Mix Examples - Number Systems Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદ $\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right]^{-\frac{1}{6}}$ છે.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5} \times (-\frac{1}{6})} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$A$: $\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}-\frac{1}{6}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{6-5}{30}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{30}}$. આ $\left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$ ને સમાન નથી.
$B$: $\frac{1}{\left[\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{5}}\right]^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\left(\frac{5}{6}\right)^{\frac{1}{30}}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. આ સમાન છે.
$C$: $\left(\frac{6}{5}\right)^{\frac{1}{30}} = \left(\left(\frac{5}{6}\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{30}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. આ સમાન છે.
$D$: $\left(\frac{5}{6}\right)^{-\frac{1}{30}}$. આ સમાન છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ આપેલ પદને સમાન નથી.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ એ તમામ સંમેય અને અસંમેય સંખ્યાઓનો બનેલો છે.
દરેક સંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,દરેક સંમેય સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(C) કોઈપણ બે ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી હોય છે. આ ગુણધર્મને સંમેય સંખ્યાઓનો ઘનતાનો ગુણધર્મ (density property) કહેવામાં આવે છે.

(D) સંમેય સંખ્યાને એવી સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે. સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ હંમેશા કાં તો સાંત હોય છે અથવા અનંત આવૃત હોય છે. અનંત અનાવૃત દશાંશ નિરૂપણ એ અસંમેય સંખ્યાનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે. તેથી,સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અનાવૃત હોઈ શકે નહીં.

(A) બે અસંમેય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર સંમેય અથવા અસંમેય હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
$1$. જો આપણે $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ લઈએ,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. જો આપણે $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ લઈએ,જે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,ગુણાકાર ક્યારેક સંમેય અને ક્યારેક અસંમેય હોય છે.

(B) સંખ્યા $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,અસંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ હંમેશા અનંત અને અનાવૃત (પુનરાવર્તન ન થતું) હોય છે.
તેથી,$\sqrt{2}$ નું દશાંશ નિરૂપણ $1.41421356...$ છે,જે ક્યારેય પૂરું થતું નથી અને તેમાં કોઈ અંક કે અંકોના સમૂહનું પુનરાવર્તન થતું નથી.

(C) કઈ સંખ્યા અસંમેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પનું સાદું રૂપ આપીએ:
$(a)$ $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
$(b)$ $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$(c)$ $\sqrt{7}$ ને પૂર્ણાંકોના અપૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી. $7$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન હોવાથી,$\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
$(d)$ $\sqrt{81} = 9$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે. આમ,$(C)$ સાચો જવાબ છે.

(D) કોઈ સંખ્યા અસંમેય ત્યારે જ કહેવાય જો તેની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) હોય.
$(A)$ $0.14$ એ શાંત દશાંશ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(B)$ $0.14 \overline{16}$ એ અનંત અને આવૃત દશાંશ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(C)$ $0. \overline{1416}$ એ અનંત અને આવૃત દશાંશ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.
$(D)$ $0.4014001400014 \ldots$ એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ છે,જે અસંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા છે.
આમ,$(D)$ સાચો જવાબ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$ અને $\sqrt{3} \approx 1.732$ થાય છે.
સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
કારણ કે $1.414 < 1.5 < 1.732$,તેથી $1.5$ એ $\sqrt{2}$ અને $\sqrt{3}$ ની વચ્ચે આવેલી છે.
વિકલ્પ $B$ અને $C$ માં અસંમેય સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યાઓ નથી.
વિકલ્પ $D$ $(1.8)$ એ $\sqrt{3} \approx 1.732$ કરતા મોટી છે,તેથી તે તેમની વચ્ચે આવતી નથી.
તેથી,$1.5$ એ સાચી સંમેય સંખ્યા છે.

(B) ધારો કે $x = 1.999... = 1.\overline{9} \quad \dots(1)$
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 19.999... = 19.\overline{9} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$10x - x = 19.999... - 1.999...$
$9x = 18$
$9$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{18}{9} = 2$
કારણ કે $2$ ને $\frac{2}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $p=2$ અને $q=1$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0,$ તેથી કિંમત $2$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ પદોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે $\sqrt{3}$ ને સામાન્ય પદ તરીકે લઈશું.
આપેલ પદાવલિ: $2 \sqrt{3} + \sqrt{3}$.
આને $(2 + 1) \sqrt{3}$ તરીકે લખી શકાય.
કૌંસમાં રહેલા પદોનો સરવાળો કરતા: $3 \sqrt{3}$ મળે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) કરણીના ગુણધર્મ $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{10} \times \sqrt{15} = \sqrt{10 \times 15}$
$= \sqrt{150}$
$= \sqrt{25 \times 6}$
$= \sqrt{25} \times \sqrt{6}$
$= 5 \sqrt{6}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $\frac{1}{7-\sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદ બંનેને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(7+\sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{7-\sqrt{2}} = \frac{1}{7-\sqrt{2}} \times \frac{7+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}}$
છેદમાં નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{7+\sqrt{2}}{(7)^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{7+\sqrt{2}}{49-2}$
$= \frac{7+\sqrt{2}}{47}$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ પદ: $\frac{1}{\sqrt{9}-\sqrt{8}}$
અહીં $\sqrt{9} = 3$ અને $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$ હોવાથી,પદ આ મુજબ થશે:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(3+2\sqrt{2})$ વડે ગુણતા:
$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2}$
છેદનું સાદું રૂપ આપતા:
$(3)^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1$
આમ,પદનું સાદું રૂપ:
$\frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(C) $\frac{7}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{7}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}} \times \frac{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}} = \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3})^2 - (2 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(9 \times 3) - (4 \times 2)} = \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{27 - 8}$
$= \frac{7(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{19}$
આમ,છેદ $19$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{32}+\sqrt{48}}{\sqrt{8}+\sqrt{12}}$
અંશ અને છેદમાં રહેલા વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}$
સામાન્ય પદ બહાર કાઢતા:
$\frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}$
સમાન પદ $(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ ને છેદતા:
$\frac{4}{2} = 2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) પદાવલિ $\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}$ ને સરળ બનાવવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1) \times (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1) \times (\sqrt{2}-1)}}$
$= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}}$
$= \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}}$
$= \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}$
$= \sqrt{2}-1$
આપેલ છે કે $\sqrt{2} = 1.4142$,તેથી:
$1.4142 - 1 = 0.4142$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^{2}}}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીશું.
સૌ પ્રથમ,કરણીઓને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક તરીકે દર્શાવો: $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$.
$\sqrt[4]{\sqrt[3]{2^{2}}} = \sqrt[4]{(2^{2})^{\frac{1}{3}}}$.
ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(2^{2})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ મળે છે.
હવે,બહારની કરણી લાગુ કરો: $(2^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}}$.
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $2^{\frac{1}{6}}$ થાય છે.
તેથી,$(B)$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપણી પાસે છે,
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[12]{32} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot (2^5)^{\frac{1}{12}}$
$= 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{12}}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}}$
$= 2^{\frac{4+3+5}{12}}$
$= 2^{\frac{12}{12}}$
$= 2^1 = 2$
આમ,$(c)$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ પદ: $\sqrt[4]{(81)^{-2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$,તેથી $(81)^{-2} = \frac{1}{81^2}$.
આમ,$\sqrt[4]{(81)^{-2}} = \sqrt[4]{\frac{1}{81^2}} = \left(\frac{1}{81^2}\right)^{1/4}$.
કારણ કે $81 = 9^2$,તેથી $81^2 = (9^2)^2 = 9^4$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\left(\frac{1}{9^4}\right)^{1/4} = \left(\frac{1}{9}\right)^{4 \times \frac{1}{4}} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$(d)$ સાચો જવાબ છે.

(A) ઘાતાંકના નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ પદાવલિ: $(256)^{0.16} \times (256)^{0.09} = (256)^{0.16 + 0.09}$.
ઘાતાંકોનો સરવાળો કરતા: $(256)^{0.25}$.
અહીં $0.25 = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$(256)^{\frac{1}{4}}$ મળે.
$256$ ને $4$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવતા: $256 = 4^4$.
તેથી,$(4^4)^{\frac{1}{4}} = 4^{4 \times \frac{1}{4}} = 4^1 = 4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ કે કયું સાદું રૂપ $x^1 = x$ આપે છે:
$(A)$ $x^{\frac{12}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$ ને $x$ માં સાદું રૂપ આપી શકાતું નથી.
$(B)$ $\left(\sqrt{x^{3}}\right)^{\frac{2}{3}} = \left((x^3)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = x^{3 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3}} = x^1 = x$.
$(C)$ $\sqrt[12]{\left(x^{4}\right)^{\frac{1}{3}}} = \left(x^{4 \times \frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{12}} = x^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{12}} = x^{\frac{1}{9}} \neq x$.
$(D)$ $x^{\frac{12}{7}} \times x^{\frac{7}{12}} = x^{\frac{12}{7} + \frac{7}{12}} = x^{\frac{144+49}{84}} = x^{\frac{193}{84}} \neq x$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(N/A) હા,આવી અસંમેય સંખ્યાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ધારો કે બે અસંમેય સંખ્યાઓ $a = 3 + \sqrt{2}$ અને $b = 3 - \sqrt{2}$ છે.
સરવાળો: $(3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
ગુણાકાર: $(3 + \sqrt{2}) \times (3 - \sqrt{2}) = (3)^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$,જે પણ એક સંમેય સંખ્યા છે.
આમ,$3 + \sqrt{2}$ અને $3 - \sqrt{2}$ એ બે એવી અસંમેય સંખ્યાઓ છે જેનો સરવાળો અને ગુણાકાર બંને સંમેય છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
ધારો કે $x = \sqrt[4]{2}$ છે.
હવે,$x^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$x^{2} = (\sqrt[4]{2})^{2} = \sqrt{2}$. કારણ કે $\sqrt{2}$ ને બે પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
હવે,$x^{4}$ ની ગણતરી કરીએ:
$x^{4} = (\sqrt[4]{2})^{4} = 2$. કારણ કે $2$ ને $\frac{2}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
આમ,આપણે એવી સંખ્યા $x = \sqrt[4]{2}$ શોધી છે જેના માટે $x^{2}$ અસંમેય છે અને $x^{4}$ સંમેય છે.

(A) હા,$x+y$ હંમેશા એક અસંમેય સંખ્યા જ હોય છે.
અનિષ્ટત્તિની રીત (Proof by contradiction):
ધારો કે $x+y = r$,જ્યાં $r$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
અહીં $x$ સંમેય સંખ્યા છે,તેથી આપણે $y = r - x$ લખી શકીએ.
બે સંમેય સંખ્યાઓ ($r$ અને $x$) ની બાદબાકી હંમેશા સંમેય સંખ્યા જ હોય છે,તેથી $y$ પણ સંમેય સંખ્યા હોવી જોઈએ.
પરંતુ,આ આપેલ માહિતીનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $y$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $x+y$ એક અસંમેય સંખ્યા જ હોવી જોઈએ.
ઉદાહરણ:
ધારો કે $x = 5$ (સંમેય) અને $y = \sqrt{2}$ (અસંમેય).
તો,$x+y = 5 + \sqrt{2} = 6.4142...$,જે અનંત અને અનાવૃત દશાંશ છે.
આમ,$x+y$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(NO) ધારો કે $x = 0$ (એક સંમેય સંખ્યા) અને $y = \sqrt{3}$ (એક અસંમેય સંખ્યા) છે.
તેથી,તેમનો ગુણાકાર $xy = 0 \times \sqrt{3} = 0$ થાય.
કારણ કે $0$ ને $\frac{0}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
આમ,$xy$ હંમેશા અસંમેય સંખ્યા હોય તે જરૂરી નથી.

(FALSE, FALSE) $(i)$ આપેલ વિધાન ખોટું છે. સંમેય સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને $q \neq 0$. અહીં,$\frac{\sqrt{2}}{3}$ માં $p = \sqrt{2}$ છે,જે અસંમેય સંખ્યા છે,પૂર્ણાંક નથી. તેથી,$\frac{\sqrt{2}}{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ આપેલ વિધાન ખોટું છે. વ્યાખ્યા મુજબ,પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ (...,$-2, -1, 0, 1, 2, ...$) છે. કોઈપણ બે ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ,જેમ કે $3$ અને $4$ ની વચ્ચે કોઈ અન્ય પૂર્ણાંક સંખ્યા હોતી નથી.

(N/A) $(i)$ આ વિધાન ખોટું છે. કોઈપણ બે ભિન્ન સંમેય સંખ્યાઓની વચ્ચે અસંખ્ય સંમેય સંખ્યાઓ આવેલી હોય છે. તેથી,$15$ અને $18$ ની વચ્ચે સંમેય સંખ્યાઓની સંખ્યા અનંત છે.
$(ii)$ આ વિધાન સાચું છે. જે સંખ્યાઓને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં (જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$) દર્શાવી શકાતી નથી,તેને અસંમેય સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,અને $\pi$ આવી સંખ્યાઓ છે.

(N/A) $(i)$ આ વિધાન ખોટું છે. અસંમેય સંખ્યા $\sqrt[4]{2}$ લો. તેનો વર્ગ $(\sqrt[4]{2})^{2} = \sqrt{2}$ થાય છે,જે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ આ વિધાન ખોટું છે. આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપી શકીએ: $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$. કારણ કે $2$ ને $\frac{2}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(B) આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
સંખ્યા સંમેય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા પદનું સાદું રૂપ આપવું જોઈએ.
$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5}$.
$\sqrt{5}$ એ પૂર્ણ વર્ગ નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.
સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા મુજબ,જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \neq 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
$\frac{\sqrt{5}}{1}$ પદમાં,જોકે તે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે,પરંતુ અંશ $p = \sqrt{5}$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી.
તેથી,$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $\sqrt{196} = 14$. કારણ કે $14$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ (એટલે કે $\frac{14}{1}$),તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$. કારણ કે $\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે અને શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા તથા અસંમેય સંખ્યાનો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય હોય છે,તેથી $9\sqrt{2}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $\sqrt{\frac{9}{27}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. અહીં $\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી સંમેય સંખ્યા $(1)$ અને અસંમેય સંખ્યા $(\sqrt{3})$ નો ભાગાકાર અસંમેય સંખ્યા થાય છે.
$(ii)$ $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{343}} = \sqrt{\frac{28}{343}} = \sqrt{\frac{4 \times 7}{49 \times 7}} = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$. અહીં $\frac{2}{7}$ એ $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $-\sqrt{0.4} = -\sqrt{\frac{4}{10}} = -\frac{2}{\sqrt{10}}$. કારણ કે $\sqrt{10}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી સંમેય સંખ્યા $(2)$ અને અસંમેય સંખ્યા $(\sqrt{10})$ નો ભાગાકાર અસંમેય સંખ્યા થાય છે. તેથી,$-\sqrt{0.4}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}} = \sqrt{\frac{12}{75}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$. કારણ કે $\frac{2}{5}$ એ $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે,તેથી તે સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $0.5918$ એ શાંત દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે. જે સંખ્યાને શાંત દશાંશ તરીકે દર્શાવી શકાય તે સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. અહીં,$0.5918 = \frac{5918}{10000}$,જે સંમેય છે.
$(ii)$ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $(1+\sqrt{5})-(4+\sqrt{5}) = 1 + \sqrt{5} - 4 - \sqrt{5} = 1 - 4 = -3$. કારણ કે $-3$ ને $\frac{-3}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે,જે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $(i)$ $10.124124 \ldots$ એ દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે જે અનંત આવૃત છે. જે સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત આવૃત હોય તેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
$(ii)$ $1.010010001 \ldots$ એ દશાંશ અભિવ્યક્તિ છે જે અનંત અનાવૃત છે. જે સંખ્યાની દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત અનાવૃત હોય તેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,તેથી તે એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) આપણે $13$ ને બે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખીએ છીએ:
$13 = 9 + 4 = 3^{2} + 2^{2}$
સંખ્યા રેખા પર,$OA = 3$ એકમ લો.
$OA$ ને લંબ $BA = 2$ એકમ દોરો. $OB$ ને જોડો.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OB = \sqrt{OA^{2} + AB^{2}} = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
પરિકરનો ઉપયોગ કરીને,$O$ ને કેન્દ્ર અને $OB$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $C$ પર છેદે છે. આમ,$C$ એ $\sqrt{13}$ ને અનુરૂપ બિંદુ છે.

(B) ધારો કે $x = 0.12333\ldots$ (સમીકરણ $1$)
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે $10$ વડે ગુણતા: $10x = 1.2333\ldots$ (સમીકરણ $2$)
અનાવૃત ભાગ પછી દશાંશ ચિહ્ન લાવવા માટે સમીકરણ $1$ ને $100$ વડે ગુણતા: $100x = 12.333\ldots$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 12.333\ldots - 1.2333\ldots$
$90x = 11.1$
$x = \frac{11.1}{90} = \frac{111}{900}$
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{111 \div 3}{900 \div 3} = \frac{37}{300}$
આમ,$0.12 \overline{3} = \frac{37}{300}$.

(A) પદાવલિ $(3 \sqrt{5}-5 \sqrt{2})(4 \sqrt{5}+3 \sqrt{2})$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું:
$= (3 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{5}) + (3 \sqrt{5} \times 3 \sqrt{2}) - (5 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{5}) - (5 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2})$
$= (12 \times 5) + (9 \sqrt{10}) - (20 \sqrt{10}) - (15 \times 2)$
$= 60 + 9 \sqrt{10} - 20 \sqrt{10} - 30$
$= (60 - 30) + (9 \sqrt{10} - 20 \sqrt{10})$
$= 30 - 11 \sqrt{10}$

(B) $\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું,જેમાં અંશ અને છેદને $(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{6}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} = \frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}$
નિત્યસમ $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $(3 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{3})^2 = (9 \times 2) - (4 \times 3) = 18 - 12 = 6$ થશે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{6(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{6} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ મળે છે.
આને આપેલા સમીકરણ $3 \sqrt{2} - a \sqrt{3} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-a \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ મળે છે.
બંને બાજુને $-\sqrt{3}$ વડે ભાગતા,આપણને $a = -2$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\left[5\left(8^{\frac{1}{3}}+27^{\frac{1}{3}}\right)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
સૌ પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપો:
$8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$
$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \left[5(2+3)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5(5)^{3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^1 \cdot 5^3\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^{1+3}\right]^{\frac{1}{4}}$
$= \left[5^4\right]^{\frac{1}{4}}$
$= 5^{4 \cdot \frac{1}{4}}$
$= 5^1 = 5$

(A) $(i)$ $x^{2}=5 \Rightarrow x=\sqrt{5},$ જે એક અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે $\sqrt{5}$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
$(ii)$ $y^{2}=9 \Rightarrow y=\sqrt{9}=3,$ જે એક સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તેને $\frac{3}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$(iii)$ $z^{2}=0.04 \Rightarrow z=\sqrt{0.04}=0.2,$ જે એક સંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તે શાંત દશાંશ છે અને તેને $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$(iv)$ $u^{2}=\frac{17}{4} \Rightarrow u=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}.$ કારણ કે $\sqrt{17}$ પૂર્ણાંક નથી,તેથી $u$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $-1$ અને $-2$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે તેમને સમાન છેદ ધરાવતા અપૂર્ણાંકો તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ધારો કે સંખ્યાઓ $-1 = -10/10$ અને $-2 = -20/10$ છે.
$-20/10$ અને $-10/10$ ની વચ્ચેની કોઈપણ ત્રણ સંખ્યાઓ સંમેય સંખ્યાઓ છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$-11/10, -12/10, -13/10$ એ $-1$ અને $-2$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આને $-1.1, -1.2, -1.3$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(A) $0.1$ અને $0.11$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે તેમને વધુ અંકોવાળા દશાંશ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ.
$0.1 = 0.100$
$0.11 = 0.110$
હવે,આપણે $0.100$ અને $0.110$ ની વચ્ચેની સંખ્યાઓ સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ.
આવી ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $0.101, 0.102$ અને $0.103$ છે.

(A) $\frac{5}{7}$ અને $\frac{6}{7}$ ની વચ્ચે ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે બંને અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદને $(3+1) = 4$ અથવા $10$ જેવી કોઈ મોટી સંખ્યા વડે ગુણી શકીએ છીએ.
$10$ વડે ગુણતા:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 10}{7 \times 10} = \frac{50}{70}$
$\frac{6}{7} = \frac{6 \times 10}{7 \times 10} = \frac{60}{70}$
હવે,આપણે $\frac{50}{70}$ અને $\frac{60}{70}$ ની વચ્ચેની કોઈપણ ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ પસંદ કરી શકીએ છીએ,જેમ કે $\frac{51}{70}, \frac{52}{70}, \text{ અને } \frac{53}{70}$.
આમ,$\frac{5}{7}$ અને $\frac{6}{7}$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{51}{70}, \frac{52}{70}, \text{ અને } \frac{53}{70}$ છે.

(B) $\frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{5}$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે પહેલા તેમના છેદ સમાન બનાવીશું.
$4$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $20$ છે.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} = \frac{5}{20}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 4}{5 \times 4} = \frac{4}{20}$
ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $(3+1) = 4$ વડે ગુણીશું.
$\frac{5}{20} = \frac{5 \times 4}{20 \times 4} = \frac{20}{80}$
$\frac{4}{20} = \frac{4 \times 4}{20 \times 4} = \frac{16}{80}$
$\frac{16}{80}$ અને $\frac{20}{80}$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{17}{80}, \frac{18}{80}, \frac{19}{80}$ છે.
આમ,$\frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{5}$ ની વચ્ચેની ત્રણ સંમેય સંખ્યાઓ $\frac{17}{80}, \frac{18}{80}, \frac{19}{80}$ (અથવા $\frac{9}{40}$) છે.

(A) સંમેય સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. $2$ અને $3$ ની સરેરાશ $\frac{2+3}{2} = 2.5$ છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
અસંમેય સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતી નથી અને તેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત હોય છે.
$2$ અને $3$ ની વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યાનું ઉદાહરણ $2.1010010001...$ (અનંત અને અનાવૃત દશાંશ) છે.

(B) $0.04$ એ શાંત દશાંશ છે અને તે $0$ અને $0.1$ ની વચ્ચે આવેલી છે. તેથી,$0.04$ એ $0$ અને $0.1$ ની વચ્ચેની એક સંમેય સંખ્યા છે.
વળી,$0.003000300003...$ એ અનંત અનાવૃત દશાંશ છે જે $0$ અને $0.1$ ની વચ્ચે આવેલી છે. તેથી,$0.003000300003...$ એ $0$ અને $0.1$ ની વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) $\frac{1}{3}$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચે એક સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તેમને સમાન છેદ સાથે દર્શાવી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$ અને $\frac{1}{2} = \frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}$.
અહીં $\frac{4}{12} < \frac{5}{12} < \frac{6}{12}$ હોવાથી,સંમેય સંખ્યા $\frac{5}{12}$ એ $\frac{1}{3}$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચે આવેલી છે.
અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે અપૂર્ણાંકોને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ:
$\frac{1}{3} = 0.3333\ldots$ અને $\frac{1}{2} = 0.5$.
અસંમેય સંખ્યા એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ સંખ્યા છે. આપણે $0.414114111\ldots$ જેવી સંખ્યા પસંદ કરી શકીએ છીએ,જે $0.3333\ldots$ કરતા મોટી અને $0.5$ કરતા નાની છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,અપૂર્ણાંકોને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવો:
$\frac{-2}{5} = -0.4$ અને $\frac{1}{2} = 0.5$
$1$. સંમેય સંખ્યા:
સંમેય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p, q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. કોઈપણ શાંત દશાંશ એ સંમેય સંખ્યા છે. આપણે $0$ (અથવા $0.1$,$0.2$ વગેરે) પસંદ કરી શકીએ છીએ કારણ કે તે $-0.4$ અને $0.5$ ની વચ્ચે આવે છે.
આમ,$0$ એ $\frac{-2}{5}$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચેની એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2$. અસંમેય સંખ્યા:
અસંમેય સંખ્યા એ અનંત અને અનાવૃત દશાંશ છે. આપણે એક એવી સંખ્યા બનાવી શકીએ જેનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય. ઉદાહરણ તરીકે,$0.1010010001...$ એ $-0.4$ અને $0.5$ ની વચ્ચે આવે છે.
આમ,$0.1010010001...$ એ $\frac{-2}{5}$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચેની એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) સંમેય સંખ્યા એ એવી સંખ્યા છે જેને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$. કોઈપણ શાંત દશાંશ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા છે.
$1.$ $0.15$ અને $0.16$ ની વચ્ચે એક સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $0.151$ જેવી કોઈપણ શાંત દશાંશ સંખ્યા પસંદ કરી શકીએ છીએ. કારણ કે $0.15 < 0.151 < 0.16$,તેથી $0.151$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
$2.$ અસંમેય સંખ્યા એ એવી સંખ્યા છે જેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત (non-terminating and non-recurring) હોય છે. $0.15$ અને $0.16$ ની વચ્ચે એક અસંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે એવી પેટર્ન બનાવી શકીએ જેનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય.
$0.15101101110...$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે કારણ કે તે અનંત અને અનાવૃત છે,અને તે $0.15$ તથા $0.16$ ની વચ્ચે આવેલી છે.