int frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx का मान ज्ञात कीज | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx$ है। अंश को $x = \frac{1}{2}(2x+2) - 1$ के रूप में लिखें। तब $I = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{(x^2+2x+2)

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{x+2}{2(x^2+2x+2)} - \frac{1}{2} 	an^{-1}(x+1) + C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx$ है। अंश को $x = \frac{1}{2}(2x+2) - 1$ के रूप में लिखें। तब $I = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{(x^2+2x+2)^2} dx - \int \frac{1}{(x^2+2x+2)^2} dx$। प्रथम समाकलन के लिए,$u = x^2+2x+2$ लें,जिससे $du = (2x+2)dx$ प्राप्त होता है। $\frac{1}{2} \int u^{-2} du = -\frac{1}{2u} = -\frac{1}{2(x^2+2x+2)}$। दूसरे समाकलन के लिए,$J = \int \frac{1}{((x+1)^2+1)^2} dx$ लें। $x+1 = 	an 	heta$ रखने पर,$dx = \sec^2 	heta d	heta$। $J = \int \frac{\sec^2 	heta}{\sec^4 	heta} d	heta = \int \cos^2 	heta d	heta = \int \frac{1+\cos 2	heta}{2} d	heta = \frac{1}{2}(	heta + \frac{\sin 2	heta}{2}) + C$। चूँकि $	an 	heta = x+1$,इसलिए $	heta = 	an^{-1}(x+1)$ और $\sin 2	heta = \frac{2	an 	heta}{1+	an^2 	heta} = \frac{2(x+1)}{x^2+2x+2}$। अतः $J = \frac{1}{2} 	an^{-1}(x+1) + \frac{x+1}{2(x^2+2x+2)} + C$। इन दोनों को संयोजित करने पर,$I = -\frac{1}{2(x^2+2x+2)} - \frac{x+1}{2(x^2+2x+2)} - \frac{1}{2} 	an^{-1}(x+1) + C = -\frac{x+2}{2(x^2+2x+2)} - \frac{1}{2} 	an^{-1}(x+1) + C$।

$\int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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