Mix Examples - Number Systems Questions in Hindi

दशमलव प्रसार इस प्रकार हैं: $\sqrt{2} \approx 1.4142135 \ldots$ और $\sqrt{3} \approx 1.7320508 \ldots$
$1$. परिमेय संख्या: $1.5$ जैसी एक सांत दशमलव संख्या $1.4142135 \ldots$ और $1.7320508 \ldots$ के बीच स्थित है। चूँकि $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$,इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
$2$. अपरिमेय संख्या: $1.575575557 \ldots$ जैसी एक अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) दशमलव संख्या $1.4142135 \ldots$ और $1.7320508 \ldots$ के बीच स्थित है। अतः,$1.575575557 \ldots$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। चूँकि $2.357 < 3 < 3.121$,इसलिए पूर्णांक $3$ एक परिमेय संख्या है जो $2.357$ और $3.121$ के बीच स्थित है।
अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है। $3.101101110\dots$ जैसी संख्या $2.357 < 3.101101110\dots < 3.121$ की शर्त को पूरा करती है,इसलिए यह दी गई संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। एक सांत दशमलव (terminating decimal) एक परिमेय संख्या होती है।
$1$. परिमेय संख्या: हम $0.0005$ चुन सकते हैं। चूंकि $0.0005 = 5/10000 = 1/2000$,यह $0.0001$ और $0.001$ के बीच स्थित एक परिमेय संख्या है।
$2$. अपरिमेय संख्या: एक अपरिमेय संख्या वह होती है जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) होता है। हम एक पैटर्न का पालन करके इसे बना सकते हैं: $0.0001010010001...$ यह संख्या स्पष्ट रूप से $0.0001$ से बड़ी और $0.001$ से छोटी है,और यह न तो समाप्त होती है और न ही पुनरावृत्त होती है,इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) $0.484848$ और $3.623623$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम इस सीमा के भीतर कोई भी सांत दशमलव या पूर्णांक चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए,$1$ एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे $\frac{1}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$0.484848$ और $3.623623$ के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें एक अनवसानी-अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) दशमलव की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए,$1.909009000\dots$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार न तो समाप्त होता है और न ही पुनरावृत्त होता है।

(N/A) $6.3753$ (एक सांत दशमलव) $6.375289$ और $6.375738$ के बीच की एक परिमेय संख्या है।
$6.375414114111...$ (एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव) $6.375289$ और $6.375738$ के बीच की एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) दी गई संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित करने के लिए:
$1$. $7$: यह एक धनात्मक पूर्णांक है। संख्या रेखा पर $0$ के दाईं ओर $7$ को अंकित करें।
$2$. $7.2$: यह $7 + 0.2$ है। $7$ और $8$ के बीच के भाग को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें। $7$ के बाद का दूसरा निशान $7.2$ को दर्शाता है।
$3$. $\frac{-3}{2} = -1.5$: यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है। यह $0$ के बाईं ओर $-1$ और $-2$ के ठीक बीच में स्थित है।
$4$. $\frac{-12}{5} = -2.4$: यह एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है। $-2$ और $-3$ के बीच के भाग को $5$ बराबर भागों में विभाजित करें। $-2$ के बाईं ओर का चौथा निशान $-2.4$ को दर्शाता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ का निरूपण:
हम $5$ को दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:
$5 = 1 + 4 = 1^{2} + 2^{2}$
संख्या रेखा पर,$OA = 2$ इकाई लीजिए।
$OA$ पर लंब $BA = 1$ इकाई खींचिए। $OB$ को मिलाइए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$।
प्रकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है। अतः,$C$ बिंदु $\sqrt{5}$ को दर्शाता है।
संख्या रेखा पर $\sqrt{10}$ का निरूपण:
हम $10$ को दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:
$10 = 1 + 9 = 1^{2} + 3^{2}$
संख्या रेखा पर,$OA = 3$ इकाई लीजिए।
$OA$ पर लंब $BA = 1$ इकाई खींचिए। $OB$ को मिलाइए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$।
प्रकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है। अतः,$C$ बिंदु $\sqrt{10}$ को दर्शाता है।
संख्या रेखा पर $\sqrt{17}$ का निरूपण:
हम $17$ को दो प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:
$17 = 1 + 16 = 1^{2} + 4^{2}$
संख्या रेखा पर,$OA = 4$ इकाई लीजिए।
$OA$ पर लंब $BA = 1$ इकाई खींचिए। $OB$ को मिलाइए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17}$।
प्रकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $C$ पर काटता है। अतः,$C$ बिंदु $\sqrt{17}$ को दर्शाता है।

(N/A) $1$. एक संख्या रेखा पर $AB = 4.5$ इकाई का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से $1$ इकाई की दूरी अंकित कीजिए और उस नए बिंदु को $C$ नाम दीजिए। अब,$AC = 4.5 + 1 = 5.5$ इकाई है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए और उसे $O$ नाम दीजिए।
$4$. $O$ को केंद्र और $OC$ (या $OA$) को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है। $BD$ की लंबाई $\sqrt{4.5}$ है।
$6$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $E$ पर काटता है। बिंदु $E$ संख्या रेखा पर $\sqrt{4.5}$ को निरूपित करता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{5.6}$ को निरूपित करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. संख्या रेखा पर $AB = 5.6 \text{ इकाई}$ का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से,एक बिंदु $C$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 5.6 + 1 = 6.6 \text{ इकाई}$ है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। लंबाई $AO = OC = 6.6 / 2 = 3.3 \text{ इकाई}$ होगी।
$4$. $O$ को केंद्र और $OA = 3.3 \text{ इकाई}$ को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर रेखा $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है।
$6$. $BD$ की लंबाई $\sqrt{5.6}$ के बराबर है।
$7$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर,संख्या रेखा पर एक चाप खींचिए जो इसे बिंदु $E$ पर काटे। दूरी $BE$ संख्या रेखा पर $\sqrt{5.6}$ को दर्शाती है।

(N/A) $1$. एक संख्या रेखा पर $AB = 8.1$ इकाई का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से $1$ इकाई की दूरी अंकित कीजिए और उस नए बिंदु को $C$ नाम दीजिए। अब,$AC = 8.1 + 1 = 9.1$ इकाई है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए और उसे $O$ अंकित कीजिए।
$4$. $O$ को केंद्र और $OC$ (या $OA$) को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है। $BD$ की लंबाई $\sqrt{8.1}$ है।
$6$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $E$ पर काटता है। इस प्रकार,$BE$ संख्या रेखा पर $\sqrt{8.1}$ को निरूपित करता है।

(N/A) $1$. एक रेखा पर $AB = 2.3$ इकाई का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. $B$ से $1$ इकाई की दूरी अंकित कीजिए और उस बिंदु को $C$ नाम दीजिए। अब,$AC = 2.3 + 1 = 3.3$ इकाई है।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु ज्ञात कीजिए और उसे $O$ अंकित कीजिए।
$4$. $O$ को केंद्र और $OC$ को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. $B$ से होकर जाने वाली और $AC$ पर लंब एक रेखा खींचिए जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। $BD$ की लंबाई $\sqrt{2.3}$ के बराबर है।
$6$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $E$ पर काटता है। अतः,बिंदु $E$ संख्या रेखा पर $\sqrt{2.3}$ को निरूपित करता है।

(B) दशमलव संख्या $0.2$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. दशमलव बिंदु के बाद एक अंक है,इसलिए इसे $10$ के हर के साथ एक भिन्न के रूप में लिखें: $0.2 = \frac{2}{10}$.
$2$. अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.),जो $2$ है,से विभाजित करके भिन्न को सरल करें: $\frac{2 \div 2}{10 \div 2} = \frac{1}{5}$.
$3$. इस प्रकार,$0.2 = \frac{1}{5}$,जहाँ $p = 1$ और $q = 5$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।

(C) माना कि $x = 0.888 \ldots = 0.\overline{8} \quad \dots(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10x = 8.888 \ldots = 8.\overline{8} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = 8.\overline{8} - 0.\overline{8}$
$9x = 8$
अतः,$x = \frac{8}{9}$.

(D) माना कि $x = 5. \overline{2} = 5.2222 \ldots \quad \dots(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है
$10x = 52.2222 \ldots = 52. \overline{2} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$10x - x = 52.2222 \ldots - 5.2222 \ldots$
$9x = 47$
$x = \frac{47}{9}$
अतः,$5. \overline{2} = \frac{47}{9}$ है।

(A) माना कि $x = 0.\overline{001} = 0.001001...$ $(1)$
चूँकि तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 1.001001...$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$1000x - x = 1.001001... - 0.001001...$
$999x = 1$
$x = \frac{1}{999}$
अतः,संख्या $0.\overline{001}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में $\frac{1}{999}$ लिखा जा सकता है।

(B) माना $x = 0.2555 \ldots = 0.2\overline{5} \quad ....(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 2.555 \ldots = 2.\overline{5} \quad ....(2)$
दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 25.555 \ldots = 25.\overline{5} \quad ....(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 25.\overline{5} - 2.\overline{5}$
$90x = 23$
अतः,$x = \frac{23}{90}$.

(C) माना $x = 0.1\overline{34} = 0.1343434... \quad ....(1)$
दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 1.343434... \quad ....(2)$
अब समीकरण $(2)$ को $100$ से गुणा करने पर:
$1000x = 134.343434... \quad ....(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$1000x - 10x = 134.343434... - 1.343434...$
$990x = 133$
अतः,$x = \frac{133}{990}$.

(D) माना कि $x = 0.00323232 \ldots = 0.00\overline{32} \quad \dots(1)$
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $(1)$ को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 0.323232 \ldots = 0.\overline{32} \quad \dots(2)$
पुनरावृत्ति भाग के बाद दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $(2)$ को फिर से $100$ से गुणा करने पर:
$10000x = 32.323232 \ldots = 32.\overline{32} \quad \dots(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$10000x - 100x = 32.\overline{32} - 0.\overline{32}$
$9900x = 32$
$x = \frac{32}{9900}$
अंश और हर दोनों को $4$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:
$x = \frac{32 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{8}{2475}$

(A) माना कि $x = 0.404040 \ldots = 0.\overline{40} \quad \dots(1)$
चूँकि यहाँ दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 40.404040 \ldots = 40.\overline{40} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$100x - x = 40.\overline{40} - 0.\overline{40}$
$99x = 40$
$x = \frac{40}{99}$
अतः,$0.404040 \ldots$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में $\frac{40}{99}$ लिखा जा सकता है।

(N/A) माना कि $x = 0.142857142857 \ldots$ $(1)$
चूंकि पुनरावृत्ति खंड में $6$ अंक हैं,इसलिए दोनों पक्षों को $1,000,000$ से गुणा करने पर:
$1,000,000 x = 142857.142857142857 \ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$1,000,000 x - x = 142857.142857 \ldots - 0.142857 \ldots$
$999,999 x = 142857$
$x$ का मान ज्ञात करने पर:
$x = \frac{142857}{999999}$
अंश और हर को $142857$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{1}{7}$
अतः,$0.142857142857 \ldots = \frac{1}{7}$ सिद्ध होता है।

(C) व्यंजक $\sqrt{45}-3 \sqrt{20}+4 \sqrt{5}$ को सरल करने के लिए,हम पहले वर्गमूल के अंदर की संख्याओं का गुणनखंड करेंगे:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3 \sqrt{5}$
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2 \sqrt{5}$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \sqrt{5} - 3(2 \sqrt{5}) + 4 \sqrt{5}$
$= 3 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}$
$= (3 - 6 + 4) \sqrt{5}$
$= 1 \sqrt{5} = \sqrt{5}$

(D) सबसे पहले,वर्गमूल का सरलीकरण करें:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2 \sqrt{6}$
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3 \sqrt{6}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{2 \sqrt{6}}{8} + \frac{3 \sqrt{6}}{9} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{3}$
समान हर प्राप्त करें,जो $12$ है:
$\frac{3 \sqrt{6}}{12} + \frac{4 \sqrt{6}}{12} = \frac{3 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6}}{12} = \frac{7 \sqrt{6}}{12}$

(A) व्यंजक $4 \sqrt{12} \times 7 \sqrt{6}$ को सरल करने के लिए,हम पहले वर्गमूल के अंदर की संख्याओं का गुणनखंड करेंगे:
$4 \sqrt{12} = 4 \sqrt{4 \times 3} = 4 \times 2 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$
$7 \sqrt{6} = 7 \sqrt{2 \times 3}$
अब,दोनों व्यंजकों का गुणा करें:
$8 \sqrt{3} \times 7 \sqrt{2 \times 3} = (8 \times 7) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \times \sqrt{2}$
$= 56 \times 3 \times \sqrt{2}$
$= 168 \sqrt{2}$

(B) व्यंजक $4 \sqrt{28} \div 3 \sqrt{7}$ को सरल करने के लिए,सबसे पहले भाग को भिन्न के रूप में लिखते हैं:
$\frac{4 \sqrt{28}}{3 \sqrt{7}}$
अब,$28$ का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए इसके गुणनखंड करते हैं,$28 = 4 \times 7$:
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}$
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{4 \times (2 \sqrt{7})}{3 \sqrt{7}}$
अंश और हर से समान पद $\sqrt{7}$ को काटने पर:
$\frac{4 \times 2}{3} = \frac{8}{3}$

(B) दी गई व्यंजक: $3 \sqrt{3}+2 \sqrt{27}+\frac{7}{\sqrt{3}}$
सबसे पहले,$\sqrt{27}$ का सरलीकरण करें:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3 \sqrt{3}$
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$=3 \sqrt{3}+2(3 \sqrt{3})+\frac{7}{\sqrt{3}}$
$=3 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}+\frac{7}{\sqrt{3}}$
तीसरे पद के हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$
अब पदों को जोड़ने पर:
$=3 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}+\frac{7 \sqrt{3}}{3}$
$=9 \sqrt{3}+\frac{7 \sqrt{3}}{3}$
$= \sqrt{3} \left(9+\frac{7}{3}\right)$
$= \sqrt{3} \left(\frac{27+7}{3}\right)$
$= \frac{34}{3} \sqrt{3}$

(D) व्यंजक $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$ को सरल करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = \sqrt{2}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2} = (\sqrt{3})^{2} + (\sqrt{2})^{2} - 2(\sqrt{3})(\sqrt{2})$
चूंकि $(\sqrt{x})^{2} = x$ और $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ होता है:
$= 3 + 2 - 2\sqrt{3 \times 2}$
$= 5 - 2\sqrt{6}$

(A) व्यंजक $\sqrt[4]{81}-8 \sqrt[3]{216}+15 \sqrt[5]{32}+\sqrt{225}$ को सरल करने के लिए,हम प्रत्येक पद का मान ज्ञात करेंगे:
$1$. $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3$
$2$. $\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^{3}} = 6$,अतः $8 \sqrt[3]{216} = 8 \times 6 = 48$
$3$. $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2$,अतः $15 \sqrt[5]{32} = 15 \times 2 = 30$
$4$. $\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15$
इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 - 48 + 30 + 15$
$= (3 + 30 + 15) - 48$
$= 48 - 48 = 0$

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{3}{\sqrt{8}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$
सबसे पहले,$\sqrt{8}$ को $\sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ के रूप में सरल करें।
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए,उभयनिष्ठ हर (common denominator) $2\sqrt{2}$ प्राप्त करें।
$\frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{1 \times 2}{\sqrt{2} \times 2} = \frac{3}{2\sqrt{2}} + \frac{2}{2\sqrt{2}}$।
$= \frac{3 + 2}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण (rationalization) करने के लिए अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करें:
$= \frac{5 \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$।

(C) व्यंजक $\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ को सरल करने के लिए,हम पहले भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं,जो $6$ है।
$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3} \times 2}{3 \times 2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
$= \frac{4 \sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
$= \frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{6}$
$= \frac{3 \sqrt{3}}{6}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(D) $\frac{2}{3 \sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $\sqrt{3}$ से गुणा करेंगे:
$\frac{2}{3 \sqrt{3}} = \frac{2}{3 \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3 \times 3}$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

(A) $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $\sqrt{3}$ से गुणा करेंगे।
$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{40} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
चूंकि $\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$,इसलिए:
$= \frac{2\sqrt{10} \times \sqrt{3}}{3}$
$= \frac{2\sqrt{30}}{3}$

(B) $\frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर दोनों को $\sqrt{2}$ से गुणा करेंगे:
$\frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} = \frac{3+\sqrt{2}}{4 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{2})}{4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}$
$= \frac{3 \sqrt{2} + 2}{4 \times 2}$
$= \frac{3 \sqrt{2} + 2}{8}$

(C) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{41}+5)$ से गुणा करें।
$\frac{16}{\sqrt{41}-5} = \frac{16}{\sqrt{41}-5} \times \frac{\sqrt{41}+5}{\sqrt{41}+5}$
हर में सर्वसमिका $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{(\sqrt{41})^2 - (5)^2}$
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{41 - 25}$
$= \frac{16(\sqrt{41}+5)}{16}$
$= \sqrt{41}+5$

(D) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(2+\sqrt{3})$ से गुणा करें।
$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
हर में $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ और अंश में $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{(2+\sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(2)(\sqrt{3})}{4 - 3}$
$= \frac{4 + 3 + 4\sqrt{3}}{1}$
$= 7 + 4\sqrt{3}$

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ से गुणा करें:
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18}}{2 - 3}$
$= \frac{\sqrt{12} - \sqrt{18}}{-1}$
$= \sqrt{18} - \sqrt{12}$
$= \sqrt{9 \times 2} - \sqrt{4 \times 3}$
$= 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$

(B) हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
हर में $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ और अंश में $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{3 + 2 + 2\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{3 - 2}$
$= \frac{5 + 2\sqrt{6}}{1}$
$= 5 + 2\sqrt{6}$

(C) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ से गुणा करें।
$\frac{3 \sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$= \frac{3(\sqrt{5})^2 + 3\sqrt{15} + \sqrt{15} + (\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{3(5) + 4\sqrt{15} + 3}{5 - 3}$
$= \frac{15 + 4\sqrt{15} + 3}{2}$
$= \frac{18 + 4\sqrt{15}}{2}$
$= \frac{2(9 + 2\sqrt{15})}{2}$
$= 9 + 2\sqrt{15}$

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}}$
हर को सरल करने पर: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4 \sqrt{3}$ और $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2}$.
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})$ से गुणा करें:
$= \frac{(4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})}$
$= \frac{(4 \sqrt{3})^2 - (4 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}) + (5 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}) - (5 \sqrt{2})(3 \sqrt{2})}{(4 \sqrt{3})^2 - (3 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{48 - 12 \sqrt{6} + 20 \sqrt{6} - 30}{48 - 18}$
$= \frac{18 + 8 \sqrt{6}}{30}$
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{9 + 4 \sqrt{6}}{15}$

(A) व्यंजक को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण करेंगे। इसके लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी $(7-4 \sqrt{3})$ से गुणा करेंगे।
$L.H.S. = \frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}}$
$= \frac{(5+2 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3} - 24}{49 - 48}$
$= \frac{11 - 6 \sqrt{3}}{1} = 11 - 6 \sqrt{3}$
दिया गया है कि $11 - 6 \sqrt{3} = a - 6 \sqrt{3}$,दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $a = 11$ प्राप्त होता है।

(NONE) व्यंजक को हल करने के लिए,हम हर का परिमेयकरण (rationalization) करते हैं:
$L.H.S. = \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} \times \frac{3-2 \sqrt{5}}{3-2 \sqrt{5}}$
$= \frac{9 - 6\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2(5)}{3^2 - (2\sqrt{5})^2}$
$= \frac{9 - 9\sqrt{5} + 10}{9 - 20} = \frac{19 - 9\sqrt{5}}{-11}$
$= -\frac{19}{11} + \frac{9}{11}\sqrt{5}$
इसकी तुलना $a\sqrt{5} - \frac{19}{11}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a\sqrt{5} - \frac{19}{11} = \frac{9}{11}\sqrt{5} - \frac{19}{11}$
अतः,$a = \frac{9}{11}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} = 2 - b\sqrt{6}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$ से गुणा करें:
$= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}$
$= \frac{3(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 2(\sqrt{3})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2}$
$= \frac{3(2) + 5\sqrt{6} + 2(3)}{18 - 12}$
$= \frac{6 + 5\sqrt{6} + 6}{6} = \frac{12 + 5\sqrt{6}}{6} = 2 + \frac{5}{6}\sqrt{6}$
$2 + \frac{5}{6}\sqrt{6}$ की तुलना $2 - b\sqrt{6}$ से करने पर:
$-b = \frac{5}{6} \Rightarrow b = -\frac{5}{6}$

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}}-\frac{7-\sqrt{5}}{7+\sqrt{5}}=a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
हरों का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{(7+\sqrt{5})^2}{(7-\sqrt{5})(7+\sqrt{5})} - \frac{(7-\sqrt{5})^2}{(7+\sqrt{5})(7-\sqrt{5})} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ और $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ का उपयोग करने पर:
$\frac{49+5+14\sqrt{5}}{49-5} - \frac{49+5-14\sqrt{5}}{49-5} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{54+14\sqrt{5}}{44} - \frac{54-14\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{54+14\sqrt{5}-54+14\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
$\frac{28\sqrt{5}}{44} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
भिन्न $\frac{28}{44}$ को $4$ से विभाजित करके सरल करने पर:
$\frac{7\sqrt{5}}{11} = a+\frac{7}{11} \sqrt{5} b$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $a=0$ और $b=1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $a = 2 + \sqrt{3}$।
सबसे पहले,हर का परिमेयकरण करके $\frac{1}{a}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$
अंश और हर को संयुग्मी $(2 - \sqrt{3})$ से गुणा करने पर:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$
हर में सर्वसमिका $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{a} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$\frac{1}{a} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} = 2 - \sqrt{3}$
अब,$a - \frac{1}{a}$ की गणना करते हैं:
$a - \frac{1}{a} = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})$
$a - \frac{1}{a} = 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3}$
$a - \frac{1}{a} = 2\sqrt{3}$

(B) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{3}$ से गुणा करें:
$\frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$= \frac{4\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{3} = 1.732$ का मान रखने पर:
$= \frac{4 \times 1.732}{3}$
$= \frac{6.928}{3}$
$= 2.309$

(C) $\frac{6}{\sqrt{6}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को $\sqrt{6}$ से गुणा करते हैं:
$\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$
हम जानते हैं कि $\sqrt{6} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$ होता है।
दिया गया है कि $\sqrt{2} = 1.414$ और $\sqrt{3} = 1.732$,इसलिए:
$\sqrt{6} = 1.414 \times 1.732 = 2.449048$
दशमलव के तीन स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.449$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{2}$
चरण $1$: अंश से $\sqrt{5}$ को उभयनिष्ठ (common) लेकर सरल करें:
$\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{2} - \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2}-1)}{2}$
चरण $2$: दिए गए मान $\sqrt{5} = 2.236$ और $\sqrt{2} = 1.414$ प्रतिस्थापित करें:
$= \frac{2.236(1.414 - 1)}{2}$
चरण $3$: कोष्ठक के अंदर घटाव करें:
$= \frac{2.236(0.414)}{2}$
चरण $4$: $2.236$ को $2$ से विभाजित करें:
$= 1.118 \times 0.414$
चरण $5$: मानों का गुणा करें:
$= 0.462852$
दशमलव के तीन स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.463$ प्राप्त होता है।

(A) $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(2-\sqrt{2})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2)^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{4 - 2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{2}$
$= \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2}$
$= \sqrt{2} - 1$
चूंकि $\sqrt{2} = 1.414$ दिया गया है,मान रखने पर:
$= 1.414 - 1 = 0.414$

(B) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ से गुणा करें।
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$
$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$
अब,दिए गए मान $\sqrt{3} = 1.732$ और $\sqrt{2} = 1.414$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 1.732 - 1.414$
$= 0.318$

(B) चरण $1$: कोष्ठक के अंदर की संख्याओं के घन ज्ञात कीजिए।
$1^{3} = 1 \times 1 \times 1 = 1$
$2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$
चरण $2$: परिणामों को जोड़िए।
$1 + 8 + 27 = 36$
चरण $3$: घातांक $\frac{1}{2}$ लागू कीजिए,जो वर्गमूल को दर्शाता है।
$(36)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$
अतः,सरल मान $6$ है।

(25/9) व्यंजक $(\frac{3}{5})^4 \times (\frac{3}{5})^{-12} \times (\frac{3}{5})^{6}$ को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियम का उपयोग करते हैं: $a^m \times a^n \times a^p = a^{m+n+p}$।
यहाँ,आधार $a = \frac{3}{5}$,$m = 4$,$n = -12$,और $p = 6$ है।
नियम लागू करने पर: $(\frac{3}{5})^{4 + (-12) + 6}$।
घातांक की गणना करने पर: $4 - 12 + 6 = -2$।
अतः,व्यंजक $(\frac{3}{5})^{-2}$ हो जाता है।
नियम $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$ का उपयोग करने पर,हमें $(\frac{5}{3})^2$ प्राप्त होता है।
अंतिम मान की गणना करने पर: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$।