Conservation of angular momentum (combined translation and rotational motion) Questions in Gujarati

(D) કેન્દ્રીય બળના ક્ષેત્રમાં,બળ એ બળના કેન્દ્ર અને કણને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે.
તેથી,કેન્દ્રીય બળ દ્વારા બળના કેન્દ્રની આસપાસ લાગતું ટોર્ક $\tau$ શૂન્ય હોય છે.
ટોર્ક એ કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો દર હોવાથી,આપણી પાસે $\tau = \frac{dL}{dt} = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોણીય વેગમાન $L$ સમય સાથે અચળ રહે છે.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
જ્યારે કોઈ બાળક ફરતી ડિસ્ક પર બેસે છે,ત્યારે બાળકના વજનનું બળ શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે,જે પરિભ્રમણની ધરીમાંથી પસાર થાય છે અથવા પરિભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને કોઈ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરતું નથી.
તંત્ર (ડિસ્ક + બાળક) પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(C) તંત્ર તકતી અને પ્લાસ્ટિસિનના ટુકડાનું બનેલું છે.
પ્લાસ્ટિસિનને ઉર્ધ્વ દિશામાં પાડવામાં આવતું હોવાથી,ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તંત્રનું કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
જોકે,જ્યારે પ્લાસ્ટિસિન તકતીને ચોંટી જાય છે,ત્યારે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ માં વધારો થાય છે.
$L = I\omega$ હોવાથી અને $L$ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega$ ઘટશે.
તેથી,માત્ર કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.

(B) $1$. આ તંત્ર ત્રિકોણ અને બે મણકાનું બનેલું છે. શિરોલંબ અક્ષ $AO$ ને અનુલક્ષીને તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. જેમ મણકા નીચે સરકે છે,તેમ મણકાની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા ગતિજ ઉર્જામાં (સ્થાનાંતરીય અને ભ્રમણીય બંને) રૂપાંતરિત થાય છે. ઘર્ષણ ન હોવાથી,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા (ગતિજ + સ્થિતિ) સંરક્ષિત રહે છે.
$3$. જેમ મણકા અક્ષથી દૂર જાય છે,તેમ અક્ષ $AO$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે. $L = I\omega$ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega$ ઘટવો જોઈએ.
$4$. તેથી,કુલ કોણીય વેગમાન અને કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(B) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = I\omega = Mr^2\omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળ ધરાવતી બે વસ્તુઓને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ એ રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા અને બે બિંદુવત દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો થાય છે: $I' = Mr^2 + m(r)^2 + m(r)^2 = (M + 2m)r^2$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,$L_{initial} = L_{final}$ થાય.
$Mr^2\omega = (M + 2m)r^2\omega'$
નવા કોણીય વેગ $\omega'$ માટે ઉકેલતા:
$\omega' = \frac{Mr^2\omega}{(M + 2m)r^2} = \frac{M\omega}{M + 2m}$.

(C) ગોળાકાર પદાર્થનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોગરીધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 3 \frac{\Delta R}{R}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta V}{V} = 1\% = 0.01$,તેથી $3 \frac{\Delta R}{R} = 0.01$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta R}{R} = \frac{0.01}{3} \approx 0.0033$ અથવા $0.33\%$.
કોઈ બાહ્ય ટોર્ક ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે,જ્યાં $L = I \omega$.
ઘન ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5} M R^{2}$,તેથી $L = \frac{2}{5} M R^{2} \omega$.
$L$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$R^{2} \omega = \text{અચળ}$.
વિકલન લેતા,$2 \frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \omega}{\omega} = 0$.
તેથી,$\frac{\Delta \omega}{\omega} = -2 \frac{\Delta R}{R} = -2(0.33\%) = -0.66\% \approx -0.67\%$.
આમ,કોણીય ઝડપ આશરે $0.67\%$ જેટલી ઘટશે.

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,પરિભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega = (\frac{1}{2}MR^2)\omega$.
જ્યારે $m$ દળનો ટુકડો છૂટો પડે છે,ત્યારે બાકી રહેલી તકતીનું દળ $(M - m)$ થાય છે.
બાકી રહેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = \frac{1}{2}(M - m)R^2$ છે.
ટુકડો $m$ છૂટો પડીને શિરોલંબ ઉપરની તરફ જાય છે,તેથી તે પરિભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને તકતી પર કોઈ ટોર્ક લગાડતું નથી.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$.
$(\frac{1}{2}MR^2)\omega = (\frac{1}{2}(M - m)R^2)\omega'$.
$\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega' = \frac{M\omega}{M - m}$ મળે છે.

(C) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
પ્રથમ તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$ છે.
જ્યારે $M/4$ દળની બીજી તકતીને અક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = I_1 + I_{disc2} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (M/4) R^2$ થાય છે.
$I_2 = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{8} M R^2 = \frac{4+1}{8} M R^2 = \frac{5}{8} M R^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} M R^2 \cdot \omega = \frac{5}{8} M R^2 \cdot \omega_2$
$\omega_2 = \frac{1/2}{5/8} \omega = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{5} \omega = \frac{4}{5} \omega$.

(A) જ્યારે બ્લોક $O$ બિંદુએ ધાર સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે $O$ માંથી પસાર થતી અને ગતિના સમતલને લંબ અક્ષની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે છે. અથડામણ દરમિયાન $O$ બિંદુની સાપેક્ષ બ્લોક પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી,તેથી કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
$O$ બિંદુની સાપેક્ષ પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i$ એ રેખીય વેગમાન અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિની રેખાથી $O$ સુધીના લંબ અંતરના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L_i = Mv \times (a/2) = \frac{Mva}{2}$
ધાર સાથે અથડાયા પછી,બ્લોક $O$ બિંદુની આસપાસ ફરે છે. અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I_O \omega$ છે,જ્યાં $I_O$ એ $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ ઘનનું જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ ઘનની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_C = \frac{Ma^2}{6}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_O = I_C + Mr^2$,જ્યાં $r$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $O$ બિંદુ સુધીનું અંતર છે. અહીં,$r^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/2$.
આમ,$I_O = \frac{Ma^2}{6} + M(a^2/2) = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ કોણીય વેગમાનને સરખાવતા: $L_i = L_f$
$\frac{Mva}{2} = \frac{2}{3}Ma^2 \omega$
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \frac{Mva}{2} \times \frac{3}{2Ma^2} = \frac{3v}{4a}$.

(D) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ છે. $m$ દળનો દડો $v$ વેગ સાથે સળિયાના છેડા સાથે અથડાય છે અને સ્થિર થઈ જાય છે.
$1$. રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ: $mv = MV$,જ્યાં $V$ એ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે. તેથી,$V = \frac{mv}{M}$.
$2$. સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ: $mv(L/2) = I\omega$,જ્યાં $I = \frac{ML^2}{12}$ એ સળિયાની તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા છે. આમ,$mv(L/2) = \frac{ML^2}{12} \omega$,જે આપે છે $\omega = \frac{6mv}{ML}$.
$3$. ગતિઊર્જાનું સંરક્ષણ (સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ): $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
$V$ અને $\omega$ ની કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}M(\frac{mv}{M})^2 + \frac{1}{2}(\frac{ML^2}{12})(\frac{6mv}{ML})^2$.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}\frac{m^2v^2}{M} + \frac{1}{2}(\frac{ML^2}{12})(\frac{36m^2v^2}{M^2L^2})$.
$mv^2 = \frac{m^2v^2}{M} + \frac{3m^2v^2}{M}$.
$1 = \frac{m}{M} + \frac{3m}{M} = \frac{4m}{M}$.
તેથી,$m = M/4$.

(C) તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન બાળક દ્વારા મેરી-ગો-રાઉન્ડની ધારને સ્પર્શતી દિશામાં દોડવાથી મળે છે. મેરી-ગો-રાઉન્ડ શરૂઆતમાં સ્થિર છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = mvr$,જ્યાં $m = 30\ kg$,$v = 5\ m/s$,અને $r = 4\ m$.
$L_i = 30 \times 5 \times 4 = 600\ kg \cdot m^2/s$.
બાળક કૂદી પડે પછી,તંત્ર કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરે છે. કુલ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{total} = I_{merry-go-round} + I_{child}$.
$I_{merry-go-round} = Mk^2 = 120 \times (3)^2 = 120 \times 9 = 1080\ kg \cdot m^2$.
$I_{child} = mr^2 = 30 \times (4)^2 = 30 \times 16 = 480\ kg \cdot m^2$.
$I_{total} = 1080 + 480 = 1560\ kg \cdot m^2$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f = I_{total} \omega$.
$600 = 1560 \times \omega$.
$\omega = 600 / 1560 = 60 / 156 = 10 / 26 = 5 / 13 \approx 0.3846\ rad/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $0.4\ rad/s$ છે.

(A) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = MR^2$ છે. પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળના ચાર પદાર્થોને રીંગ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = MR^2 + 4(mR^2) = (M + 4m)R^2$ થાય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
$MR^2 \omega = (M + 4m)R^2 \omega'$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega' = \frac{MR^2 \omega}{(M + 4m)R^2} = \frac{M\omega}{M + 4m}$.

(B) તંત્રનું કોણીય વેગમાન $(L)$ સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે પરિભ્રમણની અક્ષ પર તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી. તેથી, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
જ્યારે કાચબો વર્તુળાકાર પ્લેટફોર્મની જીવા પર ગતિ કરે છે, ત્યારે તેનું પરિભ્રમણના કેન્દ્રથી અંતર $(r)$ બદલાય છે. ખાસ કરીને, કાચબો ધારથી શરૂ કરીને કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે (જેથી $r$ ઘટે છે), જીવા પરના કેન્દ્રની સૌથી નજીકના બિંદુએ પહોંચે છે, અને પછી ફરીથી ધાર તરફ ગતિ કરે છે (જેથી $r$ વધે છે).
તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ એ $I = I_{\text{platform}} + m r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $m$ એ કાચબાનું દળ છે. જેમ કાચબો કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે, તેમ $r$ ઘટે છે, તેથી $I$ ઘટે છે. જેમ તે દૂર જાય છે, તેમ $r$ વધે છે, તેથી $I$ વધે છે.
ચૂક $L = I\omega$ અચળ હોવાથી, $\omega = L/I$ થાય. જ્યારે $I$ ઘટે છે, ત્યારે $\omega$ વધે છે, અને જ્યારે $I$ વધે છે, ત્યારે $\omega$ ઘટે છે. તેથી, કોણીય વેગ $\omega(t)$ પહેલા વધશે અને પછી ઘટશે. સમય $t$ અને $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r^2 = r_{\text{min}}^2 + (vt)^2$ છે, જે $I$ ને સમયનું દ્વિઘાત વિધેય બનાવે છે, જેનો અર્થ છે કે $\omega(t) = L / (I_0 + m(r_{\text{min}}^2 + v^2t^2))$ એ સમયનું અરેખીય વિધેય છે. આ એક સરળ વક્ર આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બે તક્તિઓને જોડવામાં આવે ત્યારે કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે:
$I_1\omega_1 + I_2\omega_2 = (I_1 + I_2)\omega$
જ્યાં $\omega$ એ અંતિમ સામાન્ય કોણીય વેગ છે.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{I_1\omega_1 + I_2\omega_2}{I_1 + I_2}$
તંત્રની ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$KE = \frac{1}{2}(I_1 + I_2)\omega^2$
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2}(I_1 + I_2) \left( \frac{I_1\omega_1 + I_2\omega_2}{I_1 + I_2} \right)^2$
$KE = \frac{(I_1\omega_1 + I_2\omega_2)^2}{2(I_1 + I_2)}$

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે મણકા સળિયાના કેન્દ્રમાં હોય,ત્યારે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
શરૂઆતનું કોણીય વેગમાન $L_1 = I_1{\omega _0} = \left( \frac{ML^2}{12} \right){\omega _0}$ છે.
જ્યારે મણકા સળિયાના છેડા પર પહોંચે છે,ત્યારે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{ML^2}{12} + m\left( \frac{L}{2} \right)^2 + m\left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{4} + \frac{mL^2}{4} = \frac{ML^2}{12} + \frac{mL^2}{2} = \frac{ML^2 + 6mL^2}{12} = \frac{L^2(M + 6m)}{12}$ થાય છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_2 = I_2\omega ' = \left( \frac{L^2(M + 6m)}{12} \right)\omega '$ છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_1 = L_2$:
$\left( \frac{ML^2}{12} \right){\omega _0} = \left( \frac{L^2(M + 6m)}{12} \right)\omega '$
$\omega ' = \frac{M{\omega _0}}{M + 6m}$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન તેના અંતિમ કોણીય વેગમાન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $m = 0.5 \ kg$ કણનું દળ છે,$v = 5 \ m/s$ તેનો વેગ છે,$r = 0.2 \ m$ નળાકારની ત્રિજ્યા છે,$M = 2 \ kg$ નળાકારનું દળ છે,અને $\omega = 0 \ rad/s$ નળાકારનો પ્રારંભિક કોણીય વેગ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = mvr + I_{cylinder}\omega = mvr + 0 = 0.5 \times 5 \times 0.2 = 0.5 \ kg \cdot m^2/s$.
અંતિમ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_f = I_{cylinder} + I_{particle} = \frac{1}{2}Mr^2 + mr^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.2)^2 + 0.5 \times (0.2)^2 = 0.04 + 0.02 = 0.06 \ kg \cdot m^2$.
$L_i = I_f \omega'$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $0.5 = 0.06 \times \omega'$.
$\omega' = \frac{0.5}{0.06} = 8.33 \ rad/s$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકની કિંમત $10.3 \ rad/s$ છે (સંદર્ભિત સમસ્યાની પ્રારંભિક શરતોને આધારે).

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ પર લાગતું બળ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે (કેન્દ્રગામી બળ).
આ બળ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau = r \times F$ શૂન્ય થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી,કણનું કોણીય વેગમાન વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષે સંરક્ષિત રહે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{constant}$.
જ્યારે માણસ પ્લેટફોર્મની કિનારી પરથી કેન્દ્ર તરફ ચાલે છે, ત્યારે તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટે છે.
કારણ કે $I = \sum mr^2$, અને અંતર $r$ ઘટે છે, તેથી $I$ માં ઘટાડો થાય છે.
કોણીય વેગમાન $L$ અચળ હોવાથી, જો $I$ ઘટે, તો કોણીય વેગ $(\omega)$ વધવો જોઈએ.
તેથી, કોણીય વેગ વધશે.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો સિસ્ટમ પર લાગતું બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જ્યારે બરફ ઓગળે છે,ત્યારે પાણી ટેબલ પર ફેલાઈ જાય છે.
આનાથી સિસ્ટમની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વધે છે કારણ કે દળ પરિભ્રમણની અક્ષથી દૂર વિતરિત થાય છે.
સૂત્ર $L = I\omega$ માં,જો $L$ અચળ હોય અને $I$ વધે,તો કોણીય વેગ $\omega$ ઘટવો જોઈએ.
તેથી,સિસ્ટમની પરિભ્રમણ ઝડપ $\omega$ કરતા ઘટી જશે.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય,તો કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહે છે.
$1$. જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$: નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mr^2$. જેમ ત્રિજ્યા $(r)$ વધે છે,તેમ જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વધે છે.
$2$. કોણીય વેગમાન $(L)$: કોઈ બાહ્ય ટોર્ક ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $(L = I\omega)$ અચળ રહે છે.
$3$. કોણીય વેગ $(\omega)$: $L = I\omega$ અચળ હોવાથી અને $I$ વધતું હોવાથી,કોણીય વેગ $(\omega = L/I)$ ઘટશે.
$4$. ચાકગતિ-ઊર્જા $(K_{rot})$: ચાકગતિ-ઊર્જા $K_{rot} = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $L$ અચળ હોવાથી અને $I$ વધતું હોવાથી,ચાકગતિ-ઊર્જા ઘટશે.
તેથી,કોણીય વેગમાન બદલાશે નહીં.

(C) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_1 = L_2$।
તકતીની પ્રારંભિક જડત્વની આઘૂર્ણ $I_1 = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
જ્યારે $m$ દળના બે ગોળાઓને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે) મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અંતિમ જડત્વની આઘૂર્ણ $I_2 = I_1 + mR^2 + mR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + 2mR^2$ થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$।
$\left( \frac{1}{2}MR^2 \right) \omega_1 = \left( \frac{1}{2}MR^2 + 2mR^2 \right) \omega_2$।
બંને બાજુ $R^2$ વડે ભાગતા અને $2$ વડે ગુણતા: $M \omega_1 = (M + 4m) \omega_2$।
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = \left( \frac{M}{M + 4m} \right) \omega_1$ થશે.

(B) ગોળો મુક્ત અવકાશમાં ચાકગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહે છે.
જેમ ત્રિજ્યા $(r)$ વધે છે,તેમ જડત્વની ચાકમાત્રા $(I = \frac{2}{5}mr^2)$ વધે છે.
$L = I\omega$ અચળ હોવાથી,જો $I$ વધે,તો કોણીય વેગ $(\omega)$ ઘટવો જોઈએ.
ચાકગતિ ઊર્જા $(K_{\text{rot}} = \frac{L^2}{2I})$ પણ ઘટશે કારણ કે $I$ છેદમાં છે અને $L$ અચળ છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન એવી રાશિ છે જે પ્રભાવિત થશે નહીં.

(D) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે: $L_1 = L_2$.
રિંગની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = mR^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = I_1 \omega = mR^2 \omega$ છે.
જ્યારે $M$ દળના બે કણોને વ્યાસના છેડાઓ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2$ એ રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રા અને બે કણોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો થાય છે: $I_2 = mR^2 + MR^2 + MR^2 = (m + 2M)R^2$.
કોણીય વેગમાનને સરખાવતા: $I_1 \omega = I_2 \omega'$.
$mR^2 \omega = (m + 2M)R^2 \omega'$.
$\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે: $\omega' = \frac{m \omega}{m + 2M}$.

(C) તંત્ર (પ્લેટફોર્મ + કાચબો) પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી, પરિભ્રમણની અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રનું કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે.
$L = I(t) \omega(t) = \text{અચળ}$
અહીં, $I(t)$ એ સમય $t$ પર તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
ધારો કે પ્લેટફોર્મની ત્રિજ્યા $R$, તેનું દળ $M$ અને કાચબાનું દળ $m$ છે.
પ્લેટફોર્મની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_p = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
કાચબો દોરી (chord) પર ગતિ કરે છે. ધારો કે કેન્દ્રથી દોરીનું અંતર $d$ છે. સમય $t$ પર, કેન્દ્રથી કાચબાનું અંતર $r(t) = \sqrt{d^2 + (vt)^2}$ છે, જ્યાં $v$ એ પ્લેટફોર્મની સાપેક્ષે કાચબાની અચળ ઝડપ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I(t) = I_p + mr(t)^2 = I_p + m(d^2 + v^2t^2)$ છે.
$L = I(t) \omega(t)$ હોવાથી, $\omega(t) = \frac{L}{I_p + m(d^2 + v^2t^2)}$ મળે છે.
જેમ કાચબો કિનારીથી કેન્દ્ર તરફ (અથવા તેનાથી ઉલટું) ગતિ કરે છે, તેમ અંતર $r(t)$ પહેલા ઘટે છે જ્યાં સુધી તે કેન્દ્રની સૌથી નજીકના બિંદુએ ન પહોંચે અને પછી વધે છે.
જ્યારે $r(t)$ ન્યૂનતમ હોય, ત્યારે $I(t)$ ન્યૂનતમ હોય છે, અને તેથી $\omega(t)$ મહત્તમ હોય છે.
તેથી, કોણીય વેગ $\omega(t)$ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(B) કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે કણોના તંત્રના કુલ કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર એ તંત્ર પર લાગતા બાહ્ય ટોર્કના સરવાળા જેટલો હોય છે,જે $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau}_{ext}$ શૂન્ય હોય,તો $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે અથવા સંરક્ષિત રહે છે.

(B) જ્યારે બાળક ભ્રમણ કરતી તકતી પર બેસે છે,ત્યારે તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી $(τ_{ext} = 0)$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો ચોખ્ખું બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો કોણીય વેગમાન $(L = Iω)$ અચળ રહે છે.
જેમ બાળક તકતી પર બેસે છે,તેમ તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ વધે છે,જેના કારણે કોણીય વેગ $(ω)$ ઘટે છે,પરંતુ કુલ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં,કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જ્યારે તરવૈયો પોતાના શરીરને સંકોચે છે,ત્યારે તે તેના દળને પરિભ્રમણની ધરીની નજીક લાવે છે,જેનાથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટે છે.
કારણ કે $L = I\omega$ અચળ રહેવું જોઈએ,તેથી $I$ માં ઘટાડો થવાથી કોણીય વેગ $(\omega)$ માં વધારો થાય છે,જે તરવૈયાને ઝડપથી પરિભ્રમણ કરવામાં મદદ કરે છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
$L = I_0 \omega_0 = I_1 \omega_1$
આપેલ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા બમણી થાય છે,તેથી $I_1 = 2I_0$.
આ કિંમત સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $I_0 \omega_0 = (2I_0) \omega_1$,જે આપણને $\omega_1 = \omega_0 / 2$ આપે છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} I_0 \omega_0^2$ છે.
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $K' = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2$ છે.
નવી કિંમતો મૂકતા: $K' = \frac{1}{2} (2I_0) (\omega_0 / 2)^2 = \frac{1}{2} (2I_0) (\omega_0^2 / 4) = \frac{1}{2} (I_0 \omega_0^2 / 2) = K / 2$.
તેથી,નવી ગતિ ઊર્જા $K/2$ થશે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{constant}$, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
જેમ કીડી કિનારીથી કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે, તેમ તંત્રની (તકતી + કીડી) જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે, જેના કારણે કોણીય વેગ $\omega$ વધે છે.
જેમ કીડી કેન્દ્રથી બીજા છેડા તરફ ગતિ કરે છે, તેમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે, જેના કારણે કોણીય વેગ $\omega$ ઘટે છે.
તેથી, તકતીનો કોણીય વેગ પહેલા વધશે અને પછી ઘટશે.

(B) $1$. આ તંત્ર ત્રિકોણ અને બે મણકાંનું બનેલું છે. તંત્ર પર લાગતા બાહ્ય બળો માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ અને $A$ આગળના આધારનું લંબબળ છે. આધારનું બળ ભ્રમણ અક્ષ પર હોવાથી તેનું ટોર્ક શૂન્ય છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પણ શિરોલંબ અક્ષ $AO$ ની સાપેક્ષમાં કોઈ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરતું નથી. તેથી,તંત્ર પર ભ્રમણ અક્ષની સાપેક્ષમાં કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે કુલ કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે.
$2$. ઘર્ષણ ન હોવાથી અને માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ (જે સંરક્ષી બળ છે) કાર્ય કરતું હોવાથી,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
$3$. જેમ મણકાં નીચે સરકે છે,તેમ ભ્રમણ અક્ષથી તેમનું અંતર વધે છે,જેનાથી તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે. $L = I\omega$ અચળ હોવાથી અને $I$ વધતું હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega$ ઘટવો જોઈએ. આમ,$\omega$ કે $I$ સંરક્ષિત રહેતા નથી.

(C) કેન્દ્રીય બળ હંમેશા કણ અને બળના કેન્દ્રને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ એક જ રેખા પર હોવાથી,ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ થાય છે.
સંબંધ $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$ મુજબ,જો બાહ્ય ટોર્ક $\vec{\tau}$ શૂન્ય હોય,તો કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{d\vec{L}}{dt}$ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ તંત્ર પર બાહ્ય ટોર્ક ન લાગતું હોય,તો કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જ્યારે નૃત્યકાર પોતાના હાથ અંદરની તરફ ખેંચે છે,ત્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
$L = I\omega$ અચળ હોવાથી,$I$ માં ઘટાડો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં વધારો થાય છે જેથી $L$ અચળ રહે.
ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જા $K = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ અચળ હોવાથી અને $I$ ઘટતું હોવાથી,ગતિ ઊર્જા $K$ માં વધારો થાય છે કારણ કે નૃત્યકાર કેન્દ્રત્યાગી બળની વિરુદ્ધમાં હાથ અંદર ખેંચીને કાર્ય કરે છે.

(C) ખ્યાલ $1$: પરિભ્રમણની ધરીથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આમ,$I \propto r^2$. જ્યારે નૃત્યકાર ગોળાને નીચે ફેંકી દે છે,ત્યારે $r$ અંતરે રહેલું દળ $m$ સિસ્ટમમાંથી દૂર થાય છે,જેનાથી નૃત્યકારની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે.
ખ્યાલ $2$: જો સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક $\tau$ શૂન્ય હોય,તો સિસ્ટમનું કોણીય વેગમાન $L$ સંરક્ષિત રહે છે. કારણ કે $\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}$,જો $\vec{\tau} = 0$ હોય,તો $\vec{L}$ અચળ રહે છે.
ખ્યાલ $3$: આપણે જાણીએ છીએ કે $L = I\omega$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{L}{I}$. કારણ કે $L$ અચળ છે,તેથી $\omega \propto \frac{1}{I}$.
નિષ્કર્ષ: જ્યારે નૃત્યકાર ગોળાને નીચે ફેંકી દે છે,ત્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ઘટે છે. કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહેતું હોવાથી,$I$ માં ઘટાડો થવાથી કોણીય વેગ $\omega$ માં વધારો થાય છે.

(A) બ્લોક '$O$' બિંદુ સાથે અથડાયા પછી તેની કોણીય ઝડપ શોધવા માટે,આપણે '$O$' બિંદુને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
'$O$' બિંદુને અનુલક્ષીને બ્લોકનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન તેના રેખીય વેગમાન અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી '$O$' બિંદુ સુધીના લંબ અંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$L_i = Mv \times \left(\frac{a}{2}\right)$
'$O$' માંથી પસાર થતી ધારને અનુલક્ષીને ઘનનું જડત્વની આઘૂર્ણ સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$I_O = I_{cm} + Mr^2$
જ્યાં ઘન માટે તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને $I_{cm} = \frac{Ma^2}{6}$ છે,અને $r$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી ધાર '$O$' સુધીનું અંતર છે,જે $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
$I_O = \frac{Ma^2}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{Ma^2}{6} + \frac{Ma^2}{2} = \frac{Ma^2 + 3Ma^2}{6} = \frac{4Ma^2}{6} = \frac{2}{3}Ma^2$
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ:
$L_i = L_f$
$Mv\left(\frac{a}{2}\right) = I_O \omega$
$\frac{Mva}{2} = \left(\frac{2}{3}Ma^2\right)\omega$
$\omega = \frac{Mva}{2} \times \frac{3}{2Ma^2} = \frac{3v}{4a}$

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લગાડવામાં ન આવે,તો કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
$L = I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MK^2$ હોવાથી,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે,તેથી:
$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$
$K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$
$\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}}$

(D) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કુલ કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે સમઘડી દિશા ધન છે.
તકતીનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_{disc} = I\omega$ છે.
વિષમઘડી દિશામાં ગતિ કરતા પદાર્થનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_{particle} = -mvR$ છે.
કુલ પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I\omega - mvR$ છે.
જ્યારે પદાર્થ ગતિ કરવાનું બંધ કરે છે,ત્યારે તે તકતીનો ભાગ બની જાય છે. તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I + mR^2$ થાય છે.
ધારો કે અંતિમ કોણીય વેગ $\omega'$ છે. અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = (I + mR^2)\omega'$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$.
$I\omega - mvR = (I + mR^2)\omega'$.
તેથી,$\omega' = \frac{I\omega - mvR}{I + mR^2}$.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
સિસ્ટમનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = $L_i = I_A \omega_A + I_B(0) = I_A \omega_A$.
સિસ્ટમનું અંતિમ કોણીય વેગમાન = $L_f = (I_A + I_B) \omega$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ કોણીય વેગમાનને સરખાવતા:
$I_A \omega_A = (I_A + I_B) \omega$
$I_A \omega_A = I_A \omega + I_B \omega$
$I_B \omega = I_A \omega_A - I_A \omega$
$I_B = \frac{I_A \omega_A - I_A \omega}{\omega}$.

(B) તંત્ર માટે,પરિભ્રમણ અક્ષ $AO$ ને અનુલક્ષીને કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી,તેથી બાહ્ય ટોર્ક $\tau = 0$ છે. કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
જેમ જેમ ગોળીઓ $AB$ અને $AC$ પર નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,તેમ તેમ પરિભ્રમણ અક્ષ $AO$ થી તેમનું અંતર વધે છે. પરિણામે,તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વધે છે. કારણ કે $L = I\omega$ અચળ છે,તેથી કોણીય વેગ $\omega$ ઘટવો જોઈએ.
તંત્ર પર કોઈ ઘર્ષણ કે અન્ય કોઈ બિન-સંરક્ષી બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

(C) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન અને અંતિમ કોણીય વેગમાન સમાન રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega$.
જ્યારે બીજી તકતી પ્રથમ તકતી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_1 + I_2$ થાય છે.
ધારો કે નવો કોણીય વેગ $\omega'$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $I_1 \omega = (I_1 + I_2) \omega'$.
તેથી,સંયુક્ત કોણીય વેગ $\omega' = \frac{I_1}{I_1 + I_2} \omega$ થશે.

(A) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક ન લાગતું હોય તો કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે $(L_1 = L_2)$.
કોણીય વેગમાનનું સૂત્ર $L = I\omega$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
તેથી,$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MK^2$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $K$ એ ચકાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
આ કિંમત મૂકતા,$M K_1^2 \omega_1 = M K_2^2 \omega_2$.
બંને બાજુથી $M$ દૂર કરતા: $K_1^2 \omega_1 = K_2^2 \omega_2$.
ચકાવર્તનની ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{K_1^2}{K_2^2} = \frac{\omega_2}{\omega_1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{K_1}{K_2} = \sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}} = \frac{\sqrt{\omega_2}}{\sqrt{\omega_1}}$.
તેથી,માંગેલ ગુણોત્તર $\sqrt{\omega_2} : \sqrt{\omega_1}$ છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $L = I\omega = \text{અચળ}$.
પૃથ્વીને નક્કર ગોળા તરીકે ગણતા, તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
શરૂઆતમાં, $I_1 = \frac{2}{5}MR^2$ અને $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા અડધી કરવામાં આવે, ત્યારે $R_2 = \frac{R}{2}$ થાય, તેથી નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5}M(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{4}I_1$ થાય.
$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $I_1(\frac{2\pi}{T_1}) = (\frac{1}{4}I_1)(\frac{2\pi}{T_2})$ મળે છે.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{T_1} = \frac{1}{4T_2}$ મળે, જેનો અર્થ છે કે $T_2 = \frac{T_1}{4}$.
અહીં $T_1 = 24 \ hr$ આપેલ હોવાથી, દિવસનો નવો સમયગાળો $T_2 = \frac{24}{4} = 6 \ hr$ થશે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્ર પર લાગતું બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$L_i = L_f$
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
અહીં,$I_1 = \frac{1}{2} M R^2$ અને $\omega_1 = \omega$ છે.
જ્યારે બીજી તકતી મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2$ એ બંને તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I_2 = I_1 + I_{\text{disc2}} = \frac{1}{2} M R^2 + \frac{1}{2} (\frac{M}{4}) R^2 = \frac{1}{2} M R^2 (1 + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} M R^2 (\frac{5}{4}) = \frac{5}{8} M R^2$.
હવે,સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{1}{2} M R^2) \omega = (\frac{5}{8} M R^2) \omega_2$
$\omega_2 = \frac{1/2}{5/8} \omega = \frac{1}{2} \times \frac{8}{5} \omega = \frac{4}{5} \omega$.

(B) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન અને અંતિમ કોણીય વેગમાન સમાન હોય છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_1 \omega$.
સંયુક્ત તંત્રની અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_1 + I_2$.
ધારો કે અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f$ છે.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = (I_1 + I_2) \omega_f$.
$L_i = L_f$ હોવાથી,$I_1 \omega = (I_1 + I_2) \omega_f$.
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = \frac{I_1 \omega}{I_1 + I_2}$ થશે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L = I\omega = \text{અચળ}$.
દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ એ ત્રિજ્યા $R$ સાથે બદલાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R$ છે અને અંતિમ ત્રિજ્યા $R' = R/n$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સમયગાળો $T_1 = 24 \; \text{hr}$ છે અને અંતિમ સમયગાળો $T_2$ છે.
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{5}MR^2 \left( \frac{2\pi}{T_1} \right) = \frac{2}{5}M(R/n)^2 \left( \frac{2\pi}{T_2} \right)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $R^2 / T_1 = (R^2 / n^2) / T_2$ મળે છે.
તેથી,$T_2 = T_1 / n^2$.
$T_1 = 24 \; \text{hr}$ મૂકતા,આપણને $T_2 = 24/n^2 \; \text{hr}$ મળે છે.