Centre of mass (Point Mass) Questions in Gujarati

(A) કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ તંત્રના તમામ કણોના ભારિત સરેરાશ સ્થાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$n$ કણો ધરાવતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,જેમના દળ $m_1, m_2, ..., m_n$ છે અને સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ છે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}$ નો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ છે:
$\vec{R} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + ... + m_n\vec{r}_n}{m_1 + m_2 + ... + m_n}$
આને સરવાળાના સંકેતમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\vec{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{r}_i$
જ્યાં $M = \sum m_i$ એ દ્રઢ પદાર્થનું કુલ દળ છે.

(N/A) ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,દળ તત્વ $dm$ એ કોઈ સતત પદાર્થના કુલ દળ $M$ નો અત્યંત સૂક્ષ્મ ભાગ દર્શાવે છે.
જ્યારે આપણે એવા પદાર્થો સાથે કામ કરીએ છીએ જેમાં દળનું સતત વિતરણ હોય (જેમ કે સળિયો,તકતી અથવા ગોળો),ત્યારે આપણે અલગ-અલગ કણોનો સરવાળો કરી શકતા નથી જેમ આપણે અલગ કણોની સિસ્ટમમાં કરીએ છીએ.
તેના બદલે,આપણે પદાર્થને આવા અસંખ્ય નાના તત્વો $dm$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ.
પદાર્થનું કુલ દળ $M$ પછી આ તત્વોનું પદાર્થના સમગ્ર કદ,ક્ષેત્રફળ અથવા લંબાઈ પર સંકલન (integration) કરીને મેળવવામાં આવે છે: $M = \int dm$.
આ ખ્યાલ સતત પદાર્થોના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર,જડત્વની ચાકમાત્રા અને ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાનની ગણતરી કરવામાં પાયારૂપ છે.

(B) સામાન્ય પદાર્થને માત્ર એક કણ તરીકે ગણવાને બદલે કણોના તંત્ર તરીકે ગણવામાં આવે છે.
સામાન્ય પદાર્થને કણોના તંત્ર તરીકે ગણીને,આપણે એવું માનીએ છીએ કે પદાર્થનું સમગ્ર દળ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલું છે.
પદાર્થ પર લાગતા તમામ બાહ્ય બળો આ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા હોવાનું માનવામાં આવે છે.
આ ધારણા આપણને ન્યૂટનના ગતિના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે.

(N/A) જે બિંદુ પર પદાર્થનું સમગ્ર વજન કેન્દ્રિત થયેલું ગણી શકાય,તે બિંદુને ગુરુત્વકેન્દ્ર $(CG)$ કહેવામાં આવે છે.
અનિયમિત આકારનું કાર્ડબોર્ડ અને પેન્સિલ જેવી સાંકડી અણીવાળી વસ્તુ લો. કાર્ડબોર્ડ પર બિંદુ $G$ શોધો જ્યાં તેને પેન્સિલની અણી પર સંતુલિત કરી શકાય. આ સંતુલન બિંદુ એ કાર્ડબોર્ડનું ગુરુત્વકેન્દ્ર $(CG)$ છે.
પેન્સિલની અણી શિરોલંબ ઉપરની તરફ બળ આપે છે,જેના કારણે કાર્ડબોર્ડ યાંત્રિક સંતુલનમાં રહે છે. અણીની પ્રતિક્રિયા એ કાર્ડબોર્ડના કુલ વજન $Mg$ જેટલી અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,તેથી કાર્ડબોર્ડ સ્થાનાંતરિત સંતુલનમાં છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે કાર્ડબોર્ડ પર ટોર્ક લાગે છે. જો નીચેની તરફ લાગતા બળોને કારણે તેના પરનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કાર્ડબોર્ડ ભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે છે.
જો $m_{i}$ એ કાર્ડબોર્ડના $i$-માં કણનું દળ હોય અને $\vec{r}_{i}$ એ ગુરુત્વકેન્દ્રની સાપેક્ષ $i$-માં કણનો સ્થાન સદિશ હોય,તો કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણનું ટોર્ક $\vec{\tau}_{i} = \vec{r}_{i} \times (m_{i} \vec{g})$ છે.
ગુરુત્વકેન્દ્રની આસપાસ પદાર્થ પરનું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.
$\therefore \vec{\tau}_{g} = \sum \vec{\tau}_{i} = \sum (\vec{r}_{i} \times m_{i} \vec{g}) = (\sum m_{i} \vec{r}_{i}) \times \vec{g} = \vec{0}$.
ગુરુત્વકેન્દ્ર પર $\sum m_{i} \vec{r}_{i} = 0$ હોવાથી,કાર્ડબોર્ડ ભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે છે.

(N/A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ એવું બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થનું સમગ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે. તે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રથી સ્વતંત્ર છે.
ગુરુત્વકેન્દ્ર એ એવું બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થનું સમગ્ર વજન કાર્ય કરતું માનવામાં આવે છે. તે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર પર આધાર રાખે છે.
મુખ્ય તફાવતો:
$1$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કોઈપણ કણોની સિસ્ટમ માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,ગુરુત્વાકર્ષણની હાજરીને ધ્યાનમાં લીધા વગર. ગુરુત્વકેન્દ્ર ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$2$. સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને ગુરુત્વકેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોય છે.
$3$. અસમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં મોટા પદાર્થ માટે,ગુરુત્વકેન્દ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અલગ હોઈ શકે છે.
ગુરુત્વકેન્દ્રનું પ્રાયોગિક નિર્ધારણ:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,એક અનિયમિત આકારના પદાર્થને વિવિધ બિંદુઓ $(A, B, C)$ થી લટકાવવામાં આવે છે. લટકાવવાના બિંદુમાંથી પસાર થતી ઉભી રેખા દોરવામાં આવે છે. આ ઉભી રેખાઓ $(AA_1, BB_1, CC_1)$ નું છેદબિંદુ ગુરુત્વકેન્દ્ર $(G)$ આપે છે.

(C) ટોર્ક $\tau$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે,જે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આપણે પદાર્થ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણબળનો વિચાર કરીએ છીએ,ત્યારે આ બળ અસરકારક રીતે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો તેની પોતાની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ શૂન્ય સદિશ $\vec{0}$ છે.
તેથી,$\vec{\tau} = \vec{0} \times \vec{F} = 0$.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણબળને કારણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ એક એવો બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થનું સમગ્ર દળ કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે,જે ફક્ત પદાર્થની અંદરના દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
ગુરુત્વકેન્દ્ર એ એક એવો બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) કાર્ય કરે છે,જે પદાર્થના વિવિધ બિંદુઓ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે.
જો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સમાન હોય (સમગ્ર પદાર્થમાં $g$ અચળ હોય),તો ગુરુત્વકેન્દ્ર અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એક જ બિંદુ પર હોય છે.
જો કે,જો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર અસમાન હોય (પદાર્થમાં અલગ-અલગ જગ્યાએ બદલાતું હોય),તો પદાર્થના વિવિધ ભાગો પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અલગ-અલગ હશે,જેના કારણે ગુરુત્વકેન્દ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી દૂર ખસી જાય છે.
તેથી,જ્યારે પદાર્થ અસમાન ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં હોય ત્યારે તેનું ગુરુત્વકેન્દ્ર અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અલગ-અલગ હોય છે.

(N/A) દઢ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા પદાર્થના દ્રવ્યની અંદર જ હોય તે જરૂરી નથી. તેના ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. વર્તુળાકાર રિંગ: તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે,જે રિંગની અંદરની ખાલી જગ્યામાં હોય છે.
$2$. પોલો નળાકાર: તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નળાકારની અક્ષ પર,તેની અંદરની ખાલી જગ્યામાં હોય છે.
$3$. બંગડી અથવા ફોટો ફ્રેમ: આ પદાર્થોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પણ તેમની રચના દ્વારા ઘેરાયેલી ખાલી જગ્યામાં હોય છે.

(N/A) $\text{દ્રવ્યમાન }\text{કેન્દ્ર} (Center \text{ of } Mass)$ એ એક એવું બિંદુ છે જ્યાં તંત્રની સ્થાનાંતરિત ગતિનું વર્ણન કરવા માટે તંત્રનું સમગ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે. તે માત્ર તંત્રમાં દ્રવ્યમાનના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
$\text{ગુરુત્વકેન્દ્ર }(Center \text{ of } Gravity)$ એ એક એવું બિંદુ છે જ્યાં તંત્ર પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) કાર્ય કરતું માનવામાં આવે છે. તે જે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં તંત્ર મૂકવામાં આવ્યું છે તેના પર આધાર રાખે છે.
મુખ્ય તફાવત: જો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર સમાન (uniform) હોય,તો $\text{દ્રવ્યમાન }\text{કેન્દ્ર}$ અને $\text{ગુરુત્વકેન્દ્ર}$ એક જ બિંદુ પર હોય છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર અસમાન હોય,તો તે અલગ હોઈ શકે છે.

(C) દઢ વસ્તુનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ એક એવું બિંદુ છે જે તંત્રના તમામ દળની સરેરાશ સ્થિતિ દર્શાવે છે.
દઢ વસ્તુ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન પદાર્થના ભૌમિતિક આકાર અને તે કદમાં દળ કેવી રીતે વિતરિત થયેલું છે તેના દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
તેથી,તે દ્રવ્યના વિતરણ અને વસ્તુના આકાર બંને પર આધાર રાખે છે.

(C) $m_1$ અને $m_2$ દ્રવ્યમાન ધરાવતા અને $r_1$ તથા $r_2$ સ્થાન પર રહેલા બે કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R$ નીચે મુજબ મળે છે: $R = \frac{m_1r_1 + m_2r_2}{m_1 + m_2}$.
અહીં આપેલ છે કે બંને કણોના દ્રવ્યમાન સમાન છે,તેથી ધારો કે $m_1 = m_2 = m$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{mr_1 + mr_2}{m + m} = \frac{m(r_1 + r_2)}{2m} = \frac{r_1 + r_2}{2}$.
આ સમીકરણ બંને કણોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુનું સ્થાન દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે નિયમિત $n$-બાજુવાળા બહુકોણનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
જ્યારે $n$ સમાન દળ $m$ ને નિયમિત બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બહુકોણના કેન્દ્ર પર હોય છે,એટલે કે $R_{CM} = 0$.
ધારો કે $r_i$ એ $i$-માં શિરોબિંદુનો સ્થાન સદિશ છે. તો,$\sum_{i=1}^{n} m r_i = 0$.
અહીં આપેલ છે કે $(n-1)$ દળ શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે અને $a$ સ્થાન સદિશ ધરાવતું એક શિરોબિંદુ ખાલી છે.
ધારો કે $R$ એ આ $(n-1)$ દળના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $(n-1)m$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સૂત્ર: $R = \frac{\sum_{i=1}^{n-1} m r_i}{(n-1)m}$.
નિયમિત બહુકોણના ગુણધર્મ મુજબ,તમામ સ્થાન સદિશોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} r_i = 0$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{i=1}^{n-1} r_i + a = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^{n-1} r_i = -a$.
આ કિંમતને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R = \frac{m(-a)}{(n-1)m} = -\frac{a}{n-1}$.

(N/A) ધારો કે $M$ એ અર્ધ-ચકતીનું દળ અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે.
અર્ધ-ચકતી માટે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = \frac{M}{\frac{1}{2} \pi R^2} = \frac{2M}{\pi R^2}$ છે.
$(a)$ અર્ધ-ચકતી:
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈની એક અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ ધ્યાનમાં લો. આ રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = \pi r dr$ છે. આ રીંગનું દળ $dm = \sigma dA = \frac{2M}{\pi R^2} \pi r dr = \frac{2M}{R^2} r dr$ છે.
આ અર્ધવર્તુળાકાર રીંગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, \frac{2r}{\pi})$ પર છે.
$y_{CM} = \frac{1}{M} \int y dm = \frac{1}{M} \int_0^R \frac{2r}{\pi} \left( \frac{2M}{R^2} r dr \right) = \frac{4}{\pi R^2} \int_0^R r^2 dr = \frac{4}{\pi R^2} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{4R}{3\pi}$.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, \frac{4R}{3\pi})$ પર છે.
$(b)$ પા-ચકતી:
$r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈની એક પા-વર્તુળાકાર રીંગ ધ્યાનમાં લો. ક્ષેત્રફળ $dA = \frac{1}{2} \pi r dr$ છે. દળ $dm = \sigma dA = \frac{M}{\frac{1}{4} \pi R^2} \frac{1}{2} \pi r dr = \frac{2M}{R^2} r dr$ છે.
પા-વર્તુળાકાર રીંગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(\frac{2r}{\pi}, \frac{2r}{\pi})$ પર છે.
$x_{CM} = \frac{1}{M} \int x dm = \frac{1}{M} \int_0^R \frac{2r}{\pi} \left( \frac{2M}{R^2} r dr \right) = \frac{4R}{3\pi}$.
સમાનતાને કારણે,$y_{CM} = \frac{4R}{3\pi}$.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(\frac{4R}{3\pi}, \frac{4R}{3\pi})$ પર છે.

(A) $(1)$ માટે, $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણોના તંત્રનું રિડયુસ દળ $\mu$ ને $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે। તેથી, $(1)$ એ $(a)$ સાથે સુસંગત છે.
$(2)$ માટે, $r_1$ અને $r_2$ સ્થાન પર $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। જો $m_1 = m_2 = m$ હોય, તો $R_{cm} = \frac{m(r_1 + r_2)}{2m} = \frac{r_1 + r_2}{2}$ થાય। તેથી, $(2)$ એ $(b)$ સાથે સુસંગત છે.
સાચી જોડ $(1-a, 2-b)$ છે.

(D) ધારો કે $m_1 = 5\, kg$ અને $m_2 = 10\, kg$ એ બે કણોના દળ છે.
ધારો કે $r = 1\, m = 100\, cm$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
ધારો કે $r_1$ એ $5\, kg$ ના કણથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર છે.
દળ $m_1$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના અંતરનું સૂત્ર $r_1 = \frac{m_2 r}{m_1 + m_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $r_1 = \frac{10\, kg \times 100\, cm}{5\, kg + 10\, kg} = \frac{1000}{15}\, cm$.
$r_1 = 66.67\, cm \approx 67\, cm$.

(D) ધારો કે ત્રણ ગોળાઓ $xy$-સમતલમાં $(0, 0)$,$(2, 0)$,અને $(0, 2)$ યામ પર સ્થિત છે.
બધા ગોળાઓનું દળ $M$ સમાન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(x_{cm}, y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{M(0) + M(2) + M(0)}{M + M + M} = \frac{2M}{3M} = \frac{2}{3} \; m$
$y_{cm} = \frac{M(0) + M(0) + M(2)}{M + M + M} = \frac{2M}{3M} = \frac{2}{3} \; m$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{cm} = x_{cm}\hat{i} + y_{cm}\hat{j} = \frac{2}{3}(\hat{i} + \hat{j}) \; m$ છે.

(B) રેખીય દળ ઘનતા $\lambda(x) = ax$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનું દળ $dm = \lambda(x) dx = ax dx$ છે.
સળિયાનું કુલ દળ $M$ એ $0$ થી $L$ સુધીના $dm$ નું સંકલન છે:
$M = \int_{0}^{L} ax dx = a [x^2/2]_{0}^{L} = aL^2/2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x dm = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x (ax dx) = \frac{a}{M} \int_{0}^{L} x^2 dx$.
$X_{cm} = \frac{a}{aL^2/2} [x^3/3]_{0}^{L} = \frac{2}{L^2} \cdot \frac{L^3}{3} = \frac{2L}{3}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $2L/3$ અંતરે છે.

(A) ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણો $x$-અક્ષ પર અનુક્રમે $x_1 = 0$ અને $x_2 = d$ સ્થાન પર મૂકેલા છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
$x_1 = 0$ અને $x_2 = d$ કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{m_1(0) + m_2(d)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$
આ અંતર $m_1$ દળના સ્થાન (જે $x=0$ પર છે) થી માપવામાં આવે છે.

(B) $L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતા સમાન સળિયા માટે જે $x$-અક્ષ પર એક છેડો ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર રહે તેમ મૂકવામાં આવ્યો છે,તેની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ અચળ છે,જે $\lambda = M/L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int x \, dm$
કારણ કે $dm = \lambda \, dx = (M/L) \, dx$,તેથી:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x \cdot \frac{M}{L} \, dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x \, dx = \frac{1}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = L/2$.
સળિયો $x$-અક્ષ પર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $0$ છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L/2, 0)$ પર છે.

(A) ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણો $x$-અક્ષ પર અનુક્રમે $x_1 = 0$ અને $x_2 = d$ સ્થાન પર મૂકેલા છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{m_1(0) + m_2(d)}{m_1 + m_2}$
$X_{cm} = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$
આ અંતર $m_1$ દળના સ્થાન (જે $x=0$ પર છે) થી માપવામાં આવે છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $m_1$ થી $\frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$ અંતરે છે.

(B) $L$ લંબાઈ અને $M$ દળ ધરાવતા સમાન સળિયા માટે જે $x$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુ પર એક છેડા સાથે મૂકવામાં આવ્યો છે,તેની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ અચળ છે અને તે $\lambda = M/L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{cm}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int x \, dm$
સળિયો સમાન હોવાથી,$dm = \lambda \, dx = (M/L) \, dx$ થાય.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x \left( \frac{M}{L} \right) dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x \, dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left( \frac{L^2}{2} - 0 \right) = \frac{L}{2}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $L/2$ પર છે.

(A) ધારો કે $m_1$ દળનો કણ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને $m_2$ દળનો કણ $(d, 0)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
અહીં $x_1 = 0$ અને $x_2 = d$ કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{m_1(0) + m_2(d)}{m_1 + m_2}$
$X_{cm} = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$
આમ,$m_1$ દળ ધરાવતા કણથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $\frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$ છે.

(B) સતત પદાર્થ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નીચેના સંકલન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int x \, dm$
સળિયો સમાન હોવાથી,તેની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ અચળ છે,જ્યાં $\lambda = \frac{M}{L}$.
ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના નાના ખંડ માટે,દળ $dm = \lambda \, dx = \frac{M}{L} dx$ થાય છે.
આ કિંમતને સંકલનમાં મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{1}{M} \int_{0}^{L} x \left( \frac{M}{L} \right) dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} x \, dx$
$X_{cm} = \frac{1}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{L} \left( \frac{L^2}{2} - 0 \right) = \frac{L}{2}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $L/2$ અંતરે છે.

(D) ધારો કે બે કણોના સ્થાન $x_1 = 0$ અને $x_2 = d$ છે.
પ્રારંભિક દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm,i}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm,i} = \frac{m_1(0) + m_2(d)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$
જ્યારે કણોની અદલાબદલી કરવામાં આવે,ત્યારે નવા સ્થાન $x_1' = d$ અને $x_2' = 0$ થાય છે.
નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm,f}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm,f} = \frac{m_1(d) + m_2(0)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 d}{m_1 + m_2}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta X$ એ તફાવતનું મૂલ્ય છે:
$\Delta X = |X_{cm,f} - X_{cm,i}| = |\frac{m_1 d}{m_1 + m_2} - \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}| = \frac{|m_1 - m_2|}{m_1 + m_2} d$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન અર્ધ-વર્તુળાકાર તારનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ સંમિતિની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $\frac{2R}{\pi}$ અંતરે આવેલું હોય છે.
આપેલ છે કે $COM$ નું સ્થાન $\left(0, \frac{x R}{\pi}\right)$ છે.
$y$-યામની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{x R}{\pi} = \frac{2 R}{\pi}$ મળે છે.
તેથી,$x = 2$.
$|x|$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(A) ધારો કે $10\,kg$ દળ ઉગમબિંદુ $(x_1 = 0)$ પર છે અને $20\,kg$ દળ $x_2 = 10\,m$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{CM}$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$X_{CM} = \frac{10 \times 0 + 20 \times 10}{10 + 20}$
$X_{CM} = \frac{200}{30} = \frac{20}{3}\,m$.
આમ,$10\,kg$ ના દળથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $\frac{20}{3}\,m$ છે.

(A) ધારો કે ત્રણ ગોળાઓના સ્થાન મીટરમાં $(0, 0)$,$(3, 0)$ અને $(0, 3)$ છે.
દરેક ગોળાનું દળ $M$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}_{\text{com}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\overrightarrow{r}_{\text{com}} = \frac{M(0\hat{i} + 0\hat{j}) + M(3\hat{i} + 0\hat{j}) + M(0\hat{i} + 3\hat{j})}{M + M + M}$
$\overrightarrow{r}_{\text{com}} = \frac{M(3\hat{i} + 3\hat{j})}{3M} = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j}}{3} = \hat{i} + \hat{j}$
સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય:
$|\overrightarrow{r}_{\text{com}}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
આપેલ છે કે મૂલ્ય $\sqrt{x}$ છે,તેથી $\sqrt{x} = \sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(C) અંતર $x$ પરના નાના ઘટક $dx$ નું દળ $dm = \rho \cdot dx = \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm}$
પ્રથમ,કુલ દળ $M = \int_{0}^{L} \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) dx = \rho_{0} \left[ x - \frac{x^{3}}{3L^{2}} \right]_{0}^{L} = \rho_{0} \left( L - \frac{L}{3} \right) = \frac{2}{3} \rho_{0} L$ ગણો.
ત્યારબાદ,સંકલન $\int x \, dm = \int_{0}^{L} x \cdot \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) dx = \rho_{0} \int_{0}^{L} \left( x - \frac{x^{3}}{L^{2}} \right) dx = \rho_{0} \left[ \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4L^{2}} \right]_{0}^{L} = \rho_{0} \left( \frac{L^{2}}{2} - \frac{L^{2}}{4} \right) = \frac{1}{4} \rho_{0} L^{2}$ ગણો.
હવે,$X_{cm} = \frac{\frac{1}{4} \rho_{0} L^{2}}{\frac{2}{3} \rho_{0} L} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} L = \frac{3L}{8}$.
આને $\frac{3L}{\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 8$ મળે છે.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{com} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\vec{r}_{com} = \frac{1(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + 3(-3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})}{1 + 3}$.
$\vec{r}_{com} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} - 9\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{4} = \frac{-8\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{r}_{com}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
હવે,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ સદિશનું મૂલ્ય તપાસતા: $|-2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{6}$.
આમ,બંનેના મૂલ્યો સમાન છે.

(C) ધારો કે પ્લેટોના પરિમાણો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે. ધારો કે ત્રિકોણનો પાયો અને લંબચોરસની પહોળાઈ $a$ છે,ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ છે અને લંબચોરસની ઊંચાઈ $b$ છે.
આપેલ છે કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $=$ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ:
$\frac{1}{2} a h = a b \Rightarrow \frac{h}{2} = b \Rightarrow \frac{b}{h} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ સામાન્ય બાજુના મધ્યબિંદુ પર છે. ત્રિકોણાકાર ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $y_1 = \frac{h}{3}$ અંતરે ઉપર છે.
લંબચોરસ ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $y_2 = -\frac{b}{2}$ અંતરે નીચે છે.
સંયુક્ત પદાર્થ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે,તેથી $Y_{CM} = 0$.
સૂત્ર $Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$m_1 y_1 + m_2 y_2 = 0 \Rightarrow m_1 \left(\frac{h}{3}\right) + m_2 \left(-\frac{b}{2}\right) = 0$.
$\Rightarrow m_1 \left(\frac{h}{3}\right) = m_2 \left(\frac{b}{2}\right)$.
$\Rightarrow \frac{m_1}{m_2} = \frac{3b}{2h} = \frac{3}{2} \times \frac{b}{h} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.
તેથી,દ્રવ્યમાનનો ગુણોત્તર $m_1 : m_2 = 3 : 4$ છે.

(D) બોટલની સ્થિરતા તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન પર આધાર રાખે છે. જ્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા બોટલના પાયાની બહાર જાય છે ત્યારે બોટલ પલટી જાય છે.
ધારો કે $h_b$ એ બોટલની ઊંચાઈ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $h_s$ એ બોટલમાં રહેલા શેમ્પૂની ઊંચાઈ છે. સિસ્ટમ (બોટલ + શેમ્પૂ) નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પાયાથી $h_{cm}$ ઊંચાઈ પર છે.
ખાલી બોટલનું દળ શેમ્પૂની સરખામણીમાં નગણ્ય માનતા,શેમ્પૂનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_s/2$ પર છે. બોટલ પલટી જવાની શરત $\tan \theta = \frac{R}{h_{cm}}$ છે.
કારણ કે $h_{cm} = h_s/2$ અને $f = h_s/h_b$,તેથી $h_s = f h_b$. આમ,$h_{cm} = \frac{f h_b}{2}$.
આ કિંમત શરતમાં મૂકતા: $\tan \theta = \frac{R}{f h_b / 2} = \frac{2R}{f h_b}$.
જો કે,જો આપણે બોટલનું દળ $(M_b)$ અને શેમ્પૂનું દળ $(M_s = \rho \pi R^2 h_s)$ ધ્યાનમાં લઈએ,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h_{cm} = \frac{M_b (h_b/2) + M_s (h_s/2)}{M_b + M_s}$ થાય છે.
જેમ જેમ $f$ વધે છે,તેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શરૂઆતમાં નીચે જાય છે (સ્થિરતા અને $\theta$ વધે છે) અને પછી ઉપર જાય છે (સ્થિરતા અને $\theta$ ઘટે છે). આ વર્તણૂક એક વક્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જે મહત્તમ સુધી વધે છે અને પછી ઘટે છે,જે આલેખ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) બાજુ $a$ ધરાવતી મૂળ ચોરસ પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર છે. ઉગમબિંદુને મૂળ ચોરસના ઉપરના-જમણા ખૂણા પર ધારો. મૂળ ચોરસના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(x_1, y_1) = (a/2, a/2)$ છે.
ધારો કે $k$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ છે. મૂળ ચોરસનું દળ $m_1 = k a^2$ છે.
કાઢી નાખેલા બાજુ $b$ ધરાવતા ચોરસ ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમાન ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે $(x_2, y_2) = (b/2, b/2)$ પર છે.
કાઢી નાખેલા ભાગનું દળ $m_2 = k b^2$ છે.
બાકી રહેલી $L$-આકારની શીટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બિંદુ $P$ પર છે,જે પસંદ કરેલા ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે $(b, b)$ તરીકે આપવામાં આવ્યું છે.
કેવિટી ધરાવતી સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $X_{CM} = \frac{m_1 x_1 - m_2 x_2}{m_1 - m_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $b = \frac{(k a^2)(a/2) - (k b^2)(b/2)}{k a^2 - k b^2}$.
$b = \frac{a^3 - b^3}{2(a^2 - b^2)}$.
$2b(a^2 - b^2) = a^3 - b^3$.
$2ba^2 - 2b^3 = a^3 - b^3$.
$a^3 - 2ba^2 + b^3 = 0$.
$b^3$ વડે ભાગતા: $(a/b)^3 - 2(a/b)^2 + 1 = 0$.
ધારો કે $x = a/b$. તો $x^3 - 2x^2 + 1 = 0$.
$x=1$ એ એક ઉકેલ હોવાથી,આપણે $(x-1)$ વડે ભાગાકાર કરીએ: $(x-1)(x^2 - x - 1) = 0$.
$a > b$ હોવાથી,$x > 1$,તેથી $x^2 - x - 1 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (ધન ઉકેલ લેતા).
આમ,$a/b = (\sqrt{5} + 1) / 2$.

(A) સિસ્ટમ નીચે પડ્યા વિના સંતુલનમાં રહે તે માટે,નીચેની શરતો પૂરી થવી આવશ્યક છે:
$(i)$ ગોળા અને ઉપરના બ્લોકનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C_1$ નીચેના બ્લોકની ધાર પર હોવું જોઈએ.
ધારો કે ગોળો ઉપરના બ્લોકની ધારથી $y$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. ઉપરના બ્લોકનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેની ધારથી $L/2$ અંતરે છે. ઉપરના બ્લોકની ધારને ઉગમબિંદુ તરીકે લેતા:
$\frac{M}{2} \times y = M \times (L/2 - y)$
$\Rightarrow y/2 + y = L/2 \Rightarrow 3y/2 = L/2 \Rightarrow y = L/3$.
$(ii)$ સમગ્ર સિસ્ટમ (બે બ્લોક્સ અને ગોળો) નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C_2$ ટેબલની ધાર પર હોવું જોઈએ.
ઉપરના બ્લોક અને ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉપરના બ્લોકની ધારથી $L/3$ અંતરે છે. નીચેના બ્લોકનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેની પોતાની ધારથી $L/2$ અંતરે છે.
ટેબલની ધારથી ગોળાના કેન્દ્રનું અંતર $x$ છે. ગણતરી કરતા મહત્તમ અંતર $x = 8L/15$ મળે છે.

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાતું નથી.
ધારો કે છોકરીનું પ્રારંભિક સ્થાન ઉગમબિંદુ $(x = 0)$ પર છે અને બોક્સ $x = 20 \,m$ પર છે.
છોકરીનું દળ $m_1 = 36 \,kg$ છે અને બોક્સનું દળ $m_2 = 9 \,kg$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પ્રારંભિક સ્થાન $(X_{CM})$ છે:
$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{36 \times 0 + 9 \times 20}{36 + 9} = \frac{180}{45} = 4 \,m$.
ધારો કે છોકરી બોક્સ તરફ $x$ અંતર કાપે છે અને બોક્સ છોકરી તરફ $(20 - x)$ અંતર કાપે છે. જ્યારે તેઓ મળે છે,ત્યારે તેઓ બંને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન $X_{CM} = 4 \,m$ પર હશે.
તેથી,છોકરી તેના પ્રારંભિક સ્થાનથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધી પહોંચવા માટે $4 \,m$ અંતર કાપશે,અને બોક્સ તે જ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે $20 - 4 = 16 \,m$ અંતર કાપશે.
આમ,છોકરીએ $4 \,m$ અંતર કાપ્યું છે.

(C) ધારો કે ચોરસ પ્લેટની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. ચોરસનું કેન્દ્ર $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ખૂણાઓના યામ છે: $a(-L/2, L/2)$,$b(L/2, L/2)$,$c(L/2, -L/2)$,અને $d(-L/2, -L/2)$.
પ્લેટનું દળ $M = 1 \, kg = 1000 \, g$ એ કેન્દ્ર $O(0,0)$ પર કેન્દ્રિત છે.
$20 \, g$ ના બે બિંદુવત દળો $m$ ને $b(L/2, L/2)$ અને $c(L/2, -L/2)$ પર મૂકવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો નવો $x$-યામ $X_{cm} = \frac{M(0) + m(L/2) + m(L/2)}{M + 2m} = \frac{mL}{M + 2m}$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો નવો $y$-યામ $Y_{cm} = \frac{M(0) + m(L/2) + m(-L/2)}{M + 2m} = 0$ થશે.
અહીં $Y_{cm} = 0$ અને $X_{cm} > 0$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધન $x$-અક્ષની દિશામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે,જે રેખા $OY$ ને અનુરૂપ છે.

(D) ધારો કે કાર્બન પરમાણુનું દળ $m_C = 12 \, u$ અને ઓક્સિજન પરમાણુનું દળ $m_O = 16 \, u$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 1.2 \,\mathring{A}$ છે.
કાર્બન પરમાણુને ઉગમબિંદુ $(x_C = 0)$ પર લેતા,ઓક્સિજન પરમાણુનું સ્થાન $x_O = 1.2 \,\mathring{A}$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m_C x_C + m_O x_O}{m_C + m_O}$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{12 \times 0 + 16 \times 1.2}{12 + 16}$
$X_{cm} = \frac{19.2}{28}$
$X_{cm} \approx 0.6857 \,\mathring{A} \approx 0.69 \,\mathring{A}$.
આમ,કાર્બન પરમાણુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $0.69 \,\mathring{A}$ છે.

(C) બે કણો માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના $x$-યામનું સૂત્ર $x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}$ છે.
અહીં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોવાથી,$x_{cm} = 0$ છે.
ધારો કે $m_1 = m$ એ $x_1 = a$ પર છે અને $m_2$ એ દળ છે જે $x_2 = -3a$ પર રાખવાનું છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 = \frac{m(a) + m_2(-3a)}{m + m_2}$
$0 = ma - 3m_2a$
$3m_2a = ma$
$m_2 = \frac{m}{3}$.
આમ,$(-3a, 0)$ પર $\frac{m}{3}$ દળ રાખવું જોઈએ.

(C) ધારો કે દરેક સળિયાનું દળ $m$ છે. આ ગોઠવણી ત્રણ સળિયાની બનેલી છે:
$1$. $y$-અક્ષ પર $y=0$ થી $y=L$ સુધીનો ઉભો સળિયો. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, L/2)$ પર છે.
$2$. $x$-અક્ષ પર $x=0$ થી $x=L$ સુધીનો આડો સળિયો. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L/2, 0)$ પર છે.
$3$. $y=L$ પર $x=0$ થી $x=L$ સુધીનો આડો સળિયો. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L/2, L)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $X_{cm} = \frac{m(0) + m(L/2) + m(L/2)}{m + m + m} = \frac{mL}{3m} = \frac{L}{3}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $Y_{cm} = \frac{m(L/2) + m(0) + m(L)}{m + m + m} = \frac{m(3L/2)}{3m} = \frac{L}{2}$ છે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left(\frac{L}{3}, \frac{L}{2}\right)$ પર છે.

(C) દળોના યામ નીચે મુજબ છે:
$A(0, 0)$ પર દળ $m_1 = 1.6 \, kg$
$B(1.2, 0)$ પર દળ $m_2 = 2.0 \, kg$
$C(0, 1.0)$ પર દળ $m_3 = 2.4 \, kg$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$x_{cm} = \frac{(1.6)(0) + (2.0)(1.2) + (2.4)(0)}{1.6 + 2.0 + 2.4} = \frac{2.4}{6.0} = 0.4 \, m$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$y_{cm} = \frac{(1.6)(0) + (2.0)(0) + (2.4)(1.0)}{1.6 + 2.0 + 2.4} = \frac{2.4}{6.0} = 0.4 \, m$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0.4, 0.4) \, m$ બિંદુ પર સ્થિત છે.

(B) રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = \alpha + \beta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું દળ $dm = \lambda dx = (\alpha + \beta x) dx$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ સૂત્ર $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x_{cm} = \frac{\int_0^L x(\alpha + \beta x) dx}{\int_0^L (\alpha + \beta x) dx}$ મળે છે.
અંશનું મૂલ્યાંકન કરતા: $\int_0^L (\alpha x + \beta x^2) dx = [\frac{\alpha x^2}{2} + \frac{\beta x^3}{3}]_0^L = \frac{\alpha L^2}{2} + \frac{\beta L^3}{3} = \frac{L^2(3\alpha + 2\beta L)}{6}$.
છેદનું મૂલ્યાંકન કરતા: $\int_0^L (\alpha + \beta x) dx = [\alpha x + \frac{\beta x^2}{2}]_0^L = \alpha L + \frac{\beta L^2}{2} = \frac{L(2\alpha + \beta L)}{2}$.
બંને પરિણામોનો ભાગાકાર કરતા: $x_{cm} = \frac{L^2(3\alpha + 2\beta L)}{6} \times \frac{2}{L(2\alpha + \beta L)} = \frac{L(3\alpha + 2\beta L)}{3(2\alpha + \beta L)}$.

(C) આકૃતિ પરથી,યામ $(x, y)$ અને દળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m_1 = 1 \text{ kg}$ બિંદુ $(0, 0)$ પર
$m_2 = 2 \text{ kg}$ બિંદુ $(2, 0)$ પર
$m_3 = 3 \text{ kg}$ બિંદુ $(0, 2)$ પર
$m_4 = 4 \text{ kg}$ બિંદુ $(2, 2)$ પર
$m_5 = 5 \text{ kg}$ બિંદુ $(1, 1)$ પર
કુલ દળ $M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \text{ kg}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{M} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 2) + (3 \times 0) + (4 \times 2) + (5 \times 1)}{15} = \frac{0 + 4 + 0 + 8 + 5}{15} = \frac{17}{15} \approx 1.13$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ:
$y_{cm} = \frac{\sum m_i y_i}{M} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 0) + (3 \times 2) + (4 \times 2) + (5 \times 1)}{15} = \frac{0 + 0 + 6 + 8 + 5}{15} = \frac{19}{15} \approx 1.27$
આમ,યામ આશરે $(1.1, 1.3)$ છે. સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ ગોળાઓના સ્થાન $XY$-સમતલમાં $(0, 0)$,$(4, 0)$ અને $(0, 4)$ છે,દરેકનું દળ $m = 2M$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $\overrightarrow{r}_{\text{COM}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\overrightarrow{r}_{\text{COM}} = \frac{m_1 \overrightarrow{r}_1 + m_2 \overrightarrow{r}_2 + m_3 \overrightarrow{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$\overrightarrow{r}_{\text{COM}} = \frac{2M(0\hat{i} + 0\hat{j}) + 2M(4\hat{i} + 0\hat{j}) + 2M(0\hat{i} + 4\hat{j})}{2M + 2M + 2M}$
$\overrightarrow{r}_{\text{COM}} = \frac{8M\hat{i} + 8M\hat{j}}{6M} = \frac{4}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j}$
સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય:
$|\overrightarrow{r}_{\text{COM}}| = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$
આને $\frac{4\sqrt{2}}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $(Y_{CM})$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $Y_{CM} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$.
ઘટકો અને તેમના સંબંધિત દળ $(m_i)$ અને $y$-યામ $(y_i)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. બહારનું વર્તુળ: $m_1 = 6m$,$y_1 = 0$
$2$. ડાબું આંતરિક વર્તુળ: $m_2 = m$,$y_2 = a$
$3$. જમણું આંતરિક વર્તુળ: $m_3 = m$,$y_3 = a$
$4$. ઉભી રેખા: $m_4 = m$,$y_4 = 0$
$5$. આડી રેખા: $m_5 = m$,$y_5 = -a$
કુલ દળ $M = 6m + m + m + m + m = 10m$.
$Y_{CM}$ ની ગણતરી:
$Y_{CM} = \frac{(6m \times 0) + (m \times a) + (m \times a) + (m \times 0) + (m \times -a)}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{0 + ma + ma + 0 - ma}{10m}$
$Y_{CM} = \frac{ma}{10m} = \frac{a}{10}$.

(A) એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma$ એ $y$-દિશામાં અચળ છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $y_{cm} = b / 2$ થશે.
$x$-યામ માટે,આપણે ઉગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક પાતળી ઉભી પટ્ટી વિચારીએ.
આ પટ્ટીનું દળ $dm = \sigma dA = \left(\frac{\sigma_0 x}{ab}\right) (b dx) = \frac{\sigma_0}{a} x dx$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_0^a x \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}{\int_0^a \left(\frac{\sigma_0}{a} x dx\right)}$
$x_{cm} = \frac{\int_0^a x^2 dx}{\int_0^a x dx} = \frac{[x^3 / 3]_0^a}{[x^2 / 2]_0^a} = \frac{a^3 / 3}{a^2 / 2} = \frac{2}{3} a$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left(\frac{2}{3} a, \frac{b}{2}\right)$ પર છે.

(D) ધારો કે સળિયાની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda$ છે. કુલ લંબાઈ $5L$ છે,તેથી કુલ દળ $M = 5L\lambda$ થાય. બે ભાગોની લંબાઈ $2L$ અને $3L$ છે,જેમના દળ $m_1 = 2L\lambda$ અને $m_2 = 3L\lambda$ છે.
$x$-અક્ષ પર $2L$ લંબાઈના આડા ભાગ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_1, y_1) = (L, 0)$ પર છે.
$y$-અક્ષ પર $3L$ લંબાઈના ઊભા ભાગ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (0, 1.5L)$ પર છે.
$L = 10 \ cm$ આપેલ હોવાથી,$m_1 = 20\lambda$ અને $m_2 = 30\lambda$ થાય. યામ $(x_1, y_1) = (10, 0)$ અને $(x_2, y_2) = (0, 15)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $x_{com} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} = \frac{20\lambda(10) + 30\lambda(0)}{50\lambda} = \frac{200}{50} = 4 \ cm$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $y_{com} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2}{m_1 + m_2} = \frac{20\lambda(0) + 30\lambda(15)}{50\lambda} = \frac{450}{50} = 9 \ cm$ છે.
આમ,સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{com} = 4 \hat{i} + 9 \hat{j}$ થાય.

(C) સતત પદાર્થ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{com} = \frac{\int x \cdot dm}{\int dm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = \frac{dm}{dx} = kx^3$ હોવાથી,$dm = kx^3 \cdot dx$ મળે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_{com} = \frac{\int_0^L x(kx^3) dx}{\int_0^L kx^3 dx}$
$X_{com} = \frac{k \int_0^L x^4 dx}{k \int_0^L x^3 dx}$
$X_{com} = \frac{[x^5/5]_0^L}{[x^4/4]_0^L}$
$X_{com} = \frac{L^5/5}{L^4/4} = \frac{4L}{5}$.

(C) ધારો કે ત્રણ સળિયા $R_1$,$R_2$ અને $R_3$ છે,જે દરેકનું દળ $m$ છે.
$1$. સળિયો $R_1$ એ $x$-અક્ષ પર $(0,0)$ થી $(2a,0)$ સુધી છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_1, y_1) = (a, 0)$ પર છે.
$2$. સળિયો $R_2$ એ $y$-અક્ષ પર $(0,0)$ થી $(0,a)$ સુધી છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (0, a/2)$ પર છે.
$3$. સળિયો $R_3$ એ $(2a,0)$ અને $(0,a)$ ને જોડે છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_3, y_3) = (a, a/2)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{m(x_1 + x_2 + x_3)}{3m} = \frac{a + 0 + a}{3} = \frac{2a}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m(y_1 + y_2 + y_3)}{3m} = \frac{0 + a/2 + a/2}{3} = \frac{a}{3}$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left(\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}\right)$ પર છે.

(B) બે કણોની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થાન સદિશ $\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ એ બંને કણોના સ્થાન સદિશોની ભારિત સરેરાશ હોવાથી,તે બંને કણોને જોડતી રેખા પર જ આવેલું હોવું જોઈએ.
જો દળ સમાન હોય $(m_1 = m_2)$,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બરાબર મધ્યબિંદુ પર હોય છે.
જો દળ અલગ હોય,તો તે ભારે દળની નજીક હોય છે,પરંતુ તે હંમેશા બંને કણોને જોડતી રેખા પર જ રહે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ત્રણેય દડા સમાન છે અને સમાન ત્રિજ્યા ધરાવે છે,તેથી તેમનું દળ સમાન છે. ધારો કે દરેક દડાનું દળ '$m$' છે.
ધારો કે ત્રણેય દડાઓના કેન્દ્રોના યામ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ છે.
તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m x_1 + m x_2 + m x_3}{m + m + m} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m y_1 + m y_2 + m y_3}{m + m + m} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$
આ યામ દડાઓના કેન્દ્રો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર દર્શાવે છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ તેની મધ્યગાઓનું છેદબિંદુ છે.