यदि त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी (harmonic progression) में हैं,तो $\operatorname{cosec}^2(A/2), \operatorname{cosec}^2(B/2), \operatorname{cosec}^2(C/2)$ किसमें हैं?

मान लीजिए $A_1 A_2 A_3 \ldots A_9$ एक नौ-भुजाओं वाला नियमित बहुभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $2$ इकाई है। विकर्णों $A_1 A_5$ और $A_2 A_4$ की लंबाई के बीच का अंतर क्या है?

एक चक्रीय चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ $2$ और $5$ हैं और उनके बीच का कोण $60^{\circ}$ है। यदि चतुर्भुज का क्षेत्रफल $4\sqrt{3}$ है,तो चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

एक समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ में,$\angle C = \angle A$ है। यदि आंतरिक कोणों $\angle A$ और $\angle C$ के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु भुजा $AC$ की माध्यिका को $3 : 1$ के अनुपात में (शीर्ष $B$ से भुजा $AC$ की ओर) विभाजित करता है,तो $\csc \frac{B}{2}$ का मान क्या होगा?

यदि एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ,जिसका परिमाप $42$ है,समांतर श्रेणी में हैं,इसकी परिवृत्त त्रिज्या $\frac{65}{8}$ है और $B < A < C$ है,तो $\sin A=$

मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ $2$ इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। यदि कोण $A, B$ और $C$ के $3$ समद्विभाजकों को वृत्त को क्रमशः $A_1, B_1$ और $C_1$ पर काटने के लिए बढ़ाया जाता है,तो $\left[\frac{AA_1 \cos \frac{A}{2} + BB_1 \cos \frac{B}{2} + CC_1 \cos \frac{C}{2}}{\sin A + \sin B + \sin C}\right]^2$ का मान ज्ञात कीजिए।