समाकल int_0^infty frac{log_e(x)}{x^2+4} dx का | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.$x = 2t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 dt$. जब $x 	o 0, t 	o 0$ और जब $x 	o \infty, t 	o \i

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$\frac{\pi \log_e(2)}{4}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$.$x = 2t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 dt$. जब $x 	o 0, t 	o 0$ और जब $x 	o \infty, t 	o \infty$.$I = \int_0^\infty \frac{\log_e(2t)}{4t^2+4} (2 dt) = \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(2) + \log_e(t)}{t^2+1} dt$.$I = \frac{\log_e(2)}{2} \int_0^\infty \frac{1}{t^2+1} dt + \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt$.दूसरे समाकल के लिए,$t = 1/u$ लेने पर,$dt = -1/u^2 du$. सीमाएँ $\infty$ से $0$ में बदल जाएँगी।$\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = \int_\infty^0 \frac{\log_e(1/u)}{(1/u)^2+1} (-1/u^2) du = \int_0^\infty \frac{-\log_e(u)}{1+u^2} du = -\int_0^\infty \frac{\log_e(u)}{u^2+1} du$.इसका अर्थ है कि $\int_0^\infty \frac{\log_e(t)}{t^2+1} dt = 0$.अतः,$I = \frac{\log_e(2)}{2} [\arctan(t)]_0^\infty = \frac{\log_e(2)}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi \log_e(2)}{4}$.

समाकल $\int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$ का मान क्या है?

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