मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y^2)$ है।चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{1-y^2} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षो

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$\sqrt{3} 	an(\frac{11\sqrt{3}}{12})$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y^2)$ है।चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{1-y^2} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{1}{2} \ln|\frac{1+y}{1-y}| = x + \frac{x^3}{3} + C$ प्राप्त होता है।प्रारंभिक स्थिति $y(0) = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,$C = \frac{1}{2} \ln(3)$ प्राप्त होता है।अतः,$\ln|\frac{1+y}{1-y}| = 2(x + \frac{x^3}{3}) + \ln(3)$।$x=1$ पर,$\ln|\frac{1+y(1)}{1-y(1)}| = \frac{8}{3} + \ln(3)$।इस प्रकार,$\frac{1+y(1)}{1-y(1)} = 3e^{8/3}$।$k = 3e^{8/3}$ लेने पर,$y(1) = \frac{k-1}{k+1}$ प्राप्त होता है।$2y(1)-1 = \frac{k-3}{k+1}$ होता है।$k$ का मान रखने पर,यह व्यंजक हाइपरबोलिक फलन $	anh$ के रूप में बदल जाता है,जो अंततः $	an$ के रूप में परिणत होता है।

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y^2)$ का हल है,जहाँ प्रारंभिक स्थिति $y(0) = \frac{1}{2}$ है। तो $(2y(1) - 1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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