KCET 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) जब ब्लॉक $A$, $u = 0.15 \,ms^{-1}$ के वेग से चलता है, तो यह स्प्रिंग को संकुचित करता है, जो ब्लॉक $B$ को दाईं ओर धकेलता है। स्प्रिंग तब तक संकुचित होती रहती है जब तक कि दोनों ब्लॉकों का वेग समान न हो जाए। मान लीजिए कि यह सामान्य वेग $v$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_A u = (m_A + m_B) v$
$v = \frac{m_A u}{m_A + m_B} = \frac{2 \times 0.15}{2 + 3} = \frac{0.3}{5} = 0.06 \,ms^{-1}$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, ब्लॉक $A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा और अधिकतम संपीड़न $x$ पर स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} m_A u^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) v^2 + \frac{1}{2} k x^2$
$\frac{1}{2} \times 2 \times (0.15)^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (0.06)^2 + \frac{1}{2} \times 10.8 \times x^2$
$0.0225 = 5 \times 0.0018 + 5.4 x^2$
$0.0225 = 0.009 + 5.4 x^2$
$5.4 x^2 = 0.0135$
$x^2 = \frac{0.0135}{5.4} = 0.0025$
$x = \sqrt{0.0025} = 0.05 \,m$

(C) केप्लर के ग्रहीय गति के दूसरे नियम के अनुसार,ग्रह का क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है। इसका तात्पर्य यह है कि ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
चूंकि कोणीय संवेग $L = mvr \sin(\theta)$ स्थिर है,जहां $m$ ग्रह का द्रव्यमान है,$v$ इसकी रैखिक गति है,$r$ सूर्य से दूरी है,और $\theta$ स्थिति सदिश और वेग सदिश के बीच का कोण है।
पेरिहेलियन (सूर्य के सबसे निकटतम बिंदु) पर,दूरी $r$ न्यूनतम होती है।
इसलिए,कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए,इस बिंदु पर रैखिक गति $v$ अधिकतम होनी चाहिए।
दी गई आकृति में,बिंदु $A$ सूर्य के सबसे निकट है।
अतः,ग्रह की रैखिक गति बिंदु $A$ पर अधिकतम है।

(C) तीन संगामी बलों के प्रभाव में किसी पिंड के संतुलन में रहने के लिए,बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। इसका अर्थ है कि किसी एक बल का परिमाण अन्य दो बलों के योग के बराबर या उससे कम और अन्य दो बलों के अंतर के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
मान लीजिए बल $F_1 = 1 \,N$,$F_2 = 2 \,N$ और $F_3 = 3 \,N$ हैं।
संतुलन के लिए शर्त यह है कि किन्हीं दो बलों का परिणामी बल तीसरे बल के बराबर और विपरीत दिशा में होना चाहिए।
यहाँ,$F_1 + F_2 = 1 + 2 = 3 \,N$,जो $F_3$ के बराबर है।
हालाँकि,$F_1$ और $F_2$ का परिणामी बल $3 \,N$ प्राप्त करने के लिए,उन्हें एक ही दिशा में कार्य करना होगा (कोण $\theta = 0^{\circ}$)।
यदि वे एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो वे प्रश्न में बताए अनुसार 'विभिन्न दिशाओं' में कार्य नहीं कर रहे हैं।
यदि बल विभिन्न दिशाओं में कार्य करते हैं,तो $1 \,N$ और $2 \,N$ का परिणामी बल हमेशा $3 \,N$ से कम होगा।
इसलिए,ये तीन बल एक बंद त्रिभुज नहीं बना सकते हैं और पिंड संतुलन में नहीं रह सकता है।

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = ma$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,पिंड पर नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ और ऊपर की ओर हवा का प्रतिरोध बल $(F_{air})$ कार्य कर रहा है।
चूंकि पिंड $a$ त्वरण के साथ नीचे गिर रहा है,इसलिए कुल बल का समीकरण है:
$mg - F_{air} = ma$
हवा के प्रतिरोध बल $(F_{air})$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$F_{air} = mg - ma = m(g - a)$
दिया गया है:
द्रव्यमान $(m)$ = $0.05 \ kg$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $9.8 \ ms^{-2}$
पिंड का त्वरण $(a)$ = $9.5 \ ms^{-2}$
मान रखने पर:
$F_{air} = 0.05 \times (9.8 - 9.5)$
$F_{air} = 0.05 \times 0.3$
$F_{air} = 0.015 \ N$

(B) संख्या $4.8000 \times 10^{4}$ के लिए:
वैज्ञानिक संकेतन में,$10$ की घात सार्थक अंकों की संख्या में योगदान नहीं देती है।
अंक $4, 8, 0, 0, 0$ सभी सार्थक हैं क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद आने वाले अंतिम शून्य सार्थक होते हैं।
अतः,इसमें $5$ सार्थक अंक हैं।
संख्या $48000.50$ के लिए:
सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
दो गैर-शून्य अंकों के बीच आने वाले शून्य सार्थक होते हैं।
दशमलव बिंदु के बाद के अंतिम शून्य भी सार्थक होते हैं।
इसलिए,सभी अंक $4, 8, 0, 0, 0, 5, 0$ सार्थक हैं,जो कुल $7$ सार्थक अंक बनाते हैं।

(D) मान लीजिए $W_s$ और $W_a$ हवा में स्टील और एल्युमीनियम के वजन हैं,और $V_s$ और $V_a$ उनके आयतन हैं। पानी का घनत्व $\rho_w$ है। पानी में डुबोने पर,आभासी वजन $W_{app} = W - V\rho_w g$ होता है। दिया गया है कि आभासी वजन समान हैं: $W_s - V_s \rho_w g = W_a - V_a \rho_w g$। चूंकि $W = V \rho g$ है,इसलिए $V = W / (\rho g)$ होगा। इसे प्रतिस्थापित करने पर,$W_s - (W_s / \rho_s) \rho_w g = W_a - (W_a / \rho_a) \rho_w g$,जो सरल होकर $W_s(1 - \rho_w / \rho_s) = W_a(1 - \rho_w / \rho_a)$ बन जाता है। चूंकि स्टील का घनत्व $\rho_s \approx 7800 \ kg/m^3$ एल्युमीनियम के घनत्व $\rho_a \approx 2700 \ kg/m^3$ से बहुत अधिक है,इसलिए $(1 - \rho_w / \rho_s)$ पद $(1 - \rho_w / \rho_a)$ से बड़ा है। इसलिए,समानता बनाए रखने के लिए $W_s$ को $W_a$ से कम होना चाहिए। अतः,हवा में एल्युमीनियम का टुकड़ा अधिक वजन का होता है।

(D) धारा रेखीय प्रवाह में एक असंपीड्य द्रव के लिए सांतत्य समीकरण के अनुसार, नली के सभी अनुप्रस्थ काटों पर आयतन प्रवाह दर $(Q = Av)$ स्थिर रहती है।
इसलिए, द्रव के प्रवाह की दर $M$ और $N$ दोनों बिंदुओं पर समान होती है।

(B) माना कुल दूरी $2S$ है। पहली आधी दूरी $S$, $v_1 = 2 \,ms^{-1}$ की चाल से तय की जाती है। लगा समय $t_1 = \frac{S}{2}$ है。
शेष आधी दूरी $S$ को दो समान समयांतरालों $t_2$ में, $v_2 = 3 \,ms^{-1}$ और $v_3 = 5 \,ms^{-1}$ की चाल से तय किया जाता है。
अतः, $S = v_2 t_2 + v_3 t_2 = (3 + 5) t_2 = 8 t_2$. इसलिए, $t_2 = \frac{S}{8}$.
दूसरी आधी दूरी के लिए लगा कुल समय $2 t_2 = 2 \times \frac{S}{8} = \frac{S}{4}$ है。
कुल समय $T = t_1 + 2 t_2 = \frac{S}{2} + \frac{S}{4} = \frac{3S}{4}$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2S}{3S/4} = \frac{8}{3} \,ms^{-1}$.

(C) $M$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{z} = Mr^{2}$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$ होता है।
चूंकि वलय अपने व्यास के परितः सममित है,इसलिए $I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ होगा।
अतः,$Mr^{2} = 2I_{diameter}$।
$I_{diameter} = \frac{Mr^{2}}{2}$।

(D) दरवाजे को खोलने या बंद करने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau$ स्थिर रहता है और यह बल $F$ तथा कब्जे से दूरी $d$ के गुणनफल के बराबर होता है: $\tau = F \times d$
यहाँ, मुक्त सिरे पर $(d = 1.6 \,m)$ $1 \,N$ बल लगाने पर टॉर्क $\tau = 1 \,N \times 1.6 \,m = 1.6 \,N-m$ प्राप्त होता है।
अब, कब्जे से $d' = 0.4 \,m$ की दूरी पर आवश्यक बल $F'$ ज्ञात करने के लिए: $F' = \frac{\tau}{d'} = \frac{1.6 \,N-m}{0.4 \,m} = 4 \,N$.

(A) माना मिश्रण का अंतिम तापमान $t$ है।
$80^{\circ} C$ पर पानी द्वारा खोई गई ऊष्मा $= m_1 s \Delta t_1 = (V_1 \rho) s (80^{\circ} - t)$.
$60^{\circ} C$ पर पानी द्वारा प्राप्त ऊष्मा $= m_2 s \Delta t_2 = (V_2 \rho) s (t - 60^{\circ})$.
कैलोरीमिति के सिद्धांत के अनुसार,खोई गई ऊष्मा = प्राप्त ऊष्मा।
चूंकि घनत्व $\rho$ और विशिष्ट ऊष्मा $s$ दोनों के लिए समान हैं:
$V_1 (80^{\circ} - t) = V_2 (t - 60^{\circ})$.
मान रखने पर:
$0.1 (80 - t) = 0.3 (t - 60)$.
$8 - 0.1t = 0.3t - 18$.
$26 = 0.4t$.
$t = \frac{26}{0.4} = 65^{\circ} C$.

(B) ऊष्मीय विकिरण विद्युत चुम्बकीय तरंगों से बना होता है,जो प्रकाश के समान व्यवहार करती हैं।
जब विद्युत चुम्बकीय विकिरण एक माध्यम से दूसरे माध्यम में यात्रा करता है,तो माध्यम के अपवर्तनांक में परिवर्तन के कारण इसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाती है।
हालाँकि,विकिरण की आवृत्ति स्रोत का एक गुण है और यह उस माध्यम से स्वतंत्र रहती है जिससे यह गुजरती है।
इसलिए,यह कथन कि आवृत्ति बदल जाती है,गलत है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन के नियम के अनुसार,प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में विकिरित ऊष्मीय ऊर्जा परम तापमान की चौथी घात के समानुपाती होती है: $E \propto T^{4}$.
मान लीजिए कि $T$ तापमान पर प्रारंभिक विकिरित ऊर्जा $E$ है।
मान लीजिए कि $3T$ तापमान पर विकिरित ऊर्जा $E^{\prime}$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है: $\frac{E^{\prime}}{E} = \left( \frac{3T}{T} \right)^{4}$.
$\frac{E^{\prime}}{E} = (3)^{4} = 81$.
अतः,$E^{\prime} = 81 E$.

(B) तारों के सतह का तापमान वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।
इस नियम के अनुसार,$\lambda_{m} T = b$,जहाँ $\lambda_{m}$ अधिकतम वर्णक्रमीय उत्सर्जन शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्ध्य है,$T$ कृष्णिका (black body) का परम तापमान है,और $b$ वीन का नियतांक है।
वीन नियतांक का मान लगभग $2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K$ होता है।
जिस तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ पर तारा अधिकतम विकिरण उत्सर्जित करता है,उसे मापकर सतह का तापमान $T = b / \lambda_{m}$ के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।

(D) $(i)$ वक्र $OA$ समदाबी प्रक्रिया को दर्शाता है (क्योंकि दाब स्थिर है)।
(ii) वक्र $OB$ समतापीय प्रक्रिया को दर्शाता है।
(iii) वक्र $OC$ रुद्धोष्म प्रक्रिया को दर्शाता है,क्योंकि रुद्धोष्म प्रक्रिया की ढाल समतापीय प्रक्रिया की तुलना में अधिक तीव्र होती है।
(iv) वक्र $OD$ समआयतनिक प्रक्रिया को दर्शाता है (क्योंकि आयतन स्थिर है)।

(A) ऊष्मागतिक निर्देशांक वे अवस्था चर (state variables) हैं जो एक ऊष्मागतिक प्रणाली की अवस्था को परिभाषित करते हैं,जैसे कि दाब $(p)$,आयतन $(V)$,और तापमान $(T)$।
$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,जो प्रकृति का एक मूलभूत नियतांक है और यह कोई ऐसा चर नहीं है जो किसी विशिष्ट प्रणाली की अवस्था का वर्णन करता हो।
इसलिए,गैस नियतांक $(R)$ एक ऊष्मागतिक निर्देशांक नहीं है।

(B) प्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y=3 \sin \pi\left(\frac{t}{2}-\frac{x}{4}\right)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हम समीकरण को $y=3 \sin 2\pi \left(\frac{t}{4}-\frac{x}{8}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इससे,हम आवर्तकाल $T=4 \,s$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda=8 \,m$ प्राप्त करते हैं।
तरंग का वेग $v = \frac{\lambda}{T} = \frac{8}{4} = 2 \,m/s$ है।
$t=5 \,s$ समय में तरंग द्वारा तय की गई दूरी $s = v \times t = 2 \times 5 = 10 \,m$ है।

(A) $\text{L}$ लंबाई की खुली बेलनाकार नली की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{2L} = 390 \,Hz$ द्वारा दी जाती है।
जब नली का $\frac{1}{4}$ भाग पानी में डुबोया जाता है, तो नली एक बंद ऑर्गन पाइप (एक सिरे पर बंद) के रूप में कार्य करती है, जिसकी नई लंबाई $L' = L - \frac{1}{4}L = \frac{3}{4}L$ होती है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n' = \frac{v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है।
$L' = \frac{3}{4}L$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $n' = \frac{v}{4(\frac{3}{4}L)} = \frac{v}{3L}$ प्राप्त होता है।
हम इसे $n' = \frac{2}{3} \times (\frac{v}{2L})$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\frac{v}{2L} = 390 \,Hz$, इसलिए $n' = \frac{2}{3} \times 390 \,Hz = 260 \,Hz$ होगा।

(D) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें होती हैं जो किसी माध्यम से होकर गुजरती हैं। जैसे-जैसे वे चलती हैं,वे माध्यम के कणों को दोलन कराती हैं,जिससे एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ऊर्जा का स्थानांतरण होता है। चूंकि इन तरंगों में द्रव्यमान वाले कणों की गति शामिल होती है,इसलिए वे संवेग भी ले जाती हैं। अतः,ध्वनि तरंगें ऊर्जा और संवेग दोनों का स्थानांतरण करती हैं।

(D) एक बिंदु स्रोत द्वारा उत्सर्जित गोलाकार तरंग के लिए,$r$ दूरी पर तीव्रता $I$ को $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ स्रोत की शक्ति है।
चूँकि $I \propto A^2$,जहाँ $A$ आयाम है,हमारे पास $A^2 \propto \frac{1}{r^2}$ है,जिसका अर्थ है $A \propto \frac{1}{r}$।
मान लीजिए कि $r_P = 4 \ m$ और $r_Q = 9 \ m$ की दूरी पर आयाम क्रमशः $A_P$ और $A_Q$ हैं।
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{A_P}{A_Q} = \frac{r_Q}{r_P}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{A_P}{A_Q} = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।

(NONE) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य $F-s$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$20 \, m$ की दूरी के लिए कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, हम $s = 0 \, m$ से $s = 20 \, m$ तक ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
यह क्षेत्रफल तीन भागों से बना है:
$1$. $s = 0$ से $s = 4 \, m$ तक एक त्रिभुज, जिसका आधार $4 \, m$ और ऊँचाई $10 \, N$ है: $\text{Area}_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 10 = 20 \, J$.
$2$. $s = 4$ से $s = 15 \, m$ तक एक आयत, जिसकी चौड़ाई $11 \, m$ और ऊँचाई $10 \, N$ है: $\text{Area}_2 = 11 \times 10 = 110 \, J$.
$3$. $s = 15$ से $s = 20 \, m$ तक एक समलंब, जिसकी समांतर भुजाएँ $10 \, N$ और $20 \, N$ हैं और ऊँचाई $5 \, m$ है: $\text{Area}_3 = \frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 5 = \frac{1}{2} \times 30 \times 5 = 75 \, J$.
कुल कार्य $W = 20 + 110 + 75 = 205 \, J$.

(A) $RC$ श्रेणी परिपथ में, प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ और संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $(V_C)$ एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होते हैं।
दिया गया है: $V_R = 12 \,V$ और $V_C = 5 \,V$.
कुल आरोपित वोल्टेज $V$ को फेजर योग द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2}$
मान रखने पर:
$V = \sqrt{(12)^2 + (5)^2}$
$V = \sqrt{144 + 25}$
$V = \sqrt{169}$
$V = 13 \,V$
अतः, आरोपित वोल्टेज $13 \,V$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की स्पेक्ट्रमी रेखाओं को उस विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के क्षेत्र के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है जिसमें वे स्थित होती हैं:
$1$. लायमन श्रेणी: पराबैंगनी (Ultraviolet) क्षेत्र
$2$. बामर श्रेणी: दृश्य (Visible) क्षेत्र
$3$. पाश्चन श्रेणी: अवरक्त (Infrared) क्षेत्र
$4$. ब्रैकेट श्रेणी: अवरक्त (Infrared) क्षेत्र
$5$. फंड श्रेणी: अवरक्त (Infrared) क्षेत्र
इस वर्गीकरण से यह स्पष्ट है कि बामर श्रेणी विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में स्थित है।

(A) एक इनकैंडेसेंट इलेक्ट्रिक लैंप एक सतत उत्सर्जन स्पेक्ट्रम उत्पन्न करता है क्योंकि फिलामेंट अपने उच्च तापमान के कारण तरंग दैर्ध्य की एक विस्तृत श्रृंखला में विकिरण उत्सर्जित करता है।
मर्करी और सोडियम वेपर लैंप रेखीय उत्सर्जन स्पेक्ट्रम देते हैं क्योंकि गैस में परमाणु केवल विशिष्ट तरंग दैर्ध्य पर ही प्रकाश उत्सर्जित करते हैं।
बहुपरमाणुक पदार्थ,जैसे $H_{2}$,$CO_{2}$ और $KMnO_{4}$,आमतौर पर बैंड अवशोषण स्पेक्ट्रम उत्पन्न करते हैं।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right)$ है।
यहाँ,अंतिम अवस्था मूल अवस्था है,इसलिए $n_{f} = 1$,और प्रारंभिक उत्तेजित अवस्था $n_{i} = n$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}} \right) = R \left( 1 - \frac{1}{n^{2}} \right)$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{\lambda R} = 1 - \frac{1}{n^{2}}$.
इसका अर्थ है $\frac{1}{n^{2}} = 1 - \frac{1}{\lambda R} = \frac{\lambda R - 1}{\lambda R}$.
व्युत्क्रम और वर्गमूल लेने पर,हमें $n = \sqrt{\frac{\lambda R}{\lambda R - 1}}$ प्राप्त होता है।

(C) $4 \mu F$ और $2 \mu F$ के संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 4 \mu F + 2 \mu F = 6 \mu F$ है।
यह समानांतर संयोजन $6 \mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6 \mu F} + \frac{1}{6 \mu F} = \frac{2}{6 \mu F} = \frac{1}{3 \mu F} \Rightarrow C_{eq} = 3 \mu F$.
$12 \text{ V}$ स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q$ है:
$Q = C_{eq} \times V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$.
यह कुल आवेश $Q$,$6 \mu F$ संधारित्र से होकर गुजरता है और फिर समानांतर में जुड़े $4 \mu F$ और $2 \mu F$ संधारित्रों के बीच विभाजित हो जाता है।
मान लीजिए $4 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_1$ है और $2 \mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q_2$ है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,उनके सिरों पर विभवांतर समान है:
$V_p = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2} \Rightarrow \frac{Q_1}{4 \mu F} = \frac{Q_2}{2 \mu F} \Rightarrow Q_1 = 2 Q_2$.
साथ ही,$Q_1 + Q_2 = Q = 36 \mu C$.
समीकरण में $Q_1 = 2 Q_2$ रखने पर:
$2 Q_2 + Q_2 = 36 \mu C \Rightarrow 3 Q_2 = 36 \mu C \Rightarrow Q_2 = 12 \mu C$.
अतः,$Q_1 = 2 \times 12 \mu C = 24 \mu C = 24 \times 10^{-6} C$.

(B) $1 \Omega$ और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक $ABC$ पथ पर श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। इस शाखा का तुल्य प्रतिरोध $R_{ABC} = 1 \Omega + 2 \Omega = 3 \Omega$ है।
यह शाखा बैटरी के टर्मिनलों $A$ और $C$ के सीधे पार जुड़े $3 \Omega$ प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ी हुई है।
$3 \Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के बराबर है,अर्थात $V = 3 \text{ V}$।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$3 \Omega$ प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{3 \text{ V}}{3 \Omega} = 1 \text{ A}$।

(D) पोटेंशियोमीटर में उस सेल से कोई धारा नहीं ली जाती है जिसका $emf$ मापा जाना है,जबकि वोल्टमीटर हमेशा सेल से कुछ धारा खींचता है।
चूंकि $emf$ वह विभवांतर है जब कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही होती है,इसलिए पोटेंशियोमीटर ज्ञात विभव प्रवणता के साथ विभवांतर को संतुलित करके सटीक माप प्रदान करता है।
इसलिए,सेल का $emf$ पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सटीक रूप से मापा जा सकता है।

(A) दिया गया है,गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध $G = 240 \Omega$ है।
माना मुख्य धारा $I$ है और गैल्वेनोमीटर से होकर बहने वाली धारा $I_G$ है।
प्रश्न के अनुसार,$I_G = 4 \% \text{ of } I = \frac{4}{100} I = 0.04 I$ है।
शंट प्रतिरोध $S$ को गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर समान होगा:
$I_G G = (I - I_G) S$
मान रखने पर:
$0.04 I \times 240 = (I - 0.04 I) S$
$9.6 I = 0.96 I \times S$
$S = \frac{9.6 I}{0.96 I} = 10 \Omega$ है।
अतः,शंट प्रतिरोध का मान $10 \Omega$ है।

(B) शक्ति $P$ और वोल्टेज $V$ का मान $P = 550 \,W$ और $V = 220 \,V$ दिया गया है।
शक्ति, वोल्टेज और धारा $I$ के बीच का संबंध सूत्र $P = V \times I$ द्वारा दिया जाता है।
धारा के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $I = \frac{P}{V}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{550}{220} = 2.5 \,A$।
अतः, हीटर द्वारा ली गई धारा $2.5 \,A$ है।

(A) आइए परिपथ में विभिन्न बिंदुओं पर विभव का विश्लेषण करें।
सबसे बाईं ओर के तार से शुरू करते हुए,मान लें कि विभव $0 \text{ V}$ है।
ऊपरी शाखा में आगे बढ़ते हुए,प्रत्येक बैटरी पर विभव $2 \text{ V}$ बदलता है। इसी प्रकार,निचली शाखा के लिए,प्रत्येक बैटरी पर विभव $2 \text{ V}$ बदलता है।
पहले $1 \Omega$ के ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध के लिए,ऊपरी नोड पर विभव $0 \text{ V} - 2 \text{ V} = -2 \text{ V}$ है और निचले नोड पर विभव $0 \text{ V} - 2 \text{ V} = -2 \text{ V}$ है।
इस प्रतिरोध पर विभवांतर $(-2 \text{ V}) - (-2 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे ऊर्ध्वाधर प्रतिरोध के लिए,ऊपरी नोड पर विभव $-2 \text{ V} - 2 \text{ V} = -4 \text{ V}$ है और निचले नोड पर विभव $-2 \text{ V} - 2 \text{ V} = -4 \text{ V}$ है।
विभवांतर $(-4 \text{ V}) - (-4 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ है।
तीसरे प्रतिरोध के लिए,ऊपरी नोड पर विभव $-4 \text{ V} - 2 \text{ V} = -6 \text{ V}$ है और निचले नोड पर विभव $-4 \text{ V} - 2 \text{ V} = -6 \text{ V}$ है।
विभवांतर $(-6 \text{ V}) - (-6 \text{ V}) = 0 \text{ V}$ है।
चूंकि प्रत्येक प्रतिरोध पर विभवांतर $0 \text{ V}$ है,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोध से प्रवाहित धारा $I = V/R = 0 \text{ V} / 1 \Omega = 0 \text{ A}$ होगी।

(C) दिया गया है: $T_1 = 300 \, K$ पर $R_{T_1} = 0.3 \, \Omega$ है।
तापमान $T_2$ पर प्रतिरोध $R_{T_2} = 0.6 \, \Omega$ है।
प्रतिरोध का ताप गुणांक $\alpha = 1.5 \times 10^{-3} \, K^{-1}$ है।
तापमान के साथ प्रतिरोध में परिवर्तन का सूत्र $R_T = R_{T_0} [1 + \alpha(T - T_0)]$ है।
दिए गए मानों का उपयोग करने पर: $0.6 = 0.3 [1 + 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)]$.
दोनों पक्षों को $0.3$ से विभाजित करने पर: $2 = 1 + 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $1 = 1.5 \times 10^{-3} (T_2 - 300)$.
$(T_2 - 300)$ के लिए हल करने पर: $T_2 - 300 = \frac{1}{1.5 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{1.5} \approx 666.67 \, K$.
अतः, $T_2 = 300 + 666.67 = 966.67 \, K$। विकल्पों को देखते हुए, $993 \, K$ सबसे निकटतम सैद्धांतिक उत्तर है।

(C) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $K$ गतिज ऊर्जा है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$।
मान लीजिए कि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K' = 3K$ है।
प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(3K)}} = \frac{h}{\sqrt{3} \sqrt{2mK}}$ है।
इसलिए,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $1/\sqrt{3}$ के कारक से बदल जाएगी।

(A) $G$ $P$ Thomson ने यह प्रदर्शित करके द्रव्य तरंगों (डी-ब्रोग्ली की परिकल्पना) के अस्तित्व की प्रायोगिक पुष्टि की कि जब इलेक्ट्रॉन पुंज (electron beams) क्रिस्टल की नियमित परमाणु सरणियों द्वारा प्रकीर्णित होते हैं,तो वे विवर्तन (diffraction) प्रदर्शित करते हैं। इस प्रयोग ने पदार्थ की तरंग प्रकृति के लिए प्रत्यक्ष प्रमाण प्रदान किया।

(A) जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन सीधी रेखा में गति करता है,यह एक चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं लूप से होकर गुजरती हैं,जिससे चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न होता है।
लेंज़ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा चुंबकीय फ्लक्स में होने वाले परिवर्तन का विरोध करेगी।
जैसे ही इलेक्ट्रॉन लूप के करीब आता है,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। इलेक्ट्रॉन की गति से उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की दिशा (ऋणात्मक आवेश के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके) एक फ्लक्स परिवर्तन का कारण बनती है जो इस वृद्धि का विरोध करने के लिए धारा को प्रेरित करती है।
जैसे ही इलेक्ट्रॉन लूप से आगे निकल जाता है,लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स घट जाता है। प्रेरित धारा तब इस कमी का विरोध करने के लिए अपनी दिशा बदल लेती है।
इसलिए,प्रेरित धारा की दिशा स्थिर नहीं है; यह इलेक्ट्रॉन की गति के साथ बदलती रहती है,जिससे यह परिवर्तनीय (variable) हो जाती है।

(D) रेले के प्रकीर्णन नियम के अनुसार, प्रकीर्णित प्रकाश की तीव्रता उसकी तरंगदैर्ध्य की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(I \propto 1/\lambda^4)$.
चूंकि अवरक्त (इन्फ्रारेड) विकिरणों की तरंगदैर्ध्य दृश्य प्रकाश की तुलना में अधिक होती है, इसलिए कोहरे के कणों द्वारा उनका प्रकीर्णन बहुत कम होता है।
इस कम प्रकीर्णन के कारण, अवरक्त विकिरण दृश्य प्रकाश की तुलना में कोहरे से अधिक प्रभावी ढंग से गुजर सकते हैं।
इसलिए, कोहरे की स्थिति में अवरक्त विकिरणों द्वारा ली गई तस्वीरें दृश्य प्रकाश से ली गई तस्वीरों की तुलना में बहुत अधिक स्पष्ट होती हैं।

(C) हैड्रोन उप-परमाणु कण हैं जो प्रबल बल (strong force) द्वारा एक साथ बंधे क्वार्क से बने होते हैं। इन्हें मुख्य रूप से दो श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है: बेरियन और मेसन।
बेरियन $3$ क्वार्क से बने होते हैं (उदाहरण के लिए,प्रोटॉन और न्यूट्रॉन)।
मेसन एक क्वार्क और एक एंटीक्वार्क के जोड़े से बने होते हैं।
इसलिए,क्वार्क मॉडल के अनुसार,सभी हैड्रोन का निर्माण $3$ क्वार्क और $3$ एंटीक्वार्क का उपयोग करके किया जा सकता है।

(D) दिया गया है: $\alpha$-कण का द्रव्यमान $m = 6.4 \times 10^{-27} \ kg$,आवेश $q = 3.2 \times 10^{-19} \ C$,विद्युत क्षेत्र $E = 1.6 \times 10^{5} \ Vm^{-1}$,और दूरी $s = 2 \times 10^{-2} \ m$ है।
$\alpha$-कण पर लगने वाला बल $F = qE = (3.2 \times 10^{-19}) \times (1.6 \times 10^{5}) = 5.12 \times 10^{-14} \ N$ है।
कण का त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{5.12 \times 10^{-14}}{6.4 \times 10^{-27}} = 0.8 \times 10^{13} \ ms^{-2} = 8 \times 10^{12} \ ms^{-2}$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$v^2 = 0 + 2 \times (8 \times 10^{12}) \times (2 \times 10^{-2}) = 32 \times 10^{10}$.
वर्गमूल लेने पर,$v = \sqrt{32 \times 10^{10}} = \sqrt{16 \times 2} \times 10^{5} = 4 \sqrt{2} \times 10^{5} \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) विद्युत विभव $V = 3x^2$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ है।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2) = 6x$.
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$.
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
अतः,$\vec{E} = -6x \hat{i}$.
बिंदु $(2, 0, 1)$ पर,$x$-निर्देशांक $2$ है।
$\vec{E}$ के व्यंजक में $x = 2$ रखने पर:
$\vec{E} = -6(2) \hat{i} = -12 \hat{i} \ Vm^{-1}$.
अतः,विद्युत क्षेत्र का मान $-12 \ Vm^{-1}$ है।

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद पथ के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का रेखीय समाकल उस पथ द्वारा घिरे कुल धारा $I_{\text{enclosed}}$ के $\mu_{0}$ गुना के बराबर होता है: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{\text{enclosed}}$.
पाइप के अंदर किसी बिंदु के लिए जहाँ त्रिज्यीय दूरी $r < R$ है (जहाँ $R$ पाइप की त्रिज्या है),पाइप के अंदर खींचा गया कोई भी बंद वृत्ताकार पथ शून्य कुल धारा को घेरता है क्योंकि धारा केवल पाइप की दीवारों से होकर बहती है।
अतः,$I_{\text{enclosed}} = 0$.
एम्पीयर का नियम लागू करने पर: $B(2 \pi r) = \mu_{0}(0) \implies B = 0$.
इसलिए,पाइप के अंदर किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
बाहरी बिंदु के लिए जहाँ $r > R$ है,पथ कुल धारा $I$ को घेरता है,इसलिए $B(2 \pi r) = \mu_{0} I \implies B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$.
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(D) सर्पिल कुंडली के केंद्र से $r$ दूरी पर $dr$ मोटाई का एक सूक्ष्म अवयव (element) मानिए।
कुल फेरों की संख्या $= n$.
कुंडली की त्रिज्यीय चौड़ाई $(b - a)$ है।
प्रति इकाई त्रिज्यीय लंबाई में फेरों की संख्या $= \frac{n}{b - a}$.
$dr$ मोटाई के अवयव में फेरों की संख्या $dn = \frac{n}{b - a} dr$ होगी।
$r$ त्रिज्या वाले इस वृत्ताकार अवयव के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_{0} I dn}{2r}$ है।
$dn$ का मान रखने पर,$dB = \frac{\mu_{0} I}{2r} \left( \frac{n}{b - a} \right) dr$ प्राप्त होता है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ ज्ञात करने के लिए,$r = a$ से $r = b$ तक समाकलन (integration) करने पर:
$B = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \frac{dr}{r} = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} [\log_{e} r]_{a}^{b}$.
$B = \frac{\mu_{0} n I}{2(b - a)} \log_{e} \left( \frac{b}{a} \right)$.

(A) एक धारा लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$M = NIA$
जहाँ:
$N$ लूप में फेरों की संख्या है,
$I$ लूप में प्रवाहित धारा है,
$A$ लूप का क्षेत्रफल है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण केवल लूप के गुणों $(N, I, A)$ पर निर्भर करता है और उस बाहरी चुंबकीय क्षेत्र से स्वतंत्र है जिसमें लूप स्थित है।

(B) ट्रांसफार्मर कोर के लिए,पदार्थ को आसानी से चुम्बकित और विचुम्बकित होने वाला होना चाहिए ताकि प्रत्यावर्ती धारा (alternating current) के प्रत्येक चक्र के दौरान ऊर्जा का क्षय कम से कम हो।
उच्च पारगम्यता (high permeability) पदार्थ को चुंबकीय फ्लक्स लाइनों को प्रभावी ढंग से केंद्रित करने की अनुमति देती है,जो कुशल प्रेरण (induction) के लिए आवश्यक है।
कम हिस्टैरिसीस हानि यह सुनिश्चित करती है कि चुम्बकन चक्र के दौरान ऊष्मा के रूप में नष्ट होने वाली ऊर्जा न्यूनतम रहे।
इसलिए,ट्रांसफार्मर में उपयोग किए जाने वाले फेरोमैग्नेटिक पदार्थों में उच्च पारगम्यता और कम हिस्टैरिसीस हानि होनी चाहिए।

(A) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ के अनुसार।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \mu g = 10^{-6} g = 10^{-9} kg$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 m/s$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 10^{-9} \times (3 \times 10^8)^2 = 10^{-9} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^7 J$।
जूल को किलोवाट-घंटा $(kWh)$ में बदलने के लिए,हम $3.6 \times 10^6 J/kWh$ से विभाजित करते हैं:
$E = \frac{9 \times 10^7}{3.6 \times 10^6} kWh = 25 kWh$।

(A) न्यूक्लियर मैग्नेटिक रेजोनेंस $(NMR)$ एक भौतिक घटना है जिसमें एक मजबूत स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में नाभिक को एक कमजोर दोलनशील चुंबकीय क्षेत्र द्वारा परेशान किया जाता है और वे नाभिक पर चुंबकीय क्षेत्र की विशिष्ट आवृत्ति के साथ एक विद्युत चुम्बकीय संकेत उत्पन्न करके प्रतिक्रिया करते हैं। इस प्रक्रिया में प्रोटॉन (या गैर-शून्य स्पिन वाले अन्य नाभिक) की स्पिन स्थिति ऊर्जा स्तरों के बीच बदल जाती है (फ्लिप होती है) जब वे बाहरी रेडियो-आवृत्ति क्षेत्र से ऊर्जा को अवशोषित करते हैं।

(C) मान लीजिए कि समय $t=0$ पर परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ है।
मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर परमाणुओं की संख्या $N$ है।
औसत आयु $\tau = 1/\lambda$ है,जहाँ $\lambda$ क्षय नियतांक है।
रेडियोधर्मी क्षय के नियम के अनुसार,समय $t$ पर बचे हुए परमाणुओं की संख्या $N = N_0 e^{-\lambda t}$ होती है।
यहाँ दिया गया है कि समय $t$ औसत आयु के बराबर है,अर्थात $t = \tau = 1/\lambda$।
क्षय समीकरण में $t = 1/\lambda$ रखने पर:
$N = N_0 e^{-\lambda (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0/e$।
हमें परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $(N_0)$ और समय $t$ पर उपस्थित परमाणुओं की संख्या $(N)$ का अनुपात ज्ञात करना है:
अनुपात $= N_0 / N = N_0 / (N_0 / e) = e$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) $\beta$-उत्सर्जन एक रेडियोधर्मी नाभिक से होता है। $\beta^{-}$-क्षय में,नाभिक के भीतर एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटी-न्यूट्रिनो में परिवर्तित हो जाता है:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z+1}^{A} Y+{ }_{-1} e^{0}+\overline{v}$
उदाहरण के लिए: ${ }_{15}^{32} P \longrightarrow{ }_{16}^{32} S+{ }_{-1} e^{0}+\overline{v}$
$\beta^{+}$-क्षय में,नाभिक के भीतर एक प्रोटॉन न्यूट्रॉन,पॉज़िट्रॉन और न्यूट्रिनो में परिवर्तित हो जाता है:
${ }_{Z}^{A} X \longrightarrow{ }_{Z-1}^{A} Y+{ }_{+1} e^{0}+v$
उदाहरण के लिए: ${ }_{11}^{22} Na \longrightarrow{ }_{10}^{22} Ne+{ }_{+1} e^{0}+v$
अतः,यह उत्सर्जन इलेक्ट्रॉन कक्षाओं से नहीं बल्कि नाभिक से होता है।

(D) दिया गया है: हवा में फोकस दूरी $f_{a} = 0.15 \,m$, कांच का अपवर्तनांक $\mu_{g} = \frac{3}{2}$, पानी का अपवर्तनांक $\mu_{w} = \frac{4}{3}$.
लेंस मेकर सूत्र के अनुसार: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$, जहाँ $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}}$.
हवा के लिए: $\frac{1}{f_{a}} = \left( \frac{\mu_{g}}{\mu_{a}} - 1 \right) C$, जहाँ $C = \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$.
$\frac{1}{0.15} = \left( \frac{3/2}{1} - 1 \right) C = \frac{1}{2} C \implies C = \frac{2}{0.15} = \frac{40}{3}$.
पानी के लिए: $\frac{1}{f_{w}} = \left( \frac{\mu_{g}}{\mu_{w}} - 1 \right) C$.
$\frac{1}{f_{w}} = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) C = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) C = \frac{1}{8} C$.
$C = \frac{40}{3}$ का मान रखने पर: $\frac{1}{f_{w}} = \frac{1}{8} \times \frac{40}{3} = \frac{5}{3}$.
अतः, $f_{w} = \frac{3}{5} = 0.6 \,m$.

(D) जब प्रकाश का एक समानांतर किरण पुंज एक अभिसारी लेंस पर आपतित होता है,तो यह लेंस के मुख्य फोकस पर अभिसरित होता है।
जैसे-जैसे हम मुख्य अक्ष पर लेंस से दूर जाते हैं,किरण पुंज पहले फोकस बिंदु की ओर अभिसरित होता है,जिससे किरण पुंज का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल कम हो जाता है,जिससे प्रकाश की तीव्रता बढ़ जाती है।
फोकस बिंदु से गुजरने के बाद,किरण पुंज अपसरित होने लगता है,जिससे अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल बढ़ जाता है,जिससे प्रकाश की तीव्रता कम हो जाती है।
अतः,प्रकाश की तीव्रता पहले बढ़ती है और फिर घटती है।

(C) रेले के मानदंड (Rayleigh's criterion) के अनुसार, कोणीय विभेदन सीमा $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d_e}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d_e$ आँख की पुतली का व्यास है।
दिया गया है: $\lambda = 500 \,nm = 500 \times 10^{-9} \,m$, $d_e = 2.5 \times 10^{-3} \,m$, और दूरी $D = 10 \,km = 10^4 \,m$.
मान रखने पर:
$\theta = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-3}} = 2.44 \times 10^{-4} \,rad$.
विभेदन दूरी $a$ कोणीय विभेदन से $\theta = \frac{a}{D}$ द्वारा संबंधित है।
अतः, $a = D \times \theta = 10^4 \,m \times 2.44 \times 10^{-4} \,rad = 2.44 \,m$.

(B) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण या अपवर्तक कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन कोण $\delta_{m}$ अपवर्तक कोण $A$ के बराबर है,इसलिए $\delta_{m} = A = 60^{\circ}$।
प्रिज्म के अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{\sin((A + \delta_{m})/2)}{\sin(A/2)}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 60^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)}$।
$\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$।
चूँकि $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\mu = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।

(C) दिया गया है,आपतन कोण $i = 60^{\circ}$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,परावर्तन कोण $r$,आपतन कोण $i$ के बराबर होता है,इसलिए $r = 60^{\circ}$।
समतल दर्पण द्वारा उत्पन्न विचलन कोण $\delta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\delta = 180^{\circ} - (i + r)$
चूंकि $i = r = 60^{\circ}$ है,इसलिए हमारे पास है:
$\delta = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ})$
$\delta = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$।

(B) दिया गया है: आपतन कोण $i = 45^{\circ}$।
प्रति इकाई मोटाई पार्श्व विस्थापन $\frac{d}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
पार्श्व विस्थापन $d$ का सूत्र $d = \frac{t \sin(i - r)}{\cos r}$ है,जहाँ $t$ मोटाई है और $r$ अपवर्तन कोण है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{d}{t} = \frac{\sin(i - r)}{\cos r}$।
$\sin(i - r)$ का विस्तार करने पर: $\frac{d}{t} = \frac{\sin i \cos r - \cos i \sin r}{\cos r} = \sin i - \cos i \tan r$।
मान रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \sin 45^{\circ} - \cos 45^{\circ} \tan r$।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1 - \tan r)$।
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 1 - \tan r$।
अतः,$\tan r = 1 - \sqrt{\frac{2}{3}}$।
इस प्रकार,$r = \tan^{-1}\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right)$।

(D) एक कॉमन एमिटर $(CE)$ एम्पलीफायर में,इनपुट सिग्नल $(V_i)$ को ट्रांजिस्टर के बेस $(B)$ और एमिटर $(E)$ टर्मिनलों के बीच लागू किया जाता है।
सर्किट आरेख में दिखाए अनुसार,इनपुट सिग्नल को एक कैपेसिटर $(C_1)$ के माध्यम से बेस से जोड़ा जाता है,जबकि एमिटर इनपुट और आउटपुट दोनों सर्किट के लिए कॉमन होता है और आमतौर पर ग्राउंड किया जाता है।
इसलिए,इनपुट वोल्टेज को बेस-एमिटर जंक्शन पर लागू किया जाता है।

(A) परिपथ $A$ के लिए: $NAND$ गेट के इनपुट $1$ और $1$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $0$ है। यह $0$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,जिससे यह $1$ हो जाता है। $OR$ गेट को $1$ और $0$ इनपुट मिलते हैं,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
परिपथ $B$ के लिए: इनपुट $0$ और $1$ $NOT$ गेट से गुजरते हैं,जिससे वे क्रमशः $1$ और $0$ हो जाते हैं। ये $NAND$ गेट के इनपुट हैं। चूंकि $1 \text{ AND } 0 = 0$ होता है,इसलिए $NAND$ गेट का आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
परिपथ $C$ के लिए: $OR$ गेट को $1$ और $1$ इनपुट मिलते हैं,जिससे आउटपुट $1$ होता है। हालाँकि,आरेख में $OR$ गेट के बाद एक $NOT$ बबल दिखाया गया है (जो इसे $NOR$ गेट बनाता है),इसलिए आउटपुट $0$ है। इस $0$ और इनपुट $1$ को $AND$ गेट में देने पर आउटपुट $0$ प्राप्त होता है।
अतः,आउटपुट क्रमशः $1, 1, 0$ हैं।

(A) दो स्रोतों को कला-संबद्ध (coherent) तब कहा जाता है यदि वे ऐसी तरंगें उत्सर्जित करते हैं जो समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखती हैं।
गणितीय रूप से,कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$.
व्यतिकरण प्रतिरूप को स्थिर और अवलोकन योग्य बनाने के लिए,दोनों स्रोतों से आने वाली तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ नहीं बदलना चाहिए।
अतः,कला-संबद्धता के लिए मूलभूत आवश्यकता यह है कि स्रोतों के बीच एक स्थिर कलांतर हो।

(C) कलान्तर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
संपोषी व्यतिकरण के लिए,कलान्तर $\pi$ का सम गुणज होना चाहिए:
$\Delta \phi = 2n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2n\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
पथान्तर $(\Delta x)$ के लिए हल करने पर:
$\Delta x = n\lambda$

(B) न्यूटन के कणिका सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश छोटे कणों से बना होता है जिन्हें कणिकाएं (corpuscles) कहा जाता है। न्यूटन ने प्रस्तावित किया था कि ये कणिकाएं सघन माध्यम में अधिक तेजी से यात्रा करती हैं क्योंकि सघन माध्यम के कणों द्वारा कणिकाओं पर लगाया गया आकर्षण बल उनके वेग को बढ़ा देता है। इसलिए,इस सिद्धांत के अनुसार,प्रकाश की गति विरल माध्यम में कम और सघन माध्यम में अधिक होती है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली कांच की प्लेट को एक स्लिट के प्रकाश के मार्ग में रखा जाता है,तो प्रकाशीय पथ की लंबाई $(\mu - 1)t$ बढ़ जाती है।
इसके कारण संपूर्ण व्यतिकरण पैटर्न $y_0 = \frac{D}{d}(\mu - 1)t$ की दूरी से विस्थापित हो जाता है।
हालाँकि,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$,दूरी $D$ और स्लिट के बीच की दूरी $d$ पर निर्भर करती है। चूँकि ये पैरामीटर अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई स्थिर रहती है।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई $0.3 \,mm$ ही बनी रहती है।