यदि श्रेणी $\frac{1}{1+1^4 \cdot 4} + \frac{2}{1+2^4 \cdot 4} + \frac{3}{1+3^4 \cdot 4} + \frac{4}{1+4^4 \cdot 4} + \dots$ के प्रथम $10$ पदों का योग $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\text{gcd}(m,n) = 1$,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\sum_{r=1}^{n} T_{r} = \frac{(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}{64}$ है,तो $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{1}{T_{r}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अनंत गुणनफल $\prod\limits_{n = 2}^\infty {\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}$ का मान क्या है?

यदि $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ पद}) = \frac{k n}{n+1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनंत श्रेणी ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{{1 - {1^2} + {1^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{{1 - {2^2} + {2^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{6}{{1 - {3^2} + {3^4}}}} \right) + \dots$ का योग क्या है?

$n = 1, 2, \ldots, 50$ के लिए,मान लीजिए $S_{n}$ उस अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग है जिसका प्रथम पद $n^{2}$ है और जिसका सार्व अनुपात $\frac{1}{(n+1)^{2}}$ है। तो $\frac{1}{26} + \sum_{n=1}^{50} \left(S_{n} + \frac{2}{n+1} - n - 1\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।