$(3+\sqrt{8})^5+(3-\sqrt{8})^5=$

यदि $a_k$,$(1+x+x^2)^n$ के विस्तार में $x^k$ का गुणांक है,जहाँ $k=0, 1, 2, \ldots, 2n$,तो $a_1+2a_2+3a_3+\ldots+2na_{2n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in Z \}$,$T_1=\{(-1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ और $T_2=\{(1+\sqrt{2})^n: n \in N \}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$
$(B)$ $T_1 \cap (0, \frac{1}{2024}) = \phi$,जहाँ $\phi$ रिक्त समुच्चय को दर्शाता है
$(C)$ $T_2 \cap (2024, \infty) \neq \phi$
$(D)$ किसी भी दिए गए $a, b \in Z$ के लिए,$\cos(\pi(a+b \sqrt{2})) + i \sin(\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि $b=0$,जहाँ $i=\sqrt{-1}$

$(2+x)^9$ के द्विपद विस्तार में $x, x^2, \ldots, x^7$ के गुणांकों का माध्य $...........$ है।

$(1 + ax)^n$ $(n \ne 0)$ के विस्तार में पहले $3$ पद $1, 6x$ और $16x^2$ हैं। तो $a$ और $n$ का मान क्रमशः क्या है?

एक वास्तविक संख्या $r$ के लिए,$[r]$ को $r$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़े पूर्णांक के रूप में दर्शाया गया है। मान लीजिए $a > 1$ एक वास्तविक संख्या है जो पूर्णांक नहीं है,और $k$ सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए $[a^k] > [a]^k$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन हमेशा सत्य है?