Rotational Equilibrium Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ત્રાજવાની બે ભુજાઓની લંબાઈ $l_1$ અને $l_2$ છે. ધારો કે વસ્તુનું સાચું વજન $W$ છે.
જ્યારે વસ્તુને પ્રથમ પલ્લામાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ટોર્ક સંતુલનનું સમીકરણ $W \cdot l_1 = X \cdot l_2$ થાય છે.
જ્યારે વસ્તુને બીજા પલ્લામાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ટોર્ક સંતુલનનું સમીકરણ $W \cdot l_2 = Y \cdot l_1$ થાય છે.
આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે $(W \cdot l_1) \cdot (W \cdot l_2) = (X \cdot l_2) \cdot (Y \cdot l_1)$.
$W^2 \cdot l_1 \cdot l_2 = XY \cdot l_1 \cdot l_2$.
આમ,$W^2 = XY$,જે દર્શાવે છે કે $W = \sqrt{XY}$.

(D) કોઈપણ સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોય તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ. જો સિસ્ટમ સ્થાનાંતરિત સંતુલનમાં હોય (કુલ બળ શૂન્ય હોય),તો કુલ ટોર્ક તે બિંદુથી સ્વતંત્ર હોય છે જેની આસપાસ તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે. જો કે,સામાન્ય સિસ્ટમ માટે,ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવાની શરત જડત્વના સંદર્ભ ફ્રેમમાં કોઈપણ બિંદુની આસપાસ ગણતરી કરવામાં આવે ત્યારે સાર્વત્રિક રીતે માન્ય છે. પરિભ્રમણીય સંતુલનના સંદર્ભમાં,કોઈપણ બિંદુની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.

(C) ધારો કે સળિયાનું વજન $W$ છે,જે તેના ગુરુત્વકેન્દ્ર $(CG)$ પર કાર્ય કરે છે,જે નાના માણસ જ્યાં ઉભો છે તે છેડાથી $L/2$ અંતરે છે.
ધારો કે $F_1 = W/4$ એ નાના માણસ દ્વારા છેડા $(x=0)$ પર લગાડવામાં આવતું બળ છે.
ધારો કે $F_2$ એ બીજા માણસ દ્વારા નાના માણસથી $d$ અંતરે લગાડવામાં આવતું બળ છે.
ઊભી સંતુલન સ્થિતિ માટે: $F_1 + F_2 = W \implies W/4 + F_2 = W \implies F_2 = 3W/4$.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,ગુરુત્વકેન્દ્ર $(CG)$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા: $F_1 \times (L/2) = F_2 \times x$,જ્યાં $x$ એ બીજા માણસનું $CG$ થી અંતર છે.
$(W/4) \times (L/2) = (3W/4) \times x \implies x = L/6$.
નાના માણસ (છેડા પર) થી બીજા માણસનું અંતર $d = L/2 + x = L/2 + L/6 = (3L+L)/6 = 4L/6 = 2L/3$ થાય.

(C) ધારો કે મીટર સ્કેલનું દળ $m$ છે. તે સમાન મીટર સ્કેલ હોવાથી,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $50\,cm$ ના નિશાન પર કાર્ય કરે છે.
પિવોટ પોઈન્ટ $40\,cm$ ના નિશાન પર છે. આપણે પિવોટ પોઈન્ટની આસપાસ ટોર્કનો સિદ્ધાંત (રોટેશનલ ઇક્વિલિબ્રિયમ) લાગુ કરીએ છીએ.
$10\,cm$ પર $10\,g$ વજનને કારણે ટોર્ક: $\tau_1 = 10\,g \times (40 - 10) = 10 \times 30 = 300\,g\cdot cm$.
$20\,cm$ પર $20\,g$ વજનને કારણે ટોર્ક: $\tau_2 = 20\,g \times (40 - 20) = 20 \times 20 = 400\,g\cdot cm$.
$50\,cm$ પર સ્કેલના વજન $m$ ને કારણે ટોર્ક: $\tau_m = m \times (50 - 40) = 10m\,g\cdot cm$.
સંતુલન માટે,ઘડિયાળની દિશામાં લાગતા ટોર્કનો સરવાળો ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા ટોર્કના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ:
$300 + 400 = 10m$
$700 = 10m$
$m = 70\,g$.

(B) ચોપડી ભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,આધાર બિંદુ (આંગળી અને અંગૂઠા) ની સાપેક્ષમાં કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ચોપડીનું વજન $W$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર નીચેની તરફ લાગે છે,જે આધાર બિંદુથી આડા અંતરે $\frac{b}{2}$ પર છે.
વજનને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_W = W \times \frac{b}{2}$ છે,જે સમઘડી દિશામાં લાગે છે.
આને સંતુલિત કરવા માટે,માણસે વિષમઘડી દિશામાં $W \frac{b}{2}$ જેટલું સમાન અને વિરુદ્ધ ટોર્ક લગાડવું પડશે.

(D) ધારો કે મીટરપટ્ટીની લંબાઈ $L = 1 \ m$ છે. પટ્ટીનું વજન $mg$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર,એટલે કે છેડા $A$ થી $0.5 \ m$ અંતરે લાગે છે. વધારાનું $m$ દળ છેડા $A$ થી $0.8 \ m$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યું છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$\sum \tau_A = 0$
$(mg \times 0.5) + (mg \times 0.8) = T_2 \times 1$
$0.5 \ mg + 0.8 \ mg = T_2$
$T_2 = 1.3 \ mg$
સ્થાનંતરિત સંતુલન માટે,શિરોલંબ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$T_1 + T_2 = mg + mg = 2 \ mg$
$T_1 + 1.3 \ mg = 2 \ mg$
$T_1 = 0.7 \ mg$
હવે,તણાવબળનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{0.7 \ mg}{1.3 \ mg} = \frac{7}{13}$

(A) ધારો કે $A$ પર લાગતું લંબબળ $N_1$ છે અને $B$ પર લાગતું લંબબળ $N_2$ છે.
શિરોલંબ સંતુલન માટે,ઉપરની તરફ લાગતા બળોનો સરવાળો નીચેની તરફ લાગતા બળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$N_1 + N_2 = W$ --- $(i)$
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,આપણે સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (જ્યાં વજન $W$ લાગે છે) ની આસપાસ ટોર્ક લઈએ છીએ. $W$ ને કારણે ટોર્ક શૂન્ય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કનો સરવાળો = $0$
$N_1 \cdot x = N_2 \cdot (d - x)$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$N_2 = W - N_1$.
આ કિંમતને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$N_1 x = (W - N_1)(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1 d + N_1 x$
$N_1 d = W(d - x)$
$N_1 = \frac{W(d - x)}{d}$

(D) બ્લોક સ્થિર અવસ્થામાં હોવાથી,સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે:
$F_x = 0 \implies F = N$
$F_y = 0 \implies f = mg$
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક $\tau = 0$:
$\vec{\tau_F} + \vec{\tau_f} + \vec{\tau_N} + \vec{\tau_{mg}} = 0$
બળો $F$ અને $mg$ ની કાર્યરેખા દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$O$ ની સાપેક્ષે તેમનો ટોર્ક શૂન્ય છે.
તેથી,$\vec{\tau_f} + \vec{\tau_N} = 0$.
ઘર્ષણ બળ $f$ સપાટી પર ($O$ થી $a$ અંતરે) લાગતું હોવાથી,તે ટોર્ક $\vec{\tau_f} \neq 0$ ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,$\vec{\tau_N} \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે ઘર્ષણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કને સંતુલિત કરવા માટે લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ એ પણ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરવું જ પડે.

(A) ધારો કે $W$ એ સમાન સળિયાનું કુલ વજન છે જે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે બંને છેડાથી $L/2$ અંતરે છે.
ધારો કે $R_B$ એ એક છેડે રહેલા નાના માણસ પરનો ભાર છે અને $R_M$ એ બીજા માણસ પરનો ભાર છે.
આપેલ છે કે $R_B = W/4$. કુલ ભાર $W$ હોવાથી,$R_M = W - W/4 = 3W/4$.
ધારો કે બીજો માણસ બીજા છેડાથી $d$ અંતરે છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી બીજા માણસનું અંતર $x = L/2 - d$ છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
$R_B \times (L/2) = R_M \times x$
$(W/4) \times (L/2) = (3W/4) \times x$
$L/8 = 3x/4$
$x = L/6$
કારણ કે $x = L/2 - d$,તેથી $d = L/2 - L/6 = (3L - L)/6 = 2L/6 = L/3$.
આમ,બીજા માણસનું બીજા છેડાથી અંતર $L/3$ છે.

(D) સળિયો સંતુલનમાં રહે તે માટે,કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ અને કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$1$. કુલ બળ: ઉપરની તરફના બળોનો સરવાળો $2N + 4N = 6N$ છે. આને સંતુલિત કરવા માટે,$6N$ નું નીચેની તરફનું બળ લગાડવું આવશ્યક છે.
$2$. કુલ ટોર્ક: ધારો કે $6N$ ના નીચેની તરફના બળનું સ્થાન છેડા $A$ થી $x$ અંતરે છે. બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$\tau_A = (2N \times 0) + (4N \times 3m) - (6N \times x) = 0$
$12 = 6x$
$x = 2m$ ($A$ થી).
સળિયાની કુલ લંબાઈ $AB = 3m$ હોવાથી,છેડા $B$ થી અંતર $3m - 2m = 1m$ થશે.
તેથી,બળ બિંદુ $D$ પર નીચેની તરફ લાગવું જોઈએ જેથી $BD = 1m$ થાય.

(B) ધારો કે બાજુઓની લંબાઈ $AB = l$ અને $AC = l$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણાકાર પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ તેની બંને કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓથી $l/3$ અંતરે આવેલું હોય છે.
ઉગમબિંદુ $A(0,0)$ લેતા,શિરોબિંદુઓના યામ $A(0,0)$,$B(l,0)$ અને $C(0,l)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_{cm}, y_{cm}) = (l/3, l/3)$ પર સ્થિત છે.
વજનબળ $mg$ એ $COM$ પર શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
આધાર $A$ પરનું પ્રતિક્રિયા બળ $F_A$ શોધવા માટે,આપણે બિંદુ $B$ ની આસપાસ ટોર્ક લઈએ છીએ.
$B$ ની આસપાસ વજનબળ $mg$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_g = mg \times (l - l/3) = mg \times (2l/3)$ છે.
$A$ પરનું પ્રતિક્રિયા બળ $F_A$ સિસ્ટમને સંતુલિત કરવા માટે શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે. $B$ ની આસપાસ $F_A$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_A = F_A \times l$ છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,$B$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$F_A \times l = mg \times (2l/3)$
$F_A = \frac{2mg}{3}$

(C) બીમ બેલેન્સ રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,પીવટ (વેજ) ની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે દળ અને તેના સંબંધિત લિવર આર્મ અંતરનો ગુણાકાર બંને બાજુ સમાન હોવો જોઈએ.
પ્રથમ આકૃતિ પરથી:
$16 \cdot l_{1} = m \cdot l_{2}$
$\Rightarrow \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{m}{16}$ ... $(1)$
બીજી આકૃતિ પરથી:
$m \cdot l_{1} = 4 \cdot l_{2}$
$\Rightarrow \frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{4}{m}$ ... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{m}{16} = \frac{4}{m}$
$m^{2} = 64$
$m = 8\, kg$

(D) ધારો કે પ્રથમ દોરીમાં તણાવ $T_1$ છે અને બીજી દોરીમાં તણાવ $T_2$ છે.
સળિયો સંતુલનમાં હોવાથી,ઉર્ધ્વ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$T_1 + T_2 = W$ --- $(1)$
ડાબા છેડા (બિંદુ $A$) ની આસપાસ બળોની મોમેન્ટ લેતા:
વજન $W$ સળિયાના કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે ડાબા છેડાથી $L/2$ અંતરે છે.
બીજી દોરી ડાબા છેડાથી $L - L/4 = 3L/4$ અંતરે જોડાયેલ છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,$A$ ની આસપાસ ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$W \times \frac{L}{2} - T_2 \times \frac{3L}{4} = 0$
$W \times \frac{L}{2} = T_2 \times \frac{3L}{4}$
$T_2 = W \times \frac{L}{2} \times \frac{4}{3L}$
$T_2 = \frac{2W}{3}$

$(A)$ ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L = 1 \ m$ અને દળ $M = 1 \ kg$ છે। દોરીઓ ડાબા છેડાથી $x = 1/3 \ m$ અને $x = 2/3 \ m$ પર છે।
સળિયો આડો રહે તે માટે, દરેક દોરીમાં તણાવ શૂન્યથી વધુ હોવો જોઈએ $(T \ge 0)$.
ધારો કે $m_1$ એ $x = 0$ પર અને $m_2$ એ $x = 1$ પર છે।
જમણી દોરી $(x = 2/3)$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
$m_1 g (2/3) + Mg (2/3 - 1/2) = T_{left} (1/3)$
$2 m_1 g + 0.5 Mg = T_{left}$.
ડાબી દોરી $(x = 1/3)$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
$m_2 g (2/3) + Mg (1/6) = T_{right} (1/3)$
$2 m_2 g + 0.5 Mg = T_{right}$.
આમ, મહત્તમ દળ $3 \ kg$ મળે છે।

(C) સૌ પ્રથમ,ગતિશીલ ગરગડી પર રહેલા $M$ અને $2M$ દળને જોડતી દોરીમાં તણાવ $T$ ની ગણતરી કરો. તણાવ $T$ એ એટવુડ મશીન માટેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{2 M_1 M_2 g}{M_1 + M_2}$.
$M_1 = M$ અને $M_2 = 2M$ મૂકતા,આપણને મળે છે $T = \frac{2(M)(2M)g}{M + 2M} = \frac{4 M^2 g}{3M} = \frac{4}{3} Mg$.
ગતિશીલ ગરગડી સળિયાના છેડે જોડાયેલી દોરી દ્વારા ટેકો પામે છે. આ દોરી દ્વારા સળિયા પર લાગતું ઉપરની તરફનું બળ એ ગતિશીલ ગરગડીને ટેકો આપતી દોરીમાં રહેલા તણાવ જેટલું હોય છે,જે $2T = 2 \times (\frac{4}{3} Mg) = \frac{8}{3} Mg$ છે.
ધારો કે સળિયાનું દળ $M'$ છે. સળિયો મિજાગરા $A$ ની આસપાસ ભ્રમણીય સંતુલનમાં છે. સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L/2)$ પર લાગતા સળિયાના વજન $(M'g)$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક,સળિયાના છેડે $(L)$ લાગતા ઉપરના બળ $(8/3 Mg)$ ને કારણે લાગતા ટોર્કને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$A$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા: $M'g \times \frac{L}{2} = \frac{8}{3} Mg \times L$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{M'}{2} = \frac{8}{3} M$,જે આપે છે $M' = \frac{16}{3} M$.

(C) ધારો કે $AB$ એ $1\, m = 100\, cm$ લંબાઈનો સળિયો છે. સળિયાનું વજન $W = mg = 4\, kg \times 10\, m/s^2 = 40\, N$ છે,જે તેના ગુરુત્વકેન્દ્ર $G$ ($A$ થી $50\, cm$ દૂર) પર કાર્ય કરે છે.
ધાર $K_1$ અને $K_2$ અનુક્રમે $A$ થી $10\, cm$ અને $90\, cm$ અંતરે છે.
$A$ થી $30\, cm$ અંતરે $60\, N$ વજન લટકાવેલું છે.
ધારો કે $R_1$ અને $R_2$ એ $K_1$ અને $K_2$ પરની પ્રતિક્રિયાઓ છે.
સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે: $R_1 + R_2 = 60\, N + 40\, N = 100\, N$ $(i)$.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,$G$ ($50\, cm$ ના બિંદુ) ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$R_1(50 - 10) - 60(50 - 30) - R_2(90 - 50) = 0$
$40R_1 - 60(20) - 40R_2 = 0$
$40(R_1 - R_2) = 1200$
$R_1 - R_2 = 30\, N$ $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $2R_1 = 130\, N \implies R_1 = 65\, N$.
$(i)$ માં કિંમત મૂકતા: $65 + R_2 = 100 \implies R_2 = 35\, N$.

(C) ધારો કે બીમની લંબાઈ $\ell$ છે અને તેનું વજન $W$ તેના કેન્દ્ર $C$ પર (કોઈપણ છેડાથી $\ell/2$ અંતરે) કાર્યરત છે.
ધારો કે બે વ્યક્તિઓ અનુક્રમે છેડા $A$ અને $B$ થી $P_1$ અને $P_2$ સ્થાનો પર છે.
$A$ થી $P_1$ નું અંતર $\ell/5$ છે.
$B$ થી $P_2$ નું અંતર $\ell/3$ છે.
કેન્દ્ર $C$ થી $P_1$ નું અંતર $\frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{5} = \frac{3\ell}{10}$ છે.
કેન્દ્ર $C$ થી $P_2$ નું અંતર $\frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{3} = \frac{\ell}{6}$ છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,કેન્દ્ર $C$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
$N_A \times \frac{3\ell}{10} = N_B \times \frac{\ell}{6}$.
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{\ell}{6} \times \frac{10}{3\ell} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.

(A) કારનું દળ,$m = 1800 \, kg$.
આગળના અને પાછળના એક્સલ વચ્ચેનું અંતર,$d = 1.8 \, m$.
આગળના એક્સલથી ગુરુત્વકેન્દ્ર $(C.G.)$ નું અંતર $= 1.05 \, m$.
પાછળના એક્સલથી $C.G.$ નું અંતર $= 1.8 - 1.05 = 0.75 \, m$.
ધારો કે $R_f$ એ બે આગળના પૈડાં પર જમીન દ્વારા લાગતું કુલ બળ છે અને $R_b$ એ બે પાછળના પૈડાં પર જમીન દ્વારા લાગતું કુલ બળ છે.
સ્થળાંતરીય સંતુલન માટે:
$R_f + R_b = mg = 1800 \times 9.8 = 17640 \, N \dots (i)$
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,$C.G.$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$R_f \times 1.05 = R_b \times 0.75$
$R_f = R_b \times \frac{0.75}{1.05} = R_b \times \frac{5}{7} \dots (ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$R_b \times \frac{5}{7} + R_b = 17640$
$R_b \times \frac{12}{7} = 17640$
$R_b = \frac{17640 \times 7}{12} = 10290 \, N$.
આ બે પાછળના પૈડાં પરનું કુલ બળ છે.
તેથી,દરેક પાછળના પૈડાં પર લાગતું બળ $= \frac{10290}{2} = 5145 \, N$.

(A) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $\ell$ અને દળ $M$ છે. સમાન સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર,છેડા $A$ થી $\ell/2$ અંતરે હોય છે.
લટકાવવાના બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
છેડા $A$ પરના દળ $m$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_1 = m \cdot g \cdot x$ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) છે.
સળિયાના વજન $Mg$ ને કારણે તેના કેન્દ્ર પર લાગતું ટોર્ક $\tau_2 = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$ (ઘડિયાળની દિશામાં) છે.
સળિયો સમક્ષિતિજ રહે તે માટે,કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$m \cdot g \cdot x = M \cdot g \cdot (\frac{\ell}{2} - x)$
$m \cdot x = M \cdot \frac{\ell}{2} - M \cdot x$
$m = (M \cdot \frac{\ell}{2}) \cdot \frac{1}{x} - M$
આ સમીકરણ $y = k \cdot X + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = m$,$X = \frac{1}{x}$,$k = M \cdot \frac{\ell}{2}$,અને $c = -M$ છે.
આમ,$m$ વિરુદ્ધ $\frac{1}{x}$ નો આલેખ દોરતા સીધી રેખા મળશે.

(C) મોમેન્ટ્સના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે કોઈ સિસ્ટમ સંતુલનમાં હોય,ત્યારે એન્ટિક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ એ ક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટ જેટલી હોય છે.
ધારો કે $L_1$ એ ડાબી ભુજાની લંબાઈ છે અને $L_2$ એ જમણી ભુજાની લંબાઈ છે.
ધારો કે $M$ એ દરેક પલ્લાનું દળ છે.
જ્યારે પલ્લા ખાલી હોય અને ત્રાજવું સમક્ષિતિજ હોય,ત્યારે $M \times L_1 = M \times L_2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $L_1 = L_2$.
જો કે,જો પ્રશ્ન મુજબ $5\, mg$ વજન મૂક્યા પછી ત્રાજવું સમક્ષિતિજ થતું હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે સંતુલન જાળવવા માટે ડાબી ભુજા ટૂંકી હોવી જોઈએ.
તેથી,ડાબી ભુજા જમણી ભુજા કરતા ટૂંકી છે.

(B) ધારો કે દરેક સળિયાનું દળ $m$ છે. સળિયા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ થી $a/2$ અંતરે છે,અને સળિયા $BC$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $B$ થી $a/2$ અંતરે છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,નિલંબન બિંદુ $A$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સળિયા $AB$ ના વજનને કારણે ટોર્ક $\tau_1 = mg \cdot (a/2) \sin \theta$ છે.
સળિયા $BC$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $A$ થી આડું અંતર $(a \sin \theta + (a/2) \cos \theta)$ છે.
સંતુલન માટે,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નિલંબન બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$x_{cm} = \frac{m(a/2 \sin \theta) + m(a \sin \theta + a/2 \cos \theta)}{2m} = 0$
$(a/2) \sin \theta + a \sin \theta + (a/2) \cos \theta = 0$
$(3a/2) \sin \theta = -(a/2) \cos \theta$
મૂલ્યો લેતા,$3 \sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = 1/3$.

(C) બીમ રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,પીવટ પોઈન્ટ $O$ ની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે ઘડિયાળની દિશામાં લાગતું ટોર્ક એ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા ટોર્ક જેટલું છે.
$2 \ kg$ ના દળને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_1 = (2 \ kg) \cdot g \cdot (2 \text{ એકમ}) = 4g \text{ એકમ}$ છે.
દળ $m$ ને કારણે લાગતું ટોર્ક $\tau_2 = m \cdot g \cdot (1 \text{ એકમ}) = mg \text{ એકમ}$ છે.
બંને ટોર્કને સરખાવતા: $4g = mg$.
તેથી,$m = 4 \ kg$.

(C) ધારો કે સળિયો નીચેના છેડેથી મિજાગરા (hinge) પર જોડાયેલ છે. સળિયાની લંબાઈ $L = 5\,m$ છે અને તેનું દળ $M = 15\,kg$ છે. વજન બળ $Mg = 150\,N$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે મિજાગરાથી $L/2 = 2.5\,m$ અંતરે છે.
આકૃતિ પરથી,દોરડું સમક્ષિતિજ છે. ધારો કે સળિયો શિરોલંબ દીવાલ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. તો $\cos \alpha = 3/5 = 0.6$ અને $\sin \alpha = 4/5 = 0.8$ થાય.
મિજાગરાના બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક લેતા:
વજનને કારણે ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક = $Mg \times (L/2) \sin \alpha = 150 \times 2.5 \times 0.8 = 300\,N\cdot m$.
તણાવ $T$ ને કારણે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક = $T \times L \cos \alpha = T \times 5 \times 0.6 = 3T$.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે ટોર્કને સરખાવતા:
$3T = 300$
$T = 100\,N$.

(D) તંત્ર સંતુલિત સ્થિતિમાં રહે તે માટે,ધરી $O$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. દરેક સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધરી $O$ થી $L/2$ અંતરે છે.
$M$ દળ ધરાવતા સળિયાના વજનને કારણે ટોર્ક $\tau_M = Mg \cdot (L/2) \sin 30^{\circ}$ છે.
$m$ દળ ધરાવતા સળિયાના વજનને કારણે ટોર્ક $\tau_m = mg \cdot (L/2) \sin 60^{\circ}$ છે.
સંતુલન માટે ટોર્કને સરખાવતા:
$Mg \cdot (L/2) \sin 30^{\circ} = mg \cdot (L/2) \sin 60^{\circ}$
$M \sin 30^{\circ} = m \sin 60^{\circ}$
$\frac{M}{m} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$

(A) સ્ટ્રીટ લાઈટના વજનને કારણે ઉદ્ભવતું ટોર્ક ત્રણેય કિસ્સાઓમાં સમાન રહે છે કારણ કે બળ (વજન $Mg$) અને પીવટ (દિવાલના મિજાગરા) થી તેનું લંબ અંતર અચળ છે.
આ ટોર્ક કેબલમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્ક દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
ધારો કે $\tau$ એ લેમ્પના વજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક છે,$T$ એ કેબલમાં તણાવ છે અને $d$ એ પરિભ્રમણની ધરી (દિવાલ પરનો મિજાગરો) થી કેબલના જોડાણ બિંદુનું લંબ અંતર છે.
સંતુલનની સ્થિતિ $\tau = T \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેથી $\tau$ અચળ હોવાથી,તણાવ $T$ એ અંતર $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હશે $(T = \tau / d)$.
તેથી,જ્યારે અંતર $d$ સૌથી વધુ હશે ત્યારે તણાવ $T$ સૌથી ઓછું હશે.
પેટર્ન $A$ માં,કેબલ સળિયાના છેડે જોડાયેલ છે,જે દિવાલથી મહત્તમ લંબ અંતર $d$ પ્રદાન કરે છે.
પેટર્ન $A$ માં તણાવ ન્યૂનતમ હોવાથી,તે સૌથી મજબૂત ગોઠવણી છે.

(N/A) ધારો કે સળિયો $AB$ છે. નાઈફ-એજની સ્થિતિ $K_1$ અને $K_2$ છે. સળિયાનું ગુરુત્વકેન્દ્ર $G$ પર છે અને લટકાવેલ ભાર $P$ પર છે.
સળિયાનું વજન $W = mg = 4.00 \times 9.8 = 39.2 \; N$ તેના ગુરુત્વકેન્દ્ર $G$ પર લાગે છે. સળિયો સમાન આડછેદ ધરાવતો અને સમાંગ હોવાથી,$G$ સળિયાના મધ્યમાં છે.
આપેલ છે: $AB = 70 \; cm$,તેથી $AG = 35 \; cm$.
ભાર $W_1 = 6.00 \times 9.8 = 58.8 \; N$ એ $P$ પર લટકાવેલ છે,જ્યાં $AP = 30 \; cm$.
તેથી,$PG = AG - AP = 35 \; cm - 30 \; cm = 5 \; cm$.
નાઈફ-એજ $AK_1 = 10 \; cm$ અને $BK_2 = 10 \; cm$ પર છે.
તેથી,$K_1G = AG - AK_1 = 35 \; cm - 10 \; cm = 25 \; cm$.
અને $K_2G = BG - BK_2 = 35 \; cm - 10 \; cm = 25 \; cm$.
સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે:
$R_1 + R_2 = W + W_1 = (4.00 + 6.00) \times 9.8 = 98.0 \; N$.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,$G$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક લેતા:
$R_1(K_1G) - W_1(PG) - R_2(K_2G) = 0$
$R_1(0.25) - 58.8(0.05) - R_2(0.25) = 0$
$0.25(R_1 - R_2) = 2.94$
$R_1 - R_2 = 11.76 \; N$.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા:
$R_1 + R_2 = 98.0$
$R_1 - R_2 = 11.76$
સરવાળો કરતા: $2R_1 = 109.76 \implies R_1 = 54.88 \; N$.
બાદબાકી કરતા: $2R_2 = 86.24 \implies R_2 = 43.12 \; N$.
આમ,પ્રતિક્રિયાઓ $R_1 = 54.88 \; N$ અને $R_2 = 43.12 \; N$ છે.

(N/A) નિસરણી $AB$ ની લંબાઈ $3\; m$ છે,તેનો નીચેનો છેડો $A$ દીવાલથી $AC = 1\; m$ અંતરે છે. પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$BC = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\; m$ થાય.
નિસરણી પર લાગતા બળો તેના ગુરુત્વકેન્દ્ર $D$ પર લાગતું વજન $W$,અને દીવાલ તથા જમીન દ્વારા લાગતા પ્રતિક્રિયા બળો $F_1$ અને $F_2$ છે.
દીવાલ ઘર્ષણરહિત હોવાથી બળ $F_1$ દીવાલને લંબ છે.
બળ $F_2$ ને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે: લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ અને ઘર્ષણ બળ $F$. નોંધો કે $F$ નિસરણીને દીવાલથી દૂર સરકતી અટકાવે છે,તેથી તે દીવાલની દિશામાં હોય છે.
સ્થળાંતરીય સંતુલન માટે,શિરોલંબ દિશામાં બળો લેતા:
$N - W = 0 \implies N = W = 20\; kg \times 9.8\; m/s^2 = 196.0\; N$.
સમક્ષિતિજ દિશામાં બળો લેતા:
$F - F_1 = 0 \implies F = F_1$.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,$A$ બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક (મોમેન્ટ) લેતા:
$F_1 \times (BC) - W \times (AE) = 0$,જ્યાં $AE = 0.5\; m$ ($D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે).
$F_1 \times (2\sqrt{2}) - 196.0 \times 0.5 = 0$
$F_1 = 98 / (2\sqrt{2}) = 49 / \sqrt{2} \approx 34.65\; N$.
આમ,દીવાલનું પ્રતિક્રિયા બળ $F_1 \approx 34.65\; N$ છે.
જમીનનું પ્રતિક્રિયા બળ $F_2 = \sqrt{F^2 + N^2} = \sqrt{34.65^2 + 196^2} \approx 199.04\; N$ થાય.

(N/A) સળિયાની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
સળિયાની લંબાઈ,$l = 2 \; m$.
$T_1$ અને $T_2$ એ અનુક્રમે ડાબી અને જમણી દોરીઓમાં ઉત્પન્ન થતા તણાવ છે.
ક્ષૈતિજ દિશામાં સ્થાનાંતરિત સંતુલન માટે:
$T_1 \sin 36.9^{\circ} = T_2 \sin 53.1^{\circ}$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin 53.1^{\circ}}{\sin 36.9^{\circ}} = \frac{0.800}{0.600} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow T_1 = \frac{4}{3} T_2$
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,ગુરુત્વકેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
$T_1 \cos 36.9^{\circ} \times d = T_2 \cos 53.1^{\circ} \times (2 - d)$
$T_1 = \frac{4}{3} T_2$ મૂકતા:
$(\frac{4}{3} T_2) \times 0.800 \times d = T_2 \times 0.600 \times (2 - d)$
$\frac{3.2}{3} d = 1.2 - 0.6 d$
$1.067 d + 0.6 d = 1.2$
$1.667 d = 1.2$
$d = \frac{1.2}{1.667} \approx 0.72 \; m$.
આમ,સળિયાનું ગુરુત્વકેન્દ્ર તેના ડાબા છેડાથી $0.72 \; m$ અંતરે આવેલું છે.

(N/A) કારનું દળ,$m = 1800 \; kg$.
આગળના અને પાછળના એક્સલ વચ્ચેનું અંતર,$d = 1.8 \; m$.
ગુરુત્વકેન્દ્ર $(C.G.)$ અને આગળના એક્સલ વચ્ચેનું અંતર $= 1.05 \; m$.
ગુરુત્વકેન્દ્ર $(C.G.)$ અને પાછળના એક્સલ વચ્ચેનું અંતર $= 1.8 - 1.05 = 0.75 \; m$.
ધારો કે $R_f$ એ આગળના પૈડાં પરનું કુલ બળ છે અને $R_b$ એ પાછળના પૈડાં પરનું કુલ બળ છે.
સ્થળાંતરીય સંતુલન માટે:
$R_f + R_b = mg = 1800 \times 9.8 = 17640 \; N \; \dots(i)$
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,$C.G.$ ની સાપેક્ષ ટોર્ક લેતા:
$R_f \times 1.05 = R_b \times 0.75$
$R_f = R_b \times \frac{0.75}{1.05} = R_b \times \frac{5}{7} \; \dots(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$R_b \times \frac{5}{7} + R_b = 17640$
$R_b \times \frac{12}{7} = 17640 \implies R_b = 10290 \; N$
$R_f = 17640 - 10290 = 7350 \; N$
દરેક આગળના પૈડાં પર લાગતું બળ $= \frac{7350}{2} = 3675 \; N$.
દરેક પાછળના પૈડાં પર લાગતું બળ $= \frac{10290}{2} = 5145 \; N$.

(66 G) ધારો કે $M$ એ મીટર પટ્ટીનું દળ છે. પટ્ટીનું વજન $Mg$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે $50.0 \;cm$ ના નિશાન પર છે.
બે સિક્કાનું કુલ દળ $m = 2 \times 5 \;g = 10 \;g$ છે. તેમનું વજન $mg$ એ $12.0 \;cm$ ના નિશાન પર કાર્ય કરે છે.
હવે છરીની ધાર (આધારબિંદુ) $45.0 \;cm$ ના નિશાન પર છે.
આધારબિંદુની આસપાસ પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ટોર્ક એ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક જેટલું હોવું જોઈએ.
પટ્ટીના વજનને કારણે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ટોર્ક: $\tau_{cw} = Mg \times (50.0 - 45.0) = Mg \times 5.0 \;cm$.
સિક્કાઓના વજનને કારણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક: $\tau_{ccw} = mg \times (45.0 - 12.0) = 10g \times 33.0 \;cm$.
ટોર્કને સરખાવતા: $Mg \times 5.0 = 10g \times 33.0$.
$M = \frac{10 \times 33.0}{5.0} = 66 \;g$.
આમ,મીટર પટ્ટીનું દળ $66 \;g$ છે.

જ્યારે કોઈ દ્રઢ પદાર્થનું રેખીય વેગમાન અને કોણીય વેગમાન સમય સાથે બદલાતું ન હોય,એટલે કે પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ અને કોણીય પ્રવેગ શૂન્ય હોય,ત્યારે તે પદાર્થ યાંત્રિક સંતુલનમાં છે તેમ કહેવાય.
$(i)$ સ્થાનાંતરીય સંતુલન:
જો દ્રઢ પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોય,તો પદાર્થ સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં છે.
$\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{F}_{i} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે.
$(ii)$ ચાકગતિ સંતુલન:
જો દ્રઢ પદાર્થ પર લાગતા તમામ ટોર્કનો સદિશ સરવાળો કોઈપણ બિંદુને અનુલક્ષીને શૂન્ય હોય,તો પદાર્થ ચાકગતિ સંતુલનમાં છે.
$\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{\tau}_{i} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
આ સદિશ સમીકરણોને અદિશ ઘટકોમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે: $\sum F_{ix} = 0, \sum F_{iy} = 0, \sum F_{iz} = 0$.
ચાકગતિ સંતુલન માટે: $\sum \tau_{ix} = 0, \sum \tau_{iy} = 0, \sum \tau_{iz} = 0$.

(N/A) હા,પદાર્થ આંશિક સંતુલનમાં રહી શકે છે. આનો અર્થ એ છે કે તે સ્થાનાંતરિત સંતુલનમાં હોઈ શકે છે પરંતુ પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં નહીં,અથવા તે પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં હોઈ શકે છે પરંતુ સ્થાનાંતરિત સંતુલનમાં નહીં.
કિસ્સો $(a)$: પરિભ્રમણીય સંતુલન પરંતુ સ્થાનાંતરિત સંતુલન નથી.
$2a$ લંબાઈનો નહિવત દળ ધરાવતો સળિયો $AB$ ધ્યાનમાં લો. આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ,સળિયાના છેડા $A$ અને $B$ પર સમાન મૂલ્ય $F$ ધરાવતા બે સમાંતર બળો સળિયાને લંબ રૂપે એક જ દિશામાં લગાડવામાં આવે છે.
ધારો કે $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CA = CB = a$.
સળિયા પરનું કુલ બળ $\sum \vec{F} = F + F = 2F \neq 0$ છે. આમ,તે સ્થાનાંતરિત સંતુલનમાં નથી.
મધ્યબિંદુ $C$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક $\tau = (F \times a) - (F \times a) = 0$ છે. આમ,સળિયો પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં છે.
કિસ્સો $(b)$: સ્થાનાંતરિત સંતુલન પરંતુ પરિભ્રમણીય સંતુલન નથી.
$2a$ લંબાઈનો સળિયો $AB$ ધ્યાનમાં લો. આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ,છેડા $A$ અને $B$ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બે બળો $\vec{F}$ સળિયાને લંબ રૂપે લગાડવામાં આવે છે.
સળિયા પરનું કુલ બળ $\sum \vec{F} = F - F = 0$ છે. આમ,સળિયો સ્થાનાંતરિત સંતુલનમાં છે.
મધ્યબિંદુ $C$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક $\tau = (F \times a) + (F \times a) = 2Fa \neq 0$ છે. કારણ કે બંને ટોર્ક એક જ દિશામાં છે (બંને વિષમઘડી પરિભ્રમણ ઉત્પન્ન કરે છે),તેથી સળિયો પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં નથી.

(N/A) આદર્શ લિવર એ નગણ્ય દળ ધરાવતો એક હલકો સળિયો છે જે તેની લંબાઈ પરના એક બિંદુએ ધરી પર ફરે છે. આ બિંદુને આધારબિંદુ (fulcrum) કહેવામાં આવે છે. લિવર એ યાંત્રિક સંતુલનમાં રહેલી એક સિસ્ટમ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બે બળો $\overrightarrow{F}_{1}$ અને $\overrightarrow{F}_{2}$ જે એકબીજાને સમાંતર અને લિવરને લંબ છે,તે આધારબિંદુથી અનુક્રમે $d_{1}$ અને $d_{2}$ અંતરે લિવર પર કાર્ય કરે છે.
ધારો કે $\overrightarrow{R}$ એ આધારબિંદુ પર ટેકાની પ્રતિક્રિયા છે. $\overrightarrow{R}$ એ બળો $\overrightarrow{F}_{1}$ અને $\overrightarrow{F}_{2}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
ઉપરની દિશામાં લાગતા બળોને ધન અને નીચેની દિશામાં લાગતા બળોને ઋણ ગણવામાં આવે છે.
સ્થાનંતરિત સંતુલન માટે:
$R - F_{1} - F_{2} = 0$
$\therefore R = F_{1} + F_{2}$
લિવર બળ $F_{1}$ એ ઉઠાવવાનું વજન છે. તેને લોડ કહેવામાં આવે છે અને આધારબિંદુથી તેનું અંતર $d_{1}$ ને લોડ આર્મ કહેવામાં આવે છે.
બળ $F_{2}$ એ લોડને ઉઠાવવા માટે લગાડવામાં આવતો પ્રયત્ન (effort) છે,અને આધારબિંદુથી પ્રયત્નનું અંતર $d_{2}$ એ એફર્ટ આર્મ છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,આધારબિંદુની આસપાસ ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ. બળની મોમેન્ટ $\tau = d \times F$ છે (કારણ કે $\theta = 90^{\circ}$,$\sin 90^{\circ} = 1$).
ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશાની મોમેન્ટને ધન અને ઘડિયાળના કાંટાની દિશાની મોમેન્ટને ઋણ લેતા:
$d_{1} F_{1} - d_{2} F_{2} = 0$
$\therefore d_{1} F_{1} = d_{2} F_{2}$
આનો અર્થ એ છે કે: $\text{Load arm} \times \text{Load} = \text{Effort arm} \times \text{Effort}$.
આ સમીકરણ લિવર માટે મોમેન્ટના સિદ્ધાંતને વ્યક્ત કરે છે.

(B) બિંદુ $P$ ની આસપાસ ટોર્ક $\vec{\tau}$ ને $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો સંદર્ભ બિંદુને સદિશ $\vec{d}$ દ્વારા સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો નવો સ્થાન સદિશ $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{d}$ બને છે.
નવો ટોર્ક $\vec{\tau}' = (\vec{r} - \vec{d}) \times \vec{F} = (\vec{r} \times \vec{F}) - (\vec{d} \times \vec{F})$ છે.
પરિભ્રમણીય સંતુલનની સ્થિતિ (એટલે કે $\vec{\tau} = 0$) સંદર્ભ બિંદુની પસંદગીને ધ્યાનમાં લીધા વિના માન્ય રહે તે માટે,પદ $\vec{d} \times \vec{F}$ શૂન્ય હોવું આવશ્યક છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ચોખ્ખું બળ $\vec{F}$ શૂન્ય હોય અથવા જો સ્થાનાંતરણ $\vec{d}$ એ ચોખ્ખા બળ $\vec{F}$ ને સમાંતર હોય.
તેથી,સામાન્ય રીતે,જ્યારે સંદર્ભ બિંદુ બદલાય છે ત્યારે ટોર્ક બદલાય છે,સિવાય કે સિસ્ટમ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય.

(N/A) કોઈપણ તંત્ર સંતુલનમાં હોય તે માટે તેણે સ્થાનાંતરીય અને ભ્રમણીય સંતુલન બંનેની શરતોનું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
$1$. સ્થાનાંતરીય સંતુલન: તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\sum \vec{F}_{ext} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ શૂન્ય છે.
$2$. ભ્રમણીય સંતુલન: કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષમાં તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$\sum \vec{\tau}_{ext} = 0$
આનો અર્થ એ છે કે તંત્રનો કોણીય પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(N/A) લીવર માટે મોમેન્ટનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે લીવર જ્યારે પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં હોય,ત્યારે આધારબિંદુ (fulcrum) ની આસપાસના ક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટનો સરવાળો એ તે જ આધારબિંદુની આસપાસના એન્ટિક્લોકવાઇઝ મોમેન્ટના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$\text{Load} \times \text{Load Arm} = \text{Effort} \times \text{Effort Arm}$
જ્યાં:
$1$. $\text{Load}$ એ ઉઠાવવાનું વજન છે.
$2$. $\text{Load Arm}$ એ આધારબિંદુથી લોડ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$3$. $\text{Effort}$ એ લગાડવામાં આવેલું બળ છે.
$4$. $\text{Effort Arm}$ એ આધારબિંદુથી પ્રયત્ન (effort) સુધીનું લંબ અંતર છે.

(N/A) પૈડું એ એક દ્રઢ પદાર્થ છે. પૈડાના કણો કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે. આ પ્રવેગ આંતરિક સ્થિતિસ્થાપક બળો (તણાવ) દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,જે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમને કારણે જોડીમાં રદ થાય છે. કારણ કે ચોખ્ખું બાહ્ય બળ અને ચોખ્ખું બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય છે,તેથી પૈડું યાંત્રિક સંતુલનમાં છે.
અડધા પૈડામાં,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (જેમાંથી ભ્રમણની અક્ષ પસાર થાય છે) ની આસપાસ દ્રવ્યમાનનું વિતરણ સપ્રમાણ નથી. તેથી,પૈડાના કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા તેના કોણીય વેગ સદિશની દિશા સાથે સુસંગત નથી. જેમ પૈડું ફરે છે,તેમ કોણીય વેગમાન સદિશ દિશા બદલે છે,જેના માટે શૂન્ય ન હોય તેવા બાહ્ય ટોર્કની જરૂર પડે છે. તેથી,અડધા પૈડાની ગતિ જાળવી રાખવા માટે બાહ્ય બળો અને ટોર્કની જરૂર પડે છે.

(D) સળિયો પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈપણ બિંદુની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ચાલો બિંદુ $B$ ની આસપાસ ટોર્કની ગણતરી કરીએ:
$\tau_{B} = 0$
ઘડિયાળની દિશાના ટોર્કને ધન અને વિરુદ્ધ દિશાના ટોર્કને ઋણ લેતા:
$(T_{A} \times 100) - (mg \times 50) - (2mg \times 25) = 0$
$100 T_{A} = 50mg + 50mg$
$100 T_{A} = 100mg$
$T_{A} = 1mg$
આમ,$A$ આગળની દોરીમાં તણાવ $1mg$ છે.

(D) નળાકારને પગથિયાં પરથી ઉપર ખેંચવા માટે,પગથિયાંની ધારની સાપેક્ષમાં લાગુ પાડેલા બળ $F$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક,તે જ ધારની સાપેક્ષમાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્ક કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે પગથિયાંની ધાર બિંદુ $P$ છે. $P$ થી બળ $F$ ની કાર્યરેખાનું લંબ અંતર $R$ છે.
$P$ થી વજન $Mg$ ની કાર્યરેખાનું લંબ અંતર $x$ છે.
નળાકારની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $R$ અને એક બાજુ $(R-a)$ છે. તેથી,$x = \sqrt{R^2 - (R-a)^2}$.
નળાકાર પગથિયાં પરથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે તે માટે,ટોર્ક સંતુલિત હોવા જોઈએ:
$F \times R = Mg \times x$
$F \times R = Mg \times \sqrt{R^2 - (R-a)^2}$
$F = \frac{Mg}{R} \sqrt{R^2 - (R-a)^2}$
$F = Mg \sqrt{\frac{R^2 - (R-a)^2}{R^2}}$
$F = Mg \sqrt{1 - \left(\frac{R-a}{R}\right)^2}$

(D) સળિયો સમાન છે,તેથી તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ એટલે કે $100 \, cm$ ના નિશાન પર કાર્ય કરે છે. સળિયાનું દળ $0.5 \, kg$ છે.
વેજ $40 \, cm$ પર છે. આપણે $40 \, cm$ પરના પીવટ પોઈન્ટ (વેજ) ની આસપાસ ટોર્ક લઈએ છીએ.
$100 \, cm$ પર કાર્ય કરતા સળિયાના વજન $(0.5 \, kg)$ ને કારણે ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક:
$\tau_{cw} = (0.5 \, kg \times g) \times (100 \, cm - 40 \, cm) = 0.5 \times g \times 60 \, cm$.
$160 \, cm$ પર કાર્ય કરતા દળ $'m'$ ને કારણે ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક:
$\tau_{cw}' = (m \times g) \times (160 \, cm - 40 \, cm) = m \times g \times 120 \, cm$.
$20 \, cm$ પર કાર્ય કરતા $2 \, kg$ દળને કારણે એન્ટી-ક્લોકવાઈઝ ટોર્ક:
$\tau_{ccw} = (2 \, kg \times g) \times (40 \, cm - 20 \, cm) = 2 \times g \times 20 \, cm$.
સંતુલન માટે,$\tau_{ccw} = \tau_{cw} + \tau_{cw}'$:
$2 \times g \times 20 = 0.5 \times g \times 60 + m \times g \times 120$.
$g$ વડે ભાગતા:
$40 = 30 + 120m$.
$10 = 120m$.
$m = \frac{10}{120} \, kg = \frac{1}{12} \, kg$.

(B) ધારો કે મીટર સ્કેલનું દળ $m$ છે. સમાન મીટર સ્કેલનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $50.0\, cm$ ના નિશાન પર છે.
જ્યારે સ્કેલ $40.0\, cm$ ના નિશાન પર સંતુલિત થાય છે,ત્યારે સિક્કાઓને કારણે લાગતું ટોર્ક સ્કેલના વજનને કારણે લાગતા ટોર્કને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બે સિક્કાનું દળ $2 \times 10\, g = 20\, g = 0.02\, kg$ છે.
છરીની ધારથી સિક્કાઓનું અંતર $|40.0\, cm - 10.0\, cm| = 30.0\, cm = 0.3\, m$ છે.
છરીની ધારથી સ્કેલના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $|50.0\, cm - 40.0\, cm| = 10.0\, cm = 0.1\, m$ છે.
મોમેન્ટ્સના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા (છરીની ધારની આસપાસ ટોર્કને સંતુલિત કરતા):
$(0.02\, kg) \times g \times (0.3\, m) = m \times g \times (0.1\, m)$
$0.006 = 0.1m$
$m = 0.06\, kg = 6 \times 10^{-2}\, kg$.
આને $x \times 10^{-2}\, kg$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 6$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A$ વ્યક્તિનું મહત્તમ દળ $m$ છે. પાટિયા એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે તેઓ પરિભ્રમણીય સંતુલનમાં એક સિસ્ટમ બનાવે છે. પ્રવાહની ધાર પર જ્યાં પાટિયું ટકેલું છે ત્યાં પીવટ પોઈન્ટને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે ટોર્કને સંતુલિત કરી શકીએ છીએ.
ધારો કે પીવટથી વ્યક્તિ $A$ નું અંતર $d_A = 0.5 \,m$ છે અને પીવટથી વ્યક્તિ $B$ નું અંતર $d_B = 2.5 \,m$ છે.
સિસ્ટમ સંતુલનમાં રહે તે માટે,ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક એ કાઉન્ટર-ક્લોકવાઇઝ ટોર્ક જેટલું હોવું જોઈએ:
$m \cdot g \cdot d_A = m_B \cdot g \cdot d_B$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m \cdot g \cdot 0.5 = 17 \cdot g \cdot 2.5$
બંને બાજુથી $g$ ને દૂર કરતા:
$m \cdot 0.5 = 17 \cdot 2.5$
$m = \frac{17 \cdot 2.5}{0.5}$
$m = 17 \cdot 5 = 85 \,kg$
પ્રશ્ન ગણતરી કરેલ મૂલ્યની નજીકના દળ વિશે પૂછે છે,અને સેટઅપની ભૌતિક મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લેતા,સંતુલન જાળવી રાખતી વખતે $A$ નું મહત્તમ દળ $85 \,kg$ હોઈ શકે છે. જો કે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$85 \,kg$ સૂચિબદ્ધ નથી. સેટઅપનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા,જો પાટિયાની લંબાઈ $3 \,m$ થી થોડી વધારે હોય અને પ્રવાહ $3.5 \,m$ હોય,તો $A$ માટે અસરકારક લિવર આર્મ થોડો અલગ હોઈ શકે છે. આ સમસ્યાના પ્રમાણભૂત અર્થઘટનને જોતા,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $80 \,kg$ છે.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB=3 \,cm, AC=4 \,cm$ અને $BC=5 \,cm$ છે. $3^2 + 4^2 = 5^2$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $A$ પાસે કાટખૂણો છે.
પ્લેટનું દળ $M = 540 \,g$ છે. પ્લેટનું વજન તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ માંથી પસાર થાય છે.
$BC$ બાજુને સમક્ષિતિજ રાખવા માટે,પ્લેટના વજનને કારણે $A$ બિંદુ પર લાગતા ટોર્કને શિરોબિંદુ પર ઉમેરેલા વધારાના દળ $m_1$ દ્વારા સંતુલિત કરવું પડે.
$AE$ એ $BC$ પરનો વેધ છે. $\triangle ABC$ માં,$AE = (AB \times AC) / BC = (3 \times 4) / 5 = 2.4 \,cm$.
$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{3^2 - 2.4^2} = 1.8 \,cm$.
$EC = BC - BE = 5 - 1.8 = 3.2 \,cm$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું $A$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાથી સમક્ષિતિજ અંતર $GH = 1.4/3 \,cm$ છે.
સંતુલન માટે,$M \times g \times GH = m_1 \times g \times BE$.
$540 \times (1.4/3) = m_1 \times 1.8$.
$180 \times 1.4 = m_1 \times 1.8$.
$252 = 1.8 \times m_1 \Rightarrow m_1 = 140 \,g$ જે $B$ પર ઉમેરવું જોઈએ.

(A) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
જ્યારે પદાર્થને એક છેડેથી લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે બીજી ભુજા સમક્ષિતિજ રહે છે. દરેક ભુજાનું વજન તેના મધ્યબિંદુ પર કાર્ય કરે છે.
આકૃતિ મુજબ,ટોર્કનું સંતુલન લેતા:
$Mg \times (l/2) \cos \theta = Mg \times (l/2)(1 - 2 \cos \theta)$
$\Rightarrow \cos \theta = 1 - 2 \cos \theta$
$\Rightarrow 3 \cos \theta = 1$
$\Rightarrow \cos \theta = 1/3$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}(1/3)$.

(C) જ્યારે ભરેલા પાણીના સ્તંભનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પાયાની જમણી ધારની બહાર જાય ત્યારે નળાકાર ઉથલી પડશે. પાણી $h$ ઊંચાઈનો નળાકાર આકાર બનાવે છે (ઊભી રીતે માપવામાં આવે છે),તેથી આ પાણીના સ્તંભનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર રહેલું હોય છે.
ધારો કે નળાકારનો પાયો સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે. પાયાની જમણી ધાર બિંદુ $A$ પર છે. પાણીના સ્તંભનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ડાબી ધારથી $a/2$ ના સમક્ષિતિજ અંતરે છે,અથવા વધુ સરળ રીતે,સ્થિરતા માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખા પાયામાંથી પસાર થવી જોઈએ.
નમેલા નળાકારની ભૂમિતિ પરથી,પાયાની જમણી ધારથી પાણીના સ્તંભના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખા સુધીનું સમક્ષિતિજ અંતર $a/2$ છે. પાણીના સ્તંભના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊભી ઊંચાઈ $h/2$ છે.
નળાકાર ઉથલી પડવાની તૈયારીમાં હોય તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખા પાયાની જમણી ધારમાંથી પસાર થવી જોઈએ. નમન કોણ $\theta$ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લેતા,પાયાના કેન્દ્રથી જમણી ધાર સુધીનું સમક્ષિતિજ અંતર $a/2$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊભી ઊંચાઈ $h/2$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{\text{ઊભી ઊંચાઈ}}{\text{સમક્ષિતિજ અંતર}} = \frac{h/2}{a/2} = \frac{h}{a}$.
તેથી,$h = a \tan \theta$.

(A) ધારો કે દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
જ્યારે પદાર્થને એક છેડા $P$ થી લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે ધારો કે સળિયો $2$ સમક્ષિતિજ છે. સળિયો $1$ સમક્ષિતિજ સળિયા $2$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
દરેક સળિયાનું વજન $mg$ તેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રો $A$ અને $B$ થી શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
ધારો કે $D$ એ બિંદુ $P$ નો સમક્ષિતિજ સળિયા $2$ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
સળિયા $1$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ નું $P$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાથી સમક્ષિતિજ અંતર $d_1 = \frac{l}{2} \cos \theta$ છે.
સળિયા $2$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $B$ નું $P$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખાથી સમક્ષિતિજ અંતર $d_2 = \frac{l}{2} - l \cos \theta$ છે.
લટકાવવાના બિંદુ $P$ ની આસપાસ ચાકગતિ સંતુલન માટે,બંને સળિયાઓના વજનને કારણે લાગતા ટોર્ક એકબીજાને સંતુલિત કરવા જોઈએ:
$mg \cdot d_1 = mg \cdot d_2$
$\frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2} - l \cos \theta$
$l$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} \cos \theta = \frac{1}{2} - \cos \theta$
$\frac{3}{2} \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{3}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(B) ધારો કે પદાર્થનું સાચું વજન $W$ છે અને બંને ભુજાઓની લંબાઈ $L_1$ અને $L_2$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પદાર્થ એક પલ્લામાં છે,તેથી ટોર્ક સંતુલન સમીકરણ $W \times L_1 = 18 \times L_2$ થાય,જે $\frac{L_1}{L_2} = \frac{18}{W}$ આપે છે.
બીજા કિસ્સામાં,પદાર્થ બીજા પલ્લામાં છે,તેથી ટોર્ક સંતુલન સમીકરણ $W \times L_2 = 8 \times L_1$ થાય,જે $\frac{L_1}{L_2} = \frac{W}{8}$ આપે છે.
$\frac{L_1}{L_2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{18}{W} = \frac{W}{8}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $W^2 = 18 \times 8 = 144$ મળે છે.
તેથી,સાચું વજન $W = \sqrt{144} = 12 \,kg$ થાય.

(B) સિસ્ટમ રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,પીવટ પોઈન્ટ (આધાર બિંદુ) ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે પીવટ પોઈન્ટ ઉગમબિંદુ છે. ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશાના ટોર્કને ધન અને ઘડિયાળની દિશાના ટોર્કને ઋણ લેતા:
$12 \, kg$ દળને કારણે ટોર્ક = $12g \times l$ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં)
$m$ દળને કારણે ટોર્ક = $mg \times (l/2)$ (ઘડિયાળની દિશામાં)
$3 \, kg$ દળને કારણે ટોર્ક = $3g \times (l/2 + l) = 3g \times (3l/2)$ (ઘડિયાળની દિશામાં)
કુલ ટોર્ક શૂન્ય લેતા:
$12g \cdot l = mg \cdot \frac{l}{2} + 3g \cdot \frac{3l}{2}$
બંને બાજુ $g \cdot l$ વડે ભાગતા:
$12 = \frac{m}{2} + \frac{9}{2}$
$12 = \frac{m + 9}{2}$
$24 = m + 9$
$m = 15 \, kg$

(C) સિસ્ટમ રોટેશનલ સંતુલનમાં રહે તે માટે,પીવટ પોઈન્ટ $C$ ની આસપાસનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે કેબલ $AB$ માં તણાવ $T$ છે. તણાવનો ઉભો ઘટક $T \sin(30^\circ)$ છે.
સળિયો સમાન છે,તેથી તેનું વજન $(2\,kg \times 10\,m/s^2 = 20\,N)$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે $C$ થી $50\,cm$ ના અંતરે છે.
લટકાવેલ પદાર્થનું વજન $(8\,kg \times 10\,m/s^2 = 80\,N)$ છેડા $D$ પર કાર્ય કરે છે,જે $C$ થી $100\,cm$ ના અંતરે છે.
કેબલ બિંદુ $B$ પર જોડાયેલ છે,જે $C$ થી $60\,cm$ ના અંતરે છે.
$C$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા:
$\sum \tau_C = 0$
$(T \sin(30^\circ)) \times 60\,cm = (20\,N \times 50\,cm) + (80\,N \times 100\,cm)$
$T \times 0.5 \times 60 = 1000 + 8000$
$30T = 9000$
$T = 300\,N$

(C) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $L$ છે. સળિયાનું વજન $W = mg = 12 \times g = 120 \,N$ ($g = 10 \,m/s^2$ લેતા) છે, જે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે, જે જમીન પરના છેડા $(O)$ થી $L/2$ અંતરે છે.
ભ્રમણીય સંતુલન માટે, બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\sum \tau_O = 0$
$(W \cos 60^{\circ}) \times (L/2) - N_2 \times L = 0$
અહીં, $N_2$ એ માણસના ખભા દ્વારા સળિયા પર લાગતું લંબબળ છે, જે સળિયાને લંબ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$120 \times (1/2) \times (L/2) = N_2 \times L$
$30 \times L = N_2 \times L$
$N_2 = 30 \,N$
કારણ કે $W = mg = 120 \,N$, માણસ દ્વારા અનુભવાતું વજન દળના સ્વરૂપમાં $m_{eff} = N_2 / g = 30 / 10 = 3 \,kg$ થશે.