$(a)$ અડધી તક્તી અને $(b)$ ચોથા ભાગની તક્તીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધો.

$(a)$ ધારો અડધી તક્તીનું દળ $m$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે તેથી અડધી તક્તીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ, $m+{ M }$/ક્ષેત્રફળ

$=\frac{ M }{\frac{\pi R ^{2}}{2}}=\frac{2 M }{\pi R ^{2}}$

અડધી તક્તીને દળની અને $d r$ જાડાઈની અસંખ્ય $r=0$ થી $r= R$ ત્રિજ્યાઓની બનેલી વિચારો. તેમાંની એક $r$ ત્રિજ્યાની એક રિંગ આકૃતિમાં દર્શાવી છે. અડધા વર્તુળાકાર $r$ ત્રિજ્યા અને $d r$ જાડાઈની રિંગની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ

$d A =\pi r+d r=\pi r d r$

આ રિંગનું દળ $d m=d A \times m$

$\therefore \quad d m=\pi r d r \times \frac{2 M }{\pi R ^{2}}$

$\therefore \quad d m=\frac{2 M }{ R ^{2}} r d r$

જો આ રિંગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(x, y)$ હોય તો

$(x, y)=\left(0, \frac{2 r}{ R }\right)$

$\therefore \quad x=0$ અને $y=\frac{2 r}{ R }$$\ldots(2)$

આ અર્ધવર્તુળાકાર તક્તીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left(x_{ cm }, y_{ cm }\right)$ હોય તો,

$x_{ cm }=\frac{1}{ M } \int_{0}^{ R } x d m=\frac{1}{ M } \int 0 \times d m=0$

અને $y_{ cm }=\frac{1}{ M } \int_{0}^{ R } y d m$

$=\frac{1}{ M } \int_{0}^{ R } \frac{2 r}{ R } \times \frac{2 M }{ R ^{2}} r d r$($\because$ $(1)$ અને $(2)$ પરથી)