જો $P$ એ આર્ગેન્ડ આકૃતિમાં સંકર સંખ્યા $\sqrt{3}+i$ ને અનુરૂપ બિંદુ હોય અને જો $OPQ$ એ $O$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય,તો $Q$ કઈ સંકર સંખ્યા દર્શાવે છે?

ધારો કે $S$ એ તમામ સંકર સંખ્યાઓ $z$ નો ગણ છે જે $|z-2+i| \geq \sqrt{5}$ નું સમાધાન કરે છે. જો સંકર સંખ્યા $z_0$ એવી હોય કે $\frac{1}{|z_0-1|}$ એ ગણ $\left\{\frac{1}{|z-1|}: z \in S\right\}$ નું મહત્તમ મૂલ્ય હોય,તો $\frac{4-z_0-\bar{z}_0}{z_0-\bar{z}_0+2i}$ નો મુખ્ય કોણાંક (principal argument) શોધો.

ધારો કે $a$ એક એવી સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $|a| < 1$ અને $z_1, z_2, \dots$ એ બહુકોણના શિરોબિંદુઓ છે,જ્યાં $z_k = 1 + a + a^2 + \dots + a^{k-1}$ છે. તો બહુકોણના શિરોબિંદુઓ કયા વર્તુળની અંદર આવેલા છે?

નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $X_{n} = \{z = x + iy : |z|^{2} \leq \frac{1}{n}\}$ તમામ પૂર્ણાંક $n \geq 1$ માટે. તો,$\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n}$ એ

એક વિધેય $f$ એ સંકર સંખ્યાઓ પર $f(z) = (a + ib)z$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $a, b \in \mathbb{R}^+$. આ વિધેયનો ગુણધર્મ એ છે કે સંકર સમતલના કોઈપણ બિંદુનું $f$-પ્રતિબિંબ તે બિંદુ અને ઉગમબિંદુથી સમાન અંતરે છે. જો $|a + bi| = 10$ અને $b^2 = \frac{p}{q}$ હોય,જ્યાં $p, q \in \mathbb{Z}$ અને $\text{gcd}(p, q) = 1$,તો $p + q$ ની કિંમત શોધો.