समाकलन int_{-1}^1 left( frac{x^3 + |x| + 1}{x | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} dx$ है। चूंकि हर $x^2 + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है,हम समाकलन को दो भागों में

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$2 \log_e 2$

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(B) माना $I = \int_{-1}^1 \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} dx$ है। चूंकि हर $x^2 + 2|x| + 1 = (|x| + 1)^2$ एक सम फलन है,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-1}^0 \frac{x^3 - x + 1}{(|x| + 1)^2} dx + \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1}{(|x| + 1)^2} dx$। पहले भाग के लिए,$x = -t$ लें,तो $dx = -dt$ होगा। जब $x$,$-1$ से $0$ तक जाता है,तो $t$,$1$ से $0$ तक जाता है। $\int_1^0 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} (-dt) = \int_0^1 \frac{-t^3 + t + 1}{(t + 1)^2} dt$। अतः,$I = \int_0^1 \frac{x^3 + x + 1 - x^3 + x + 1}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2x + 2}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2(x + 1)}{(x + 1)^2} dx = \int_0^1 \frac{2}{x + 1} dx$। $I = 2 [\log_e(x + 1)]_0^1 = 2(\log_e 2 - \log_e 1) = 2 \log_e 2$।

समाकलन $\int_{-1}^1 \left( \frac{x^3 + |x| + 1}{x^2 + 2|x| + 1} \right) dx$ का मान किसके बराबर है?

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