MathematicsQ1–60 of 60 questions
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1
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
यदि एक त्रिभुज की एक भुजा दूसरी भुजा की दोगुनी है और इन भुजाओं के सम्मुख कोणों का अंतर $60^{\circ}$ है,तो त्रिभुज है
A
अधिककोणीय
B
समकोणीय
C
न्यूनकोणीय
D
समद्विबाहु
Solution
(B) $\triangle ABC$ में,ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.
दी गई शर्त के अनुसार,$a = 2b$ और $A - B = 60^{\circ}$,इसलिए $A = 60^{\circ} + B$.
ज्या नियम में मान रखने पर:
$\frac{\sin(60^{\circ} + B)}{2b} = \frac{\sin B}{b}$
$\sin(60^{\circ} + B) = 2 \sin B$
$\sin 60^{\circ} \cos B + \cos 60^{\circ} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B = \frac{3}{2} \sin B$
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$B = 30^{\circ}$.
तब $A = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
चूंकि एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए त्रिभुज समकोणीय है।
दी गई शर्त के अनुसार,$a = 2b$ और $A - B = 60^{\circ}$,इसलिए $A = 60^{\circ} + B$.
ज्या नियम में मान रखने पर:
$\frac{\sin(60^{\circ} + B)}{2b} = \frac{\sin B}{b}$
$\sin(60^{\circ} + B) = 2 \sin B$
$\sin 60^{\circ} \cos B + \cos 60^{\circ} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B = \frac{3}{2} \sin B$
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$B = 30^{\circ}$.
तब $A = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
चूंकि एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए त्रिभुज समकोणीय है।
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2
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
यदि $ax + by = 1$ है,जहाँ $a, b, x$ और $y$ पूर्णांक हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?
A
$(a, y) = 1$
B
$(x, y) = 1$
C
$(b, y) = 1$
D
$(a, b) = 1$
Solution
(C) समीकरण $ax + by = 1$ एक रैखिक डायोफेंटाइन समीकरण है।
बेज़ौट की प्रमेय के अनुसार,समीकरण $ax + by = c$ के पूर्णांक हल तभी संभव हैं जब $\gcd(a, b)$,$c$ को विभाजित करे।
यहाँ $c = 1$ है,इसलिए $\gcd(a, b) = 1$ होना आवश्यक है। अतः,विकल्प $(d)$ सत्य है।
विकल्प $(c)$ अर्थात $\gcd(b, y) = 1$ का होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $a=1, b=2, x=1, y=0$ लें,तो $1(1) + 2(0) = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ $\gcd(b, y) = \gcd(2, 0) = 2 \neq 1$ है। अतः,विकल्प $(c)$ सत्य नहीं है।
बेज़ौट की प्रमेय के अनुसार,समीकरण $ax + by = c$ के पूर्णांक हल तभी संभव हैं जब $\gcd(a, b)$,$c$ को विभाजित करे।
यहाँ $c = 1$ है,इसलिए $\gcd(a, b) = 1$ होना आवश्यक है। अतः,विकल्प $(d)$ सत्य है।
विकल्प $(c)$ अर्थात $\gcd(b, y) = 1$ का होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $a=1, b=2, x=1, y=0$ लें,तो $1(1) + 2(0) = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ $\gcd(b, y) = \gcd(2, 0) = 2 \neq 1$ है। अतः,विकल्प $(c)$ सत्य नहीं है।
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MathematicsEasyMCQKCET · 2009
यदि $\alpha$ और $\beta$,$x^{2}+x+1=0$ के मूल हैं,तो $\alpha^{16}+\beta^{16}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$-1$
C
$2$
D
$0$
Solution
(B) दिया गया समीकरण $x^{2}+x+1=0$ है।
इस समीकरण के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^{2}$।
हमें $\alpha^{16} + \beta^{16} = \omega^{16} + (\omega^{2})^{16}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\omega^{16} = (\omega^{3})^{5} \cdot \omega = 1^{5} \cdot \omega = \omega$।
इसी प्रकार,$\omega^{32} = (\omega^{3})^{10} \cdot \omega^{2} = 1^{10} \cdot \omega^{2} = \omega^{2}$।
अतः,$\alpha^{16} + \beta^{16} = \omega + \omega^{2}$।
चूंकि $1 + \omega + \omega^{2} = 0$,इसलिए $\omega + \omega^{2} = -1$।
इस समीकरण के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^{2}$।
हमें $\alpha^{16} + \beta^{16} = \omega^{16} + (\omega^{2})^{16}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\omega^{3} = 1$,इसलिए $\omega^{16} = (\omega^{3})^{5} \cdot \omega = 1^{5} \cdot \omega = \omega$।
इसी प्रकार,$\omega^{32} = (\omega^{3})^{10} \cdot \omega^{2} = 1^{10} \cdot \omega^{2} = \omega^{2}$।
अतः,$\alpha^{16} + \beta^{16} = \omega + \omega^{2}$।
चूंकि $1 + \omega + \omega^{2} = 0$,इसलिए $\omega + \omega^{2} = -1$।
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4
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
सम्मिश्र संख्या $\frac{1+2i}{1-i}$ किस चतुर्थांश में स्थित है?
A
द्वितीय चतुर्थांश
B
तृतीय चतुर्थांश
C
चतुर्थ चतुर्थांश
D
प्रथम चतुर्थांश
Solution
(A) सम्मिश्र संख्या को सरल करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1+i)$ से गुणा करते हैं:
$\frac{1+2i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i+2i+2i^2}{1^2-i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए:
$\frac{1+3i-2}{1-(-1)} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$
वास्तविक भाग $-\frac{1}{2}$ (ऋणात्मक) है और काल्पनिक भाग $\frac{3}{2}$ (धनात्मक) है।
ऋणात्मक वास्तविक भाग और धनात्मक काल्पनिक भाग वाली सम्मिश्र संख्या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होती है।
$\frac{1+2i}{1-i} \times \frac{1+i}{1+i} = \frac{1+i+2i+2i^2}{1^2-i^2}$
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए:
$\frac{1+3i-2}{1-(-1)} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$
वास्तविक भाग $-\frac{1}{2}$ (ऋणात्मक) है और काल्पनिक भाग $\frac{3}{2}$ (धनात्मक) है।
ऋणात्मक वास्तविक भाग और धनात्मक काल्पनिक भाग वाली सम्मिश्र संख्या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित होती है।
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5
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
$n$ का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\left[\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right]^{n} = 1$ हो।
A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
$8$
Solution
(D) माना $z = \frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$ और $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$ का उपयोग करते हुए,$\alpha = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$ लें।
तब $z = \frac{1+\cos \alpha + i \sin \alpha}{1+\cos \alpha - i \sin \alpha} = \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} - i \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{e^{i \alpha/2}}{e^{-i \alpha/2}} = e^{i \alpha}$.
अतः,$z^n = e^{i n \alpha} = e^{i n (3\pi/8)} = \cos(\frac{3n\pi}{8}) + i \sin(\frac{3n\pi}{8})$.
$z^n = 1$ के लिए,$\sin(\frac{3n\pi}{8}) = 0$ और $\cos(\frac{3n\pi}{8}) = 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\frac{3n\pi}{8} = 2k\pi$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$3n = 16k \implies n = \frac{16k}{3}$.
सबसे छोटे धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$k=3$ रखने पर,$n = 16$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$ और $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$ का उपयोग करते हुए,$\alpha = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$ लें।
तब $z = \frac{1+\cos \alpha + i \sin \alpha}{1+\cos \alpha - i \sin \alpha} = \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} - i \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{e^{i \alpha/2}}{e^{-i \alpha/2}} = e^{i \alpha}$.
अतः,$z^n = e^{i n \alpha} = e^{i n (3\pi/8)} = \cos(\frac{3n\pi}{8}) + i \sin(\frac{3n\pi}{8})$.
$z^n = 1$ के लिए,$\sin(\frac{3n\pi}{8}) = 0$ और $\cos(\frac{3n\pi}{8}) = 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\frac{3n\pi}{8} = 2k\pi$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$3n = 16k \implies n = \frac{16k}{3}$.
सबसे छोटे धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$k=3$ रखने पर,$n = 16$ प्राप्त होता है।
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6
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
यदि $P$,आर्गंड आरेख में सम्मिश्र संख्या $\sqrt{3}+i$ के संगत बिंदु है और यदि $OPQ$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,जिसका समकोण $O$ पर है,तो $Q$ किस सम्मिश्र संख्या को दर्शाता है?
A
$-1+i\sqrt{3}$ या $1-i\sqrt{3}$
B
$1 \pm i\sqrt{3}$
C
$\sqrt{3}-i$ या $1-i\sqrt{3}$
D
$-1 \pm i\sqrt{3}$
Solution
(A) माना $z = \sqrt{3}+i$ है। मापांक $|z| = 2$ और कोणांक $\arg(z) = 30^{\circ}$ है।
चूंकि $OPQ$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle POQ = 90^{\circ}$ है,इसलिए $Q$ को $P$ को $90^{\circ}$ के कोण पर दक्षिणावर्त या वामावर्त घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है।
यदि हम $+90^{\circ}$ घुमाते हैं,तो $Q$ का कोणांक $30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा। सम्मिश्र संख्या $2(\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}) = -1 + i\sqrt{3}$ होगी।
यदि हम $-90^{\circ}$ घुमाते हैं,तो $Q$ का कोणांक $30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}$ होगा। सम्मिश्र संख्या $2(\cos(-60^{\circ}) + i\sin(-60^{\circ})) = 1 - i\sqrt{3}$ होगी।
अतः,$Q$ का मान $-1+i\sqrt{3}$ या $1-i\sqrt{3}$ है।
चूंकि $OPQ$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle POQ = 90^{\circ}$ है,इसलिए $Q$ को $P$ को $90^{\circ}$ के कोण पर दक्षिणावर्त या वामावर्त घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है।
यदि हम $+90^{\circ}$ घुमाते हैं,तो $Q$ का कोणांक $30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा। सम्मिश्र संख्या $2(\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}) = -1 + i\sqrt{3}$ होगी।
यदि हम $-90^{\circ}$ घुमाते हैं,तो $Q$ का कोणांक $30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}$ होगा। सम्मिश्र संख्या $2(\cos(-60^{\circ}) + i\sin(-60^{\circ})) = 1 - i\sqrt{3}$ होगी।
अतः,$Q$ का मान $-1+i\sqrt{3}$ या $1-i\sqrt{3}$ है।
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7
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
यदि $1+\sin x+\sin ^{2} x+\ldots$ अनंत तक $= 4+2 \sqrt{3}$,जहाँ $0 < x < \pi$ और $x \neq \frac{\pi}{2}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}$
B
$\frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{6}$
C
$\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}$
D
$\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$
Solution
(C) दी गई अभिव्यक्ति एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \sin x$ है।
चूंकि योग $4+2 \sqrt{3}$ है,हम सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हैं:
$\frac{1}{1-\sin x} = 4+2 \sqrt{3}$
$1-\sin x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$1-\sin x = \frac{4-2 \sqrt{3}}{(4+2 \sqrt{3})(4-2 \sqrt{3})} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$0 < x < \pi$ के लिए,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = \frac{2 \pi}{3}$ हैं।
चूंकि योग $4+2 \sqrt{3}$ है,हम सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हैं:
$\frac{1}{1-\sin x} = 4+2 \sqrt{3}$
$1-\sin x = \frac{1}{4+2 \sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$1-\sin x = \frac{4-2 \sqrt{3}}{(4+2 \sqrt{3})(4-2 \sqrt{3})} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{16-12} = \frac{4-2 \sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$0 < x < \pi$ के लिए,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = \frac{2 \pi}{3}$ हैं।
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8
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
यदि $n = (2020)!$ है,तो $\frac{1}{\log _{2} n} + \frac{1}{\log _{3} n} + \frac{1}{\log _{4} n} + \ldots + \frac{1}{\log _{2020} n}$ का मान किसके बराबर है?
A
$2020$
B
$1$
C
$(2020)!$
D
$0$
Solution
(B) गुणधर्म $\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\log _{n} 2 + \log _{n} 3 + \log _{n} 4 + \ldots + \log _{n} 2020$
गुणधर्म $\log _{b} x + \log _{b} y = \log _{b} (xy)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\log _{n} (2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times 2020)$
चूंकि $n = (2020)!$ है,इसलिए व्यंजक बन जाता है:
$\log _{n} (n) = 1$
$\log _{n} 2 + \log _{n} 3 + \log _{n} 4 + \ldots + \log _{n} 2020$
गुणधर्म $\log _{b} x + \log _{b} y = \log _{b} (xy)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\log _{n} (2 \times 3 \times 4 \times \ldots \times 2020)$
चूंकि $n = (2020)!$ है,इसलिए व्यंजक बन जाता है:
$\log _{n} (n) = 1$
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9
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $n^{3}+2n$ किससे विभाज्य है?
A
$2$
B
$6$
C
$15$
D
$3$
Solution
(D) माना $P(n) = n^{3} + 2n$.
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 1^{3} + 2(1) = 3$.
$n = 2$ के लिए,$P(2) = 2^{3} + 2(2) = 12$.
$n = 3$ के लिए,$P(3) = 3^{3} + 2(3) = 33$.
यहाँ हम देख सकते हैं कि ये सभी संख्याएँ $3$ से विभाज्य हैं।
$n = 1$ के लिए,$P(1) = 1^{3} + 2(1) = 3$.
$n = 2$ के लिए,$P(2) = 2^{3} + 2(2) = 12$.
$n = 3$ के लिए,$P(3) = 3^{3} + 2(3) = 33$.
यहाँ हम देख सकते हैं कि ये सभी संख्याएँ $3$ से विभाज्य हैं।
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10
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
$(x+y)^{100} + (x-y)^{100}$ के विस्तार में सरलीकरण के बाद पदों की कुल संख्या क्या है?
A
$51$
B
$202$
C
$100$
D
$50$
Solution
(A) माना $f(x) = (x+y)^{100} + (x-y)^{100}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ और $(x-y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} (-y)^k$ है।
इनका योग करने पर,विषम घात वाले पद कट जाते हैं और केवल सम घात वाले पद शेष रहते हैं: $2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots, n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$।
$n = 100$ के लिए,पदों की संख्या $\frac{n}{2} + 1 = \frac{100}{2} + 1 = 51$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ और $(x-y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} (-y)^k$ है।
इनका योग करने पर,विषम घात वाले पद कट जाते हैं और केवल सम घात वाले पद शेष रहते हैं: $2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots, n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$।
$n = 100$ के लिए,पदों की संख्या $\frac{n}{2} + 1 = \frac{100}{2} + 1 = 51$ है।
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11
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
संख्या $2009! + 3^{7886}$ के इकाई के स्थान पर अंक है
A
$7$
B
$3$
C
$1$
D
$9$
Solution
(D) $2009!$ के इकाई के स्थान पर अंक $0$ है क्योंकि $2009!$ में $2$ और $5$ गुणनखंड हैं,जो इसे $10$ का गुणज बनाते हैं।
अब,$3$ की घातों पर विचार करें:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
इकाई के अंक $4$ के चक्र में दोहराते हैं: $(3, 9, 7, 1)$।
हम घातांक $7886$ को $4$ से विभाजित करते हैं:
$7886 = 4 \times 1971 + 2$।
अतः,$3^{7886}$ के इकाई के स्थान का अंक $3^2$ के इकाई के अंक के समान है,जो $9$ है।
इसलिए,$2009! + 3^{7886}$ के इकाई के स्थान का अंक $0 + 9 = 9$ है।
अब,$3$ की घातों पर विचार करें:
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
इकाई के अंक $4$ के चक्र में दोहराते हैं: $(3, 9, 7, 1)$।
हम घातांक $7886$ को $4$ से विभाजित करते हैं:
$7886 = 4 \times 1971 + 2$।
अतः,$3^{7886}$ के इकाई के स्थान का अंक $3^2$ के इकाई के अंक के समान है,जो $9$ है।
इसलिए,$2009! + 3^{7886}$ के इकाई के स्थान का अंक $0 + 9 = 9$ है।
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12
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
यदि $f(x) = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2} x^{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} x^{3} + \ldots + x^{n}$ है,तो $f^{\prime \prime}(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$n(n-1) 2^{n-1}$
B
$(n-1) 2^{n-1}$
C
$n(n-1) 2^{n-2}$
D
$n(n-1) 2^{n}$
Solution
(C) दिया गया $f(x)$,$(1+x)^{n}$ का द्विपद विस्तार है।
$f(x) = (1+x)^{n}$
$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = n(1+x)^{n-1}$
$x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन करने पर:
$f^{\prime \prime}(x) = n(n-1)(1+x)^{n-2}$
$x = 1$ रखने पर:
$f^{\prime \prime}(1) = n(n-1)(1+1)^{n-2}$
$f^{\prime \prime}(1) = n(n-1) 2^{n-2}$
$f(x) = (1+x)^{n}$
$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = n(1+x)^{n-1}$
$x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन करने पर:
$f^{\prime \prime}(x) = n(n-1)(1+x)^{n-2}$
$x = 1$ रखने पर:
$f^{\prime \prime}(1) = n(n-1)(1+1)^{n-2}$
$f^{\prime \prime}(1) = n(n-1) 2^{n-2}$
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13
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
निम्नलिखित में से कौन सा संभव है?
A
$\sin \theta = \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}, (a \neq b)$
B
$\sec \theta = \frac{4}{5}$
C
$\tan \theta = 45$
D
$\cos \theta = \frac{7}{3}$
Solution
(C) $\sin \theta$ और $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है। $\sec \theta$ का परिसर $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है। $\tan \theta$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ है।
$(a)$ $\sin \theta = \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$ के लिए,यदि हम $a=2, b=1$ लें,तो $\sin \theta = \frac{5}{3} > 1$ होगा,जो संभव नहीं है।
$(b)$ $\sec \theta = \frac{4}{5} = 0.8$ के लिए,जो संभव नहीं है क्योंकि $|\sec \theta| \geq 1$ होता है।
$(c)$ $\tan \theta = 45$ के लिए,यह संभव है क्योंकि $\tan \theta$ का परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
$(d)$ $\cos \theta = \frac{7}{3} > 1$ के लिए,जो संभव नहीं है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।
$(a)$ $\sin \theta = \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$ के लिए,यदि हम $a=2, b=1$ लें,तो $\sin \theta = \frac{5}{3} > 1$ होगा,जो संभव नहीं है।
$(b)$ $\sec \theta = \frac{4}{5} = 0.8$ के लिए,जो संभव नहीं है क्योंकि $|\sec \theta| \geq 1$ होता है।
$(c)$ $\tan \theta = 45$ के लिए,यह संभव है क्योंकि $\tan \theta$ का परिसर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।
$(d)$ $\cos \theta = \frac{7}{3} > 1$ के लिए,जो संभव नहीं है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।
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14
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
$3(\sin x-\cos x)^{4}+6(\sin x+\cos x)^{2}+4(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x)$ का मान क्या है?
A
$12$
B
$13$
C
$14$
D
$11$
Solution
(B) माना $f(x) = 3(\sin x-\cos x)^{4}+6(\sin x+\cos x)^{2}+4(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x)$.
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$3(\sin x-\cos x)^{4} = 3(1-2\sin x\cos x)^{2} = 3+12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin x\cos x$.
$6(\sin x+\cos x)^{2} = 6+12\sin x\cos x$.
$4(\sin^{6}x+\cos^{6}x) = 4(1-3\sin^{2}x\cos^{2}x) = 4-12\sin^{2}x\cos^{2}x$.
सभी का योग करने पर:
$f(x) = 3+6+4 + (12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin^{2}x\cos^{2}x) + (-12\sin x\cos x+12\sin x\cos x) = 13$.
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$3(\sin x-\cos x)^{4} = 3(1-2\sin x\cos x)^{2} = 3+12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin x\cos x$.
$6(\sin x+\cos x)^{2} = 6+12\sin x\cos x$.
$4(\sin^{6}x+\cos^{6}x) = 4(1-3\sin^{2}x\cos^{2}x) = 4-12\sin^{2}x\cos^{2}x$.
सभी का योग करने पर:
$f(x) = 3+6+4 + (12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin^{2}x\cos^{2}x) + (-12\sin x\cos x+12\sin x\cos x) = 13$.
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15
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रेखाओं के युग्म $x^{2}+2xy-y^{2}=0$ के बीच का कोण है
A
$\frac{\pi}{6}$
B
$\frac{\pi}{2}$
C
$0$
D
$\frac{\pi}{3}$
Solution
(B) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $x^{2}+2xy-y^{2}=0$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$h=1$,और $b=-1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ द्वारा निरूपित रेखाएं लंबवत होती हैं यदि $a+b=0$ हो।
यहाँ,$a+b = 1 + (-1) = 0$ है।
चूंकि $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
इसे सामान्य रूप $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$h=1$,और $b=-1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ द्वारा निरूपित रेखाएं लंबवत होती हैं यदि $a+b=0$ हो।
यहाँ,$a+b = 1 + (-1) = 0$ है।
चूंकि $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
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16
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एक त्रिभुज के शीर्ष $(6,0), (0,6)$ और $(6,6)$ हैं। इसके परिकेंद्र और केंद्रक के बीच की दूरी है
A
$2$
B
$\sqrt{2}$
C
$1$
D
$2\sqrt{2}$
Solution
(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(6,0), B(0,6)$ और $C(6,6)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$AB = \sqrt{(0-6)^2 + (6-0)^2} = 6\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(6-0)^2 + (6-6)^2} = 6$
$CA = \sqrt{(6-6)^2 + (0-6)^2} = 6$
चूँकि $AB^2 = BC^2 + CA^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु होता है।
परिकेंद्र $O = (3,3)$.
केंद्रक $G = \left(\frac{6+0+6}{3}, \frac{0+6+6}{3}\right) = (4,4)$.
परिकेंद्र और केंद्रक के बीच की दूरी $= \sqrt{(4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2}$.
भुजाओं की लंबाई:
$AB = \sqrt{(0-6)^2 + (6-0)^2} = 6\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(6-0)^2 + (6-6)^2} = 6$
$CA = \sqrt{(6-6)^2 + (0-6)^2} = 6$
चूँकि $AB^2 = BC^2 + CA^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु होता है।
परिकेंद्र $O = (3,3)$.
केंद्रक $G = \left(\frac{6+0+6}{3}, \frac{0+6+6}{3}\right) = (4,4)$.
परिकेंद्र और केंद्रक के बीच की दूरी $= \sqrt{(4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2}$.
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बिंदु $(2,4)$ से रेखा $x+y=4$ पर डाले गए लंब का पाद (foot of the perpendicular) है:
A
$(2,2)$
B
$(4,0)$
C
$(1,3)$
D
$(3,-1)$
Solution
(C) माना दी गई रेखा $L_1: x+y=4$ है। $L_1$ की प्रवणता $m_1 = -1$ है।
$L_1$ के लंबवत रेखा $L_2$ की प्रवणता $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ होगी।
बिंदु $(2,4)$ से गुजरने वाली रेखा $L_2$ का समीकरण $y-4 = 1(x-2)$ है,जो $y-x=2$ में सरल हो जाता है।
लंब के पाद को ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों के निकाय को हल करते हैं:
$x+y=4$
$y-x=2$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2y = 6 \Rightarrow y=3$ प्राप्त होता है।
$y=3$ को $x+y=4$ में रखने पर,$x+3=4 \Rightarrow x=1$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब का पाद $(1,3)$ है।
$L_1$ के लंबवत रेखा $L_2$ की प्रवणता $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ होगी।
बिंदु $(2,4)$ से गुजरने वाली रेखा $L_2$ का समीकरण $y-4 = 1(x-2)$ है,जो $y-x=2$ में सरल हो जाता है।
लंब के पाद को ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों के निकाय को हल करते हैं:
$x+y=4$
$y-x=2$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2y = 6 \Rightarrow y=3$ प्राप्त होता है।
$y=3$ को $x+y=4$ में रखने पर,$x+3=4 \Rightarrow x=1$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब का पाद $(1,3)$ है।
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18
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मूल बिंदु से गुजरने वाले और $y=x+1$ को व्यास के रूप में रखने वाले सबसे छोटे वृत्त के केंद्र के निर्देशांक हैं
A
$\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$
B
$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$
C
$(-1, 0)$
D
$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$
Solution
(D) मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाले और रेखा $y = x + 1$ पर व्यास रखने वाले सबसे छोटे वृत्त के लिए,वृत्त का केंद्र मूल बिंदु का रेखा $y = x + 1$ पर प्रक्षेप (projection) होना चाहिए।
रेखा $y = x + 1$ को $x - y + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $x - y + 1 = 0$ के लंबवत और मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y = k$ के रूप में होगा।
चूंकि यह $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 + 0 = k$,जिसका अर्थ है $k = 0$।
अतः लंबवत रेखा $x + y = 0$ या $y = -x$ है।
केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम $y = x + 1$ और $y = -x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y = -x$ को $y = x + 1$ में रखने पर,$-x = x + 1$,जिसका अर्थ है $2x = -1$,यानी $x = -\frac{1}{2}$।
तब $y = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
रेखा $y = x + 1$ को $x - y + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $x - y + 1 = 0$ के लंबवत और मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x + y = k$ के रूप में होगा।
चूंकि यह $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 + 0 = k$,जिसका अर्थ है $k = 0$।
अतः लंबवत रेखा $x + y = 0$ या $y = -x$ है।
केंद्र ज्ञात करने के लिए,हम $y = x + 1$ और $y = -x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y = -x$ को $y = x + 1$ में रखने पर,$-x = x + 1$,जिसका अर्थ है $2x = -1$,यानी $x = -\frac{1}{2}$।
तब $y = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ है।
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एक गाय को एक रस्सी से खंभे से बांधा गया है। गाय रस्सी को हमेशा तना हुआ रखकर एक वृत्ताकार पथ पर चलती है। यदि वह केंद्र पर $72^{\circ}$ का कोण बनाते हुए $44 \ m$ की दूरी तय करती है,तो रस्सी की लंबाई क्या है ($m$ में)?
A
$22$
B
$56$
C
$45$
D
$35$
Solution
(D) चाप की लंबाई $s$ का सूत्र है: $s = 2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$
यहाँ $s = 44 \ m$ और $\theta = 72^{\circ}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{72}{360^{\circ}}$
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$
अतः,$44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{1}{5}$
$44 = \frac{44}{35} \times r$
$r = \frac{44 \times 35}{44} = 35 \ m$
अतः,रस्सी की लंबाई $35 \ m$ है।
यहाँ $s = 44 \ m$ और $\theta = 72^{\circ}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{72}{360^{\circ}}$
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$
अतः,$44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r \times \frac{1}{5}$
$44 = \frac{44}{35} \times r$
$r = \frac{44 \times 35}{44} = 35 \ m$
अतः,रस्सी की लंबाई $35 \ m$ है।
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20
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वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ की उन जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है जो मूल बिंदु पर समकोण बनाती हैं?
A
$x^{2}+y^{2}=1$
B
$x^{2}+y^{2}=2$
C
$x+y=1$
D
$x+y=2$
Solution
(B) माना जीवा $AB$ का मध्य बिंदु $C(x_{1}, y_{1})$ है। मूल बिंदु $O(0, 0)$ है।
चूंकि जीवा $AB$ मूल बिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए $\angle AOB = 90^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,$OA = OB = r = 2$ (वृत्त की त्रिज्या)।
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $OC \perp AB$।
$\Delta OCB$ में,$\angle COB = \frac{1}{2} \angle AOB = 45^{\circ}$।
$\Delta OCB$ में त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर:
$\cos(45^{\circ}) = \frac{OC}{OB}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}{4}$
$x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 2$
$(x_{1}, y_{1})$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^{2} + y^{2} = 2$ है।
चूंकि जीवा $AB$ मूल बिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए $\angle AOB = 90^{\circ}$।
$\Delta OAB$ में,$OA = OB = r = 2$ (वृत्त की त्रिज्या)।
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $OC \perp AB$।
$\Delta OCB$ में,$\angle COB = \frac{1}{2} \angle AOB = 45^{\circ}$।
$\Delta OCB$ में त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर:
$\cos(45^{\circ}) = \frac{OC}{OB}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}{4}$
$x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 2$
$(x_{1}, y_{1})$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^{2} + y^{2} = 2$ है।
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21
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वृत्त $x^{2}+y^{2}=16$ पर स्थित बिंदुओं $(4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ और $(4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ को जोड़ने वाली जीवा की लंबाई क्या है?
A
$4$
B
$8$
C
$16$
D
$2$
Solution
(A) बिंदु $P = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ और $Q = (4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,जीवा $PQ$ की लंबाई:
$PQ = \sqrt{(4 \cos (\theta+60^{\circ}) - 4 \cos \theta)^2 + (4 \sin (\theta+60^{\circ}) - 4 \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{(\cos (\theta+60^{\circ}) - \cos \theta)^2 + (\sin (\theta+60^{\circ}) - \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{\cos^2 (\theta+60^{\circ}) + \cos^2 \theta - 2 \cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin^2 (\theta+60^{\circ}) + \sin^2 \theta - 2 \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta}$
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए:
$PQ = 4 \sqrt{1 + 1 - 2 (\cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta)}$
$\cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos ((\theta+60^{\circ}) - \theta)}$
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos 60^{\circ}}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \times \frac{1}{2}} = 4 \sqrt{2 - 1} = 4 \times 1 = 4$.
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,जीवा $PQ$ की लंबाई:
$PQ = \sqrt{(4 \cos (\theta+60^{\circ}) - 4 \cos \theta)^2 + (4 \sin (\theta+60^{\circ}) - 4 \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{(\cos (\theta+60^{\circ}) - \cos \theta)^2 + (\sin (\theta+60^{\circ}) - \sin \theta)^2}$
$PQ = 4 \sqrt{\cos^2 (\theta+60^{\circ}) + \cos^2 \theta - 2 \cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin^2 (\theta+60^{\circ}) + \sin^2 \theta - 2 \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta}$
$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ का उपयोग करते हुए:
$PQ = 4 \sqrt{1 + 1 - 2 (\cos (\theta+60^{\circ}) \cos \theta + \sin (\theta+60^{\circ}) \sin \theta)}$
$\cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos ((\theta+60^{\circ}) - \theta)}$
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \cos 60^{\circ}}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$:
$PQ = 4 \sqrt{2 - 2 \times \frac{1}{2}} = 4 \sqrt{2 - 1} = 4 \times 1 = 4$.
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22
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उस वृत्त के व्यास की लंबाई क्या है जो निम्नलिखित तीन वृत्तों को लंबकोणीय (orthogonally) काटता है:
$x^{2}+y^{2}-x-y-14=0$
$x^{2}+y^{2}+3x-5y-10=0$
$x^{2}+y^{2}-2x+3y-27=0$
$x^{2}+y^{2}-x-y-14=0$
$x^{2}+y^{2}+3x-5y-10=0$
$x^{2}+y^{2}-2x+3y-27=0$
A
$8$
B
$6$
C
$4$
D
$2$
Solution
(C) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ है।
दो वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ और $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ लंबकोणीय होते हैं यदि $2g_{1}g_{2}+2f_{1}f_{2}=c_{1}+c_{2}$ हो।
दिए गए वृत्तों के लिए,शर्तें हैं:
$1) -g-f = c-14 \implies -g-f-c = -14$
$2) 3g-5f = c-10 \implies 3g-5f-c = -10$
$3) -2g+3f = c-27 \implies -2g+3f-c = -27$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $4g-4f = 4 \implies g-f = 1 \implies g = f+1$।
$(3)$ में से $(1)$ घटाने पर: $-g+4f = -13$।
$g = f+1$ प्रतिस्थापित करने पर: $-(f+1)+4f = -13 \implies 3f = -12 \implies f = -4$।
अतः $g = -4+1 = -3$।
$(1)$ से: $-(-3)-(-4) = c-14 \implies 3+4 = c-14 \implies c = 21$।
वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}-21} = \sqrt{9+16-21} = \sqrt{4} = 2$।
व्यास $2r = 2 \times 2 = 4$ है।
दो वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ और $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ लंबकोणीय होते हैं यदि $2g_{1}g_{2}+2f_{1}f_{2}=c_{1}+c_{2}$ हो।
दिए गए वृत्तों के लिए,शर्तें हैं:
$1) -g-f = c-14 \implies -g-f-c = -14$
$2) 3g-5f = c-10 \implies 3g-5f-c = -10$
$3) -2g+3f = c-27 \implies -2g+3f-c = -27$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $4g-4f = 4 \implies g-f = 1 \implies g = f+1$।
$(3)$ में से $(1)$ घटाने पर: $-g+4f = -13$।
$g = f+1$ प्रतिस्थापित करने पर: $-(f+1)+4f = -13 \implies 3f = -12 \implies f = -4$।
अतः $g = -4+1 = -3$।
$(1)$ से: $-(-3)-(-4) = c-14 \implies 3+4 = c-14 \implies c = 21$।
वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}-21} = \sqrt{9+16-21} = \sqrt{4} = 2$।
व्यास $2r = 2 \times 2 = 4$ है।
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23
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वृत्तों $x^{2}+y^{2}-y=0$ और $x^{2}+y^{2}+y=0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है
A
$2$
B
$3$
C
$0$
D
$1$
Solution
(B) दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}-y=0$ और $x^{2}+y^{2}+y=0$ हैं।
पहले वृत्त $x^{2}+y^{2}-y=0$ के लिए,केंद्र $C_{1}(0, 1/2)$ और त्रिज्या $r_{1} = 1/2$ है।
दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}+y=0$ के लिए,केंद्र $C_{2}(0, -1/2)$ और त्रिज्या $r_{2} = 1/2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_{1}C_{2} = \sqrt{(0-0)^{2} + (1/2 - (-1/2))^{2}} = 1$ है।
चूंकि $r_{1} + r_{2} = 1/2 + 1/2 = 1$,इसलिए $C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2}$ है।
यह स्थिति दर्शाती है कि दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनकी कुल $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
पहले वृत्त $x^{2}+y^{2}-y=0$ के लिए,केंद्र $C_{1}(0, 1/2)$ और त्रिज्या $r_{1} = 1/2$ है।
दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}+y=0$ के लिए,केंद्र $C_{2}(0, -1/2)$ और त्रिज्या $r_{2} = 1/2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_{1}C_{2} = \sqrt{(0-0)^{2} + (1/2 - (-1/2))^{2}} = 1$ है।
चूंकि $r_{1} + r_{2} = 1/2 + 1/2 = 1$,इसलिए $C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2}$ है।
यह स्थिति दर्शाती है कि दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनकी कुल $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।
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24
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
यदि वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ अतिपरवलय $xy=c^{2}$ को चार बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1}), Q(x_{2}, y_{2}), R(x_{3}, y_{3})$ और $S(x_{4}, y_{4})$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो
A
$y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=2$
B
$x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}=2 c^{4}$
C
$y_{1} y_{2} y_{3} y_{4}=2 c^{4}$
D
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$
Solution
(D) दिए गए समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ और $xy=c^{2}$ हैं।
वृत्त के समीकरण में $y = \frac{c^{2}}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + (\frac{c^{2}}{x})^{2} = a^{2}$
$x^{2} + \frac{c^{4}}{x^{2}} = a^{2}$
$x^{4} - a^{2}x^{2} + c^{4} = 0$
यह $x$ में एक द्वि-वर्ग समीकरण है। इसके मूल $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ हैं।
इसे मानक रूप $Ax^{4} + Bx^{3} + Cx^{2} + Dx + E = 0$ से तुलना करने पर,हमें $B=0$ प्राप्त होता है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = -\frac{B}{A} = 0$ है।
वृत्त के समीकरण में $y = \frac{c^{2}}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + (\frac{c^{2}}{x})^{2} = a^{2}$
$x^{2} + \frac{c^{4}}{x^{2}} = a^{2}$
$x^{4} - a^{2}x^{2} + c^{4} = 0$
यह $x$ में एक द्वि-वर्ग समीकरण है। इसके मूल $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ हैं।
इसे मानक रूप $Ax^{4} + Bx^{3} + Cx^{2} + Dx + E = 0$ से तुलना करने पर,हमें $B=0$ प्राप्त होता है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} = -\frac{B}{A} = 0$ है।
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25
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परवलय $y^{2} = 4x$ के लिए,बिंदु $P$ जिसकी नाभीय दूरी $17$ है,वह है
A
$(8, 8)$ या $(8, -8)$
B
$(4, 8)$ या $(4, -8)$
C
$(2, 8)$ या $(2, -8)$
D
$(16, 8)$ या $(16, -8)$
Solution
(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = 4x$ है। इसकी तुलना $y^{2} = 4ax$ से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
परवलय पर किसी भी बिंदु $P(x, y)$ के लिए,नाभीय दूरी $x + a$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि नाभीय दूरी $17$ है,इसलिए $x + 1 = 17$,जिसका अर्थ है $x = 16$।
$x = 16$ को परवलय के समीकरण में रखने पर: $y^{2} = 4(16) = 64$।
अतः,$y = \pm 8$।
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $(16, 8)$ या $(16, -8)$ हैं।
परवलय पर किसी भी बिंदु $P(x, y)$ के लिए,नाभीय दूरी $x + a$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि नाभीय दूरी $17$ है,इसलिए $x + 1 = 17$,जिसका अर्थ है $x = 16$।
$x = 16$ को परवलय के समीकरण में रखने पर: $y^{2} = 4(16) = 64$।
अतः,$y = \pm 8$।
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $(16, 8)$ या $(16, -8)$ हैं।
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26
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
$c$ के कितने मानों के लिए रेखा $y=4x+c$ वक्र $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ को स्पर्श करती है?
A
$1$
B
$2$
C
$\infty$
D
$0$
Solution
(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ है,जहाँ $a^{2}=4$ और $b^{2}=1$ है।
रेखा का समीकरण $y=mx+c$ है,जहाँ $m=4$ है।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ है।
मान रखने पर,$c^{2}=4(4)^{2}+1$ प्राप्त होता है।
$c^{2}=4(16)+1=64+1=65$.
अतः,$c=\pm \sqrt{65}$.
चूँकि $c$ के दो संभावित मान हैं,इसलिए रेखा $c$ के $2$ मानों के लिए वक्र को स्पर्श करती है।
रेखा का समीकरण $y=mx+c$ है,जहाँ $m=4$ है।
रेखा $y=mx+c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ है।
मान रखने पर,$c^{2}=4(4)^{2}+1$ प्राप्त होता है।
$c^{2}=4(16)+1=64+1=65$.
अतः,$c=\pm \sqrt{65}$.
चूँकि $c$ के दो संभावित मान हैं,इसलिए रेखा $c$ के $2$ मानों के लिए वक्र को स्पर्श करती है।
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27
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
बिंदु $(-3, 2)$ से परवलय $y^{2}=12x$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण है ($^{\circ}$ में)
A
$90$
B
$60$
C
$30$
D
$45$
Solution
(A) परवलय का समीकरण $y^{2} = 12x$ है,जो $y^{2} = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $a = 3$ है।
किसी भी बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ के लिए,स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_{1} = T^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = y^{2} - 12x$,$S_{1} = (2)^{2} - 12(-3) = 40$,और $T = 2y - 6x + 18$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(y^{2} - 12x)(40) = (2y - 6x + 18)^{2}$
$10y^{2} - 120x = y^{2} + 9x^{2} + 81 - 6xy - 54x + 18y$
$9x^{2} - 9y^{2} - 6xy + 66x + 18y + 81 = 0$.
द्विघात समीकरण $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} + 2Gx + 2Fy + C = 0$ के लिए,रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^{2} - AB}}{A + B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 9$,$B = -9$ है।
चूँकि $A + B = 0$,रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
किसी भी बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ के लिए,स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_{1} = T^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = y^{2} - 12x$,$S_{1} = (2)^{2} - 12(-3) = 40$,और $T = 2y - 6x + 18$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(y^{2} - 12x)(40) = (2y - 6x + 18)^{2}$
$10y^{2} - 120x = y^{2} + 9x^{2} + 81 - 6xy - 54x + 18y$
$9x^{2} - 9y^{2} - 6xy + 66x + 18y + 81 = 0$.
द्विघात समीकरण $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} + 2Gx + 2Fy + C = 0$ के लिए,रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^{2} - AB}}{A + B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 9$,$B = -9$ है।
चूँकि $A + B = 0$,रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
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28
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 \cdot 2^{n+1}-4 \cdot 5^{n+1}}{5 \cdot 2^{n}+7 \cdot 5^{n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{3}{5}$
B
$-\frac{4}{7}$
C
$-\frac{20}{7}$
D
$0$
Solution
(C) सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 \cdot 2^{n+1}-4 \cdot 5^{n+1}}{5 \cdot 2^{n}+7 \cdot 5^{n}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर को $5^n$ से विभाजित करते हैं:
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 \cdot 2 \cdot 2^{n} - 4 \cdot 5 \cdot 5^{n}}{5 \cdot 2^{n} + 7 \cdot 5^{n}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{6 \cdot 2^{n} - 20 \cdot 5^{n}}{5 \cdot 2^{n} + 7 \cdot 5^{n}}$
$5^n$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{6 \cdot (\frac{2}{5})^{n} - 20}{5 \cdot (\frac{2}{5})^{n} + 7}$
चूंकि $\lim _{n \rightarrow \infty} (\frac{2}{5})^{n} = 0$,इसलिए:
$= \frac{6 \cdot 0 - 20}{5 \cdot 0 + 7} = -\frac{20}{7}$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 \cdot 2 \cdot 2^{n} - 4 \cdot 5 \cdot 5^{n}}{5 \cdot 2^{n} + 7 \cdot 5^{n}}$
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{6 \cdot 2^{n} - 20 \cdot 5^{n}}{5 \cdot 2^{n} + 7 \cdot 5^{n}}$
$5^n$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{6 \cdot (\frac{2}{5})^{n} - 20}{5 \cdot (\frac{2}{5})^{n} + 7}$
चूंकि $\lim _{n \rightarrow \infty} (\frac{2}{5})^{n} = 0$,इसलिए:
$= \frac{6 \cdot 0 - 20}{5 \cdot 0 + 7} = -\frac{20}{7}$
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29
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
समूह $(Z_{5}, +_{5})$ के उपसमूहों की संख्या है
A
$1$
B
$3$
C
$4$
D
$2$
Solution
(D) समूह $(Z_{5}, +_{5})$ अभाज्य कोटि $p = 5$ का एक चक्रीय समूह है।
लाग्रेंज प्रमेय के अनुसार,किसी भी उपसमूह की कोटि समूह की कोटि को विभाजित करती है।
चूंकि $5$ एक अभाज्य संख्या है,इसके केवल $1$ और $5$ ही भाजक हैं।
इसलिए,केवल दो उपसमूह संभव हैं: कोटि $1$ का तुच्छ उपसमूह ${0}$ और स्वयं समूह $Z_{5}$ जिसकी कोटि $5$ है।
अतः,उपसमूहों की कुल संख्या $2$ है।
लाग्रेंज प्रमेय के अनुसार,किसी भी उपसमूह की कोटि समूह की कोटि को विभाजित करती है।
चूंकि $5$ एक अभाज्य संख्या है,इसके केवल $1$ और $5$ ही भाजक हैं।
इसलिए,केवल दो उपसमूह संभव हैं: कोटि $1$ का तुच्छ उपसमूह ${0}$ और स्वयं समूह $Z_{5}$ जिसकी कोटि $5$ है।
अतः,उपसमूहों की कुल संख्या $2$ है।
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30
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
$p \wedge (q \rightarrow \sim r)$ का निषेध क्या है?
A
$\sim p \wedge (q \wedge r)$
B
$p \vee (q \vee r)$
C
$p \vee (q \wedge r)$
D
$\sim p \vee (q \wedge r)$
Solution
(D) हमें कथन $p \wedge (q \rightarrow \sim r)$ का निषेध ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$:
$\sim(p \wedge (q$ $\rightarrow \sim r)) = \sim p \vee \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$
निहित नियम $\sim(A \rightarrow B) = A \wedge \sim B$ का उपयोग करते हुए:
$\sim p \vee (q \wedge \sim(\sim r))$
दोहरे निषेध के नियम $\sim(\sim r) = r$ का उपयोग करते हुए:
$\sim p \vee (q \wedge r)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \wedge B) = \sim A \vee \sim B$:
$\sim(p \wedge (q$ $\rightarrow \sim r)) = \sim p \vee \sim(q$ $\rightarrow \sim r)$
निहित नियम $\sim(A \rightarrow B) = A \wedge \sim B$ का उपयोग करते हुए:
$\sim p \vee (q \wedge \sim(\sim r))$
दोहरे निषेध के नियम $\sim(\sim r) = r$ का उपयोग करते हुए:
$\sim p \vee (q \wedge r)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।
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31
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
$27^{\cos 2x} 81^{\sin 2x}$ का न्यूनतम मान है
A
$-5$
B
$\frac{1}{5}$
C
$\frac{1}{243}$
D
$\frac{1}{27}$
Solution
(C) माना $f(x) = 27^{\cos 2x} 81^{\sin 2x} = (3^3)^{\cos 2x} (3^4)^{\sin 2x} = 3^{3 \cos 2x + 4 \sin 2x}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम घातांक $g(x) = 3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ का विश्लेषण करते हैं।
व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है,इसलिए $3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ का परिसर $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-5, 5]$ है।
घातांक का न्यूनतम मान $-5$ है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम घातांक $g(x) = 3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ का विश्लेषण करते हैं।
व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है,इसलिए $3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ का परिसर $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-5, 5]$ है।
घातांक का न्यूनतम मान $-5$ है।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$ है।
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32
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
एक जनसंख्या प्रति वर्ष जनसंख्या के $10 \%$ की दर से बढ़ती है। जनसंख्या को दोगुना होने में कितना समय लगेगा?
A
$20 \log 2 \text{ वर्ष}$
B
$10 \log 2 \text{ वर्ष}$
C
$5 \log 2 \text{ वर्ष}$
D
उपरोक्त में से कोई नहीं
Solution
(D) माना प्रारंभिक जनसंख्या $P$ है और वृद्धि दर $r = 10 \% = 0.1$ है।
सतत वृद्धि मानते हुए,समय $t$ पर जनसंख्या $P(t) = P_0 e^{rt}$ द्वारा दी जाती है।
जनसंख्या के दोगुना होने के लिए,$P(t) = 2P_0$.
$2P_0 = P_0 e^{0.1t} \Rightarrow 2 = e^{0.1t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln 2 = 0.1t$.
$t = \frac{\ln 2}{0.1} = 10 \ln 2 \text{ वर्ष}$.
यदि वृद्धि वार्षिक चक्रवृद्धि है,तो $2P = P(1 + 0.1)^n \Rightarrow 2 = (1.1)^n$.
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर: $\log 2 = n \log 1.1$.
$n = \frac{\log 2}{\log 1.1} \approx 7.27 \text{ वर्ष}$.
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।
सतत वृद्धि मानते हुए,समय $t$ पर जनसंख्या $P(t) = P_0 e^{rt}$ द्वारा दी जाती है।
जनसंख्या के दोगुना होने के लिए,$P(t) = 2P_0$.
$2P_0 = P_0 e^{0.1t} \Rightarrow 2 = e^{0.1t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln 2 = 0.1t$.
$t = \frac{\ln 2}{0.1} = 10 \ln 2 \text{ वर्ष}$.
यदि वृद्धि वार्षिक चक्रवृद्धि है,तो $2P = P(1 + 0.1)^n \Rightarrow 2 = (1.1)^n$.
दोनों पक्षों का $\log_{10}$ लेने पर: $\log 2 = n \log 1.1$.
$n = \frac{\log 2}{\log 1.1} \approx 7.27 \text{ वर्ष}$.
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।
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33
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
$64 \ m$ ऊँचे टॉवर के शीर्ष से एक पत्थर को $s=48t-16t^{2}$ के नियम के अनुसार लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। पत्थर द्वारा जमीन से प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई क्या है ($m$ में)?
A
$36$
B
$32$
C
$100$
D
$64$
Solution
(C) दिया गया है कि टॉवर के शीर्ष से विस्थापन $s=48t-16t^{2}$ है।
वेग $v = \frac{ds}{dt} = 48-32t$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग $v=0$ होता है।
$48-32t=0 \Rightarrow t = \frac{48}{32} = 1.5 \ s$.
टॉवर के शीर्ष से अधिकतम विस्थापन $s = 48(1.5) - 16(1.5)^{2} = 72 - 36 = 36 \ m$ है।
जमीन से कुल ऊँचाई टॉवर की ऊँचाई और अधिकतम विस्थापन का योग है: $H = 64 + 36 = 100 \ m$।
वेग $v = \frac{ds}{dt} = 48-32t$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग $v=0$ होता है।
$48-32t=0 \Rightarrow t = \frac{48}{32} = 1.5 \ s$.
टॉवर के शीर्ष से अधिकतम विस्थापन $s = 48(1.5) - 16(1.5)^{2} = 72 - 36 = 36 \ m$ है।
जमीन से कुल ऊँचाई टॉवर की ऊँचाई और अधिकतम विस्थापन का योग है: $H = 64 + 36 = 100 \ m$।
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34
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
फलन $f(x) = \frac{\log(1+ax) - \log(1-bx)}{x}$,$x=0$ पर परिभाषित नहीं है। $x=0$ पर $f$ का मान क्या होना चाहिए ताकि यह $x=0$ पर सतत (continuous) हो?
A
$a-b$
B
$a+b$
C
$\log a + \log b$
D
$0$
Solution
(B) फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+kx)}{x} = k$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+ax) - \log(1-bx)}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1+ax)}{x} - \frac{\log(1-bx)}{x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+ax)}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\log(1-bx)}{x}$
$= a - (-b) = a + b$.
अतः,$f(0)$ का मान $a+b$ होना चाहिए।
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+kx)}{x} = k$ का उपयोग करते हुए:
$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+ax) - \log(1-bx)}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\log(1+ax)}{x} - \frac{\log(1-bx)}{x} \right)$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+ax)}{x} - \lim_{x \to 0} \frac{\log(1-bx)}{x}$
$= a - (-b) = a + b$.
अतः,$f(0)$ का मान $a+b$ होना चाहिए।
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MathematicsEasyMCQKCET · 2009
सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय $N$ पर,निम्नलिखित में से कौन सी संक्रिया $*$ एक द्वि-आधारी संक्रिया (binary operation) है?
A
$a * b = \sqrt{ab}$
B
$a * b = \frac{a-b}{a+b}$
C
$a * b = a + 3b$
D
$a * b = 3a - 4b$
Solution
(C) समुच्चय $N$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया $*$ एक फलन $*: N \times N \to N$ है। इसका अर्थ है कि किसी भी $a, b \in N$ के लिए,परिणाम $a * b$ भी $N$ में होना चाहिए।
$(A)$ $a * b = \sqrt{ab}$: यदि $a=1, b=2$ है,तो $a * b = \sqrt{2} \notin N$.
$(B)$ $a * b = \frac{a-b}{a+b}$: यदि $a=1, b=2$ है,तो $a * b = \frac{-1}{3} \notin N$.
$(C)$ $a * b = a + 3b$: चूँकि $a, b \in N$,$a + 3b$ हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होती है। अतः,यह एक द्वि-आधारी संक्रिया है।
$(D)$ $a * b = 3a - 4b$: यदि $a=1, b=2$ है,तो $a * b = 3(1) - 4(2) = -5 \notin N$.
अतः,विकल्प $C$ सही है.
$(A)$ $a * b = \sqrt{ab}$: यदि $a=1, b=2$ है,तो $a * b = \sqrt{2} \notin N$.
$(B)$ $a * b = \frac{a-b}{a+b}$: यदि $a=1, b=2$ है,तो $a * b = \frac{-1}{3} \notin N$.
$(C)$ $a * b = a + 3b$: चूँकि $a, b \in N$,$a + 3b$ हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होती है। अतः,यह एक द्वि-आधारी संक्रिया है।
$(D)$ $a * b = 3a - 4b$: यदि $a=1, b=2$ है,तो $a * b = 3(1) - 4(2) = -5 \notin N$.
अतः,विकल्प $C$ सही है.
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36
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
समूह $G=\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ में योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत,$(2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4)^{-1}$ का मान क्या है?
A
$2$
B
$3$
C
$5$
D
$0$
Solution
(B) समूह $G = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ में योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत,तत्समक अवयव $0$ है।
सबसे पहले,हम योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत $3$ का प्रतिलोम ज्ञात करते हैं। चूंकि $3 +_{6} 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$,इसलिए $3^{-1} = 3$ है।
अब,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक की गणना करें: $2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4 = 2 +_{6} 3 +_{6} 4 = 9 \pmod{6} = 3$।
अंत में,योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत $3$ का प्रतिलोम ज्ञात करें। चूंकि $3 +_{6} 3 = 0$,इसलिए $3$ का प्रतिलोम $3$ है।
अतः,$(2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4)^{-1} = 3^{-1} = 3$।
सबसे पहले,हम योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत $3$ का प्रतिलोम ज्ञात करते हैं। चूंकि $3 +_{6} 3 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$,इसलिए $3^{-1} = 3$ है।
अब,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक की गणना करें: $2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4 = 2 +_{6} 3 +_{6} 4 = 9 \pmod{6} = 3$।
अंत में,योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत $3$ का प्रतिलोम ज्ञात करें। चूंकि $3 +_{6} 3 = 0$,इसलिए $3$ का प्रतिलोम $3$ है।
अतः,$(2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4)^{-1} = 3^{-1} = 3$।
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37
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?
A
एक समूह में एक तत्व का व्युत्क्रम अद्वितीय होता है।
B
इकाई के चतुर्थ मूल एक योगात्मक एबेलियन समूह बनाते हैं।
C
एक समूह में निरसन नियम (cancellation laws) लागू होते हैं।
D
एक समूह में तत्समक अवयव अद्वितीय होता है।
Solution
(B) इकाई के चतुर्थ मूल का समुच्चय $S = \{1, -1, i, -i\}$ है।
किसी समुच्चय के योगात्मक समूह बनाने के लिए,उसे योग के अंतर्गत संवृत (closed) होना चाहिए।
यहाँ $1 + (-1) = 0$ है। चूँकि $0 \notin S$,इसलिए यह समुच्चय योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।
अतः,यह कथन कि इकाई के चतुर्थ मूल एक योगात्मक एबेलियन समूह बनाते हैं,असत्य है।
किसी समुच्चय के योगात्मक समूह बनाने के लिए,उसे योग के अंतर्गत संवृत (closed) होना चाहिए।
यहाँ $1 + (-1) = 0$ है। चूँकि $0 \notin S$,इसलिए यह समुच्चय योग के अंतर्गत संवृत नहीं है।
अतः,यह कथन कि इकाई के चतुर्थ मूल एक योगात्मक एबेलियन समूह बनाते हैं,असत्य है।
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38
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
यदि $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}$,तो $(A B A^{-1})^{2}$ किसके बराबर है?
A
$B^{2}$
B
$I$
C
$A^{2} B^{2}$
D
$A^{2}$
Solution
(A) दिया गया है,$(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $A^{2}-AB+BA-B^{2}=A^{2}-B^{2}$
दोनों पक्षों से $A^{2}-B^{2}$ घटाने पर: $-AB+BA=0$
अतः,$AB=BA$
अब,हम $(ABA^{-1})^{2}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(ABA^{-1})^{2} = (ABA^{-1})(ABA^{-1})$
चूँकि $AB=BA$,हम $AB = BA$ लिख सकते हैं,इसलिए $ABA^{-1} = BAA^{-1} = BI = B$
अतः,$(ABA^{-1})^{2} = B^{2}$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $A^{2}-AB+BA-B^{2}=A^{2}-B^{2}$
दोनों पक्षों से $A^{2}-B^{2}$ घटाने पर: $-AB+BA=0$
अतः,$AB=BA$
अब,हम $(ABA^{-1})^{2}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$(ABA^{-1})^{2} = (ABA^{-1})(ABA^{-1})$
चूँकि $AB=BA$,हम $AB = BA$ लिख सकते हैं,इसलिए $ABA^{-1} = BAA^{-1} = BI = B$
अतः,$(ABA^{-1})^{2} = B^{2}$
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39
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ है,तो $|\operatorname{adj} A|$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$0$
B
$9$
C
$1/9$
D
$81$
Solution
(D) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 2(4 - 0) - 1(0 - 1) + 0(0 - 2) = 2(4) - 1(-1) + 0 = 8 + 1 = 9$.
हम जानते हैं कि आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का गुणधर्म है: $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ वर्ग आव्यूह $A$ की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है।
इसलिए,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A| = 9$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\operatorname{adj} A| = 9^2 = 81$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 2(4 - 0) - 1(0 - 1) + 0(0 - 2) = 2(4) - 1(-1) + 0 = 8 + 1 = 9$.
हम जानते हैं कि आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का गुणधर्म है: $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ वर्ग आव्यूह $A$ की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है।
इसलिए,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A| = 9$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\operatorname{adj} A| = 9^2 = 81$.
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40
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
यदि $\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$ और $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,तो $\cos 4 \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B
$0$
C
$\frac{-1}{2}$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(D) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
स्तंभ संक्रिया $C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+1+\cos ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
चूंकि $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$,इसलिए यह समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 2 & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 1 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
अब पंक्ति संक्रिया $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow 2 R_{3}-R_{1}$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-2\end{array}\right|=0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2 \times [1 \times (4 \sin 2 \theta-2) - 0] = 0$
$8 \sin 2 \theta-4=0 \Rightarrow \sin 2 \theta=\frac{1}{2}$
अब,सर्वसमिका $\cos 4 \theta=1-2 \sin ^{2} 2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos 4 \theta=1-2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1-2\left(\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
स्तंभ संक्रिया $C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+1+\cos ^{2} \theta & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
चूंकि $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$,इसलिए यह समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 2 & 1+\cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 1 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-1\end{array}\right|=0$
अब पंक्ति संक्रिया $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{1}$ और $R_{3} \rightarrow 2 R_{3}-R_{1}$ लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}2 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cos ^{2} \theta & 4 \sin 2 \theta-2\end{array}\right|=0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2 \times [1 \times (4 \sin 2 \theta-2) - 0] = 0$
$8 \sin 2 \theta-4=0 \Rightarrow \sin 2 \theta=\frac{1}{2}$
अब,सर्वसमिका $\cos 4 \theta=1-2 \sin ^{2} 2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos 4 \theta=1-2\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=1-2\left(\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
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41
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
यदि $\left|\begin{array}{lll}x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c\end{array}\right|=0$ है,तो $a, b, c$ हैं
A
$GP$ में
B
$HP$ में
C
समान
D
$AP$ में
Solution
(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{3} - 2R_{2}$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति इस प्रकार हो जाती है: $(x+1+x+3-2(x+2), x+2+x+4-2(x+3), x+a+x+c-2(x+b))$
पहली पंक्ति के तत्वों को सरल करने पर:
$R_{1,1} = 2x + 4 - 2x - 4 = 0$
$R_{1,2} = 2x + 6 - 2x - 6 = 0$
$R_{1,3} = 2x + a + c - 2x - 2b = a + c - 2b$
सारणिक इस प्रकार हो जाता है: $\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a+c-2b \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(a+c-2b) \cdot [(x+2)(x+4) - (x+3)(x+3)] = 0$
$(a+c-2b) \cdot [x^2 + 6x + 8 - (x^2 + 6x + 9)] = 0$
$(a+c-2b) \cdot (-1) = 0$
चूँकि $-1 \neq 0$,इसलिए $a+c-2b = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2b = a+c$।
यह $a, b, c$ के समांतर श्रेणी $(AP)$ में होने की शर्त है।
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{3} - 2R_{2}$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति इस प्रकार हो जाती है: $(x+1+x+3-2(x+2), x+2+x+4-2(x+3), x+a+x+c-2(x+b))$
पहली पंक्ति के तत्वों को सरल करने पर:
$R_{1,1} = 2x + 4 - 2x - 4 = 0$
$R_{1,2} = 2x + 6 - 2x - 6 = 0$
$R_{1,3} = 2x + a + c - 2x - 2b = a + c - 2b$
सारणिक इस प्रकार हो जाता है: $\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a+c-2b \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(a+c-2b) \cdot [(x+2)(x+4) - (x+3)(x+3)] = 0$
$(a+c-2b) \cdot [x^2 + 6x + 8 - (x^2 + 6x + 9)] = 0$
$(a+c-2b) \cdot (-1) = 0$
चूँकि $-1 \neq 0$,इसलिए $a+c-2b = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $2b = a+c$।
यह $a, b, c$ के समांतर श्रेणी $(AP)$ में होने की शर्त है।
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42
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
$\left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x} y & \log _{x} z \\ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \\ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}\right|$ का मान किसके बराबर है?
A
$0$
B
$1$
C
$xyz$
D
$\log xyz$
Solution
(A) माना सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \log _{x} y & \log _{x} z \\ \log _{y} x & 1 & \log _{y} z \\ \log _{z} x & \log _{z} y & 1\end{array}\right|$ है।
$\log _{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम अवयवों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 1 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 1\end{array}\right|$.
$R_1$ को $\ln x$ से,$R_2$ को $\ln y$ से,और $R_3$ को $\ln z$ से गुणा करने पर:
$\Delta = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \left|\begin{array}{ccc}\ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z\end{array}\right|$.
चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
$\log _{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम अवयवों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 1 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 1\end{array}\right|$.
$R_1$ को $\ln x$ से,$R_2$ को $\ln y$ से,और $R_3$ को $\ln z$ से गुणा करने पर:
$\Delta = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \left|\begin{array}{ccc}\ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z\end{array}\right|$.
चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
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43
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
यदि $x$ एक ऋणात्मक अनुमेय मान लेता है,तो $\sin^{-1} x$ किसके बराबर है?
A
$-\cos^{-1} \sqrt{1-x^{2}}$
B
$\cos^{-1} \sqrt{x^{2}-1}$
C
$\pi - \cos^{-1} \sqrt{1-x^{2}}$
D
$\cos^{-1} \sqrt{1-x^{2}}$
Solution
(A) माना $\sin^{-1} x = y$. तब,$x = \sin y$.
चूंकि $-1 \leq x < 0$,इसलिए $-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1} x < 0$,जिसका अर्थ है कि $-\frac{\pi}{2} \leq y < 0$.
हम जानते हैं कि $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.
चूंकि $y$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, 0)$ में है,इसलिए $-y$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2}]$ में है।
गुणधर्म $\cos(-y) = \cos y = \sqrt{1 - x^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $-y = \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = -\cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
इस प्रकार,$\sin^{-1} x = -\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$।
चूंकि $-1 \leq x < 0$,इसलिए $-\frac{\pi}{2} \leq \sin^{-1} x < 0$,जिसका अर्थ है कि $-\frac{\pi}{2} \leq y < 0$.
हम जानते हैं कि $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.
चूंकि $y$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, 0)$ में है,इसलिए $-y$ अंतराल $(0, \frac{\pi}{2}]$ में है।
गुणधर्म $\cos(-y) = \cos y = \sqrt{1 - x^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $-y = \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = -\cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$.
इस प्रकार,$\sin^{-1} x = -\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$।
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44
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
$\cot ^{-1}\left(2 \cdot 1^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 2^{2}\right)+\cot ^{-1}\left(2 \cdot 3^{2}\right)+\ldots$ अनंत तक का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{\pi}{4}$
B
$\frac{\pi}{3}$
C
$\frac{\pi}{2}$
D
$\frac{\pi}{5}$
Solution
(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=1}^{\infty} \cot ^{-1}(2r^2) = \sum_{r=1}^{\infty} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2r^2}\right)$ है।
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{2r^2} = \frac{2}{4r^2} = \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{r=1}^{\infty} [\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)]$.
योग का विस्तार करने पर:
$S = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + (\tan^{-1} 7 - \tan^{-1} 5) + \dots$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$S = \lim_{n \to \infty} [\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1)]$.
चूंकि $\lim_{n \to \infty} \tan^{-1}(2n+1) = \frac{\pi}{2}$ और $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,
अतः $S = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{2r^2} = \frac{2}{4r^2} = \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.
सूत्र $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{r=1}^{\infty} [\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)]$.
योग का विस्तार करने पर:
$S = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + (\tan^{-1} 7 - \tan^{-1} 5) + \dots$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें सभी मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$S = \lim_{n \to \infty} [\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1)]$.
चूंकि $\lim_{n \to \infty} \tan^{-1}(2n+1) = \frac{\pi}{2}$ और $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,
अतः $S = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.
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45
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर,$f: Z \rightarrow Z$ को $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n \text{ सम है} \\ 0, & n \text{ विषम है} \end{cases}$ के रूप में परिभाषित करें। तो $f$ है:
A
एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं
B
न तो एकैकी है और न ही आच्छादक
C
आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं
D
बायजेक्टिव (एकैकी और आच्छादक)
Solution
(C) दिया गया फलन $f: Z \rightarrow Z$ जहाँ $f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & n \text{ सम है} \\ 0, & n \text{ विषम है} \end{cases}$ है।
$1$. एकैकी (Injective) की जाँच: यदि $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1 = n_2$ हो तो फलन एकैकी होता है। विषम पूर्णांक $n_1 = 1$ और $n_2 = 3$ लें। तो $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 \neq 3$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक फलन है)।
$2$. आच्छादक (Surjective) की जाँच: यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए,एक ऐसा $n \in Z$ मौजूद हो कि $f(n) = y$ हो,तो फलन आच्छादक होता है। किसी भी पूर्णांक $y$ के लिए,यदि हम $n = 2y$ लें (जो हमेशा सम संख्या है),तो $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ प्राप्त होता है। अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है। इसलिए,फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।
$1$. एकैकी (Injective) की जाँच: यदि $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1 = n_2$ हो तो फलन एकैकी होता है। विषम पूर्णांक $n_1 = 1$ और $n_2 = 3$ लें। तो $f(1) = 0$ और $f(3) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(1) = f(3)$ है लेकिन $1 \neq 3$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक फलन है)।
$2$. आच्छादक (Surjective) की जाँच: यदि प्रत्येक $y \in Z$ के लिए,एक ऐसा $n \in Z$ मौजूद हो कि $f(n) = y$ हो,तो फलन आच्छादक होता है। किसी भी पूर्णांक $y$ के लिए,यदि हम $n = 2y$ लें (जो हमेशा सम संख्या है),तो $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ प्राप्त होता है। अतः,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है। इसलिए,फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: फलन आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है।
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46
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
यदि $f(x)=\log _{x^{2}}\left(\log _{e} x\right)$ है,तो $x=e$ पर $f^{\prime}(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$\frac{1}{e}$
C
$\frac{1}{2e}$
D
$0$
Solution
(C) दिया गया है,$f(x) = \log _{x^{2}}(\log _{e} x) = \frac{1}{2} \log _{x}(\log _{e} x)$.
आधार परिवर्तन नियम का उपयोग करते हुए,$f(x) = \frac{1}{2} \frac{\log _{e}(\log _{e} x)}{\log _{e} x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\log _{e} x \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e}(\log _{e} x)) - \log _{e}(\log _{e} x) \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e} x)}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\log _{e} x \cdot (\frac{1}{\log _{e} x} \cdot \frac{1}{x}) - \log _{e}(\log _{e} x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x} \log _{e}(\log _{e} x)}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$x = e$ पर,$\log _{e} e = 1$ और $\log _{e}(\log _{e} e) = \log _{e} 1 = 0$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$f^{\prime}(e) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{e} - \frac{1}{e} \cdot 0}{(1)^{2}} \right] = \frac{1}{2e}$.
आधार परिवर्तन नियम का उपयोग करते हुए,$f(x) = \frac{1}{2} \frac{\log _{e}(\log _{e} x)}{\log _{e} x}$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\log _{e} x \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e}(\log _{e} x)) - \log _{e}(\log _{e} x) \cdot \frac{d}{dx}(\log _{e} x)}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\log _{e} x \cdot (\frac{1}{\log _{e} x} \cdot \frac{1}{x}) - \log _{e}(\log _{e} x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x} \log _{e}(\log _{e} x)}{(\log _{e} x)^{2}} \right]$.
$x = e$ पर,$\log _{e} e = 1$ और $\log _{e}(\log _{e} e) = \log _{e} 1 = 0$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$f^{\prime}(e) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{e} - \frac{1}{e} \cdot 0}{(1)^{2}} \right] = \frac{1}{2e}$.
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47
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
यदि $y = \sin^{n} x \cos nx$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?
A
$n \sin^{n-1} x \sin (n+1) x$
B
$n \sin^{n-1} x \cos (n-1) x$
C
$n \sin^{n-1} x \cos nx$
D
$n \sin^{n-1} x \cos (n+1) x$
Solution
(D) दिया गया है,$y = \sin^{n} x \cos nx$।
गुणनफल नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \sin^{n} x \frac{d}{dx}(\cos nx) + \cos nx \frac{d}{dx}(\sin^{n} x)$
$\frac{dy}{dx} = \sin^{n} x (-n \sin nx) + \cos nx (n \sin^{n-1} x \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x (\cos x \cos nx - \sin x \sin nx)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x \cos (nx + x)$
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x \cos (n+1) x$
गुणनफल नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \sin^{n} x \frac{d}{dx}(\cos nx) + \cos nx \frac{d}{dx}(\sin^{n} x)$
$\frac{dy}{dx} = \sin^{n} x (-n \sin nx) + \cos nx (n \sin^{n-1} x \cos x)$
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x (\cos x \cos nx - \sin x \sin nx)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x \cos (nx + x)$
$\frac{dy}{dx} = n \sin^{n-1} x \cos (n+1) x$
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48
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
यदि $f(x) = \frac{g(x) + g(-x)}{2} + \frac{2}{[h(x) + h(-x)]^{-1}}$,जहाँ $g$ और $h$ अवकलनीय फलन हैं,तो $f^{\prime}(0)$ ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{3}{2}$
D
$0$
Solution
(D) दिया गया फलन: $f(x) = \frac{g(x) + g(-x)}{2} + \frac{2}{[h(x) + h(-x)]^{-1}}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $f(x) = \frac{g(x) + g(-x)}{2} + 2[h(x) + h(-x)]$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{g^{\prime}(x) - g^{\prime}(-x)}{2} + 2[h^{\prime}(x) - h^{\prime}(-x)]$.
अब,$x = 0$ रखने पर:
$f^{\prime}(0) = \frac{g^{\prime}(0) - g^{\prime}(0)}{2} + 2[h^{\prime}(0) - h^{\prime}(0)]$.
$f^{\prime}(0) = 0 + 2[0] = 0$.
व्यंजक को सरल करने पर: $f(x) = \frac{g(x) + g(-x)}{2} + 2[h(x) + h(-x)]$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{g^{\prime}(x) - g^{\prime}(-x)}{2} + 2[h^{\prime}(x) - h^{\prime}(-x)]$.
अब,$x = 0$ रखने पर:
$f^{\prime}(0) = \frac{g^{\prime}(0) - g^{\prime}(0)}{2} + 2[h^{\prime}(0) - h^{\prime}(0)]$.
$f^{\prime}(0) = 0 + 2[0] = 0$.
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49
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
किसी दिए गए वक्र $y=f(x)$ की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के लंबवत है,यदि
A
$\frac{dy}{dx}=1$
B
$\frac{dx}{dy}=0$
C
$\frac{dx}{dy}=1$
D
$\frac{dy}{dx}=0$
Solution
(B) वक्र $y=f(x)$ की स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope) $\frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के लंबवत है,तो यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा के लिए,प्रवणता अपरिभाषित होती है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} \to \infty$।
यह इस कथन के बराबर है कि $y$ के सापेक्ष स्पर्श रेखा की प्रवणता,जो $\frac{dx}{dy}$ है,$0$ होनी चाहिए।
यदि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के लंबवत है,तो यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
एक ऊर्ध्वाधर रेखा के लिए,प्रवणता अपरिभाषित होती है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dy}{dx} \to \infty$।
यह इस कथन के बराबर है कि $y$ के सापेक्ष स्पर्श रेखा की प्रवणता,जो $\frac{dx}{dy}$ है,$0$ होनी चाहिए।
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50
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
वक्र $x=a(t+\sin t), y=a(1-\cos t)$ पर $t$ पर अधिस্পর্শक (subtangent) की लंबाई क्या है?
A
$a \sin t$
B
$2 a \sin \left(\frac{t}{2}\right) \tan \left(\frac{t}{2}\right)$
C
$2 a \sin \frac{t}{2}$
D
$2 a \sin ^{3}\left(\frac{t}{2}\right) \sec \left(\frac{t}{2}\right)$
Solution
(A) दिया गया है,$x=a(t+\sin t)$ और $y=a(1-\cos t)$।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = a(1+\cos t) = 2a \cos^2 \frac{t}{2}$
$\frac{dy}{dt} = a \sin t = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2a \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$ है।
अधिस্পর্শक की लंबाई $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ के रूप में परिभाषित है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
अधिस্পর্শक की लंबाई $= \frac{a(1-\cos t)}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2} / \cos \frac{t}{2}} = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} = a \sin t$।
सबसे पहले,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{dt} = a(1+\cos t) = 2a \cos^2 \frac{t}{2}$
$\frac{dy}{dt} = a \sin t = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$
अब,स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}{2a \cos^2 \frac{t}{2}} = \tan \frac{t}{2}$ है।
अधिस্পর্শक की लंबाई $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ के रूप में परिभाषित है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
अधिस্পর্শक की लंबाई $= \frac{a(1-\cos t)}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\tan \frac{t}{2}} = \frac{2a \sin^2 \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2} / \cos \frac{t}{2}} = 2a \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} = a \sin t$।
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51
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
$\int e^{\tan ^{-1} x}\left(1+\frac{x}{1+x^{2}}\right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$x e^{\tan ^{-1} x}+c$
B
$e^{\tan ^{-1} x}+c$
C
$\frac{1}{2} e^{\tan ^{-1} x}+c$
D
$\frac{1}{2} xe^{\tan ^{-1} x}+c$
Solution
(A) माना $I = \int e^{\tan ^{-1} x} \left(1 + \frac{x}{1+x^2}\right) dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int e^{\tan ^{-1} x} dx + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
अब,पहले समाकलन $\int e^{\tan ^{-1} x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = e^{\tan ^{-1} x}$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$\int e^{\tan ^{-1} x} dx = x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \left(x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx\right) + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx + c$.
समाकलन के पद कट जाते हैं,जिससे $I = x e^{\tan ^{-1} x} + c$ प्राप्त होता है।
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int e^{\tan ^{-1} x} dx + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
अब,पहले समाकलन $\int e^{\tan ^{-1} x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = e^{\tan ^{-1} x}$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$\int e^{\tan ^{-1} x} dx = x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \left(x e^{\tan ^{-1} x} - \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx\right) + \int \frac{x e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2} dx + c$.
समाकलन के पद कट जाते हैं,जिससे $I = x e^{\tan ^{-1} x} + c$ प्राप्त होता है।
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52
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
$\int \operatorname{cosec}(x-a) \operatorname{cosec} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{-1}{\sin a} \log |\sin x \operatorname{cosec}(x-a)|+c$
B
$\frac{-1}{\sin a} \log |\sin (x-a) \sin x|+c$
C
$\frac{1}{\sin a} \log |\sin (x-a) \operatorname{cosec} x|+c$
D
$\frac{1}{\sin a} \log |\sin (x-a) \sin x|+c$
Solution
(C) माना $I = \int \operatorname{cosec}(x-a) \operatorname{cosec} x \, dx$ है।
$\sin a$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \int \frac{\sin a}{\sin a \sin(x-a) \sin x} \, dx$।
चूंकि $\sin a = \sin(x - (x-a))$,इसलिए:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin(x - (x-a))}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$।
सूत्र $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos(x-a) - \cos x \sin(x-a)}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$।
$I = \frac{1}{\sin a} \int \left( \frac{\cos(x-a)}{\sin(x-a)} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) \, dx$।
$I = \frac{1}{\sin a} \int (\cot(x-a) - \cot x) \, dx$।
समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} [\log |\sin(x-a)| - \log |\sin x|] + c$।
$I = \frac{1}{\sin a} \log \left| \frac{\sin(x-a)}{\sin x} \right| + c$।
इसे $\frac{1}{\sin a} \log |\sin(x-a) \operatorname{cosec} x| + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sin a$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \int \frac{\sin a}{\sin a \sin(x-a) \sin x} \, dx$।
चूंकि $\sin a = \sin(x - (x-a))$,इसलिए:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin(x - (x-a))}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$।
सूत्र $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} \int \frac{\sin x \cos(x-a) - \cos x \sin(x-a)}{\sin(x-a) \sin x} \, dx$।
$I = \frac{1}{\sin a} \int \left( \frac{\cos(x-a)}{\sin(x-a)} - \frac{\cos x}{\sin x} \right) \, dx$।
$I = \frac{1}{\sin a} \int (\cot(x-a) - \cot x) \, dx$।
समाकलन करने पर:
$I = \frac{1}{\sin a} [\log |\sin(x-a)| - \log |\sin x|] + c$।
$I = \frac{1}{\sin a} \log \left| \frac{\sin(x-a)}{\sin x} \right| + c$।
इसे $\frac{1}{\sin a} \log |\sin(x-a) \operatorname{cosec} x| + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
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53
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
$\int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$1$
B
$3$
C
$2$
D
$0$
Solution
(A) माना $I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx \quad \dots(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,यहाँ $a+b = 1+3 = 4$ है।
$x$ को $(4-x)$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-(4-x)}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4-(4-x)}} dx$
$I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}} dx \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{1}^{3} \left( \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}} \right) dx$
$2I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx$
$2I = \int_{1}^{3} 1 dx$
$2I = [x]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2$
$I = \frac{2}{2} = 1$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,यहाँ $a+b = 1+3 = 4$ है।
$x$ को $(4-x)$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-(4-x)}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4-(4-x)}} dx$
$I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}} dx \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{1}^{3} \left( \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}} \right) dx$
$2I = \int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx$
$2I = \int_{1}^{3} 1 dx$
$2I = [x]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2$
$I = \frac{2}{2} = 1$
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54
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
यदि $\int_{0}^{1} f(x) dx = 5$ है,तो $\int_{0}^{1} f(x) dx + 100 \int_{0}^{1} x^{9} f(x^{10}) dx$ का मान किसके बराबर है?
A
$125$
B
$625$
C
$275$
D
$55$
Solution
(D) दिया गया है,$\int_{0}^{1} f(x) dx = 5$।
माना $I = 100 \int_{0}^{1} x^{9} f(x^{10}) dx$।
$x^{10} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$10x^{9} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{9} dx = \frac{dt}{10}$।
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = 1, t = 1$।
अतः,$I = 100 \int_{0}^{1} f(t) \frac{dt}{10} = 10 \int_{0}^{1} f(t) dt$।
चूंकि $\int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} f(x) dx = 5$,इसलिए $I = 10 \times 5 = 50$।
अतः,अभीष्ट मान $\int_{0}^{1} f(x) dx + I = 5 + 50 = 55$ है।
माना $I = 100 \int_{0}^{1} x^{9} f(x^{10}) dx$।
$x^{10} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$10x^{9} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{9} dx = \frac{dt}{10}$।
जब $x = 0, t = 0$ और जब $x = 1, t = 1$।
अतः,$I = 100 \int_{0}^{1} f(t) \frac{dt}{10} = 10 \int_{0}^{1} f(t) dt$।
चूंकि $\int_{0}^{1} f(t) dt = \int_{0}^{1} f(x) dx = 5$,इसलिए $I = 10 \times 5 = 50$।
अतः,अभीष्ट मान $\int_{0}^{1} f(x) dx + I = 5 + 50 = 55$ है।
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55
MathematicsMediumMCQKCET · 2009
यदि $f(x) = \int_{-1}^{x} |t| dt$ है,तो किसी भी $x \geq 0$ के लिए,$f(x)$ का मान क्या होगा?
A
$1 - x^{2}$
B
$\frac{1}{2}(1 + x^{2})$
C
$1 + x^{2}$
D
$\frac{1}{2}(1 - x^{2})$
Solution
(B) दिया गया है,$f(x) = \int_{-1}^{x} |t| dt$.
चूंकि $x \geq 0$ है,हम समाकलन को $t = 0$ पर विभाजित कर सकते हैं:
$f(x) = \int_{-1}^{0} |t| dt + \int_{0}^{x} |t| dt$.
$t \in [-1, 0]$ के लिए,$|t| = -t$ और $t \in [0, x]$ के लिए,$|t| = t$.
अतः,$f(x) = \int_{-1}^{0} (-t) dt + \int_{0}^{x} t dt$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$f(x) = -\left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{0}^{x}$.
$f(x) = -\left( 0 - \frac{(-1)^{2}}{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} - 0 \right)$.
$f(x) = -\left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2}(1 + x^{2})$.
चूंकि $x \geq 0$ है,हम समाकलन को $t = 0$ पर विभाजित कर सकते हैं:
$f(x) = \int_{-1}^{0} |t| dt + \int_{0}^{x} |t| dt$.
$t \in [-1, 0]$ के लिए,$|t| = -t$ और $t \in [0, x]$ के लिए,$|t| = t$.
अतः,$f(x) = \int_{-1}^{0} (-t) dt + \int_{0}^{x} t dt$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$f(x) = -\left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{t^{2}}{2} \right]_{0}^{x}$.
$f(x) = -\left( 0 - \frac{(-1)^{2}}{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} - 0 \right)$.
$f(x) = -\left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x^{2}}{2} = \frac{1}{2}(1 + x^{2})$.
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56
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
परवलय $y^{2}=4x$ और रेखा $y=2x-4$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल किसके बराबर है?
A
$\frac{17}{3}$ वर्ग इकाई
B
$\frac{19}{3}$ वर्ग इकाई
C
$9$ वर्ग इकाई
D
$15$ वर्ग इकाई
Solution
(C) परवलय $y^{2}=4x$ और रेखा $y=2x-4$ के बीच घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं,$x = \frac{y+4}{2}$ को परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करके:
$y^{2} = 4\left(\frac{y+4}{2}\right)$
$y^{2} = 2(y+4)$
$y^{2} - 2y - 8 = 0$
$(y-4)(y+2) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = 4$ और $y = -2$ पर प्राप्त होते हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष रेखा और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^{2}}{4} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^{2}}{4} + 2y - \frac{y^{3}}{12} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12} \right)$
$= \left( 4 + 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{2}{3} \right)$
$= \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9 \text{ वर्ग इकाई}$.
$y^{2} = 4\left(\frac{y+4}{2}\right)$
$y^{2} = 2(y+4)$
$y^{2} - 2y - 8 = 0$
$(y-4)(y+2) = 0$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $y = 4$ और $y = -2$ पर प्राप्त होते हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष रेखा और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{-2}^{4} \left( \frac{y+4}{2} - \frac{y^{2}}{4} \right) dy$
$= \left[ \frac{y^{2}}{4} + 2y - \frac{y^{3}}{12} \right]_{-2}^{4}$
$= \left( \frac{16}{4} + 8 - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{4}{4} - 4 - \frac{-8}{12} \right)$
$= \left( 4 + 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 1 - 4 + \frac{2}{3} \right)$
$= \left( 12 - \frac{16}{3} \right) - \left( -3 + \frac{2}{3} \right)$
$= \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{27}{3} = 9 \text{ वर्ग इकाई}$.
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57
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मूल बिंदु से गुजरने वाले और $x$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार का अवकल समीकरण है
A
$y^{2}=x^{2}+2xy \frac{dy}{dx}$
B
$y^{2}=x^{2}-2xy \frac{dy}{dx}$
C
$x^{2}=y^{2}+xy \frac{dy}{dx}$
D
$x^{2}=y^{2}+3xy \frac{dy}{dx}$
Solution
(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $x$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्त का सामान्य समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2hx = 0$ है,जहाँ $h$ एक प्राचल है।
इस समीकरण से,हमें $2h = \frac{x^{2} + y^{2}}{x}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2hx = 0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2h = 0$.
पहले समीकरण से $2h$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - \left( \frac{x^{2} + y^{2}}{x} \right) = 0$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$2x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} - x^{2} - y^{2} = 0$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$x^{2} - y^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$,जिसे $y^{2} = x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस समीकरण से,हमें $2h = \frac{x^{2} + y^{2}}{x}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2hx = 0$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 2h = 0$.
पहले समीकरण से $2h$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 2y \frac{dy}{dx} - \left( \frac{x^{2} + y^{2}}{x} \right) = 0$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$2x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} - x^{2} - y^{2} = 0$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$x^{2} - y^{2} + 2xy \frac{dy}{dx} = 0$,जिसे $y^{2} = x^{2} + 2xy \frac{dy}{dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
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58
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
यदि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$ है,तो $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण क्या है ($^{\circ}$ में)?
A
$45$
B
$180$
C
$90$
D
$60$
Solution
(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ का अदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
सूत्र में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
यह मानते हुए कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ शून्य-सदिश नहीं हैं,हम दोनों पक्षों को $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$ से विभाजित कर सकते हैं।
इससे $\cos \theta = -1$ प्राप्त होता है।
$\theta$ का वह मान जिसके लिए $\cos \theta = -1$ होता है,वह $\theta = 180^{\circ}$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
सूत्र में मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
यह मानते हुए कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ शून्य-सदिश नहीं हैं,हम दोनों पक्षों को $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$ से विभाजित कर सकते हैं।
इससे $\cos \theta = -1$ प्राप्त होता है।
$\theta$ का वह मान जिसके लिए $\cos \theta = -1$ होता है,वह $\theta = 180^{\circ}$ है।
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59
MathematicsDifficultMCQKCET · 2009
यदि $\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ है,तो $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
B
$3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$
C
$\overrightarrow{0}$
D
$6(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
Solution
(D) दिया गया है,$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}+3 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0} \quad \dots(i)$
समीकरण $(i)$ का $\overrightarrow{b}$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{b}$
चूंकि $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ और $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b} = -(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
समीकरण $(i)$ का $\overrightarrow{c}$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{c}$
चूंकि $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ और $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = -(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$:
$-(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a} = 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
अब,इन मानों को $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ में रखने पर:
$= 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
$= 6(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
समीकरण $(i)$ का $\overrightarrow{b}$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{b}$
चूंकि $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ और $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b} = -(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} - 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
समीकरण $(i)$ का $\overrightarrow{c}$ के साथ क्रॉस गुणनफल लेने पर:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \times \overrightarrow{c}$
चूंकि $\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ और $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = -(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$:
$-(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a} = 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
अब,इन मानों को $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ में रखने पर:
$= 3(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
$= 6(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$
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60
MathematicsEasyMCQKCET · 2009
यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $40 \text{ घन इकाई}$ है,तो $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन घन इकाई में क्या होगा?
A
$80$
B
$120$
C
$160$
D
$40$
Solution
(A) दिया गया है,$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 40 \text{ घन इकाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन $[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}]$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}] = 2[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$
$= 2 \times 40 = 80 \text{ घन इकाई}$.
$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन $[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}]$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}] = 2[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$
$= 2 \times 40 = 80 \text{ घन इकाई}$.
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