Toppling and Instantaneous Axis of Rotation Questions in Gujarati

(C) બ્લોકને પલટી ખવડાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ શોધવા માટે,આપણે તે ધાર (pivot point $P$) ની આસપાસ ટોર્ક ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાંથી તે પલટી ખાવાનું શરૂ કરશે.
પલટી ખાવાની નિર્ણાયક સ્થિતિમાં,લંબબળ $N$ એ ધાર $P$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ $P$ ની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_{mg} = mg \times (L/2)$ છે.
બિંદુ $P$ ની આસપાસ લાગુ પાડેલા આડા બળ $F$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_{F} = F \times L$ છે.
બ્લોક પલટી ખાય તે માટે,લાગુ પાડેલા બળને કારણે લાગતું ટોર્ક એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતા ટોર્ક કરતા વધારે હોવું જોઈએ:
$\tau_{F} > \tau_{mg}$
$F \times L > mg \times (L/2)$
$F > mg/2$
આમ,બ્લોકને પલટી ખવડાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F = mg/2$ છે.

(A) સરક્યા વિના ગબડતી તકતી માટે,ક્ષણિક પરિભ્રમણ અક્ષ $O$ થી $r'$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુનો વેગ $v = r' \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ તકતીનો કોણીય વેગ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,$O$ એ જમીન સાથેનો સંપર્ક બિંદુ છે,જે ક્ષણિક પરિભ્રમણ કેન્દ્ર છે.
ક્ષણિક કેન્દ્ર $O$ થી બિંદુઓ $P$,$C$ અને $Q$ ના અંતર અનુક્રમે $r_P$,$r_C$ અને $r_Q$ છે.
તકતીની ભૂમિતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $r_P < r_C < r_Q$.
કારણ કે $v = r' \omega$ અને તકતીના તમામ બિંદુઓ માટે $\omega$ અચળ છે,તેથી વેગ એ ક્ષણિક કેન્દ્ર $O$ થી અંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$v_P < v_C < v_Q$ અથવા $v_Q > v_C > v_P$.

(C) બ્લોકને ઉથલાવવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ બળ શોધવા માટે,આપણે ધાર $O$ (પિવોટ પોઈન્ટ) ની આસપાસ ટોર્ક ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જેની આસપાસ બ્લોક ઉથલશે.
પગલું $1$: બ્લોક પર લાગતા બળોને ઓળખો.
- લાગુ પાડવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ બળ $F$ ઉપરની ધાર પર,પાયાથી $L$ ઊંચાઈએ લાગે છે.
- બ્લોકનું વજન $mg$ ગુરુત્વકેન્દ્ર પર લાગે છે,જે પિવોટ પોઈન્ટ $O$ થી $L/2$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છે.
- ઉથલતી વખતે લંબબળ $N$ ધાર $O$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પગલું $2$: ઉથલવા માટેની શરત લાગુ કરો.
બ્લોક ઉથલવાની અણી પર હોય તે માટે,પિવોટ પોઈન્ટ $O$ ની આસપાસ લાગુ બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક,તે જ બિંદુની આસપાસ વજન $mg$ ને કારણે ટોર્ક જેટલું હોવું જોઈએ.
$F$ ને કારણે ટોર્ક (ઘડિયાળની દિશામાં) = $F \times L$
વજન $mg$ ને કારણે ટોર્ક (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) = $mg \times \frac{L}{2}$
ટોર્કને સરખાવતા:
$F \times L = mg \times \frac{L}{2}$
$F = \frac{mg}{2}$
આમ,બ્લોકને ઉથલાવવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ બળ $\frac{mg}{2}$ છે.

(A) શુદ્ધ ગબડતી ગતિના કિસ્સામાં,ડિસ્કનું સૌથી નીચેનું બિંદુ $O$ એ તત્કાલીન કેન્દ્ર $(ICR)$ છે,જ્યાં વેગ શૂન્ય હોય છે.
ડિસ્ક પરના કોઈપણ બિંદુનો વેગ $V = r \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ તત્કાલીન કેન્દ્ર $O$ થી બિંદુનું અંતર છે અને $\omega$ એ ડિસ્કનો કોણીય વેગ છે.
ડિસ્કની ભૂમિતિ પરથી,તત્કાલીન કેન્દ્ર $O$ થી બિંદુઓ $Q, C$ અને $P$ ના અંતરો $r_Q > r_C > r_P$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
જેহেতু $V = r \omega$ અને $\omega$ ડિસ્ક પરના તમામ બિંદુઓ માટે સમાન છે,તેથી $V_Q > V_C > V_P$ મળે છે.

(B) પોલા શંકુ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના પાયાથી સંમિતિની ધરી પર $h_{cm} = H/3$ ઊંચાઈએ આવેલું હોય છે.
અહીં ઊંચાઈ $H = 2R$ આપેલ છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પાયાથી $h_{cm} = (2R)/3 = 2R/3$ અંતરે છે.
જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની કાર્યરેખા (જે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે) શંકુના પાયાની બહાર જાય ત્યારે શંકુ ગબડી પડશે.
ગબડવાની સ્થિતિમાં,વજનની કાર્યરેખા પાયાની ધારમાંથી પસાર થાય છે.
આ સ્થિતિમાં,સમતલનો ઢાળ $\theta$ એ શિરોલંબ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી પાયાની ધારને જોડતી રેખા વચ્ચેના ખૂણા જેટલો હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $(2R/3)$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $(R)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $\tan \theta = \frac{\text{ત્રિજ્યા}}{\text{CM ની ઊંચાઈ}} = \frac{R}{2R/3} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(3/2)$.

(B) દ્રઢ પદાર્થ માટે,કોઈપણ બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_B - \vec{v}_A = \vec{\omega} \times \vec{r}_{AB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પરિભ્રમણનું કેન્દ્ર બિંદુ $A$ થી ત્રિજ્યાની દિશામાં $x$ અંતરે છે. બિંદુ $A$ નો વેગ $v_A = \omega x$ અને બિંદુ $B$ નો વેગ $v_B = \omega (x+R)$ છે.
અહીં $v_A = v$ અને $v_B = v$ આપેલ છે,તેથી:
$v = \omega x$ --- $(1)$
$v = \omega (x+R)$ --- $(2)$
જોકે,વેગની દિશાઓ જોતા,તે પરસ્પર લંબ છે. તત્કાલીન પરિભ્રમણ કેન્દ્ર $(ICR)$ એ $A$ અને $B$ પરના વેગ સદિશોને દોરેલા લંબના છેદબિંદુ પર સ્થિત છે.
$v_A$ શિરોલંબ છે અને $v_B$ સમક્ષિતિજ છે,તેથી $ICR$ એ $A$ થી સમક્ષિતિજ રીતે $R$ અંતરે અને $B$ થી શિરોલંબ રીતે $R$ અંતરે છે.
આમ,$ICR$ નું બિંદુ $A$ થી અંતર $r_A = R$ અને બિંદુ $B$ થી અંતર $r_B = R$ છે.
તેથી,$v = \omega R$,જે પરથી $\omega = \frac{v}{R}$ મળે છે.

(C) ધારો કે તત્કાલીન પરિભ્રમણ અક્ષ $v_1$ વેગથી ગતિ કરતા છેડાથી $x$ અંતરે છે.
સળિયો આ અક્ષની આસપાસ $\omega$ કોણીય વેગથી પરિભ્રમણ કરતો હોવાથી,અક્ષથી $r$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુનો વેગ $v = \omega r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને છેડાઓ માટે:
$v_1 = \omega x$ અને $v_2 = \omega (l - x)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{x}{l - x}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$v_1(l - x) = v_2 x$
$v_1 l - v_1 x = v_2 x$
$v_1 l = x(v_1 + v_2)$
$x = \frac{v_1 l}{v_1 + v_2}$.

(D) ધારો કે સીડી $AB$ છે જેની લંબાઈ $L$ છે. છેડો $A$ ભોંયતળિયા પર છે અને $B$ દીવાલ પર છે. ત્વરિત પરિભ્રમણ અક્ષ $(IAR)$ બિંદુ $O$ પર છે,જે $A$ અને $B$ ના વેગના લંબના છેદબિંદુ છે.
સીડીનો કોણીય વેગ $\omega = v / (L \cos \alpha)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\alpha = 30^o$,તેથી $\cos 30^o = \sqrt{3}/2$,એટલે કે $\omega = v / (L \cdot \sqrt{3}/2) = 2v / (L \sqrt{3})$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ એ $IAR$ $O$ થી $r = L/2$ અંતરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $v_c = r \omega = (L/2) \cdot (2v / (L \sqrt{3})) = v / \sqrt{3}$.
આપેલ વિકલ્પોમાં $v/\sqrt{3}$ ન હોવાથી,સાચો જવાબ 'કોઈ નહીં' છે.

(D) સરકતા પહેલા પલટી જવા માટે:
જ્યારે $mg \sin \theta$ ને કારણે ધારની આસપાસનું ટોર્ક $mg \cos \theta$ ને કારણે લાગતા ટોર્ક કરતા વધી જાય ત્યારે પલટી જવાની ઘટના બને છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\tan \theta > \frac{a}{h}$ હોય.
જ્યારે $mg \sin \theta > \mu mg \cos \theta$ થાય,એટલે કે $\tan \theta > \mu$ થાય ત્યારે સરકવાની ઘટના બને છે.
જો $\mu > \frac{a}{h}$ હોય,તો $\tan \theta$ એ $\mu$ સુધી પહોંચે તે પહેલાં $\frac{a}{h}$ ના મૂલ્ય સુધી પહોંચી જશે. આમ,બ્લોક પહેલા પલટી જશે.
પલટતા પહેલા સરકવા માટે:
જો $\mu < \frac{a}{h}$ હોય,તો $\tan \theta$ એ $\frac{a}{h}$ સુધી પહોંચે તે પહેલાં $\mu$ ના મૂલ્ય સુધી પહોંચી જશે. આમ,બ્લોક પહેલા સરકી જશે.
તેથી,બંને વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(D) સળિયા $AB$ ની ગતિને તત્કાલીન પરિભ્રમણ કેન્દ્ર $(ICR)$ ની આસપાસ શુદ્ધ પરિભ્રમણ તરીકે વર્ણવી શકાય છે.
બે લંબ દીવાલો વચ્ચે સરકતા સળિયા માટે,છેડા $A$ નો વેગ શિરોલંબ છે અને છેડા $B$ નો વેગ સમક્ષિતિજ છે.
$A$ અને $B$ આગળના વેગ સદિશો પરથી દોરેલી લંબ રેખાઓ બિંદુ $D$ પર છેદે છે.
તેથી,આ ક્ષણે બિંદુ $D$ એ સળિયાનું $ICR$ છે.
$ICR$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને શુદ્ધ પરિભ્રમણ કરતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I_{ICR} \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $ICR$ બિંદુ $D$ પર હોવાથી,ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} I_D \omega^2$ થશે.

(C) ક્રેટને પલટાવવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ક્રેટના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે. ધારો કે પરિમાણો $L = 80 \ cm = 0.8 \ m$,$H = 60 \ cm = 0.6 \ m$ છે.
ધાર $AB$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતો વધારો $\Delta h_1 = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2} - 0.3 = 0.5 - 0.3 = 0.2 \ m$ છે.
કાર્ય $W_1 = mg \Delta h_1 = 100 \times 10 \times 0.2 = 200 \ J$.
ધાર $A_1B_1$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતો વધારો $\Delta h_2 = \sqrt{(0.3)^2 + (0.4)^2} - 0.4 = 0.5 - 0.4 = 0.1 \ m$ છે.
કાર્ય $W_2 = mg \Delta h_2 = 100 \times 10 \times 0.1 = 100 \ J$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = 200 + 100 = 300 \ J$.

(A) ઘાત દરમિયાન ધાર (lip) ની સાપેક્ષમાં સમઘનનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે. પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = M v_0 a$ છે.
ધારની સાપેક્ષમાં સમઘનની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{10}{3} M a^2$ છે.
કોણીય વેગમાનને સરખાવતા: $M v_0 a = I \omega = \frac{10}{3} M a^2 \omega$,જે આપે છે $\omega = \frac{3 v_0}{10 a}$.
સમઘન પલટી જાય તે માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રએ ધારથી સૌથી ઊંચા બિંદુ સુધી પહોંચવું આવશ્યક છે,જે ધારથી $a\sqrt{2}$ અંતરે છે. સ્થિતિ ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = Mg(a\sqrt{2} - a) = Mga(\sqrt{2} - 1)$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} I \omega^2 = \Delta U$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને મળે છે $v_0 = \sqrt{\frac{16}{3} ga(\sqrt{2} - 1)}$.

(C) ટેબલને ઉથલતું અટકાવવા માટે,તે બે નજીકના પાયાને જોડતી રેખાની આસપાસ ફરશે. ધારો કે ટેબલનું કેન્દ્ર $C$ છે અને જ્યાં દળ $m$ કિનારી પર મૂકવામાં આવ્યું છે તે બિંદુ $A$ છે. બે નજીકના પાયાને જોડતી રેખા ધરી (pivot axis) તરીકે કામ કરે છે,જે બિંદુ $B$ માંથી પસાર થાય છે.
નિર્ણાયક સ્થિતિમાં,ધરીની આસપાસ દળ $m$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક,ટેબલના વજન $(M)$ ને કારણે લાગતા ટોર્ક દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ધારો કે $R$ એ ટેબલની ત્રિજ્યા છે. કેન્દ્ર $C$ થી ધરી $B$ સુધીનું અંતર $BC = R \cos 45^{\circ} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ છે.
કિનારી $A$ થી ધરી $B$ સુધીનું અંતર $AB = R - BC = R - \frac{R}{\sqrt{2}} = R(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
ધરીની આસપાસ ટોર્કને સંતુલિત કરતા:
$m g (AB) = M g (BC)$
$m (R(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})) = M (\frac{R}{\sqrt{2}})$
$m = M \frac{1/\sqrt{2}}{1 - 1/\sqrt{2}} = M \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$
અહીં $M = 20 \,kg$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ આપેલ છે:
$m = \frac{20}{1.414 - 1} = \frac{20}{0.414} \approx 48.3 \,kg$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી સૌથી નજીકની કિંમત $47 \,kg$ છે.

(A) પ્રિઝમને પલટી ખવડાવવા માટે, તેણે ધાર $C$ ની આસપાસ ફરવું પડશે.
બળ $F$ એ ઉપરના શિરોબિંદુ $A$ પર પાયાથી $h = a\frac{\sqrt{3}}{2}$ ઊંચાઈએ લગાડવામાં આવે છે.
વજન $mg$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે, જે ધાર $C$ થી $a/2$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છે.
પ્રિઝમ પલટી ખાવાની તૈયારીમાં હોય તે માટે, બિંદુ $C$ ની આસપાસ બળ $F$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક, બિંદુ $C$ ની આસપાસ ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ ને કારણે લાગતા ટોર્કને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$C$ ની આસપાસ $F$ ને કારણે ટોર્ક = $F \times h = F \times a\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$C$ ની આસપાસ $mg$ ને કારણે ટોર્ક = $mg \times \frac{a}{2}$.
ટોર્કને સરખાવતા: $F \times a\frac{\sqrt{3}}{2} = mg \times \frac{a}{2}$.
$F$ માટે ઉકેલતા, આપણને $F = \frac{mg}{\sqrt{3}}$ મળે છે.

(B) સમઘનને નમાવવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F$ શોધવા માટે,આપણે તે ધાર (બિંદુ $D$) વિશે ટોર્ક ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જેની આસપાસ તે નમશે.
બિંદુ $D$ વિશે લાગુ કરેલા બળ $F$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_F = F \times \frac{3a}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (જે સમઘનના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે ધાર $D$ થી $\frac{a}{2}$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છે) ને કારણે બિંદુ $D$ વિશે ટોર્ક $\tau_g = mg \times \frac{a}{2}$ છે.
સમઘન નમવાનું શરૂ કરે તે માટે,લાગુ કરેલા બળને કારણે ટોર્ક ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક જેટલું હોવું જોઈએ:
$F \times \frac{3a}{4} = mg \times \frac{a}{2}$
$F$ માટે ઉકેલતા:
$F = mg \times \frac{a}{2} \times \frac{4}{3a}$
$F = \frac{2}{3} mg$
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ બળ $\frac{2}{3} mg$ છે.

(D) ધારો કે સળિયાનો કોણીય વેગ $\omega$ છે. તાત્ક્ષણિક પરિભ્રમણ કેન્દ્ર $I$ થી $r$ અંતરે આવેલા સળિયા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો વેગ $v = \omega r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેડા $A$ નો વેગ ન્યૂનતમ થાય તે માટે,સળિયો છેડા $A$ ની આસપાસ તાત્ક્ષણિક પરિભ્રમણ કેન્દ્ર તરીકે ફરતો હોવો જોઈએ.
બિંદુ $B$ નો વેગ $v_B = 3 \ m/s$ સળિયા સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે આપેલ છે.
સળિયાને લંબ $B$ ના વેગનો ઘટક $v_{B\perp} = v_B \sin 30^{\circ}$ છે.
સળિયો $A$ ની આસપાસ ફરતો હોવાથી,સળિયાને લંબ $B$ નો વેગ $v_{B\perp} = \omega L$ દ્વારા પણ મળે છે,જ્યાં $L = 0.5 \ m$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
$v_{B\perp}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\omega L = v_B \sin 30^{\circ}$
$\omega (0.5) = 3 \times \sin 30^{\circ}$
$\omega (0.5) = 3 \times 0.5$
$\omega = 3 \ rad/s$.
$3 \ rad/s$ એ વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) જ્યારે સળિયાને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા $P$ બિંદુની આસપાસ ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સળિયાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U = mg(\frac{l}{2})$ છે,કારણ કે ગુરુત્વકેન્દ્ર $P$ બિંદુથી $\frac{l}{2}$ અંતરે છે.
સળિયાની ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ $P$ બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા = અંતિમ ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જા:
$mg(\frac{l}{2}) = \frac{1}{2}I\omega^2$
$mg(\frac{l}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{ml^2}{3})\omega^2$
$g = \frac{l}{3}\omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g}{l} \implies \omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$
સળિયાના ઉપરના છેડાનો રેખીય વેગ $v = \omega l$ દ્વારા મળે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{3g}{l}} \times l = \sqrt{3gl}$