यदि 3 leq r leq 30 के लिए,binom{30}{30-r} + 3 | vedclass

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Question

(C) पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ को याद करें।दिया गया व्यंजक $\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{3

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$33$

Vedclass · Answer

(C) पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$ को याद करें।दिया गया व्यंजक $\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$ है।हम गुणांक $3$ को $1+2$ के रूप में लिखकर पदों को समूहित कर सकते हैं:$= \binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{31-r} + 2\binom{30}{32-r} + \binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}$$= [\binom{30}{30-r} + \binom{30}{31-r}] + 2[\binom{30}{31-r} + \binom{30}{32-r}] + [\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r}]$पास्कल की सर्वसमिका का उपयोग करने पर,यह सरल होकर प्राप्त होता है:$= \binom{31}{31-r} + 2\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}$$= [\binom{31}{31-r} + \binom{31}{32-r}] + [\binom{31}{32-r} + \binom{31}{33-r}]$$= \binom{32}{32-r} + \binom{32}{33-r} = \binom{33}{33-r}$.समरूपता के गुण $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ के अनुसार,$\binom{33}{33-r} = \binom{33}{33-(33-r)} = \binom{33}{r}$ होता है।अतः $\binom{m}{r}$ से तुलना करने पर,$m = 33$ प्राप्त होता है।

यदि $3 \leq r \leq 30$ के लिए,$\binom{30}{30-r} + 3\binom{30}{31-r} + 3\binom{30}{32-r} + \binom{30}{33-r} = \binom{m}{r}$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_{10}$ द्विपद गुणांक $(1+x)^{10}$ के विस्तार में हैं,तो $C_0 C_6+C_1 C_7+C_2 C_8+C_3 C_9+C_4 C_{10}=$

यदि $(1+x)^n$ के विस्तार में $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_n$ द्विपद गुणांक हैं,तो $n=5$ होने पर $\sum_{r=0}^{n} r^3 \cdot C_r$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $(1 + x)^m = C_0 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + . . . + C_mx^m$,जहाँ $C_r = {}^mC_r$ और $A = C_1C_3 + C_2C_4 + C_3C_5 + . . . + C_{m-2}C_m$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा असत्य है?

$^{10}C_1 + ^{10}C_3 + ^{10}C_5 + ^{10}C_7 + ^{10}C_9 = $

यदि $\binom{10}{2} + \binom{10}{3} + \binom{11}{4} + \binom{12}{5} + \binom{13}{6} = \binom{14}{r}$ है,तो $r = \dots$

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