Mix Examples - Number Systems Questions in Hindi

(N/A) $0. \overline{3}$ और $0.4 \overline{7}$ को जोड़ने के लिए,पहले उन्हें भिन्न में बदलें।
$0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$0.4 \overline{7} = \frac{47 - 4}{90} = \frac{43}{90}$
अब,दोनों भिन्नों को जोड़ें:
$\frac{1}{3} + \frac{43}{90} = \frac{30}{90} + \frac{43}{90} = \frac{73}{90}$
$\frac{73}{90}$ को दशमलव रूप में बदलने पर:
$73 \div 90 = 0.8111... = 0.8 \overline{1}$

(N/A) चरण $1$: $0.\overline{52}$ को भिन्न में बदलें।
माना $x = 0.525252...$ $(i)$
$100x = 52.525252...$ (ii)
(ii) में से $(i)$ घटाने पर: $99x = 52$,अतः $x = \frac{52}{99}$।
चरण $2$: $0.4\overline{6}$ को भिन्न में बदलें।
माना $y = 0.4666...$ (iii)
$10y = 4.666...$ (iv)
$100y = 46.666...$ $(v)$
$(v)$ में से (iv) घटाने पर: $90y = 42$,अतः $y = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$।
चरण $3$: भिन्नों को घटाएं।
$\frac{52}{99} - \frac{7}{15} = \frac{52 \times 5 - 7 \times 33}{495} = \frac{260 - 231}{495} = \frac{29}{495}$।
चरण $4$: दशमलव में बदलें।
$\frac{29}{495} = 0.0585858... = 0.0\overline{58}$।

(N/A) माना $x = 0.1\overline{6}$. इसे $x = 0.1666...$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $1$)।
दशमलव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करें:
$10x = 1.6666...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाएं:
$10x - x = (1.6666...) - (0.1666...)$
$9x = 1.5$
$x = \frac{1.5}{9}$
दशमलव हटाने के लिए,अंश और हर को $10$ से गुणा करें:
$x = \frac{15}{90}$
अंश और हर को $15$ से विभाजित करके भिन्न को सरल करें:
$x = \frac{1}{6}$।
अतः,$0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$ सिद्ध होता है।

(N/A) माना कि $x = 0.142857142857...$ (समीकरण $1$).
चूँकि $6$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है,इसलिए समीकरण $1$ के दोनों पक्षों को $10^6 = 1,000,000$ से गुणा करने पर:
$1,000,000x = 142857.142857142857...$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1,000,000x - x = 142857.142857... - 0.142857...$
$999,999x = 142857$.
$x = \frac{142857}{999999}$.
अंश और हर को $142857$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{1}{7}$.
अतः,$0.\overline{142857} = \frac{1}{7}$.

(N/A) माना कि $x = 0.\overline{076923}$ है।
इसे $x = 0.076923076923...$ के रूप में लिखा जा सकता है (समीकरण $1$)।
चूंकि $6$ अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए दोनों पक्षों को $10^6 = 1,000,000$ से गुणा करने पर:
$1,000,000x = 76923.076923076923...$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$1,000,000x - x = 76923.076923... - 0.076923...$
$999,999x = 76923$.
$x = \frac{76923}{999999}$.
अंश और हर को $76923$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{76923 \div 76923}{999999 \div 76923} = \frac{1}{13}$.
अतः, $0.\overline{076923} = \frac{1}{13}$ सिद्ध होता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $2.64444$ को दर्शाने के लिए,हम उत्तरोत्तर आवर्धन (successive magnification) की प्रक्रिया का उपयोग करते हैं:
$1$. चूंकि $2.64444$,$2$ और $3$ के बीच स्थित है,हम $2$ और $3$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $2.6$ तथा $2.7$ को चिह्नित करते हैं।
$2$. अब,$2.64444$,$2.6$ और $2.7$ के बीच स्थित है। हम इस क्षेत्र को आवर्धित करते हैं और $2.64$ तथा $2.65$ को खोजने के लिए इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
$3$. इसके बाद,$2.64444$,$2.64$ और $2.65$ के बीच स्थित है। हम इस क्षेत्र को आवर्धित करते हैं और $2.644$ तथा $2.645$ को खोजने के लिए इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं।
$4$. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,$2.64444$,$2.644$ और $2.645$ के बीच स्थित है। हम $2.6444$ और $2.6445$ को खोजने के लिए इस क्षेत्र को आवर्धित करते हैं।
$5$. अंत में,हम संख्या रेखा पर $2.64444$ बिंदु को खोजने के लिए $2.6444$ और $2.6445$ के बीच के क्षेत्र को आवर्धित करते हैं।

(N/A) चरण $1$: संख्या रेखा पर $2.3$ और $2.4$ को ज्ञात कीजिए। $2.3$ और $2.4$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित कीजिए। पहला निशान $2.31$ को दर्शाता है,दूसरा $2.32$ को,और इसी प्रकार आगे बढ़ें।
चरण $2$: संख्या रेखा पर $2.36$ और $2.37$ को ज्ञात कीजिए। $2.36$ और $2.37$ के बीच की दूरी को $10$ बराबर भागों में विभाजित कीजिए।
चरण $3$: $2.36$ और $2.37$ के बीच का $5$वाँ निशान $2.365$ को दर्शाता है।

(N/A) संख्या रेखा पर उत्तरोत्तर आवर्धन का उपयोग करके $-4.126$ को देखने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. चूँकि $-4.126$,$-4$ और $-5$ के बीच स्थित है,हम $-4$ और $-5$ के बीच के भाग को $10$ बराबर भागों में विभाजित करते हैं और $-4.1$ तथा $-4.2$ को चिह्नित करते हैं।
$2$. अब,$-4.126$,$-4.1$ और $-4.2$ के बीच स्थित है। हम इस भाग को आवर्धित (magnify) करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $-4.12$ और $-4.13$ को चिह्नित करते हैं।
$3$. अंत में,$-4.126$,$-4.12$ और $-4.13$ के बीच स्थित है। हम इस भाग को पुनः आवर्धित करते हैं और इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करके $-4.126$ को निरूपित करने वाले बिंदु को सटीक रूप से प्राप्त करते हैं।

$3.\overline{42}$ को $4$ दशमलव स्थानों तक निरूपित करने के लिए, हमें संख्या रेखा पर $3.4242$ को खोजना होगा।
चरण $1$: $3.4242$, $3$ और $4$ के बीच स्थित है। अंतराल $[3, 4]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें और अंतराल $[3.4, 3.5]$ को आवर्धित करें।
चरण $2$: $3.4242$, $3.4$ और $3.5$ के बीच स्थित है। अंतराल $[3.4, 3.5]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें और अंतराल $[3.42, 3.43]$ को आवर्धित करें।
चरण $3$: $3.4242$, $3.42$ और $3.43$ के बीच स्थित है। अंतराल $[3.42, 3.43]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें और अंतराल $[3.424, 3.425]$ को आवर्धित करें।
चरण $4$: $3.4242$, $3.424$ और $3.425$ के बीच स्थित है। अंतराल $[3.424, 3.425]$ को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें। बिंदु $3.4242$, $3.424$ के बाद दूसरा निशान है।

(D) उत्तरोत्तर आवर्धन का उपयोग करके संख्या रेखा पर $5.4949$ को दर्शाने के लिए:
$1$. $5$ और $6$ के बीच $5.4949$ का स्थान निर्धारित करें। $5.4$ और $5.5$ प्राप्त करने के लिए अंतराल को $10$ बराबर भागों में विभाजित करें।
$2$. $5.4$ और $5.5$ के बीच के अंतराल को आवर्धित करें। $5.49$ और $5.50$ का स्थान निर्धारित करने के लिए इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करें।
$3$. $5.49$ और $5.50$ के बीच के अंतराल को आवर्धित करें। $5.494$ और $5.495$ का स्थान निर्धारित करने के लिए इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करें।
$4$. $5.494$ और $5.495$ के बीच के अंतराल को आवर्धित करें। इसे $10$ बराबर भागों में विभाजित करें। बिंदु $5.4949$,$5.494$ और $5.495$ के बीच,विशेष रूप से $9$ वें उप-विभाजन पर स्थित है।

(A) दिए गए व्यंजकों को जोड़ने के लिए,हम $\sqrt{3}$ और $\sqrt{5}$ वाले समान पदों को एक साथ समूहित करते हैं।
$(4 \sqrt{3}+2 \sqrt{5})+(6 \sqrt{3}-4 \sqrt{5})$
$= (4 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}) + (2 \sqrt{5}-4 \sqrt{5})$
$= (4+6) \sqrt{3} + (2-4) \sqrt{5}$
$= 10 \sqrt{3} - 2 \sqrt{5}$

(B) $3 \sqrt{7}$ और $5 \sqrt{7}$ का गुणा करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: गुणांकों (वर्गमूल के बाहर की संख्याओं) का गुणा करें: $3 \times 5 = 15$.
चरण $2$: वर्गमूल वाले पदों का गुणा करें: $\sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7$.
चरण $3$: चरण $1$ और चरण $2$ से प्राप्त परिणामों का गुणा करें: $15 \times 7 = 105$.
अतः,$3 \sqrt{7} \times 5 \sqrt{7} = 105$.

(A) $12 \sqrt{30}$ को $3 \sqrt{5}$ से विभाजित करने के लिए,हम इसे एक भिन्न के रूप में लिखते हैं:
$\frac{12 \sqrt{30}}{3 \sqrt{5}}$
हम गुणांकों को सरल कर सकते हैं: $\frac{12}{3} = 4$.
इसके बाद,हम $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ गुणधर्म का उपयोग करके वर्गमूल को सरल करते हैं:
$\sqrt{\frac{30}{5}} = \sqrt{6}$
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $4 \times \sqrt{6} = 4 \sqrt{6}$ प्राप्त होता है।

(A) व्यंजक $(3+\sqrt{5})(4-\sqrt{11})$ को सरल करने के लिए,हम योग पर गुणन के वितरण नियम का उपयोग करेंगे:
$(3+\sqrt{5})(4-\sqrt{11}) = 3(4-\sqrt{11}) + \sqrt{5}(4-\sqrt{11})$
$= (3 \times 4) - (3 \times \sqrt{11}) + (\sqrt{5} \times 4) - (\sqrt{5} \times \sqrt{11})$
$= 12 - 3\sqrt{11} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5 \times 11}$
$= 12 - 3\sqrt{11} + 4\sqrt{5} - \sqrt{55}$

(A) व्यंजक $(\sqrt{15}+\sqrt{7})(\sqrt{15}-\sqrt{7})$ को सरल करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \sqrt{15}$ और $b = \sqrt{7}$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर:
$(\sqrt{15})^2 - (\sqrt{7})^2 = 15 - 7 = 8$.

(A) व्यंजक $(\sqrt{11}-\sqrt{3})^{2}$ को सरल करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = \sqrt{11}$ और $b = \sqrt{3}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{11}-\sqrt{3})^{2} = (\sqrt{11})^{2} - 2(\sqrt{11})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^{2}$
$= 11 - 2\sqrt{11 \times 3} + 3$
$= 11 - 2\sqrt{33} + 3$
$= 14 - 2\sqrt{33}$

(N/A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5})$ से गुणा करें।
$\frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}} = \frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}} \times \frac{5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}}{5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{(5 \sqrt{3})^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{75-45}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{30}$
$= 5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}$

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(5-2 \sqrt{3})$ से गुणा करें।
$\frac{1}{5+2 \sqrt{3}} = \frac{1}{5+2 \sqrt{3}} \times \frac{5-2 \sqrt{3}}{5-2 \sqrt{3}}$
हर में सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{(5)^2 - (2 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{25 - (4 \times 3)}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{25 - 12}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{13}$

हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) यानी $\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m$ से गुणा करें।
$\frac{n^{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}+m} = \frac{n^{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}+m} \times \frac{\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m}$
हर में $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{(\sqrt{m^{2}+n^{2}})^{2} - (m)^{2}}$
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{m^{2}+n^{2}-m^{2}}$
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{n^{2}}$
$= \sqrt{m^{2}+n^{2}}-m$

(A) दिया गया है: $\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}}=a+b \sqrt{30}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6})$ से गुणा करें:
$\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}} \times \frac{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}=a+b \sqrt{30}$
हर में $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{(2 \sqrt{6}-\sqrt{5})(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6})}{(3 \sqrt{5})^{2}-(2 \sqrt{6})^{2}}=a+b \sqrt{30}$
अंश का विस्तार करने पर:
$(2 \sqrt{6})(3 \sqrt{5}) + (2 \sqrt{6})(2 \sqrt{6}) - (\sqrt{5})(3 \sqrt{5}) - (\sqrt{5})(2 \sqrt{6}) = 6 \sqrt{30} + 24 - 15 - 2 \sqrt{30} = 9 + 4 \sqrt{30}$
हर की गणना करने पर:
$(3 \sqrt{5})^2 - (2 \sqrt{6})^2 = 45 - 24 = 21$
अतः,$\frac{9+4 \sqrt{30}}{21} = a+b \sqrt{30}$
$\frac{9}{21} + \frac{4 \sqrt{30}}{21} = a+b \sqrt{30}$
$\frac{3}{7} + \frac{4}{21} \sqrt{30} = a+b \sqrt{30}$
परिमेय और अपरिमेय भागों की तुलना करने पर,हमें $a=\frac{3}{7}$ और $b=\frac{4}{21}$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया है: $x = 5 + 2\sqrt{6}$.
सबसे पहले,$\frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} \times \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5 - 2\sqrt{6}$.
अब,$x + \frac{1}{x}$ की गणना करें:
$x + \frac{1}{x} = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$.
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ज्ञात करने के लिए:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = (10)^{2} - 2 = 100 - 2 = 98$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ ज्ञात करने के लिए:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3(x + \frac{1}{x}) = (10)^{3} - 3(10) = 1000 - 30 = 970$.

(N/A) दिए गए व्यंजकों को जोड़ने के लिए,हम समान पदों को एक साथ रखते हैं:
$(4 \sqrt{6}-8 \sqrt{10}) + (3 \sqrt{6}+12 \sqrt{10})$
$= (4 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}) + (-8 \sqrt{10} + 12 \sqrt{10})$
$= (4 + 3) \sqrt{6} + (-8 + 12) \sqrt{10}$
$= 7 \sqrt{6} + 4 \sqrt{10}$

(A) $5 \sqrt{3}$ और $4 \sqrt{12}$ का गुणा करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
$1$. व्यंजक को $(5 \sqrt{3}) \times (4 \sqrt{12})$ के रूप में लिखें।
$2$. गुणांकों का गुणा करें: $5 \times 4 = 20$।
$3$. करणी (radicals) का गुणा करें: $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36}$।
$4$. वर्गमूल की गणना करें: $\sqrt{36} = 6$।
$5$. परिणामों का गुणा करें: $20 \times 6 = 120$।
अतः,गुणनफल $120$ है।

(B) व्यंजक $5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{8} - 3 \sqrt{32} + 4 \sqrt{128}$ को सरल करने के लिए, हम प्रत्येक करणी (radical) पद को सरल करते हैं:
$1$. $5 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$
$2$. $2 \sqrt{8} = 2 \sqrt{4 \times 2} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$
$3$. $3 \sqrt{32} = 3 \sqrt{16 \times 2} = 3 \times 4 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2}$
$4$. $4 \sqrt{128} = 4 \sqrt{64 \times 2} = 4 \times 8 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2}$
अब, इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2} + 32 \sqrt{2}$
गुणांकों को संयोजित करने पर:
$(5 + 4 - 12 + 32) \sqrt{2} = 29 \sqrt{2}$

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ से गुणा करें।
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5 - 3}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

(A) $\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{6}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{10}-\sqrt{6})$ से गुणा करें।
$\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{10-6}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{4}$
$= \sqrt{10}-\sqrt{6}$

(N/A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$ से गुणा करेंगे।
$\frac{18}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} \times \frac{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(9 \times 2) - (4 \times 3)}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{18 - 12}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{6}$
$= 3(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})$

(A) $\frac{1}{7-4 \sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण करने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी $7+4 \sqrt{3}$ से गुणा करेंगे।
$\frac{1}{7-4 \sqrt{3}} \times \frac{7+4 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} = \frac{7+4 \sqrt{3}}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{49 - 48}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{1}$
$= 7+4 \sqrt{3}$

$(17+12 \sqrt{2})$ हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(3+2 \sqrt{2})$ से गुणा करें।
$\frac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}} \times \frac{3+2 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}$
$= \frac{(3+2 \sqrt{2})^2}{(3)^2 - (2 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{3^2 + (2 \sqrt{2})^2 + 2(3)(2 \sqrt{2})}{9 - (4 \times 2)}$
$= \frac{9 + 8 + 12 \sqrt{2}}{9 - 8}$
$= \frac{17 + 12 \sqrt{2}}{1}$
$= 17 + 12 \sqrt{2}$

(A) हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(5-2 \sqrt{6})$ से गुणा करें।
$\frac{5-2 \sqrt{6}}{5+2 \sqrt{6}} \times \frac{5-2 \sqrt{6}}{5-2 \sqrt{6}}$
$= \frac{(5-2 \sqrt{6})^2}{(5)^2 - (2 \sqrt{6})^2}$
$= \frac{5^2 - 2(5)(2 \sqrt{6}) + (2 \sqrt{6})^2}{25 - (4 \times 6)}$
$= \frac{25 - 20 \sqrt{6} + 24}{25 - 24}$
$= \frac{49 - 20 \sqrt{6}}{1}$
$= 49 - 20 \sqrt{6}$

(A) दी गई अभिव्यक्ति $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$ है।
हम इसे $\sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
यह $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के बराबर है।
हर का परिमेयकरण करने पर,हमें $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ प्राप्त होता है।
$\sqrt{2} = 1.4142$ का मान रखने पर,हमें $\frac{1.4142}{2} = 0.7071$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\sqrt{5} = 2.236$ है।
हमें $\frac{4 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक को $\frac{4}{\sqrt{5}} - 1$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
$\sqrt{5}$ का मान रखने पर: $\frac{4}{2.236} - 1$।
$\frac{4}{2.236}$ की गणना करने पर $\approx 1.788895$ प्राप्त होता है।
इस मान से $1$ घटाने पर $1.788895 - 1 = 0.788895$ प्राप्त होता है।
चार दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.7889$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,$\frac{4 - 2.236}{2.236} = \frac{1.764}{2.236} \approx 0.788886$ की गणना करने पर,चार दशमलव स्थानों तक $0.7889$ मिलता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$0.7888$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(N/A) दिया गया है कि $x = 3 + 2\sqrt{2}$।
सबसे पहले,$\frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} \times \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}$।
अब,$x + \frac{1}{x}$ की गणना करें:
$x + \frac{1}{x} = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$।
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ का उपयोग करें:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = (6)^{2} - 2 = 36 - 2 = 34$।
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x + \frac{1}{x})$ का उपयोग करें:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3(x + \frac{1}{x}) = (6)^{3} - 3(6) = 216 - 18 = 198$।
अतः,मान $34$ और $198$ हैं।

(D) दिया गया है $x = 7 - 4\sqrt{3}$।
सबसे पहले,$\frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} \times \frac{7 + 4\sqrt{3}}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4\sqrt{3}$।
अब,$x + \frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$x + \frac{1}{x} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14$।
हम जानते हैं कि $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$।
अतः,$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (14)^{2} - 2 = 196 - 2 = 194$।

(A) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=a+b \sqrt{35}$ को हल करने के लिए,हम अंश और हर को $(\sqrt{7}+\sqrt{5})$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं।
$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}$
$= \frac{7+5+2\sqrt{35}}{7-5}$
$= \frac{12+2\sqrt{35}}{2}$
$= 6+\sqrt{35}$
$6+\sqrt{35}$ की तुलना $a+b\sqrt{35}$ से करने पर,हमें $a=6$ और $b=1$ प्राप्त होता है।

(N/A) इसे हल करने के लिए,हम व्यंजक के प्रत्येक पद का परिमेयकरण करेंगे।
चरण $1$: पहले पद का परिमेयकरण: $\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$.
चरण $2$: दूसरे पद का परिमेयकरण: $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
चरण $3$: तीसरे पद का परिमेयकरण: $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{4}-\sqrt{3} = 2-\sqrt{3}$.
चरण $4$: परिणामों को जोड़ें: $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{3})$.
चरण $5$: व्यंजक को सरल करें: $\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} = -1 + 2 = 1$.
अतः,व्यंजक का मान $1$ है।

(A) और $b$ के मान ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए व्यंजक के हर का परिमेयकरण करते हैं:
$\frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}}$
$= \frac{(5+3 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 21 \sqrt{3} - 12(3)}{49 - 16(3)}$
$= \frac{35 + \sqrt{3} - 36}{49 - 48}$
$= \frac{-1 + \sqrt{3}}{1}$
$= -1 + 1 \sqrt{3}$
इसकी तुलना $a+b \sqrt{3}$ से करने पर,हमें $a = -1$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।

(N/A) दिया गया है $x = 2 + \sqrt{3}.$
सबसे पहले,$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ज्ञात करें।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.$
अब,$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4.$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ का उपयोग करें।
$4^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies 16 = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 14.$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x + \frac{1}{x})$ का उपयोग करें।
$4^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(4) \implies 64 = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 12 \implies x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 52.$
अतः,मान $14$ और $52$ हैं।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{8.2}$ को निरूपित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. संख्या रेखा पर $AB = 8.2 \text{ इकाई}$ का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से एक बिंदु $C$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 9.2 \text{ इकाई}$ होगा।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। दूरी $AO = OC = 4.6 \text{ इकाई}$ होगी।
$4$. $O$ को केंद्र मानकर और $OA$ (या $OC$) को त्रिज्या लेकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर रेखा $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है।
$6$. $BD$ की लंबाई $\sqrt{8.2}$ के बराबर है।
$7$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर,संख्या रेखा पर एक चाप खींचिए। जिस बिंदु पर चाप संख्या रेखा को काटता है,वह $\sqrt{8.2}$ को निरूपित करता है।

(N/A) संख्या रेखा पर $\sqrt{5.6}$ को निरूपित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. संख्या रेखा पर $AB = 5.6 \text{ इकाई}$ का एक रेखाखंड खींचिए।
$2$. बिंदु $B$ से $C$ तक एक ऐसा बिंदु अंकित कीजिए कि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 6.6 \text{ इकाई}$ होगा।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। दूरी $AO = OC = 3.3 \text{ इकाई}$ होगी।
$4$. $O$ को केंद्र मानकर और $3.3 \text{ इकाई}$ की त्रिज्या लेकर $A$ और $C$ से गुजरता हुआ एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है।
$6$. $BD$ की लंबाई $\sqrt{5.6}$ के बराबर है।
$7$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर संख्या रेखा पर एक चाप लगाइए। जिस बिंदु पर चाप संख्या रेखा को काटता है,वह $\sqrt{5.6}$ को निरूपित करता है।

(A) संख्या रेखा पर $\sqrt{7.5}$ को निरूपित करने के लिए,निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. $7.5 \text{ इकाई}$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए।
$2$. रेखाखंड $AB$ को $1 \text{ इकाई}$ आगे बढ़ाकर बिंदु $C$ प्राप्त कीजिए,ताकि $BC = 1 \text{ इकाई}$ हो। अब,$AC = 8.5 \text{ इकाई}$ होगा।
$3$. $AC$ का मध्य-बिंदु $O$ ज्ञात कीजिए। दूरी $AO = OC = 4.25 \text{ इकाई}$ होगी।
$4$. $O$ को केंद्र और $OA$ को त्रिज्या मानकर एक अर्धवृत्त खींचिए।
$5$. बिंदु $B$ पर रेखा $AC$ के लंबवत एक रेखा खींचिए,जो अर्धवृत्त को बिंदु $D$ पर काटती है।
$6$. $BD$ की लंबाई $\sqrt{7.5}$ के बराबर होगी।
$7$. $B$ को केंद्र और $BD$ को त्रिज्या मानकर संख्या रेखा पर एक चाप लगाइए,जो $\sqrt{7.5}$ को निरूपित करने वाला बिंदु होगा।

(D) $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को $(2-\sqrt{2})$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करेंगे:
$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2} = \sqrt{2} - 1$
दिया गया है कि $\sqrt{2} = 1.414$,इसलिए यह मान रखने पर:
$1.414 - 1 = 0.414$
अतः,सही मान $0.414$ है।

(A) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश और हर को $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं।
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
दिया गया है $\sqrt{3} = 1.732$ और $\sqrt{2} = 1.414$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$1.732 - 1.414 = 0.318$
अतः,मान $0.318$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2}$
हम $\sqrt{10}$ को $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,व्यंजक इस प्रकार होगा: $\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{5} - \sqrt{5}}{2}$
अंश से $\sqrt{5}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)}{2}$
दिए गए मान $\sqrt{5} = 2.236$ और $\sqrt{2} = 1.414$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2.236(1.414 - 1)}{2}$
$= \frac{2.236(0.414)}{2}$
$= 1.118 \times 0.414$
$= 0.462852$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.463$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{4}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}} + \frac{3}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}$
पहले पद का परिमेयकरण करने पर: $\frac{4(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})} = \frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}}{27-8} = \frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}}{19}$
दूसरे पद का परिमेयकरण करने पर: $\frac{3(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})} = \frac{9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{27-8} = \frac{9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{19}$
दोनों पदों को जोड़ने पर: $\frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2} + 9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{19} = \frac{21 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{19}$
$\sqrt{3} = 1.732$ और $\sqrt{2} = 1.414$ का मान रखने पर:
$= \frac{21(1.732) + 2(1.414)}{19} = \frac{36.372 + 2.828}{19} = \frac{39.2}{19} \approx 2.06315...$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $2.063$ प्राप्त होता है।

(D) $3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}$ को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियम का उपयोग करते हैं: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$।
इस नियम को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}$
$= 3^{\frac{2+4}{3}}$
$= 3^{\frac{6}{3}}$
$= 3^2$
$= 9$

(A) व्यंजक $\left(4^{\frac{1}{5}}\right)^{3}$ को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियम का उपयोग करते हैं: $(a^m)^n = a^{m \times n}$।
इस नियम को लागू करने पर:
$\left(4^{\frac{1}{5}}\right)^{3} = 4^{\frac{1}{5} \times 3}$
$= 4^{\frac{3}{5}}$
अतः,सरल रूप $4^{\frac{3}{5}}$ है।

(A) व्यंजक $\frac{11^{\frac{1}{3}}}{11^{\frac{1}{5}}}$ को सरल करने के लिए,हम घातांक के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$।
इस नियम को लागू करने पर,हमें $11^{\frac{1}{3} - \frac{1}{5}}$ प्राप्त होता है।
घातांक में भिन्नों को घटाने के लिए,हम उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं,जो $15$ है।
अतः,$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$।
इसलिए,सरल रूप $11^{\frac{2}{15}}$ है।

(A) घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,$a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$.
दी गई अभिव्यक्ति: $7^{\frac{1}{4}} \cdot 12^{\frac{1}{4}}$.
नियम लागू करने पर: $(7 \times 12)^{\frac{1}{4}}$.
गुणनफल ज्ञात करने पर: $84^{\frac{1}{4}}$.

(D) $64^{\frac{2}{3}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले $64$ को $2$ या $4$ की घात के रूप में व्यक्त करते हैं।
चूंकि $64 = 4^3$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}}$.
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4^{3 \times \frac{2}{3}} = 4^2$.
मान की गणना करने पर,$4^2 = 16$।