JEE Main 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए,कुल ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $(KE)$ और स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ का योग होती है।
$E = KE + PE$
दिया गया है कि $KE = PE$,इसलिए $E = 2 \cdot PE$ या $E = 2 \cdot KE$.
विस्थापन $y$ पर स्थितिज ऊर्जा $PE = \frac{1}{2} k y^2$ है,और कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ है,जहाँ $A$ आयाम है।
$KE = PE$ रखने पर $PE = \frac{1}{2} E$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$.
इसे सरल करने पर $y^2 = \frac{A^2}{2}$,या $y = \frac{A}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
गति के समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ का उपयोग करने पर,$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\omega t)$,जिसका अर्थ है कि $\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\omega t = \frac{\pi}{4}$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $(\frac{2\pi}{T}) t = \frac{\pi}{4}$.
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{T}{8}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{T}{x}$ से करने पर,$x = 8$ प्राप्त होता है।

(C) तार में तरंग की चाल $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $T = 900 \; \text{N}$ और $\mu = 9.0 \times 10^{-4} \; \text{kg/m}$ दिया गया है।
$v = \sqrt{\frac{900}{9.0 \times 10^{-4}}} = \sqrt{10^6} = 1000 \; \text{m/s}$.
दोनों सिरों पर स्थिर तार की अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{2L}$ सूत्र द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दो क्रमागत अनुनाद आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{(n+1)v}{2L} - \frac{nv}{2L} = \frac{v}{2L}$ होता है।
यहाँ $\Delta f = 550 \; \text{Hz} - 500 \; \text{Hz} = 50 \; \text{Hz}$ दिया गया है।
अतः,$\frac{v}{2L} = 50 \; \text{Hz}$.
$v = 1000 \; \text{m/s}$ का मान रखने पर,$\frac{1000}{2L} = 50$.
$2L = \frac{1000}{50} = 20$.
$L = 10 \; \text{m}$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग अंतिम संवेग के बराबर होता है: $P_i = P_f$।
मान लीजिए ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। तब,$m \times 40 = (m/2) \times v + (m/2) \times 60$।
$m/2$ से विभाजित करने पर,हमें $80 = v + 60$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = 20 \, m/s$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $(K.E.)_i = \frac{1}{2} m (40)^2 = 800m$।
अंतिम गतिज ऊर्जा: $(K.E.)_f = \frac{1}{2} (m/2) (20)^2 + \frac{1}{2} (m/2) (60)^2 = \frac{1}{4} m (400 + 3600) = 1000m$।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K.E. = (K.E.)_f - (K.E.)_i = 1000m - 800m = 200m$ है।
आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta K.E.}{(K.E.)_i} = \frac{200m}{800m} = \frac{1}{4}$ है।
दिया गया है कि आंशिक परिवर्तन $x:4$ है,इसलिए $x/4 = 1/4$,जिसका अर्थ है $x = 1$।

(C) कार के फ्रेम में,बॉब ढलान की दिशा में नीचे की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $ma$ का अनुभव करता है। प्रभावी गुरुत्वाकर्षण बल के घटक $mg \sin 30^{\circ}$ (ढलान की दिशा में नीचे) और $mg \cos 30^{\circ}$ (ढलान के लंबवत) हैं।
मान लीजिए कि $\alpha$ वह कोण है जो धागा झुके हुए समतल के अभिलंब (normal) के साथ बनाता है। कार के फ्रेम में बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. छद्म बल $ma$ (ढलान की दिशा में नीचे)।
$2$. गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ (ढलान की दिशा में नीचे)।
$3$. गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \cos 30^{\circ}$ (ढलान के लंबवत)।
अभिलंब के साथ कोण $\alpha$ इस प्रकार दिया गया है: $\tan \alpha = \frac{ma + mg \sin 30^{\circ}}{mg \cos 30^{\circ}}$.
मान रखने पर: $\tan \alpha = \frac{10m + 10m \sin 30^{\circ}}{10m \cos 30^{\circ}} = \frac{10 + 5}{5\sqrt{3}} = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
अतः,$\alpha = 60^{\circ}$.
धागा ऊर्ध्वाधर के साथ जो कोण बनाता है वह $\theta = \alpha - 30^{\circ} = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ है।

(B) कुल द्रव्यमान $M = 50 \times 10^{3} \; \text{kg}$ को $4$ समान स्तंभों द्वारा सहारा दिया जाता है।
प्रत्येक स्तंभ पर बल $F = \frac{Mg}{4} = \frac{50 \times 10^{3} \times 9.8}{4} = 1.225 \times 10^{5} \; \text{N}$ है।
खोखले बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi(R^2 - r^2)$ है,जहाँ $R = 1.0 \; \text{m}$ और $r = 0.5 \; \text{m}$ है।
$A = \pi(1.0^2 - 0.5^2) = \pi(1 - 0.25) = 0.75\pi \; \text{m}^2$ है।
यंग मापांक $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ है।
अतः,संपीड़न विकृति $\frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY}$ है।
मान रखने पर: $\text{Strain} = \frac{1.225 \times 10^{5}}{0.75 \times \pi \times 2.0 \times 10^{11}}$।
$\text{Strain} = \frac{1.225 \times 10^{5}}{1.5 \times \pi \times 10^{11}} \approx 2.60 \times 10^{-7}$।

(C) दिया गया है: प्रत्येक गोले का द्रव्यमान $M = 1.5\, {kg}$,त्रिज्या $r = 50\, {cm} = 0.5\, {m}$,और केंद्रों के बीच की दूरी $L = 5\, {m}$ है।
घूर्णन अक्ष छड़ के मध्य बिंदु से गुजरती है,जो निकाय का द्रव्यमान केंद्र भी है।
प्रत्येक गोले के केंद्र से घूर्णन अक्ष की दूरी $d = L/2 = 5/2 = 2.5\, {m}$ है।
प्रत्येक गोले के लिए समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,अक्ष के परितः एक गोले का जड़त्व आघूर्ण $I_{sphere} = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + Md^2$ है।
चूंकि निकाय में दो समान गोले हैं,इसलिए निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 2 \times (\frac{2}{5}Mr^2 + Md^2)$ होगा।
मान रखने पर: $I_{total} = 2 \times [\frac{2}{5} \times 1.5 \times (0.5)^2 + 1.5 \times (2.5)^2]$.
$I_{total} = 2 \times [0.4 \times 1.5 \times 0.25 + 1.5 \times 6.25]$.
$I_{total} = 2 \times [0.15 + 9.375] = 2 \times 9.525 = 19.05\, {kgm}^{2}$.

(B) माना $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q}$ और $\overrightarrow{B} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q}$ है। चूँकि $\overrightarrow{P} \perp \overrightarrow{Q}$ है,इसलिए परिमाण $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}| = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}$ होंगे।
परिणामी का परिमाण $R = \sqrt{|\overrightarrow{A}|^{2} + |\overrightarrow{B}|^{2} + 2|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}| \cos \theta} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2}) + 2(P^{2} + Q^{2}) \cos \theta} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2})(1 + \cos \theta)}$ है।
$\theta_{1}$ के लिए,$R_{1} = \sqrt{3(P^{2} + Q^{2})} \implies 2(1 + \cos \theta_{1}) = 3 \implies \cos \theta_{1} = 0.5 \implies \theta_{1} = 60^{\circ}$ है।
$\theta_{2}$ के लिए,$R_{2} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2})} \implies 2(1 + \cos \theta_{2}) = 2 \implies \cos \theta_{2} = 0 \implies \theta_{2} = 90^{\circ}$ है।
चूँकि $60^{\circ} < 90^{\circ}$ है,इसलिए $\theta_{1} < \theta_{2}$ सही है। अतः,दोनों कथन सही हैं।

(A) पदार्थ के भीतर $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक पतले गोलाकार कोश पर विचार करें।
इस पतले कोश का ऊष्मीय प्रतिरोध $dR$ इस प्रकार है:
$dR = \frac{dr}{K(4 \pi r^{2})}$
कोशों के बीच कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ ज्ञात करने के लिए,हम $r_{1}$ से $r_{2}$ तक समाकलन करते हैं:
$R = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{dr}{4 \pi K r^{2}} = \frac{1}{4 \pi K} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_{1}}^{r_{2}}$
$R = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)$
ऊष्मा प्रवाह की दर (ऊष्मीय धारा $i$) इस प्रकार है:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{R}$
$R$ का मान रखने पर:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{\frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)} = \frac{4 \pi K r_{1} r_{2}(\theta_{2}-\theta_{1})}{r_{2}-r_{1}}$

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब गोलक को द्रव में डुबोया जाता है,तो उत्प्लावन बल के कारण प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{\text{eff}}$ बदल जाता है।
$m g_{\text{eff}} = m g - F_B$,जहाँ $F_B$ उत्प्लावन बल है।
$F_B = V \sigma g$,जहाँ $V$ गोलक का आयतन है और $\sigma$ द्रव का घनत्व है।
दिया गया है कि $\sigma = \frac{\rho}{4}$,जहाँ $\rho$ गोलक का घनत्व है,इसलिए $F_B = V \frac{\rho}{4} g = \frac{m g}{4}$।
अतः,$m g_{\text{eff}} = m g - \frac{m g}{4} = \frac{3 m g}{4}$,जिसका अर्थ है $g_{\text{eff}} = \frac{3 g}{4}$।
धागे की नई लंबाई $l_1 = l + \frac{l}{3} = \frac{4l}{3}$ है।
नया आवर्तकाल $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{4l/3}{3g/4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{16l}{9g}} = \frac{4}{3} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$।
इसलिए,$T_1 = \frac{4}{3} T$।

(D) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि तीन बल $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ और $\vec{F}_{3}$ को एक ही क्रम में लिए गए त्रिभुज की भुजाओं द्वारा दर्शाया जाता है,तो उनका परिणामी शून्य होता है,अर्थात $\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = -\vec{F}_{3}$।
चूंकि कुल बल $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$ है,इसलिए निकाय स्थानांतरणीय संतुलन में है।
कथन-$I$ सही है क्योंकि एक बंद त्रिभुज बनाने वाले बल संगामी होते हैं (या उन्हें संगामी बनाने के लिए स्थानांतरित किया जा सकता है) और उनका योग शून्य होता है,जो संतुलन की स्थिति को संतुष्ट करता है।
कथन-$II$ भी सही है क्योंकि त्रिभुज के चारों ओर एक ही क्रम में लिए गए बलों का योग शून्य होता है,जो स्थानांतरणीय संतुलन के लिए आवश्यक शर्त है।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(A) माना कि द्रव्यमान की विमा $[M] = [F]^a [T]^b [V]^c$ है।
मूल राशियों की विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [M^1 L^1 T^{-2}]^a [T^1]^b [L^1 T^{-1}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^a L^{a+c} T^{-2a+b-c}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$
$L$ के लिए: $a + c = 0 \implies 1 + c = 0 \implies c = -1$
$T$ के लिए: $-2a + b - c = 0 \implies -2(1) + b - (-1) = 0 \implies -2 + b + 1 = 0 \implies b = 1$
अतः,द्रव्यमान की विमा $[F^1 T^1 V^{-1}]$ होगी,जिसे $[F T V^{-1}]$ के रूप में लिखा जाता है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ मोलों की कुल संख्या है।
दिया गया है: $P = 400 \times 10^3 \, Pa$,$V = 500 \times 10^{-6} \, m^3$,$T = 300 \, K$,$R \approx 25/3 \, J/(mol \cdot K)$.
$400 \times 10^3 \times 500 \times 10^{-6} = n \times (25/3) \times 300$
$200 = n \times 2500$
$n = 200/2500 = 2/25 = 0.08 \, mol$.
माना $m_H$ हाइड्रोजन का द्रव्यमान है और $m_O$ ऑक्सीजन का द्रव्यमान है।
$m_H + m_O = 0.76 \, g$.
मोलों की कुल संख्या $n = n_H + n_O = m_H/2 + m_O/32 = 0.08$.
$32$ से गुणा करने पर: $16m_H + m_O = 0.08 \times 32 = 2.56$.
हमारे पास समीकरण हैं:
$1) \, m_H + m_O = 0.76$
$2) \, 16m_H + m_O = 2.56$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $15m_H = 1.80 \implies m_H = 0.12 \, g$.
अतः $m_O = 0.76 - 0.12 = 0.64 \, g$.
ऑक्सीजन और हाइड्रोजन के द्रव्यमान का अनुपात $m_O/m_H = 0.64/0.12 = 16/3$ है।

(C) माना कुल द्रव्यमान $3M$ है। प्रारंभिक वेग $V_0 = 40\, m/s$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$P_{initial} = P_{final}$
$3M \cdot V_0 = M \cdot V_1 + 2M \cdot V_2$
$3 \cdot 40 = 60 + 2 \cdot V_2$
$120 = 60 + 2 \cdot V_2 \Rightarrow 2 \cdot V_2 = 60 \Rightarrow V_2 = 30\, m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} \cdot (3M) \cdot V_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 3M \cdot (40)^2 = 2400M$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} \cdot M \cdot V_1^2 + \frac{1}{2} \cdot (2M) \cdot V_2^2 = \frac{1}{2} \cdot M \cdot (60)^2 + M \cdot (30)^2 = 1800M + 900M = 2700M$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 2700M - 2400M = 300M$.
गतिज ऊर्जा में भिन्नात्मक परिवर्तन = $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{300M}{2400M} = \frac{1}{8}$.

(A) $S.H.M.$ में,कुल यांत्रिक ऊर्जा $(E = K.E. + P.E.)$ किसी भी समय स्थिर रहती है,जो कथन $(c)$ को मान्य करता है।
एक पूर्ण आवर्तकाल $T$ पर औसत गतिज ऊर्जा $\langle K.E. \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi) dt = \frac{1}{4} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
एक पूर्ण आवर्तकाल $T$ पर औसत स्थितिज ऊर्जा $\langle P.E. \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi) dt = \frac{1}{4} k A^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि एक आवर्तकाल के दौरान $\langle K.E. \rangle = \langle P.E. \rangle$ होता है,इसलिए कथन $(d)$ सही है।
कथन $(b)$ गलत है क्योंकि औसत ऊर्जा केवल एक पूर्ण आवर्तकाल या उसके अर्ध-पूर्णांक गुणकों पर ही बराबर होती है,न कि 'किसी भी' दिए गए समयांतराल पर।
इसलिए,कथन $(c)$ और $(d)$ सही हैं।

(D) पृथ्वी की सतह से $r$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{up} = \frac{g}{(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह से $r$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_{down} = g(1 - \frac{r}{R_{E}})$ द्वारा दिया जाता है।
गहराई $r$ और ऊँचाई $r$ पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात:
$\frac{g_{down}}{g_{up}} = \frac{g(1 - \frac{r}{R_{E}})}{\frac{g}{(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}}} = (1 - \frac{r}{R_{E}})(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}$.
इस व्यंजक का विस्तार करने पर:
$= (1 - \frac{r}{R_{E}})(1 + \frac{2r}{R_{E}} + \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}})$
$= 1 + \frac{2r}{R_{E}} + \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r}{R_{E}} - \frac{2r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r^{3}}{R_{E}^{3}}$
$= 1 + \frac{r}{R_{E}} - \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r^{3}}{R_{E}^{3}}$.

(D) गति के समीकरण $v^{2} = u^{2} + 2ax$ से,जो $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = v^{2}$ और $x$ विस्थापन है।
इसे ग्राफ के साथ तुलना करने पर,$v^{2}$ बनाम $x$ रेखा की ढाल $2a$ है।
ग्राफ से,हम दो बिंदुओं का उपयोग करके ढाल $m$ की गणना कर सकते हैं,उदाहरण के लिए,$(10, 40)$ और $(20, 60)$:
$m = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{60 - 40}{20 - 10} = \frac{20}{10} = 2 \text{ m/s}^{2}$.
चूँकि ढाल $m = 2a$ है,इसलिए $2a = 2$ है।
अतः,त्वरण $a = 1 \text{ m/s}^{2}$ है।

(D) दिया गया है: $9 \, {MSD} = 10 \, {VSD}$.
चूंकि $1 \, {MSD} = 1 \, {mm}$,इसलिए $10 \, {VSD} = 9 \, {mm}$,अतः $1 \, {VSD} = 0.9 \, {mm}$.
अल्पतमांक $({LC})$ = $1 \, {MSD} - 1 \, {VSD} = 1 \, {mm} - 0.9 \, {mm} = 0.1 \, {mm} = 0.01 \, {cm}$.
प्रेक्षित व्यास = ${MSR} + ({VSR} \times {LC}) = 10 \, {mm} + (8 \times 0.1 \, {mm}) = 10.8 \, {mm} = 1.08 \, {cm}$.
धनात्मक शून्य त्रुटि = $0.04 \, {cm}$.
संशोधित व्यास = $\text{प्रेक्षित पाठ्यांक} - \text{शून्य त्रुटि} = 1.08 \, {cm} - 0.04 \, {cm} = 1.04 \, {cm}$.
त्रिज्या = $\frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{1.04 \, {cm}}{2} = 0.52 \, {cm}$.
$10^{-2} \, {cm}$ में व्यक्त करने पर: $0.52 \, {cm} = 52 \times 10^{-2} \, {cm}$.
अतः,मान $52$ है।

(D) दिया गया है: $\gamma = 1.5$,$P_1 = 200 \, kPa = 2 \times 10^5 \, Pa$,$V_1 = 1200 \, cm^3 = 1.2 \times 10^{-3} \, m^3$,$V_2 = 300 \, cm^3 = 0.3 \times 10^{-3} \, m^3$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P_2 = P_1 (V_1 / V_2)^{\gamma} = 200 \times (1200 / 300)^{1.5} = 200 \times (4)^{1.5} = 200 \times 8 = 1600 \, kPa = 16 \times 10^5 \, Pa$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$ होता है।
$W = \frac{(2 \times 10^5 \times 1.2 \times 10^{-3}) - (16 \times 10^5 \times 0.3 \times 10^{-3})}{1.5 - 1} = \frac{240 - 480}{0.5} = \frac{-240}{0.5} = -480 \, J$.
अतः,कार्य का निरपेक्ष मान $|W| = 480 \, J$ है।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,वस्तु पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{total} = \Delta K$
$W_{gravity} + W_{air\ friction} = K_f - K_i$
चूँकि वस्तु को गिराया गया है,प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए $K_i = 0$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W_{gravity} = mgh$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (0.8 \sqrt{gh})^2$ है।
$K_f = \frac{1}{2} m (0.64 gh) = 0.32 mgh$.
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$mgh + W_{air\ friction} = 0.32 mgh - 0$
$W_{air\ friction} = 0.32 mgh - mgh = -0.68 mgh$.
अतः,वायु घर्षण द्वारा किया गया कार्य $-0.68 mgh$ है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
चूँकि $\sin(2 \times 42^{\circ}) = \sin(84^{\circ})$ और $\sin(2 \times 48^{\circ}) = \sin(96^{\circ})$ है,और हम जानते हैं कि $\sin(84^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 96^{\circ}) = \sin(96^{\circ})$,इसलिए परास समान हैं: $R_{1} = R_{2}$।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूँकि $H$,$\sin^2 \theta$ के समानुपाती है,और $\sin(48^{\circ}) > \sin(42^{\circ})$ है,इसलिए $H_{2} > H_{1}$ होगा,अर्थात $H_{1} < H_{2}$।
अतः,सही विकल्प $R_{1} = R_{2}$ और $H_{1} < H_{2}$ है।

(D) माना वेज का त्वरण $a_1$ है और वेज के सापेक्ष ब्लॉक का त्वरण $a_2$ है।
$M$ द्रव्यमान वाले वेज के लिए,क्षैतिज बल ब्लॉक द्वारा वेज पर लगाए गए अभिलंब बल $N$ का क्षैतिज घटक है:
$N \sin 30^{\circ} = M a_1 = 16 a_1$
$N (0.5) = 16 a_1 \Rightarrow N = 32 a_1$
वेज के सापेक्ष $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए,ढलान के लंबवत दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$N = m g \cos 30^{\circ} - m a_1 \sin 30^{\circ}$
$32 a_1 = 8 g (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 a_1 (\frac{1}{2})$
$32 a_1 = 4 \sqrt{3} g - 4 a_1$
$36 a_1 = 4 \sqrt{3} g \Rightarrow a_1 = \frac{\sqrt{3}}{9} g$
अब,ब्लॉक के लिए ढलान की दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$m g \sin 30^{\circ} + m a_1 \cos 30^{\circ} = m a_2$
$g \sin 30^{\circ} + a_1 \cos 30^{\circ} = a_2$
$a_2 = g (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{9} g) (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$a_2 = \frac{g}{2} + \frac{3g}{18} = \frac{g}{2} + \frac{g}{6} = \frac{3g + g}{6} = \frac{4g}{6} = \frac{2}{3} g$

(B) यंग मापांक के लिए सूत्र $Y = \frac{MgL^3}{4bd^3\delta}$ है।
भिन्नात्मक त्रुटि इस प्रकार दी जाती है: $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{3\Delta L}{L} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{3\Delta d}{d} + \frac{\Delta \delta}{\delta}$.
दिए गए मान:
$M = 2 \, kg = 2000 \, g$, $\Delta M = 1 \, g$
$L = 1 \, m = 1000 \, mm$, $\Delta L = 1 \, mm$
$b = 4 \, cm = 40 \, mm$, $\Delta b = 0.1 \, mm$
$d = 0.4 \, cm = 4 \, mm$, $\Delta d = 0.01 \, mm$
$\delta = 5 \, mm$, $\Delta \delta = 0.01 \, mm$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{1}{2000} + 3 \times \frac{1}{1000} + \frac{0.1}{40} + 3 \times \frac{0.01}{4} + \frac{0.01}{5}$
$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.0005 + 0.003 + 0.0025 + 0.0075 + 0.002 = 0.0155$.

(A) वस्तु के स्थिर वेग से गति करने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए।
पहले ढलान पर ऊपर की ओर गति के दौरान,ढलान के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ है। चूंकि वस्तु स्थिर वेग से गति करती है,इसलिए अनुप्रयुक्त बल $F$ को इस घटक को संतुलित करना चाहिए: $F = mg \sin \theta = 2\, N$.
दूसरे ढलान पर नीचे की ओर गति के दौरान,वस्तु ढलान पर नीचे की ओर गति कर रही है। गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ ढलान के नीचे की ओर कार्य करता है। स्थिर वेग बनाए रखने के लिए,अनुप्रयुक्त बल $F$ को गति का विरोध करने के लिए ढलान के ऊपर की ओर कार्य करना चाहिए: $F = -mg \sin \theta = -2\, N$.
इस प्रकार,दूरी के पहले आधे हिस्से के दौरान बल $+2\, N$ है और दूसरे आधे हिस्से के दौरान $-2\, N$ है। सही ग्राफ विकल्प $A$ है।

(C) स्थितिज ऊर्जा वक्र से,अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{\max} = 10\, {J}$ है और आयाम $A = 2\, {m}$ है (क्योंकि संतुलन स्थिति $x = 2\, {m}$ पर है और अधिकतम विस्थापन $4\, {m} - 2\, {m} = 2\, {m}$ है)।
सूत्र $U_{\max} = \frac{1}{2} k A^2$ का उपयोग करने पर,$10 = \frac{1}{2} k (2)^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $10 = 2k$,अतः स्प्रिंग नियतांक $k = 5\, {N/m}$ है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय का आवर्तकाल $T_{\text{spring}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{5}{5}} = 2\pi\, {s}$ है।
सरल लोलक का आवर्तकाल $T_{\text{pendulum}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ होता है।
चूंकि $T_{\text{spring}} = T_{\text{pendulum}}$ दिया गया है,हम $2\pi \sqrt{\frac{5}{5}} = 2\pi \sqrt{\frac{4}{g}}$ को बराबर करते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 = \frac{4}{g}$ प्राप्त होता है,जिससे $g = 4\, {m/s^2}$ मिलता है।

(A) $M$ द्रव्यमान वाले एक कण पर विचार करें। अन्य तीन कणों के कारण उस पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल हैं:
$1$. दो बल $F = \frac{GM^2}{(\sqrt{2}R)^2}$ जो वर्ग की भुजाओं के अनुदिश ($90^\circ$ के कोण पर) कार्य करते हैं।
$2$. एक बल $F_1 = \frac{GM^2}{(2R)^2}$ जो विकर्ण के अनुदिश कार्य करता है।
वृत्त के केंद्र की ओर लगने वाला कुल गुरुत्वाकर्षण बल है:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2} + F_1 = \sqrt{2}F + F_1$
$F_{\text{net}} = \sqrt{2} \left( \frac{GM^2}{2R^2} \right) + \frac{GM^2}{4R^2} = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \right) = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
यह कुल बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F_{\text{net}} = \frac{MV^2}{R}$
$\frac{MV^2}{R} = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$V^2 = \frac{GM}{R} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$V = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R}(2\sqrt{2} + 1)}$

(A) चूंकि गैस का दबाव स्थिर रहता है,इसलिए यह प्रक्रिया समदाबी (isobaric) प्रक्रिया है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए जहाँ अणु घूर्णन करते हैं लेकिन दोलन नहीं करते,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = n \left( \frac{f}{2} R \right) \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
समदाबी प्रक्रिया में गैस द्वारा किया गया कार्य $W = P \Delta V = n R \Delta T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन और किए गए कार्य का अनुपात $\frac{\Delta U}{W} = \frac{\frac{5}{2} n R \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{5}{2} = 2.5$ है।
यह दिया गया है कि यह अनुपात $\frac{x}{10}$ है,इसलिए $\frac{x}{10} = 2.5$ है।
अतः,$x = 2.5 \times 10 = 25$।

(A) दिया गया है:
$T_1 = 1\, h$,$T_2 = 8\, h$
$R_1 = 2 \times 10^3\, km$
कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = 2\pi\, rad/h$ और $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{\pi}{4}\, rad/h$ हैं।
केप्लर के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{T_1^2} \Rightarrow \frac{R_2}{R_1} = (\frac{8}{1})^{2/3} = 4$.
अतः,$R_2 = 4 \times R_1 = 8 \times 10^3\, km$.
रैखिक वेग $v_1 = \omega_1 R_1 = 2\pi \times 2 \times 10^3 = 4\pi \times 10^3\, km/h$ और $v_2 = \omega_2 R_2 = \frac{\pi}{4} \times 8 \times 10^3 = 2\pi \times 10^3\, km/h$ हैं।
जब उपग्रह सबसे निकट होते हैं,तो निकटतम उपग्रह से देखे जाने पर सापेक्ष कोणीय वेग $\omega_{rel} = \frac{v_1 - v_2}{R_2 - R_1}$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega_{rel} = \frac{4\pi \times 10^3 - 2\pi \times 10^3}{8 \times 10^3 - 2 \times 10^3} = \frac{2\pi \times 10^3}{6 \times 10^3} = \frac{\pi}{3}\, rad/h$.
इसकी तुलना $\frac{\pi}{x}$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) चिकने आनत तल के लिए:
त्वरण $a_1 = g \sin 30^{\circ} = \frac{g}{2}$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$:
$S = \frac{1}{2} \left(\frac{g}{2}\right) T^2 = \frac{g T^2}{4} \quad \dots (i)$
खुरदरे आनत तल के लिए:
त्वरण $a_2 = g \sin 30^{\circ} - \mu g \cos 30^{\circ} = g(\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ}) = g\left(\frac{1}{2} - \mu \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{g}{2}(1 - \sqrt{3}\mu)$ है।
उसी दूरी $S$ और समय $\alpha T$ के लिए:
$S = \frac{1}{2} \left[\frac{g}{2}(1 - \sqrt{3}\mu)\right] (\alpha T)^2 = \frac{g}{4}(1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2 T^2 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{g T^2}{4} = \frac{g}{4}(1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2 T^2$
$1 = (1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2$
$\frac{1}{\alpha^2} = 1 - \sqrt{3}\mu$
$\sqrt{3}\mu = 1 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 - 1}{\alpha^2}$
$\mu = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\frac{\alpha^2 - 1}{\alpha^2}\right)$
दिए गए व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{\alpha^{2}-1}{\alpha^{2}}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) गैस के अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ है।
$V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.1$
$2.07 \times 10^{-23} \times T = 0.16 \times 10^{-19}$
$T = \frac{0.16 \times 10^{-19}}{2.07 \times 10^{-23}} \approx 772.9 \ K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 772.9 - 273 = 499.9 \approx 500^{\circ}C$.

(A) जब किसी छड़ को गर्म करने के कारण फैलने से रोका जाता है,तो उसमें थर्मल स्ट्रेस (तापीय प्रतिबल) उत्पन्न होता है।
तापीय बल $F$ का सूत्र है: $F = Y A \alpha \Delta T$।
यहाँ,$Y = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$,$A = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-3} \, m^2$,$\alpha = 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$,और $\Delta T = 400^\circ C - 0^\circ C = 400^\circ C$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$F = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-3}) \times (10^{-5}) \times (400)$
$F = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 400$
$F = 2.0 \times 10^3 \times 400$
$F = 800 \times 10^3 \, N = 8 \times 10^5 \, N$।
इसे $x \times 10^5 \, N$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 8$ प्राप्त होता है।

(A) छड़ शुरू में ऊर्ध्वाधर स्थिति में है। जब यह ऊपर की स्थिति से सबसे निचली स्थिति में गिरती है,तो छड़ का द्रव्यमान केंद्र $h = \ell$ की कुल ऊँचाई नीचे गिरता है (चूंकि यह ऊपर से नीचे तक घूमती है)।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में कमी घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$mg \ell = \frac{1}{2} I \omega^2$
चूंकि छड़ अपने सिरे के परितः घूमती है,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{3} m \ell^2$ है।
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर:
$mg \ell = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} m \ell^2 \right) \omega^2$
$2g \ell = \frac{1}{3} \ell^2 \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{6g}{\ell}$
मुक्त सिरे की रैखिक गति $v = \omega \ell$ द्वारा दी जाती है:
$v = \omega \ell = \sqrt{6g \ell} = \sqrt{6 \times 10 \times 0.6} = \sqrt{36} = 6 \, ms^{-1}$.

(A) प्रणाली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m = 40,000\, \text{kg}$ और $v = 72\, \text{km/h} = 20\, \text{m/s}$ है।
$K_i = \frac{1}{2} \times 40,000 \times (20)^2 = 80,00,000\, \text{J} = 80 \times 10^5\, \text{J}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = K_f - K_i$।
यह दिया गया है कि घर्षण के कारण $90\%$ ऊर्जा नष्ट हो जाती है,इसलिए $W_{\text{friction}} = -0.9 K_i$।
चूंकि प्रणाली स्थिर हो जाती है,$K_f = 0$। अतः,$-0.9 K_i + W_{\text{spring}} = -K_i$।
$W_{\text{spring}} = -0.1 K_i$।
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{spring}} = -\frac{1}{2}kx^2$ है,जहाँ $x = 1.0\, \text{m}$ है।
$-\frac{1}{2}k(1)^2 = -0.1 \times (80 \times 10^5)$।
$\frac{1}{2}k = 8 \times 10^5$।
$k = 16 \times 10^5\, \text{N/m}$।
अतः,स्प्रिंग नियतांक $16 \times 10^5\, \text{N/m}$ है।

(A) दिया गया संबंध $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$ है।
अदिश और सदिश गुणन की परिभाषा का उपयोग करते हुए: $AB \cos \theta = AB \sin \theta$.
दोनों पक्षों को $AB$ से विभाजित करने पर ($A, B \neq 0$ मानते हुए),हमें $\cos \theta = \sin \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
सदिश अंतर का परिमाण $|\vec{A} - \vec{B}|$ सूत्र $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,हमें $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos 45^{\circ}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए व्यंजक $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{A^{2} + B^{2} - \sqrt{2}AB}$ हो जाता है।

(D) यात्री का वजन $W = mg_{eff}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g_{eff}$ अंतरिक्ष यान में व्यक्ति द्वारा अनुभव किया जाने वाला प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण है।
जैसे-जैसे अंतरिक्ष यान पृथ्वी से मंगल की ओर बढ़ता है,यह एक तटस्थ बिंदु से गुजरता है जहाँ पृथ्वी और मंगल का गुरुत्वाकर्षण खिंचाव एक-दूसरे को रद्द कर देता है,जिससे प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{eff} = 0$ हो जाता है।
इस तटस्थ बिंदु पर,यात्री का वजन $W = 100\, {kg} \times 0\, {m/s^2} = 0\, {N}$ हो जाता है।
दिए गए वक्रों को देखने पर,केवल वक्र $(d)$ ही पृथ्वी और मंगल के बीच किसी बिंदु पर समय अक्ष (जहाँ वजन $0\, {N}$ है) को स्पर्श करता है।
इसलिए,वक्र $(d)$ समय के फलन के रूप में यात्री के वजन का सही निरूपण है।

(C) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
चूंकि कोई कार्य नहीं किया गया है, इसलिए $\Delta W = 0$ है।
अतः, दी गई ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $\Delta Q = \Delta U = n C_v \Delta T$।
एक कठोर द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
यहाँ $n = 4 \, \text{mole}$ और $\Delta T = 50^{\circ} \text{C} - 0^{\circ} \text{C} = 50 \, \text{K}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\Delta Q = 4 \times \frac{5}{2} R \times 50 = 10 \times 50 \, R = 500 \, R$।

(A) मान लीजिए कि पूर्व दिशा $\hat{i}$ अक्ष के अनुदिश है और उत्तर दिशा $\hat{j}$ अक्ष के अनुदिश है।
हवा के सापेक्ष तितली का वेग $\vec{V}_{BA} = 4\sqrt{2} \cos(45^\circ) \hat{i} + 4\sqrt{2} \sin(45^\circ) \hat{j} = 4\hat{i} + 4\hat{j} \, m/s$ है।
हवा का वेग $\vec{V}_W = -1\hat{j} \, m/s$ है।
जमीन के सापेक्ष तितली का परिणामी वेग $\vec{V}_B = \vec{V}_{BA} + \vec{V}_W = (4\hat{i} + 4\hat{j}) + (-1\hat{j}) = 4\hat{i} + 3\hat{j} \, m/s$ है।
$t = 3 \, s$ में तितली का विस्थापन $\vec{S} = \vec{V}_B \times t = (4\hat{i} + 3\hat{j}) \times 3 = 12\hat{i} + 9\hat{j} \, m$ है।
विस्थापन का परिमाण $|\vec{S}| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \, m$ है।

(D) लघुगणकीय फलन का तर्क विमाहीन होना चाहिए,इसलिए $\frac{\mu k R}{J \beta^{2}}$ विमाहीन होना चाहिए।
दिया गया है $S = \frac{dQ}{T}$,एन्ट्रॉपी $S$ की विमाएँ $[M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$ हैं।
गैस स्थिरांक $R$ की विमाएँ $[M L^{2} T^{-2} K^{-1} mol^{-1}]$ हैं और बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $k$ की विमाएँ $[M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$ हैं।
चूंकि $\frac{\mu k R}{J \beta^{2}}$ विमाहीन है,$[\beta^{2}] = \frac{[\mu][k][R]}{[J]}$।
$J$ (ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक) एक इकाई रूपांतरण कारक है,इसलिए यह विमाहीन है। अतः,$[\beta^{2}] = [mol] \cdot [M L^{2} T^{-2} K^{-1}] \cdot [M L^{2} T^{-2} K^{-1} mol^{-1}] = [M^{2} L^{4} T^{-4} K^{-2}]$।
इसलिए,$[\beta] = [M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$,जो $S, k$ और $\mu R$ की विमाओं के समान है।
$S = \alpha^{2} \beta$ से,चूंकि $S$ और $\beta$ की विमाएँ समान हैं,$\alpha^{2}$ विमाहीन होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\alpha$ विमाहीन है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A)$ $S, \beta, k, \mu R$ की विमाएँ समान हैं: सही।
$(B)$ $\alpha$ और $J$ की विमाएँ समान हैं: सही (दोनों विमाहीन हैं)।
$(C)$ $S$ और $\alpha$ की विमाएँ अलग हैं: सही।
$(D)$ $\alpha$ और $k$ की विमाएँ समान हैं: गलत,क्योंकि $\alpha$ विमाहीन है और $k$ की विमाएँ हैं। अतः,$(D)$ गलत विकल्प है।

(D) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = M_{\text{block}} + 3 \times M_{\text{cylinder}} = 10\, \text{kg} + 3 \times 20\, \text{kg} = 70\, \text{kg}$ है।
पूरे निकाय के लिए ऊर्ध्वाधर दिशा में न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर:
$Mg - R = Ma$
दिए गए मानों को रखने पर:
$70 \times 10 - R = 70 \times 0.2$
$700 - R = 14$
$R = 700 - 14 = 686\, \text{N}$.
अतः,फर्श द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $686\, \text{N}$ है।

(D) अधिकतम गति $V_{\max}$ पर,घर्षण बल $f$ ढलान के नीचे की दिशा में कार्य करता है और यह सीमांत घर्षण होता है,इसलिए $f = \mu N$।
ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों को संतुलित करने पर:
$N \cos 30^{\circ} - mg - f \sin 30^{\circ} = 0$
$f = \mu N$ प्रतिस्थापित करने पर:
$N \cos 30^{\circ} - mg - \mu N \sin 30^{\circ} = 0$
$N (\cos 30^{\circ} - \mu \sin 30^{\circ}) = mg$
यहाँ $m = 800 \, kg$,$g = 10 \, m/s^{2}$,$\cos 30^{\circ} = 0.87$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,और $\mu = 0.2$ है:
$N (0.87 - 0.2 \times 0.5) = 800 \times 10$
$N (0.87 - 0.1) = 8000$
$N (0.77) = 8000$
$N = \frac{8000}{0.77} \approx 10389.6 \, N \approx 10.4 \times 10^{3} \, N$।
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $10.2 \times 10^{3} \, N$ है।

(D) गैस अणु की रूट मीन स्क्वायर गति $(v_{\text{rms}})$ का सूत्र है: $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि मिश्रण में सभी गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
दिए गए द्रव्यमान $m_{A} < m_{B} < m_{C}$ के अनुसार,$v_{A} > v_{B} > v_{C}$ प्राप्त होता है।
इन गतियों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,हमें मिलता है: $\frac{1}{v_{A}} < \frac{1}{v_{B}} < \frac{1}{v_{C}}$।

(C) $1$. सबसे पहले,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करके स्प्रिंग गन से बाहर निकलते समय गेंद का वेग $v$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
यहाँ $k = 100\, \text{N/m}$,$x = 0.05\, \text{m}$,और $m = 100\, \text{g} = 0.1\, \text{kg}$ है।
$100 \times (0.05)^2 = 0.1 \times v^2$
$100 \times 0.0025 = 0.1 \times v^2$
$0.25 = 0.1 \times v^2$
$v^2 = 2.5$
$v = \sqrt{2.5}\, \text{m/s}$.
$2$. इसके बाद,क्षैतिज प्रक्षेप्य गति के समीकरण का उपयोग करके $2\, \text{m}$ की ऊंचाई से जमीन तक पहुँचने में गेंद द्वारा लिया गया समय $t$ ज्ञात करें:
$h = \frac{1}{2} g t^2$
$2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$2 = 5 t^2$
$t^2 = 0.4$
$t = \sqrt{0.4}\, \text{s}$.
$3$. अंत में,क्षैतिज दूरी $d$ ज्ञात करें:
$d = v \times t$
$d = \sqrt{2.5} \times \sqrt{0.4}$
$d = \sqrt{2.5 \times 0.4}$
$d = \sqrt{1} = 1\, \text{m}$.
अतः,$d$ का मान $1\, \text{m}$ है।

(B) मान लीजिए कि टक्कर के बाद छड़ के द्रव्यमान केंद्र का वेग $v$ है और छड़ के द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय वेग $\omega$ है।
$1$. रेखीय संवेग संरक्षण:
$mu = Mv \implies v = \frac{mu}{M} \quad \dots(i)$
$2$. छड़ के द्रव्यमान केंद्र के परितः कोणीय संवेग संरक्षण:
$mu \left(\frac{L}{2}\right) = I \omega = \left(\frac{ML^2}{12}\right) \omega$
$\implies \omega = \frac{6mu}{ML} \quad \dots(ii)$
$3$. प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e=1)$:
$e = \frac{\text{पृथक्करण का वेग}}{\text{दृष्टिकोण का वेग}} = 1$
$1 = \frac{v + \omega(L/2)}{u}$
$u = v + \frac{\omega L}{2} \quad \dots(iii)$
$(i)$ और $(ii)$ को $(iii)$ में रखने पर:
$u = \frac{mu}{M} + \left(\frac{6mu}{ML}\right) \left(\frac{L}{2}\right)$
$u = \frac{mu}{M} + \frac{3mu}{M} = \frac{4mu}{M}$
$1 = \frac{4m}{M} \implies \frac{m}{M} = \frac{1}{4}$
$\frac{m}{M} = \frac{1}{x}$ से तुलना करने पर, हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f_0 = 400\, Hz$ स्रोत की आवृत्ति है,$f_2 = 500\, Hz$ ड्राइवर द्वारा सुनी गई परावर्तित आवृत्ति है,$C = 330\, m/s$ ध्वनि की गति है और $V$ कार की गति है।
सबसे पहले,दीवार एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो चलती कार से ध्वनि प्राप्त करती है:
$f_1 = f_0 \left( \frac{C}{C - V} \right)$
इसके बाद,दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि को वापस ड्राइवर (प्रेक्षक) की ओर परावर्तित करती है जो दीवार की ओर बढ़ रहा है:
$f_2 = f_1 \left( \frac{C + V}{C} \right)$
$f_1$ का मान $f_2$ के समीकरण में रखने पर:
$f_2 = f_0 \left( \frac{C}{C - V} \right) \left( \frac{C + V}{C} \right) = f_0 \left( \frac{C + V}{C - V} \right)$
दिया गया है $f_2 = 500\, Hz$ और $f_0 = 400\, Hz$:
$500 = 400 \left( \frac{330 + V}{330 - V} \right)$
$\frac{5}{4} = \frac{330 + V}{330 - V}$
$5(330 - V) = 4(330 + V)$
$1650 - 5V = 1320 + 4V$
$9V = 330$
$V = \frac{330}{9} = \frac{110}{3}\, m/s$
गति को $km/h$ में बदलने पर:
$V = \frac{110}{3} \times \frac{18}{5} = 22 \times 6 = 132\, km/h$.

(D) यदि डिस्क नत समतल पर फिसलती है,तो इसका त्वरण $a_{1} = g \sin \theta$ होता है।
गति के समीकरण $L = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $t_{1} = \sqrt{\frac{2L}{a_{1}}} \quad \dots (i)$ प्राप्त होता है।
यदि डिस्क नत समतल पर लुढ़कती है,तो इसका त्वरण $a_{2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^{2}}}$ होता है।
एक वृत्ताकार डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} mR^{2}$ होता है,इसलिए $a_{2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$ होता है।
गति के समीकरण $L = \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $t_{2} = \sqrt{\frac{2L}{a_{2}}} \quad \dots (ii)$ प्राप्त होता है।
अनुपात लेने पर $\frac{t_{2}}{t_{1}} = \sqrt{\frac{a_{1}}{a_{2}}} = \sqrt{\frac{g \sin \theta}{\frac{2}{3} g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\sqrt{\frac{3}{x}}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(A) धनात्मक $x$-दिशा में संचरित होने वाली और अपना आकार न बदलने वाली तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = f(x - vt)$ है,जहाँ $v$ तरंग का वेग है।
$t=0$ पर,समीकरण $y = f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ है।
$t=1 \text{ s}$ पर,समीकरण $y = f(x - v(1)) = \frac{1}{1+(x-v)^2}$ हो जाता है।
हमें दिया गया है कि $t=1 \text{ s}$ पर,समीकरण $y = \frac{1}{1+(x-2)^2}$ है।
$t=1 \text{ s}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $x - v = x - 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = 2 \text{ m/s}$।

(C) एक पूर्ण चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से,$\Delta Q = \Delta U + W$।
चूंकि $\Delta U = 0$,अवशोषित ऊष्मा $\Delta Q$ निकाय द्वारा किए गए कार्य $W$ के बराबर है।
चक्रीय प्रक्रिया में किया गया कार्य $W$,$P-V$ वक्र द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi \cdot r_P \cdot r_V$ है,जहाँ $r_P$ दाब अक्ष पर त्रिज्या है और $r_V$ आयतन अक्ष पर त्रिज्या है।
आकृति से,दाब अक्ष पर व्यास $40 \text{ kPa} - 20 \text{ kPa} = 20 \text{ kPa}$ है,इसलिए $r_P = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$।
आयतन अक्ष पर व्यास $40 \text{ L} - 20 \text{ L} = 20 \text{ L}$ है,इसलिए $r_V = 10 \text{ L} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3$।
अतः,$\Delta Q = W = \pi \times (10 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^3) = 100 \pi \text{ J}$।
इस प्रकार,मान $100$ है।

(B) माना $K_r$ घूर्णन गतिज ऊर्जा है और $K_t$ स्थानांतरण गतिज ऊर्जा है।
दिया गया है $K_r = 0.5 K_t$,जहाँ $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ और $K_t = \frac{1}{2} m v^2$ है।
चूंकि पिंड बिना फिसले लुढ़क रहा है,$v = \omega R$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$ होगा।
इसे घूर्णन ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $K_r = \frac{1}{2} I (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} (\frac{I}{R^2}) v^2$ प्राप्त होता है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{1}{2} (\frac{I}{R^2}) v^2 = 0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2)$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{I}{R^2} = 0.5 m$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I = 0.5 m R^2 = \frac{1}{2} m R^2$ है।
जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} m R^2$ एक ठोस बेलन या डिस्क के लिए होता है।

(A) एक द्वि-तारा निकाय में,दोनों तारे अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र (center of mass) के चारों ओर परिक्रमा करते हैं।
निकाय के स्थिर रहने के लिए,दोनों तारों को हर समय समान कोणीय वेग $\omega$ बनाए रखना आवश्यक है।
चूंकि कोणीय वेग $\omega$ और आवर्तकाल $T$ के बीच संबंध $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है,यदि $\omega_{A} = \omega_{B}$ है,तो $T_{A} = T_{B}$ होगा।
अतः,दोनों तारे समान समय में एक चक्कर पूरा करते हैं।

(A) माना द्रव्यमान की विमा $m = k \cdot t^a \cdot u^b \cdot I^c$ है,जहाँ $k$ एक विमाहीन स्थिरांक है।
प्रत्येक राशि की विमाएँ रखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [T]^a [L T^{-1}]^b [M L^2 T^{-1}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^c] [L^{b+2c}] [T^{a-b-c}]$
दोनों पक्षों में $M$,$L$,और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $c = 1$
$L$ के लिए: $b + 2c = 0 \implies b + 2(1) = 0 \implies b = -2$
$T$ के लिए: $a - b - c = 0 \implies a - (-2) - 1 = 0 \implies a + 1 = 0 \implies a = -1$
अतः,द्रव्यमान की विमा $[t^{-1} u^{-2} I^1]$ है।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = 4K_1$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ होती है,जहाँ $P$ संवेग है और $m$ द्रव्यमान है,इसलिए $P = \sqrt{2mK}$ होता है।
अतः,अंतिम संवेग $P_2$ और प्रारंभिक संवेग $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{\frac{4K_1}{K_1}} = \sqrt{4} = 2$ है।
इसका अर्थ है कि $P_2 = 2P_1$ है।
संवेग में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{2P_1 - P_1}{P_1} \times 100 = \frac{P_1}{P_1} \times 100 = 100\%$ प्राप्त होता है।

(B) ज़ेनर डायोड की पावर रेटिंग $P_z = 2 \, W$ है और इसका ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_z = 10 \, V$ है。
ज़ेनर डायोड से प्रवाहित होने वाली अधिकतम धारा $I_{z,max} = \frac{P_z}{V_z} = \frac{2 \, W}{10 \, V} = 0.2 \, A$ है。
सुरक्षित संचालन सुनिश्चित करने के लिए, ज़ेनर डायोड को अपनी पावर रेटिंग से अधिक हुए बिना अधिकतम इनपुट वोल्टेज $V_{in,max} = 14 \, V$ को संभालना होगा。
जब $V_{in} = 14 \, V$ होता है, तो श्रेणी प्रतिरोध $R_s$ के पार वोल्टेज ड्रॉप $\Delta V_{Rs} = V_{in,max} - V_z = 14 \, V - 10 \, V = 4 \, V$ होता है。
यदि लोड करंट नगण्य है (या जब कोई लोड नहीं जुड़ा है तो ज़ेनर को पूरी धारा संभालनी पड़ती है), तो $R_s$ से प्रवाहित धारा $I = I_{z,max} = 0.2 \, A$ है。
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, $R_s = \frac{\Delta V_{Rs}}{I} = \frac{4 \, V}{0.2 \, A} = 20 \, \Omega$ प्राप्त होता है。

(B) $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक परिपथ ($RL$ परिपथ) के लिए:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (3R)^2} = \sqrt{R^2 + 9R^2} = \sqrt{10R^2} = R\sqrt{10}$.
पुराना शक्ति गुणांक,$\cos \phi = \frac{R}{R\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
नए परिपथ ($RLC$ परिपथ) के लिए:
$Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (3R - 2R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.
नया शक्ति गुणांक,$\cos \phi' = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
नए शक्ति गुणांक और पुराने शक्ति गुणांक का अनुपात:
$\frac{\cos \phi'}{\cos \phi} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1}$.
इसकी तुलना $\sqrt{5} : x$ से करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(B) स्थिति $1$: स्विच $S$ खुला है।
परिपथ दो समानांतर शाखाओं से बना है। ऊपरी शाखा में $R$ और $2R$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं,और निचली शाखा में $2R$ और $R$ प्रतिरोधक श्रेणी में हैं।
ऊपरी शाखा का समतुल्य प्रतिरोध = $R + 2R = 3R$.
निचली शाखा का समतुल्य प्रतिरोध = $2R + R = 3R$.
चूंकि ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,$R_{eq, open} = \frac{3R \times 3R}{3R + 3R} = \frac{9R^2}{6R} = \frac{3R}{2}$.
स्थिति $2$: स्विच $S$ बंद है।
परिपथ को श्रेणी में जुड़े दो समानांतर संयोजनों के रूप में देखा जा सकता है। बाईं ओर $R$ और $2R$ समानांतर में हैं,और दाईं ओर $2R$ और $R$ समानांतर में हैं।
बाएं भाग का समतुल्य प्रतिरोध = $\frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R}{3}$.
दाएं भाग का समतुल्य प्रतिरोध = $\frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2R}{3}$.
चूंकि ये दो भाग श्रेणी में हैं,$R_{eq, closed} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$.
अनुपात = $\frac{R_{eq, open}}{R_{eq, closed}} = \frac{3R/2}{4R/3} = \frac{3R}{2} \times \frac{3}{4R} = \frac{9}{8}$.
दिया गया अनुपात $x : 8$ है,इसलिए $x = 9$.

(B) मुक्त आकाश में यात्रा करने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के परिमाण के बीच का संबंध $B = \frac{E}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है कि $E = 6 \text{ V/m}$ और $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{6}{3 \times 10^{8}} \text{ T}$
$B = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$
इसे दिए गए व्यंजक $x \times 10^{-8} \text{ T}$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $x = 2$ है।

(A) दिए गए सर्किट में एक $AND$ गेट,एक $OR$ गेट और एक $NAND$ गेट शामिल है।
$AND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot B$ है।
$OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं,इसलिए इसका आउटपुट $A + B$ है।
ये दोनों आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं,इसलिए अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$
अब,प्रत्येक इनपुट क्रम $(A, B)$ के लिए $Y$ की गणना करते हैं:
$1$. $(0,0)$ के लिए: $Y = \overline{(0 \cdot 0) \cdot (0 + 0)} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
$2$. $(0,1)$ के लिए: $Y = \overline{(0 \cdot 1) \cdot (0 + 1)} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
$3$. $(1,0)$ के लिए: $Y = \overline{(1 \cdot 0) \cdot (1 + 0)} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
$4$. $(1,1)$ के लिए: $Y = \overline{(1 \cdot 1) \cdot (1 + 1)} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$
अतः,आउटपुट $Y$ का क्रम $1, 1, 1, 0$ है।

(B) मान लीजिए कि तीसरे आवेश $q$ को $-5\, \mu C$ आवेश से $x$ दूरी पर,$20\, \mu C$ आवेश की विपरीत दिशा में रखा गया है।
कुल विद्युत बल शून्य होने के लिए,उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
$20\, \mu C$ आवेश के कारण $(5+x)$ दूरी पर और $-5\, \mu C$ आवेश के कारण $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
$\frac{k(20\, \mu C)}{(5+x)^2} = \frac{k(5\, \mu C)}{x^2}$
$\frac{20}{(5+x)^2} = \frac{5}{x^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{20}}{5+x} = \frac{\sqrt{5}}{x}$
$\frac{2\sqrt{5}}{5+x} = \frac{\sqrt{5}}{x}$
$2x = 5+x$
$x = 5\, cm$
अतः,यह बिंदु $-5\, \mu C$ आवेश से दाईं ओर $5\, cm$ की दूरी पर स्थित है।

(C) अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी ऋणात्मक होती है,इसलिए $f_{lens} = -f$ होगा।
वस्तु को फोकस पर रखा गया है,इसलिए वस्तु की दूरी $u = -f$ है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{lens}}$
मान रखने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-f} = \frac{1}{-f}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} - \frac{1}{f} = -\frac{2}{f}$
$v = -\frac{f}{2}$
लेंस के प्रकाशिक केंद्र से प्रतिबिंब की दूरी $|v| = \frac{f}{2}$ है।
आवर्धन $m$ का सूत्र $m = \frac{v}{u}$ है।
$m = \frac{-f/2}{-f} = \frac{1}{2}$.

(B) रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रिया $A \longrightarrow B \longrightarrow C \text{ (स्थिर)}$ द्वारा दी गई है।
प्रारंभ में,$t=0$ पर,$B$ के परमाणुओं की संख्या $0$ है। जैसे-जैसे $A$ का क्षय होता है,$B$ के परमाणुओं की संख्या बढ़ने लगती है।
$B$ के परमाणुओं की संख्या में परिवर्तन की दर $\frac{dN_B}{dt} = \lambda_A N_A - \lambda_B N_B$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$\frac{dN_B}{dt} > 0$ है,इसलिए $B$ के परमाणुओं की संख्या बढ़ती है। यह एक अधिकतम मान तक पहुँचती है जब $B$ के बनने की दर $B$ के क्षय की दर के बराबर हो जाती है (अर्थात $\lambda_A N_A = \lambda_B N_B$)।
इस अधिकतम मान तक पहुँचने के बाद,$A$ से आपूर्ति कम होने के कारण $B$ के परमाणुओं की संख्या घटने लगती है। चूंकि वृद्धि और क्षय दोनों ही घातांकीय फलन हैं,इसलिए ग्राफ अधिकतम तक एक सहज वृद्धि और उसके बाद घातांकीय क्षय दिखाएगा। दिए गए विकल्पों में से,$981-b1026$ में दिया गया ग्राफ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) प्रति इकाई त्रिज्यीय चौड़ाई में फेरों की संख्या $n = \frac{N}{b-a}$ है।
$x$ त्रिज्या और $dx$ चौड़ाई वाली एक छोटी तात्विक वलय पर विचार करें। इस तत्व में फेरों की संख्या $dN = n \cdot dx = \frac{N}{b-a} dx$ है।
इस तात्विक वलय के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_{0} (dN) I}{2x} = \frac{\mu_{0} I}{2x} \left( \frac{N}{b-a} \right) dx$ है।
$x = a$ से $x = b$ तक समाकलन करने पर:
$B = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} \frac{dx}{x} = \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} [\ln x]_{a}^{b} = \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.

(A) भुजा वाले वर्गाकार लूप द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$,इसकी चार भुजाओं द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
एक भुजा के लिए,केंद्र पर क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (b/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi b} (2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b}$ है।
चूंकि चार भुजाएं हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times B_{1} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b}$ है।
चूंकि $b \gg a$,हम मानते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र छोटे लूप के क्षेत्रफल पर एकसमान है।
छोटे लूप के साथ जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ जिसका क्षेत्रफल $A = a^{2}$ है,$\phi = B \times A = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b} \times a^{2}$ है।
अन्योन्य प्रेरण गुणांक $M$ को $M = \frac{\phi}{I} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} a^{2}}{\pi b}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए,हम $4$ से गुणा और भाग करते हैं:
$M = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{8 \sqrt{2} a^{2}}{b}$.

(A) परिपथ में एक $AC$ स्रोत $V_i = 10 \sin \omega t$,एक आदर्श डायोड $D$,एक प्रतिरोधक $R$,और श्रेणीक्रम में $3 \ V$ की $DC$ बैटरी है।
डायोड के फॉरवर्ड-बायस्ड होने के लिए,एनोड पर विभव कैथोड पर विभव से अधिक होना चाहिए।
कैथोड $3 \ V$ बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ा है।
इसलिए,डायोड केवल तभी चालन करता है जब $V_i > 3 \ V$ हो।
जब $V_i > 3 \ V$ होता है,तो डायोड एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है (आदर्श डायोड)। प्रतिरोधक $R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_R = V_i - 3 \ V$ द्वारा दिया जाता है।
जब $V_i \leq 3 \ V$ होता है,तो डायोड रिवर्स-बायस्ड होता है और ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है। प्रतिरोधक $R$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए $V_R = 0 \ V$ होता है।
इस प्रकार,$R$ के सिरों पर तरंगरूप एक क्लिप किया हुआ साइन वेव होगा जो केवल तभी मौजूद होगा जब $V_i > 3 \ V$ हो,और इसका अधिकतम मान $10 - 3 = 7 \ V$ होगा।

(B) मान लीजिए कि जिस कोने पर दर्पण मिलते हैं वह मूल बिंदु $(0,0)$ है। बिंदु स्रोत $P$ की स्थिति $(a, 2a)$ है।
दर्पण ${M}_{1}$ ($x=0$ पर) द्वारा निर्मित प्रतिबिंब ${I}_{1} = (-a, 2a)$ है।
दर्पण ${M}_{2}$ ($y=0$ पर) द्वारा निर्मित प्रतिबिंब ${I}_{2} = (a, -2a)$ है।
दोनों दर्पणों द्वारा निर्मित प्रतिबिंब (परावर्तनों का प्रतिच्छेदन) ${I}_{3} = (-a, -2a)$ है।
हमें प्रतिबिंबों के सभी जोड़ों के बीच की दूरी ज्ञात करने की आवश्यकता है:
$1$. ${I}_{1}$ और ${I}_{2}$ के बीच की दूरी: $\sqrt{(a - (-a))^2 + (-2a - 2a)^2} = \sqrt{(2a)^2 + (-4a)^2} = \sqrt{4a^2 + 16a^2} = \sqrt{20a^2} = 2\sqrt{5}a = 2 \times 2.3a = 4.6a$.
$2$. ${I}_{1}$ और ${I}_{3}$ के बीच की दूरी: $\sqrt{(-a - (-a))^2 + (-2a - 2a)^2} = \sqrt{0 + (-4a)^2} = 4a$.
$3$. ${I}_{2}$ और ${I}_{3}$ के बीच की दूरी: $\sqrt{(-a - a)^2 + (-2a - (-2a))^2} = \sqrt{(-2a)^2 + 0} = 2a$.
सबसे लंबी दूरी $4.6a$ है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{(X_{L} - X_{C})^{2} + R^{2}}$.
दिया गया है कि $X_{L} = R$ और $X_{C} = R$,इसलिए $X_{L} = X_{C}$ है।
इन मानों को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{(R - R)^{2} + R^{2}}$
$Z = \sqrt{0^{2} + R^{2}}$
$Z = \sqrt{R^{2}}$
$Z = R$.
अतः,परिपथ की प्रतिबाधा $R$ है।

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{P}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य समान है,$\lambda_p = \lambda_e$,इसका अर्थ है कि उनके संवेग समान हैं: ${P}_p = {P}_e$.
गतिज ऊर्जा और संवेग के बीच संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ है।
प्रोटॉन के लिए: ${K}_p = \frac{{P}_p^2}{2{m}_p}$.
इलेक्ट्रॉन के लिए: ${K}_e = \frac{{P}_e^2}{2{m}_e}$.
चूंकि ${P}_p = {P}_e$,गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{{K}_p}{{K}_e} = \frac{{m}_e}{{m}_p}$ है।
चूंकि प्रोटॉन का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान से बहुत अधिक है $({m}_p > {m}_e)$,इसलिए ${K}_p < {K}_e$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि कुल धारा $i$ है।
दिया गया है कि गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $I_g = 0.02i$ है।
इसलिए,शंट प्रतिरोध $S = 5\, \Omega$ से गुजरने वाली धारा $I_s = i - 0.02i = 0.98i$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर और शंट प्रतिरोध समानांतर में हैं,इसलिए उनके सिरों पर विभवांतर समान होता है:
$I_g R_g = I_s S$
$0.02i \times R_g = 0.98i \times 5$
$R_g = \frac{0.98 \times 5}{0.02}$
$R_g = 49 \times 5 = 245\, \Omega$.

(C) $LOS$ संचार की सीमा $d = \sqrt{2Rh_T} + \sqrt{2Rh_R}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h_T$ और $h_R$ क्रमशः ट्रांसमिटिंग और रिसीविंग एंटेना की ऊंचाइयां हैं।
दिया गया है $h_T + h_R = 160 \, m$। मान लीजिए $h_T = x$,तो $h_R = 160 - x$।
$d = \sqrt{2R}(\sqrt{h_T} + \sqrt{h_R}) = \sqrt{2R}(\sqrt{x} + \sqrt{160 - x})$।
$d$ को अधिकतम करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x} + \sqrt{160 - x}) = 0$।
$\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{160 - x}} = 0 \implies \sqrt{x} = \sqrt{160 - x} \implies x = 80 \, m$।
अतः,$h_T = 80 \, m$ और $h_R = 80 \, m$।
ऊंचाइयों को $km$ में बदलने पर: $h_T = h_R = 0.08 \, km$।
$d_{max} = \sqrt{2 \times 6400 \times 0.08} + \sqrt{2 \times 6400 \times 0.08} = 2 \times \sqrt{12800 \times 0.08} = 2 \times \sqrt{1024} = 2 \times 32 = 64 \, km$।

(C) वर्गाकार तार का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 3\, \Omega + 3\, \Omega + 3\, \Omega + 3\, \Omega = 12\, \Omega$ है।
जब इस तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो कुल परिधि $12\, \Omega$ के प्रतिरोध के अनुरूप होती है।
दो व्यासीय विपरीत बिंदुओं के लिए,वृत्त को दो समान अर्धवृत्ताकार चापों में विभाजित किया जाता है।
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार चाप का प्रतिरोध $R' = \frac{12\, \Omega}{2} = 6\, \Omega$ है।
ये दो $6\, \Omega$ प्रतिरोध व्यासीय विपरीत बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ के लिए,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$R_{eq} = 3\, \Omega$ होगा।

(C) सबसे पहले, परिपथ को सरल करें। दो $4\, \Omega$ प्रतिरोधों का समानांतर संयोजन $2\, \Omega$ है। दो $8\, \Omega$ प्रतिरोधों का समानांतर संयोजन $4\, \Omega$ है। दो $12\, \Omega$ प्रतिरोधों का समानांतर संयोजन $6\, \Omega$ है।
ऊपरी शाखा में प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं: $2\, \Omega$ ($4\, \Omega || 4\, \Omega$ से) + $2\, \Omega$ + $R_{p1}$ (जहाँ $R_{p1} = 15\, \Omega || 10\, \Omega = 6\, \Omega$)। ऊपरी शाखा का कुल प्रतिरोध $R_1 = 2 + 2 + 6 = 10\, \Omega$ है।
निचली शाखा में प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं: $4\, \Omega$ ($8\, \Omega || 8\, \Omega$ से) + $6\, \Omega$ ($12\, \Omega || 12\, \Omega$ से) = $10\, \Omega$ है।
ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं, इसलिए उनका समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq_branches} = (10\, \Omega || 10\, \Omega) = 5\, \Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 5\, \Omega + 1\, \Omega$ (आंतरिक) $= 6\, \Omega$ है।
कुल धारा $I = V / R_{total} = 12\, V / 6\, \Omega = 2\, A$ है।
यह धारा दो $10\, \Omega$ शाखाओं में समान रूप से विभाजित होती है, इसलिए ऊपरी शाखा से $1\, A$ धारा प्रवाहित होती है।
$15\, \Omega || 10\, \Omega$ समानांतर संयोजन पर विभवांतर $V_{AB} = I_{upper} \times R_{p1} = 1\, A \times 6\, \Omega = 6\, V$ होगा।

(C) विद्युत क्षेत्र $E = E_0 \sin \omega(t - x/c)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $E_0 = 50 \, NC^{-1}$ है।
विद्युतचुंबकीय तरंग का ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$ होता है।
$V$ आयतन में कुल ऊर्जा $U = u \cdot V = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 V$ है।
दिया गया है $U = 5.5 \times 10^{-12} \, J$ और $\epsilon_0 = 8.8 \times 10^{-12} \, C^2 N^{-1} m^{-2}$,अतः:
$5.5 \times 10^{-12} = \frac{1}{2} \times (8.8 \times 10^{-12}) \times (50)^2 \times V$.
$5.5 = 0.5 \times 8.8 \times 2500 \times V$.
$5.5 = 4.4 \times 2500 \times V$.
$5.5 = 11000 \times V$.
$V = \frac{5.5}{11000} = 0.0005 \, m^3$.
$m^3$ को $cm^3$ में बदलने पर:
$V = 0.0005 \times (100 \, cm)^3 = 0.0005 \times 10^6 \, cm^3 = 500 \, cm^3$.

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (ओपन सर्किट) के रूप में कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ में $6 \, V$ की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में $2 \, k\Omega$ के तीन प्रतिरोध जुड़े हुए हैं।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega = 6 \, k\Omega$ है।
परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{6 \, k\Omega} = 1 \, mA$ है।
संधारित्र सबसे नीचे वाले $2 \, k\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है।
इस प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर $V_c = I \times R = 1 \, mA \times 2 \, k\Omega = 2 \, V$ है।
चूंकि संधारित्र इस प्रतिरोध के समानांतर है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर भी विभवांतर $2 \, V$ होगा।
संधारित्र पर आवेश $q = C \times V_c$ द्वारा दिया जाता है।
$q = 50 \,\mu {F} \times 2 \, V = 100 \,\mu {C}$।

(D) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $r = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ है,जहाँ $L = 9 \, cm = 0.09 \, m$ है।
$r = \frac{0.09}{2 \sqrt{3}} = \frac{0.045}{\sqrt{3}} \, m$.
प्रत्येक भुजा के सिरों द्वारा केंद्रक पर बनने वाले कोण $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (2 \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sqrt{3})$ है।
चूंकि तीन समान भुजाएं हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 B_1 = 3 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} \sqrt{3}$ होगा।
मान रखने पर: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$i = 1.5 \, A$,$r = \frac{0.09}{2 \sqrt{3}} \, m$.
$B = 3 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.5}{4 \pi \times (0.09 / 2 \sqrt{3})} \times \sqrt{3} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1.5 \times 2 \sqrt{3}}{0.09} \times \sqrt{3} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1.5 \times 2 \times 3}{0.09} = 3 \times \frac{9 \times 10^{-7}}{0.09} = 3 \times 10^{-5} \, T$.
चूंकि धारा दक्षिणावर्त दिशा में प्रवाहित हो रही है,इसलिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र त्रिभुज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होगा।

(C) टक्कर से पहले निकाय की कुल ऊर्जा मुक्त इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा है,क्योंकि बहुत अधिक दूरी पर स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है। कुल ऊर्जा $E_i = 2.6 \, eV + 0 = 2.6 \, eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु पहली उत्तेजित अवस्था $(n=2)$ में बनता है। $n$-वीं अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा $E_n = -13.6/n^2 \, eV$ द्वारा दी जाती है। $n=2$ के लिए,$E_f = -13.6/4 = -3.4 \, eV$ है।
फोटॉन के रूप में उत्सर्जित ऊर्जा प्रारंभिक और अंतिम कुल ऊर्जा का अंतर है: $\Delta E = E_i - E_f = 2.6 - (-3.4) = 6.0 \, eV$ है।
ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $\Delta E = 6.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 9.6 \times 10^{-19} \, J$ है।
संबंध $\Delta E = hf$ का उपयोग करते हुए,आवृत्ति $f = \Delta E / h = (9.6 \times 10^{-19}) / (6.6 \times 10^{-34}) \approx 1.45 \times 10^{15} \, Hz$ प्राप्त होती है।
चूंकि $1 \, MHz = 10^6 \, Hz$ है,इसलिए $MHz$ में आवृत्ति $1.45 \times 10^{15} / 10^6 = 1.45 \times 10^9 \, MHz$ होगी।

(B) परिपथ $(A)$ के लिए:
${V}_{A} = 5\, V \Rightarrow A = 1$,${V}_{A} = 0\, V \Rightarrow A = 0$
${V}_{B} = 5\, V \Rightarrow B = 1$,${V}_{B} = 0\, V \Rightarrow B = 0$
यदि $A = B = 0$ है,तो दोनों डायोड रिवर्स बायस में होते हैं,इसलिए ${V}_{0} = 0\, V$।
यदि $A = 1, B = 0$ है,तो डायोड ${D}_{1}$ फॉरवर्ड बायस में होता है,इसलिए ${V}_{0} = 5\, V$।
यदि $A = 0, B = 1$ है,तो डायोड ${D}_{2}$ फॉरवर्ड बायस में होता है,इसलिए ${V}_{0} = 5\, V$।
यदि $A = 1, B = 1$ है,तो दोनों डायोड फॉरवर्ड बायस में होते हैं,इसलिए ${V}_{0} = 5\, V$।
यह सत्यता सारणी (truth table) $OR$ गेट के अनुरूप है।
परिपथ $(B)$ के लिए:
यह एक कॉमन-एमिटर $npn$ ट्रांजिस्टर विन्यास है।
जब इनपुट वोल्टेज $0\, V$ $(A = 0)$ होता है,तो बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड बायस में नहीं होता है,ट्रांजिस्टर कट-ऑफ में होता है और ${V}_{0} = 5\, V$ (लॉजिक $1$) प्राप्त होता है।
जब इनपुट वोल्टेज $5\, V$ $(A = 1)$ होता है,तो बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड बायस में होता है,ट्रांजिस्टर सैचुरेशन में चला जाता है और ${V}_{0} \approx 0\, V$ (लॉजिक $0$) प्राप्त होता है।
यह इनवर्जन व्यवहार $NOT$ गेट के अनुरूप है।
अतः,ये गेट $OR$ और $NOT$ हैं।

(C) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$ होता है।
चूंकि $\Delta p = m \Delta v$,इसलिए $\Delta x \propto \frac{1}{m \Delta v}$ है।
आदर्श गैस के लिए,वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ होता है,इसलिए $\Delta v \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ है।
इस मान को अनिश्चितता संबंध में रखने पर: $\Delta x \propto \frac{1}{m \cdot (1/\sqrt{m})} = \frac{1}{\sqrt{m}}$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थिति में अनिश्चितता का अनुपात $\frac{\Delta x_e}{\Delta x_p} = \frac{1/\sqrt{m_e}}{1/\sqrt{m_p}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$ होगा।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में वेग $\vec{v}$ से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(kz)$ है।
$z = \pi/k$ पर आवेश $q_1 = 4\pi$ के लिए:
$\vec{B}_1 = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(k \cdot \frac{\pi}{k}) = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(\pi) = -B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$.
$\vec{F}_1 = q_1(\vec{v} \times \vec{B}_1) = 4\pi (0.5c\hat{i} \times (-B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}})) = -\frac{2\pi c B_0}{\sqrt{2}} \hat{k}$.
$z = 3\pi/k$ पर आवेश $q_2 = 2\pi$ के लिए:
$\vec{B}_2 = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(k \cdot \frac{3\pi}{k}) = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(3\pi) = -B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$.
$\vec{F}_2 = q_2(\vec{v} \times \vec{B}_2) = 2\pi (0.5c\hat{i} \times (-B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}})) = -\frac{\pi c B_0}{\sqrt{2}} \hat{k}$.
बलों के परिमाण का अनुपात $\frac{|F_1|}{|F_2|} = \frac{2\pi c B_0 / \sqrt{2}}{\pi c B_0 / \sqrt{2}} = 2 : 1$ है।

(D) टर्मिनल $A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को चरण-दर-चरण सरल करते हैं।
$1$. दो $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = 1.5\,\Omega = \frac{3}{2}\,\Omega$ है।
$2$. अब,परिपथ एक $2\,\Omega$ के प्रतिरोधक और समानांतर में स्थित $2\,\Omega$ के प्रतिरोधक तथा $1.5\,\Omega$ के तुल्य प्रतिरोध के श्रेणी क्रम में बदल जाता है।
$3$. दिए गए समाधान के अनुसार,अंतिम गणना $R_{\text{eq}} = \frac{3 \times 3/2}{3 + 3/2} = 1\,\Omega$ प्राप्त होती है।

(C) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
कथन $(a)$ सही है: जब रेखाएं सतह में प्रवेश करती हैं तो फ्लक्स ऋणात्मक होता है $(\theta > 90^{\circ})$।
कथन $(b)$ सही है: समरूपता के कारण,घन के केंद्र पर स्थित आवेश उसके सभी छह फलकों से समान फ्लक्स उत्पन्न करता है।
कथन $(c)$ सही है: गॉस के नियम के अनुसार,$\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$। यदि $q_{enclosed} = 0$ है,तो $\phi_{net} = 0$ होगा।
कथन $(d)$ गलत है: जब विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ सतह के समानांतर होता है,तो यह क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के लंबवत होता है (अर्थात $\theta = 90^{\circ}$)। अतः,$\phi = EA \cos 90^{\circ} = 0$। कथन में दावा किया गया है कि यह एक गैर-शून्य फ्लक्स प्रदान करता है,जो गलत है।

(A) $1$. कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है। प्रेरित धारा के लिए,चुंबकीय फ्लक्स को समय के साथ बदलना चाहिए।
$2$. यदि $\vec{B}$ कुंडली के तल के समानांतर है,तो कोण $\theta = 90^\circ$ होगा,इसलिए $\Phi = 0$ होगा। अतः,विकल्प $B$ और $D$ गलत हैं।
$3$. कुंडली में प्रेरित धारा वामावर्त (anticlockwise) दिशा में है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करता है।
$4$. यदि बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ बाहर की ओर (कुंडली के तल के लंबवत) निर्देशित है,तो वामावर्त प्रेरित धारा परिवर्तन का विरोध करने के लिए अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र बनाती है।
$5$. प्रेरित धारा के वामावर्त होने के लिए,बाहर की ओर का फ्लक्स कम होना चाहिए ताकि प्रेरित क्षेत्र बाहर की दिशा का समर्थन कर सके। इसलिए,$\vec{B}$ को बाहर की ओर होना चाहिए और समय के साथ कम होना चाहिए।

(D) फुल वेव रेक्टिफायर एक स्पंदित $DC$ आउटपुट उत्पन्न करता है। इस आउटपुट को सुचारू बनाने और स्थिर $DC$ वोल्टेज प्राप्त करने के लिए फिल्टर सर्किट का उपयोग किया जाता है।
$1$. लोड $R_L$ के समानांतर जुड़ा संधारित्र एक फिल्टर के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह वोल्टेज बढ़ने पर चार्ज होता है और वोल्टेज घटने पर लोड के माध्यम से डिस्चार्ज होता है,जिससे रिपल्स कम हो जाते हैं।
$2$. लोड $R_L$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा प्रेरक भी एक फिल्टर के रूप में कार्य करता है क्योंकि यह अपने माध्यम से बहने वाली धारा में किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है,जिससे आउटपुट धारा सुचारू हो जाती है।
चूंकि दोनों विधियां स्पंदित $DC$ को फिल्टर करके स्थिर $DC$ आउटपुट प्राप्त करने के लिए मानक तकनीकें हैं,इसलिए कथन-$I$ और कथन-$II$ दोनों सत्य हैं।

(D) एक $A.M.$ स्टेशन के लिए आवश्यक बैंडविड्थ,मॉड्युलेटिंग ऑडियो सिग्नल की अधिकतम आवृत्ति की दोगुनी होती है।
$\text{प्रति स्टेशन बैंडविड्थ} = 2 \times f_m = 2 \times 6 \, \text{kHz} = 12 \, \text{kHz}$.
कुल उपलब्ध बैंडविड्थ $6 \, \text{MHz} = 6000 \, \text{kHz}$ है।
एक साथ प्रसारित किए जा सकने वाले स्टेशनों की संख्या $N$,कुल बैंडविड्थ और प्रति स्टेशन बैंडविड्थ के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$N = \frac{\text{कुल बैंडविड्थ}}{\text{प्रति स्टेशन बैंडविड्थ}} = \frac{6000 \, \text{kHz}}{12 \, \text{kHz}} = 500$.
अतः,$500$ स्टेशनों का एक साथ प्रसारण किया जा सकता है।

(D) प्रारंभिक धारिता $C_i = 200 \,\mu F = 200 \times 10^{-6} \,F$.
प्रारंभिक वोल्टेज $V = 200 \,V$.
प्रारंभिक स्थिर वैद्युत ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_i V^2$.
जब बैटरी जुड़ी रहती है और $K = 2$ परावैद्युतांक वाली स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_f = K C_i = 2 \times 200 \,\mu F = 400 \,\mu F$ हो जाती है।
वोल्टेज $V$ का मान $200 \,V$ पर स्थिर रहता है।
अंतिम स्थिर वैद्युत ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C_f V^2$.
स्थिर वैद्युत ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = \frac{1}{2} (C_f - C_i) V^2$.
$\Delta U = \frac{1}{2} (K - 1) C_i V^2$.
मान रखने पर: $\Delta U = \frac{1}{2} (2 - 1) \times (200 \times 10^{-6}) \times (200)^2$.
$\Delta U = \frac{1}{2} \times 1 \times 200 \times 10^{-6} \times 40000$.
$\Delta U = 100 \times 10^{-6} \times 40000 = 4 \,J$.

(D) सोलेनोइड में कोर पदार्थ का चुंबकीय आघूर्ण $M = I_{m} V$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I_{m}$ चुंबकन की तीव्रता है और $V$ आयतन है。
$I_{m} = \chi H$, जहाँ $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति है और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है。
चूंकि $\chi = \mu_{r} - 1$, इसलिए $M = (\mu_{r} - 1) H V$ होता है。
एक लंबे सोलेनोइड के लिए, $H = nI$ स्थिर रहता है。
अतः, $M \propto (\mu_{r} - 1)$ है。
चुंबकीय आघूर्ण में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta M}{M} = \frac{(\mu_{r2} - 1) - (\mu_{r1} - 1)}{\mu_{r1} - 1} = \frac{\mu_{r2} - \mu_{r1}}{\mu_{r1} - 1}$ है。
यहाँ $\mu_{r1} = 500$ और $\mu_{r2} = 750$ दिया गया है, इसलिए $\frac{\Delta M}{M} = \frac{750 - 500}{500 - 1} = \frac{250}{499}$ प्राप्त होता है。
इसकी तुलना $\frac{x}{499}$ से करने पर, हमें $x = 250$ प्राप्त होता है।

(D) केंद्रीय फ्रिंज से $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों ओर की $4^{\text{थी}}$ दीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी $2 y_4 = 2 \times \frac{4 \lambda D}{d} = \frac{8 \lambda D}{d}$ है।
दिया गया है: $2 y_4 = 2.4 \, cm = 2.4 \times 10^{-2} \, m$, $D = 1.5 \, m$, $d = 0.3 \, mm = 0.3 \times 10^{-3} \, m$.
$\lambda = \frac{c}{f}$ का उपयोग करते हुए, $\frac{8 \times c \times D}{f \times d} = 2.4 \times 10^{-2}$.
मान रखने पर: $\frac{8 \times (3 \times 10^8) \times 1.5}{f \times (0.3 \times 10^{-3})} = 2.4 \times 10^{-2}$.
$\frac{36 \times 10^8}{f \times 0.3 \times 10^{-3}} = 2.4 \times 10^{-2}$.
$f = \frac{36 \times 10^{11}}{0.3 \times 2.4 \times 10^{-2}} = \frac{36 \times 10^{13}}{0.72} = 50 \times 10^{13} = 5 \times 10^{14} \, Hz$.

(D) प्रेरक प्रतिघात (inductive reactance) ${X}_{L} = 2 \pi fL$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बहुत अधिक हो जाती है,${X}_{L} \to \infty$ हो जाता है,जो एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है।
धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) ${X}_{C} = \frac{1}{2 \pi fC}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बहुत अधिक हो जाती है,${X}_{C} \to 0$ हो जाता है,जो एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है।
इन शर्तों को परिपथ पर लागू करने पर:
$1$. प्रतिरोधों के साथ श्रेणीक्रम में लगे संधारित्र शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करते हैं (प्रतिरोध बने रहते हैं)।
$2$. प्रेरक (inductor) ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है।
$3$. बीच वाला संधारित्र शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है।
बहुत उच्च आवृत्तियों पर परिपथ को देखने पर,प्रेरक वाला मार्ग ओपन सर्किट बन जाता है। परिपथ का शेष भाग $1 \, \Omega$ के प्रतिरोध और दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में $2 \, \Omega$ का प्रतिरोध है (क्योंकि संधारित्र शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करते हैं)।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 1 + \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 + 1 = 2 \, \Omega$ है।

(D) एक समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि न्यूनतम विचलन तब होता है जब आपतन कोण $i = A = 60^{\circ}$ होता है।
प्रिज्म का अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin(\frac{\delta_{min} + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूनतम विचलन पर,$i = e = 60^{\circ}$,इसलिए $\delta_{min} = 2i - A = 2(60^{\circ}) - 60^{\circ} = 60^{\circ}$।
अतः,$\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$।
प्रिज्म में प्रकाश की गति $v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{3}} \, m/s$ है।
दूरी $AP$ भुजा $a = 10 \, cm = 0.1 \, m$ वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है।
$AP = a \sin 60^{\circ} = 0.1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.05\sqrt{3} \, m$।
लगा समय $t = \frac{AP}{v} = \frac{0.05\sqrt{3}}{3 \times 10^8 / \sqrt{3}} = \frac{0.05 \times 3}{3 \times 10^8} = 0.05 \times 10^{-8} = 5 \times 10^{-10} \, s$।
अतः,उत्तर $5$ है।

(D) प्रतिरोधक द्वारा क्षयित ऊर्जा का सूत्र $E = i^2 Rt$ है,जहाँ $i$ धारा है,$R$ प्रतिरोध है,और $t$ समय है।
दिया गया है: $E_1 = 192 \, J$,$i_1 = 4 \, A$,$t_1 = 1 \, s$.
इन मानों को रखने पर: $192 = (4)^2 \times R \times 1$.
$192 = 16 \times R \implies R = \frac{192}{16} = 12 \, \Omega$.
अब,धारा को दोगुना कर दिया गया है,इसलिए $i_2 = 2 \times 4 = 8 \, A$.
समय $t_2 = 5 \, s$ है।
नई क्षयित ऊर्जा $E_2 = i_2^2 \times R \times t_2$ होगी।
$E_2 = (8)^2 \times 12 \times 5$.
$E_2 = 64 \times 12 \times 5 = 64 \times 60 = 3840 \, J$.

(B) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 150 y^2 \hat{j}$ द्वारा दिया गया है। चूंकि विद्युत क्षेत्र केवल $y$-दिशा में है,इसलिए घन से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स केवल ऊपरी और निचली सतहों के कारण होगा।
निचली सतह के लिए,$y = 0$:
$\Rightarrow E = 150(0)^2 = 0 \, N/C$
$\Rightarrow \phi_{\text{bottom}} = E \cdot A \cdot \cos(180^{\circ}) = 0$
ऊपरी सतह के लिए,$y = 0.5 \, m$:
$\Rightarrow E = 150(0.5)^2 = 150 \times 0.25 = 37.5 \, N/C$
ऊपरी सतह का क्षेत्रफल $A = (0.5 \, m)^2 = 0.25 \, m^2$ है।
ऊपरी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{\text{top}} = E \cdot A = 37.5 \times 0.25 = 9.375 \, N \cdot m^2/C$ है।
कुल फ्लक्स $\phi = \phi_{\text{top}} + \phi_{\text{bottom}} = 9.375 + 0 = 9.375 \, N \cdot m^2/C$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,$\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$ है।
$Q_{\text{in}} = \phi \cdot \epsilon_0 = 9.375 \times 8.854 \times 10^{-12} \approx 83.0 \times 10^{-12} \, C = 8.3 \times 10^{-11} \, C$।

(B) गतिशील भुजा में प्रेरित गतिकीय $EMF$ $\varepsilon = B \ell {v}_{0}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 5\, {T}$,$\ell = 20\, {cm} = 0.2\, {m}$,और लूप का आंतरिक प्रतिरोध $r = 1\, \Omega$ है।
बाहरी सर्किट में $4\, \Omega$ के चार प्रतिरोधक हैं। सर्किट को देखने पर,बाईं ओर के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में $(4+4=8\, \Omega)$ हैं और दाईं ओर के दो प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में $(4+4=8\, \Omega)$ हैं। ये दो शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए समतुल्य बाहरी प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{8 \times 8}{8+8} = 4\, \Omega$ होगा।
सर्किट का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{eq} + r = 4\, \Omega + 1\, \Omega = 5\, \Omega$ है।
धारा $i = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{B \ell {v}_{0}}{5}$ द्वारा दी जाती है।
$i = 2\, {mA} = 2 \times 10^{-3}\, {A}$ दिया गया है,इसलिए:
$2 \times 10^{-3} = \frac{5 \times 0.2 \times {v}_{0}}{5}$
$2 \times 10^{-3} = 0.2 \times {v}_{0}$
${v}_{0} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.2} = 10^{-2}\, {m/s} = 1\, {cm/s}$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
$3$-आयामों में एक आदर्श गैस के लिए,औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_B T$ होती है।
इस मान को तरंगदैर्ध्य के सूत्र में रखने पर,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2} k_B T)}} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $h = 6.6 \times 10^{-34}\, Js$,$m = 9 \times 10^{-31}\, kg$,$k_B = 1.38 \times 10^{-23}\, JK^{-1}$,और $T = 300\, K$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}}$.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{11178 \times 10^{-54}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{105.7 \times 10^{-27}} \approx 0.0624 \times 10^{-7}\, m = 6.24 \times 10^{-9}\, m$.
अतः,$\lambda \approx 6.26\, nm$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: बर्फ का द्रव्यमान ज्ञात करें।
$m = \rho A \ell = 10^3 \times 10^{-4} \times 1 = 0.1\, kg$.
चरण $2$: बर्फ के तापमान को $-10^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक बढ़ाने और उसे पिघलाने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा $Q$ ज्ञात करें।
$Q = mc_{ice}\Delta T + mL_f$
$Q = 0.1 \times (2 \times 10^3 \times 10) + 0.1 \times (3.33 \times 10^5)$
$Q = 2 \times 10^3 + 3.33 \times 10^4 = 3.53 \times 10^4\, J$.
चरण $3$: प्रतिरोधक द्वारा उत्पन्न ऊष्मा का उपयोग करके समय $t$ ज्ञात करें।
$Q = I^2Rt$
$3.53 \times 10^4 = (0.5)^2 \times (4 \times 10^3) \times t$
$3.53 \times 10^4 = 1000 \times t$
$t = 35.3\, s$.

(C) समांतर क्रम में जुड़े दो प्रतिरोधकों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,जिससे $R_{eq} = 2 \, \Omega$ प्राप्त होता है।
त्रुटि $\Delta R_{eq}$ ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ का अवकलन करते हैं:
$-\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}^{2}} = -\frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} - \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$.
त्रुटियों के परिमाण को लेने पर,$\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}^{2}} = \frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} + \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta R_{eq}}{2^{2}} = \frac{0.8}{4^{2}} + \frac{0.4}{4^{2}}$.
$\frac{\Delta R_{eq}}{4} = \frac{0.8 + 0.4}{16} = \frac{1.2}{16}$.
$\Delta R_{eq} = 4 \times \frac{1.2}{16} = \frac{1.2}{4} = 0.3 \, \Omega$.
अतः,तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = (2 \pm 0.3) \, \Omega$ है।

(B) दिया गया है कि $x$ की अर्ध-आयु $y$ के माध्य जीवनकाल के बराबर है:
$(t_{1/2})_x = (\tau)_y$
चूंकि $(t_{1/2})_x = \frac{\ln 2}{\lambda_x}$ और $(\tau)_y = \frac{1}{\lambda_y}$,इसलिए:
$\frac{\ln 2}{\lambda_x} = \frac{1}{\lambda_y} \Rightarrow \lambda_x = \lambda_y \ln 2 \approx 0.693 \lambda_y$.
इसका अर्थ है कि $\lambda_x < \lambda_y$.
प्रारंभ में,परमाणुओं की संख्या समान है: $N_x = N_y = N_0$.
क्षय दर (सक्रियता) $A = \lambda N$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\lambda_x < \lambda_y$ और $N_x = N_y$,इसलिए $A_x < A_y$ होगा।
अतः,तत्व $y$,तत्व $x$ की तुलना में तेजी से क्षय होगा।

(A) एक प्रतिचुम्बकीय (diamagnetic) पदार्थ के लिए:
$1$. चुम्बकन $(M)$,चुम्बकन क्षेत्र $(H)$ की विपरीत दिशा में होता है,इसलिए $M-H$ ग्राफ का ढाल ऋणात्मक होता है। यह ग्राफ $(a)$ के अनुरूप है।
$2$. चुम्बकीय प्रवृत्ति $(\chi)$ छोटी,ऋणात्मक और तापमान $(T)$ से स्वतंत्र होती है। यह ग्राफ $(c)$ के अनुरूप है।
अतः,प्रतिचुम्बकीय पदार्थ के लिए सही संयोजन $(a)$ और $(c)$ है।

(B) माना गिलास में पानी की वास्तविक ऊंचाई $H$ है। पानी का अपवर्तनांक $\mu_w = 4/3$ है।
ऊपर से देखने वाले प्रेक्षक के लिए पानी की आभासी गहराई $d_{app} = \frac{H}{\mu_w} = \frac{H}{4/3} = \frac{3H}{4}$ होगी।
गिलास के खाली हिस्से (हवा का स्तंभ) की ऊंचाई $17.5 - H$ है।
प्रश्न के अनुसार,छात्र को लगता है कि गिलास आधा भरा हुआ है,जिसका अर्थ है कि पानी की आभासी गहराई गिलास के खाली हिस्से की ऊंचाई के बराबर दिखाई देती है।
इसलिए,$\frac{3H}{4} = 17.5 - H$.
दोनों पक्षों में $H$ जोड़ने पर: $\frac{3H}{4} + H = 17.5$.
$\frac{7H}{4} = 17.5$.
$H = \frac{17.5 \times 4}{7} = 2.5 \times 4 = 10 \, cm$.

(C) दिए गए परिपथ आरेख से,डायोड ${D}_{1}$ और ${D}_{2}$ फॉरवर्ड बायस में हैं,इसलिए प्रत्येक का प्रतिरोध $30\, \Omega$ है। डायोड ${D}_{3}$ रिवर्स बायस में है,इसलिए इसका प्रतिरोध अनंत है।
${D}_{1}$ और ${D}_{2}$ वाली दो समानांतर शाखाओं का कुल प्रतिरोध:
${R}_{p} = \frac{(30 + 130)}{2} = \frac{160}{2} = 80\, \Omega$.
परिपथ का कुल प्रतिरोध ${R}_{total} = {R}_{p} + 20\, \Omega = 80\, \Omega + 20\, \Omega = 100\, \Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,कुल धारा ${I}_{1}$ है:
${I}_{1} = \frac{V}{{R}_{total}} = \frac{200\, V}{100\, \Omega} = 2\, A$.

(C) स्थिर अवस्था में,प्रेरक (inductor) एक चालक तार की तरह व्यवहार करता है (शॉर्ट सर्किट)।
इसलिए,परिपथ में मौजूद दोनों प्रेरक साधारण तार के रूप में कार्य करते हैं।
अब परिपथ में प्रत्येक $3 \, \Omega$ के तीन प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
इन तीन समानांतर प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \Omega^{-1}$
$\Rightarrow R_{p} = 1 \, \Omega$
यह समानांतर संयोजन $2 \, \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी क्रम में है।
परिपथ का कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = 2 \, \Omega + R_{p} = 2 \, \Omega + 1 \, \Omega = 3 \, \Omega$ है।
ओम के नियम के अनुसार बैटरी से प्रवाहित धारा $i$:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{30 \, V}{3 \, \Omega} = 10 \, A$ होगी।

(B) आवेशित होते संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = V_0(1 - e^{-t/RC})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 2\, V$,$V_0 = 20\, V$,$t = 1\, \mu s = 10^{-6}\, s$,और $R = 10\, \Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर: $2 = 20(1 - e^{-t/RC})$.
$1/10 = 1 - e^{-t/RC} \Rightarrow e^{-t/RC} = 9/10$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $-t/RC = \ln(9/10) = -\ln(10/9)$.
$t/RC = \ln(10/9)$.
धारिता $C$ के लिए सूत्र व्यवस्थित करने पर: $C = t / (R \cdot \ln(10/9))$.
$C = 10^{-6} / (10 \times 0.105) = 10^{-6} / 1.05 \approx 0.952\, \mu F$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$C = 0.95\, \mu F$.

(A) समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग का सामान्य समीकरण $E = E_0 \cos(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $E = 20 \cos(2 \times 10^{10} t - 200 x)$ के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \times 10^{10} \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = 200 \, rad/m$ प्राप्त होती है।
माध्यम में तरंग की गति $v = \omega / k = (2 \times 10^{10}) / 200 = 10^8 \, m/s$ है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n = c / v$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
अतः,$n = (3 \times 10^8) / 10^8 = 3$ है।
एक गैर-चुंबकीय माध्यम के लिए,अपवर्तनांक $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu_r = 1$ दिया गया है,इसलिए $n = \sqrt{\epsilon_r}$ होगा।
$n$ का मान रखने पर,$3 = \sqrt{\epsilon_r}$,जिसका अर्थ है कि $\epsilon_r = 3^2 = 9$।

(A) अर्ध-अनंत तार के कारण लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
तार $(1)$ ($x$-अक्ष पर) के लिए, $P$ से दूरी $y$ है। एक सिरा मूल बिंदु पर है $(\theta_1 = 90^{\circ})$ और दूसरा अनंत पर है $(\theta_2 = 90^{\circ})$, लेकिन चूंकि यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला अर्ध-अनंत तार है, सूत्र $B_1 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi y} (1 + \sin \theta_1)$ हो जाता है, जहाँ $\sin \theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
अतः, $B_1 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi y} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
इसी प्रकार, तार $(2)$ ($y$-अक्ष पर) के लिए, $P$ से दूरी $x$ है, इसलिए $B_2 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi x} \left(1 + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
दोनों क्षेत्र बिंदु $P$ पर पृष्ठ के अंदर की ओर निर्देशित हैं। उन्हें जोड़ने पर:
$B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \left[ \frac{1}{y} + \frac{x}{y\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{1}{x} + \frac{y}{x\sqrt{x^2+y^2}} \right]$
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \left[ \frac{x+y}{xy} + \frac{x^2+y^2}{xy\sqrt{x^2+y^2}} \right]$
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi xy} \left[ (x+y) + \sqrt{x^2+y^2} \right]$.

(A) दिया गया है कि आयाम $A$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के समानुपाती है,इसलिए $A \propto w$ है।
चूंकि तीव्रता $I$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $I \propto A^2 \propto w^2$ है।
मान लीजिए चौड़ाई $w_1 = 3w_0$ और $w_2 = w_0$ है। तब तीव्रताएं $I_1$ और $I_2$ इस प्रकार होंगी कि $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{w_1}{w_2}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 9$ है।
अतः,$I_1 = 9I_2$ है। यदि $I_2 = I$ लें,तो $I_1 = 9I$ होगा।
न्यूनतम और अधिकतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \left(\frac{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}\right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \left(\frac{\sqrt{9I} - \sqrt{I}}{\sqrt{9I} + \sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{3\sqrt{I} - \sqrt{I}}{3\sqrt{I} + \sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{2\sqrt{I}}{4\sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि अनुपात $x:4$ दिया गया है,इसलिए $\frac{x}{4} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है कि $x = 1$ है।