KCET 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $\triangle ABC$ માં,સાઈન નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.
આપેલ શરત મુજબ,$a = 2b$ અને $A - B = 60^{\circ}$,તેથી $A = 60^{\circ} + B$.
સાઈન નિયમમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sin(60^{\circ} + B)}{2b} = \frac{\sin B}{b}$
$\sin(60^{\circ} + B) = 2 \sin B$
$\sin 60^{\circ} \cos B + \cos 60^{\circ} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B = \frac{3}{2} \sin B$
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$B = 30^{\circ}$.
તેથી $A = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,ત્રિકોણ કાટકોણ છે.

(C) સમીકરણ $ax + by = 1$ એ એક રેખીય ડાયોફેન્ટાઇન સમીકરણ છે.
બેઝુટના પ્રમેય મુજબ,સમીકરણ $ax + by = c$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલો ત્યારે જ મળે જો $\gcd(a, b)$ એ $c$ ને ભાગે.
અહીં $c = 1$ છે,તેથી $\gcd(a, b) = 1$ હોવું જોઈએ. આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.
વિકલ્પ $(c)$ એટલે કે $\gcd(b, y) = 1$ એ હંમેશા સાચું હોવું જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,જો $a=1, b=2, x=1, y=0$ લઈએ,તો $1(1) + 2(0) = 1$ થાય. અહીં $\gcd(b, y) = \gcd(2, 0) = 2 \neq 1$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{2}+x+1=0$ છે.
આ સમીકરણના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^{2}$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^{2}$.
આપણે $\alpha^{16} + \beta^{16} = \omega^{16} + (\omega^{2})^{16}$ શોધવાનું છે.
$\omega^{3} = 1$ હોવાથી,$\omega^{16} = (\omega^{3})^{5} \cdot \omega = 1^{5} \cdot \omega = \omega$.
તેવી જ રીતે,$\omega^{32} = (\omega^{3})^{10} \cdot \omega^{2} = 1^{10} \cdot \omega^{2} = \omega^{2}$.
આમ,$\alpha^{16} + \beta^{16} = \omega + \omega^{2}$.
$1 + \omega + \omega^{2} = 0$ હોવાથી,$\omega + \omega^{2} = -1$ થાય.

(A) સંકર સંખ્યાને સરળ બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1+i)$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{1+2i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i+2i+2i^2}{1^2-i^2}$
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી:
$\frac{1+3i-2}{1-(-1)} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$
વાસ્તવિક ભાગ $-\frac{1}{2}$ (ઋણ) છે અને કાલ્પનિક ભાગ $\frac{3}{2}$ (ધન) છે.
ઋણ વાસ્તવિક ભાગ અને ધન કાલ્પનિક ભાગ ધરાવતી સંકર સંખ્યા બીજા ચરણમાં આવેલી હોય છે.

(D) ધારો કે $z = \frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$ અને $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\alpha = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$ લો.
તેથી $z = \frac{1+\cos \alpha + i \sin \alpha}{1+\cos \alpha - i \sin \alpha} = \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} - i \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{e^{i \alpha/2}}{e^{-i \alpha/2}} = e^{i \alpha}$.
આમ,$z^n = e^{i n \alpha} = e^{i n (3\pi/8)} = \cos(\frac{3n\pi}{8}) + i \sin(\frac{3n\pi}{8})$.
$z^n = 1$ માટે,$\sin(\frac{3n\pi}{8}) = 0$ અને $\cos(\frac{3n\pi}{8}) = 1$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{3n\pi}{8} = 2k\pi$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$3n = 16k \implies n = \frac{16k}{3}$.
સૌથી નાના ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$k=3$ લેતા,$n = 16$ મળે છે.

(A) ધારો કે $z = \sqrt{3}+i$. માનાંક $|z| = 2$ અને કોણાંક $\arg(z) = 30^{\circ}$ છે.
$OPQ$ એ $O$ આગળ $90^{\circ}$ નો ખૂણો ધરાવતો સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$Q$ મેળવવા માટે $P$ ને $90^{\circ}$ ના ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અથવા વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવું પડે.
જો આપણે $+90^{\circ}$ ફેરવીએ,તો $Q$ નો કોણાંક $30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય. સંકર સંખ્યા $2(\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}) = -1 + i\sqrt{3}$ મળે.
જો આપણે $-90^{\circ}$ ફેરવીએ,તો $Q$ નો કોણાંક $30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}$ થાય. સંકર સંખ્યા $2(\cos(-60^{\circ}) + i\sin(-60^{\circ})) = 1 - i\sqrt{3}$ મળે.
આમ,$Q$ એ $-1+i\sqrt{3}$ અથવા $1-i\sqrt{3}$ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ એ અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \sin x$ છે.
સરવાળો $4+2 \sqrt{3}$ હોવાથી,આપણે $S = \frac{a}{1-r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
$\frac{1}{1-\sin x} = 4+2 \sqrt{3}$
$1-\sin x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$1-\sin x = \frac{4-2 \sqrt{3}}{(4+2 \sqrt{3})(4-2 \sqrt{3})} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
આમ,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$0 < x < \pi$ માટે,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ નું સમાધાન કરતા $x$ ના મૂલ્યો $x = \frac{\pi}{3}$ અને $x = \frac{2 \pi}{3}$ છે.

(B) ગુણધર્મ $\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$\log _{n} 2 + \log _{n} 3 + \log _{n} 4 + \ldots + \log _{n} 2020$
ગુણધર્મ $\log _{b} x + \log _{b} y = \log _{b} (xy)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$\log _{n} (2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times 2020)$
કારણ કે $n = (2020)!$ છે,તેથી પદાવલિ બને છે:
$\log _{n} (n) = 1$

(D) ધારો કે $P(n) = n^{3} + 2n$.
$n = 1$ માટે,$P(1) = 1^{3} + 2(1) = 3$.
$n = 2$ માટે,$P(2) = 2^{3} + 2(2) = 12$.
$n = 3$ માટે,$P(3) = 3^{3} + 2(3) = 33$.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ તમામ સંખ્યાઓ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (x+y)^{100} + (x-y)^{100}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ અને $(x-y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} (-y)^k$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,એકી ઘાતવાળા પદો ઉડી જાય છે અને માત્ર બેકી ઘાતવાળા પદો બાકી રહે છે: $2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots, n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$.
$n = 100$ માટે,પદોની સંખ્યા $\frac{n}{2} + 1 = \frac{100}{2} + 1 = 51$ થાય.

(D) $2009!$ ના એકમના સ્થાનનો અંક $0$ છે કારણ કે $2009!$ માં $2$ અને $5$ અવયવો છે,જે તેને $10$ નો ગુણક બનાવે છે.
હવે,$3$ ના ઘાતને ધ્યાનમાં લો:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
એકમના અંકો $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $(3, 9, 7, 1)$.
આપણે ઘાત $7886$ ને $4$ વડે ભાગીએ છીએ:
$7886 = 4 \times 1971 + 2$.
આમ,$3^{7886}$ ના એકમના સ્થાનનો અંક $3^2$ ના એકમના અંક જેવો જ છે,જે $9$ છે.
તેથી,$2009! + 3^{7886}$ ના એકમના સ્થાનનો અંક $0 + 9 = 9$ છે.

(C) આપેલ $f(x)$ એ $(1+x)^{n}$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ છે.
$f(x) = (1+x)^{n}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન લેતા:
$f^{\prime}(x) = n(1+x)^{n-1}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન લેતા:
$f^{\prime \prime}(x) = n(n-1)(1+x)^{n-2}$
$x = 1$ મૂકતા:
$f^{\prime \prime}(1) = n(n-1)(1+1)^{n-2}$
$f^{\prime \prime}(1) = n(n-1) 2^{n-2}$

(C) $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે. $\sec \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે. $\tan \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે.
$(a)$ $\sin \theta = \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$ માટે,જો આપણે $a=2, b=1$ લઈએ,તો $\sin \theta = \frac{5}{3} > 1$ થાય,જે શક્ય નથી.
$(b)$ $\sec \theta = \frac{4}{5} = 0.8$ માટે,જે શક્ય નથી કારણ કે $|\sec \theta| \geq 1$.
$(c)$ $\tan \theta = 45$ માટે,આ શક્ય છે કારણ કે $\tan \theta$ નો વિસ્તાર તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
$(d)$ $\cos \theta = \frac{7}{3} > 1$ માટે,જે શક્ય નથી.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 3(\sin x-\cos x)^{4}+6(\sin x+\cos x)^{2}+4(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x)$.
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$3(\sin x-\cos x)^{4} = 3(1-2\sin x\cos x)^{2} = 3+12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin x\cos x$.
$6(\sin x+\cos x)^{2} = 6+12\sin x\cos x$.
$4(\sin^{6}x+\cos^{6}x) = 4(1-3\sin^{2}x\cos^{2}x) = 4-12\sin^{2}x\cos^{2}x$.
બધાનો સરવાળો કરતા:
$f(x) = 3+6+4 + (12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin^{2}x\cos^{2}x) + (-12\sin x\cos x+12\sin x\cos x) = 13$.

(B) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $x^{2}+2xy-y^{2}=0$ છે.
તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$h=1$,અને $b=-1$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $a+b=0$ હોય તો $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.
અહીં,$a+b = 1 + (-1) = 0$.
$x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(6,0), B(0,6)$ અને $C(6,6)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(0-6)^2 + (6-0)^2} = 6\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(6-0)^2 + (6-6)^2} = 6$
$CA = \sqrt{(6-6)^2 + (0-6)^2} = 6$
અહીં $AB^2 = BC^2 + CA^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
પરિકેન્દ્ર $O = (3,3)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{6+0+6}{3}, \frac{0+6+6}{3}\right) = (4,4)$.
પરિકેન્દ્ર અને મધ્યકેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર $= \sqrt{(4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: x+y=4$ છે. $L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ છે.
$L_1$ ને લંબ રેખા $L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ થાય.
બિંદુ $(2,4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $y-4 = 1(x-2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y-x=2$ થાય.
લંબપાદ શોધવા માટે,આપણે નીચેના સમીકરણો ઉકેલીશું:
$x+y=4$
$y-x=2$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2y = 6 \Rightarrow y=3$.
$y=3$ ને $x+y=4$ માં મૂકતા,$x+3=4 \Rightarrow x=1$ મળે.
આમ,લંબપાદ $(1,3)$ છે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતા અને $y = x + 1$ રેખા પર વ્યાસ ધરાવતા સૌથી નાના વર્તુળ માટે,વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ઉગમબિંદુનો $y = x + 1$ રેખા પરનો લંબપાદ (projection) હોવો જોઈએ.
રેખા $y = x + 1$ ને $x - y + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $x - y + 1 = 0$ ને લંબ અને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = k$ સ્વરૂપમાં હોય.
તે $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$0 + 0 = k$,એટલે કે $k = 0$.
તેથી લંબ રેખા $x + y = 0$ અથવા $y = -x$ છે.
કેન્દ્ર શોધવા માટે,$y = x + 1$ અને $y = -x$ નું છેદબિંદુ શોધીએ.
$y = -x$ ને $y = x + 1$ માં મૂકતા,$-x = x + 1$,જેનો અર્થ છે $2x = -1$,એટલે કે $x = -\frac{1}{2}$.
તેથી $y = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

(D) ચાપની લંબાઈ $s$ માટેનું સૂત્ર: $s = 2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$
અહીં $s = 44 \ m$ અને $\theta = 72^{\circ}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{72}{360^{\circ}}$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$
તેથી,$44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{1}{5}$
$44 = \frac{44}{35} \times r$
$r = \frac{44 \times 35}{44} = 35 \ m$
આમ,દોરડાની લંબાઈ $35 \ m$ છે.

(B) ધારો કે જીવા $AB$ નું મધ્યબિંદુ $C(x_{1}, y_{1})$ છે. ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
જીવા $AB$ ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $\angle AOB = 90^{\circ}$.
$\Delta OAB$ માં,$OA = OB = r = 2$ (વર્તુળની ત્રિજ્યા).
$C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$OC \perp AB$.
$\Delta OCB$ માં,$\angle COB = \frac{1}{2} \angle AOB = 45^{\circ}$.
$\Delta OCB$ માં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(45^{\circ}) = \frac{OC}{OB}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{2} = \frac{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}{4}$
$x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 2$
$(x_{1}, y_{1})$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^{2} + y^{2} = 2$ મળે છે.

(A) બિંદુઓ $P = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ અને $Q = (4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જીવા $PQ$ ની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{(4 \cos (\theta+60^{\circ}) - 4 \cos \theta)^2 + (4 \sin (\theta+60^{\circ}) - 4 \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{(\cos (\theta+60^{\circ}) - \cos \theta)^2 + (\sin (\theta+60^{\circ}) - \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{\cos^2 (\theta+60^{\circ}) + \cos^2 \theta - 2 \cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin^2 (\theta+60^{\circ}) + \sin^2 \theta - 2 \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta}$
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ = 4 \sqrt{1 + 1 - 2 (\cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta)}$
$\cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos ((\theta+60^{\circ}) - \theta)}$
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos 60^{\circ}}$
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \times \frac{1}{2}} = 4 \sqrt{2 - 1} = 4 \times 1 = 4$.

(C) ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ છે.
બે વર્તુળો $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ અને $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ લંબછેદી હોય તો $2g_{1}g_{2}+2f_{1}f_{2}=c_{1}+c_{2}$ થાય.
આપેલ વર્તુળો માટે શરતો નીચે મુજબ છે:
$1) -g-f = c-14 \implies -g-f-c = -14$
$2) 3g-5f = c-10 \implies 3g-5f-c = -10$
$3) -2g+3f = c-27 \implies -2g+3f-c = -27$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $4g-4f = 4 \implies g-f = 1 \implies g = f+1$.
$(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $-g+4f = -13$.
$g = f+1$ મુકતા: $-(f+1)+4f = -13 \implies 3f = -12 \implies f = -4$.
તેથી $g = -4+1 = -3$.
$(1)$ પરથી: $-(-3)-(-4) = c-14 \implies 3+4 = c-14 \implies c = 21$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}-21} = \sqrt{9+16-21} = \sqrt{4} = 2$.
વ્યાસ $2r = 2 \times 2 = 4$ થાય.

(B) આપેલ વર્તુળો $x^{2}+y^{2}-y=0$ અને $x^{2}+y^{2}+y=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_{1}(0, 1/2)$ અને ત્રિજ્યા $r_{1} = 1/2$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_{2}(0, -1/2)$ અને ત્રિજ્યા $r_{2} = 1/2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_{1}C_{2} = \sqrt{(0-0)^{2} + (1/2 - (-1/2))^{2}} = 1$ છે.
અહીં $r_{1} + r_{2} = 1/2 + 1/2 = 1$ હોવાથી,$C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2}$ થાય છે.
આ શરત સૂચવે છે કે બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે તેમને કુલ $3$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ અને $xy=c^{2}$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = \frac{c^{2}}{x}$ મૂકતા:
$x^{2} + (\frac{c^{2}}{x})^{2} = a^{2}$
$x^{2} + \frac{c^{4}}{x^{2}} = a^{2}$
$x^{4} - a^{2}x^{2} + c^{4} = 0$
આ $x$ માં દ્વિ-વર્ગ સમીકરણ છે. તેના બીજ $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax^{4} + Bx^{3} + Cx^{2} + Dx + E = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $B=0$ મળે છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = -\frac{B}{A} = 0$ થાય.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4x$ છે. આને $y^{2} = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ માટે,નાભિ અંતર $x + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નાભિ અંતર $17$ છે,તેથી $x + 1 = 17$,જેનો અર્થ છે કે $x = 16$.
$x = 16$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^{2} = 4(16) = 64$.
આમ,$y = \pm 8$.
તેથી,જરૂરી બિંદુઓ $(16, 8)$ અથવા $(16, -8)$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ છે,જ્યાં $a^{2}=4$ અને $b^{2}=1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે,જ્યાં $m=4$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ને સ્પર્શવાની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$c^{2}=4(4)^{2}+1$ મળે છે.
$c^{2}=4(16)+1=64+1=65$.
તેથી,$c=\pm \sqrt{65}$.
$c$ માટે બે શક્ય મૂલ્યો હોવાથી,રેખા $c$ ના $2$ મૂલ્યો માટે વક્રને સ્પર્શે છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 12x$ છે,જે $y^{2} = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 3$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ માટે,સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_{1} = T^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = y^{2} - 12x$,$S_{1} = (2)^{2} - 12(-3) = 40$,અને $T = 2y - 6x + 18$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(y^{2} - 12x)(40) = (2y - 6x + 18)^{2}$
$10y^{2} - 120x = y^{2} + 9x^{2} + 81 - 6xy - 54x + 18y$
$9x^{2} - 9y^{2} - 6xy + 66x + 18y + 81 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} + 2Gx + 2Fy + C = 0$ માટે,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^{2} - AB}}{A + B} \right|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 9$,$B = -9$ છે.
તેથી,$A + B = 0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
આમ,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(C) લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 \cdot 2^{n+1}-4 \cdot 5^{n+1}}{5 \cdot 2^{n}+7 \cdot 5^{n}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $5^n$ વડે ભાગતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 \cdot 2 \cdot 2^{n} - 4 \cdot 5 \cdot 5^{n}}{5 \cdot 2^{n} + 7 \cdot 5^{n}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{6 \cdot 2^{n} - 20 \cdot 5^{n}}{5 \cdot 2^{n} + 7 \cdot 5^{n}}$
$5^n$ વડે ભાગતા:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{6 \cdot (\frac{2}{5})^{n} - 20}{5 \cdot (\frac{2}{5})^{n} + 7}$
કારણ કે $\lim _{n \rightarrow \infty} (\frac{2}{5})^{n} = 0$,તેથી:
$= \frac{6 \cdot 0 - 20}{5 \cdot 0 + 7} = -\frac{20}{7}$

(D) જૂથ $(Z_{5}, +_{5})$ એ $p = 5$ અવિભાજ્ય ક્રમનું ચક્રીય જૂથ છે.
લેગ્રાન્જના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ઉપજૂથનો ક્રમ જૂથના ક્રમનો ભાજક હોવો જોઈએ.
$5$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,તેના માત્ર $1$ અને $5$ ભાજકો છે.
તેથી,માત્ર બે જ ઉપજૂથો શક્ય છે: $1$ ક્રમનું તુચ્છ ઉપજૂથ ${0}$ અને $5$ ક્રમનું જૂથ પોતે $Z_{5}$.
આમ,ઉપજૂથોની કુલ સંખ્યા $2$ છે.

(D) આપણે $p \wedge (q \rightarrow \sim r)$ વિધાનનું નિષેધ શોધવાનું છે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$:
$\sim(p \wedge (q$ $\rightarrow \sim r)) = \sim p \vee \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$
ગર્ભિત નિયમ $\sim(A \rightarrow B) = A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \vee (q \wedge \sim(\sim r))$
બેવડા નિષેધના નિયમ $\sim(\sim r) = r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sim p \vee (q \wedge r)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 27^{\cos 2x} 81^{\sin 2x} = (3^3)^{\cos 2x} (3^4)^{\sin 2x} = 3^{3 \cos 2x + 4 \sin 2x}$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ઘાતાંક $g(x) = 3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
પદાવલિ $a \cos \theta + b \sin \theta$ એ $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે,તેથી $3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-5, 5]$ છે.
ઘાતાંકની ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$ થાય.

(D) ધારો કે શરૂઆતની વસ્તી $P$ છે અને વૃદ્ધિનો દર $r = 10 \% = 0.1$ છે.
સતત વૃદ્ધિ ધારતા,$t$ સમયે વસ્તી $P(t) = P_0 e^{rt}$ દ્વારા મળે છે.
વસ્તી બમણી થવા માટે,$P(t) = 2P_0$.
$2P_0 = P_0 e^{0.1t} \Rightarrow 2 = e^{0.1t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln 2 = 0.1t$.
$t = \frac{\ln 2}{0.1} = 10 \ln 2 \text{ વર્ષ}$.
જો વૃદ્ધિ વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ હોય,તો $2P = P(1 + 0.1)^n \Rightarrow 2 = (1.1)^n$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા: $\log 2 = n \log 1.1$.
$n = \frac{\log 2}{\log 1.1} \approx 7.27 \text{ વર્ષ}$.
આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે ટાવરની ટોચથી સ્થાનાંતર $s=48t-16t^{2}$ છે.
વેગ $v = \frac{ds}{dt} = 48-32t$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ $v=0$ થાય છે.
$48-32t=0 \Rightarrow t = \frac{48}{32} = 1.5 \ s$.
ટાવરની ટોચથી મહત્તમ સ્થાનાંતર $s = 48(1.5) - 16(1.5)^{2} = 72 - 36 = 36 \ m$ છે.
જમીનથી કુલ ઊંચાઈ એ ટાવરની ઊંચાઈ વત્તા મહત્તમ સ્થાનાંતર છે: $H = 64 + 36 = 100 \ m$.

(B) વિધેય $x=0$ આગળ સતત હોય તે માટે,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવું જરૂરી છે.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+kx)}{x} = k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+ax) - \log(1-bx)}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1+ax)}{x} - \frac{\log(1-bx)}{x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+ax)}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\log(1-bx)}{x}$
$= a - (-b) = a + b$.
આમ,$f(0)$ ની કિંમત $a+b$ હોવી જોઈએ.

(C) ગણ $N$ પર દ્વિ-આધારિત ક્રિયા $*$ એ વિધેય $*: N \times N \to N$ છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ $a, b \in N$ માટે,પરિણામ $a * b$ પણ $N$ માં હોવું જોઈએ.
$(A)$ $a * b = \sqrt{ab}$: જો $a=1, b=2$ હોય,તો $a * b = \sqrt{2} \notin N$.
$(B)$ $a * b = \frac{a-b}{a+b}$: જો $a=1, b=2$ હોય,તો $a * b = \frac{-1}{3} \notin N$.
$(C)$ $a * b = a + 3b$: કારણ કે $a, b \in N$,$a + 3b$ હંમેશા પ્રાકૃતિક સંખ્યા જ મળે. તેથી,આ દ્વિ-આધારિત ક્રિયા છે.
$(D)$ $a * b = 3a - 4b$: જો $a=1, b=2$ હોય,તો $a * b = 3(1) - 4(2) = -5 \notin N$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) સમૂહ $G = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ માં સરવાળા મોડ્યુલો $6$ હેઠળ,તટસ્થ ઘટક $0$ છે.
પ્રથમ,આપણે સરવાળા મોડ્યુલો $6$ હેઠળ $3$ નો વ્યસ્ત શોધીએ. કારણ કે $3 +_{6} 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$,તેથી $3^{-1} = 3$ થાય.
હવે,કૌંસની અંદરની પદાવલિની ગણતરી કરીએ: $2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4 = 2 +_{6} 3 +_{6} 4 = 9 \pmod{6} = 3$.
છેલ્લે,સરવાળા મોડ્યુલો $6$ હેઠળ $3$ નો વ્યસ્ત શોધીએ. કારણ કે $3 +_{6} 3 = 0$,તેથી $3$ નો વ્યસ્ત $3$ છે.
આમ,$(2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4)^{-1} = 3^{-1} = 3$.

(B) એકમના ચતુર્થ મૂળનો ગણ $S = \{1, -1, i, -i\}$ છે.
કોઈપણ ગણ સરવાળા માટે જૂથ બનાવવા માટે,તેણે સરવાળા હેઠળ સંવૃતતાના ગુણધર્મનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
અહીં $1 + (-1) = 0$ થાય છે. પરંતુ $0 \notin S$ હોવાથી,આ ગણ સરવાળા હેઠળ સંવૃત નથી.
તેથી,એકમના ચતુર્થ મૂળ સરવાળા માટે એબેલિયન જૂથ બનાવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) આપેલ છે કે,$(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $A^{2}-AB+BA-B^{2}=A^{2}-B^{2}$
બંને બાજુથી $A^{2}-B^{2}$ બાદ કરતા: $-AB+BA=0$
તેથી,$AB=BA$
હવે,આપણે $(ABA^{-1})^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$(ABA^{-1})^{2} = (ABA^{-1})(ABA^{-1})$
$AB=BA$ હોવાથી,આપણે $AB = BA$ લખી શકીએ,તેથી $ABA^{-1} = BAA^{-1} = BI = B$
આમ,$(ABA^{-1})^{2} = B^{2}$

(D) આપેલ છે,$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 2(4 - 0) - 1(0 - 1) + 0(0 - 2) = 2(4) - 1(-1) + 0 = 8 + 1 = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ: $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા છે.
અહીં,$n = 3$ છે.
તેથી,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A| = 9$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$|\operatorname{adj} A| = 9^2 = 81$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+1+\cos ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
કારણ કે $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$,તેથી આ સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 2 & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 1 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
હવે હાર પ્રક્રિયા $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow 2 R_{3}-R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-2\end{array}\right|=0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$2 \times [1 \times (4 \sin 2 \theta-2) - 0] = 0$
$8 \sin 2 \theta-4=0 \Rightarrow \sin 2 \theta=\frac{1}{2}$
હવે,નિત્યસમ $\cos 4 \theta=1-2 \sin ^{2} 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 4 \theta=1-2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1-2\left(\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left|\begin{array}{lll}x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c\end{array}\right|=0$
હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{3} - 2R_{2}$ લાગુ પાડતા:
પ્રથમ હાર આ મુજબ બનશે: $(x+1+x+3-2(x+2), x+2+x+4-2(x+3), x+a+x+c-2(x+b))$
પ્રથમ હારના ઘટકોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$R_{1,1} = 2x + 4 - 2x - 4 = 0$
$R_{1,2} = 2x + 6 - 2x - 6 = 0$
$R_{1,3} = 2x + a + c - 2x - 2b = a + c - 2b$
નિશ્ચાયક આ મુજબ બનશે: $\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a+c-2b \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$(a+c-2b) \cdot [(x+2)(x+4) - (x+3)(x+3)] = 0$
$(a+c-2b) \cdot [x^2 + 6x + 8 - (x^2 + 6x + 9)] = 0$
$(a+c-2b) \cdot (-1) = 0$
કારણ કે $-1 \neq 0$,તેથી $a+c-2b = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $2b = a+c$.
આ $a, b, c$ ના સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં હોવાની શરત છે.

(A) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x} y & \log _{x} z \\ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \\ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}\right|$ છે.
$\log _{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઘટકોને આ રીતે લખી શકીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 1 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 1\end{array}\right|$.
$R_1$ ને $\ln x$ વડે,$R_2$ ને $\ln y$ વડે,અને $R_3$ ને $\ln z$ વડે ગુણતા:
$\Delta = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \left|\begin{array}{ccc}\ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z\end{array}\right|$.
અહીં ત્રણેય હાર સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\sin^{-1} x = y$. તો,$x = \sin y$.
કારણ કે $-1 \leq x < 0$,તેથી $-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1} x < 0$,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{\pi}{2} \leq y < 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.
કારણ કે $y$ એ અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, 0)$ માં છે,તેથી $-y$ એ અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2}]$ માં છે.
ગુણધર્મ $\cos(-y) = \cos y = \sqrt{1 - x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-y = \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ મળે છે.
તેથી,$y = -\cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
આમ,$\sin^{-1} x = -\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^{\infty} \cot ^{-1}(2r^2) = \sum_{r=1}^{\infty} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2r^2}\right)$ છે.
આપણે $\tan^{-1}$ ના પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\frac{1}{2r^2} = \frac{2}{4r^2} = \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.
સૂત્ર $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sum_{r=1}^{\infty} [\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)]$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + (\tan^{-1} 7 - \tan^{-1} 5) + \dots$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં તમામ મધ્યવર્તી પદો ઉડી જાય છે.
$S = \lim_{n \to \infty} [\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1)]$.
કારણ કે $\lim_{n \to \infty} \tan^{-1}(2n+1) = \frac{\pi}{2}$ અને $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,
તેથી $S = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપેલ વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ જ્યાં $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n \text{ બેકી છે} \\ 0, & n \text{ એકી છે} \end{cases}$ છે.
$1$. એક-એક (Injective) ચકાસણી: જો $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1 = n_2$ હોય તો વિધેય એક-એક કહેવાય. ધારો કે એકી પૂર્ણાંકો $n_1 = 1$ અને $n_2 = 3$ છે. તો $f(1) = 0$ અને $f(3) = 0$ મળે છે. અહીં $f(1) = f(3)$ છે પરંતુ $1 \neq 3$ હોવાથી,વિધેય એક-એક નથી (તે અનેક-એક વિધેય છે).
$2$. વ્યાપ્ત (Surjective) ચકાસણી: જો દરેક $y \in Z$ માટે,કોઈ $n \in Z$ એવું મળે કે જેથી $f(n) = y$ થાય,તો વિધેય વ્યાપ્ત કહેવાય. કોઈપણ પૂર્ણાંક $y$ માટે,જો આપણે $n = 2y$ લઈએ (જે હંમેશા બેકી સંખ્યા છે),તો $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ મળે છે. આમ,સહપ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પૂર્વ-પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \log _{x^{2}}(\log _{e} x) = \frac{1}{2} \log _{x}(\log _{e} x)$.
આધાર બદલવાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \frac{1}{2} \frac{\log _{e}(\log _{e} x)}{\log _{e} x}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\log _{e} x \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e}(\log _{e} x)) - \log _{e}(\log _{e} x) \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e} x)}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\log _{e} x \cdot (\frac{1}{\log _{e} x} \cdot \frac{1}{x}) - \log _{e}(\log _{e} x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x} \log _{e}(\log _{e} x)}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$x = e$ માટે,$\log _{e} e = 1$ અને $\log _{e}(\log _{e} e) = \log _{e} 1 = 0$.
આ કિંમતો મૂકતા,$f^{\prime}(e) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{e} - \frac{1}{e} \cdot 0}{(1)^{2}} \right] = \frac{1}{2e}$.

(D) આપેલ છે,$y = \sin^{n} x \cos nx$.
ગુણાકારનો નિયમ $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ લાગુ પાડતા:
$\frac{dy}{dx} = \sin^{n} x \frac{d}{dx}(\cos nx) + \cos nx \frac{d}{dx}(\sin^{n} x)$
$\frac{dy}{dx} = \sin^{n} x (-n \sin nx) + \cos nx (n \sin^{n-1} x \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x (\cos x \cos nx - \sin x \sin nx)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x \cos (nx + x)$
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x \cos (n+1) x$

(D) આપેલ વિધેય: $f(x) = \frac{g(x) + g(-x)}{2} + \frac{2}{[h(x) + h(-x)]^{-1}}$.
પદને સરળ બનાવતા: $f(x) = \frac{g(x) + g(-x)}{2} + 2[h(x) + h(-x)]$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{g^{\prime}(x) - g^{\prime}(-x)}{2} + 2[h^{\prime}(x) - h^{\prime}(-x)]$.
હવે,$x = 0$ મૂકતા:
$f^{\prime}(0) = \frac{g^{\prime}(0) - g^{\prime}(0)}{2} + 2[h^{\prime}(0) - h^{\prime}(0)]$.
$f^{\prime}(0) = 0 + 2[0] = 0$.

(B) વક્ર $y=f(x)$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો સ્પર્શક $x$-અક્ષને લંબ હોય,તો તે એક શિરોલંબ રેખા છે.
શિરોલંબ રેખા માટે,ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} \to \infty$.
આનો અર્થ એ થાય છે કે $y$ ની સાપેક્ષમાં સ્પર્શકનો ઢાળ,જે $\frac{dx}{dy}$ છે,તે $0$ હોવો જોઈએ.

(A) આપેલ છે,$x=a(t+\sin t)$ અને $y=a(1-\cos t)$.
પ્રથમ,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શોધીએ:
$\frac{dx}{dt} = a(1+\cos t) = 2a \cos^2 \frac{t}{2}$
$\frac{dy}{dt} = a \sin t = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$
હવે,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2a \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$ છે.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $= \frac{a(1-\cos t)}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2} / \cos \frac{t}{2}} = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} = a \sin t$.

(A) ધારો કે $I = \int e^{\tan ^{-1} x} \left(1 + \frac{x}{1+x^2}\right) dx$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int e^{\tan ^{-1} x} dx + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
હવે,પ્રથમ સંકલન $\int e^{\tan ^{-1} x} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલન (integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$u = e^{\tan ^{-1} x}$ અને $dv = dx$ લો.
તેથી $du = e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$ અને $v = x$ મળે.
સૂત્ર $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int e^{\tan ^{-1} x} dx = x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = \left(x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx\right) + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx + c$.
સંકલનના પદો ઉડી જાય છે,તેથી $I = x e^{\tan ^{-1} x} + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \operatorname{cosec}(x-a) \operatorname{cosec} x \, dx$.
$\sin a$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \int \frac{\sin a}{\sin a \sin(x-a) \sin x} \, dx$.
$\sin a = \sin(x - (x-a))$ હોવાથી:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin(x - (x-a))}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos(x-a) - \cos x \sin(x-a)}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$.
$I = \frac{1}{\sin a} \int \left( \frac{\cos(x-a)}{\sin(x-a)} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) \, dx$.
$I = \frac{1}{\sin a} \int (\cot(x-a) - \cot x) \, dx$.
સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{\sin a} [\log |\sin(x-a)| - \log |\sin x|] + c$.
$I = \frac{1}{\sin a} \log \left| \frac{\sin(x-a)}{\sin x} \right| + c$.
આને $\frac{1}{\sin a} \log |\sin(x-a) \operatorname{cosec} x| + c$ તરીકે લખી શકાય.

(A) ધારો કે $I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx \quad \dots(i)$
ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $a+b = 1+3 = 4$ છે.
$x$ ને $(4-x)$ વડે બદલતા:
$I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-(4-x)}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4-(4-x)}} dx$
$I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}} dx \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{1}^{3} \left( \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}} \right) dx$
$2I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx$
$2I = \int_{1}^{3} 1 dx$
$2I = [x]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2$
$I = \frac{2}{2} = 1$

(D) આપેલ છે કે,$\int_{0}^{1} f(x) dx = 5$.
ધારો કે $I = 100 \int_{0}^{1} x^{9} f(x^{10}) dx$.
$x^{10} = t$ આદેશ લેતા,$10x^{9} dx = dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^{9} dx = \frac{dt}{10}$.
જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $t = 0$ અને જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $t = 1$.
તેથી,$I = 100 \int_{0}^{1} f(t) \frac{dt}{10} = 10 \int_{0}^{1} f(t) dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} f(x) dx = 5$,તેથી $I = 10 \times 5 = 50$.
આમ,માંગેલ કિંમત $\int_{0}^{1} f(x) dx + I = 5 + 50 = 55$ થાય.

(B) આપેલ છે કે,$f(x) = \int_{-1}^{x} |t| dt$.
જ્યારે $x \geq 0$ હોય,ત્યારે આપણે સંકલનને $t = 0$ આગળ વિભાજિત કરી શકીએ:
$f(x) = \int_{-1}^{0} |t| dt + \int_{0}^{x} |t| dt$.
$t \in [-1, 0]$ માટે,$|t| = -t$ અને $t \in [0, x]$ માટે,$|t| = t$.
તેથી,$f(x) = \int_{-1}^{0} (-t) dt + \int_{0}^{x} t dt$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$f(x) = -\left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{0}^{x}$.
$f(x) = -\left( 0 - \frac{(-1)^{2}}{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} - 0 \right)$.
$f(x) = -\left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2}(1 + x^{2})$.

(C) પરવલય $y^{2}=4x$ અને રેખા $y=2x-4$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદબિંદુઓ શોધીએ,$x = \frac{y+4}{2}$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીને:
$y^{2} = 4\left(\frac{y+4}{2}\right)$
$y^{2} = 2(y+4)$
$y^{2} - 2y - 8 = 0$
$(y-4)(y+2) = 0$
આમ,છેદબિંદુઓ $y = 4$ અને $y = -2$ પર મળે છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $y$ ની સાપેક્ષમાં રેખા અને પરવલય વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન કરીને મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^{2}}{4} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^{2}}{4} + 2y - \frac{y^{3}}{12} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12} \right)$
$= \left( 4 + 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{2}{3} \right)$
$= \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 2hx = 0$ છે,જ્યાં $h$ એક પ્રાચલ છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણને $2h = \frac{x^{2} + y^{2}}{x}$ મળે છે.
સમીકરણ $x^{2} + y^{2} - 2hx = 0$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2h = 0$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $2h$ ની કિંમત મૂકતા:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - \left( \frac{x^{2} + y^{2}}{x} \right) = 0$.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$2x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} - x^{2} - y^{2} = 0$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^{2} - y^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$,જેને $y^{2} = x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
ધારો કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ શૂન્યતર સદિશો છે,તેથી આપણે બંને બાજુને $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$ વડે ભાગી શકીએ છીએ.
આનાથી $\cos \theta = -1$ મળે છે.
$\theta$ ની જે કિંમત માટે $\cos \theta = -1$ થાય તે $\theta = 180^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ છે,$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0} \quad \dots(i)$
સમીકરણ $(i)$ નો $\overrightarrow{b}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{b}$
કારણ કે $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ અને $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b} = -(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
સમીકરણ $(i)$ નો $\overrightarrow{c}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{c}$
કારણ કે $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ અને $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = -(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$:
$-(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a} = 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
હવે,આ કિંમતોને $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ માં મૂકતા:
$= 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
$= 6(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$

(A) આપેલ છે કે,$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ધારવાળા સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 40 \text{ ઘન એકમ}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ ધારવાળા સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}]$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}] = 2[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$
$= 2 \times 40 = 80 \text{ ઘન એકમ}$.