Mix Examples - Number Systems Questions in Hindi

(B) दी गई व्यंजक: $(\frac{1}{27})^{\frac{-2}{3}}$
सबसे पहले,$27$ को $3$ की घात के रूप में लिखें: $27 = 3^3$.
अतः,$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$(3^{-3})^{\frac{-2}{3}}$
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए:
$3^{-3 \times \frac{-2}{3}} = 3^2$
अंत में,मान की गणना करें:
$3^2 = 9$.

(A) व्यंजक ${{(625)^{-\frac{1}{2}}}^{-\frac{1}{4}}}^{2}$ को सरल करने के लिए,हम घात के घात के नियम का उपयोग करते हैं: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
चरण $1$: घातांकों का गुणा करें।
$(-1/2) \times (-1/4) \times 2 = (1/8) \times 2 = 1/4$.
चरण $2$: परिणाम को आधार पर लागू करें।
$625^{1/4}$.
चरण $3$: $625$ को $5$ की घात के रूप में व्यक्त करें।
$625 = 5^4$.
चरण $4$: मान प्रतिस्थापित करें और सरल करें।
$(5^4)^{1/4} = 5^{4 \times (1/4)} = 5^1 = 5$.

(D) व्यंजक $\frac{9^{\frac{1}{3}} \times 27^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$ को सरल करने के लिए,हम सभी आधारों को $3$ की घात के रूप में व्यक्त करेंगे।
चरण $1$: आधारों को फिर से लिखें:
$9 = 3^2$ और $27 = 3^3$।
चरण $2$: इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{(3^2)^{\frac{1}{3}} \times (3^3)^{-\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$
चरण $3$: घात का नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ लागू करें:
$\frac{3^{\frac{2}{3}} \times 3^{-\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{6}} \times 3^{-\frac{2}{3}}}$
चरण $4$: अंश और हर के लिए गुणन नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ लागू करें:
अंश: $3^{\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = 3^{\frac{4-9}{6}} = 3^{-\frac{5}{6}}$
हर: $3^{\frac{1}{6} - \frac{2}{3}} = 3^{\frac{1-4}{6}} = 3^{-\frac{3}{6}} = 3^{-\frac{1}{2}}$
चरण $5$: भाग का नियम $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ लागू करें:
$3^{-\frac{5}{6} - (-\frac{1}{2})} = 3^{-\frac{5}{6} + \frac{3}{6}} = 3^{-\frac{2}{6}} = 3^{-\frac{1}{3}}$
अतः,सरल रूप $3^{-\frac{1}{3}}$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $64^{-\frac{1}{3}} + 64^{\frac{1}{3}} - 64^{\frac{2}{3}}$
सबसे पहले,$64$ को $4$ की घात के रूप में लिखें: $64 = 4^3$.
व्यंजक में $4^3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(4^3)^{-\frac{1}{3}} + (4^3)^{\frac{1}{3}} - (4^3)^{\frac{2}{3}}$
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ का उपयोग करते हुए:
$4^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} + 4^{3 \cdot \frac{1}{3}} - 4^{3 \cdot \frac{2}{3}}$
घातांकों को सरल करने पर:
$4^{-1} + 4^1 - 4^2$
मानों की गणना करने पर:
$\frac{1}{4} + 4 - 16$
पदों को संयोजित करने पर:
$\frac{1}{4} - 12$
समान हर (denominator) प्राप्त करने पर:
$\frac{1 - 48}{4} = -\frac{47}{4}$

(B) व्यंजक $\frac{8^{\frac{1}{3}} \times 16^{\frac{1}{3}}}{32^{-\frac{1}{3}}}$ को सरल करने के लिए,प्रत्येक आधार को $2$ की घात के रूप में व्यक्त करें:
$8 = 2^3$,$16 = 2^4$,और $32 = 2^5$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2^3)^{\frac{1}{3}} \times (2^4)^{\frac{1}{3}}}{(2^5)^{-\frac{1}{3}}}$
घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2^{3 \times \frac{1}{3}} \times 2^{4 \times \frac{1}{3}}}{2^{5 \times -\frac{1}{3}}} = \frac{2^1 \times 2^{\frac{4}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}}$
अंश में गुणन नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2^{1 + \frac{4}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}} = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{2^{-\frac{5}{3}}}$
भाग नियम $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ का उपयोग करते हुए:
$2^{\frac{7}{3} - (-\frac{5}{3})} = 2^{\frac{7}{3} + \frac{5}{3}} = 2^{\frac{12}{3}} = 2^4 = 16$.

(B) दिया गया है $a = 5 + 2\sqrt{6}$।
चूंकि $b = \frac{1}{a}$ है,हम हर का परिमेयकरण करते हैं:
$b = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} \times \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5 - 2\sqrt{6}$।
हमें $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात करना है। सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए:
सबसे पहले,$a + b = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$ ज्ञात करें।
फिर,$ab = (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$ ज्ञात करें।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$a^2 + b^2 = (10)^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$।

(C) सबसे पहले, प्रत्येक पद को भिन्न में बदलें:
$0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$x = 0.\overline{7} = 0.777\ldots$ के लिए
$10x = 7.777\ldots$
$10x$ में से $x$ घटाने पर $9x = 7$ प्राप्त होता है, इसलिए $x = \frac{7}{9}$।
$y = 0.4\overline{7} = 0.4777\ldots$ के लिए
$10y = 4.777\ldots$
$100y = 47.777\ldots$
$100y$ में से $10y$ घटाने पर $90y = 43$ प्राप्त होता है, इसलिए $y = \frac{43}{90}$।
अब, भिन्नों को जोड़ें:
$\frac{6}{10} + \frac{7}{9} + \frac{43}{90} = \frac{54}{90} + \frac{70}{90} + \frac{43}{90} = \frac{54 + 70 + 43}{90} = \frac{167}{90}$।
अतः, व्यंजक $\frac{167}{90}$ है।

(D) व्यंजक को सरल करने के लिए,हम प्रत्येक पद के हर (denominator) का परिमेयकरण (rationalization) करेंगे:
$\frac{7 \sqrt{3}}{\sqrt{10}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{3}}{\sqrt{10}-\sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})}{10-3} = \frac{7 \sqrt{3}(\sqrt{10}-\sqrt{3})}{7} = \sqrt{30}-3$
$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{\sqrt{6}-\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{6-5} = 2 \sqrt{30}-10$
$\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}+3 \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}}{\sqrt{15}-3 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{15}-3 \sqrt{2})}{15-18} = \frac{3 \sqrt{30}-18}{-3} = -\sqrt{30}+6$
अब,इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{30}-3) - (2 \sqrt{30}-10) - (-\sqrt{30}+6)$
$= \sqrt{30}-3-2 \sqrt{30}+10+\sqrt{30}-6$
$= (\sqrt{30}-2 \sqrt{30}+\sqrt{30}) + (-3+10-6)$
$= 0 + 1 = 1$

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{4}{3\sqrt{3}-2\sqrt{2}}+\frac{3}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}$
हर का ल.स.प. $(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})(3\sqrt{3}+2\sqrt{2})$ लेने पर:
$= \frac{4(3\sqrt{3}+2\sqrt{2}) + 3(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})}{(3\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2}$
$= \frac{12\sqrt{3} + 8\sqrt{2} + 9\sqrt{3} - 6\sqrt{2}}{27 - 8}$
$= \frac{21\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{19}$
$\sqrt{3}=1.732$ और $\sqrt{2}=1.414$ का मान रखने पर:
$= \frac{21(1.732) + 2(1.414)}{19}$
$= \frac{36.372 + 2.828}{19}$
$= \frac{39.2}{19} \approx 2.063$

(B) दिया गया है,$a = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
सबसे पहले,$a^{2}$ की गणना करें:
$a^{2} = \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{2} = \frac{9 + 5 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$.
इसके बाद,हर का परिमेयकरण करके $\frac{1}{a^{2}}$ की गणना करें:
$\frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{7 + 3\sqrt{5}} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{(7 + 3\sqrt{5})(7 - 3\sqrt{5})} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{2(7 - 3\sqrt{5})}{4} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$.
अंत में,$a^{2}$ और $\frac{1}{a^{2}}$ को जोड़ें:
$a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7 + 3\sqrt{5} + 7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

(C) $x$ के लिए हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}{3-2} = 3+2+2\sqrt{6} = 5+2\sqrt{6}$.
इसी प्रकार,$y$ के लिए:
$y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}{3-2} = 3+2-2\sqrt{6} = 5-2\sqrt{6}$.
अब,$x+y$ और $xy$ की गणना करने पर:
$x+y = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) = 10$.
$xy = (5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^{2} - (2\sqrt{6})^{2} = 25 - 24 = 1$.
सर्वसमिका $x^{2}+y^{2} = (x+y)^{2} - 2xy$ का उपयोग करने पर:
$x^{2}+y^{2} = (10)^{2} - 2(1) = 100 - 2 = 98$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $(256)^{4^{-\frac{3}{2}}}$
सबसे पहले,घातांक $4^{-\frac{3}{2}}$ को सरल करें:
$4^{-\frac{3}{2}} = (2^2)^{-\frac{3}{2}} = 2^{2 \times (-\frac{3}{2})} = 2^{-3} = \frac{1}{8}$
अब,इस मान को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:
$(256)^{\frac{1}{8}}$
हम जानते हैं कि $256 = 2^8$,इसलिए:
$(2^8)^{\frac{1}{8}} = 2^{8 \times \frac{1}{8}} = 2^1 = 2$
यदि अभिव्यक्ति $(256)^{-\left(4^{-\frac{3}{2}}\right)}$ है,तो:
$(2^8)^{-\left(\frac{1}{8}\right)} = 2^{8 \times (-\frac{1}{8})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} + \frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$
घातांक के नियम $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$4(216)^{\frac{2}{3}} + (256)^{\frac{3}{4}} + 2(243)^{\frac{1}{5}}$
आधार को घात के रूप में व्यक्त करने पर:
$216 = 6^3$,$256 = 4^4$,$243 = 3^5$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 4(6^3)^{\frac{2}{3}} + (4^4)^{\frac{3}{4}} + 2(3^5)^{\frac{1}{5}}$
घात के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करते हुए:
$= 4(6^{3 \times \frac{2}{3}}) + (4^{4 \times \frac{3}{4}}) + 2(3^{5 \times \frac{1}{5}})$
$= 4(6^2) + 4^3 + 2(3^1)$
मानों की गणना करने पर:
$= 4(36) + 64 + 2(3)$
$= 144 + 64 + 6$
$= 214$

(N/A) $\frac{2}{9}$ और $\frac{2}{7}$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके हर (denominators) को समान करते हैं। $9$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $63$ है।
$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63}$
$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 9}{7 \times 9} = \frac{18}{63}$
चूँकि $14$ और $18$ के बीच केवल तीन पूर्णांक $(15, 16, 17)$ हैं,इसलिए हम अंश और हर को $2$ से गुणा करते हैं।
$\frac{14}{63} = \frac{14 \times 2}{63 \times 2} = \frac{28}{126}$
$\frac{18}{63} = \frac{18 \times 2}{63 \times 2} = \frac{36}{126}$
अब,हम $\frac{28}{126}$ और $\frac{36}{126}$ के बीच कोई भी चार परिमेय संख्याएँ चुन सकते हैं,जैसे $\frac{29}{126}, \frac{30}{126}, \frac{31}{126}$ और $\frac{32}{126}$।
इन्हें सरल करने पर,हमें $\frac{29}{126}, \frac{5}{21}, \frac{31}{126}$ और $\frac{16}{63}$ प्राप्त होती हैं।

(A) $\frac{2}{3}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,पहले $3$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करके हर को समान करें,जो $15$ है।
भिन्नों को परिवर्तित करें: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$ और $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15}$.
चूंकि हमें तीन संख्याओं की आवश्यकता है,इसलिए दोनों भिन्नों के अंश और हर को $(3 + 1) = 4$ (या $3$ से बड़ी किसी भी संख्या) से गुणा करें।
$\frac{10}{15} = \frac{10 \times 4}{15 \times 4} = \frac{40}{60}$ और $\frac{12}{15} = \frac{12 \times 4}{15 \times 4} = \frac{48}{60}$.
$\frac{40}{60}$ और $\frac{48}{60}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{41}{60}, \frac{42}{60}$ और $\frac{43}{60}$ हैं।

(B) $\frac{1}{7}$ और $\frac{3}{7}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को $(3 + 1) = 4$ या किसी बड़ी पूर्णांक संख्या से गुणा कर सकते हैं ताकि उनके बीच का अंतर बढ़ जाए।
$2$ से गुणा करने पर (चूंकि $2$,$1$ और $3$ के बीच है):
$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 2}{7 \times 2} = \frac{2}{14}$
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 2}{7 \times 2} = \frac{6}{14}$
$\frac{2}{14}$ और $\frac{6}{14}$ के बीच की परिमेय संख्याएँ $\frac{3}{14}, \frac{4}{14}$ और $\frac{5}{14}$ हैं।
अतः,तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{3}{14}, \frac{2}{7}$ और $\frac{5}{14}$ हैं।

$\frac{2}{7}$ और $\frac{2}{5}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम पहले $7$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करके हर को समान बनाते हैं,जो $35$ है।
$\frac{2}{7} = \frac{2 \times 5}{7 \times 5} = \frac{10}{35}$
$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35}$
चूँकि हमें पाँच परिमेय संख्याओं की आवश्यकता है,हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को $6$ (या $5$ से बड़ी किसी भी संख्या) से गुणा कर सकते हैं:
$\frac{10 \times 6}{35 \times 6} = \frac{60}{210}$
$\frac{14 \times 6}{35 \times 6} = \frac{84}{210}$
अब,हम $\frac{60}{210}$ और $\frac{84}{210}$ के बीच कोई भी पाँच परिमेय संख्याएँ चुन सकते हैं,जैसे $\frac{61}{210}, \frac{62}{210}, \frac{63}{210}, \frac{64}{210}, \text{ और } \frac{65}{210}$।

(B) $-\frac{2}{3}$ और $\frac{1}{5}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,सबसे पहले $3$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करके हर को समान करें,जो कि $15$ है।
$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \times 5}{3 \times 5} = -\frac{10}{15}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$
अब,हमें $-\frac{10}{15}$ और $\frac{3}{15}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हैं।
$-10$ और $3$ के बीच के पूर्णांक $-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$ हैं।
हम इनमें से कोई भी पाँच चुन सकते हैं,उदाहरण के लिए: $-\frac{9}{15}, -\frac{8}{15}, -\frac{7}{15}, -\frac{6}{15}, -\frac{5}{15}$।
इन्हें सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-\frac{3}{5}, -\frac{8}{15}, -\frac{7}{15}, -\frac{2}{5}, -\frac{1}{3}$।

(A) $-\frac{3}{4}$ और $-\frac{1}{3}$ के बीच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,पहले $4$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करके हर को समान करें,जो $12$ है।
$-\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 3}{4 \times 3} = -\frac{9}{12}$
$-\frac{1}{3} = -\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = -\frac{4}{12}$
चूँकि $-9$ और $-4$ के बीच पर्याप्त पूर्णांक नहीं हैं,इसलिए अंश और हर को $2$ जैसे बड़े गुणक से गुणा करें ताकि अधिक स्थान मिल सके।
$-\frac{9}{12} = -\frac{18}{24}$
$-\frac{4}{12} = -\frac{8}{24}$
अब,हम $-\frac{18}{24}$ और $-\frac{8}{24}$ के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ चुन सकते हैं,जो $-\frac{17}{24}, -\frac{16}{24}, -\frac{15}{24}, -\frac{14}{24}, -\frac{13}{24}$ हैं।

(B) यह कथन असत्य है।
प्राकृत संख्याएँ $1, 2, 3, ...$ से शुरू होने वाली गिनती की संख्याओं का समूह हैं।
पूर्ण संख्याएँ प्राकृत संख्याओं में $0$ को शामिल करने पर बनने वाला समूह हैं,अर्थात $0, 1, 2, 3, ...$।
चूँकि $0$ एक पूर्ण संख्या है लेकिन प्राकृत संख्या नहीं है,इसलिए यह कथन कि प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृत संख्या होती है,असत्य है।

(A) पूर्ण संख्याओं के समुच्चय को $W = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
पूर्णांकों के समुच्चय को $Z = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि पूर्ण संख्याओं के समुच्चय का प्रत्येक अवयव पूर्णांकों के समुच्चय में मौजूद होता है,इसलिए प्रत्येक पूर्ण संख्या एक पूर्णांक होती है।
अतः,यह कथन सत्य है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
एक पूर्ण संख्या $W = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ समुच्चय की कोई भी संख्या होती है।
परिमेय संख्या को ऐसी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके,जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
किसी भी पूर्ण संख्या $n$ को $\frac{n}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण के लिए,$0 = \frac{0}{1}$,$1 = \frac{1}{1}$,$2 = \frac{2}{1}$,आदि।
चूंकि प्रत्येक पूर्ण संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए प्रत्येक पूर्ण संख्या एक परिमेय संख्या है।

(N/A) $1$. संख्या रेखा पर $0$ को निरूपित करने वाला एक बिंदु $O$ चुनिए।
$2$. एक इकाई लंबाई चुनिए और संख्या रेखा पर $O$ से $1$ इकाई की दूरी पर बिंदु $A$ अंकित कीजिए।
$3$. बिंदु $A$ पर $1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$4$. $OB$ को मिलाइए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$5$. बिंदु $B$ पर $1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $BC$ खींचिए। $OC$ को मिलाइए। तब $OC = \sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$।
$6$. बिंदु $C$ पर $1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $CD$ खींचिए। $OD$ को मिलाइए। तब $OD = \sqrt{OC^2 + CD^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$।
$7$. बिंदु $D$ पर $1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $DE$ खींचिए। $OE$ को मिलाइए। तब $OE = \sqrt{OD^2 + DE^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$।
$8$. $O$ को केंद्र और $OE$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है।
$9$. संख्या रेखा पर बिंदु $P$,$\sqrt{5}$ को निरूपित करता है।

(A) संख्या रेखा पर $\sqrt{6}$ को निरूपित करने के लिए,हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: $a^2 + b^2 = c^2$।
हम $6 = 5 + 1$ लिख सकते हैं,इसलिए $\sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2}$।
$1$. सबसे पहले,$2$ इकाई आधार और $1$ इकाई ऊंचाई वाला एक समकोण त्रिभुज बनाकर संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करें।
$2$. संख्या रेखा पर $0$ पर बिंदु $O$ और $2$ पर बिंदु $A$ अंकित करें।
$3$. बिंदु $A$ पर $1$ इकाई लंबाई का लंब $AB$ खींचें।
$4$. $OB$ को मिलाएं। पाइथागोरस के अनुसार,$OB = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$।
$5$. अब,बिंदु $B$ पर $1$ इकाई लंबाई का लंब $BC$ खींचें।
$6$. $OC$ को मिलाएं। पाइथागोरस के अनुसार,$OC = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}$।
$7$. $O$ को केंद्र और $OC$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचें जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है। दूरी $OP$,$\sqrt{6}$ को दर्शाती है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{10}$ को निरूपित करने के लिए,हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: $a^2 + b^2 = c^2$.
हम $10$ को $3^2 + 1^2 = 10$ के रूप में लिख सकते हैं,इसलिए $\sqrt{10} = \sqrt{3^2 + 1^2}$.
चरण $1$: एक संख्या रेखा खींचिए और $0$ पर बिंदु $O$ तथा $O$ से $3$ इकाई की दूरी पर बिंदु $A$ अंकित कीजिए।
चरण $2$: बिंदु $A$ पर,$1$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $AB$ खींचिए।
चरण $3$: $O$ और $B$ को मिलाइए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB$ की लंबाई $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ होगी।
चरण $4$: $O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है।
बिंदु $P$ संख्या रेखा पर $\sqrt{10}$ को निरूपित करता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{20}$ को निरूपित करने के लिए,हम पाइथागोरस प्रमेय $a^2 + b^2 = c^2$ का उपयोग कर सकते हैं।
हम $20$ को $4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$ के रूप में लिख सकते हैं।
$1$. एक संख्या रेखा खींचिए और बिंदु $O$ को $0$ पर और बिंदु $A$ को $O$ से $4$ इकाई की दूरी पर अंकित कीजिए।
$2$. बिंदु $A$ पर,$2$ इकाई लंबाई का एक लंब रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$3$. $O$ और $B$ को मिलाइए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OB$ की लंबाई $\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ होगी।
$4$. परकार का उपयोग करके,$O$ को केंद्र और $OB$ को त्रिज्या मानकर,एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है।
$5$. बिंदु $P$ संख्या रेखा पर $\sqrt{20}$ को निरूपित करता है।

(N/A) $\sqrt{6}$ तक वर्गमूल सर्पिल बनाने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक रेखाखंड $OA$ खींचिए।
$2$. बिंदु $A$ पर, $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $AB$ खींचिए। $OB$ को मिलाइए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, $OB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$3$. बिंदु $B$ पर, $OB$ पर $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $BC$ खींचिए। $OC$ को मिलाइए। तब $OC = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}$।
$4$. बिंदु $C$ पर, $OC$ पर $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $CD$ खींचिए। $OD$ को मिलाइए। तब $OD = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$।
$5$. बिंदु $D$ पर, $OD$ पर $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $DE$ खींचिए। $OE$ को मिलाइए। तब $OE = \sqrt{(\sqrt{4})^2 + 1^2} = \sqrt{5}$।
$6$. बिंदु $E$ पर, $OE$ पर $1 \text{ unit}$ लंबाई का एक लंब $EF$ खींचिए। $OF$ को मिलाइए। तब $OF = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 1^2} = \sqrt{6}$।

(N/A) $\frac{2}{11}$ को दशमलव रूप में लिखने के लिए,हम $2$ को $11$ से भाग देकर लंबी विभाजन प्रक्रिया का उपयोग करेंगे।
$2$ को $11$ से भाग देने पर:
$2 \div 11 = 0.1818...$
चूंकि शेषफल $2$ बार-बार आता है,इसलिए भागफल $0.18$ अनंत तक दोहराया जाता है।
अतः,$\frac{2}{11} = 0.1818... = 0.\overline{18}$.
चूंकि दशमलव प्रसार समाप्त नहीं होता है और अंकों की पुनरावृत्ति होती है,इसलिए $\frac{2}{11}$ का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।

(N/A) $\frac{121}{400}$ को दशमलव रूप में लिखने के लिए,हम भाग करते हैं:
$121 \div 400 = 0.3025$
चूंकि शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{121}{400}$ का दशमलव प्रसार शांत दशमलव है।

(N/A) $\frac{5}{13}$ का दशमलव प्रसार ज्ञात करने के लिए,हम $5$ को $13$ से विभाजित करते हैं:
$5 \div 13 = 0.384615384615...$
चूंकि शेषफल कुछ चरणों के बाद दोहराया जाता है,इसलिए भागफल भी दोहराया जाता है।
अतः,$\frac{5}{13} = 0.\overline{384615}$ है।
$\frac{5}{13}$ का दशमलव रूप अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।

(A) माना $x = 0 . \overline{35}$.
$\therefore x = 0.353535 \ldots$ $(1)$
चूंकि यहाँ दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 35.353535 \ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$100x - x = 35.353535 \ldots - 0.353535 \ldots$
$99x = 35$
$\therefore x = \frac{35}{99}$
अतः,$0 . \overline{35} = \frac{35}{99}$.

(N/A) माना $x = 0.5 \overline{7}.$
$\therefore x = 0.5777...$ $(1)$
दशमलव बिंदु को पुनरावृत्त भाग से पहले लाने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 5.777...$ $(2)$
अब,दशमलव बिंदु को एक पुनरावृत्त अंक के बाद लाने के लिए समीकरण $(2)$ को $10$ से गुणा करने पर:
$100x = 57.777...$ $(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$
$x = \frac{52}{90}$
अंश और हर को $2$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:
$x = \frac{26}{45}$
अतः,$0.5 \overline{7} = \frac{26}{45}.$

(N/A) माना $x = 0.\overline{125}$.
$\therefore x = 0.125125\ldots$ $(1)$
चूँकि तीन अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 125.125125\ldots$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$1000x - x = 125.125125\ldots - 0.125125\ldots$
$999x = 125$
$\therefore x = \frac{125}{999}$
अतः,$0.\overline{125} = \frac{125}{999}$.

(N/A) हम जानते हैं कि $\frac{1}{4} = 0.25$ और $\frac{4}{5} = 0.8$ होता है।
$\frac{1}{4}$ और $\frac{4}{5}$ के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हमें $0.25$ और $0.8$ के बीच ऐसी तीन संख्याएँ ढूँढनी होंगी जो अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-recurring) हों।
ऐसी तीन संख्याएँ निम्नलिखित हैं:
$1. 0.3030030003\dots$
$2. 0.4040040004\dots$
$3. 0.5050050005\dots$

दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $\sqrt{a \cdot b}$ सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
$1$. $\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ के बीच पहली अपरिमेय संख्या:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{15}} = 15^{\frac{1}{4}}$.
$2$. $\sqrt{3}$ और $15^{\frac{1}{4}}$ के बीच दूसरी अपरिमेय संख्या:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 15^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = \sqrt{3^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}}} = 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$.
$3$. $\sqrt{3}$ और $3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ के बीच तीसरी अपरिमेय संख्या:
$= \sqrt{\sqrt{3} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = \sqrt{3^{\frac{7}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}} = 3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$.
अतः,$\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ के बीच तीन अपरिमेय संख्याएँ $15^{\frac{1}{4}}$,$3^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}}$ और $3^{\frac{7}{16}} \cdot 5^{\frac{1}{16}}$ हैं।

(N/A) $\frac{71}{125}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम अंश को हर से विभाजित कर सकते हैं या हर में $10$ की घात प्राप्त करने के लिए अंश और हर दोनों को $8$ से गुणा कर सकते हैं।
$\frac{71 \times 8}{125 \times 8} = \frac{568}{1000} = 0.568$
चूंकि भाग की प्रक्रिया में कुछ चरणों के बाद शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए यह दशमलव प्रसार एक सांत (Terminating) दशमलव प्रसार है।

(N/A) $\frac{4}{13}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम $4$ को $13$ से विभाजित करते हैं।
$4 \div 13 = 0.307692307692...$
चूंकि अंकों का अनुक्रम $307692$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए दशमलव प्रसार $0.\overline{307692}$ है।
अतः,यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।

(N/A) $\frac{25}{8}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम भाग देते हैं:
$25 \div 8 = 3.125$
चूंकि शेषफल $0$ प्राप्त होता है,इसलिए यह दशमलव प्रसार सांत (Terminating) दशमलव प्रसार है।

(N/A) $\frac{37}{60}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम भाग देते हैं:
$37 \div 60 = 0.61666...$
इसे $0.61\overline{6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद के अंक अनंत तक दोहराए जाते हैं,इसलिए यह दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating recurring) दशमलव है।

(A) $\frac{29}{12}$ को दशमलव रूप में बदलने के लिए,हम भाग देते हैं:
$29 \div 12 = 2.41666...$
चूंकि अंक $6$ अनंत तक दोहराया जाता है,इसलिए दशमलव प्रसार $2.41\overline{6}$ है।
चूंकि शेषफल कभी शून्य नहीं होता है और एक अंक की पुनरावृत्ति होती है,इसलिए यह एक अनवसानी आवर्ती (Non-terminating recurring) दशमलव है।

(A) माना $x = 0.\overline{4} = 0.4444...$ (समीकरण $1$)।
चूँकि दशमलव बिंदु के बाद एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$10x = 4.4444...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$10x - x = 4.4444... - 0.4444...$
$9x = 4$
$x = \frac{4}{9}$।
अतः, $0.\overline{4}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में $\frac{4}{9}$ लिखा जा सकता है।

(B) माना कि $x = 0.\overline{83}$.
इसे $x = 0.838383...$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $1$)।
चूँकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $100$ से गुणा करने पर:
$100x = 83.838383...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$100x - x = 83.838383... - 0.838383...$
$99x = 83$.
अतः, $x = \frac{83}{99}$.
इस प्रकार, $0.\overline{83} = \frac{83}{99}$।

(N/A) मान लीजिए $x = 2.137137137...$ (समीकरण $1$).
चूंकि दशमलव बिंदु के बाद $3$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $1000$ से गुणा करने पर:
$1000x = 2137.137137137...$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1000x - x = 2137.137137... - 2.137137...$
$999x = 2135$.
अतः, $x = \frac{2135}{999}$.

(A) माना कि $x = 0.5\overline{7} = 0.5777...$ (समीकरण $1$)।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें:
$10x = 5.777...$ (समीकरण $2$)।
पुनरावृत्त अंक के बाद दशमलव बिंदु लाने के लिए समीकरण $2$ को पुनः $10$ से गुणा करें:
$100x = 57.777...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाएं:
$100x - 10x = 57.777... - 5.777...$
$90x = 52$.
$x = \frac{52}{90}$.
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $2$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:
$x = \frac{26}{45}$.

(A) माना $x = 1.23444...$ (समीकरण $1$)।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए $100$ से गुणा करने पर: $100x = 123.444...$ (समीकरण $2$)।
दशमलव बिंदु को फिर से स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $2$ को $10$ से गुणा करने पर: $1000x = 1234.444...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$1000x - 100x = 1234.444... - 123.444...$
$900x = 1111$.
अतः,$x = \frac{1111}{900}$।

(B) माना $x = 0.7\overline{39} = 0.7393939...$ (समीकरण $1$)।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें: $10x = 7.393939...$ (समीकरण $2$)।
पुनरावृत्ति भाग के बाद दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए समीकरण $2$ को $100$ से गुणा करें: $1000x = 739.393939...$ (समीकरण $3$)।
समीकरण $3$ में से समीकरण $2$ को घटाने पर:
$1000x - 10x = 739.393939... - 7.393939...$
$990x = 732$.
$x = \frac{732}{990}$.
अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक $6$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:
$x = \frac{732 \div 6}{990 \div 6} = \frac{122}{165}$.

(N/A) सबसे पहले,परिमेय संख्याओं को दशमलव रूप में बदलें:
$\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$
$\frac{7}{9} = 0.7777\ldots$
$0.3333\ldots$ और $0.7777\ldots$ के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हमें ऐसी अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव संख्याएँ लिखनी होंगी जो इस सीमा के भीतर हों।
ऐसी तीन संख्याएँ हैं:
$1) 0.4040040004\ldots$
$2) 0.5050050005\ldots$
$3) 0.6060060006\ldots$

(D) सबसे पहले,परिमेय संख्याओं को दशमलव रूप में बदलें: $\frac{3}{4} = 0.75$ और $\frac{4}{5} = 0.80$।
$0.75$ और $0.80$ के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हमें अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव लिखने होंगे।
ऐसी संख्याओं के उदाहरण हैं:
$1. 0.75010010001...$
$2. 0.76010010001...$
$3. 0.77010010001...$
ये संख्याएँ स्पष्ट रूप से $0.75$ से बड़ी और $0.80$ से छोटी हैं,और ये अपरिमेय हैं क्योंकि इनका दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती है।

दो अपरिमेय संख्याओं $a$ और $b$ के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए,हम $\sqrt{a \cdot b}$,$\sqrt{a \cdot \sqrt{a \cdot b}}$ आदि के रूप का उपयोग कर सकते हैं,या ऐसी संख्याएँ ढूँढ सकते हैं जिनका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) हो।
$1$. पहली संख्या: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \sqrt{\sqrt{10}} = 10^{\frac{1}{4}} \approx 1.778$.
$2$. दूसरी संख्या: $\sqrt{\sqrt{2} \cdot 10^{\frac{1}{4}}} = (2^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 10^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{3}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \approx 1.682$.
$3$. तीसरी संख्या: $\sqrt{10^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5}} = (10^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}} \cdot 5^{\frac{3}{8}} \approx 1.880$.
ये मान $\sqrt{2} \approx 1.414$ और $\sqrt{5} \approx 2.236$ के बीच स्थित हैं।

(A) माना $x = 0.\overline{35} = 0.353535...$ और $y = 0.\overline{28} = 0.282828...$
$0.\overline{35}$ को भिन्न में बदलने के लिए: $100x = 35.3535...$,इसलिए $99x = 35$,जिससे $x = \frac{35}{99}$ प्राप्त होता है।
$0.\overline{28}$ को भिन्न में बदलने के लिए: $100y = 28.2828...$,इसलिए $99y = 28$,जिससे $y = \frac{28}{99}$ प्राप्त होता है।
दोनों भिन्नों को जोड़ने पर: $x + y = \frac{35}{99} + \frac{28}{99} = \frac{63}{99}$.
$63$ को $99$ से भाग देने पर $0.636363...$ प्राप्त होता है,जो कि $0.\overline{63}$ है।