Effect of Internal and External Force on Centre of Mass Questions in Gujarati

(B) શરૂઆતમાં તંત્ર સ્થિર છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{CM} = 0$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે વાંદરો જમીનની સાપેક્ષે $d_1$ અંતર કાપે છે અને ફુગ્ગો જમીનની સાપેક્ષે $d_2$ અંતર કાપે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m d_1 = M d_2$.
વાંદરો ફુગ્ગાની સાપેક્ષે $L$ અંતર કાપે છે,તેથી જમીનની સાપેક્ષે વાંદરાનું અંતર $d_1 = L - d_2$ થાય.
આ કિંમત સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $m(L - d_2) = M d_2$.
$mL - m d_2 = M d_2$.
$mL = (m + M) d_2$.
તેથી,ફુગ્ગા દ્વારા કપાયેલ અંતર $d_2 = \frac{mL}{m + M}$ છે.

(A) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a_{cm} = \frac{F_{ext}}{M_{total}}$.
આ પ્રશ્નમાં,બે ગોળાઓ તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળને કારણે એકબીજાની નજીક આવે છે.
આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બે ગોળાઓના બનેલા તંત્રનું આંતરિક બળ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી $(F_{ext} = 0)$,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$a_{cm} = 0\,m/s^2$.

(D) તંત્રમાં ટ્રોલી અને બે વ્યક્તિઓનો સમાવેશ થાય છે. તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,કુલ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ શૂન્ય છે $(F_{ext, x} = 0)$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે. શરૂઆતમાં તંત્ર સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ શૂન્ય રહે છે.
ધારો કે $m_1$ દળ ધરાવતી વ્યક્તિનો સમક્ષિતિજ વેગ ડાબી તરફ $v$ છે અને $m_2$ દળ ધરાવતી વ્યક્તિનો વેગ જમણી તરફ $v$ છે. ધારો કે ટ્રોલીનો વેગ જમણી તરફ $V$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m_1(-v) + m_2(v) + MV = 0$
$MV = m_1v - m_2v$
$V = \frac{(m_1 - m_2)v}{M}$
જો $m_1 > m_2$ હોય,તો $V > 0$,એટલે કે ટ્રોલી જમણી તરફ ($B$ છેડા તરફ) ગતિ કરે છે.
જો $m_2 > m_1$ હોય,તો $V < 0$,એટલે કે ટ્રોલી ડાબી તરફ ($A$ છેડા તરફ) ગતિ કરે છે.
આમ,ટ્રોલી તે છેડા તરફ ગતિ કરે છે જ્યાં ઓછું દળ ધરાવતી વ્યક્તિ ઉભી હતી,જેનો અર્થ એ છે કે તે વધુ દળ ધરાવતી વ્યક્તિથી દૂર જાય છે. તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(B) ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આંતરિક બળો હંમેશા ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આ બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,તેમનો સદિશ સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
તેથી,સિસ્ટમ પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
જો કે,આંતરિક બળો સિસ્ટમના વ્યક્તિગત કણો પર કાર્ય કરી શકે છે,જેના કારણે સિસ્ટમની કુલ ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર થઈ શકે છે.

(D) કણોના તંત્ર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,તંત્ર પર લાગતું બાહ્ય બળ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\vec{F}_{ext} = M \vec{a}_{CM}$.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_{CM}$ એ બાહ્ય બળ સદિશ $\vec{F}_{ext}$ ની દિશામાં જ હોવો જોઈએ.
અહીં $\vec{F}_{ext} = 10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 25 \hat{k} = 5(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k})$ છે.
અને $\vec{a}_{CM} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 5 \hat{k}$ આપેલ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બળનો $z$-ઘટક ધન $(+25 \hat{k})$ છે,જ્યારે પ્રવેગનો $z$-ઘટક ઋણ $(-5 \hat{k})$ છે.
આમ,સદિશો એક જ દિશામાં ન હોવાથી,આપેલી માહિતી ભૌતિક રીતે અસંગત છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે ફુગ્ગાનું પ્રારંભિક સ્થાન $y_B = 0$ છે અને માણસનું સ્થાન $y_m = -l$ છે. સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી,સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઊર્ધ્વ દિશામાં બદલાશે નહીં.
પ્રારંભિક દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $Y_{cm} = \frac{M(0) + m(-l)}{M + m} = \frac{-ml}{M + m}$.
માણસ ઉપર ચઢ્યા પછી,ફુગ્ગો $h$ જેટલો નીચે ઉતરે છે. ફુગ્ગાનું નવું સ્થાન $y'_B = -h$ અને માણસનું સ્થાન $y'_m = -h$ છે.
નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $Y'_{cm} = \frac{M(-h) + m(-h)}{M + m} = -h$.
$Y_{cm} = Y'_{cm}$ ને સરખાવતા,આપણને $\frac{-ml}{M + m} = -h$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $ml = h(M + m) = Mh + mh$,તેથી $Mh = m(l - h)$.
માણસની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta PE_m = mg(y'_m - y_m) = mg(-h - (-l)) = mg(l - h)$ છે.

(A) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{F_{ext}}{M_{total}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ તંત્રમાં,બે ગોળાઓ તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળને કારણે એકબીજાની તરફ ગતિ કરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બંને ગોળાઓના બનેલા તંત્ર માટે આંતરિક બળ હોવાથી,તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે $(F_{ext} = 0)$.
તેથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = 0/M_{total} = 0 \ m/s^2$ થશે.

(A) ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આંતરિક બળો હંમેશા સમાન અને વિરુદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
સિસ્ટમમાં આંતરિક બળોનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોવાથી,આંતરિક બળોને કારણે સિસ્ટમ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે.
આવેગ-વેગમાન પ્રમેય મુજબ,$\vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{p}}{dt}$. કારણ કે $\vec{F}_{int} = 0$ છે,તેથી સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ અચળ રહે છે.
જોકે,આંતરિક બળો સિસ્ટમના કણો પર કાર્ય કરી શકે છે,જે આંતરિક ઊર્જા અથવા વ્યક્તિગત કણોની ગતિઊર્જામાં ફેરફાર કરે છે.
તેથી,આંતરિક બળો સિસ્ટમના કુલ રેખીય વેગમાનને બદલ્યા વગર તેની ગતિઊર્જા બદલી શકે છે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $F_{\text{ext}} = M a_{CM}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $F_{\text{ext}} = 0$ હોય,તો $a_{CM} = 0$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{CM}$ અચળ રહે છે. જો તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર હોય,તો તે સ્થિર રહેશે. જો તે ગતિમાં હોય,તો તે અચળ વેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે. આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કોઈ પણ દિશામાં ગતિ કરશે નહીં તે વિધાન માત્ર ત્યારે જ સાચું છે જો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોય.
$Reason$ જણાવે છે કે જો ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો રેખીય વેગમાન બદલાય છે. આ ખોટું છે કારણ કે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ $\frac{dP}{dt} = F_{\text{ext}}$. જો $F_{\text{ext}} = 0$ હોય,તો $\frac{dP}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે રેખીય વેગમાન $P$ સંરક્ષિત (અચળ) રહે છે,બદલાતું નથી.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે (સ્થિર તંત્રના સંદર્ભમાં) પરંતુ $Reason$ સ્પષ્ટપણે ખોટું છે.

$n$ કણોની સિસ્ટમ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ છે:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m_{1} \vec{r}_{1} + m_{2} \vec{r}_{2} + \dots + m_{n} \vec{r}_{n}}{m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{r}_{i}$
જ્યાં $M = \sum m_{i}$ એ સિસ્ટમનું કુલ દળ છે.
બળ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન સદિશનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરીને વેગ મેળવીએ છીએ:
$\vec{V}_{cm} = \frac{d\vec{R}_{cm}}{dt} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i}$
$M \vec{V}_{cm} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{v}_{i} \quad (1)$
સમીકરણ $(1)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા પ્રવેગ મળે છે:
$M \frac{d\vec{V}_{cm}}{dt} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \frac{d\vec{v}_{i}}{dt}$
$M \vec{A}_{cm} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{a}_{i}$
$i$-માં કણ પર લાગતું બળ $\vec{F}_{i} = m_{i} \vec{a}_{i}$ હોવાથી,સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ $\vec{F}_{ext}$ એ બધા વ્યક્તિગત બળોનો સરવાળો છે:
$\vec{F}_{ext} = \sum_{i=1}^{n} \vec{F}_{i} = \sum_{i=1}^{n} m_{i} \vec{a}_{i}$
તેથી,$M \vec{A}_{cm} = \vec{F}_{ext}$.
આ દર્શાવે છે કે સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ એ સિસ્ટમના કુલ દળ અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.

(C) કણોની સિસ્ટમ પર બે પ્રકારના બળો કાર્ય કરી શકે છે:
$1$. આંતરિક બળો: આ એવા બળો છે જે સિસ્ટમના એક કણ દ્વારા તે જ સિસ્ટમના બીજા કણ પર લગાડવામાં આવે છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આ બળો ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીમાં હોય છે અને તેમનો સદિશ સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
$2$. બાહ્ય બળો: આ એવા બળો છે જે સિસ્ટમની બહારના એજન્ટો દ્વારા સિસ્ટમના કણો પર લગાડવામાં આવે છે. આ બળો સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિમાં ફેરફાર માટે જવાબદાર છે.

(D) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આંતરિક બળો હંમેશા ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમના એક ભાગ દ્વારા બીજા ભાગ પર લગાડવામાં આવતા દરેક બળ માટે,સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાનું બળ પાછું લાગે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $\vec{F}_{ij}$ એ કણ $j$ દ્વારા કણ $i$ પર લગાડવામાં આવતું બળ હોય,તો $\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}$ થાય.
કુલ આંતરિક બળ $\vec{F}_{int}$ એ આવી તમામ જોડીઓનો સદિશ સરવાળો છે: $\vec{F}_{int} = \sum \vec{F}_{ij} = 0$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{\vec{F}_{ext} + \vec{F}_{int}}{M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને $\vec{F}_{int} = 0$ હોવાથી,આંતરિક બળોની દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ પર કોઈ અસર થતી નથી. તેથી,તેમને અવગણવામાં આવે છે.

(A) કણોની સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર,સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ $F_{ext}$ એ સિસ્ટમના કુલ દળ $M$ અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગ $a_{cm}$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $F_{ext} = M \cdot a_{cm}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ દળ અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગનો ગુણાકાર સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ દર્શાવે છે.

(B) કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તંત્ર પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ દ્વારા નક્કી થાય છે.
કણોના તંત્ર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{ext} = M A_{cm}$,જ્યાં $F_{ext}$ એ તમામ બાહ્ય બળોનો સરવાળો છે,$M$ એ તંત્રનું કુલ દળ છે,અને $A_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમને કારણે આંતરિક બળો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ફક્ત બાહ્ય બળોની અસર હેઠળ જ ગતિ કરે છે.

(A) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ $F_{ext} = M a_{cm}$ સમીકરણ દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $F_{ext}$ એ તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ છે અને $M$ એ તંત્રનું કુલ દળ છે.
આંતરિક બળો એવા બળો છે જે તંત્રના કણો એકબીજા પર લગાડે છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આ બળો સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાની જોડીમાં હોય છે,તેથી તેમનો સદિશ સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
તેથી,આંતરિક બળો તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગ અથવા ગતિને અસર કરતા નથી.
બોમ્બના વિસ્ફોટના કિસ્સામાં,વિસ્ફોટ આંતરિક રાસાયણિક બળોને કારણે થાય છે. આ બળો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગતિપથને બદલતા નથી,જે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા નિર્ધારિત મૂળ પરવલયાકાર માર્ગને અનુસરવાનું ચાલુ રાખે છે.

(N/A) કણોના તંત્ર માટે,ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ એ તંત્રના કુલ રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{P}}{dt}$,જ્યાં $\vec{F}_{ext}$ એ તંત્ર પર લાગતા તમામ બાહ્ય બળોનો સરવાળો છે અને $\vec{P}$ એ તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન છે.
કારણ કે કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{P}$ એ $M\vec{v}_{cm}$ જેટલું હોય છે (જ્યાં $M$ એ કુલ દળ છે અને $\vec{v}_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે),તેથી આ નિયમને આ રીતે પણ લખી શકાય: $\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$,જ્યાં $\vec{a}_{cm}$ એ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ છે.

(A) સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a_{cm} = \frac{F_{ext}}{M}$,જ્યાં $F_{ext}$ એ સિસ્ટમ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ છે અને $M$ એ સિસ્ટમનું કુલ દ્રવ્યમાન છે.
આપેલ છે કે કુલ બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ છે,તેથી $a_{cm} = \frac{0}{M} = 0$ થાય.
કારણ કે પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{dv_{cm}}{dt} = 0$ છે,તેનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm}$ સમય સાથે અચળ રહેવો જોઈએ.
તેથી,જો કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે અને તેનો વેગ અચળ રહે છે.

(A) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,તંત્રના કણો વચ્ચે લાગતા આંતરિક બળો હંમેશા સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશાના હોય છે.
આ આંતરિક બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,તેઓ તંત્ર પર લાગતા પરિણામી બાહ્ય બળમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી.
પરિણામે,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ માત્ર પરિણામી બાહ્ય બળ દ્વારા જ નક્કી થાય છે,જે $F_{ext} = M a_{cm}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

(C) ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,સિસ્ટમના રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા ચોખ્ખા બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે: $\vec{F}_{ext} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.
આંતરિક બળો હંમેશા ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીમાં હોય છે,તેથી તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે. તેથી,આંતરિક બળો સિસ્ટમના કુલ રેખીય વેગમાનને બદલી શકતા નથી.
જો કે,આંતરિક બળો સિસ્ટમના કણો પર કાર્ય કરી શકે છે,જે સિસ્ટમની આંતરિક ગોઠવણી અથવા કણોના સાપેક્ષ વેગને બદલી શકે છે,જેનાથી સિસ્ટમની કુલ ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર થાય છે.
આમ,આંતરિક બળો સિસ્ટમની ગતિ ઊર્જા બદલી શકે છે,પરંતુ રેખીય વેગમાન નહીં.

(C) વિધાન $(A)$ ખોટું છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીનો અર્થ એ છે કે પદાર્થનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ નહીં. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ ત્યારે જ અચળ રહે છે જો પદાર્થ પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય.
કારણ $(R)$ સાચું છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અલગ કરેલી સિસ્ટમ (જ્યાં કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય) નું રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
આમ,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,તંત્રના રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે $(F_{ext} = dp/dt)$. તેથી,આંતરિક બળો તંત્રના કુલ રેખીય વેગમાનમાં ફેરફાર કરી શકતા નથી.
જોકે,આંતરિક બળો તંત્રના કણો પર કાર્ય કરી શકે છે,જે તંત્રની આંતરિક ગોઠવણી અથવા કણોના સાપેક્ષ વેગમાં ફેરફાર કરી શકે છે,જેનાથી તંત્રની કુલ ગતિઊર્જા બદલાઈ શકે છે.

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન એ તંત્રનો ભૌતિક ગુણધર્મ છે અને તે યામ પદ્ધતિની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તંત્ર પર લાગતા કુલ બાહ્ય બળ દ્વારા નક્કી થાય છે,એટલે કે $\vec{F}_{ext} = M\vec{a}_{cm}$.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે આંતરિક બળો હંમેશા ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડીમાં હોય છે,તેથી તેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કે પ્રવેગ બદલી શકતા નથી.
વિધાન $(D)$ ખોટું છે કારણ કે આંતરિક બળો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સ્થિતિ બદલી શકતા નથી.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(D)$ ખોટા છે.