Centre of Mass of Composite Bodies and Cavity Problen of Centre of mass Questions in Gujarati

(C) ધારો કે પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા $\sigma$ છે. મૂળ ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (28)^2$ અને દૂર કરેલી ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (21)^2$ છે. મૂળ ડિસ્કનું દળ $M = \sigma A_1$ અને દૂર કરેલા ભાગનું દળ $m = \sigma A_2$ છે.
મૂળ ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. દૂર કરેલી ડિસ્કનું કેન્દ્ર $x = 28 - 21 = 7 \ cm$ પર છે.
કેવિટી ધરાવતી સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટેનું સૂત્ર: $X_{cm} = \frac{M X_1 - m x_2}{M - m}$.
અહીં,$X_1 = 0$ અને $x_2 = 7 \ cm$.
$X_{cm} = \frac{(\sigma \pi 28^2)(0) - (\sigma \pi 21^2)(7)}{\sigma \pi 28^2 - \sigma \pi 21^2} = \frac{-21^2 \times 7}{28^2 - 21^2}$.
$X_{cm} = \frac{-441 \times 7}{(28-21)(28+21)} = \frac{-441 \times 7}{7 \times 49} = \frac{-441}{49} = -9 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ ડિસ્કના કેન્દ્રથી $9 \ cm$ દૂર,કેવિટીની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસે છે.

(D) ધારો કે ચોરસ પ્લેટની બાજુ $L$ છે અને તેનું દળ $M$ છે. મૂળ ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ધારો કે ચાર ખૂણાઓ $(L/2, L/2)$,$(-L/2, L/2)$,$(-L/2, -L/2)$,અને $(L/2, -L/2)$ પર સ્થિત છે.
દરેક દૂર કરેલા નાના ચોરસનું દળ $m$ ધારો. જો આપણે ચોરસ $1, 2$ અને $3$ ને દૂર કરીએ (ધારો કે તેઓ અનુક્રમે $I, II$ અને $III$ ચરણમાં છે),તો બાકીનું દળ $IV$ ચરણમાં કેન્દ્રિત થાય છે.
બાકી રહેલી સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તે ચરણ તરફ ખસે છે જ્યાં દળ હજુ પણ હાજર છે.
જેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $IV$ ચરણમાં સ્થળાંતરિત થશે.

(A) મૂળ ચોરસ પ્લેટ તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી $X$ અને $Y$ અક્ષો વિશે સંમિત છે.
જ્યારે ચાર ખૂણાઓમાંથી ચાર સમાન ચોરસ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટની સંમિતિ $X$ અને $Y$ બંને અક્ષો વિશે જળવાઈ રહે છે.
ખૂણાઓ દૂર કર્યા પછી પણ દ્રવ્યમાનનું વિતરણ કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત રહેતું હોવાથી,બાકી રહેલી સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ ચોરસના ભૌમિતિક કેન્દ્ર સાથે સંપાત થાય છે,જે બિંદુ $O$ છે.

(A) મૂળ ચોરસ પ્લેટ $X$ અને $Y$ બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર છે.
જ્યારે ચાર ખૂણાઓમાંથી ચાર સમાન નાના ચોરસ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલો આકાર $X$ અને $Y$ બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિતિ જાળવી રાખે છે.
દ્રવ્યમાનનું વિતરણ બંને અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત રહેતું હોવાથી,બાકી રહેલી સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ ચોરસના ભૌમિતિક કેન્દ્ર સાથે જ સંપાત થશે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O$ પર જ રહેશે.

(A) $1$. મૂળ તકતીનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{disc} = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
$2$. છિદ્રની ત્રિજ્યા $r = R/2$ છે. મૂળ તકતીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે. છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $a = \pi (R/2)^2 = \frac{\pi R^2}{4} = A/4$ છે.
$3$. કાપી લીધેલા ભાગનું દળ $m = M \times (a/A) = M/4$ થાય.
$4$. છિદ્રનું કેન્દ્ર,તકતીના કેન્દ્રથી $d = R/2$ અંતરે છે. છિદ્રની પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{hole, cm} = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} (M/4) (R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2$ છે.
$5$. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને છિદ્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{hole} = I_{hole, cm} + md^2 = \frac{1}{32} MR^2 + (M/4)(R/2)^2 = \frac{1}{32} MR^2 + \frac{1}{16} MR^2 = \frac{3}{32} MR^2$ થાય.
$6$. બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rem} = I_{disc} - I_{hole} = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3}{32} MR^2 = \frac{13}{32} MR^2$ થાય.

(C) મૂળ ચોરસ પ્લેટ $X$ અને $Y$ બંને અક્ષો વિશે સંમિત છે,તેથી તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
જ્યારે ખૂણાઓમાંથી ચાર સમાન ચોરસ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલી પ્લેટ હજુ પણ બંને અક્ષો વિશે સંમિત રહે છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, 0)$ પર જ રહે છે.
જો આપણે ફક્ત ચોરસ $1$ ($I$ ચરણમાં સ્થિત) ને દૂર કરીએ,તો દ્રવ્યમાનનું વિતરણ $I$ ચરણથી દૂર ખસી જાય છે.
દૂર કરેલા ચોરસ $1$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_1, y_1)$ પર છે,જ્યાં $x_1 > 0$ અને $y_1 > 0$ છે.
બાકી રહેલી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $X_{cm} = \frac{M X_{total} - m x_1}{M - m}$ અને $Y_{cm} = \frac{M Y_{total} - m y_1}{M - m}$ છે.
અહીં $X_{total} = 0$ અને $Y_{total} = 0$ હોવાથી,આપણને $X_{cm} = \frac{-m x_1}{M - m}$ અને $Y_{cm} = \frac{-m y_1}{M - m}$ મળે છે.
$x_1 > 0$ અને $y_1 > 0$ હોવાથી,$X_{cm}$ અને $Y_{cm}$ બંને ઋણ છે.
બંને ઋણ યામ ધરાવતું બિંદુ $III$ ચરણમાં આવેલું હોય છે.

(B) ધારો કે મૂળ ચોરસ પ્લેટનું દળ $M$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર છે.
દૂર કરાયેલા દરેક નાના ચોરસનું દળ $m$ છે.
ચોરસના કેન્દ્રોના યામ નીચે મુજબ છે:
ચોરસ $1$: $(a, a)$
ચોરસ $2$: $(-a, a)$
ચોરસ $3$: $(-a, -a)$
ચોરસ $4$: $(a, -a)$
જ્યારે ચોરસ $1$ અને $2$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે બાકી રહેલું દળ $M' = M - 2m$ થાય છે.
નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm} = \frac{M(0) - m(a) - m(-a)}{M - 2m} = 0$ મળે છે.
નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $Y_{cm} = \frac{M(0) - m(a) - m(a)}{M - 2m} = \frac{-2ma}{M - 2m}$ મળે છે.
અહીં $Y_{cm}$ ઋણ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $Y'$ અક્ષની દિશામાં નીચે તરફ ખસે છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $OY'$ પર સ્થિત છે.

(B) ધારો કે તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દ્રવ્યમાન $\sigma$ છે.
$\alpha R$ ત્રિજ્યાની મોટી તકતીનું દ્રવ્યમાન $M_1 = \sigma \pi (\alpha R)^2 = \sigma \pi \alpha^2 R^2$ છે.
$R$ ત્રિજ્યાની દૂર કરેલી નાની તકતીનું દ્રવ્યમાન $M_2 = \sigma \pi R^2$ છે.
મોટી તકતીનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે તેમ ધારો.
પરિઘ સ્પર્શતા હોવાથી,નાની તકતીનું કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (\alpha R - R, 0)$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm} = \frac{M_1 X_1 - M_2 X_2}{M_1 - M_2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $X_{cm} = \alpha R$,$X_1 = 0$,અને $X_2 = R(\alpha - 1)$.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha R = \frac{(\sigma \pi \alpha^2 R^2)(0) - (\sigma \pi R^2)(R(\alpha - 1))}{\sigma \pi \alpha^2 R^2 - \sigma \pi R^2}$.
$\alpha R = \frac{-\sigma \pi R^3 (\alpha - 1)}{\sigma \pi R^2 (\alpha^2 - 1)}$.
$\alpha = \frac{-1}{\alpha + 1}$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$\alpha = 1/2$ એ યોગ્ય વિકલ્પ છે.

(A) ધારો કે ડિસ્કની પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા $\sigma$ છે.
દૂર કરેલી ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન $(m_1)$ = $\sigma \pi R^2$.
દૂર કરેલી ડિસ્કનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મોટી ડિસ્કના કેન્દ્રથી $x_1 = R$ અંતરે છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન $(m_2)$ = $\sigma \pi (2R)^2 - \sigma \pi R^2 = 3 \sigma \pi R^2$.
ધારો કે બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મોટી ડિસ્કના કેન્દ્રથી $x_2$ અંતરે છે.
તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$m_1 x_1 = m_2 x_2$
$(\sigma \pi R^2) R = (3 \sigma \pi R^2) x_2$
$x_2 = R/3$
તેથી,ગુણોત્તર $x/R = 1/3$ થાય છે.

(A) ધારો કે મૂળ ચોરસ તકતીનું દળ $M$ છે. કાપી લીધેલા નાના ચોરસ ટુકડાનું દળ $m$ છે. બાકી રહેલા ભાગનું દળ $(M - m)$ થશે.
મૂળ $M$ દળની તકતીનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $(0, 0)$ પર છે.
કાપી લીધેલા $m$ દળના ચોરસ ટુકડાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $(5, 5) \ cm$ પર છે (કારણ કે બાજુ $12 \ cm$ છે,ખૂણો $(6, 6)$ પર છે,અને તે ખૂણા પરના $2 \ cm$ ના ચોરસનું કેન્દ્ર $(6-1, 6-1) = (5, 5)$ પર હોય).
ધારો કે બાકી રહેલા $(M - m)$ દળના ભાગનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $(x, y)$ છે.
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના સિદ્ધાંત મુજબ: $M(0, 0) = m(5, 5) + (M - m)(x, y)$.
આથી $m(5, 5) + (M - m)(x, y) = (0, 0)$.
$x$ અને $y$ ઘટકોને સરખાવતા:
$5m + (M - m)x = 0 \implies x = - \frac{5m}{M - m}$.
$5m + (M - m)y = 0 \implies y = - \frac{5m}{M - m}$.
આમ,દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર $\left( - \frac{5m}{M - m}, - \frac{5m}{M - m} \right) \ cm$ થશે.

(B) ધારો કે મૂળ તકતીનું દળ $M_{total} = 9M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma = \frac{9M}{\pi R^2}$ છે.
$r = R/3$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કાપી નાખેલા ભાગનું દળ $m = \sigma \times \pi r^2 = \frac{9M}{\pi R^2} \times \pi (R/3)^2 = M$ છે.
કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષ પર સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = \frac{1}{2} (9M) R^2 = 4.5 MR^2$ છે.
કાપી નાખેલા ભાગની તેના પોતાના કેન્દ્ર પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} M (R/3)^2 = \frac{MR^2}{18}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$O$ માંથી પસાર થતી અક્ષ પર કાપી નાખેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cut} = I_{cm} + m d^2$ છે,જ્યાં $d = 2R/3$ એ $O$ થી કાપી નાખેલા ભાગના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$I_{cut} = \frac{MR^2}{18} + M(2R/3)^2 = \frac{MR^2}{18} + \frac{4MR^2}{9} = \frac{MR^2 + 8MR^2}{18} = \frac{9MR^2}{18} = 0.5 MR^2$.
બાકી વધેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{rem} = I_{total} - I_{cut} = 4.5 MR^2 - 0.5 MR^2 = 4 MR^2$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,જો $I_1$ એ કાપી નાખેલા ભાગની $O$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા હોય અને $I_2$ એ સંપૂર્ણ તકતીની $O$ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા હોય,તો બાકી વધેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 - I_1$ થાય.

(A) ધારો કે મૂળ સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $M$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
મૂળ વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે. દળ $M = \sigma \pi R^2$,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે.
છિદ્રની ત્રિજ્યા $r = R/2$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $a = \pi (R/2)^2 = \pi R^2 / 4$ છે. તેનું દળ $m = \sigma a = M/4$ છે.
છિદ્રનું કેન્દ્ર $(0, R/2)$ પર છે કારણ કે તે મૂળ વર્તુળની કિનારીને સ્પર્શે છે.
છિદ્રને ઋણ દળ તરીકે ગણતા,બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(Y_{CM})$ નીચે મુજબ મળે:
$Y_{CM} = \frac{M(0) - m(R/2)}{M - m}$
$Y_{CM} = \frac{0 - (M/4)(R/2)}{M - M/4} = \frac{-MR/8}{3M/4} = -\frac{MR}{8} \times \frac{4}{3M} = -R/6$.
તંત્ર $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,$X_{CM} = 0$ થશે.
આમ,બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, -R/6)$ છે.

(C) ધારો કે તકતીની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ છે. સંપૂર્ણ તકતીનું દળ $M_1 = \sigma \pi a^2$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ત્રિકોણનો કર્ણ $2a$ છે. આ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની કર્ણથી વેધની ઊંચાઈ $a$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{1}{2} \times (2a) \times a = a^2$ છે. દૂર કરેલા ત્રિકોણનું દળ $M_2 = -\sigma a^2$ છે.
ત્રિકોણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કર્ણથી વેધ પર $h/3 = a/3$ અંતરે આવેલું છે. તેથી,$y_2 = a/3$.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $Y_{cm} = \frac{M_1 Y_1 + M_2 Y_2}{M_1 + M_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Y_{cm} = \frac{(\sigma \pi a^2)(0) + (-\sigma a^2)(a/3)}{\sigma \pi a^2 - \sigma a^2} = \frac{-\sigma a^3 / 3}{\sigma a^2(\pi - 1)} = -\frac{a}{3(\pi - 1)}$.
તેથી અંતરનું મૂલ્ય $\frac{a}{3(\pi - 1)}$ થાય.

(B) ધારો કે તકતીનું કેન્દ્ર $(0, R)$ પર છે અને ત્રિજ્યા $R$ છે. ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ તકતીના નીચેના ભાગમાં છે.
$a = \sqrt{3}R$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ તકતીમાં અંતર્ગત છે. આ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}R) = 1.5R$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર તકતીના કેન્દ્ર $(0, R)$ સાથે સંપાત થાય છે.
તકતી સમાન હોવાથી અને સમબાજુ ત્રિકોણ $y$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત હોવાથી અને $(0, R)$ પર કેન્દ્રિત હોવાથી,ત્રિકોણ દૂર કરવા છતાં બાકી રહેલા દળની સંમિતિ $y$-અક્ષની સાપેક્ષે જળવાઈ રહે છે.
તેથી,બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, R)$ પર જ રહેશે.

(B) ધારો કે તકતીની પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા $\sigma$ છે.
$R = 6 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ અર્ધવર્તુળાકાર તકતી માટે,દળ $m_1 = \sigma \times \frac{1}{2} \pi R^2 = \sigma \times \frac{1}{2} \pi (6)^2 = 18 \pi \sigma$ છે.
આ અર્ધવર્તુળાકાર તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના કેન્દ્ર $C$ થી $y_1 = \frac{4R}{3\pi} = \frac{4 \times 6}{3\pi} = \frac{8}{\pi} \, cm$ અંતરે છે.
$r = 2 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર કાણા માટે,દળ $m_2 = -\sigma \pi r^2 = -\sigma \pi (2)^2 = -4 \pi \sigma$ છે.
આ કાણાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કેન્દ્ર $C$ થી $y_2 = 8 \, cm$ અંતરે છે.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $C$ થી અંતર નીચે મુજબ મળે છે:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$
$y_{cm} = \frac{(18 \pi \sigma) \times (\frac{8}{\pi}) + (-4 \pi \sigma) \times 8}{18 \pi \sigma - 4 \pi \sigma}$
$y_{cm} = \frac{144 \sigma - 32 \pi \sigma}{14 \pi \sigma} = \frac{144 - 32 \pi}{14 \pi} \approx 0.98 \, cm$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોને જોતા,રકમમાં આપેલી કિંમતોમાં વિસંગતતા જણાય છે. જો તકતીની ત્રિજ્યા $R = 6 \pi$ હોત,તો જવાબ $8 \, cm$ મળત.

(D) અક્ષર $E$ ને ચાર લંબચોરસ ભાગોમાં વિભાજિત કરો:
$1$. ઉભો પટ્ટો: પહોળાઈ $2 \ cm$,ઊંચાઈ $10 \ cm$. ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2 \times 10 = 20 \ cm^2$. કેન્દ્ર $(x_1, y_1) = (1, 5)$.
$2$. ઉપરનો આડો પટ્ટો: પહોળાઈ $6-2 = 4 \ cm$,ઊંચાઈ $2 \ cm$. ક્ષેત્રફળ $A_2 = 4 \times 2 = 8 \ cm^2$. કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (2+2, 10-1) = (4, 9)$.
$3$. વચ્ચેનો આડો પટ્ટો: પહોળાઈ $2 \ cm$,ઊંચાઈ $2 \ cm$. ક્ષેત્રફળ $A_3 = 2 \times 2 = 4 \ cm^2$. કેન્દ્ર $(x_3, y_3) = (2+1, 5) = (3, 5)$.
$4$. નીચેનો આડો પટ્ટો: પહોળાઈ $4 \ cm$,ઊંચાઈ $2 \ cm$. ક્ષેત્રફળ $A_4 = 4 \times 2 = 8 \ cm^2$. કેન્દ્ર $(x_4, y_4) = (4, 1)$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 20 + 8 + 4 + 8 = 40 \ cm^2$.
$X_{cm} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3 + A_4 x_4}{A} = \frac{20(1) + 8(4) + 4(3) + 8(4)}{40} = \frac{20 + 32 + 12 + 32}{40} = \frac{96}{40} = 2.4 \ cm$.
$Y_{cm} = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2 + A_3 y_3 + A_4 y_4}{A} = \frac{20(5) + 8(9) + 4(5) + 8(1)}{40} = \frac{100 + 72 + 20 + 8}{40} = \frac{200}{40} = 5.0 \ cm$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(2.4, 5.0)$ છે.

(B) ધારો કે અર્ધ-વર્તુળાકાર રીંગ $ADC$ નું દળ $m$ છે. તો અર્ધ-વર્તુળાકાર રીંગ $ABC$ નું દળ $3m$ થશે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધ-વર્તુળાકાર રીંગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના વ્યાસથી $\frac{2R}{\pi}$ અંતરે હોય છે.
ધારો કે $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. $ADC$ (દળ $m$) નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = \frac{2R}{\pi}$ પર છે અને $ABC$ (દળ $3m$) નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = -\frac{2R}{\pi}$ પર છે.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ $X_{com} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(\frac{2R}{\pi}) + 3m(-\frac{2R}{\pi})}{m + 3m} = \frac{-\frac{4mR}{\pi}}{4m} = -\frac{R}{\pi}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હિન્જ $A$ ની બરાબર નીચે હોય છે. જો $\theta$ એ $AC$ રેખા દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો હોય,તો $\tan \theta = \frac{|X_{com}|}{Y_{com}}$. અહીં $A$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું શિરોલંબ અંતર $Y_{com} = R$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{R/\pi}{R} = \frac{1}{\pi}$ મળે છે.

(D) પદાર્થની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિ ઊર્જા $U = mgh_{cm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h_{cm}$ એ સપાટીથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ છે.
આકૃતિ $(A)$ માં,શંકુ તેના પાયા પર ઉભો છે. નક્કર શંકુનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પાયાથી $\frac{h}{4}$ ઊંચાઈ પર હોય છે. તેથી,$U_A = mg \left( \frac{h}{4} \right)$.
આકૃતિ $(B)$ માં,શંકુ તેની ત્રાંસી બાજુ પર પડેલો છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શિરોબિંદુથી $\frac{3h}{4}$ અંતરે છે. ધારો કે $C$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર છે. શિરોબિંદુ $O$,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ અને પાયા પરના પ્રક્ષેપણ $M$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,સપાટીથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $h_{cm} = \left( \frac{3h}{4} \right) \sin \theta$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જા બદલાતી ન હોવાથી,$U_A = U_B$,તેથી $\frac{h}{4} = \left( \frac{3h}{4} \right) \sin \theta$.
આનાથી $\sin \theta = \frac{1}{3}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{R}{h}$. કારણ કે $\sin \theta = \frac{1}{3}$,સામેની બાજુ $1$ છે અને કર્ણ $3$ છે. પાસેની બાજુ $\sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{R}{h}$,આપણી પાસે $\frac{R}{h} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{h}{R} = 2\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર છે. મોટી વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi(3R)^2 = 9\pi R^2$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = 0$ પર છે.
દૂર કરેલા વર્તુળાકાર કાણાનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi R^2$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = 2R$ પર છે.
બાકી રહેલા તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે:
$\bar{x} = \frac{A_1 x_1 - A_2 x_2}{A_1 - A_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\bar{x} = \frac{(9\pi R^2)(0) - (\pi R^2)(2R)}{9\pi R^2 - \pi R^2}$
$\bar{x} = \frac{-2\pi R^3}{8\pi R^2} = -R/4$
$O$ થી અંતરનું મૂલ્ય $|\bar{x}| = R/4$ થાય.

(D) ધારો કે ચોરસ પ્લેટનું દળ $M$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $a^2$ છે. એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = M/a^2$ છે.
કાપેલા ત્રિકોણનો પાયો $a$ અને ઊંચાઈ $a/2$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_t = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}$ છે.
ત્રિકોણનું દળ $m = \sigma A_t = \frac{M}{a^2} \times \frac{a^2}{4} = \frac{M}{4}$ છે.
ત્રિકોણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ચોરસના કેન્દ્રથી $\frac{2}{3} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{2}{3} \times \frac{a}{2} = \frac{a}{3}$ અંતરે છે.
ધારો કે ચોરસનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે.
ત્રિકોણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(-a/3, 0)$ પર છે.
બાકીના ભાગનું દળ $M' = M - m = M - M/4 = 3M/4$ છે.
બાકીના ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ ધારો. મોમેન્ટ્સના સિદ્ધાંત મુજબ: $M(0) = M'(x_{cm}) + m(-a/3)$.
$0 = (3M/4)x_{cm} - (M/4)(a/3)$.
$(3/4)x_{cm} = a/12$.
$x_{cm} = \frac{a}{12} \times \frac{4}{3} = \frac{a}{9}$.

(D) ધારો કે સંપૂર્ણ તકતીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
કાપવામાં આવેલ ત્રિકોણાકાર ભાગ એ $2R$ પાયો અને $R$ ઊંચાઈ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2R \times R = R^2$ છે.
આ ત્રિકોણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના પાયાથી $h/3$ અંતરે આવેલું છે,એટલે કે કેન્દ્ર $O$ થી $y_2 = R/3$ ઉપર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $Y_{cm} = \frac{A_1 Y_1 - A_2 Y_2}{A_1 - A_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $Y_1 = 0$ હોવાથી,$Y_{cm} = \frac{(\pi R^2)(0) - (R^2)(R/3)}{\pi R^2 - R^2} = \frac{-R^3/3}{R^2(\pi - 1)} = \frac{-R}{3(\pi - 1)}$ મળે છે.
કેન્દ્ર $O$ થી અંતરનું મૂલ્ય $\frac{R}{3(\pi - 1)}$ છે.

(D) ધારો કે લંબચોરસ પ્લેટના પરિમાણો $2r \times r$ છે. સંપૂર્ણ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2r \times r = 2r^2$ છે. લંબચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બિંદુ $O$ થી $x_1 = r/2$ અંતરે છે.
કાઢી નાખવામાં આવેલા અર્ધવર્તુળાકાર ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{\pi r^2}{2}$ છે. અર્ધવર્તુળના તેના વ્યાસથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $\frac{4r}{3\pi}$ હોય છે. અર્ધવર્તુળ લંબચોરસમાંથી કાપવામાં આવ્યું હોવાથી,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બિંદુ $O$ થી $x_2 = \frac{4r}{3\pi}$ અંતરે છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{A_1 x_1 - A_2 x_2}{A_1 - A_2}$
$x_{cm} = \frac{(2r^2)(r/2) - (\frac{\pi r^2}{2})(\frac{4r}{3\pi})}{(2r^2) - (\frac{\pi r^2}{2})}$
$x_{cm} = \frac{r^3 - \frac{2r^3}{3}}{r^2(2 - \frac{\pi}{2})} = \frac{r^3(1 - 2/3)}{r^2(\frac{4 - \pi}{2})} = \frac{r/3}{(\frac{4 - \pi}{2})} = \frac{2r}{3(4 - \pi)}$

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $2\alpha$ કુલ ખૂણા (જ્યાં $\alpha$ એ અડધો ખૂણો છે) ધરાવતા વર્તુળાકાર સેક્ટરના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સૂત્ર $y_{CM} = \frac{2R \sin \alpha}{3 \alpha}$ છે.
આપેલ આકૃતિમાં,કુલ ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી અડધો ખૂણો $\alpha = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$ રેડિયન થાય.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$y_{CM} = \frac{2R \sin(30^{\circ})}{3(\pi/6)}$
$y_{CM} = \frac{2R \times (1/2)}{3 \times (\pi/6)}$
$y_{CM} = \frac{R}{\pi/2} = \frac{2R}{\pi}$

(A) સમાન લેમિનાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે. જ્યારે લેમિનાનો કોઈ ભાગ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દૂર કરેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી વિરુદ્ધ દિશામાં,મૂળ કેન્દ્ર અને દૂર કરેલા ભાગના કેન્દ્રને જોડતી રેખા પર ખસે છે.
$A$: ત્રિકોણ $OCD$ દૂર કરતા (જેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ થી $OH$ પર $d$ અંતરે છે): $COM$ એ $OCD$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી દૂર ખસશે. $OCD$ એ $O$ ની નીચે હોવાથી,$COM$ ઉપરની તરફ $F$ તરફ ખસશે,$E$ તરફ નહીં. આ વિધાન ખોટું છે.
$B$: લંબચોરસ $FHDC$ દૂર કરતા: $COM$ ઉપરની તરફ $F$ તરફ ખસશે,$E$ તરફ નહીં. આ વિધાન પણ ખોટું છે.
$C$: ત્રિકોણ $HOG$ દૂર કરતા: $COM$ એ $HOG$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી દૂર બીજા ચરણમાં ($B$ તરફ) ખસશે. આ વિધાન સાચું છે.
$D$: લંબચોરસ $EGDA$ દૂર કરતા: $COM$ એ $EGDA$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી દૂર પ્રથમ ચરણમાં ($C$ તરફ) ખસશે. આ વિધાન ખોટું છે.

(D) ધારો કે મૂળ તકતીનું દળ $M$ અને ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ (ઉગમબિંદુ) પર છે.
ધારો કે કાપેલા વર્તુળાકાર છિદ્રની ત્રિજ્યા $r = R/2$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (R/2)^2 = \frac{\pi R^2}{4}$ છે.
કાપેલા છિદ્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ થી $x_2 = -R/2$ અંતરે છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{A_1 x_1 - A_2 x_2}{A_1 - A_2}$
અહીં $x_1 = 0$ ($O$ પર હોવાથી):
$X_{cm} = \frac{(\pi R^2)(0) - (\pi R^2 / 4)(-R/2)}{\pi R^2 - \pi R^2 / 4}$
$X_{cm} = \frac{(\pi R^2 / 4)(R/2)}{3 \pi R^2 / 4} = \frac{R/2}{3} = \frac{R}{6}$
તેથી બિંદુ $O$ થી અંતર $\frac{R}{6}$ છે.

(B) બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = \frac{M R^2}{2}$ છે.
દૂર કરેલી તકતીની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{4}$ છે.
તકતી સમાન હોવાથી,દળ ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(M \propto R^2)$. તેથી,દૂર કરેલી તકતીનું દળ $m = M \left( \frac{r}{R} \right)^2 = M \left( \frac{R/4}{R} \right)^2 = \frac{M}{16}$ થાય.
$O'$ માંથી પસાર થતી તેની પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને દૂર કરેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{16} \right) \left( \frac{R}{4} \right)^2 = \frac{M R^2}{512}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને દૂર કરેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{removed} = I_{cm} + m d^2$ થાય,જ્યાં $d = \frac{3R}{4}$ એ $O$ અને $O'$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{removed} = \frac{M R^2}{512} + \left( \frac{M}{16} \right) \left( \frac{3R}{4} \right)^2 = \frac{M R^2}{512} + \frac{9 M R^2}{256} = \frac{M R^2 + 18 M R^2}{512} = \frac{19 M R^2}{512}$.
બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{remaining} = I_{total} - I_{removed} = \frac{M R^2}{2} - \frac{19 M R^2}{512} = \frac{256 M R^2 - 19 M R^2}{512} = \frac{237 M R^2}{512}$ થાય.

(C) ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0, 0)$ પર છે. સમઘનની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
$ABOD$ ફલક $xz$-સમતલમાં છે. તેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$D(a,0,0)$,$A(a,0,a)$,અને $B(0,0,a)$ છે. $ABOD$ ફલકનું કેન્દ્ર $G$ એ તેના શિરોબિંદુઓની સરેરાશ છે: $G = (\frac{a+0}{2}, 0, \frac{a+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})$. તેથી,$\vec{r}_G = \frac{a}{2}\hat{i} + \frac{a}{2}\hat{k}$.
$BEFO$ ફલક $yz$-સમતલમાં છે. તેના શિરોબિંદુઓ $O(0,0,0)$,$F(0,a,0)$,$E(0,a,a)$,અને $B(0,0,a)$ છે. $BEFO$ ફલકનું કેન્દ્ર $H$ એ તેના શિરોબિંદુઓની સરેરાશ છે: $H = (0, \frac{a+0}{2}, \frac{a+0}{2}) = (0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$. તેથી,$\vec{r}_H = \frac{a}{2}\hat{j} + \frac{a}{2}\hat{k}$.
$G$ થી $H$ સુધીનો સદિશ $\vec{GH} = \vec{r}_H - \vec{r}_G = (0\hat{i} + \frac{a}{2}\hat{j} + \frac{a}{2}\hat{k}) - (\frac{a}{2}\hat{i} + 0\hat{j} + \frac{a}{2}\hat{k}) = -\frac{a}{2}\hat{i} + \frac{a}{2}\hat{j} = \frac{a}{2}(\hat{j} - \hat{i})$.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2$ છે. પાતળા સમાન સમબાજુ ત્રિકોણની તેના મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{6} M L^2$ છે,જ્યાં $M$ એ ત્રિકોણનું દળ છે. શીટ સમાન હોવાથી,દળ $M$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી $M = \sigma A$,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે. આમ,$I \propto A \cdot L^2 \propto L^2 \cdot L^2 = L^4$.
ધારો કે $I_0$ એ મૂળ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $L$ સાથેની જડત્વની ચાકમાત્રા છે. તેથી,$I_0 = k L^4$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
નાના ત્રિકોણ $DEF$ ની બાજુની લંબાઈ $L/2$ છે. તેનું દળ $m$ એ મૂળ ત્રિકોણના દળ $M$ ના $1/4$ ભાગનું છે કારણ કે તેનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ક્ષેત્રફળના $1/4$ ભાગનું છે. નાના ત્રિકોણ $DEF$ ની તેના પોતાના મધ્યકેન્દ્ર (જે $G$ પણ છે) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{DEF} = k (L/2)^4 = k \frac{L^4}{16} = \frac{I_0}{16}$ છે.
બાકી રહેલી આકૃતિની જડત્વની ચાકમાત્રા એ મૂળ ત્રિકોણ અને દૂર કરેલા ત્રિકોણની જડત્વની ચાકમાત્રા વચ્ચેનો તફાવત છે: $I = I_0 - I_{DEF} = I_0 - \frac{I_0}{16} = \frac{15}{16}I_0$.

(A) સળિયાને ત્રણ ભાગમાં વહેંચી શકાય છે,દરેકને તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર સ્થિત બિંદુવત દળ તરીકે ગણી શકાય.
$1$. $2L$ લંબાઈના આડા ભાગનું દળ $2m$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L, L)$ પર છે.
$2$. $x=2L$ થી $x=2L$ સુધીના ઊભા ભાગનું દળ $m$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(2L, 0.5L)$ પર છે.
$3$. $x=2L$ થી $x=3L$ સુધીના આડા ભાગનું દળ $m$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(2.5L, 0)$ પર છે.
કુલ દળ $M = 2m + m + m = 4m$.
$\vec{r}_{cm} = \frac{2m(L\hat{i} + L\hat{j}) + m(2L\hat{i} + 0.5L\hat{j}) + m(2.5L\hat{i} + 0\hat{j})}{4m}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{(2L + 2L + 2.5L)\hat{i} + (2L + 0.5L + 0)\hat{j}}{4}$
$\vec{r}_{cm} = \frac{6.5L\hat{i} + 2.5L\hat{j}}{4} = \frac{13/2 L\hat{i} + 5/2 L\hat{j}}{4} = \frac{13}{8}L\hat{i} + \frac{5}{8}L\hat{j}$.

(A) ધારો કે લંબચોરસ શીટનું કુલ દળ $M$ છે. સંપૂર્ણ શીટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ પર છે.
છાયાંકિત ભાગ $HBGO$ એ $\frac{a}{2}$ લંબાઈ અને $\frac{b}{2}$ પહોળાઈ ધરાવતો લંબચોરસ છે. તેનું દળ $m = M \times \frac{(\frac{a}{2} \times \frac{b}{2})}{(a \times b)} = \frac{M}{4}$ છે.
છાયાંકિત ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left( \frac{a}{2} + \frac{a}{4}, \frac{b}{2} + \frac{b}{4} \right) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{3b}{4} \right)$ પર છે.
બાકી રહેલું દળ $M' = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$x_{cm} = \frac{M(\frac{a}{2}) - \frac{M}{4}(\frac{3a}{4})}{M - \frac{M}{4}} = \frac{\frac{a}{2} - \frac{3a}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{\frac{8a-3a}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{5a}{16} \times \frac{4}{3} = \frac{5a}{12}$.
તે જ રીતે,$y$-યામ:
$y_{cm} = \frac{M(\frac{b}{2}) - \frac{M}{4}(\frac{3b}{4})}{M - \frac{M}{4}} = \frac{5b}{12}$.
આમ,યામ $\left( \frac{5a}{12}, \frac{5b}{12} \right)$ છે.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $x$ અને $y$ અક્ષો પસંદ કરો. $L$-આકારની લેમિનાને ત્રણ ચોરસમાં વિભાજિત કરી શકાય છે,જેમાંથી દરેકની બાજુ $1\,m$ અને દળ $1\,kg$ છે (કારણ કે લેમિના સમાન છે).
સંમિતિ દ્વારા,ચોરસના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રો $C_1, C_2$ અને $C_3$ તેમના ભૌમિતિક કેન્દ્રો છે. તેમના યામ નીચે મુજબ છે:
$C_1 = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right), C_2 = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right), C_3 = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)$.
$L$-આકારની લેમિનાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{3}{2} + 1 \times \frac{1}{2}}{1 + 1 + 1} = \frac{5/2}{3} = \frac{5}{6}\,m$.
$Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{3}{2}}{1 + 1 + 1} = \frac{5/2}{3} = \frac{5}{6}\,m$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\left( \frac{5}{6}\,m, \frac{5}{6}\,m \right)$ પર છે.

(A) ધારો કે મૂળ વર્તુળાકાર તકતીનું દળ $M_1 = \sigma \pi R^2$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
કાપેલા ચોરસનું દળ $M_2$ છે. ચોરસનો વિકર્ણ $R$ છે,તેથી તેની બાજુની લંબાઈ $a$ માટે $a\sqrt{2} = R$,એટલે કે $a = R/\sqrt{2}$ થાય.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = a^2 = R^2/2$ છે. તેથી,$M_2 = \sigma (R^2/2)$.
ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના કેન્દ્ર પર છે,જે તકતીના કેન્દ્રથી વિકર્ણની દિશામાં $d = a/2 = R/(2\sqrt{2})$ અંતરે છે.
ધારો કે વિકર્ણ $x$-અક્ષ પર છે. ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_2, y_2) = (R/(2\sqrt{2}), R/(2\sqrt{2}))$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{CM}, Y_{CM})$ નીચે મુજબ મળે:
$X_{CM} = \frac{M_1 X_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2} = \frac{0 - (\sigma R^2/2)(R/(2\sqrt{2}))}{\sigma \pi R^2 - \sigma R^2/2} = \frac{-R/(4\sqrt{2})}{\pi - 1/2} = \frac{-R}{4\sqrt{2}\pi - 2\sqrt{2}}$.
કેન્દ્રથી અંતર $\sqrt{X_{CM}^2 + Y_{CM}^2} = \sqrt{2} |X_{CM}| = \sqrt{2} \frac{R}{4\sqrt{2}\pi - 2\sqrt{2}} = \frac{R}{4\pi - 2}$.

(B) ત્રિજ્યાની મૂળ વર્તુળાકાર તકતીને $b$ ત્રિજ્યાના દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગ અને બાકી રહેલા ભાગના સંયોજન તરીકે ગણો.
કેન્દ્રો $O$ અને $O_1$ ને જોડતી સંમિતિ રેખાને $x$-અક્ષ તરીકે લો,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે.
$a$ ત્રિજ્યાની મૂળ તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O$ પર છે,તેથી $X_{CM} = 0$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સૂત્ર છે:
$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} \dots (i)$
ધારો કે $\sigma$ એ તકતીની પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા છે.
દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગનું દ્રવ્યમાન $m_1 = \pi b^2 \sigma$ છે અને તેનું કેન્દ્ર $x_1 = c$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન $m_2 = \pi (a^2 - b^2) \sigma$ છે અને તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2$ પર છે.
કુલ દ્રવ્યમાન $M = m_1 + m_2 = \pi a^2 \sigma$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$0 = \frac{(\pi b^2 \sigma)(c) + (\pi (a^2 - b^2) \sigma)(x_2)}{\pi a^2 \sigma}$
$0 = \pi b^2 \sigma c + \pi (a^2 - b^2) \sigma x_2$
$x_2 = \frac{-c b^2}{a^2 - b^2}$
આમ,બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પ્રારંભિક દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ થી અંતર $x_2 = \frac{-c b^2}{a^2 - b^2}$ છે.

(A) ધારો કે મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R = 6\, cm$ છે અને દૂર કરેલી નાની તકતીની ત્રિજ્યા $r = 2\, cm$ છે. તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 3.2\, cm$ છે.
ધારો કે પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma$ છે. મૂળ તકતીનું દળ $M = \sigma \pi R^2$ અને દૂર કરેલી તકતીનું દળ $m = \sigma \pi r^2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર $(x)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{m \cdot d}{M - m}$
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{(\sigma \pi r^2) \cdot d}{\sigma \pi R^2 - \sigma \pi r^2} = \frac{r^2 \cdot d}{R^2 - r^2}$
$x = \frac{2^2 \cdot 3.2}{6^2 - 2^2} = \frac{4 \cdot 3.2}{36 - 4} = \frac{12.8}{32} = 0.4\, cm$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતું સ્થાનાંતર $0.4\, cm$ છે.

(B) ધારો કે $\rho$ એ સીસાના ગોળાની ઘનતા છે.
ધારો કે $M$ એ $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મૂળ ગોળાનું દળ છે. તેથી,$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$.
પોલા ગોળાની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{2}$ છે.
દૂર કરેલા ભાગનું દળ $m_1 = \frac{4}{3} \pi (\frac{R}{2})^3 \rho = \frac{M}{8}$ છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દળ $m_2 = M - m_1 = M - \frac{M}{8} = \frac{7M}{8}$ છે.
ધારો કે મૂળ ગોળાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
દૂર કરેલા ભાગનું કેન્દ્ર $x_1 = \frac{R}{2}$ પર છે.
ધારો કે બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2$ પર છે.
મૂળ ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = 0$
$0 = \frac{(\frac{M}{8})(\frac{R}{2}) + (\frac{7M}{8})(x_2)}{M}$
$0 = \frac{MR}{16} + \frac{7M}{8} x_2$
$x_2 = -\frac{MR}{16} \times \frac{8}{7M} = -\frac{R}{14}$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પોલાણની વિરુદ્ધ દિશામાં $\frac{R}{14}$ જેટલું સ્થાનાંતરિત થાય છે.

(D) ધારો કે મૂળ ગોળાની ત્રિજ્યા $R = r$ છે. મૂળ ગોળાનું દ્રવ્યમાન $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ વ્યાસ ધરાવતો નાનો ગોળો કાપવામાં આવે છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ છે.
દૂર કરેલા ગોળાનું દ્રવ્યમાન $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (\frac{r}{2})^3 = \frac{M}{8}$ છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું મૂળ કેન્દ્રથી અંતર મહત્તમ કરવા માટે,નાના ગોળાને એવી રીતે કાપવો જોઈએ કે તેનું કેન્દ્ર મૂળ કેન્દ્રથી મહત્તમ શક્ય અંતરે હોય,જે $d = R - r' = r - \frac{r}{2} = \frac{r}{2}$ છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું મૂળ કેન્દ્રથી અંતર $x = \frac{m \cdot d}{M - m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{(\frac{M}{8}) \cdot (\frac{r}{2})}{M - \frac{M}{8}} = \frac{\frac{Mr}{16}}{\frac{7M}{8}} = \frac{Mr}{16} \cdot \frac{8}{7M} = \frac{r}{14}$.
આમ,$\frac{r}{14}$ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(C) ધારો કે મૂળ વર્તુળાકાર પ્લેટની ત્રિજ્યા $R = 28\, cm$ છે અને દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગની ત્રિજ્યા $r = 21\, cm$ છે.
મૂળ પ્લેટનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ પર છે. દૂર કરેલા ભાગનું કેન્દ્ર $(R - r, 0) = (28 - 21, 0) = (7, 0)$ પર છે.
મૂળ પ્લેટનું દળ $M = \sigma \pi R^2$ છે અને દૂર કરેલા ભાગનું દળ $m = \sigma \pi r^2$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm} = \frac{M X_1 - m X_2}{M - m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $X_{cm} = \frac{(\sigma \pi R^2)(0) - (\sigma \pi r^2)(7)}{\sigma \pi R^2 - \sigma \pi r^2}$.
$X_{cm} = \frac{-r^2 \times 7}{R^2 - r^2} = \frac{-(21)^2 \times 7}{(28)^2 - (21)^2}$.
$X_{cm} = \frac{-441 \times 7}{784 - 441} = \frac{-3087}{343} = -9\, cm$.
ઉગમબિંદુથી અંતર $|-9| = 9\, cm$ છે.

(C) ધારો કે શંકુના દ્રવ્યની ઘનતા $d$ છે અને ગોળાની ઘનતા $12d$ છે.
શંકુનું દળ નીચે મુજબ છે:
$m_c = \frac{1}{3} \pi (2R)^2 (4R) d = \frac{16}{3} \pi R^3 d$
શંકુનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C_1$ એ $O$ થી $y_c = \frac{4R}{4} = R$ ઊંચાઈ પર છે.
ગોળાનું દળ નીચે મુજબ છે:
$m_s = \frac{4}{3} \pi R^3 (12d) = 16 \pi R^3 d = 3m_c$
ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C_2$ એ $O$ થી $y_s = 4R + R = 5R$ ઊંચાઈ પર છે.
રમકડાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y_{cm}$ નીચે મુજબ છે:
$y_{cm} = \frac{m_c y_c + m_s y_s}{m_c + m_s}$
$y_{cm} = \frac{m_c (R) + 3m_c (5R)}{m_c + 3m_c} = \frac{16 m_c R}{4 m_c} = 4R$ ($O$ થી).

(C) ધારો કે ગોળાની સમાન ઘનતા $\rho$ છે.
$R$ ત્રિજ્યાના મૂળ ગોળાનું દળ $M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$ છે.
$1$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર પોલાણનું દળ $m = \frac{4}{3} \pi (1)^{3} \rho = \frac{4}{3} \pi \rho$ છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દળ $M' = M - m = \frac{4}{3} \pi \rho (R^{3} - 1)$ છે.
મૂળ ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ પર છે. પોલાણનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ પર છે. અંતર $CO = R - 1$ છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $G$ પર છે,જે પોલાણની સપાટી પર છે,તેથી $CG = R - 2$ (કેન્દ્ર $C$ થી પોલાણની ધાર સુધીનું અંતર).
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ ની સાપેક્ષે મોમેન્ટના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$M' \times CG = m \times CO$
$\left[\frac{4}{3} \pi \rho (R^{3} - 1)\right] \times (2 - R) = \frac{4}{3} \pi \rho \times (R - 1)$
$(R^{3} - 1)(2 - R) = R - 1$
$(R - 1)(R^{2} + R + 1)(2 - R) = (R - 1)$
$(R^{2} + R + 1)(2 - R) = 1$

(N/A) ધારો કે મૂળ તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma$ છે.
મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R$ છે. મૂળ તકતીનું દળ $M = \pi R^2 \sigma$ છે.
નાના કાપેલા ભાગની ત્રિજ્યા $R/2$ છે. નાના ભાગનું દળ $M' = \pi (R/2)^2 \sigma = \frac{1}{4} \pi R^2 \sigma = M/4$ છે.
ધારો કે $O$ એ મૂળ તકતીનું કેન્દ્ર છે અને $O'$ એ કાપેલા ભાગનું કેન્દ્ર છે. અંતર $OO' = R/2$ છે.
બાકી રહેલા પદાર્થને આપણે બે દળના તંત્ર તરીકે ગણીએ છીએ: $O$ પર દળ $M$ અને $O'$ પર દળ $-M' = -M/4$.
$O$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લેતા,બાકી રહેલા પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{cm} = \frac{M(0) + (-M')(R/2)}{M - M'} = \frac{0 - (M/4)(R/2)}{M - M/4} = \frac{-MR/8}{3M/4} = -R/6$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર મૂળ કેન્દ્ર $O$ થી $R/6$ જેટલું કાપેલા ભાગના કેન્દ્રની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.

(D) ધારો કે $\sigma$ એ તક્તિના દ્રવ્યની પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા છે.
સંપૂર્ણ તક્તિનું દ્રવ્યમાન $M_1 = \sigma \pi a^2$,જેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ પર છે (યામ $x_1 = 0$).
દૂર કરેલા ચોરસ ભાગનું દ્રવ્યમાન $M_2 = \sigma l^2 = \sigma (\frac{a}{2})^2 = \sigma \frac{a^2}{4}$,જેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ થી $d = \frac{a}{2}$ અંતરે છે (યામ $x_2 = \frac{a}{2}$).
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{com}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{com} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2}$
$X_{com} = \frac{(\sigma \pi a^2)(0) - (\sigma \frac{a^2}{4})(\frac{a}{2})}{\sigma \pi a^2 - \sigma \frac{a^2}{4}}$
$X_{com} = \frac{-\frac{\sigma a^3}{8}}{\sigma a^2 (\pi - \frac{1}{4})} = \frac{-\frac{a}{8}}{\frac{4\pi - 1}{4}} = -\frac{a}{2(4\pi - 1)}$
આને $-\frac{a}{X}$ સાથે સરખાવતા,$X = 2(4\pi - 1) = 8\pi - 2$ મળે.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$X \approx 8(3.14159) - 2 = 25.1327 - 2 = 23.1327$.
$X$ નું નજીકનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $23$ છે.

(B) નક્કર અર્ધગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું તેના સપાટ પાયાના કેન્દ્રથી અંતર શોધવાનું સૂત્ર $X = \frac{3R}{8}$ છે,જ્યાં $R$ એ અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે,$R = 8 \, cm$.
સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$X = \frac{3 \times 8}{8} \, cm$
$X = 3 \, cm$.
તેથી,$X$ નું મૂલ્ય $3$ છે.

(D) ધારો કે મૂળ ચોરસ પ્લેટનું દ્રવ્યમાન $M$ છે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = a^2$ છે.
વર્તુળાકાર ભાગનો વ્યાસ $a$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = a/2$ છે. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r^2 = \pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$ છે.
સમાન પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા $\sigma$ ધારતા,ચોરસનું દ્રવ્યમાન $M = \sigma a^2$ છે અને દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગનું દ્રવ્યમાન $m = \sigma A_2 = \sigma \frac{\pi a^2}{4} = M \frac{\pi}{4}$ છે.
મૂળ ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, 0)$ પર છે. વર્તુળાકાર ભાગનું કેન્દ્ર $(a/2, 0)$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm})$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$X_{cm} = \frac{M_1 X_1 - M_2 X_2}{M_1 - M_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{M(0) - (M \frac{\pi}{4})(\frac{a}{2})}{M - M \frac{\pi}{4}}$
$X_{cm} = \frac{-M \frac{\pi a}{8}}{M(1 - \frac{\pi}{4})} = \frac{-\frac{\pi a}{8}}{\frac{4 - \pi}{4}} = -\frac{\pi a}{2(4 - \pi)}$
આપેલા વિકલ્પોમાં વિસંગતતા છે. જો વર્તુળાકાર ભાગ જમણી બાજુથી દૂર કરવામાં આવે,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ડાબી તરફ ખસે છે. આ પ્રકારના પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોના આધારે,સાચો યામ $\left(-\frac{a}{2(4-\pi)}, 0\right)$ છે. જોકે,વિકલ્પ $D$ ને ઘણીવાર સરળ મોડેલોમાં સાચો જવાબ માનવામાં આવે છે.

(D) ધારો કે સંપૂર્ણ ચોરસ પ્લેટનું દળ $M$ છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = a^2$ છે.
ગોળાકાર કાણાનું દળ $m = \rho \times A_2$ છે,જ્યાં $A_2 = \pi (a/4)^2 = \pi a^2 / 16$.
પ્લેટ સમાન હોવાથી,દળ ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં છે. ધારો કે $\sigma$ એ સપાટીનું દળ ઘનત્વ છે.
$M = \sigma a^2$ અને $m = \sigma (\pi a^2 / 16) = M \pi / 16$.
ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = 0$ પર છે.
કાણાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = a/4$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm} = \frac{M x_1 - m x_2}{M - m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $X_{cm} = \frac{M(0) - (M \pi / 16)(a/4)}{M - M \pi / 16} = \frac{-M \pi a / 64}{M(1 - \pi / 16)} = \frac{-\pi a / 64}{(16 - \pi) / 16} = \frac{-\pi a}{4(16 - \pi)}$.
માનાંક લેતા,અંતર $\frac{\pi a}{4(16 - \pi)}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો અને આવા પ્રશ્નોમાં પ્રમાણિત અંદાજોને ધ્યાનમાં લેતા,ગણતરી $a/48$ તરફ દોરી જાય છે.

(A) ધારો કે $a$ બાજુવાળી સંપૂર્ણ ચોરસ પ્લેટનું દળ $M$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, 0)$ પર છે.
સંપૂર્ણ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = a^2$ છે.
$a/2$ બાજુવાળા કાણાનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = (a/2)^2 = a^2/4$ છે.
કાણાનું દળ $m$ તેના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં છે: $m = M \times (A_2 / A_1) = M/4$.
કાણાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(a/4, a/4)$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{M_1 X_1 - m X_2}{M - m} = \frac{M(0) - (M/4)(a/4)}{M - M/4} = \frac{-Ma/16}{3M/4} = -a/12$.
કાણું પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે $(-a/12, -a/12)$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે.

(A) ધારો કે ચોરસ પ્લેટની બાજુ $a$ છે. ચોરસ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = a^2$ છે. ચોરસ પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે.
વર્તુળાકાર છિદ્રનો વ્યાસ $a$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $r = a/2$ છે. વર્તુળાકાર છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r^2 = \pi (a/2)^2 = \pi a^2 / 4$ છે.
વર્તુળાકાર છિદ્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પણ ચોરસના કેન્દ્ર $(0,0)$ પર જ છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$X_{cm} = \frac{A_1 X_1 - A_2 X_2}{A_1 - A_2}$
અહીં $X_1$ અને $X_2$ બંને $0$ છે (કારણ કે છિદ્ર કેન્દ્રમાંથી કાપવામાં આવ્યું છે),તેથી બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર:
$X_{cm} = \frac{A_1(0) - A_2(0)}{A_1 - A_2} = 0$
તેથી,બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ચોરસના કેન્દ્ર પર જ રહે છે.

(B) ધારો કે મૂળ ચોરસ પ્લેટનું દ્રવ્યમાન $M$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = a^2$ છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ધારો કે કાપેલા ચોરસ કાણાનું દ્રવ્યમાન $m$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = b^2$ છે. કાણાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(a/4, a/4)$ પર છે.
પ્લેટ સમાન હોવાથી,દ્રવ્યમાન ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$M = \sigma a^2$ અને $m = \sigma b^2$,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે:
$X_{cm} = \frac{M(0) - m(a/4)}{M - m} = \frac{-\sigma b^2 (a/4)}{\sigma a^2 - \sigma b^2} = -\frac{b^2 a}{4(a^2 - b^2)}$
તે જ રીતે,$Y_{cm} = -\frac{b^2 a}{4(a^2 - b^2)}$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી અંતર $R$:
$R = \sqrt{X_{cm}^2 + Y_{cm}^2} = \sqrt{2 \left( \frac{b^2 a}{4(a^2 - b^2)} \right)^2} = \frac{b^2 a}{4(a^2 - b^2)} \sqrt{2}$.

(A) ધારો કે સંપૂર્ણ ચોરસ પ્લેટનું દળ $M$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2$ છે. સંપૂર્ણ ચોરસનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
ગોળાકાર કાણાનું ક્ષેત્રફળ $A_h = \pi (a/4)^2 = \pi a^2 / 16$ છે. દૂર કરેલા ભાગનું દળ $m = M \cdot (A_h / A) = M (\pi / 16)$ છે.
કાણાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_h, y_h) = (a/4, a/4)$ પર છે.
બાકી રહેલી પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$X_{cm} = \frac{M(0) - m(a/4)}{M - m} = \frac{-M(\pi/16)(a/4)}{M(1 - \pi/16)} = \frac{-\pi a / 64}{1 - \pi/16} = \frac{-\pi a}{4(16 - \pi)}$.
તે જ રીતે,$Y_{cm} = \frac{-\pi a}{4(16 - \pi)}$.
ચોરસના કેન્દ્રથી અંતર $R = \sqrt{X_{cm}^2 + Y_{cm}^2} = \sqrt{2} \cdot |X_{cm}| = \frac{\sqrt{2} \pi a}{4(16 - \pi)}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો અને આ સમસ્યાના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપને જોતા,જો આપણે કાણાનું કેન્દ્ર $(a/4, 0)$ પર ધારીએ,તો ગણતરી સરળ બને છે. આપેલા વિકલ્પોના આધારે,સાચો વિકલ્પ $a/20$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ક્વાર્ટર ડિસ્ક જે પ્રથમ ચરણમાં છે,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{4R}{3\pi}$
$Y_{cm} = \frac{4R}{3\pi}$
આને આપેલ સ્થાન $(\frac{x}{3} \frac{R}{\pi}, \frac{x}{3} \frac{R}{\pi})$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{3} \frac{R}{\pi} = \frac{4R}{3\pi}$
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.