मान लीजिए $\frac{x^2}{f(a^2 + 7a + 3)} + \frac{y^2}{f(3a + 15)} = 1$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसका मुख्य अक्ष y-अक्ष के अनुदिश है,जहाँ $f$,$R$ पर एक निरंतर घटता हुआ धनात्मक फलन है। यदि $a$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय $R - [\alpha, \beta]$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक दीर्घवृत्त का केंद्र $(1, -2)$ पर,एक नाभि $(3, -2)$ पर और एक शीर्ष $(5, -2)$ पर है। तो इसके नाभिलंब की लंबाई क्या है?

मान लीजिए कि $S$ और $S^{\prime}$ एक दीर्घवृत्त $E$ की नाभियाँ हैं और $B$ इसके लघु अक्ष का एक सिरा है। मान लीजिए $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$ और $(2 \sqrt{3}, 1)$ दीर्घवृत्त $E$ पर एक बिंदु है। यदि $X$-अक्ष दीर्घवृत्त $E$ का दीर्घ अक्ष है और $Y$-अक्ष लघु अक्ष है,तो दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाइयों के वर्गों का योग क्या है?

दीर्घवृत्त $\frac{(x + y - 2)^2}{9} + \frac{(x - y)^2}{16} = 1$ का केंद्र है

एक दीर्घवृत्त में,लघु अक्ष $8$ है और उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{5}}{3}$ है। तो दीर्घ अक्ष है:

यदि बिंदु $(2 + 13 \cos \theta, 3 + 13 \sin \theta)$ से दीर्घवृत्त $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,तो उनके बीच का कोण क्या है?