Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Gujarati

(C) જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ સૂત્ર $I = M \times R^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી અંતર છે.
$MKS$ (મીટર-કિલોગ્રામ-સેકન્ડ) પદ્ધતિમાં,દળ $M$ નો એકમ $kg$ છે અને અંતર $R$ નો એકમ $m$ છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નો એકમ $kg \times m^2$ થાય છે.

(A) તક્તિની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તક્તિઓ સમાન દ્રવ્ય અને જાડાઈ $(t)$ ધરાવતી હોવાથી,તેમનું દળ $M$ ને $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} = \rho \times (\pi R^2 t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi t R^4$.
અહીં $\rho$,$\pi$ અને $t$ બંને તક્તિઓ માટે અચળ હોવાથી,$I \propto R^4$ મળે છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^4$ થશે.
અહીં $R_1 = 0.2\, m$ અને $R_2 = 0.6\, m$ આપેલ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{0.2}{0.6} \right)^4 = \left( \frac{1}{3} \right)^4 = \frac{1}{81}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 81$ છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \int r^2 dm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $dm$ એ ધરીથી $r$ અંતરે રહેલું દળ છે.
ચોક્કસ કુલ દળ અને ત્રિજ્યા માટે જડત્વની આઘૂર્ણ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે ધરીથી શક્ય તેટલા મોટા અંતર $r$ પર વધુ દળ રાખવું જરૂરી છે.
લોખંડની ઘનતા એલ્યુમિનિયમ કરતા વધારે હોવાથી,લોખંડને બહારની પરિઘ પર (અંદરના ભાગની આસપાસ) રાખવાથી મોટા અંતરે દળનું વિતરણ વધે છે.
તેથી,અંદરના ભાગમાં એલ્યુમિનિયમ અને બહારની તરફ (તેની આસપાસ) લોખંડ રાખવાથી અન્ય ગોઠવણીઓની તુલનામાં જડત્વની આઘૂર્ણ વધારે મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ પર એક નાનો ખંડ લો જેનો કોણીય પહોળાઈ $d\theta$ છે અને તે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે છે.
આ નાના ખંડનું દળ $dm = \frac{M}{\pi R} \cdot R d\theta = \frac{M}{\pi} d\theta$ થશે.
કેન્દ્રની સાપેક્ષે આ નાના ખંડની જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = dm \cdot R^2$ છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ શોધવા માટે,આપણે $\theta = 0$ થી $\theta = \pi$ સુધી $dI$ નું સંકલન કરીશું:
$I = \int_{0}^{\pi} \frac{M}{\pi} d\theta \cdot R^2 = \frac{MR^2}{\pi} \int_{0}^{\pi} d\theta$.
$I = \frac{MR^2}{\pi} [\theta]_{0}^{\pi} = \frac{MR^2}{\pi} (\pi - 0) = MR^2$.
આમ,જડત્વની ચાકમાત્રા $MR^2$ છે.

(A) ચોરસને લંબ અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક કણનું કેન્દ્રથી અંતર $r$ એ વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું છે,$r = \frac{\sqrt{2}l}{2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
$m$ દળના ચાર કણો હોવાથી,$I = 4 \times m \times (\frac{l}{\sqrt{2}})^2 = 4 \times m \times \frac{l^2}{2} = 2ml^2$.
તંત્રનું કુલ દળ $M = 4m$ છે.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ ને $k = \sqrt{\frac{I}{M}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$k = \sqrt{\frac{2ml^2}{4m}} = \sqrt{\frac{l^2}{2}} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

(A) કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અક્ષને અનુલક્ષીને $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં કણનું પરિભ્રમણની અક્ષથી લંબ અંતર છે.
$1$. અક્ષ $m_1$ માંથી પસાર થાય છે અને તે સમબાજુ ત્રિકોણનો વેધ છે. આ અક્ષથી $m_1$ નું લંબ અંતર $r_1 = 0$ છે.
$2$. $a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,વેધ સામેની બાજુને દુભાગે છે. તેથી,$m_1$ માંથી પસાર થતા વેધથી $m_2$ અને $m_3$ બંનેનું લંબ અંતર $r_2 = r_3 = \frac{a}{2}$ થાય.
$3$. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$:
$I = m_1(0)^2 + m_2(\frac{a}{2})^2 + m_3(\frac{a}{2})^2$
$I = 0 + m_2 \frac{a^2}{4} + m_3 \frac{a^2}{4}$
$I = (m_2 + m_3) \frac{a^2}{4}$

(D) ધારો કે બાજુ $AB = B$ અને $BC = L = 2B$ છે. લંબચોરસનું દળ $M$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુઓને સમાંતર ધરી માટે:
$I_{EG} = \frac{MB^2}{12}$
$I_{HF} = \frac{ML^2}{12} = \frac{M(2B)^2}{12} = \frac{4MB^2}{12} = \frac{MB^2}{3}$
વિકર્ણ $BD$ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{BD} = \frac{M B^2 L^2}{6(B^2 + L^2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L = 2B$ મૂકતા:
$I_{BD} = \frac{M B^2 (2B)^2}{6(B^2 + (2B)^2)} = \frac{4MB^4}{6(5B^2)} = \frac{4MB^2}{30} = \frac{2MB^2}{15} \approx 0.133 MB^2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$I_{EG} = 0.0833 MB^2$
$I_{HF} = 0.333 MB^2$
$I_{BD} = 0.133 MB^2$
આમ,ધરી $EG$ પર જડત્વની ચાકમાત્રા ન્યૂનતમ છે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{2}{5} M R^{2}$
અહીં $M$ અચળ હોવાથી,આ સમીકરણ $I = k R^{2}$ સ્વરૂપનું બને છે,જ્યાં $k = \frac{2}{5} M$ એ અચળાંક છે.
આ સમીકરણ $y = a x^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
તેથી,$I$ અને $R$ વચ્ચે દોરવામાં આવેલ આલેખ $I$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત પરવલય હશે.

(A) ભ્રમણ કરતી વસ્તુની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ એ $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ ભ્રમણની ધરીથી દળ $m_i$ નું અંતર છે.
જ્યારે ઉત્તર ધ્રુવ પરનો બરફ પીગળે છે,ત્યારે બનેલું પાણી ભ્રમણની ધરીથી દૂર વહે છે અને પૃથ્વીની સપાટી પર વિષુવવૃત્ત તરફ ફેલાય છે.
જેમ કે દળનું વિતરણ ભ્રમણની ધરીથી દૂરના વિસ્તારોમાં થાય છે (સરેરાશ અંતર $r$ વધે છે),તેથી પૃથ્વીની જડત્વની આઘૂર્ણ વધે છે.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલમાં રહેલી અક્ષ (વ્યાસ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{4}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,તકતી $X-Y$ સમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ પર આવેલું છે.
$X$-અક્ષ તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તકતીના સમતલમાં જ છે.
તેથી,$X$-અક્ષ એ તકતીનો વ્યાસ છે.
તકતીની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{1}{4}MR^2$ હોવાથી,$X$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{1}{4}MR^2$ અથવા $M\left(\frac{R^2}{4}\right)$ થશે.

(A) ધારો કે સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $M_{total}$ છે. કારણ કે આ ભાગ તકતીનો ચોથો ભાગ છે,તેથી તેનું દળ $M = \frac{M_{total}}{4}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $M_{total} = 4M$.
$M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I_{total} = \frac{1}{2}M_{total}R^2$ છે.
સૂત્રમાં $M_{total} = 4M$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I_{total} = \frac{1}{2}(4M)R^2 = 2MR^2$.
સંમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,આ ચતુર્થાંશ ભાગની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_{sector})$ એ સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રાના ચોથા ભાગની હોય છે:
$I_{sector} = \frac{I_{total}}{4} = \frac{2MR^2}{4} = \frac{1}{2}MR^2$.

(B) તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times (\pi R^2 t)$,જ્યાં $t$ એ જાડાઈ છે.
આપેલ છે કે બંને તકતીઓ માટે $M$ અને $t$ સમાન છે,તેથી $M = \rho \pi R^2 t$,જેનો અર્થ છે કે $R^2 = \frac{M}{\pi \rho t}$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi \rho t} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$.
અહીં $M$ અને $t$ અચળ હોવાથી,$I \propto \frac{1}{\rho}$ મળે છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ થશે.
આપેલ છે કે $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{3}$,તેથી $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{1}$.
આમ,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર નળાકારની તેની પોતાની ધરી પરની જડત્વની આઘૂર્ણ: $I_{C} = \frac{1}{2} M R^{2} = 0.5 M R^{2}$ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેની પોતાની ધરી પરની જડત્વની આઘૂર્ણ: $I_{S} = \frac{2}{5} M R^{2} = 0.4 M R^{2}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે અને ઘનતા સમાન હોવાથી,સમાન કદ માટે દળ $M$ પણ સમાન રહેશે.
સરખામણી કરતા,$0.5 M R^{2} > 0.4 M R^{2}$,તેથી $I_{C} > I_{S}$ મળે છે.
આમ,નક્કર નળાકારની જડત્વની આઘૂર્ણ નક્કર ગોળા કરતા વધારે હશે.

(B) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કાર્ય $W = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય ઝડપ $\omega$ અચળ હોવાથી,કાર્ય ન્યૂનતમ ત્યારે જ થાય જ્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ ન્યૂનતમ હોય.
ધારો કે પરિભ્રમણ અક્ષ $0.3 \ kg$ ના દળથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો $0.7 \ kg$ ના દળથી તેનું અંતર $(1.4 - x)$ થશે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0.3x^2 + 0.7(1.4 - x)^2$ છે.
$I$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dI}{dx} = 0.3(2x) + 0.7(2)(1.4 - x)(-1) = 0$
$0.6x - 1.4(1.4 - x) = 0$
$0.6x - 1.96 + 1.4x = 0$
$2.0x = 1.96$
$x = 0.98 \ m$.
આમ,અક્ષ $0.3 \ kg$ ના દળથી $0.98 \ m$ ના અંતરેથી પસાર થવી જોઈએ.

(C) વર્તુળાકાર તકતીની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho \times (\pi R^2 t)$,જ્યાં $\rho$ એ લોખંડની ઘનતા છે.
તકતી $A$ માટે:
ત્રિજ્યા $R_A = r$,જાડાઈ $t_A = t$.
$M_A = \rho \pi r^2 t$.
$I_A = \frac{1}{2} M_A R_A^2 = \frac{1}{2} (\rho \pi r^2 t) r^2 = \frac{1}{2} \rho \pi t r^4$.
તકતી $B$ માટે:
ત્રિજ્યા $R_B = 4r$,જાડાઈ $t_B = t/4$.
$M_B = \rho \pi (4r)^2 (t/4) = \rho \pi (16r^2) (t/4) = 4 \rho \pi r^2 t$.
$I_B = \frac{1}{2} M_B R_B^2 = \frac{1}{2} (4 \rho \pi r^2 t) (4r)^2 = \frac{1}{2} (4 \rho \pi r^2 t) (16r^2) = 32 \rho \pi t r^4$.
બંનેની સરખામણી કરતા:
$I_A = 0.5 \rho \pi t r^4$
$I_B = 32 \rho \pi t r^4$
સ્પષ્ટ છે કે,$I_A < I_B$.

(D) તારના છેડાઓમાંથી પસાર થતી અક્ષ એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે.
ધારો કે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. તારની લંબાઈ $l = \pi r$ છે,તેથી $r = \frac{l}{\pi}$.
અર્ધવર્તુળ પરનો દરેક બિંદુ વર્તુળના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને અર્ધવર્તુળના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને તારની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = \int r^2 dm = M r^2$ છે.
ધારો કે $I_x$ અને $I_y$ એ અર્ધવર્તુળના સમતલમાં બે લંબ અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જ્યાં એક અક્ષ તારના છેડાઓમાંથી પસાર થતો વ્યાસ છે $(I_x = I_d)$.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$. તાર વ્યાસની સાપેક્ષે સંમિત હોવાથી,$I_x = I_y = I_d$.
તેથી,$M r^2 = 2 I_d$,જે આપે છે $I_d = \frac{M r^2}{2}$.
$r = \frac{l}{\pi}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $I_d = \frac{M}{2} (\frac{l}{\pi})^2 = \frac{Ml^2}{2\pi^2}$.

(B) $M$ દળ અને $l$ લંબાઈના પાતળા સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{Ml^2}{12}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $R$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો થાય છે,તેથી $2\pi R = l$,જે આપણને $R = \frac{l}{2\pi}$ આપે છે.
રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = MR^2$ છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I_2 = M \left(\frac{l}{2\pi}\right)^2 = \frac{Ml^2}{4\pi^2}$ મળે છે.
હવે,ગુણોત્તર $I_1 : I_2$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{Ml^2/12}{Ml^2/4\pi^2} = \frac{4\pi^2}{12} = \frac{\pi^2}{3}$.
આમ,$I_1 : I_2 = \pi^2 : 3$.

(A) જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = \int r^2 dm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ દળ $M$ માટે,જો દળ પરિભ્રમણની અક્ષથી દૂર વિતરિત થયેલું હોય,તો જડત્વની ચાકમાત્રા વધારે હોય છે.
સમાન દળ,ઊંચાઈ અને મહત્તમ પહોળાઈ ધરાવતા ચાર આકારોની સરખામણી કરતા:
$1$. રીંગ જેવી રચનામાં તેનું દળ કેન્દ્રિય અક્ષથી મહત્તમ શક્ય અંતરે કેન્દ્રિત થયેલું હોય છે.
$2$. ચોરસ પ્રિઝમ,નળાકાર અને ત્રિકોણીય પ્રિઝમમાં તેમનું દળ રીંગની તુલનામાં કેન્દ્રિય અક્ષની નજીક વિતરિત થયેલું હોય છે.
રીંગનું દળ અક્ષથી સૌથી વધુ અંતરે હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા સૌથી વધુ હશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) નક્કર ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી,$R^3 \propto V$,જેનો અર્થ છે કે $R \propto V^{1/3}$.
ગોળાનું દળ $M = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho V$ છે.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
સૂત્રમાં $M = \rho V$ અને $R \propto V^{1/3}$ મૂકતા:
$I = \frac{2}{5} (\rho V) (V^{1/3})^2$
$I = \frac{2}{5} \rho V \cdot V^{2/3}$
$I \propto V^{1 + 2/3}$
$I \propto V^{5/3}$.

(B) સળિયાને તેના મધ્યબિંદુ $O$ પર વાળવામાં આવે છે. તેથી,સળિયો બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $l = \frac{L}{2}$ અને દળ $m = \frac{M}{2}$ છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3}ml^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાળેલા સળિયાના દરેક ભાગ માટે,$O$ માંથી પસાર થતી અને સળિયાના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{segment} = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L^2}{4} \right) = \frac{ML^2}{24}$.
અક્ષ બંને ભાગો માટે સામાન્ય બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,વાળેલા સળિયાની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ બંને ભાગોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I_{total} = I_{segment} + I_{segment} = \frac{ML^2}{24} + \frac{ML^2}{24} = \frac{2ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$.

(B) કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તકતીનું દળ અવગણ્ય હોવાથી,આપણે ફક્ત કિનારી પર જોડાયેલા પાંચ કણોને ધ્યાનમાં લઈશું.
દરેક કણનું દળ $m = 2 \ kg$ છે અને તે પરિભ્રમણની અક્ષથી $r = 0.1 \ m$ અંતરે છે.
તેથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 5 \times (m \times r^2)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $I = 5 \times 2 \times (0.1)^2$.
$I = 10 \times 0.01 = 0.1 \ kg \ m^2$.

(A) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2 t) \rho$,જ્યાં $t$ એ જાડાઈ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
સૂત્રમાં $M$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{1}{2}(\pi R^2 t \rho) R^2 = \frac{1}{2} \pi \rho t R^4$.
ધારો કે બંને તકતીઓ માટે ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તો જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_y}{I_x} = \frac{t_y}{t_x} \left( \frac{R_y}{R_x} \right)^4$ થશે.
આપેલ છે કે $R_y = 4R$ અને $R_x = R$,તેથી $\frac{R_y}{R_x} = 4$.
આપેલ છે કે $t_y = \frac{t}{4}$ અને $t_x = t$,તેથી $\frac{t_y}{t_x} = \frac{1}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_y}{I_x} = \frac{1}{4} \times (4)^4 = \frac{256}{4} = 64$.
તેથી,$I_y = 64I_x$.

(A) એક સમાન ચોરસ પ્લેટ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલમાં રહેલી કોઈપણ અક્ષ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે.
ધારો કે અક્ષ $AB$ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AB}$ છે. આપેલ છે કે $I_{AB} = l$.
ચોરસ પ્લેટ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલમાં રહેલી કોઈપણ અક્ષ વિશે સંમિત હોવાથી,આવી કોઈપણ અક્ષ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા અચળ રહે છે.
ચોક્કસપણે,$a$ બાજુ અને $M$ દળ ધરાવતી ચોરસ પ્લેટ માટે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુને સમાંતર અક્ષ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{Ma^2}{12}$ છે.
આ મૂલ્ય ચોરસના સમતલમાં અક્ષના અભિગમથી સ્વતંત્ર હોવાથી,પ્લેટના સમતલમાં કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ અક્ષ $CD$ વિશેની જડત્વની ચાકમાત્રા પણ $l$ જ રહેશે.

(A) $Z$-અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા એ દરેક સળિયાની $Z$-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$1$. $X$-અક્ષ પર રહેલા સળિયા (સળિયો $1$) માટે: $Z$-અક્ષ એ સળિયાના છેડા પર લંબ છે. તેથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$2$. $Y$-અક્ષ પર રહેલા સળિયા (સળિયો $2$) માટે: $Z$-અક્ષ એ સળિયાના છેડા પર લંબ છે. તેથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$3$. $Z$-અક્ષ પર રહેલા સળિયા (સળિયો $3$) માટે: સળિયો પોતે $Z$-અક્ષ પર જ રહેલો છે. તેથી,દરેક દળના ઘટકનું $Z$-અક્ષથી અંતર શૂન્ય છે,તેથી $I_3 = 0$.
$4$. તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{system}} = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2ML^2}{3}$ થાય.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે. દળો $A, B$ અને $C$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. પરિભ્રમણની અક્ષ બાજુ $AB$ માંથી પસાર થાય છે.
$1$. અક્ષ $AB$ થી $A$ પરના દળનું લંબ અંતર $r_A = 0$ છે.
$2$. અક્ષ $AB$ થી $B$ પરના દળનું લંબ અંતર $r_B = 0$ છે.
$3$. અક્ષ $AB$ થી $C$ પરના દળનું લંબ અંતર એ સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $x$ છે.
ઊંચાઈ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 + (a/2)^2 = a^2$
$x^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4$
$x = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
અક્ષ $AB$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \sum m_i r_i^2 = m(r_A^2) + m(r_B^2) + m(r_C^2)$
$I = m(0)^2 + m(0)^2 + m(x)^2$
$I = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)^2 = m \left( \frac{3}{4}a^2 \right) = \frac{3}{4}m a^2$

(B) ધારો કે બે સળિયા $xy$-સમતલમાં છે,જેમાં એક સળિયો $x$-અક્ષ પર અને બીજો $y$-અક્ષ પર છે. દરેક સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{Ml^2}{12}$ છે.
તંત્ર માટે,$z$-અક્ષ (સળિયાઓના સમતલને લંબ અને છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી) ની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા એ આ અક્ષની સાપેક્ષે બંને સળિયાઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I_z = I_x + I_y = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{6}$.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_{B_1} + I_{B_2}$,જ્યાં $B_1$ અને $B_2$ એ દ્વિભાજક અક્ષો છે. તંત્રની સંમિતિને કારણે,$I_{B_1} = I_{B_2}$ થાય.
તેથી,$2I_{B_1} = \frac{Ml^2}{6}$,જે આપે છે $I_{B_1} = I_{B_2} = \frac{Ml^2}{12}$.

(C) વર્તુળાકાર ફ્રેમ દળરહિત છે,તેથી આપણે ફક્ત કેન્દ્ર $O$ થી $a$ અંતરે રહેલા ચાર બિંદુવત દળોની જડત્વની ચાકમાત્રા ધ્યાનમાં લઈશું.
કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ દરેક દળ માટે $mr^2$ ના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$I = (3m)a^2 + (2m)a^2 + (m)a^2 + (2m)a^2 = 8ma^2$
તંત્રનું કુલ દળ $M = 3m + 2m + m + 2m = 8m$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$I = Mk^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$8ma^2 = (8m)k^2$
$k^2 = a^2$
$k = a$

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
ગોળાની ઘનતા $\rho$ હોવાથી,તેનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right) \rho$ થાય.
$M$ ની કિંમત $I$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{2}{5} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) R^2$
$I = \frac{8}{15} \pi R^5 \rho$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ લેતા:
$I = \frac{8}{15} \times \frac{22}{7} \times R^5 \rho = \frac{176}{105} R^5 \rho$.

(C) વર્તુળાકાર ડિસ્કની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની સપાટીને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
ડિસ્કનું દળ $M = V\rho = \pi R^2 t \rho$ હોવાથી,જ્યાં $t$ જાડાઈ અને $\rho$ ઘનતા છે,આપણે $R^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$ મળે છે.
અહીં દળ $M$ અને જાડાઈ $t$ બંને ડિસ્ક માટે સમાન હોવાથી,$I \propto \frac{1}{\rho}$ થાય.
તેથી,$\frac{I_A}{I_B} = \frac{d_B}{d_A}$ મળે.
આપેલ છે કે $d_A > d_B$,તેથી $I_A < I_B$ સાબિત થાય છે.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
મૂળ તકતી માટે: $M_1 = 9M$,$R_1 = R$. તેથી,$I_1 = \frac{1}{2} (9M) R^2 = \frac{9}{2} M R^2$.
દૂર કરેલી તકતી માટે: $M_2 = M$,$R_2 = R/3$. તેથી,$I_2 = \frac{1}{2} (M) (R/3)^2 = \frac{1}{2} M (R^2/9) = \frac{1}{18} M R^2$.
બાકી રહેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 - I_2$ થશે.
$I = \frac{9}{2} M R^2 - \frac{1}{18} M R^2$.
$I = \frac{81 M R^2 - M R^2}{18} = \frac{80 M R^2}{18} = \frac{40}{9} M R^2$.

(B) ધન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} MR^2 = 0.4 MR^2$ છે.
પોલા નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = MR^2 = 1.0 MR^2$ છે.
રિંગની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = MR^2 = 1.0 MR^2$ છે.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $I_3 = I_2 > I_1$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો સંબંધ $I_3 > I_2 > I_1$ છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = \sum m_i r_i^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $m$ દળનો એક પદાર્થ ફલાય વ્હીલની રીંગ પર,જે પરિભ્રમણ અક્ષથી $R$ અંતરે છે,ત્યાં ચોંટી જાય છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I + mR^2$ થાય છે.
અહીં $mR^2 > 0$ હોવાથી,$I' > I$ થાય છે.
તેથી,તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રામાં વધારો થાય છે.

(D) તકતીની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તકતીઓ સમાન પદાર્થની બનેલી હોવાથી,તેમનું દળ $M = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho \times (\pi R^2 t)$ છે.
તકતી $X$ માટે: $M_x = \rho \pi R^2 t$,તેથી $I_x = \frac{1}{2} (\rho \pi R^2 t) R^2 = \frac{1}{2} \rho \pi R^4 t$.
તકતી $Y$ માટે: $M_y = \rho \pi (4R)^2 (t/4) = \rho \pi (16R^2) (t/4) = 4 \rho \pi R^2 t$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I_y = \frac{1}{2} M_y (4R)^2 = \frac{1}{2} (4 \rho \pi R^2 t) (16R^2) = 32 \rho \pi R^4 t$.
$I_x$ અને $I_y$ ની સરખામણી કરતા: $I_y = 64 \times (\frac{1}{2} \rho \pi R^4 t) = 64 I_x$.

(A) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = \sum mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી દળ $m$ નું લંબ અંતર છે.
જ્યારે ધ્રુવો પરનો બરફ પીગળે છે,ત્યારે પાણી ધ્રુવોથી પૃથ્વીના વિષુવવૃત્તીય પ્રદેશો તરફ વહે છે.
આના કારણે દળ પરિભ્રમણની ધરીથી દૂરના અંતરે વિતરિત થાય છે (એટલે કે,$r$ વધે છે).
જેમ કે હવે દળ પરિભ્રમણની ધરીથી મોટા સરેરાશ અંતરે વિતરિત થયેલું હોવાથી,પૃથ્વીની જડત્વની ચાકમાત્રા વધે છે.

(C) બાજુ અને $M$ દળ ધરાવતા ઘન માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને કોઈ પણ બાજુને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું મૂલ્ય $I = \frac{1}{6}Ma^2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને ધારને સમાંતર અક્ષ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{6}Ma^2 + \frac{1}{6}Ma^2 = \frac{1}{3}Ma^2$ થાય છે.
ઘનના વિકર્ણમાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3}Ma^2$ થાય છે.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને કોઈ પણ બાજુને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા ન્યૂનત્તમ મળે છે,જે $\frac{1}{6}Ma^2$ છે.

(C) $M'$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M' r^2$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર તકતી એ સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનો બરાબર અડધો ભાગ છે.
જો અર્ધવર્તુળાકાર તકતીનું દળ $M$ હોય,તો અનુરૂપ સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $2M$ થશે.
સંપૂર્ણ તકતીના સૂત્રમાં $M' = 2M$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} (2M) r^2 = M r^2$.
તેથી,અર્ધવર્તુળાકાર તકતીની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $M r^2$ થાય છે.

(C) ધારો કે ખૂણાઓના યામ $A(0,0)$,$B(\ell, 0)$,$C(\ell, \ell)$ અને $D(0, \ell)$ છે.
વિકર્ણ $BD$ એ $(\ell, 0)$ અને $(0, \ell)$ ને જોડે છે. $BD$ નો ઢાળ $m_{BD} = \frac{\ell - 0}{0 - \ell} = -1$ છે.
અક્ષ $A(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $BD$ ને સમાંતર છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = -x$ અથવા $x + y = 0$ છે.
રેખા $Ax + By + C = 0$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું લંબ અંતર $r = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
આપણી અક્ષ $x + y = 0$ માટે,અંતર $r = \frac{|x + y|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x + y|}{\sqrt{2}}$ થશે.
દરેક દળ માટે અંતરની ગણતરી:
$r_A = \frac{|0 + 0|}{\sqrt{2}} = 0$
$r_B = \frac{|\ell + 0|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$
$r_D = \frac{|0 + \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$
$r_C = \frac{|\ell + \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{2\ell}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\ell$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2 = m(r_A^2 + r_B^2 + r_C^2 + r_D^2)$.
$I = m(0^2 + (\frac{\ell}{\sqrt{2}})^2 + (\sqrt{2}\ell)^2 + (\frac{\ell}{\sqrt{2}})^2) = m(0 + \frac{\ell^2}{2} + 2\ell^2 + \frac{\ell^2}{2}) = m(3\ell^2) = 3\,m\ell^2$.

(B) વર્તુળાકાર રિંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = mR^2$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ દળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:2$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $R_1:R_2 = 2:1$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{m_1 R_1^2}{m_2 R_2^2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right)^2$.
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $2:1$ મળે છે.

(C) તકતીની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તકતીની જાડાઈ $t$ હોવાથી,દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2 t) \times d$ થાય.
$I$ ના સૂત્રમાં $M$ ની કિંમત મૂકતા,$I = \frac{1}{2} (\pi R^2 t d) R^2 = \frac{1}{2} \pi t d R^4$ મળે છે.
બંને તકતી માટે જાડાઈ $t$ સમાન હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $d R^4$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
બીજી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા પહેલી કરતા વધારે હોવા માટે $(I_2 > I_1)$,$d_2 R_2^4 > d_1 R_1^4$ હોવું જોઈએ.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જો $R_2 > R_1$ અને $d_2 > d_1$ હોય.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_A = \frac{2}{5} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_B = \frac{2}{3} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,કારણ કે બંને ગોળાઓ માટે $M$ અને $R$ સમાન છે,આપણે સહગુણકો $\frac{2}{5}$ અને $\frac{2}{3}$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
કારણ કે $\frac{2}{5} = 0.4$ અને $\frac{2}{3} \approx 0.67$ છે,તે સ્પષ્ટ છે કે $\frac{2}{5} < \frac{2}{3}$ છે.
તેથી,$I_A < I_B$ થાય છે.

(B) ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ એ $I = Mk^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $M$ એ પદાર્થનું કુલ દળ છે.
જ્યારે પૈડાનો કોઈ ટુકડો તૂટીને અલગ થઈ જાય છે,ત્યારે પૈડાનું કુલ દળ $M$ ઘટે છે.
જેમ કે દળ પૈડાની પરિઘ અથવા તેના ભાગમાંથી દૂર થાય છે,દ્રવ્યમાનનું વિતરણ પરિભ્રમણની ધરીની સાપેક્ષમાં એવી રીતે બદલાય છે કે જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે.
કારણ કે દળ $M$ માં ઘટાડો એ દ્રવ્યમાનના વિતરણમાં થયેલા ઘટાડાના પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $k^2 = I/M$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
તેથી,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ ઘટે છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \sum mr^2$ છે.
દળને રીમ પર કેન્દ્રિત કરવાથી,પરિભ્રમણની ધરીથી દળનું અંતર $(r)$ મહત્તમ થાય છે.
જેમ કે $I \propto r^2$,તેથી ધરીથી દળનું અંતર વધારવાથી ફલાય વ્હીલની જડત્વની ચાકમાત્રામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
વધારે જડત્વની ચાકમાત્રા ફલાય વ્હીલને વધુ ચાકગતિ ઉર્જા સંગ્રહિત કરવામાં અને પરિભ્રમણની ઝડપમાં થતા ફેરફારોનો સામનો કરવામાં મદદ કરે છે.

(D) કોઈ પદાર્થની કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ દળના ઘટક $dm$ નું અક્ષથી લંબ અંતર છે.
આપેલ દળ વિતરણ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી એવી અક્ષને અનુલક્ષીને ન્યૂનત્તમ હોય છે જે પદાર્થના મોટાભાગના દળની સૌથી નજીક હોય.
લંબચોરસ પ્લેટમાં,જડત્વની ચાકમાત્રા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લાંબી બાજુને સમાંતર હોય તેવી અક્ષને અનુલક્ષીને ન્યૂનત્તમ હોય છે,કારણ કે આ અક્ષ દળના ઘટકોને સરેરાશ સૌથી ઓછા અંતર $r$ પર રાખે છે.
ધારો કે પ્લેટની લંબાઈ $L$ અને પહોળાઈ $W$ છે,જ્યાં $L > W$.
અક્ષ $HF$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને લાંબી બાજુ $AB$ (અથવા $CD$) ને સમાંતર છે.
અક્ષ $EG$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને ટૂંકી બાજુ $AD$ (અથવા $BC$) ને સમાંતર છે.
$HF$ એ લાંબી બાજુને સમાંતર હોવાથી,$EG$ ની સરખામણીમાં દળ આ અક્ષની વધુ નજીક વિતરિત થયેલું છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $HF$ અક્ષને અનુલક્ષીને ન્યૂનત્તમ હશે.

(B) જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર $I = M K^2$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ દળ છે અને $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $I = 160 \ kg \ m^2$ અને $M = 10 \ kg$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$160 = 10 \times K^2$
$K^2 = \frac{160}{10} = 16$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$K = \sqrt{16} = 4 \ m$.
તેથી,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $4 \ m$ થશે.

(C) જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ પરિભ્રમણની અક્ષને સાપેક્ષ દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે,જે $I = \int r^2 dm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અડધા બાફેલા ઈંડામાં,જરદી અને સફેદ ભાગ આંશિક રીતે ઘન બની જાય છે અને પરિભ્રમણની મધ્ય અક્ષની નજીક કેન્દ્રિત થાય છે.
કાચા ઈંડામાં,પ્રવાહી ઘટકો સમગ્ર ઈંડામાં ફેલાયેલા હોય છે,જેનો અર્થ છે કે અડધા બાફેલા ઈંડાની સરખામણીમાં વધુ દળ મધ્ય અક્ષથી દૂર સ્થિત હોય છે.
કાચા ઈંડામાં વધુ દળ અક્ષથી મોટા અંતરે $r$ હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા અડધા બાફેલા ઈંડા કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,કાચા ઈંડા અને અડધા બાફેલા ઈંડાની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $1$ કરતા વધારે છે.

(D) પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળને પરિઘ પર (ભ્રમણાક્ષથી દૂર) કેન્દ્રિત કરવાથી,$r$ નું મૂલ્ય વધે છે.
$I \propto r^2$ હોવાથી,ભ્રમણાક્ષથી દળનું અંતર વધારવાથી જડત્વની ચાકમાત્રામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
વધારે જડત્વની ચાકમાત્રા પૈડાને તેની ભ્રમણ ગતિ જાળવી રાખવામાં મદદ કરે છે અને ટોર્કમાં થતા ફેરફારો સામે સ્થિરતા પ્રદાન કરે છે.

(A) વર્તુળાકાર તકતીની તેની ભૌમિતિક અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ દળ નિશ્ચિત હોય ત્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ કરવા માટે,આપણે પરિભ્રમણની અક્ષથી મહત્તમ અંતર $r$ પર શક્ય તેટલું વધુ દળ રાખવું જોઈએ.
લોખંડ એ એલ્યુમિનિયમ કરતા વધુ ઘનતા ધરાવતું હોવાથી,લોખંડને બહારની કિનારી (સૌથી મોટી ત્રિજ્યા) પર રાખવાથી અક્ષથી વધુ અંતરે દળનું વિતરણ વધે છે.
તેથી,લોખંડને બહારની બાજુએ અને એલ્યુમિનિયમને અંદરની બાજુએ રાખવાથી જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ થાય છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકારે વાળેલા તારને પાતળી રિંગ તરીકે ગણી શકાય.
રિંગ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = MR^2$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$.
રિંગ સંમિત હોવાથી,કોઈપણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે,તેથી $I_x = I_y = I_d$.
તેથી,$MR^2 = I_d + I_d = 2I_d$.
આમ,વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{MR^2}{2}$ મળે છે.

(A) કોઈ પદાર્થની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી દળના ઘટક $m_i$ નું લંબ અંતર છે.
આપેલ દળના વિતરણ માટે,જો દળ પરિભ્રમણની અક્ષથી દૂર વિતરિત થયેલું હોય,તો જડત્વની ચાકમાત્રા વધારે હોય છે.
આપેલ ત્રિકોણાકાર ફ્રેમમાં,અક્ષ $AC$ એ સૌથી લાંબી બાજુ (કર્ણ) છે. $AC$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતી વખતે,ફ્રેમનું દળ અન્ય બે બાજુઓની તુલનામાં અક્ષની સરેરાશ વધુ નજીક હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,અક્ષ $AB$ એ સૌથી ટૂંકી બાજુ છે. $AB$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતી વખતે,ફ્રેમનું દળ (ખાસ કરીને બાજુ $BC$) અક્ષ $AB$ થી સરેરાશ વધુ અંતરે વિતરિત થયેલું હોય છે.
$AB < BC < AC$ હોવાથી,અન્ય અક્ષોની તુલનામાં અક્ષ $AB$ થી દળ સૌથી વધુ દૂર વિતરિત થયેલું છે.
તેથી,અક્ષ $AB$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ હશે.