KCET 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) જ્યારે બ્લોક $A$ એ $u = 0.15 \,ms^{-1}$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે, ત્યારે તે સ્પ્રિંગને સંકોચે છે, જે બ્લોક $B$ ને જમણી તરફ ધકેલે છે। સ્પ્રિંગ ત્યાં સુધી સંકોચાતી રહે છે જ્યાં સુધી બંને બ્લોકનો વેગ સમાન ન થાય। ધારો કે આ સામાન્ય વેગ $v$ છે।
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_A u = (m_A + m_B) v$
$v = \frac{m_A u}{m_A + m_B} = \frac{2 \times 0.15}{2 + 3} = \frac{0.3}{5} = 0.06 \,ms^{-1}$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, બ્લોક $A$ ની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ તંત્રની અંતિમ ગતિઊર્જા અને મહત્તમ સંકોચન $x$ સમયે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} m_A u^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) v^2 + \frac{1}{2} k x^2$
$\frac{1}{2} \times 2 \times (0.15)^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (0.06)^2 + \frac{1}{2} \times 10.8 \times x^2$
$0.0225 = 5 \times 0.0018 + 5.4 x^2$
$0.0225 = 0.009 + 5.4 x^2$
$5.4 x^2 = 0.0135$
$x^2 = \frac{0.0135}{5.4} = 0.0025$
$x = \sqrt{0.0025} = 0.05 \,m$

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે ગ્રહનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr \sin(\theta)$ અચળ હોવાથી,જ્યાં $m$ એ ગ્રહનું દળ છે,$v$ એ તેની રેખીય ઝડપ છે,$r$ એ સૂર્યથી અંતર છે,અને $\theta$ એ સ્થાન સદિશ અને વેગ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પેરિહેલિયન (સૂર્યની સૌથી નજીકનું બિંદુ) પર,અંતર $r$ ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ માટે,આ બિંદુએ રેખીય ઝડપ $v$ મહત્તમ હોવી જોઈએ.
આપેલ આકૃતિમાં,બિંદુ $A$ સૂર્યની સૌથી નજીક છે.
આમ,ગ્રહની રેખીય ઝડપ બિંદુ $A$ પર મહત્તમ છે.

(C) ત્રણ સંગામી બળોની અસર હેઠળ પદાર્થ સંતુલનમાં રહે તે માટે,બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ એક બળનું મૂલ્ય બાકીના બે બળોના સરવાળા કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ અને બાકીના બે બળોના તફાવત કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે બળો $F_1 = 1 \,N$,$F_2 = 2 \,N$ અને $F_3 = 3 \,N$ છે.
સંતુલન માટેની શરત એ છે કે કોઈપણ બે બળોનું પરિણામી બળ ત્રીજા બળની વિરુદ્ધ દિશામાં અને સમાન મૂલ્યનું હોવું જોઈએ.
અહીં,$F_1 + F_2 = 1 + 2 = 3 \,N$,જે $F_3$ જેટલું છે.
જોકે,$F_1$ અને $F_2$ નું પરિણામી બળ $3 \,N$ મેળવવા માટે,તેઓએ એક જ દિશામાં કાર્ય કરવું પડે (ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$).
જો તેઓ એક જ દિશામાં કાર્ય કરે,તો તેઓ પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ 'અલગ-અલગ દિશામાં' કાર્ય કરતા નથી.
જો બળો અલગ-અલગ દિશામાં કાર્ય કરે,તો $1 \,N$ અને $2 \,N$ નું પરિણામી બળ હંમેશા $3 \,N$ કરતા ઓછું હશે.
તેથી,આ ત્રણ બળો બંધ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી અને પદાર્થ સંતુલનમાં રહી શકતો નથી.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પદાર્થ પર નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ અને ઉપરની તરફ હવાનું અવરોધક બળ $(F_{air})$ લાગે છે.
પદાર્થ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,પરિણામી બળનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
$mg - F_{air} = ma$
હવાના અવરોધક બળ $(F_{air})$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$F_{air} = mg - ma = m(g - a)$
આપેલ છે:
દળ $(m)$ = $0.05 \ kg$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $9.8 \ ms^{-2}$
પદાર્થનો પ્રવેગ $(a)$ = $9.5 \ ms^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$F_{air} = 0.05 \times (9.8 - 9.5)$
$F_{air} = 0.05 \times 0.3$
$F_{air} = 0.015 \ N$

(B) $4.8000 \times 10^{4}$ સંખ્યા માટે:
વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં,$10$ ની ઘાત સાર્થક અંકોની સંખ્યામાં ગણવામાં આવતી નથી.
અંકો $4, 8, 0, 0, 0$ બધા સાર્થક છે કારણ કે દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંતિમ શૂન્યો સાર્થક ગણાય છે.
આમ,અહીં $5$ સાર્થક અંકો છે.
$48000.50$ સંખ્યા માટે:
બધા શૂન્યતર અંકો સાર્થક છે.
બે શૂન્યતર અંકોની વચ્ચે આવતા શૂન્યો સાર્થક હોય છે.
દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંતિમ શૂન્યો પણ સાર્થક ગણાય છે.
તેથી,બધા અંકો $4, 8, 0, 0, 0, 5, 0$ સાર્થક છે,જે કુલ $7$ સાર્થક અંકો બનાવે છે.

(D) ધારો કે $W_s$ અને $W_a$ એ હવામાં સ્ટીલ અને એલ્યુમિનિયમનું વજન છે,અને $V_s$ અને $V_a$ તેમના કદ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે. પાણીમાં ડૂબાડતા,આભાસી વજન $W_{app} = W - V\rho_w g$ થાય છે. આપેલ છે કે આભાસી વજન સમાન છે: $W_s - V_s \rho_w g = W_a - V_a \rho_w g$. $W = V \rho g$ હોવાથી,$V = W / (\rho g)$ મળે. આ કિંમત મૂકતા,$W_s - (W_s / \rho_s) \rho_w g = W_a - (W_a / \rho_a) \rho_w g$,જેનું સાદું રૂપ $W_s(1 - \rho_w / \rho_s) = W_a(1 - \rho_w / \rho_a)$ થાય છે. સ્ટીલની ઘનતા $\rho_s \approx 7800 \ kg/m^3$ એ એલ્યુમિનિયમની ઘનતા $\rho_a \approx 2700 \ kg/m^3$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી,$(1 - \rho_w / \rho_s)$ પદ $(1 - \rho_w / \rho_a)$ કરતા મોટું છે. તેથી,સમાનતા જળવાઈ રહે તે માટે $W_s$ એ $W_a$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ. આમ,હવામાં એલ્યુમિનિયમનો ટુકડો વધુ વજન ધરાવે છે.

(D) સુરેખ વહનમાં અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, નળીના દરેક આડછેદ પાસે કદ વહનનો દર $(Q = Av)$ અચળ રહે છે.
તેથી, પ્રવાહીના વહનનો દર $M$ અને $N$ બંને બિંદુઓ પાસે સમાન હોય છે.

(B) ધારો કે કુલ અંતર $2S$ છે. પ્રથમ અડધું અંતર $S$ એ $v_1 = 2 \,ms^{-1}$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{S}{2}$ છે。
બાકીનું અડધું અંતર $S$ એ બે સમાન સમયગાળા $t_2$ માં, $v_2 = 3 \,ms^{-1}$ અને $v_3 = 5 \,ms^{-1}$ ની ઝડપે કાપવામાં આવે છે。
તેથી, $S = v_2 t_2 + v_3 t_2 = (3 + 5) t_2 = 8 t_2$. આથી, $t_2 = \frac{S}{8}$.
બીજા અડધા અંતર માટે લાગતો કુલ સમય $2 t_2 = 2 \times \frac{S}{8} = \frac{S}{4}$ છે。
કુલ સમય $T = t_1 + 2 t_2 = \frac{S}{2} + \frac{S}{4} = \frac{3S}{4}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2S}{3S/4} = \frac{8}{3} \,ms^{-1}$.

(C) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{z} = Mr^{2}$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$.
રીંગ તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને સંમિત હોવાથી,$I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ થાય.
તેથી,$Mr^{2} = 2I_{diameter}$.
$I_{diameter} = \frac{Mr^{2}}{2}$.

(D) દરવાજાને ખોલવા કે બંધ કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$ અચળ હોય છે અને તે બળ $F$ અને મિજાગરાથી અંતર $d$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $\tau = F \times d$
અહીં, મુક્ત છેડા પર $(d = 1.6 \,m)$ $1 \,N$ બળ લગાડતા ટોર્ક $\tau = 1 \,N \times 1.6 \,m = 1.6 \,N-m$ મળે છે।
હવે, મિજાગરાથી $d' = 0.4 \,m$ અંતરે જરૂરી બળ $F'$ શોધવા માટે: $F' = \frac{\tau}{d'} = \frac{1.6 \,N-m}{0.4 \,m} = 4 \,N$.

(A) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $t$ છે।
$80^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m_1 s \Delta t_1 = (V_1 \rho) s (80^{\circ} - t)$.
$60^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતા પાણી દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા $= m_2 s \Delta t_2 = (V_2 \rho) s (t - 60^{\circ})$.
કેલરીમેટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગુમાવેલી ઉષ્મા = મેળવેલી ઉષ્મા।
અહીં ઘનતા $\rho$ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ બંને માટે સમાન હોવાથી:
$V_1 (80^{\circ} - t) = V_2 (t - 60^{\circ})$.
કિંમતો મૂકતા:
$0.1 (80 - t) = 0.3 (t - 60)$.
$8 - 0.1t = 0.3t - 18$.
$26 = 0.4t$.
$t = \frac{26}{0.4} = 65^{\circ} C$.

(B) ઉષ્મીય વિકિરણ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે,જે પ્રકાશની જેમ જ વર્તે છે.
જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે માધ્યમના વક્રીભવનાંકમાં ફેરફારને કારણે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ બદલાય છે.
જોકે,વિકિરણની આવૃત્તિ એ સ્ત્રોતનો ગુણધર્મ છે અને તે જે માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે તેનાથી સ્વતંત્ર રહીને અચળ રહે છે.
તેથી,આવૃત્તિ બદલાય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ,એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ ઉત્સર્જિત ઉષ્મા ઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto T^{4}$.
ધારો કે $T$ તાપમાને શરૂઆતની ઉત્સર્જિત ઊર્જા $E$ છે.
ધારો કે $3T$ તાપમાને ઉત્સર્જિત ઊર્જા $E^{\prime}$ છે.
સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{E^{\prime}}{E} = \left( \frac{3T}{T} \right)^{4}$.
$\frac{E^{\prime}}{E} = (3)^{4} = 81$.
તેથી,$E^{\prime} = 81 E$.

(B) તારાઓનું સપાટીનું તાપમાન વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ (Wien's displacement law) નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
આ નિયમ અનુસાર,$\lambda_{m} T = b$,જ્યાં $\lambda_{m}$ એ મહત્તમ વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ છે,$T$ એ કૃષ્ણ પદાર્થનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે,અને $b$ એ વીનનો અચળાંક છે.
વીનનો અચળાંકનું મૂલ્ય આશરે $2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ છે.
તારો જે તરંગલંબાઇ $\lambda_{m}$ પર મહત્તમ વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે તે માપીને,સપાટીનું તાપમાન $T = b / \lambda_{m}$ સૂત્ર દ્વારા ગણી શકાય છે.

(D) $(i)$ વક્ર $OA$ સમદાબ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે (કારણ કે દબાણ અચળ છે).
(ii) વક્ર $OB$ સમતાપી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
(iii) વક્ર $OC$ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા દર્શાવે છે,કારણ કે એડિયાબેટિક પ્રક્રિયાનો ઢાળ સમતાપી પ્રક્રિયા કરતા વધારે હોય છે.
(iv) વક્ર $OD$ સમકદ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે (કારણ કે કદ અચળ છે).

(A) થર્મોડાયનેમિક કોઓર્ડિનેટ્સ એ અવસ્થા ચલો છે જે થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમની અવસ્થાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે,જેમ કે દબાણ $(p)$,કદ $(V)$ અને તાપમાન $(T)$.
$R$ એ સાર્વત્રિક ગેસ અચળાંક છે,જે પ્રકૃતિનો એક મૂળભૂત અચળાંક છે અને તે કોઈ ચોક્કસ સિસ્ટમની અવસ્થાનું વર્ણન કરતો ચલ નથી.
તેથી,ગેસ અચળાંક $(R)$ એ થર્મોડાયનેમિક કોઓર્ડિનેટ નથી.

(B) આપેલ પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ $y=3 \sin \pi\left(\frac{t}{2}-\frac{x}{4}\right)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=A \sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને $y=3 \sin 2\pi \left(\frac{t}{4}-\frac{x}{8}\right)$ તરીકે લખી શકીએ.
આના પરથી,આપણે આવર્તકાળ $T=4 \,s$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda=8 \,m$ મેળવીએ છીએ.
તરંગનો વેગ $v = \frac{\lambda}{T} = \frac{8}{4} = 2 \,m/s$ થાય.
$t=5 \,s$ સમયમાં તરંગ દ્વારા કાપેલું અંતર $s = v \times t = 2 \times 5 = 10 \,m$ મળે છે.

(A) $\text{L}$ લંબાઈની ખુલ્લી નળાકાર નળીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2L} = 390 \,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે નળીનો $\frac{1}{4}$ ભાગ પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે, ત્યારે નળી એક બંધ ઓર્ગન પાઇપ (એક છેડે બંધ) તરીકે કાર્ય કરે છે, જેની નવી લંબાઈ $L' = L - \frac{1}{4}L = \frac{3}{4}L$ થાય છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n' = \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L' = \frac{3}{4}L$ મૂકતા, આપણને $n' = \frac{v}{4(\frac{3}{4}L)} = \frac{v}{3L}$ મળે છે.
આને આપણે $n' = \frac{2}{3} \times (\frac{v}{2L})$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $\frac{v}{2L} = 390 \,Hz$, તેથી $n' = \frac{2}{3} \times 390 \,Hz = 260 \,Hz$ થાય છે.

(D) ધ્વનિ તરંગો એ યાંત્રિક તરંગો છે જે માધ્યમ દ્વારા પ્રસરણ પામે છે. જ્યારે તેઓ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ માધ્યમના કણોને દોલિત કરે છે,જેનાથી એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ઉર્જાનું વહન થાય છે. કારણ કે આ તરંગોમાં દળ ધરાવતા કણોની ગતિ સામેલ છે,તેથી તેઓ વેગમાન પણ વહન કરે છે. તેથી,ધ્વનિ તરંગો ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું સ્થાનાંતરણ કરે છે.

(D) બિંદુ સ્ત્રોત દ્વારા ઉત્સર્જિત ગોળાકાર તરંગ માટે,$r$ અંતરે તીવ્રતા $I$ એ $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ સ્ત્રોતની પાવર છે.
કારણ કે $I \propto A^2$,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે,તેથી આપણને $A^2 \propto \frac{1}{r^2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A \propto \frac{1}{r}$.
ધારો કે $r_P = 4 \ m$ અને $r_Q = 9 \ m$ અંતરે કંપવિસ્તાર અનુક્રમે $A_P$ અને $A_Q$ છે.
તેથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_P}{A_Q} = \frac{r_Q}{r_P}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{A_P}{A_Q} = \frac{9}{4}$ મળે છે.

(NONE) ચલ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $F-s$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$20 \, m$ અંતર માટે થયેલું કુલ કાર્ય શોધવા માટે, આપણે $s = 0 \, m$ થી $s = 20 \, m$ સુધીના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ ગણીશું.
આ ક્ષેત્રફળ ત્રણ ભાગોનું બનેલું છે:
$1$. $s = 0$ થી $s = 4 \, m$ સુધીનો ત્રિકોણ, જેનો પાયો $4 \, m$ અને ઊંચાઈ $10 \, N$ છે: $\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \, J$.
$2$. $s = 4$ થી $s = 15 \, m$ સુધીનો લંબચોરસ, જેની પહોળાઈ $11 \, m$ અને ઊંચાઈ $10 \, N$ છે: $\text{Area}_2 = 11 \times 10 = 110 \, J$.
$3$. $s = 15$ થી $s = 20 \, m$ સુધીનો સમલંબ ચતુષ્કોણ, જેની સમાંતર બાજુઓ $10 \, N$ અને $20 \, N$ છે અને ઊંચાઈ $5 \, m$ છે: $\text{Area}_3 = \frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 5 = \frac{1}{2} \times 30 \times 5 = 75 \, J$.
કુલ કાર્ય $W = 20 + 110 + 75 = 205 \, J$.

(A) $RC$ શ્રેણી પરિપથમાં, અવરોધક પરનો વોલ્ટેજ $(V_R)$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_C)$ એકબીજાથી $90^{\circ}$ ના કળા તફાવત (phase difference) પર હોય છે.
આપેલ છે: $V_R = 12 \,V$ અને $V_C = 5 \,V$.
કુલ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ ફેઝર સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \sqrt{(12)^2 + (5)^2}$
$V = \sqrt{144 + 25}$
$V = \sqrt{169}$
$V = 13 \,V$
આમ, લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $13 \,V$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની વર્ણપટ રેખાઓને તે વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના કયા વિભાગમાં આવે છે તેના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:
$1$. લાયમન શ્રેણી: પારજાંબલી (Ultraviolet) વિભાગ
$2$. બામર શ્રેણી: દ્રશ્યમાન (Visible) વિભાગ
$3$. પાશ્ચન શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ
$4$. બ્રેકેટ શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ
$5$. ફંડ શ્રેણી: ઇન્ફ્રારેડ વિભાગ
આ વર્ગીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે બામર શ્રેણી વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્યમાન વિભાગમાં આવેલી છે.

(A) ઇન્કેન્ડેસન્ટ ઇલેક્ટ્રિક લેમ્પ સતત ઉત્સર્જન વર્ણપટ ઉત્પન્ન કરે છે કારણ કે ફિલામેન્ટ તેના ઊંચા તાપમાનને કારણે તરંગલંબાઇની વિશાળ શ્રેણીમાં વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
મર્ક્યુરી અને સોડિયમ વેપર લેમ્પ રેખીય ઉત્સર્જન વર્ણપટ આપે છે કારણ કે વાયુમાં રહેલા પરમાણુઓ ફક્ત ચોક્કસ તરંગલંબાઇ પર જ પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે.
બહુપરમાણ્વીય પદાર્થો,જેમ કે $H_{2}$,$CO_{2}$ અને $KMnO_{4}$,સામાન્ય રીતે બેન્ડ શોષણ વર્ણપટ ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટેનું રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ છે.
અહીં,અંતિમ અવસ્થા ધરા અવસ્થા છે,તેથી $n_{f} = 1$,અને પ્રારંભિક ઉત્તેજિત અવસ્થા $n_{i} = n$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right)$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{\lambda R} = 1 - \frac{1}{n^{2}}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{1}{n^{2}} = 1 - \frac{1}{\lambda R} = \frac{\lambda R - 1}{\lambda R}$.
વ્યસ્ત અને વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $n = \sqrt{\frac{\lambda R}{\lambda R - 1}}$ મળે છે.

(C) $4 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 4 \mu F + 2 \mu F = 6 \mu F$ છે.
આ સમાંતર જોડાણ $6 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{2}{6 \mu F} = \frac{1}{3 \mu F} \Rightarrow C_{eq} = 3 \mu F$.
$12 \text{ V}$ ના સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C_{eq} \times V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$.
આ કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $6 \mu F$ કેપેસિટરમાંથી વહે છે અને ત્યારબાદ સમાંતરમાં જોડાયેલા $4 \mu F$ અને $2 \mu F$ કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે.
ધારો કે $4 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1$ છે અને $2 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V_p = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2} \Rightarrow \frac{Q_1}{4 \mu F} = \frac{Q_2}{2 \mu F} \Rightarrow Q_1 = 2 Q_2$.
વળી,$Q_1 + Q_2 = Q = 36 \mu C$.
$Q_1 = 2 Q_2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 Q_2 + Q_2 = 36 \mu C \Rightarrow 3 Q_2 = 36 \mu C \Rightarrow Q_2 = 12 \mu C$.
તેથી,$Q_1 = 2 \times 12 \mu C = 24 \mu C = 24 \times 10^{-6} C$.

(B) $1 \Omega$ અને $2 \Omega$ ના અવરોધો $ABC$ માર્ગ પર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે। આ શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{ABC} = 1 \Omega + 2 \Omega = 3 \Omega$ છે।
આ શાખા બેટરીના ટર્મિનલ્સ $A$ અને $C$ પર સીધા જોડાયેલા $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે।
$3 \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ છે,એટલે કે $V = 3 \text{ V}$।
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$3 \Omega$ ના અવરોધમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I = \frac{V}{R} = \frac{3 \text{ V}}{3 \Omega} = 1 \text{ A}$।

(D) પોટેન્શિયોમીટરમાં જે કોષનો $emf$ માપવાનો હોય તેમાંથી કોઈ પણ વિદ્યુતપ્રવાહ ખેંચાતો નથી,જ્યારે વોલ્ટમીટર હંમેશા કોષમાંથી થોડો વિદ્યુતપ્રવાહ ખેંચે છે.
$emf$ એટલે જ્યારે કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો ન હોય ત્યારનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત,તેથી પોટેન્શિયોમીટર જાણીતા પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ સાથે વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતને સંતુલિત કરીને સચોટ માપન આપે છે.
તેથી,કોષનો $emf$ પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને સચોટ રીતે માપી શકાય છે.

(A) આપેલ છે,ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 240 \Omega$.
ધારો કે મુખ્ય પ્રવાહ $I$ છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_G$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$I_G = 4 \% \text{ of } I = \frac{4}{100} I = 0.04 I$.
શંટ અવરોધ $S$ ને ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_G G = (I - I_G) S$
કિંમતો મૂકતા:
$0.04 I \times 240 = (I - 0.04 I) S$
$9.6 I = 0.96 I \times S$
$S = \frac{9.6 I}{0.96 I} = 10 \Omega$.
તેથી,શંટ અવરોધનું મૂલ્ય $10 \Omega$ છે.

(B) પાવર $P$ અને વોલ્ટેજ $V$ અનુક્રમે $P = 550 \,W$ અને $V = 220 \,V$ આપેલ છે.
પાવર, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = V \times I$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રવાહ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $I = \frac{P}{V}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{550}{220} = 2.5 \,A$.
તેથી, હીટર દ્વારા ખેંચાતો પ્રવાહ $2.5 \,A$ છે.

(A) ચાલો પરિપથમાં વિવિધ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાનનું વિશ્લેષણ કરીએ.
સૌથી ડાબી બાજુના વાયરથી શરૂ કરીને,ધારો કે સ્થિતિમાન $0 \text{ V}$ છે.
ઉપરની શાખામાં આગળ વધતા,દરેક બેટરી પર સ્થિતિમાન $2 \text{ V}$ જેટલું બદલાય છે. તેવી જ રીતે,નીચેની શાખા માટે,દરેક બેટરી પર સ્થિતિમાન $2 \text{ V}$ જેટલું બદલાય છે.
પ્રથમ $1 \Omega$ ના ઉભા અવરોધ માટે,ઉપરના નોડ પર સ્થિતિમાન $0 \text{ V} - 2 \text{ V} = -2 \text{ V}$ છે અને નીચેના નોડ પર સ્થિતિમાન $0 \text{ V} - 2 \text{ V} = -2 \text{ V}$ છે.
આ અવરોધ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $(-2 \text{ V}) - (-2 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ છે.
તેવી જ રીતે,બીજા ઉભા અવરોધ માટે,ઉપરના નોડ પર સ્થિતિમાન $-2 \text{ V} - 2 \text{ V} = -4 \text{ V}$ છે અને નીચેના નોડ પર સ્થિતિમાન $-2 \text{ V} - 2 \text{ V} = -4 \text{ V}$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $(-4 \text{ V}) - (-4 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ છે.
ત્રીજા અવરોધ માટે,ઉપરના નોડ પર સ્થિતિમાન $-4 \text{ V} - 2 \text{ V} = -6 \text{ V}$ છે અને નીચેના નોડ પર સ્થિતિમાન $-4 \text{ V} - 2 \text{ V} = -6 \text{ V}$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $(-6 \text{ V}) - (-6 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ છે.
દરેક અવરોધ પર સ્થિતિમાનનો તફાવત $0 \text{ V}$ હોવાથી,દરેક અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $I = V/R = 0 \text{ V} / 1 \Omega = 0 \text{ A}$ થશે.

(C) આપેલ છે: $T_1 = 300 \, K$ તાપમાને $R_{T_1} = 0.3 \, \Omega$.
તાપમાન $T_2$ પર અવરોધ $R_{T_2} = 0.6 \, \Omega$ છે.
અવરોધનો તાપમાન ગુણાંક $\alpha = 1.5 \times 10^{-3} \, K^{-1}$ છે.
તાપમાન સાથે અવરોધમાં થતા ફેરફારનું સૂત્ર $R_T = R_{T_0} [1 + \alpha(T - T_0)]$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0.6 = 0.3 [1 + 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)]$.
બંને બાજુ $0.3$ વડે ભાગતા: $2 = 1 + 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $1 = 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)$.
$(T_2 - 300)$ માટે ઉકેલતા: $T_2 - 300 = \frac{1}{1.5 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{1.5} \approx 666.67 \, K$.
તેથી, $T_2 = 300 + 666.67 = 966.67 \, K$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા, $993 \, K$ એ સૌથી નજીકનો સૈદ્ધાંતિક જવાબ છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $K$ ગતિઊર્જા છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K' = 3K$ છે.
પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે અને અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(3K)}} = \frac{h}{\sqrt{3} \sqrt{2mK}}$ છે.
તેથી,તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $1/\sqrt{3}$ ના અવયવથી બદલાશે.

(A) $G$ $P$ Thomson એ દર્શાવ્યું હતું કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન બીમ સ્ફટિકોની નિયમિત પરમાણુ ગોઠવણી દ્વારા પ્રકીર્ણન પામે છે,ત્યારે તેઓ વિવર્તન અનુભવે છે. આ પ્રયોગ દ્વારા તેમણે દ્રવ્ય તરંગો (ડી-બ્રોગ્લીની પૂર્વધારણા) ના અસ્તિત્વની પ્રાયોગિક પુષ્ટિ કરી હતી. આ પ્રયોગ દ્રવ્યના તરંગ સ્વભાવ માટે સીધો પુરાવો પૂરો પાડે છે.

(A) જેમ ઇલેક્ટ્રોન સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે,તેમ તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ લૂપમાંથી પસાર થાય છે,જેનાથી ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન લૂપની નજીક આવે છે,તેમ લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. ઇલેક્ટ્રોનની ગતિને કારણે ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા (ઋણ વિદ્યુતભાર માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને) એવા ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરે છે જે આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે પ્રવાહને પ્રેરિત કરે છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન લૂપની આગળ નીકળી જાય છે,તેમ લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. ત્યારબાદ પ્રેરિત પ્રવાહ આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે તેની દિશા બદલે છે.
તેથી,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા અચળ નથી; તે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ સાથે બદલાય છે,તેથી તે ચલિત (variable) છે.

(D) રેલેના પ્રકીર્ણનના નિયમ મુજબ, પ્રકીર્ણન પામતા પ્રકાશની તીવ્રતા તેની તરંગલંબાઇના ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(I \propto 1/\lambda^4)$.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણોની તરંગલંબાઇ દ્રશ્ય પ્રકાશની સરખામણીમાં વધારે હોવાથી, ધુમ્મસના કણો દ્વારા તેમનું પ્રકીર્ણન ખૂબ ઓછું થાય છે.
આ ઓછા પ્રકીર્ણનને કારણે, ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણો દ્રશ્ય પ્રકાશ કરતા ધુમ્મસમાંથી વધુ અસરકારક રીતે પસાર થઈ શકે છે.
તેથી, ધુમ્મસવાળી પરિસ્થિતિમાં ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણો દ્વારા લેવામાં આવેલા ફોટોગ્રાફ્સ દ્રશ્ય પ્રકાશ દ્વારા લેવામાં આવેલા ફોટોગ્રાફ્સ કરતા વધુ સ્પષ્ટ હોય છે.

(C) હેડ્રોન્સ એ સબએટોમિક કણો છે જે સ્ટ્રોંગ ફોર્સ દ્વારા જોડાયેલા ક્વાર્કથી બનેલા છે. તેમને મુખ્યત્વે બે શ્રેણીઓમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે: બેરિયોન્સ અને મેસોન્સ.
બેરિયોન્સ $3$ ક્વાર્કથી બનેલા હોય છે (દા.ત.,પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન).
મેસોન્સ એક ક્વાર્ક અને એક એન્ટિક્વાર્કની જોડીથી બનેલા હોય છે.
તેથી,ક્વાર્ક મોડેલ મુજબ,તમામ હેડ્રોન્સનું નિર્માણ $3$ ક્વાર્ક અને $3$ એન્ટિક્વાર્કનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

(D) આપેલ છે: $\alpha$-કણનું દળ $m = 6.4 \times 10^{-27} \ kg$,વિદ્યુતભાર $q = 3.2 \times 10^{-19} \ C$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 1.6 \times 10^{5} \ Vm^{-1}$,અને અંતર $s = 2 \times 10^{-2} \ m$.
$\alpha$-કણ પર લાગતું બળ $F = qE = (3.2 \times 10^{-19}) \times (1.6 \times 10^{5}) = 5.12 \times 10^{-14} \ N$ છે.
કણનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{5.12 \times 10^{-14}}{6.4 \times 10^{-27}} = 0.8 \times 10^{13} \ ms^{-2} = 8 \times 10^{12} \ ms^{-2}$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$v^2 = 0 + 2 \times (8 \times 10^{12}) \times (2 \times 10^{-2}) = 32 \times 10^{10}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$v = \sqrt{32 \times 10^{10}} = \sqrt{16 \times 2} \times 10^{5} = 4 \sqrt{2} \times 10^{5} \ ms^{-1}$ મળે.

(D) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = 3x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2) = 6x$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$.
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
આમ,$\vec{E} = -6x \hat{i}$.
બિંદુ $(2, 0, 1)$ પર,$x$-યામ $2$ છે.
$\vec{E}$ ના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા:
$\vec{E} = -6(2) \hat{i} = -12 \hat{i} \ Vm^{-1}$.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $-12 \ Vm^{-1}$ છે.

(C) એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું કોઈપણ બંધ માર્ગ પરનું રેખીય સંકલન તે માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ પ્રવાહ $I_{\text{enclosed}}$ ના $\mu_{0}$ ગણું હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{\text{enclosed}}$.
પાઇપની અંદરના બિંદુ માટે જ્યાં ત્રિજ્યાવર્તી અંતર $r < R$ છે (જ્યાં $R$ એ પાઇપની ત્રિજ્યા છે),પાઇપની અંદર દોરેલો કોઈપણ બંધ વર્તુળાકાર માર્ગ શૂન્ય કુલ પ્રવાહને ઘેરે છે કારણ કે પ્રવાહ માત્ર પાઇપની દીવાલોમાંથી જ વહે છે.
આમ,$I_{\text{enclosed}} = 0$.
એમ્પીયરનો નિયમ લાગુ પાડતા: $B(2 \pi r) = \mu_{0}(0) \implies B = 0$.
તેથી,પાઇપની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
બાહ્ય બિંદુ માટે જ્યાં $r > R$ છે,માર્ગ કુલ પ્રવાહ $I$ ને ઘેરે છે,તેથી $B(2 \pi r) = \mu_{0} I \implies B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(D) સર્પાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $dr$ જાડાઈનો એક સૂક્ષ્મ ભાગ ધ્યાનમાં લો.
કુલ આંટાની સંખ્યા $= n$.
ગૂંચળાની ત્રિજ્યાની પહોળાઈ $(b - a)$ છે.
એકમ ત્રિજ્યા દીઠ આંટાની સંખ્યા $= \frac{n}{b - a}$.
$dr$ જાડાઈના ભાગમાં આંટાની સંખ્યા $dn = \frac{n}{b - a} dr$ થશે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આ વર્તુળાકાર ભાગને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_{0} I dn}{2r}$ છે.
$dn$ ની કિંમત મૂકતા,$dB = \frac{\mu_{0} I}{2r} \left( \frac{n}{b - a} \right) dr$ મળે.
કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ શોધવા માટે,$r = a$ થી $r = b$ સુધી સંકલન કરતા:
$B = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} [\log_{e} r]_{a}^{b}$.
$B = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \log_{e} \left( \frac{b}{a} \right)$.

(A) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$M = NIA$
જ્યાં:
$N$ એ લૂપમાં રહેલા આંટાઓની સંખ્યા છે,
$I$ એ લૂપમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે,
$A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ માત્ર લૂપના ગુણધર્મો $(N, I, A)$ પર આધાર રાખે છે અને તે લૂપ જે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવ્યું છે તેનાથી સ્વતંત્ર છે.

(B) ટ્રાન્સફોર્મરના કોર માટે,પદાર્થને સરળતાથી મેગ્નેટાઇઝ અને ડીમેગ્નેટાઇઝ કરી શકાય તેવો હોવો જોઈએ જેથી અલ્ટરનેટિંગ કરંટના દરેક ચક્ર દરમિયાન ઉર્જાનો વ્યય ન્યૂનતમ થાય.
વધુ પરમીએબિલિટી પદાર્થને મેગ્નેટિક ફ્લક્સ લાઇનને અસરકારક રીતે કેન્દ્રિત કરવાની મંજૂરી આપે છે,જે કાર્યક્ષમ ઇન્ડક્શન માટે જરૂરી છે.
ઓછો હિસ્ટરેસિસ લોસ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે મેગ્નેટાઇઝેશન ચક્ર દરમિયાન ગરમી તરીકે ગુમાવેલી ઉર્જા ન્યૂનતમ રહે.
તેથી,ટ્રાન્સફોર્મરમાં વપરાતા ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોમાં વધુ પરમીએબિલિટી અને ઓછો હિસ્ટરેસિસ લોસ હોવો જોઈએ.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સંબંધ $E = mc^2$ મુજબ.
અહીં દળ $m = 1 \mu g = 10^{-6} g = 10^{-9} kg$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 m/s$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = 10^{-9} \times (3 \times 10^8)^2 = 10^{-9} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^7 J$.
જૂલને કિલોવોટ-અવર $(kWh)$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $3.6 \times 10^6 J/kWh$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$E = \frac{9 \times 10^7}{3.6 \times 10^6} kWh = 25 kWh$.

(A) ન્યુક્લિયર મેગ્નેટિક રેઝોનન્સ $(NMR)$ એ એક ભૌતિક ઘટના છે જેમાં મજબૂત સ્થિર ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ન્યુક્લિયસને નબળા ઓસિલેટિંગ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા ખલેલ પહોંચાડવામાં આવે છે અને તે ન્યુક્લિયસ પરના ચુંબકીય ક્ષેત્રની લાક્ષણિક આવર્તન સાથે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક સિગ્નલ ઉત્પન્ન કરીને પ્રતિભાવ આપે છે. આ પ્રક્રિયામાં પ્રોટોન્સ (અથવા શૂન્ય ન હોય તેવી સ્પિન ધરાવતા અન્ય ન્યુક્લિયસ) જ્યારે બાહ્ય રેડિયો-ફ્રીક્વન્સી ક્ષેત્રમાંથી ઊર્જા શોષે છે ત્યારે તેમની સ્પિન સ્થિતિ ઊર્જા સ્તરો વચ્ચે બદલાય છે (ફ્લિપ થાય છે).

(C) ધારો કે $t=0$ સમયે શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0$ છે.
ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 1/\lambda$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વિઘટન અચળાંક છે.
રેડિયોએક્ટિવ વિઘટનના નિયમ મુજબ,$t$ સમયે બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે સમય $t$ એ સરેરાશ આયુષ્ય જેટલો છે,એટલે કે $t = \tau = 1/\lambda$.
વિઘટનના સમીકરણમાં $t = 1/\lambda$ મૂકતા:
$N = N_0 e^{-\lambda (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0/e$.
આપણે શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા $(N_0)$ અને $t$ સમયે હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા $(N)$ નો ગુણોત્તર શોધવાનો છે:
ગુણોત્તર $= N_0 / N = N_0 / (N_0 / e) = e$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $\beta$-ઉત્સર્જન રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસમાંથી થાય છે. $\beta^{-}$-ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલો એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિ-ન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z+1}^{A} Y+{ }_{-1} e^{0}+\overline{v}$
ઉદાહરણ તરીકે: ${ }_{15}^{32} P \longrightarrow{ }_{16}^{32} S+{ }_{-1} e^{0}+\overline{v}$
$\beta^{+}$-ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલો એક પ્રોટોન ન્યુટ્રોન,પોઝિટ્રોન અને ન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z-1}^{A} Y+{ }_{+1} e^{0}+v$
ઉદાહરણ તરીકે: ${ }_{11}^{22} Na \longrightarrow{ }_{10}^{22} Ne+{ }_{+1} e^{0}+v$
આમ,આ ઉત્સર્જન ઇલેક્ટ્રોન કક્ષામાંથી નહીં પરંતુ ન્યુક્લિયસમાંથી થાય છે.

(D) આપેલ છે: હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $f_{a} = 0.15 \,m$, કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_{g} = \frac{3}{2}$, પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_{w} = \frac{4}{3}$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$, જ્યાં $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$.
હવા માટે: $\frac{1}{f_{a}} = \left( \frac{\mu_{g}}{\mu_{a}} - 1 \right) C$, જ્યાં $C = \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$.
$\frac{1}{0.15} = \left( \frac{3/2}{1} - 1 \right) C = \frac{1}{2} C \implies C = \frac{2}{0.15} = \frac{40}{3}$.
પાણી માટે: $\frac{1}{f_{w}} = \left( \frac{\mu_{g}}{\mu_{w}} - 1 \right) C$.
$\frac{1}{f_{w}} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) C = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) C = \frac{1}{8} C$.
$C = \frac{40}{3}$ કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{f_{w}} = \frac{1}{8} \times \frac{40}{3} = \frac{5}{3}$.
તેથી, $f_{w} = \frac{3}{5} = 0.6 \,m$.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું સમાંતર કિરણપુંજ બહિર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે,ત્યારે તે લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થાય છે.
જેમ જેમ આપણે મુખ્ય અક્ષ પર લેન્સથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ કિરણપુંજ પહેલા મુખ્ય કેન્દ્ર તરફ કેન્દ્રિત થાય છે,જેના કારણે કિરણપુંજનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે,જે પ્રકાશની તીવ્રતામાં વધારો કરે છે.
મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થયા પછી,કિરણપુંજ અપસારી થવા લાગે છે,જેના કારણે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ વધે છે,જે પ્રકાશની તીવ્રતામાં ઘટાડો કરે છે.
તેથી,પ્રકાશની તીવ્રતા પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(C) રેલેના માપદંડ (Rayleigh's criterion) મુજબ, કોણીય વિભેદન મર્યાદા $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d_e}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $d_e$ એ આંખની કીકીનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 500 \,nm = 500 \times 10^{-9} \,m$, $d_e = 2.5 \times 10^{-3} \,m$, અને અંતર $D = 10 \,km = 10^4 \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-3}} = 2.44 \times 10^{-4} \,rad$.
વિભેદન અંતર $a$ એ કોણીય વિભેદન સાથે $\theta = \frac{a}{D}$ સંબંધ ધરાવે છે.
તેથી, $a = D \times \theta = 10^4 \,m \times 2.44 \times 10^{-4} \,rad = 2.44 \,m$.

(B) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો કોણ અથવા વક્રીભવન કોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{m}$ એ વક્રીભવન કોણ $A$ જેટલો છે,તેથી $\delta_{m} = A = 60^{\circ}$.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$.
$\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
કારણ કે $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(C) આપેલ છે કે,આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,પરાવર્તન કોણ $r$ એ આપાતકોણ $i$ જેટલો જ હોય છે,તેથી $r = 60^{\circ}$.
સમતલ અરીસા દ્વારા ઉત્પન્ન થતો વિચલન કોણ $\delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\delta = 180^{\circ} - (i + r)$
અહીં $i = r = 60^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\delta = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ})$
$\delta = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

(B) આપેલ છે: આપાતકોણ $i = 45^{\circ}$.
એકમ જાડાઈ દીઠ પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $\frac{d}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{t \sin(i - r)}{\cos r}$ છે,જ્યાં $t$ એ જાડાઈ છે અને $r$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{d}{t} = \frac{\sin(i - r)}{\cos r}$.
$\sin(i - r)$ નું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{d}{t} = \frac{\sin i \cos r - \cos i \sin r}{\cos r} = \sin i - \cos i \tan r$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \sin 45^{\circ} - \cos 45^{\circ} \tan r$.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - \tan r)$.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 1 - \tan r$.
તેથી,$\tan r = 1 - \sqrt{\frac{2}{3}}$.
આમ,$r = \tan^{-1}\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right)$.

(D) કોમન એમિટર $(CE)$ એમ્પ્લીફાયરમાં,ઇનપુટ સિગ્નલ $(V_i)$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરના બેઝ $(B)$ અને એમિટર $(E)$ ટર્મિનલ વચ્ચે લાગુ કરવામાં આવે છે.
પરિપથ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ઇનપુટ સિગ્નલને કેપેસિટર $(C_1)$ દ્વારા બેઝ સાથે જોડવામાં આવે છે,જ્યારે એમિટર ઇનપુટ અને આઉટપુટ બંને પરિપથો માટે સામાન્ય હોય છે અને સામાન્ય રીતે ગ્રાઉન્ડ કરેલું હોય છે.
તેથી,ઇનપુટ વોલ્ટેજ બેઝ-એમિટર જંકશન પર લાગુ કરવામાં આવે છે.

(A) પરિપથ $A$ માટે: $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $1$ અને $1$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $0$ મળે છે. આ $0$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરતા તે $1$ બને છે. $OR$ ગેટને $1$ અને $0$ ઇનપુટ મળે છે,જેના પરિણામે આઉટપુટ $1$ મળે છે.
પરિપથ $B$ માટે: ઇનપુટ $0$ અને $1$ ને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરતા તે અનુક્રમે $1$ અને $0$ બને છે. આ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ છે. $1 \text{ AND } 0 = 0$ હોવાથી,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $1$ મળે છે.
પરિપથ $C$ માટે: $OR$ ગેટને $1$ અને $1$ ઇનપુટ મળે છે,જેનું આઉટપુટ $1$ થાય છે. પરંતુ આકૃતિમાં $OR$ ગેટ પછી $NOT$ બબલ દર્શાવેલ છે (જે તેને $NOR$ ગેટ બનાવે છે),તેથી આઉટપુટ $0$ મળે છે. આ $0$ અને ઇનપુટ $1$ ને $AND$ ગેટમાં આપતા આઉટપુટ $0$ મળે છે.
આમ,આઉટપુટ અનુક્રમે $1, 1, 0$ છે.

(A) બે સ્ત્રોતોને સુસંબદ્ધ (coherent) ત્યારે કહેવામાં આવે છે જો તેઓ એવા તરંગો ઉત્સર્જિત કરે જે સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે.
ગાણિતિક રીતે,કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$.
વ્યતિકરણ ભાત સ્થાયી અને અવલોકનક્ષમ રહે તે માટે,બે સ્ત્રોતોમાંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત સમય સાથે બદલાવો જોઈએ નહીં.
તેથી,સુસંબદ્ધતા માટેની પાયાની જરૂરિયાત એ છે કે સ્ત્રોતો વચ્ચે અચળ કળા તફાવત હોવો જોઈએ.

(C) કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
સંવિનાશી વ્યતિકરણ માટે,કળા તફાવત $\pi$ નો બેકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta \phi = 2n\pi$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2n\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
પથ તફાવત $(\Delta x)$ માટે ઉકેલતા:
$\Delta x = n\lambda$

(B) ન્યૂટનના કોર્પસ્ક્યુલર સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશ નાના કણોનો બનેલો છે જેને કોર્પસ્કલ્સ કહેવામાં આવે છે. ન્યૂટને પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો કે આ કણો ઘટ્ટ માધ્યમમાં વધુ ઝડપથી ગતિ કરે છે કારણ કે ઘટ્ટ માધ્યમના કણો દ્વારા કોર્પસ્કલ્સ પર લાગતું આકર્ષણ બળ તેમનો વેગ વધારે છે. તેથી,આ સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રકાશની ઝડપ પાતળા માધ્યમમાં ઓછી અને ઘટ્ટ માધ્યમમાં વધારે હોય છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી કાચની પ્લેટને એક સ્લિટના પ્રકાશના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશીય પથ લંબાઈ $(\mu - 1)t$ જેટલી વધે છે.
આના કારણે સમગ્ર વ્યતિકરણ ભાત $y_0 = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ જેટલા અંતરે સ્થાનાંતરિત થાય છે.
જો કે,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ માત્ર તરંગલંબાઇ $\lambda$,અંતર $D$ અને સ્લિટ વચ્ચેના અંતર $d$ પર આધાર રાખે છે. આ પરિમાણો બદલાતા ન હોવાથી,શલાકાની પહોળાઈ અચળ રહે છે.
તેથી,શલાકાની પહોળાઈ $0.3 \,mm$ જ રહેશે.