KCET 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है: $\log _{2}\left(9^{x-1}+7\right)-\log _{2}\left(3^{x-1}+1\right)=2$
गुणधर्म $\log_{a} m - \log_{a} n = \log_{a} (\frac{m}{n})$ का उपयोग करने पर:
$\log _{2}\left(\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}\right)=2$
घातांकीय रूप में बदलने पर:
$\frac{9^{x-1}+7}{3^{x-1}+1}=2^{2}=4$
माना $y = 3^{x-1}$. तब $9^{x-1} = (3^{2})^{x-1} = (3^{x-1})^{2} = y^{2}$.
समीकरण में $y$ का मान रखने पर:
$\frac{y^{2}+7}{y+1}=4$
$y^{2}+7=4(y+1)$
$y^{2}-4y+3=0$
$(y-3)(y-1)=0$
अतः,$y=3$ या $y=1$.
स्थिति $1$: $3^{x-1}=3^{1}$ $\Rightarrow x-1=1$ $\Rightarrow x=2$.
स्थिति $2$: $3^{x-1}=3^{0}$ $\Rightarrow x-1=0$ $\Rightarrow x=1$.
इस प्रकार,$x$ के मान $1, 2$ हैं।

(B) महत्तम समापवर्तक $(24, 92)$ ज्ञात करने के लिए,हम यूक्लिड एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं:
$92 = 3 \times 24 + 20$
$24 = 1 \times 20 + 4$
$20 = 5 \times 4 + 0$
अतः,$(24, 92) = 4$ है।
अब,$4$ को $24$ और $92$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करें:
$4 = 24 - 1 \times 20$
$20 = 92 - 3 \times 24$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = 24 - 1 \times (92 - 3 \times 24)$
$4 = 24 - 92 + 3 \times 24$
$4 = 4 \times 24 - 1 \times 92$
इसे $24m + 92n = 4$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 4$ और $n = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(m, n) = (4, -1)$।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^{3}+4x+2=0$ है।
माना मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
त्रिघात समीकरण $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ के गुणों के अनुसार:
मूलों का योग $\Sigma \alpha = -\frac{b}{a} = 0$.
दो मूलों के गुणनफल का योग $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a} = 4$.
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} = -2$.
हम जानते हैं कि $\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3 \alpha \beta \gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha)$.
चूंकि $\Sigma \alpha = 0$,इसलिए दायां पक्ष $0$ हो जाता है।
अतः,$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} = 3 \alpha \beta \gamma$.
मूलों के गुणनफल का मान रखने पर:
$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} = 3(-2) = -6$.

(A) चूंकि $(x-1)$,$x^{5}-4 x^{3}+2 x^{2}-3 x+k=0$ का एक गुणनखंड है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$x=1$ दिए गए समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x=1$ रखने पर:
$(1)^{5}-4(1)^{3}+2(1)^{2}-3(1)+k=0$
$1-4+2-3+k=0$
$-4+k=0$
$k=4$

(B) माना $z = x + iy$.
तब $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$.
दिया गया है $z^{2} + \overline{z} = 0$,अतः $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $(x^{2} + x - y^{2}) + i(2xy - y) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$x^{2} + x - y^{2} = 0$ $(i)$
$y(2x - 1) = 0$ (ii)
(ii) से,$y = 0$ या $x = 1/2$.
स्थिति $1$: यदि $y = 0$,तो $x^{2} + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है। इससे $z = 0$ और $z = -1$ हल मिलते हैं।
स्थिति $2$: यदि $x = 1/2$,तो $(1/2)^{2} + 1/2 - y^{2} = 0$ $\Rightarrow 1/4 + 1/2 = y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} = 3/4$ $\Rightarrow y = \pm \sqrt{3}/2$. इससे $z = 1/2 + i\sqrt{3}/2$ और $z = 1/2 - i\sqrt{3}/2$ हल मिलते हैं।
अतः,कुल $4$ हल हैं।

(B) दिया गया है कि $(x + iy)(1 - 2i)$ का संयुग्मी $1 + i$ है।
माना $z = (x + iy)(1 - 2i)$.
तब $\bar{z} = 1 + i$.
$z = (x + iy)(1 - 2i)$ के दोनों पक्षों का संयुग्मी लेने पर,$\bar{z} = \overline{(x + iy)(1 - 2i)} = \overline{(x + iy)} \cdot \overline{(1 - 2i)}$.
चूंकि $\bar{z} = 1 + i$,हमारे पास $(x - iy)(1 + 2i) = 1 + i$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम लिख सकते हैं $z = \overline{1 + i} = 1 - i$.
अतः,$(x + iy)(1 - 2i) = 1 - i$.
दोनों पक्षों को $(1 - 2i)$ से विभाजित करने पर,हमें $x + iy = \frac{1 - i}{1 - 2i}$ प्राप्त होता है।
यह विकल्प $(B)$ से मेल खाता है।

(B) दिया गया है कि $|\beta|=1$,इसलिए $|\beta|^2 = \beta \bar{\beta} = 1$ है।
व्यंजक $\left|\frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}\right|$ पर विचार करें।
हर में $1 = \beta \bar{\beta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left|\frac{\beta-\alpha}{\beta \bar{\beta}-\bar{\alpha} \beta}\right| = \left|\frac{\beta-\alpha}{\beta(\bar{\beta}-\bar{\alpha})}\right|$.
मापांक के गुणधर्म $|z_1/z_2| = |z_1|/|z_2|$ और $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{|\beta-\alpha|}{ |\beta| |\bar{\beta}-\bar{\alpha}| }$.
चूँकि $|\beta|=1$ और $|\bar{z}| = |z|$,हम जानते हैं कि $|\bar{\beta}-\bar{\alpha}| = |\overline{\beta-\alpha}| = |\beta-\alpha|$ है।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{|\beta-\alpha|}{1 \cdot |\beta-\alpha|} = 1$ होगा।

(C) दिया गया है,$\alpha^{2}-\alpha+1=0$.
$(\alpha+1)$ से गुणा करने पर,$(\alpha+1)(\alpha^{2}-\alpha+1)=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha^{3}+1=0$,अतः $\alpha^{3}=-1$.
इसलिए,$\alpha^{6}=1$.
हमें $\alpha^{2011}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $2011 = 6 \times 335 + 1$,इसलिए $\alpha^{2011} = (\alpha^{6})^{335} \times \alpha^{1} = (1)^{335} \times \alpha = \alpha$.
अतः,$\alpha^{2011} = \alpha$.

(D) $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{n}$ के विस्तार में $13^{th}$ पद सामान्य पद के सूत्र $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = 12$ के लिए,हमारे पास है:
$T_{13} = {}^{n}C_{12} (x^{2})^{n-12} (\frac{2}{x})^{12}$
$T_{13} = {}^{n}C_{12} x^{2n-24} \cdot \frac{2^{12}}{x^{12}}$
$T_{13} = {}^{n}C_{12} \cdot 2^{12} \cdot x^{2n-36}$
चूंकि पद $x$ से स्वतंत्र है,इसलिए $x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$2n - 36 = 0$ $\Rightarrow 2n = 36$ $\Rightarrow n = 18$.
$n = 18$ के भाजक $1, 2, 3, 6, 9, 18$ हैं।
भाजकों का योग $1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39$ है।

(A) $7^{886}$ का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए,हम $7$ की घातों के अंतिम अंकों का पैटर्न देखते हैं:
$7^{1} = 7$
$7^{2} = 49$ (अंतिम अंक $9$)
$7^{3} = 343$ (अंतिम अंक $3$)
$7^{4} = 2401$ (अंतिम अंक $1$)
अंतिम अंकों का चक्र $(7, 9, 3, 1)$ है,जिसका आवर्तकाल $4$ है।
हम घातांक $886$ को $4$ से विभाजित करते हैं:
$886 = 4 \times 221 + 2$
अतः,$7^{886} = (7^{4})^{221} \times 7^{2}$।
$(7^{4})^{221}$ का अंतिम अंक $1^{221} = 1$ है।
$7^{2}$ का अंतिम अंक $9$ है।
इसलिए,$7^{886}$ का अंतिम अंक $1 \times 9 = 9$ है।

(C) हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार $(1+x)^{n} = { }^{n} C_{0} + { }^{n} C_{1} x + { }^{n} C_{2} x^{2} + \ldots + { }^{n} C_{n} x^{n}$ है।
$x=1$ और $n=10$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2^{10} = { }^{10} C_{0} + { }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9} + { }^{10} C_{10}$.
चूंकि ${ }^{10} C_{0} = 1$ और ${ }^{10} C_{10} = 1$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$2^{10} = 1 + ({ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9}) + 1$.
$2^{10} = 2 + ({ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9})$.
अतः,${ }^{10} C_{1} + { }^{10} C_{2} + \ldots + { }^{10} C_{9} = 2^{10} - 2$.

(B) दी गई व्यंजक $\frac{\sin 70^{\circ}+\cos 40^{\circ}}{\cos 70^{\circ}+\sin 40^{\circ}}$ है।
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(90^{\circ}-\theta)$ और $\sin \theta = \cos(90^{\circ}-\theta)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin 70^{\circ}+\sin 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ}+\cos 50^{\circ}}$
योग-गुणनफल सूत्रों $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ और $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin 60^{\circ} \cos 10^{\circ}}{2 \cos 60^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$= \frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.

(B) माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,और $z_3 = e^{i\gamma}$ है।
दिया गया है कि $z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 0$ है।
यदि $x + y + z = 0$ हो,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।
अतः,$z_1^3 + (2z_2)^3 + (3z_3)^3 = 3(z_1)(2z_2)(3z_3) = 18z_1 z_2 z_3$ होगा।
घातांकीय रूप में लिखने पर: $e^{i3\alpha} + 8e^{i3\beta} + 27e^{i3\gamma} = 18e^{i(\alpha + \beta + \gamma)}$।
चूंकि $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ है,इसलिए $18e^{i\pi} = 18(\cos \pi + i \sin \pi) = -18 + 0i$।
काल्पनिक भाग की तुलना करने पर,$\sin 3 \alpha + 8 \sin 3 \beta + 27 \sin 3 \gamma = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया है,$\sin 2x = 4 \cos x$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x \cos x = 4 \cos x$
$2 \sin x \cos x - 4 \cos x = 0$
$2 \cos x (\sin x - 2) = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $\cos x = 0$ या $\sin x = 2$ है।
चूंकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin x = 2$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$\cos x = 0$।
$\cos x = 0$ के लिए व्यापक हल $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ है,जिसे $x = n \pi + \frac{\pi}{2}$ या $x = 2n \pi \pm \frac{\pi}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n \in Z$।

(C) माना रेखाओं $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ की प्रवणताएँ $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$m_{1} = nm_{2}$ है।
हम जानते हैं कि $m_{1}+m_{2} = -\frac{2h}{b}$ और $m_{1}m_{2} = \frac{a}{b}$ होता है।
$m_{1} = nm_{2}$ को योग और गुणनफल के समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर:
$m_{2}(n+1) = -\frac{2h}{b} \implies m_{2} = -\frac{2h}{b(n+1)}$.
$nm_{2}^{2} = \frac{a}{b}$.
$m_{2}$ का मान गुणनफल समीकरण में रखने पर:
$n \left( -\frac{2h}{b(n+1)} \right)^{2} = \frac{a}{b}$.
$n \left( \frac{4h^{2}}{b^{2}(n+1)^{2}} \right) = \frac{a}{b}$.
$4nh^{2} = ab(n+1)^{2}$.

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
दिए गए मध्य-बिंदु $F(11, 9)$,$E(2, 1)$ और $D(2, -1)$ हैं।
किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने त्रिभुज का केंद्रक,मूल त्रिभुज के केंद्रक के समान ही होता है।
मध्य-बिंदुओं से बने त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{11+2+2}{3}, \frac{9+1-1}{3}\right) = \left(\frac{15}{3}, \frac{9}{3}\right) = (5, 3)$ है।
अतः,मूल त्रिभुज का केंद्रक $(5, 3)$ है।

(C) माना बिंदु $P(1, 1)$ का प्रतिबिंब $Q(h, k)$ है।
परावर्तन की रेखा $x + y = 0$ है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{h+1}{2}, \frac{k+1}{2}\right)$ है,जो रेखा $x + y = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
$\frac{h+1}{2} + \frac{k+1}{2} = 0 \Rightarrow h + k + 2 = 0 \quad \dots(i)$
रेखा $PQ$,रेखा $x + y = 0$ (जिसकी ढाल $-1$ है) के लंबवत है।
$PQ$ की ढाल $\frac{k-1}{h-1}$ है।
चूंकि $PQ$,$x + y = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होगा।
$\left(\frac{k-1}{h-1}\right) \times (-1) = -1$ $\Rightarrow \frac{k-1}{h-1} = 1$ $\Rightarrow k - 1 = h - 1$ $\Rightarrow k = h$.
समीकरण $(i)$ में $k = h$ रखने पर:
$h + h + 2 = 0$ $\Rightarrow 2h = -2$ $\Rightarrow h = -1$.
चूंकि $k = h$,इसलिए $k = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(1, 1)$ का रेखा $y = -x$ के अनुदिश प्रतिबिंब $(-1, -1)$ है।

(B) रेखा का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$ मानने पर,केंद्र $(\pm r, \pm r)$ होगा।
केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $r$ होनी चाहिए।
गणना करने पर,प्रथम चतुर्थांश में $2$ वृत्त,द्वितीय चतुर्थांश में $1$ वृत्त और चतुर्थ चतुर्थांश में $1$ वृत्त प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल $4$ वृत्त संभव हैं।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^{2} + y^{2} - 4x - 2y - 20 = 0$ है।
$x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -2, f = -1, c = -20$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 1)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2} + f^{2} - c} = \sqrt{(-2)^{2} + (-1)^{2} - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना $P$ बिंदु $(10, 7)$ है और $C$ केंद्र $(2, 1)$ है।
$P$ और $C$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(10 - 2)^{2} + (7 - 1)^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ है।
वृत्त से बिंदु की न्यूनतम दूरी $d - r = 10 - 5 = 5$ है।
वृत्त से बिंदु की अधिकतम दूरी $d + r = 10 + 5 = 15$ है।
अतः,न्यूनतम और अधिकतम दूरियाँ क्रमशः $5$ और $15$ हैं।

(C) दिया गया वृत्त का समीकरण: $x^2 + y^2 = 16x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 16x + y^2 = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x - 8)^2 + y^2 = 64$
अतः,केंद्र $(8, 0)$ है और त्रिज्या $r = 8$ है।
चूंकि रेखा $3x + 4y - k = 0$ वृत्त को स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(8, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 8$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$8 = \frac{|3(8) + 4(0) - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$8 = \frac{|24 - k|}{5}$
$|24 - k| = 40$
स्थिति $1$: $24 - k = 40 \Rightarrow k = -16$
स्थिति $2$: $24 - k = -40 \Rightarrow k = 64$
अतः,$k$ के मान $-16$ और $64$ हैं।

(A) बिंदु $(-5, -4)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y+4 = m(x+5)$ है,जिसे $mx - y + (5m - 4) = 0$ लिखा जा सकता है।
वृत्त $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ के लिए,केंद्र $(-2, -3)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^{2} + (-3)^{2} - 8} = \sqrt{5}$ है।
चूंकि रेखा स्पर्श रेखा है,केंद्र $(-2, -3)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|m(-2) - (-3) + (5m - 4)|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \sqrt{5}$
$|3m - 1| = \sqrt{5} \sqrt{m^{2} + 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m - 1)^{2} = 5(m^{2} + 1)$
$9m^{2} - 6m + 1 = 5m^{2} + 5$
$4m^{2} - 6m - 4 = 0$
$(2m + 1)(m - 2) = 0$
अतः,$m = 2$ या $m = -\frac{1}{2}$।
$m = 2$ के लिए: $2x - y + 6 = 0$।
$m = -\frac{1}{2}$ के लिए: $x + 2y + 13 = 0$।

(C) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = t^{2} + 2$
$y = 2t$
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ का यह मान पहले समीकरण में रखने पर:
$x = (\frac{y}{2})^{2} + 2$
$x = \frac{y^{2}}{4} + 2$
$x - 2 = \frac{y^{2}}{4}$
$y^{2} = 4(x - 2)$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए $(\alpha, \beta)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_{1}=T^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं,तो $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य होता है।
इस शर्त को सरल करने पर:
$\left(\frac{1}{a^{2}}\right)\left(\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1\right) - \frac{\alpha^{2}}{a^{4}} + \left(\frac{1}{b^{2}}\right)\left(\frac{\alpha^{2}}{a^{2}}+\frac{\beta^{2}}{b^{2}}-1\right) - \frac{\beta^{2}}{b^{4}} = 0$
इसे सरल करने पर:
$\frac{\beta^{2}}{a^{2}b^{2}} - \frac{1}{a^{2}} + \frac{\alpha^{2}}{a^{2}b^{2}} - \frac{1}{b^{2}} = 0$
$\alpha^{2} + \beta^{2} = a^{2}b^{2}\left(\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}\right) = a^{2} + b^{2}$
अतः,$(\alpha, \beta)$ का बिंदुपथ $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ है,जिसे नियामक वृत्त (director circle) कहा जाता है।

(A) दिया गया है,$x-y=1$ $(i)$ और $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ (ii)।
$(i)$ से $y=x-1$ का मान (ii) में रखने पर:
$\frac{x^{2}}{4}-\frac{(x-1)^{2}}{3}=1$
$12$ से गुणा करने पर:
$3x^{2}-4(x-1)^{2}=12$
$3x^{2}-4(x^{2}-2x+1)=12$
$3x^{2}-4x^{2}+8x-4=12$
$-x^{2}+8x-16=0$
$x^{2}-8x+16=0$
$(x-4)^{2}=0$
$x=4$।
$x=4$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$4-y=1 \Rightarrow y=3$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(4,3)$ है।

(A) दिया गया सीमा: $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^{x}-1)}{1-\cos x}$
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L$'Hopital नियम लागू करते हैं:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(x 2^{x}-x)}{\frac{d}{dx}(1-\cos x)}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x} + x 2^{x} \ln 2 - 1}{\sin x}$
यह अभी भी $\frac{0}{0}$ रूप है। पुनः $L$'Hopital नियम लागू करने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{x} \ln 2 + 2^{x} \ln 2 + x 2^{x} (\ln 2)^{2}}{\cos x}$
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{2^{0} \ln 2 + 2^{0} \ln 2 + 0}{\cos 0} = \frac{\ln 2 + \ln 2}{1} = 2 \ln 2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $a \equiv b \pmod{m}$,जिसका अर्थ है $m \mid (a-b)$.
$(i)$ $(a+x) \equiv (b+x) \pmod{m}$ के लिए,$(a+x) - (b+x) = a-b$. चूंकि $m \mid (a-b)$,यह सही है।
(ii) $(a-x) \equiv (b-x) \pmod{m}$ के लिए,$(a-x) - (b-x) = a-b$. चूंकि $m \mid (a-b)$,यह सही है।
(iii) $ax \equiv bx \pmod{m}$ के लिए,$ax - bx = x(a-b)$. चूंकि $m \mid (a-b)$,इसलिए $m \mid x(a-b)$,अतः यह सही है।
(iv) $(a+x) \equiv (b \div x) \pmod{m}$ के लिए,यह सामान्यतः सत्य नहीं है क्योंकि मॉड्यूलर अंकगणित में भाग को जोड़ या गुणा की तरह परिभाषित नहीं किया गया है,और $b \div x$ एक पूर्णांक भी नहीं हो सकता है। अतः,यह कथन गलत है।

(B) हम जानते हैं कि निहितार्थ $A \rightarrow B$,$\sim A \vee B$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।
$p \rightarrow \sim q$ पर इस नियम को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p \rightarrow \sim q \equiv \sim p \vee \sim q$.
इसे सत्यता सारणी का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है:
| $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $p \rightarrow \sim q$ | $\sim p \vee \sim q$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
चूंकि $p$ और $q$ के सभी संभावित सत्य मानों के लिए $p \rightarrow \sim q$ और $\sim p \vee \sim q$ के सत्य मान समान हैं,इसलिए वे तार्किक रूप से समतुल्य हैं।

(C) माना $C = A \cap B$ है। चूँकि $A$ और $B$ में $n$ अवयव उभयनिष्ठ हैं,इसलिए समुच्चय $C$ में $n$ अवयव हैं।
हम जानते हैं कि $(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A)$ होता है।
$C = A \cap B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(A \times B) \cap (B \times A) = C \times C$ प्राप्त होता है।
$C \times C$ में अवयवों की संख्या $n(C) \times n(C) = n \times n = n^{2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$A \times B$ और $B \times A$ में उभयनिष्ठ अवयवों की संख्या $n^{2}$ है।

(A) माना $x$ और $y$ दो धनात्मक संख्याएँ हैं।
दिया गया है कि उनका योग अचर है,$x + y = a$।
माना $z = x^3 + y^3$।
$y = a - x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $z = x^3 + (a - x)^3$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dz}{dx} = 3x^2 - 3(a - x)^2 = 3(x^2 - (a^2 - 2ax + x^2)) = 3(2ax - a^2) = 3a(2x - a)$।
$\frac{dz}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $2x - a = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{a}{2}$।
चूंकि $y = a - x$,हमें $y = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2z}{dx^2} = 6a$। चूँकि $a > 0$,$\frac{d^2z}{dx^2} > 0$,जो $x = \frac{a}{2}$ पर न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
अतः,$x = y$,जिसका अर्थ है कि संख्याएँ बराबर हैं।

(B) दिया गया है,$y=e^{\log _{e} [1+x+x^{2}+\ldots]}$
हम जानते हैं कि एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $1+x+x^{2}+\ldots = \frac{1}{1-x}$ होता है,जहाँ $|x| < 1$ है।
अतः,$y = e^{\log _{e} (1-x)^{-1}}$.
गुणधर्म $e^{\log _{e} f(x)} = f(x)$ का उपयोग करने पर,हमें $y = (1-x)^{-1}$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} (1-x)^{-1} = -1(1-x)^{-2} \cdot \frac{d}{d x}(1-x)$
$\frac{d y}{d x} = -1(1-x)^{-2} \cdot (-1) = (1-x)^{-2} = \frac{1}{(1-x)^{2}}$.

(D) माना $r$ त्रिज्या है और $\theta$ रेडियन में त्रिज्यखंड का कोण है। परिमाप $P = 2r + r\theta = k$ (स्थिर)।
अतः,$r = \frac{k}{2+\theta}$।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}r^{2}\theta$ है।
$r$ का मान रखने पर,$A = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{2+\theta} \right)^{2} \theta = \frac{k^{2}}{2} \frac{\theta}{(2+\theta)^{2}}$।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^{2}}{2} \left[ \frac{(2+\theta)^{2}(1) - \theta(2)(2+\theta)}{(2+\theta)^{4}} \right] = \frac{k^{2}}{2} \frac{2-\theta}{(2+\theta)^{3}}$।
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ रखने पर,$2-\theta = 0$,अतः $\theta = 2^{c}$।
चूंकि द्वितीय अवकलज $\theta = 2$ पर ऋणात्मक है,इसलिए क्षेत्रफल अधिकतम है।

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $s = 22t - 11t^{2}$ है।
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v = \frac{ds}{dt}$ प्राप्त करते हैं।
$\frac{ds}{dt} = 22 - 22t$।
अधिकतम ऊँचाई पर वेग शून्य होता है, इसलिए $22 - 22t = 0$, जिससे $t = 1 \text{ सेकंड}$ प्राप्त होता है।
$t = 1$ को विस्थापन समीकरण में रखने पर:
$s = 22(1) - 11(1)^{2} = 22 - 11 = 11 \text{ इकाई}$।
चूँकि गेंद $s=0$ से शुरू होती है और $11 \text{ इकाई}$ की अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचती है, इसलिए गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $11 \text{ इकाई}$ है।

(A) दिया गया वक्र $xy = 25$ है। माना स्पर्श बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। चूँकि $P$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $x_1 y_1 = 25$ है।
$xy = 25$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$y + x \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{y_1}{x_1}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = -\frac{y_1}{x_1}(x - x_1)$ है।
$x_1$ से गुणा करने पर,$x_1 y - x_1 y_1 = -y_1 x + x_1 y_1$,जो सरल होकर $x_1 y + y_1 x = 2 x_1 y_1$ हो जाता है।
$2 x_1 y_1$ से विभाजित करने पर,$\frac{x}{2 x_1} + \frac{y}{2 y_1} = 1$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(2 x_1, 0)$ और $y$-अक्ष को $B(0, 2 y_1)$ पर काटती है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2 x_1) \times (2 y_1) = 2 x_1 y_1$ है।
चूँकि $x_1 y_1 = 25$,इसलिए क्षेत्रफल $2(25) = 50$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \tan x \\ x^3 & x^2 & x \\ 2x & 1 & x \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = \sin x(x^3 - x) - \cos x(x^4 - 2x^2) + \tan x(x^3 - 2x^4)$.
हमें $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$ ज्ञात करना है।
$\frac{f(x)}{x^2} = \frac{\sin x}{x} (x^2 - 1) - \cos x (x^2 - 2) + \frac{\tan x}{x} (x^2 - 2x^3)$.
$x \to 0$ सीमा लेने पर:
$= (1)(0 - 1) - (1)(0 - 2) + (1)(0 - 0)$.
$= -1 + 2 + 0 = 1$.

(A) एक समुच्चय $G$ द्विआधारी संक्रिया $\cdot$ के साथ एक समूह होता है यदि वह संवृतता,साहचर्य,तत्समक और प्रतिलोम गुणों को संतुष्ट करता है।
$(N, \cdot)$ के लिए,जहाँ $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,किसी अवयव $a \in N$ (जहाँ $a \neq 1$) का गुणात्मक प्रतिलोम $1/a$ है,जो $N$ में नहीं है।
अतः,$(N, \cdot)$ प्रतिलोम गुण को संतुष्ट नहीं करता है और यह एक समूह नहीं है।
$(N, +)$ एक अर्ध-समूह है क्योंकि यह योग के अंतर्गत संवृत और साहचर्य है।
$(Z, +)$ एक समूह है क्योंकि यह समूह के सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है।
सम पूर्णांकों का समुच्चय $2Z = \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\}$ योग के अंतर्गत एक समूह बनाता है क्योंकि इसमें तत्समक $0$ है,सभी अवयवों के प्रतिलोम मौजूद हैं,और यह संवृत तथा साहचर्य है।
इसलिए,कथन $(N, \cdot)$ एक समूह है,असत्य है।

(D) एक समूह $G$ का उपसमुच्चय $H$ एक उपसमूह होता है यदि वह स्वयं उसी संक्रिया के अंतर्गत एक समूह हो।
$H = \{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ के लिए,हम देखते हैं कि $4^{n} = (2^{2})^{n} = 2^{2n}$। चूँकि सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $2n \in \mathbb{Z}$ है,इसलिए $H \subset G$।
$1.$ संवृतता: $4^{n} \cdot 4^{m} = 4^{n+m} \in H$।
$2.$ तत्समक अवयव: $4^{0} = 1 = 2^{0} \in H$।
$3.$ प्रतिलोम अवयव: $4^{n} \in H$ के लिए,इसका प्रतिलोम $4^{-n} \in H$ है।
अतः,$\{4^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ समूह $G$ का एक उपसमूह है।

(A) हमें समूह $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में गुणन मॉड्यूलो $7$ के अंतर्गत समीकरण $4 \otimes_{7} x = 5$ दिया गया है।
$x$ ज्ञात करने के लिए,हम समूह के तत्वों का परीक्षण करते हैं:
$4 \otimes_{7} 1 = 4$
$4 \otimes_{7} 2 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 3 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 4 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 5 = 20 \equiv 6 \pmod{7}$
$4 \otimes_{7} 6 = 24 \equiv 3 \pmod{7}$
दिए गए समीकरण $4 \otimes_{7} x = 5$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $x = 3$।

(D) $3 \times 3$ आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $-\lambda^3 + \text{tr}(A)\lambda^2 - (\dots)\lambda + |A| = 0$ के रूप में होता है।
दिए गए अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^{3}-5 \lambda^{2}-3 \lambda+2=0$ की तुलना मानक रूप $\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (\dots)\lambda - |A| = 0$ से करने पर।
अचर पदों की तुलना करने पर,हमें $-|A| = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $|A| = -2$ है।
हम जानते हैं कि $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$ होगा।
$|A|$ का मान रखने पर,हमें $|\text{adj}(A)| = (-2)^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $A$ एक $n \times n$ क्रम का विकर्ण आव्यूह है जिसे $A = \text{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $a_i \neq 0$ है क्योंकि आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) है।
एक विकर्ण आव्यूह $A$ का प्रतिलोम $A^{-1} = \text{diag}(1/a_1, 1/a_2, \dots, 1/a_n)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $A^{-1}$ के सभी विकर्ण-इतर (off-diagonal) अवयव $0$ ही रहते हैं,इसलिए परिणामी आव्यूह $A^{-1}$ भी एक विकर्ण आव्यूह है।
अतः,एक विकर्ण व्युत्क्रमणीय आव्यूह का प्रतिलोम एक विकर्ण आव्यूह होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e = \left|\begin{array}{ccc}x^{3}+3 x & x-1 & x+3 \\ x+1 & -2 x & x-4 \\ x-3 & x+4 & 3 x\end{array}\right|$.
$e$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों में $x = 0$ रखते हैं।
सारणिक में $x = 0$ रखने पर:
$e = \left|\begin{array}{ccc}0+3(0) & 0-1 & 0+3 \\ 0+1 & -2(0) & 0-4 \\ 0-3 & 0+4 & 3(0)\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}0 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & -4 \\ -3 & 4 & 0\end{array}\right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$e = 0(0 - (-16)) - (-1)(0 - 12) + 3(4 - 0)$
$e = 0(16) + 1(-12) + 3(4)$
$e = 0 - 12 + 12 = 0$.
अतः,$e = 0$ है।

(C) माना $\cos ^{-1} x = y$,तो $x = \cos y$। चूँकि $\cos ^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है,इसलिए $0 \leq y \leq \pi$।
दिया गया समीकरण $2y = \sin ^{-1} (2 \cos y \sin y) = \sin ^{-1} (\sin 2y)$ है।
$\sin ^{-1} (\sin 2y) = 2y$ होने के लिए,$-\frac{\pi}{2} \leq 2y \leq \frac{\pi}{2}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$।
$0 \leq y \leq \pi$ और $-\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ को मिलाने पर,हमें $0 \leq y \leq \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y = \cos ^{-1} x$,इसलिए $0 \leq \cos ^{-1} x \leq \frac{\pi}{4}$।
दोनों पक्षों में कोसाइन लेने पर (यह ध्यान में रखते हुए कि कोसाइन $[0, \pi]$ में एक ह्रासमान फलन है),हमें $\cos(0) \geq x \geq \cos(\frac{\pi}{4})$ प्राप्त होता है।
अतः,$1 \geq x \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$,यानी $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$।

(C) दिया गया समीकरण $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{2}$ है।
डोमेन के लिए,हमारे पास $x(x+1) \ge 0$ और $0 \le x^2+x+1 \le 1$ होना चाहिए।
शर्त $x^2+x+1 \le 1$ का अर्थ है $x^2+x \le 0$,जिसका अर्थ है $x(x+1) \le 0$।
$x(x+1) \ge 0$ और $x(x+1) \le 0$ को संयोजित करने पर,हमें $x(x+1) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=0$ या $x=-1$।
यदि $x=0$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} (0) + \sin ^{-1} (1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ हो जाता है। यह एक हल है।
यदि $x=-1$ है,तो समीकरण $\tan ^{-1} (0) + \sin ^{-1} (1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ हो जाता है। यह भी एक हल है।
अतः,कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + (2r-1)x + (r^2-r+1)}\right)$ है,जहाँ $r=1, 2, \dots, n$ है।
हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{1 + (x+r)(x+r-1)} = \frac{(x+r) - (x+r-1)}{1 + (x+r)(x+r-1)}$.
अतः,$T_r = \tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)$.
$r=1$ से $n$ तक इन पदों का योग करने पर:
$y = \sum_{r=1}^{n} [\tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)]$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$y = (\tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}(x)) + (\tan^{-1}(x+2) - \tan^{-1}(x+1)) + \dots + (\tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x+n-1))$.
$y = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(x+n)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$x=0$ पर मान रखने पर:
$y'(0) = \frac{1}{1+n^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1+n^2} - 1 = \frac{1 - 1 - n^2}{1+n^2} = -\frac{n^2}{1+n^2}$.

(A) परिभाषा के अनुसार,एक फलन $f(x)$ सम है यदि $f(-x) = f(x)$ हो।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]$
$f^{\prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime}(x)$
$-f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$
$f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$
चूंकि $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$,इसलिए अवकलज $f^{\prime}(x)$ एक विषम फलन है।

(A) माना $x_{1}, x_{2} \in R$ है।
एकैकी (injective) होने के लिए,माना $f(x_{1}) = f(x_{2})$ है।
$2x_{1} + 3 = 2x_{2} + 3$
$2x_{1} = 2x_{2}$
$x_{1} = x_{2}$ है।
अतः,$f$ एकैकी है।
आच्छादक (surjective) होने के लिए,माना $y \in \text{सह-प्रांत } R$ है।
माना $y = f(x) = 2x + 3$ है।
$y - 3 = 2x$
$x = \frac{y-3}{2}$ है।
चूंकि प्रत्येक $y \in R$ के लिए,$x = \frac{y-3}{2} \in R$ मौजूद है,इसलिए $f$ आच्छादक है।
चूंकि $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए $f^{-1}$ का अस्तित्व है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) किसी फलन $f(x)$ के $x = 2$ पर सतत होने के लिए,$x \to 2$ पर $f(x)$ की सीमा $f(2)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $f(2) = 2$.
हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - (a+2)x + a}{x-2}$.
चूंकि सीमा का अस्तित्व है और हर $0$ की ओर प्रवृत्त होता है,इसलिए सीमा के परिमित होने के लिए अंश को भी $x = 2$ पर $0$ होना चाहिए।
अंश में $x = 2$ रखने पर: $2^2 - (a+2)(2) + a = 0$.
$4 - 2a - 4 + a = 0$.
$-a = 0 \implies a = 0$.
वैकल्पिक रूप से,एल-हॉस्पिटल नियम का उपयोग करते हुए: $\lim_{x \to 2} \frac{2x - (a+2)}{1} = 2(2) - a - 2 = 2 - a$.
$f(2)$ के साथ तुलना करने पर: $2 - a = 2 \implies a = 0$.

(B) हम जानते हैं कि $\pi^{2} \approx 9.86$ है।
चूँकि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है:
$[\pi^{2}] = [9.86] = 9$।
$[-\pi^{2}] = [-9.86] = -10$।
इन मानों को फलन $f(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \sin(9x) + \cos(-10x)$।
हम जानते हैं कि $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$,इसलिए:
$f(x) = \sin(9x) + \cos(10x)$।
अब,$x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(9x)) + \frac{d}{dx}(\cos(10x))$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$f'(x) = 9 \cos(9x) - 10 \sin(10x)$।

(B) दिया गया वक्र $x^{n} y^{m}=a^{m+n}$,जहाँ $m, n > 0$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$n \ln x + m \ln y = (m+n) \ln a$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{x} + \frac{m}{y} \frac{dy}{dx} = 0$.
अवकलज के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{n}{m} \cdot \frac{y}{x}$.
अधिस্পর্শी की लंबाई $|\frac{y}{dy/dx}|$ के रूप में परिभाषित है।
अवकलज का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$|\frac{y}{-(n/m)(y/x)}| = |-\frac{m}{n} x| = \frac{m}{n} |x|$.
अतः,$(x_{1}, y_{1})$ बिंदु पर अधिस্পর্শी की लंबाई $\frac{m}{n} |x_{1}|$ है।

(C) माना कि वक्र $y = f(x)$ है। सबटेंजेंट की लंबाई $|y \frac{dx}{dy}|$ द्वारा और सबनॉर्मल की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}|$ द्वारा दी जाती है।
माना कि ऑर्डिनेट $y$ है।
अतः,सबटेंजेंट और सबनॉर्मल का गुणनफल:
$\text{Subtangent} \times \text{Subnormal} = |y \frac{dx}{dy}| \times |y \frac{dy}{dx}| = |y^2| = y^2$.
चूंकि पहले और तीसरे पद का गुणनफल दूसरे पद (ऑर्डिनेट) के वर्ग के बराबर है,इसलिए ये तीनों राशियाँ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।

(B) माना $y = x e^{-x}$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot (-e^{-x}) + e^{-x} \cdot (1) = e^{-x}(1 - x)$।
अधिकतम या न्यूनतम मान के लिए,हम $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं:
$e^{-x}(1 - x) = 0$।
चूंकि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} \neq 0$ होता है,इसलिए $1 - x = 0$,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अब,उच्चिष्ठ (maxima) की जांच करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-x}(-1) + (1 - x)(-e^{-x}) = -e^{-x} - e^{-x} + x e^{-x} = e^{-x}(x - 2)$।
$x = 1$ पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-1}(1 - 2) = -\frac{1}{e} < 0$।
चूंकि द्वितीय अवकलज $x = 1$ पर ऋणात्मक है,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
अधिकतम मान $y(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$ है।

(C) दिया गया है,$\frac{3x+1}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}$
दोनों पक्षों को $(x-1)(x+3)$ से गुणा करने पर:
$3x+1 = A(x+3) + B(x-1)$
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$3x+1 = (A+B)x + (3A-B)$
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$A+B = 3$ $(i)$
$3A-B = 1$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(A+B) + (3A-B) = 3+1$
$4A = 4 \Rightarrow A = 1$
समीकरण $(i)$ में $A=1$ रखने पर:
$1+B = 3 \Rightarrow B = 2$
अब,$\sin^{-1} \frac{A}{B}$ का मान ज्ञात करें:
$\sin^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

(B) दिया गया है $I_{n}=\int(\log x)^{n} dx$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,माना $u = (\log x)^{n}$ और $dv = dx$।
तब $du = n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I_{n} = x(\log x)^{n} - \int x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$
$I_{n} = x(\log x)^{n} - n \int (\log x)^{n-1} dx$
$I_{n} = x(\log x)^{n} - n I_{n-1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I_{n} + n I_{n-1} = x(\log x)^{n} + C$.

(C) माना $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x)}{\sin ^{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x) + \cos ^{3}(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} - x)} d x$
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3}(\frac{\pi}{2} - x)}{\sin ^{3}(\frac{\pi}{2} - x) + \cos ^{3}(\frac{\pi}{2} - x)} d x$
चूँकि $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\cos ^{3} x}{\cos ^{3} x + \sin ^{3} x} d x$ (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3} x + \cos ^{3} x}{\sin ^{3} x + \cos ^{3} x} d x$
$2I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} 1 d x$
$2I = [x]_{\pi / 6}^{\pi / 3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
$I = \frac{\pi}{12}$

(D) समाकलन $\int_{0}^{11} [x] dx$ को इकाई लंबाई के अंतरालों में विभाजित किया जा सकता है जहाँ $[x]$ स्थिर रहता है:
$\int_{0}^{11} [x] dx = \sum_{k=0}^{10} \int_{k}^{k+1} [x] dx$
चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए,$[x] = k$ होता है,इसलिए:
$\int_{k}^{k+1} [x] dx = \int_{k}^{k+1} k dx = k(k+1 - k) = k$
अतः,योग इस प्रकार होगा:
$\int_{0}^{11} [x] dx = \sum_{k=0}^{10} k = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10$
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55$
इस प्रकार,समाकलन का मान $55$ है।

(A) दिया गया है,$m \sin ^{-1} x = \log _{e} y$
$\Rightarrow y = e^{m \sin ^{-1} x}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y' = e^{m \sin ^{-1} x} \times \frac{m}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\Rightarrow \sqrt{1 - x^{2}} \cdot y' = m y$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1 - x^{2}) (y')^{2} = m^{2} y^{2}$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1 - x^{2}) \cdot 2 y' \cdot y'' + (y')^{2} (-2 x) = m^{2} \cdot 2 y y' $
दोनों पक्षों को $2 y'$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1 - x^{2}) y'' - x y' = m^{2} y$

(D) दिया गया अवकल समीकरण $e^{dy/dx} = x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:
$\frac{dy}{dx} = \log x$
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन (integration) करने पर:
$\int dy = \int \log x \, dx$
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = \log x$ और $dv = dx$:
$y = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$y = x \log x - \int 1 \, dx$
$y = x \log x - x + C$
$y = x(\log x - 1) + C$ (समीकरण $i$)
दी गई शर्तों $x = 1$ और $y = 0$ को समीकरण $i$ में रखने पर:
$0 = 1(\log 1 - 1) + C$
$0 = 1(0 - 1) + C$
$0 = -1 + C$
$C = 1$
अतः,$C = 1$ को समीकरण $i$ में रखने पर हमें प्राप्त होता है:
$y = x(\log x - 1) + 1$

(D) माना समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$ द्वारा दिए जाते हैं।
पहला विकर्ण: $\vec{d_1} = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = 3\hat{i}-2\hat{j}$.
पहले विकर्ण की लंबाई: $|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
दूसरा विकर्ण: $\vec{d_2} = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = -\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$.
दूसरे विकर्ण की लंबाई: $|\vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+16+4} = \sqrt{21}$.
अतः,विकर्णों की लंबाई $\sqrt{13}$ और $\sqrt{21}$ है।

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो सदिशों $a$ और $b$ के लिए,$(a \times b)^{2} + (a \cdot b)^{2} = |a|^{2} |b|^{2} \sin^{2} \theta + |a|^{2} |b|^{2} \cos^{2} \theta$ होता है।
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए यह $|a|^{2} |b|^{2}$ में सरल हो जाता है।
दिए गए समीकरण $(a \times b)^{2} + (a \cdot b)^{2} = 144$ से,हमें $|a|^{2} |b|^{2} = 144$ प्राप्त होता है।
यहाँ $|a| = 4$ दिया गया है,इसलिए $|a|^{2} = 16$ प्रतिस्थापित करने पर:
$16 |b|^{2} = 144$.
दोनों पक्षों को $16$ से विभाजित करने पर,हमें $|b|^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$|b| = 3$ प्राप्त होता है।

(B) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 4$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}]$ का मान ज्ञात करना है।
सदिश गुणनफल के अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करने पर: $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$.
दिया गया मान रखने पर: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = (4)^2 = 16$.
अतः,मान $16$ है।

(D) दिया गया है $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$।
हमें व्यंजक $E = (a+b) \cdot p + (b+c) \cdot q + (c+a) \cdot r$ का मान ज्ञात करना है।
$p, q, r$ के मान रखने पर:
$E = (a+b) \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} + (b+c) \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} + (c+a) \cdot \frac{a \times b}{[a b c]}$
$E = \frac{1}{[a b c]} [a \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (a \times b) + a \cdot (a \times b)]$
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{[a b c]} [[a b c] + 0 + [b c a] + 0 + [c a b] + 0]$
चूंकि $[a b c] = [b c a] = [c a b]$ है:
$E = \frac{[a b c] + [a b c] + [a b c]}{[a b c]} = \frac{3[a b c]}{[a b c]} = 3$.