समाकल int_{pi/6}^{pi/3} frac{4 - csc^2 x}{cos | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\frac{4}{\cos^4 x} - \frac{\csc^2 x}{\cos^4

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{32}{3\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx$.हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\frac{4}{\cos^4 x} - \frac{\csc^2 x}{\cos^4 x} = 4\sec^4 x - \frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x}$.सर्वसमिका $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:$\frac{1}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^4 x} = \frac{1}{\cos^4 x} + \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \sec^4 x + \frac{4}{\sin^2(2x)} = \sec^4 x + 4\csc^2(2x)$.इस मान को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (4\sec^4 x - (\sec^4 x + 4\csc^2(2x))) dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (3\sec^4 x - 4\csc^2(2x)) dx$.चूंकि $\sec^4 x = (1 + 	an^2 x)\sec^2 x$,इसलिए:$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} (3(1 + 	an^2 x)\sec^2 x - 4\csc^2(2x)) dx$.माना $u = 	an x$,तो $du = \sec^2 x dx$. जब $x = \pi/6, u = 1/\sqrt{3}$. जब $x = \pi/3, u = \sqrt{3}$.$I = [3(u + \frac{u^3}{3}) + 2\cot(2x)]_{\pi/6}^{\pi/3} = [3u + u^3 + 2\cot(2x)]_{\pi/6}^{\pi/3}$.सीमाओं पर मान रखने पर:$x = \pi/3$ के लिए: $3(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^3 + 2\cot(2\pi/3) = 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 2(-1/\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 2/\sqrt{3} = \frac{16}{\sqrt{3}}$.$x = \pi/6$ के लिए: $3(1/\sqrt{3}) + (1/\sqrt{3})^3 + 2\cot(\pi/3) = \sqrt{3} + 1/(3\sqrt{3}) + 2/\sqrt{3} = \frac{16}{3\sqrt{3}}$.$I = \frac{16}{\sqrt{3}} - \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}}$.

समाकल $\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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