Centre of mass (Point Mass) Questions in Gujarati

(B) બે કણોની સિસ્ટમ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $(R_{cm})$ સૂત્ર $R_{cm} = \frac{m_1r_1 + m_2r_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d$ અંતરે રહેલા બે દળ $m$ અને $M$ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેમને જોડતી રેખા પર હોય છે.
ચોક્કસ રીતે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $M$ દળથી અંતર $r_M = \frac{m \cdot d}{M + m}$ અને $m$ દળથી અંતર $r_m = \frac{M \cdot d}{M + m}$ છે.
જેহেতু $M > m$ છે,તેથી $r_M < r_m$ થાય.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા ભારે દળ એટલે કે $M$ ની નજીક હોય છે.

(C) આપેલ દળ $m_1 = 200 \ gm = 0.2 \ kg$ અને $m_2 = 500 \ gm = 0.5 \ kg$ છે.
વેગ $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \ m/s$ અને $\vec{v}_2 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ m/s$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ શોધવા માટેનું સૂત્ર:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{0.2(10 \hat{i}) + 0.5(3 \hat{i} + 5 \hat{j})}{0.2 + 0.5}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{2 \hat{i} + 1.5 \hat{i} + 2.5 \hat{j}}{0.7}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{3.5 \hat{i} + 2.5 \hat{j}}{0.7}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{3.5}{0.7} \hat{i} + \frac{2.5}{0.7} \hat{j}$
$\vec{v}_{cm} = 5 \hat{i} + \frac{25}{7} \hat{j} \ m/s$.

(B) ધારો કે દળ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. ધારો કે $m$ દળ $(0, 0)$ પર છે. બાજુની લંબાઈ $a$ અને એક ખૂણો $60^o$ હોવાથી,$4m$ દળ $(a, 0)$ પર છે. $2m$ દળ $(a \cos 60^o, a \sin 60^o) = (a/2, \sqrt{3}a/2)$ પર છે. $3m$ દળ $(a + a/2, \sqrt{3}a/2) = (3a/2, \sqrt{3}a/2)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $x_{cm} = \frac{m(0) + 4m(a) + 2m(a/2) + 3m(3a/2)}{m + 2m + 3m + 4m} = \frac{0 + 4ma + ma + 4.5ma}{10m} = \frac{9.5ma}{10m} = 0.95a$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $y_{cm} = \frac{m(0) + 4m(0) + 2m(\sqrt{3}a/2) + 3m(\sqrt{3}a/2)}{10m} = \frac{5\sqrt{3}ma/2}{10m} = \frac{\sqrt{3}a}{4}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0.95a, \frac{\sqrt{3}}{4}a)$ પર છે.

(C) કણોના તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
અહીં $m_1 = m_2 = m_3 = m$ અને સ્થાન $(x_1, y_1) = (1, 1), (x_2, y_2) = (2, 2), (x_3, y_3) = (3, 3)$ આપેલ છે.
$X_{cm} = \frac{m(1) + m(2) + m(3)}{m + m + m} = \frac{6m}{3m} = 2$
$Y_{cm} = \frac{m(1) + m(2) + m(3)}{m + m + m} = \frac{6m}{3m} = 2$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(2, 2)$ પર છે.

(A) ચાર ગોળાઓના યામ $(1, 1)$,$(-1, 1)$,$(-1, -1)$,અને $(1, -1)$ છે.
બધા ગોળાઓનું દળ $m$ સમાન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{m(1) + m(-1) + m(-1) + m(1)}{m + m + m + m} = \frac{0}{4m} = 0$
$Y_{cm} = \frac{m(1) + m(1) + m(-1) + m(-1)}{m + m + m + m} = \frac{0}{4m} = 0$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, 0)$ પર છે.

(C) ધારો કે દળ $m$ નું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(x_1 = 0)$ પર છે અને દળ $M$ નું સ્થાન $x$-અક્ષ પર $(x_2 = L)$ પર છે.
બે કણોના તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{m(0) + M(L)}{m + M}$
$X_{cm} = \frac{ML}{m + M} = L\left( \frac{M}{m + M} \right)$
આમ,$m$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $L\left( \frac{M}{m + M} \right)$ છે.

(B) ધારો કે દરેક ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોળાઓ સમાન અને એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,પાસપાસેના ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $2r$ થાય.
ધારો કે કેન્દ્રોના સ્થાન $x_K = 0$,$x_L = 2r$ અને $x_M = 4r$ છે.
દરેક ગોળાનું દળ $m = 1 \ kg$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm} = \frac{m x_K + m x_L + m x_M}{m + m + m} = \frac{0 + 2r + 4r}{3} = \frac{6r}{3} = 2r$.
અહીં $KL = 2r$ અને $KM = 4r$ હોવાથી,$X_{cm} = KL = \frac{KM}{2}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,$\frac{KL + KM}{3} = \frac{2r + 4r}{3} = 2r$.
આમ,$K$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $\frac{KL + KM}{3}$ છે.

(C) ધારો કે કાર્બન પરમાણુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને ઓક્સિજન પરમાણુ $x$-અક્ષ પર $(1.1, 0)$ પર મૂકેલ છે.
આપેલ છે: $m_1 = 12 \ a.m.u.$ (કાર્બન),$m_2 = 16 \ a.m.u.$ (ઓક્સિજન).
સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1 = 0\hat{i}$ અને $\vec{r}_2 = 1.1\hat{i}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R_{cm}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$
$R_{cm} = \frac{12(0) + 16(1.1)}{12 + 16}$
$R_{cm} = \frac{17.6}{28} \ \mathring{A}$
$R_{cm} \approx 0.63 \ \mathring{A}$ કાર્બન પરમાણુથી.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ નો ખૂણો $A$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. $8\,kg$ દળ $A$ પર મૂકવામાં આવ્યું છે. ચોરસનો વિકર્ણ $d = a\sqrt{2} = 80\,cm$ છે,જ્યાં $a$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
$a = \frac{80}{\sqrt{2}} = 40\sqrt{2}\,cm$.
દળ નીચે મુજબ છે: $m_A = 8\,kg$,$m_B = 2\,kg$,$m_C = 4\,kg$,$m_D = 2\,kg$.
ખૂણાઓના યામ છે: $A(0,0)$,$B(a,0)$,$C(a,a)$,$D(0,a)$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{CM}, Y_{CM})$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{CM} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C + m_D x_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{8(0) + 2(a) + 4(a) + 2(0)}{8 + 2 + 4 + 2} = \frac{6a}{16} = \frac{3a}{8}$.
$Y_{CM} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C + m_D y_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{8(0) + 2(0) + 4(a) + 2(a)}{8 + 2 + 4 + 2} = \frac{6a}{16} = \frac{3a}{8}$.
$a = 40\sqrt{2}\,cm$ કિંમત મૂકતા:
$X_{CM} = \frac{3(40\sqrt{2})}{8} = 15\sqrt{2}\,cm$.
$Y_{CM} = \frac{3(40\sqrt{2})}{8} = 15\sqrt{2}\,cm$.
$A(0,0)$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d = \sqrt{X_{CM}^2 + Y_{CM}^2} = \sqrt{(15\sqrt{2})^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{450 + 450} = \sqrt{900} = 30\,cm$.

(C) આપેલ દળ $m_1 = 7 \, g$,$m_2 = 4 \, g$ અને $m_3 = 10 \, g$ છે.
તેમના સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1 = (1\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) \, cm$,$\vec{r}_2 = (2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) \, cm$ અને $\vec{r}_3 = (3\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}) \, cm$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{R}_{cm} = \frac{7(1\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) + 4(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) + 10(3\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k})}{7 + 4 + 10}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{(7\hat{i} + 35\hat{j} - 21\hat{k}) + (8\hat{i} + 20\hat{j} + 28\hat{k}) + (30\hat{i} + 30\hat{j} - 10\hat{k})}{21}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{(7+8+30)\hat{i} + (35+20+30)\hat{j} + (-21+28-10)\hat{k}}{21}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{45\hat{i} + 85\hat{j} - 3\hat{k}}{21} = \frac{45}{21}\hat{i} + \frac{85}{21}\hat{j} - \frac{3}{21}\hat{k}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{15}{7}\hat{i} + \frac{85}{21}\hat{j} - \frac{1}{7}\hat{k}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left( \frac{15}{7}, \frac{85}{21}, -\frac{1}{7} \right) \, cm$ છે.

(C) જ્યારે સિસ્ટમને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ પર ટેકો આપવામાં આવે ત્યારે તે સંતુલનમાં હોય છે.
દળ $m_i = i$ (ગ્રામમાં) છે અને તેમના સ્થાન $x_i = i$ (સેમીમાં) છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, 100$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે છે:
$COM = \frac{\sum_{i=1}^{100} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{100} m_i} = \frac{\sum_{i=1}^{100} i^2}{\sum_{i=1}^{100} i}$
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ અને $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$n = 100$ માટે:
$COM = \frac{\frac{100(101)(201)}{6}}{\frac{100(101)}{2}} = \frac{201}{3} = 67\,cm$.
આમ,સિસ્ટમને $67\,cm$ ના નિશાન પર ટેકો આપવો જોઈએ.

(B) પરમાણુઓના દળ $m_1 = 1 \ amu$ ($H$ માટે) અને $m_2 = 35.5 \ amu$ ($Cl$ માટે) છે. આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $L = 1 \ \mathring A = 10^{-10} \ m$ છે.
ધારો કે $H$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ($C$.$M$.) થી અંતર $x$ છે. તો $Cl$ નું $C$.$M$. થી અંતર $(L - x)$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ: $m_1 x = m_2 (L - x) \Rightarrow 1 \cdot x = 35.5 \cdot (1 - x)$.
$x = 35.5 - 35.5x \Rightarrow 36.5x = 35.5 \Rightarrow x = \frac{35.5}{36.5} \ \mathring A \approx 0.9726 \ \mathring A$.
$Cl$ નું $C$.$M$. થી અંતર $(L - x) = 1 - 0.9726 = 0.0274 \ \mathring A$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1 \ amu = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = (1 \times 1.67 \times 10^{-27}) \times (0.9726 \times 10^{-10})^2 + (35.5 \times 1.67 \times 10^{-27}) \times (0.0274 \times 10^{-10})^2$.
$I = 1.67 \times 10^{-27} \times 10^{-20} \times [0.9726^2 + 35.5 \times 0.0274^2]$.
$I = 1.67 \times 10^{-47} \times [0.946 + 35.5 \times 0.00075] \approx 1.67 \times 10^{-47} \times [0.946 + 0.0266] \approx 1.67 \times 10^{-47} \times 0.9726 \approx 1.62 \times 10^{-47} \ kg \ m^2$.
આ અંદાજે $1.61 \times 10^{-47} \ kg \ m^2$ છે.

(B) તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
તેઓ તેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર અથડાશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_{cm} = \frac{M x_A + m x_B}{M + m}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $M > m$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ભારે દળ $A$ ની નજીક હશે.
તેથી,તેઓ $A$ ની નજીક અથડાશે.

(C) ધારો કે ચોરસ પ્લેટ $XY$-સમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે.
ધારો કે ચાર ખૂણાઓ $(a, a), (-a, a), (-a, -a),$ અને $(a, -a)$ પર છે.
ધારો કે ચોરસ $1, 2, 3,$ અને $4$ અનુક્રમે આ ખૂણાઓ પર છે.
જ્યારે ચોરસ $1$ અને $3$ (વિકર્ણની સામેના) દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલી સિસ્ટમ ચોરસ $2$ અને $4$ ના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થતી રેખા વિશે સમપ્રમાણ (symmetric) રહે છે.
આ રેખા વિકર્ણ $Y = -X$ ને અનુરૂપ છે (અથવા કોઓર્ડિનેટ ઓરિએન્ટેશનના આધારે $OX'$ અક્ષ).
આ વિકર્ણ વિશે બાકી રહેલા દળના વિતરણની સમપ્રમાણતાને કારણે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આ સમપ્રમાણતાની રેખા પર હોવું જોઈએ.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $OX'$ અક્ષ પર સ્થિત હશે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{V}_{cm}$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\vec{V}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
અહીં,$m_1 = 200 \ g$,$m_2 = 500 \ g$,$\vec{v}_1 = 10 \ \hat{i} \ m/s$,$\vec{v}_2 = 3 \ \hat{i} + 5 \ \hat{j} \ m/s$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{V}_{cm} = \frac{200(10 \ \hat{i}) + 500(3 \ \hat{i} + 5 \ \hat{j})}{200 + 500}$
$\vec{V}_{cm} = \frac{2000 \ \hat{i} + 1500 \ \hat{i} + 2500 \ \hat{j}}{700}$
$\vec{V}_{cm} = \frac{3500 \ \hat{i} + 2500 \ \hat{j}}{700}$
$\vec{V}_{cm} = 5 \ \hat{i} + \frac{25}{7} \ \hat{j} \ m/s$.

(B) ધારો કે દળ $m_1 = 1 \, g, m_2 = 2 \, g, m_3 = 3 \, g$ અને $m_4 = 4 \, g$ છે.
પ્રથમ ત્રણ કણોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર હોવાથી,તેમનો સંયુક્ત સ્થાનસદિશ $\vec{R}_{123} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3} = (0, 0, 0)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3 = 0$.
ચોથા કણનો સ્થાનસદિશ $\vec{r}_4 = \alpha(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ છે.
નવા તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}_{cm} = (1, 2, 3)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સૂત્ર $\vec{R}_{cm} = \frac{(m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3) + m_4\vec{r}_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$ છે.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $(1, 2, 3) = \frac{0 + 4\alpha(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{4\alpha(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})}{10}$.
$x$-ઘટકોની સરખામણી કરતા: $1 = \frac{4\alpha}{10} \implies 10 = 4\alpha \implies \alpha = \frac{10}{4} = 2.5 = 5/2$.
તે જ રીતે,$y$-ઘટકો માટે: $2 = \frac{8\alpha}{10} \implies 20 = 8\alpha \implies \alpha = 2.5 = 5/2$.
આમ,$\alpha$ નું મૂલ્ય $5/2$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે. ચોરસની બાજુની લંબાઈ $s$ અને વિકર્ણ $d = 80 \, cm$ વચ્ચેનો સંબંધ $s = d / \sqrt{2} = 80 / \sqrt{2} = 40\sqrt{2} \, cm$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ: $A(0, 0)$,$B(40\sqrt{2}, 0)$,$C(40\sqrt{2}, 40\sqrt{2})$,અને $D(0, 40\sqrt{2})$ છે.
દળ: $m_A = 8 \, kg, m_B = 2 \, kg, m_C = 4 \, kg, m_D = 2 \, kg$. કુલ દળ $M = 8 + 2 + 4 + 2 = 16 \, kg$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $X_{cm} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C + m_D x_D}{M} = \frac{8(0) + 2(40\sqrt{2}) + 4(40\sqrt{2}) + 2(0)}{16} = \frac{240\sqrt{2}}{16} = 15\sqrt{2} \, cm$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $Y_{cm} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C + m_D y_D}{M} = \frac{8(0) + 2(0) + 4(40\sqrt{2}) + 2(40\sqrt{2})}{16} = \frac{240\sqrt{2}}{16} = 15\sqrt{2} \, cm$.
$A(0, 0)$ થી અંતર $R = \sqrt{X_{cm}^2 + Y_{cm}^2} = \sqrt{(15\sqrt{2})^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{450 + 450} = \sqrt{900} = 30 \, cm$.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનસદિશનું સૂત્ર $\vec{r}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ છે.
અહીં $m_1 = 1 \ kg$,$\vec{r}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $m_2 = 3 \ kg$,$\vec{r}_2 = -3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r}_{cm} = \frac{1(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + 3(-3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})}{1 + 3}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} - 9\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{4}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{-8\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4}$
$\vec{r}_{cm} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.

(B) ધારો કે બે કણો $x$-અક્ષ પર રહેલા છે. ધારો કે દળ $m_1$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને દળ $m_2$ એ $(L, 0)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{CM}$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
$x_1 = 0$ અને $x_2 = L$ કિંમતો મૂકતા:
$x_{CM} = \frac{m_1(0) + m_2(L)}{m_1 + m_2}$
$x_{CM} = \frac{m_2 L}{m_1 + m_2}$
કણો $x$-અક્ષ પર હોવાથી,$y_{CM} = 0$ અને $z_{CM} = 0$ થશે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ નું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
ગોળાઓ સમાન હોવાથી અને $X$-અક્ષ પર ગોઠવાયેલા હોવાથી,તેમના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રોના સ્થાન $P = 0$,$Q = PQ$ અને $R = PR$ થશે.
દરેક ગોળાનું દળ $m = 1 \ kg$ છે.
તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $x_{cm}$ નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
$x_{cm} = \frac{(1 \times 0) + (1 \times PQ) + (1 \times PR)}{1 + 1 + 1}$
$x_{cm} = \frac{PQ + PR}{3}$

(A) ધારો કે ત્રણ સમાન દળ $m_1 = m_2 = m_3 = m$ છે.
યામ $(x_1, y_1) = (0,0)$,$(x_2, y_2) = (a,0)$,અને $(x_3, y_3) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m(0) + m(a) + m(\frac{a}{2})}{m + m + m} = \frac{m(a + \frac{a}{2})}{3m} = \frac{\frac{3a}{2}}{3} = \frac{a}{2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$y_{CM} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m(0) + m(0) + m(\frac{a\sqrt{3}}{2})}{m + m + m} = \frac{m(\frac{a\sqrt{3}}{2})}{3m} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left( \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6} \right)$ છે.

(D) મીટર પટ્ટીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર હોય છે,જે ધરીથી $L/2 = 0.5 \ m$ ના અંતરે છે.
જ્યારે પટ્ટીને $\theta = 60^o$ ના ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર જેટલી ઊભી ઊંચાઈ $h$ પર ઉપર જાય છે તે નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{L}{2} - \frac{L}{2} \cos \theta$
અહીં $L = 1 \ m$ અને $\theta = 60^o$ આપેલ છે:
$h = 0.5 - 0.5 \cos 60^o = 0.5 - 0.5 \times 0.5 = 0.5 - 0.25 = 0.25 \ m$
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta U = mgh$
દળ $m = 400 \ g = 0.4 \ kg$ અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા:
$\Delta U = 0.4 \times 10 \times 0.25 = 4 \times 0.25 = 1 \ J$.

(A) વિસ્ફોટ પહેલાં,કણ $x$-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે,તેથી $y$-દિશામાં તેનો પ્રારંભિક વેગ ઘટક શૂન્ય છે $(v_{y,i} = 0)$.
$y$-દિશામાં કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $(y_{cm})$ અચળ એટલે કે $0$ રહેશે (ધારો કે પ્રારંભિક $y$-યામ $0$ હતો).
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$.
અહીં $m_1 = m/4$,$y_1 = 15 \ cm$,$m_2 = 3m/4$ અને $y_{cm} = 0$ આપેલ છે.
$0 = \frac{(m/4)(15) + (3m/4)(y_2)}{m/4 + 3m/4}$.
$0 = \frac{m}{4} (15 + 3y_2) / m$.
$15 + 3y_2 = 0$.
$3y_2 = -15$.
$y_2 = -5 \ cm$.

(D) ત્રણેય દડા સમાન હોવાથી અને તેમના કેન્દ્રો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવતા હોવાથી,આ તંત્ર ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણીય સંમિતિ ધરાવે છે.
સમાન કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તે ગોઠવણીના ભૌમિતિક કેન્દ્ર (મધ્યકેન્દ્ર) પર સ્થિત હોય છે.
તેથી,ત્રણ દડાઓના તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેમના કેન્દ્રો દ્વારા બનતા સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર પર સ્થિત હશે.

(A) ધારો કે કેન્દ્ર $P$ નું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
ગોળાઓ સમાન અને એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી,પાસપાસેના ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર ગોળાના વ્યાસ $d$ જેટલું છે.
તેથી,કેન્દ્રોના યામ નીચે મુજબ છે:
$P = (0, 0)$
$Q = (d, 0)$
$R = (2d, 0)$
અહીં $PQ = d$ અને $PR = 2d$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $(x_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{m_P x_P + m_Q x_Q + m_R x_R}{m_P + m_Q + m_R}$
$m_P = m_Q = m_R = 1 \ kg$ હોવાથી:
$x_{cm} = \frac{1(0) + 1(d) + 1(2d)}{1 + 1 + 1} = \frac{3d}{3} = d$
$PQ = d$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $P$ થી અંતર $PQ$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટેનું સૂત્ર:
$x_{cm} = \frac{0 + PQ + PR}{3} = \frac{PQ + PR}{3}$.

(A) પ્રથમ દળ $m_1$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x$ નું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $x = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2}$.
અહીં,$m_1 = 1.5 \ g$,$m_2 = 2.5 \ g$,અને $d = 16 \ cm$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{2.5 \times 16}{1.5 + 2.5}$
$x = \frac{40}{4}$
$x = 10 \ cm$.

(C) ધારો કે નીચેના પુસ્તક (પુસ્તક $1$) ની ડાબી ધાર $x = 0$ પર છે. દરેક પુસ્તકની લંબાઈ $L$ છે.
પુસ્તક $1$ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = L/2$ પર છે.
પુસ્તક $2$ માટે,ડાબી ધાર $x = L/4$ પર છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = L/4 + L/2 = 3L/4$ પર છે.
પુસ્તક $3$ માટે,ડાબી ધાર $x = L/4 + L/4 = L/2$ પર છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_3 = L/2 + L/2 = L$ પર છે.
પુસ્તક $4$ માટે,ડાબી ધાર $x = L/4 + L/4 + L/4 = 3L/4$ પર છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_4 = 3L/4 + L/2 = 5L/4$ પર છે.
બધા પુસ્તકોનું દળ $m$ સમાન હોવાથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$x_{cm} = \frac{m(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)}{4m} = \frac{L/2 + 3L/4 + L + 5L/4}{4}$
$x_{cm} = \frac{(2L + 3L + 4L + 5L)/4}{4} = \frac{14L/4}{4} = \frac{14L}{16} = \frac{7L}{8} = 0.875\ L$.

(C) ધારો કે ત્રણ સળિયા $OA$,$OB$ અને $AB$ છે,જે દરેકનું દળ $m$ અને લંબાઈ $a$ છે.
$1$. $OA$ સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ (x-અક્ષ પર $(0,0)$ થી $(a,0)$ સુધી) $(a/2, 0)$ પર છે.
$2$. $OB$ સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ (y-અક્ષ પર $(0,0)$ થી $(0,a)$ સુધી) $(0, a/2)$ પર છે.
$3$. $AB$ સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ($(a,0)$ અને $(0,a)$ ને જોડતી રેખા) રેખાખંડના મધ્યબિંદુ $(a/2, a/2)$ પર છે.
હવે,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામની ગણતરી કરીએ:
$X_{cm} = \frac{m(a/2) + m(0) + m(a/2)}{m + m + m} = \frac{ma}{3m} = \frac{a}{3}$
$Y_{cm} = \frac{m(0) + m(a/2) + m(a/2)}{m + m + m} = \frac{ma}{3m} = \frac{a}{3}$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(a/3, a/3)$ છે.

(C) ધારો કે સળિયાને $x$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યો છે,જેનો એક છેડો ઊગમબિંદુ પર છે. સળિયો $x$-અક્ષ પર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના $y$ અને $z$ યામ શૂન્ય થશે,એટલે કે $y_{CM} = 0$ અને $z_{CM} = 0$.
ઊગમબિંદુથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ભાગ ધ્યાનમાં લો. આ નાના ભાગનું દળ $dm = \lambda dx = (A + Bx)dx$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{CM} = \frac{\int_{0}^{L} x dm}{\int_{0}^{L} dm} = \frac{\int_{0}^{L} x(A + Bx) dx}{\int_{0}^{L} (A + Bx) dx}$
સંકલન કરતાં:
અંશ: $\int_{0}^{L} (Ax + Bx^2) dx = [\frac{Ax^2}{2} + \frac{Bx^3}{3}]_{0}^{L} = \frac{AL^2}{2} + \frac{BL^3}{3} = \frac{3AL^2 + 2BL^3}{6} = \frac{L^2(3A + 2BL)}{6}$
છેદ: $\int_{0}^{L} (A + Bx) dx = [Ax + \frac{Bx^2}{2}]_{0}^{L} = AL + \frac{BL^2}{2} = \frac{2AL + BL^2}{2} = \frac{L(2A + BL)}{2}$
તેથી,$x_{CM} = \frac{L^2(3A + 2BL)}{6} \times \frac{2}{L(2A + BL)} = \frac{L(3A + 2BL)}{3(2A + BL)}$.

(A) જ્યારે પદાર્થ પર લાગતું બળ તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $(CM)$ પર હોય,ત્યારે પદાર્થ ચાકગતિ કર્યા વિના શુદ્ધ રેખીય ગતિ કરે છે.
ધારો કે $l$ લંબાઈના $AB$ સળિયાનું દળ $m$ છે. તેથી $2l$ લંબાઈના $CD$ સળિયાનું દળ $2m$ થશે.
$AB$ સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ $D$ પર છે અને $CD$ સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર છે,જે $D$ થી $l$ અંતરે અને $C$ થી $l$ અંતરે છે.
ધારો કે બિંદુ $C$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
$CD$ સળિયાના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ $(m_1 = 2m)$: $(0, l)$.
$AB$ સળિયાના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ $(m_2 = m)$: $(0, 2l)$.
તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$
$Y_{cm} = \frac{(2m)(l) + (m)(2l)}{2m + m}$
$Y_{cm} = \frac{2ml + 2ml}{3m} = \frac{4ml}{3m} = \frac{4}{3}l$
આમ,બળ બિંદુ $C$ થી $\frac{4}{3}l$ અંતરે લગાડવું જોઈએ.

(D) ધારો કે ચોરસ $XY$-સમતલમાં છે,જ્યાં $P(0, a), Q(a, a), R(a, 0)$ અને $S(0, 0)$ છે.
દળ $m_P = 1 \ kg, m_Q = 1 \ kg, m_R = 2 \ kg, m_S = 2 \ kg$ છે.
$P$ અને $S$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $PS$ બાજુ પર $O_1$ બિંદુએ છે,જે $S$ થી $y_1 = \frac{m_P \cdot a + m_S \cdot 0}{m_P + m_S} = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{a}{3}$ અંતરે છે.
$Q$ અને $R$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $QR$ બાજુ પર $O_2$ બિંદુએ છે,જે $R$ થી $y_2 = \frac{m_Q \cdot a + m_R \cdot 0}{m_Q + m_R} = \frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{1 + 2} = \frac{a}{3}$ અંતરે છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = 1 + 1 + 2 + 2 = 6 \ kg$ છે.
આખા તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O_1$ અને $O_2$ ને જોડતી રેખા પર $Y$-અક્ષથી $x_{cm} = \frac{(m_P+m_S) \cdot 0 + (m_Q+m_R) \cdot a}{M} = \frac{3 \cdot 0 + 3 \cdot a}{6} = \frac{a}{2}$ અંતરે આવેલું છે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(\frac{a}{2}, \frac{a}{3})$ પર છે.
ખૂણાઓથી અંતરની સરખામણી કરતા: દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $R$ અને $S$ થી સૌથી નજીક છે અને $P$ અને $Q$ થી સૌથી દૂર છે.

(B) સળિયાની રેખીય ઘનતા $\lambda = \frac{dm}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $dm = \lambda \, dx$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm}$
$\lambda = 2 + x$ અને $0$ થી $3$ ની સીમાઓ મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} x(2 + x) \, dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx}$
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} (2x + x^2) \, dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx}$
સંકલન કરતા:
અંશ: $[x^2 + \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + \frac{3^3}{3}) = 9 + 9 = 18$
છેદ: $[2x + \frac{x^2}{2}]_{0}^{3} = (2(3) + \frac{3^2}{2}) = 6 + 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2}$
$x_{cm} = \frac{18}{21/2} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7} \ m$

(D) ધારો કે $l$ લંબાઈના તારનું દળ $m$ છે.
$AB$ ભાગ માટે (લંબાઈ $l$): દળ $m_1 = m$,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $\vec{r}_1 = \left( \frac{l}{2}, 0 \right)$.
$BC$ ભાગ માટે (લંબાઈ $2l$): દળ $m_2 = 2m$,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $\vec{r}_2 = (0, l)$.
$CD$ ભાગ માટે (લંબાઈ $l$): દળ $m_3 = m$,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $\vec{r}_3 = \left( \frac{l}{2}, 2l \right)$.
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m(\frac{l}{2}) + 2m(0) + m(\frac{l}{2})}{m + 2m + m} = \frac{m(l)}{4m} = \frac{l}{4}$.
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{m(0) + 2m(l) + m(2l)}{m + 2m + m} = \frac{4ml}{4m} = l$.
આમ,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ $\left( \frac{l}{4}, l \right)$ છે.

(D) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $x_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{L} x \cdot k(x/L)^n dx}{\int_{0}^{L} k(x/L)^n dx} = \frac{\int_{0}^{L} x^{n+1} dx}{\int_{0}^{L} x^n dx}$
સંકલન કરતા:
$x_{cm} = \frac{L^{n+2} / (n+2)}{L^{n+1} / (n+1)} = L \left( \frac{n+1}{n+2} \right)$
વર્તણૂકનું વિશ્લેષણ:
$1$. જ્યારે $n = 0$ હોય,ત્યારે $x_{cm} = L(1/2) = L/2$.
$2$. જેમ $n \to \infty$ થાય,તેમ $x_{cm} = L \left( \frac{1 + 1/n}{1 + 2/n} \right) \to L$.
$3$. વિકલન $\frac{dx_{cm}}{dn} = L \left( \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+2)^2} \right) = \frac{L}{(n+2)^2} > 0$,જે દર્શાવે છે કે $x_{cm}$ એ $n$ નું વધતું વિધેય છે.
આમ,આલેખ $n=0$ માટે $L/2$ થી શરૂ થાય છે અને જેમ $n$ વધે છે તેમ તે અનંતસ્પર્શી રીતે $L$ ની નજીક પહોંચે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) ધારો કે કણોના સ્થાન નીચે મુજબ છે:
$m$ કણ $(0, 0)$ પર
$2m$ કણ $(a, 0)$ પર
$3m$ કણ $(a, a)$ પર
$4m$ કણ $(0, a)$ પર
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$X_{CM} = \frac{m(0) + 2m(a) + 3m(a) + 4m(0)}{m + 2m + 3m + 4m} = \frac{5ma}{10m} = \frac{a}{2}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ:
$Y_{CM} = \frac{m(0) + 2m(0) + 3m(a) + 4m(a)}{m + 2m + 3m + 4m} = \frac{7ma}{10m} = \frac{7}{10}a$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left( \frac{a}{2}, \frac{7}{10}a \right)$ છે.

(A) ધારો કે,આપેલ પદાર્થોનું એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ દળ $\sigma$ છે.
ચોરસ તકતીનું દળ $m_1 = \sigma l^2$ છે.
વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $m_2 = \sigma \pi \left( \frac{l}{2} \right)^2 = \sigma l^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$ છે.
અહીં,$m_1 > m_2$ હોવાથી (કારણ કે $\pi/4 \approx 0.785 < 1$),તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર વધુ દળ ધરાવતા પદાર્થ એટલે કે ચોરસ તકતીની નજીક હશે. તેથી,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર ચોરસ તકતીની અંદર હશે.

(C) સમાન દ્રવ્યમાન ધરાવતી ત્રિકોણાકાર પ્લેટ (લેમિના) માટે,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર (centroid) પર હોય છે.
જો કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(b, 0)$ અને $(0, h)$ હોય,તો દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ $(x_{cm}, y_{cm})$ એ શિરોબિંદુઓના યામની સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$x_{cm} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{0 + b + 0}{3} = \frac{b}{3}$
$y_{cm} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} = \frac{0 + 0 + h}{3} = \frac{h}{3}$
તેથી,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ $\left( \frac{b}{3}, \frac{h}{3} \right)$ થશે.

(B) ધારો કે એકમ લંબાઈદીઠ દળ $\lambda = kx$ છે,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
સળિયાના $x=0$ છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક સૂક્ષ્મ ખંડ લો.
આ ખંડનું દળ $dm = \lambda dx = kx dx$ થશે.
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $x_{cm}$ શોધવાનું સૂત્ર:
$x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$
કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{\int_0^3 x (kx dx)}{\int_0^3 kx dx} = \frac{\int_0^3 x^2 dx}{\int_0^3 x dx}$
સંકલન કરતા:
$x_{cm} = \frac{[x^3/3]_0^3}{[x^2/2]_0^3} = \frac{27/3}{9/2} = \frac{9}{4.5} = 2 \ m$.

(B) સળિયાની લંબાઈ એ બે દળ વચ્ચેનું અંતર છે:
$L = |\vec{r}_2 - \vec{r}_1| = \sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \ m$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{r}_{CM}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{r}_{CM} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2} = \frac{3(2 \hat{i} + 5 \hat{j}) + 2(4 \hat{i} + 2 \hat{j})}{3 + 2}$
$\vec{r}_{CM} = \frac{(6 \hat{i} + 15 \hat{j}) + (8 \hat{i} + 4 \hat{j})}{5} = \frac{14 \hat{i} + 19 \hat{j}}{5} = \left( \frac{14}{5} \hat{i} + \frac{19}{5} \hat{j} \right) \ m$.

(C) ધારો કે $H$ પરમાણુનું દળ $m_1 = 1 \ \text{unit}$ અને $Cl$ પરમાણુનું દળ $m_2 = 35.5 \ \text{units}$ છે.
$H$ પરમાણુને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર મૂકો. તેથી $H$ પરમાણુનું સ્થાન $r_1 = 0$ અને $Cl$ પરમાણુનું સ્થાન $r_2 = 1.27 \ \mathring A$ થશે.
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $R_{cm}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$R_{cm} = \frac{(1)(0) + (35.5)(1.27)}{1 + 35.5}$
$R_{cm} = \frac{35.5 \times 1.27}{36.5}$
$R_{cm} \approx 1.24 \ \mathring A$
આમ,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $H$ પરમાણુથી $1.24 \ \mathring A$ અંતરે હશે.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = 6m + m + m + m + m = 10m$ છે.
વિવિધ ભાગોના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના $y$-યામ નીચે મુજબ છે:
બહારનું વર્તુળ: $y_1 = 0$,દળ $m_1 = 6m$
ડાબું આંતરિક વર્તુળ: $y_2 = a$,દળ $m_2 = m$
જમણું આંતરિક વર્તુળ: $y_3 = a$,દળ $m_3 = m$
સમક્ષિતિજ રેખાખંડ: $y_4 = -a$,દળ $m_4 = m$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3 + m_4 y_4}{M}$
$Y_{cm} = \frac{(6m)(0) + (m)(a) + (m)(a) + (m)(-a)}{10m}$
$Y_{cm} = \frac{0 + ma + ma - ma}{10m} = \frac{ma}{10m} = \frac{a}{10}$

(B) ધારો કે પ્રથમ ત્રણ પદાર્થોનું કુલ દળ $M = 10 + 20 + 30 = 60 \ kg$ છે. તેમનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $\vec{r}_{cm} = (0, 0, 0)$ છે.
ધારો કે ચોથા પદાર્થનું દળ $m = 40 \ kg$ છે અને તેનું સ્થાન $\vec{r} = (x, y, z)$ છે.
નવા તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $\vec{r}'_{cm} = (3, 3, 3)$ આપેલું છે.
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સૂત્ર: $\vec{r}'_{cm} = \frac{M\vec{r}_{cm} + m\vec{r}}{M + m}$.
કિંમતો મૂકતા: $(3, 3, 3) = \frac{60(0, 0, 0) + 40(x, y, z)}{60 + 40}$.
$(3, 3, 3) = \frac{40(x, y, z)}{100} = 0.4(x, y, z)$.
યામોની સરખામણી કરતા: $3 = 0.4x \Rightarrow x = \frac{3}{0.4} = 7.5 \ m$.
તે જ રીતે,$y = 7.5 \ m$ અને $z = 7.5 \ m$.
આમ,ચોથા પદાર્થનું સ્થાન $(7.5, 7.5, 7.5) \ m$ છે.

(A) આપેલ છે:
$m_1 = 1 \ kg$,$\vec{r}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$m_2 = 3 \ kg$,$\vec{r}_2 = -3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{r}_{CM} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r}_{CM} = \frac{1(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + 3(-3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})}{1 + 3}$
$\vec{r}_{CM} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} - 9\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{4}$
$\vec{r}_{CM} = \frac{-8\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4}$
$\vec{r}_{CM} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$

(A) કણોની સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{CM})$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
આપેલ છે:
$m_1 = 300 \, g, x_1 = 0 \, cm$
$m_2 = 500 \, g, x_2 = 40 \, cm$
$m_3 = 400 \, g, x_3 = 70 \, cm$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{CM} = \frac{300 \times 0 + 500 \times 40 + 400 \times 70}{300 + 500 + 400}$
$X_{CM} = \frac{0 + 20000 + 28000}{1200}$
$X_{CM} = \frac{48000}{1200}$
$X_{CM} = 40 \, cm$

(B) બે કણોની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેમને જોડતી રેખા પર સ્થિત હોય છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $R_{cm} = \frac{m_1r_1 + m_2r_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $d$ અંતરે રહેલા બે દળ $m$ અને $M$ માટે,આપણે $M$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર અને $m$ ને $(d,0)$ પર મૂકીએ,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x = \frac{M(0) + m(d)}{M + m} = \frac{md}{M + m}$ પર હશે.
અહીં $M > m$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ભારે દળ $M$ ની વધુ નજીક હશે. તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $M$ ની તરફ સ્થિત છે.

(C) ધારો કે હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ $m_1 = 1$ છે અને ક્લોરિન પરમાણુનું દળ $m_2 = 35.5$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુને ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર મૂકતા,તેનું સ્થાન $\vec{r}_1 = 0$ થશે.
ક્લોરિન પરમાણુ હાઇડ્રોજન પરમાણુથી $x$-અક્ષ પર $1.27 \mathring{A}$ ના અંતરે છે,તેથી તેનું સ્થાન $\vec{r}_2 = 1.27 \hat{i} \mathring{A}$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $\vec{R}_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{R}_{cm} = \frac{1 \times 0 + 35.5 \times 1.27 \hat{i}}{1 + 35.5}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{35.5 \times 1.27}{36.5} \hat{i}$
$\vec{R}_{cm} \approx 0.9726 \times 1.27 \hat{i} \approx 1.235 \hat{i} \mathring{A}$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,સ્થાન હાઇડ્રોજન પરમાણુથી આશરે $1.24 \mathring{A}$ મળે છે.

(C) ધારો કે કાર્બન પરમાણુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે. કાર્બન પરમાણુનું સ્થાન $x_1 = 0$ અને દળ $m_1 = 12 \, a.m.u.$ છે.
ઓક્સિજન પરમાણુનું સ્થાન $x_2 = 1.1 \, \mathring A$ અને દળ $m_2 = 16 \, a.m.u.$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
$X_{cm} = \frac{12 \times 0 + 16 \times 1.1}{12 + 16}$
$X_{cm} = \frac{17.6}{28} \, \mathring A$
$X_{cm} \approx 0.6285 \, \mathring A \approx 0.63 \, \mathring A$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કાર્બન પરમાણુથી $0.63 \, \mathring A$ અંતરે આવેલું છે.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
આપેલ છે: $m_1 = 20 \, g$,$m_2 = 30 \, g$,$m_3 = 50 \, g$ અને $\vec{v}_1 = 10 \, \hat{i} \, cm/s$,$\vec{v}_2 = 10 \, \hat{j} \, cm/s$,$\vec{v}_3 = 10 \, \hat{k} \, cm/s$.
કુલ દળ $M = 20 + 30 + 50 = 100 \, g$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v}_{cm} = \frac{20(10 \, \hat{i}) + 30(10 \, \hat{j}) + 50(10 \, \hat{k})}{100}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{200 \, \hat{i} + 300 \, \hat{j} + 500 \, \hat{k}}{100}$
$\vec{v}_{cm} = 2 \, \hat{i} + 3 \, \hat{j} + 5 \, \hat{k}$

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ પરના દળ $m_1 = m, m_2 = 2m, m_3 = 3m, m_4 = 4m$ છે.
$x-y$ સમતલમાં સમબાજુ ચતુષ્કોણની ભૂમિતિ મુજબ:
$r_1 = (0, 0)$
$r_2 = (a \cos 60^o, a \sin 60^o) = (a/2, a\sqrt{3}/2)$
$r_3 = (a + a \cos 60^o, a \sin 60^o) = (3a/2, a\sqrt{3}/2)$
$r_4 = (a, 0)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3 + m_4x_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = \frac{m(0) + 2m(a/2) + 3m(3a/2) + 4m(a)}{10m} = \frac{9.5am}{10m} = 0.95a$
$Y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3 + m_4y_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} = \frac{m(0) + 2m(a\sqrt{3}/2) + 3m(a\sqrt{3}/2) + 4m(0)}{10m} = \frac{2.5a\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{4}a$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(0.95a, \frac{\sqrt{3}}{4}a)$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. વિકર્ણ $d = a\sqrt{2} = 80 \ cm$,તેથી $a = 40\sqrt{2} \ cm$.
$A$ ને $(0, 0)$ પર,$B$ ને $(a, 0)$ પર,$C$ ને $(a, a)$ પર અને $D$ ને $(0, a)$ પર મૂકો.
દળ $m_A = 8 \ kg, m_B = 2 \ kg, m_C = 4 \ kg, m_D = 2 \ kg$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X, Y)$ ના યામ:
$X = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C + m_D x_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{8(0) + 2(a) + 4(a) + 2(0)}{16} = \frac{6a}{16} = \frac{3a}{8}$.
$Y = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C + m_D y_D}{16} = \frac{8(0) + 2(0) + 4(a) + 2(a)}{16} = \frac{6a}{16} = \frac{3a}{8}$.
$a = 40\sqrt{2} \ cm$ મૂકતા:
$X = \frac{3(40\sqrt{2})}{8} = 15\sqrt{2} \ cm$ અને $Y = 15\sqrt{2} \ cm$.
$A(0, 0)$ થી અંતર $r = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{(15\sqrt{2})^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{450 + 450} = \sqrt{900} = 30 \ cm$.