यदि एक रेखा एक घन के चार विकर्णों के साथ alph | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है। घन के चार विकर्ण $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ सदिशों की दिशा में हैं। चा

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$\frac{8}{3}$

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है। घन के चार विकर्ण $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ सदिशों की दिशा में हैं। चार विकर्णों की दिशा में इकाई सदिश $\vec{d_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$,$\vec{d_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$,$\vec{d_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$,और $\vec{d_4} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$ हैं। रेखा और विकर्ण सदिश $\vec{d}$ के बीच के कोण $	heta$ की कोज्या $|l \cdot d_x + m \cdot d_y + n \cdot d_z|$ द्वारा दी जाती है। अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m+n|$,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}|-l+m+n|$,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}|l-m+n|$,और $\cos \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m-n|$। इनका वर्ग करने पर,$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}(l+m+n)^2$,$\cos^2 \beta = \frac{1}{3}(-l+m+n)^2$,$\cos^2 \gamma = \frac{1}{3}(l-m+n)^2$,और $\cos^2 \delta = \frac{1}{3}(l+m-n)^2$ प्राप्त होता है। इनका योग करने पर: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ (l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2 ]$। वर्गों का विस्तार करने पर: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$। $\sin^2 	heta = 1 - \cos^2 	heta$ का उपयोग करते हुए,$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।

यदि एक रेखा एक घन के चार विकर्णों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ और $\delta$ कोण बनाती है,तो $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + \sin^2 \delta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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