिया $(1)$ में ऊर्जा मुक्त होती है।

(D) विशिष्ट बंधन ऊर्जा को प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रेडियोधर्मी नाभिक सामान्यतः अस्थिर होते हैं और अधिक स्थिर संतति नाभिक में क्षय होने की प्रवृत्ति रखते हैं।
चूंकि $\alpha$-कण का उत्सर्जन नाभिक को अधिक स्थिर बनाता है,इसलिए परिणामी नाभिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा मूल नाभिक की तुलना में अधिक होनी चाहिए।
अतः,$E_{2} > E_{1}$.

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_{0} A^{1/3}$ है,जहाँ $R_{0} = 1.2 \times 10^{-15} \ m$ और $A$ द्रव्यमान संख्या है।
${ }_{29} Cu^{64}$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $A = 64$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 1.2 \times 10^{-15} \times (64)^{1/3} \ m$
चूंकि $(64)^{1/3} = 4$,इसलिए:
$R = 1.2 \times 4 \times 10^{-15} \ m$
$R = 4.8 \times 10^{-15} \ m$
चूंकि $1 \ \text{Fermi} = 10^{-15} \ m$,इसलिए त्रिज्या $4.8 \ \text{Fermi}$ है।

(A) समय $t$ पर बचे हुए नाभिकों की संख्या रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$।
नमूने $A$ के लिए,क्षय नियतांक $\lambda_A = 15x$ है। $t = \frac{1}{6x}$ समय के बाद बचे नाभिकों की संख्या:
$N_A = N_0 e^{-(15x)(\frac{1}{6x})} = N_0 e^{-15/6} = N_0 e^{-5/2}$।
नमूने $B$ के लिए,क्षय नियतांक $\lambda_B = 3x$ है। $t = \frac{1}{6x}$ समय के बाद बचे नाभिकों की संख्या:
$N_B = N_0 e^{-(3x)(\frac{1}{6x})} = N_0 e^{-3/6} = N_0 e^{-1/2}$।
$A$ और $B$ में बचे नाभिकों की संख्या का अनुपात है:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{N_0 e^{-5/2}}{N_0 e^{-1/2}} = e^{-5/2 - (-1/2)} = e^{-4/2} = e^{-2}$।

(A) जब एक नाभिक रेडियोधर्मी क्षय से गुजरता है,तो एक $\alpha$-कण $(^4_2 He)$ के उत्सर्जन से परमाणु संख्या $2$ कम हो जाती है और द्रव्यमान संख्या $4$ कम हो जाती है।
एक $\beta$-कण $(^0_{-1} e)$ के उत्सर्जन से परमाणु संख्या $1$ बढ़ जाती है और द्रव्यमान संख्या अपरिवर्तित रहती है।
गामा $(\gamma)$ उत्सर्जन से परमाणु संख्या या द्रव्यमान संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
दिया गया है: $n_{\alpha} = 4$,$n_{\beta} = 3$,$n_{\gamma} = 8$.
अंतिम परमाणु संख्या $Z' = Z - 2(n_{\alpha}) + 1(n_{\beta}) = Z - 2(4) + 3 = Z - 8 + 3 = Z - 5$.
अंतिम द्रव्यमान संख्या $A' = A - 4(n_{\alpha}) + 0(n_{\beta}) = A - 4(4) = A - 16$.
अतः,परिणामी नाभिक की परमाणु संख्या $Z-5$ और द्रव्यमान संख्या $A-16$ है।

(C) जब प्रकाश की किरण पानी-हवा इंटरफ़ेस पर क्रांतिक कोण $(\theta_{c})$ पर आपतित होती है,तो अपवर्तित किरण इंटरफ़ेस के समानांतर हो जाती है।
दी गई गहराई $h = \sqrt{7} \ m$ और अपवर्तनांक $\mu = 4/3$ है।
गोलाकार चमकीले पैच की त्रिज्या $R$,$R = h \tan \theta_{c}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\sin \theta_{c} = 1/\mu$,इसलिए $\tan \theta_{c} = \frac{1}{\sqrt{\mu^{2}-1}}$ होता है।
मान रखने पर:
$R = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{(4/3)^{2}-1}} = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{16/9-1}} = \sqrt{7} \times \frac{1}{\sqrt{7/9}} = \sqrt{7} \times \frac{3}{\sqrt{7}} = 3 \ m$.

(D) जब दो पतले लेंस संपर्क में रखे जाते हैं,तो प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है।
दिखाई गई तीनों स्थितियों में,हमारे पास दो समतल-उत्तल लेंस हैं,जिनमें से प्रत्येक की फोकस दूरी $f$ है। जब उन्हें संपर्क में रखा जाता है,तो यह संयोजन एक एकल लेंस प्रणाली के रूप में कार्य करता है।
स्थिति $(i)$: दोनों लेंस अपनी वक्र सतहों के साथ एक ही दिशा में संपर्क में हैं। प्रभावी फोकस दूरी $\frac{1}{F_1} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ है,इसलिए $F_1 = \frac{f}{2}$।
स्थिति $(ii)$: दोनों लेंस संपर्क में आकर एक द्वि-उत्तल लेंस बनाते हैं। प्रभावी फोकस दूरी $\frac{1}{F_2} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ है,इसलिए $F_2 = \frac{f}{2}$।
स्थिति $(iii)$: दोनों लेंस अपनी वक्र सतहों के साथ एक-दूसरे के सामने संपर्क में हैं। प्रभावी फोकस दूरी $\frac{1}{F_3} = \frac{1}{f} + \frac{1}{f} = \frac{2}{f}$ है,इसलिए $F_3 = \frac{f}{2}$।
अतः,उनकी प्रभावी फोकस दूरियों का अनुपात $F_1 : F_2 : F_3 = \frac{f}{2} : \frac{f}{2} : \frac{f}{2} = 1 : 1 : 1$ है।

(A) मान लीजिए कि दूरी $s$ है। माध्यम $A$ में तरंगदैर्ध्य $\lambda_{1}$ है और माध्यम $B$ में तरंगदैर्ध्य $\lambda_{2}$ है।
चूंकि माध्यम $A$ में $s$ दूरी में $x$ तरंगें हैं,इसलिए $s = x \lambda_{1}$ है।
चूंकि माध्यम $B$ में $s$ दूरी में $y$ तरंगें हैं,इसलिए $s = y \lambda_{2}$ है।
$s$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर,हमें $x \lambda_{1} = y \lambda_{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{y}{x}$।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक $n$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात $n \propto \frac{1}{\lambda}$)।
इसलिए,माध्यम $B$ के सापेक्ष माध्यम $A$ का अपवर्तनांक $n_{AB} = \frac{n_{A}}{n_{B}} = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$ द्वारा दिया जाता है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात रखने पर,हमें $n_{AB} = \frac{x}{y}$ प्राप्त होता है।

(B) किसी माध्यम में प्रकाश की गति $v = c/n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है।
कॉची के सूत्र के अनुसार,किसी पदार्थ का अपवर्तनांक $n$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है।
कांच के लिए,अपवर्तनांक बैंगनी रंग के लिए सबसे अधिक और लाल रंग के लिए सबसे कम होता है।
चूंकि $v \propto 1/n$,प्रकाश की गति अपवर्तनांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,क्योंकि कांच में लाल रंग का अपवर्तनांक सबसे कम होता है,यह अन्य रंगों की तुलना में अधिकतम गति से चलता है।

(C) करंट गेन $\alpha$ (कॉमन-बेस) और $\beta$ (कॉमन-एमिटर) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\alpha = \frac{\beta}{1 + \beta}$।
चूंकि $\beta = 100$ दिया गया है,हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\alpha = \frac{100}{1 + 100} = \frac{100}{101}$।
विभाजन करने पर,हमें $\alpha \approx 0.99$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई सत्यता सारणी का विश्लेषण करते हैं:
$1$. जब $A=1, B=0$ है,तो आउटपुट = $1$ है।
$2$. जब $A=1, B=1$ है,तो आउटपुट = $0$ है।
$3$. जब $A=0, B=1$ है,तो आउटपुट = $1$ है।
$4$. जब $A=0, B=0$ है,तो आउटपुट = $0$ है।
इसे मानक लॉजिक गेट्स के साथ तुलना करने पर:
- $XOR$ गेट के लिए,आउटपुट केवल तब $1$ होता है जब इनपुट अलग-अलग होते हैं $(A \neq B)$।
- इस तालिका में,जब $(A=1, B=0)$ या $(A=0, B=1)$ होता है तो आउटपुट $1$ मिलता है,और जब $(A=1, B=1)$ या $(A=0, B=0)$ होता है तो आउटपुट $0$ मिलता है।
- यह व्यवहार $XOR$ गेट (Exclusive-$OR$ gate) से पूरी तरह मेल खाता है,जिसका बूलियन समीकरण $Y = A \oplus B$ है।

(B) एकल-स्लिट विवर्तन प्रयोग में,केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{2 \lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट से पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $\beta$,स्लिट की चौड़ाई $a$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\beta \propto 1/a)$।
इसलिए,यदि स्लिट की चौड़ाई $a$ कम की जाती है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $\beta$ बढ़ जाएगी।
इसके अतिरिक्त,जैसे-जैसे स्लिट की चौड़ाई कम होती है,स्लिट से गुजरने वाले प्रकाश की मात्रा कम हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप केंद्रीय उच्चिष्ठ की तीव्रता में कमी आती है और यह कम चमकीला हो जाता है।

(C) ध्रुवण की घटना अनुप्रस्थ तरंगों का एक अभिलक्षणिक गुण है। अनुदैर्ध्य तरंगें,जैसे कि ध्वनि तरंगें,ध्रुवित नहीं हो सकतीं क्योंकि उनका दोलन संचरण की दिशा के अनुदिश होता है। चूंकि प्रकाश को ध्रुवित किया जा सकता है,यह पुष्टि करता है कि प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ प्रकृति की होती हैं।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
जब पर्दे की दूरी $D$ में $\Delta D$ का परिवर्तन होता है, तो फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \beta = \frac{\lambda \Delta D}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
$\Delta D = 5 \times 10^{-2} \,m$
$\Delta \beta = 3 \times 10^{-5} \,m$
$d = 1 \times 10^{-3} \,m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\lambda = \frac{\Delta \beta \cdot d}{\Delta D}$
मान रखने पर:
$\lambda = \frac{(3 \times 10^{-5} \,m) \times (1 \times 10^{-3} \,m)}{5 \times 10^{-2} \,m}$
$\lambda = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} \,m$
$\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \,m = 6 \times 10^{-7} \,m$
नैनोमीटर में बदलने पर $(1 \,nm = 10^{-9} \,m)$:
$\lambda = 600 \times 10^{-9} \,m = 600 \,nm$.

(B) स्थायी व्यतिकरण के लिए,स्रोत सुसंगत होने चाहिए,जो एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न के लिए एक आवश्यक शर्त है।
इसके अतिरिक्त,उच्च कंट्रास्ट फ्रिंज (जहाँ न्यूनतम तीव्रता शून्य होती है) के लिए,दोनों स्रोतों की तीव्रता समान होनी चाहिए।
इसलिए,आदर्श और स्थायी व्यतिकरण फ्रिंज के लिए दोनों शर्तें आवश्यक हैं।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,प्रकाश की तीव्रता $I$,झिरी की चौड़ाई $w$ के समानुपाती होती है $(I \propto w)$।
यदि झिरियों की चौड़ाई असमान है,तो दोनों झिरियों से आने वाली प्रकाश तरंगों की तीव्रताएँ $I_{1}$ और $I_{2}$ असमान होंगी $(I_{1} \neq I_{2})$।
व्यतिकरण प्रतिरूप की तीव्रता $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^2$ द्वारा प्राप्त होती है।
चूंकि $I_{1} \neq I_{2}$,इसलिए $I_{\min}$ का मान शून्य से अधिक होता है $(I_{\min} > 0)$।
अतः,अदीप्त फ्रिंजें पूर्णतः अदीप्त नहीं होती हैं।

(A) रेले के प्रकीर्णन नियम के अनुसार, प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता $(I)$ उसकी तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $I \propto \frac{1}{\lambda^{4}}$.
चूंकि आवृत्ति $(f)$ तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\lambda = \frac{c}{f})$, हम तीव्रता को आवृत्ति के पदों में $I \propto f^{4}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
दी गई आवृत्तियों का अनुपात $f_{1} : f_{2} = 1 : 2$ है, इसलिए प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \left(\frac{f_{1}}{f_{2}}\right)^{4}$ होगा।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16}$.
अतः, प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता का अनुपात $1: 16$ है।