Rolling motion on horizontal Surface Questions in Gujarati

(C) અડધા પરિભ્રમણમાં પૈડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું સમક્ષિતિજ અંતર તેના પરિઘના અડધા ભાગ જેટલું એટલે કે $\pi R$ થાય છે.
શરૂઆતમાં જમીનના સંપર્કમાં રહેલા બિંદુનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર પૈડાના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2R$ થાય છે.
ધારો કે બિંદુનું પ્રારંભિક સ્થાન $A$ છે અને અંતિમ સ્થાન $A'$ છે. સ્થાનાંતર એ સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ સ્થાનાંતરનો સદિશ સરવાળો છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $\sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 1 \text{ m}$ આપેલ હોવાથી,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $\sqrt{(\pi \times 1)^2 + (2 \times 1)^2} = \sqrt{\pi^2 + 4} \text{ m}$ થાય છે.

(B) સરક્યા વિના ગબડતી તકતી માટે,કોઈપણ બિંદુનો વેગ તેના સ્થાનાંતરિત વેગ $(v)$ અને પરિભ્રમણીય વેગ $(r\omega)$ નો સદિશ સરવાળો છે. સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = r\omega$ થાય.
$1$. બિંદુ $A$ (ટોચ પર) માટે: સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણીય બંને વેગ સમાન દિશામાં (આગળની તરફ) છે. તેથી,$v_A = v + r\omega = v + v = 2v$.
$2$. બિંદુ $B$ (બાજુ પર) માટે: સ્થાનાંતરિત વેગ આડો $(v)$ છે અને પરિભ્રમણીય વેગ નીચેની તરફ $(v)$ છે. પરિણામી વેગ $v_B = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2}v$ થાય.
$3$. બિંદુ $C$ (તળિયે) માટે: સ્થાનાંતરિત વેગ આગળની તરફ $(v)$ છે અને પરિભ્રમણીય વેગ પાછળની તરફ $(v)$ છે. પરિણામી વેગ $v_C = v - v = 0$ થાય.
તેથી,વેગના મૂલ્યો $2v, \sqrt{2}v, 0$ છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કોઈપણ તંત્રની સ્થિતિને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે જરૂરી સ્વતંત્ર યામોની સંખ્યાને સ્વતંત્રતાની માત્રા (degree of freedom) કહેવામાં આવે છે.
ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા નળાકાર માટે,તેની ગતિ મર્યાદિત હોય છે.
નળાકાર સપાટી પર સ્થાનાંતરિત ગતિ અને તેની અક્ષ પર પરિભ્રમણ ગતિ ધરાવે છે.
જ્યારે તે સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે $v = r\omega$ શરત સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ ને જોડે છે.
આમ,સપાટી પરનું સ્થાન દર્શાવવા માટે માત્ર એક યામની જરૂર પડે છે,અને પરિભ્રમણ ગબડવાની શરત દ્વારા આપમેળે નક્કી થાય છે.
જોકે,દ્રઢ પદાર્થની ગતિશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં,સપાટી પર ગબડતા નળાકાર પાસે $2$ સ્વતંત્રતાની માત્રા હોય છે: એક સપાટી પરના સ્થાન $(x)$ માટે અને એક તેની અક્ષ પરના પરિભ્રમણ $(\theta)$ માટે.
તેથી,ગબડતા નળાકાર માટે સ્વતંત્રતાની માત્રા $2$ ગણવામાં આવે છે.

(B) સરક્યા વગર ગબડતા દડા માટે,ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યાં $I = MK^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ હોવાથી,$K_{rot} = \frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2}$ મળે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $E$ એ ચાકગતિ અને સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2} + \frac{1}{2} Mv^2 = \frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2}{R^2} + 1 \right) = \frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2 + R^2}{R^2} \right)$.
ચાકગતિ ઉર્જા સાથે સંકળાયેલ કુલ ઉર્જાનો અંશ $\frac{K_{rot}}{E}$ છે:
$\text{અંશ} = \frac{\frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2}}{\frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2 + R^2}{R^2} \right)} = \frac{K^2}{K^2 + R^2}$.

(C) જ્યારે સાયકલ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના અચળ રેખીય વેગ $v$ સાથે ગતિ કરતી હોય,ત્યારે પૈડાની ધાર પરના કોઈપણ બિંદુનો જમીનની સાપેક્ષ વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગ અને પરિભ્રમણીય વેગના સદિશ સરવાળા જેટલો હોય છે.
પૈડાના સૌથી ઉપરના બિંદુએ,રેખીય વેગ $v_{top} = v_{translational} + v_{rotational} = v + r\omega$ થાય છે.
સાયકલ એક સખત પદાર્થ તરીકે ગતિ કરતી હોવાથી,બંને પૈડા માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાનાંતરિત વેગ $v$ સમાન રહે છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$v = r\omega$,તેથી $v_{top} = v + v = 2v$ થાય.
બંને પૈડા સાયકલની સમાન સ્થાનાંતરિત ઝડપ $v$ સાથે આગળ વધતા હોવાથી,આગળના પૈડા $(v_F)$ અને પાછળના પૈડા $(v_r)$ બંનેના સૌથી ઉપરના બિંદુની ઝડપ $2v$ થાય છે.
તેથી,$v_F = 2v$ અને $v_r = 2v$,જેનો અર્થ છે કે $v_F = v_r$.

(A) આપેલ છે: દળ $M = 500 \ g = 0.5 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,વેગ $v = 20 \ cm/s = 0.2 \ m/s$.
નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,કુલ ગતિઊર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $K.E._{total} = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
$v = \omega R$ હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$ મળે.
સમીકરણમાં $I$ અને $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $K.E._{total} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$.
કિંમતો મૂકતા: $K.E._{total} = \frac{7}{10} \times 0.5 \times (0.2)^2 = 0.7 \times 0.5 \times 0.04 = 0.35 \times 0.04 = 0.014 \ J$.

(B) સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિ ઉર્જા $(K_{total})$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $(K_{trans})$ અને ચાકગતિ ઉર્જા $(K_{rot})$ નો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
આપેલ છે કે $K_{rot} = 40\%$ of $K_{total}$,જેનો અર્થ છે કે $K_{rot} = 0.4 K_{total}$,તેથી $K_{trans} = 0.6 K_{total}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{trans}} = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$.
$K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$ અને $K_{trans} = \frac{1}{2}mv^2$ માં $v = R\omega$ મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{2}I\omega^2}{\frac{1}{2}m(R\omega)^2} = \frac{2}{3} \implies \frac{I}{mR^2} = \frac{2}{3}$.
આમ,$I = \frac{2}{3}mR^2$.
આ જડત્વની ચાકમાત્રા પોલા ગોળા માટે છે.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળા માટે જે સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડે છે,તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_t)$ $K_t = \frac{1}{2} M v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચાકગતિઊર્જા $(K_r)$ $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = \frac{2}{5} M R^2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega = v/R$ એ કોણીય વેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K_r = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} M R^2) \times (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5} M v^2$.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_t}{K_r} = \frac{\frac{1}{2} M v^2}{\frac{1}{5} M v^2} = \frac{1/2}{1/5} = \frac{5}{2}$ થાય છે.

(D) સરક્યા વિના ગબડતી રીંગ માટે,કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
રીંગ માટે $I = MR^2$ અને $\omega = V/R$ હોવાથી,$K = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}(MR^2)(V/R)^2 = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}MV^2 = MV^2$ મળે છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = M(V)^2 = MV^2$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = M(3V)^2 = 9MV^2$.
ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 9MV^2 - MV^2 = 8MV^2$.

(A) આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $R = 1\,m$
દળ $M = 4\,kg$
રેખીય વેગ $v = 10\,cm/s = 0.1\,m/s$
સરક્યા વિના ગબડતી તકતી માટે,કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$.
$I = \frac{1}{2}MR^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}MR^2 \right) \left( \frac{v}{R} \right)^2 = \frac{1}{4}Mv^2$.
$K_{rot} = \frac{1}{4} \times 4\,kg \times (0.1\,m/s)^2 = 1 \times 0.01 = 0.01\,J$.

(A) સરક્યા વિના ગબડતા ગોળા માટે,કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K = K_{tr} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
આપેલ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગ સમાન છે $(v_1 = v_2)$,તેથી ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{7}{10}m_1v_1^2}{\frac{7}{10}m_2v_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$
આપેલ છે કે $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{1}$,તેથી $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{1}$.
આમ,તેમના દળનો ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતું હોય,ત્યારે શુદ્ધ ગબડવાની શરત એ છે કે સપાટી સાથેના સંપર્ક બિંદુનો વેગ શૂન્ય હોય.
ધારો કે $v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ છે અને $\omega$ એ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ પદાર્થની કોણીય ઝડપ છે.
સરક્યા વિના ગબડવાની શરત $v = r\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
અહીં ત્રિજ્યા $R$ આપેલી હોવાથી,સંબંધ $v = R\omega$ બને છે.
તેથી,કોણીય ઝડપ $\omega = v/R$ થાય છે.

(C) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(K)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_t)$ અને ચાકગતિઊર્જા $(K_r)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$K = K_t + K_r = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M R^2) (\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{5} M v^2$
$K = (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) M v^2 = \frac{7}{10} M v^2$
અહીં $M = 1 \ kg$ અને $v = 1 \ m/s$ આપેલ છે:
$K = \frac{7}{10} \times 1 \times (1)^2 = 0.7 \ J$.

(C) $v$ ઝડપે સરક્યા વગર ગબડતા પૈડા માટે,સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ $B$ નો વેગ સમક્ષિતિજ દિશામાં $2v$ હોય છે.
જ્યારે કાદવ બિંદુ $B$ પરથી અલગ થાય છે,ત્યારે તે પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 2v$ અને પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ સાથે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તરીકે વર્તે છે.
જમીનથી બિંદુ $B$ ની ઊંચાઈ $2r$ છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$,આપણને $2r = 0 + \frac{1}{2} g t^2$ મળે છે.
સમય $t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \sqrt{\frac{4r}{g}} = 2\sqrt{\frac{r}{g}}$ મળે છે.
આ સમય દરમિયાન કાદવ દ્વારા કાપવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ અંતર $AC = u_x \times t$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$AC = (2v) \times (2\sqrt{\frac{r}{g}}) = 4v\sqrt{\frac{r}{g}}$.

(B) ગબડતી ગતિ (rolling motion) માટે પરિભ્રમણ કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા ઘર્ષણની હાજરી અનિવાર્ય છે.
લીસી સપાટી પર ઘર્ષણાંક $\mu = 0$ હોય છે.
ઘર્ષણના અભાવે,ગોળાને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફેરવવા માટે કોઈ ટોર્ક મળતો નથી.
તેથી,જો ગોળાને લીસી સમક્ષિતિજ કે લીસી ઢોળાવવાળી સપાટી પર મૂકવામાં આવે,તો તે ગબડવાને બદલે શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ (સરકવાની ગતિ) કરશે.

(D) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$,રેખીય વેગ $v$,ત્રિજ્યા $R$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $(TKE)$ નું સૂત્ર: $TKE = \frac{1}{2}mv^2$
ચાકગતિ ઊર્જા $(RKE)$ નું સૂત્ર: $RKE = \frac{1}{2}I\omega^2$
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમત $RKE$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $RKE = \frac{1}{2}I\left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{Iv^2}{R^2}$
આપેલ છે કે $TKE = RKE$,તેથી: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \frac{Iv^2}{R^2}$
આનું સાદું રૂપ આપતા: $m = \frac{I}{R^2}$,એટલે કે $I = mR^2$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ એ રિંગ (અથવા પોલા નળાકાર) માટે તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને હોય છે.
તેથી,તે પદાર્થ રિંગ છે.

(B) કિસ્સો $1$: જ્યારે પોલો નળાકાર રોલિંગ કર્યા વિના સરકે છે,ત્યારે તેની પાસે માત્ર સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા હોય છે.
$K_{slide} = \frac{1}{2}mv^2$
કિસ્સો $2$: જ્યારે તે સરક્યા વિના રોલિંગ કરે છે,ત્યારે તેની પાસે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ બંને પ્રકારની ગતિ ઊર્જા હોય છે.
કુલ ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર $K_{roll} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{R^2})$ છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
પાતળા પોલા નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ છે,તેથી $mk^2 = mR^2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k^2}{R^2} = 1$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $K_{roll} = \frac{1}{2}mv^2(1 + 1) = mv^2$.
હવે,ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{slide}}{K_{roll}} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{mv^2} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 2$ થશે.

(A) ધારો કે $\vec{\omega}$ એ ગોળાનો કોણીય વેગ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે. ગોળા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ નો વેગ $\vec{V}_P = \vec{V}_B + \vec{\omega} \times \vec{r}_{BP}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{V}_B$ એ કેન્દ્રનો વેગ છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,સંપર્ક બિંદુ $A$ નો વેગ શૂન્ય છે,એટલે કે $\vec{V}_A = 0$.
બિંદુ $B$ (કેન્દ્ર) માટે,$\vec{V}_B = \vec{V}_B$.
બિંદુ $C$ (સૌથી ઉપરનું બિંદુ) માટે,$\vec{V}_C = \vec{V}_B + \vec{\omega} \times \vec{R}_{BC}$. કારણ કે $\vec{V}_B = \vec{\omega} \times \vec{R}_{BA}$ (જ્યાં $\vec{R}_{BA}$ એ $A$ થી $B$ સુધીનો સદિશ છે),તેથી આપણને $\vec{V}_C = 2\vec{V}_B$ મળે છે.
હવે,મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ:
$|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = |2\vec{V}_B - 0| = 2|\vec{V}_B|$.
$|\vec{V}_B - \vec{V}_C| = |\vec{V}_B - 2\vec{V}_B| = |-\vec{V}_B| = |\vec{V}_B|$.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $|\vec{V}_C - \vec{V}_A| = 2 |\vec{V}_B - \vec{V}_C|$ મળે છે.

(C) શુદ્ધ રોલિંગમાં,તકતી પરના કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગ $(V_C)$ અને કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્પર્શક વેગ $(V_{rot} = \omega r)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે $r$ એ કેન્દ્ર $C$ થી બિંદુઓ $P$ અને $Q$ નું અંતર છે. કેન્દ્રનો વેગ $V_C = \omega R$ છે,જ્યાં $R$ એ તકતીની ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુનો વેગ $\vec{V} = \vec{V_C} + \vec{V_{rot}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ માટે,જે ઉપરના અર્ધભાગમાં છે,પરિભ્રમણ વેગ સદિશ $\vec{V_{rot,P}}$ નો એક ઘટક $V_C$ ની દિશામાં જ હોય છે. આમ,તેનું મૂલ્ય $V_P = \sqrt{V_C^2 + V_{rot}^2 + 2 V_C V_{rot} \cos \theta}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે. ઘટકોનો સરવાળો થતો હોવાથી,$V_P > V_C$ મળે છે.
બિંદુ $Q$ માટે,જે નીચેના અર્ધભાગમાં છે,પરિભ્રમણ વેગ સદિશ $\vec{V_{rot,Q}}$ નો એક ઘટક $V_C$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. આમ,તેનું મૂલ્ય $V_Q = \sqrt{V_C^2 + V_{rot}^2 - 2 V_C V_{rot} \cos \phi}$ છે. ઘટકોની બાદબાકી થતી હોવાથી,$V_Q < V_C$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $V_P > V_C > V_Q$ છે.

(B) જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાનું પૈડું સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે અડધા પરિભ્રમણમાં પૈડાના કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલું આડું અંતર $\pi R$ જેટલું હોય છે.
બિંદુ $P$ નું ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતર (જે શરૂઆતમાં સંપર્ક બિંદુ $A$ પર હતું અને સૌથી ઉપરના બિંદુ $A'$ પર જાય છે) પૈડાના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2R$ હોય છે.
કુલ સ્થાનાંતર એ આડા અને ઉર્ધ્વ સ્થાનાંતરનો સદિશ સરવાળો છે,જે $\pi R$ અને $2R$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે.
સ્થાનાંતર $= \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$.
$R = 1 \ m$ આપેલ હોવાથી,સ્થાનાંતર $= 1 \times \sqrt{\pi^2 + 4} = \sqrt{\pi^2 + 4} \ m$.

(A) જ્યારે પૈડું સરક્યા વિના ગબડતું હોય,ત્યારે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v = 2 \ m/s$ છે.
પૈડાની ધાર પરના કોઈપણ બિંદુએ,વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગ $(v)$ અને પરિભ્રમણીય વેગ $(v = r\omega)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
$v$ ઝડપથી ગબડતા પૈડા માટે,ધાર પર પરિભ્રમણીય વેગનું મૂલ્ય પણ $v$ હોય છે.
સમક્ષિતિજ વ્યાસના અંતિમ બિંદુઓ પર,સ્થાનાંતરિત વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ (જમણી તરફ $v$) હોય છે અને પરિભ્રમણીય વેગ સદિશ શિરોલંબ (ઉપર અથવા નીચે તરફ $v$) હોય છે.
આ બંને સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,પરિણામી વેગ $v_{res}$ નીચે મુજબ મળે:
$v_{res} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$.
$v = 2 \ m/s$ કિંમત મૂકતા:
$v_{res} = 2\sqrt{2} \ m/s$.

(C) રેખીય ગતિ માટે:
$F - f = Ma$ ---$(1)$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ચાકગતિ માટે:
$\tau = I \alpha$
$f \cdot R = (\frac{2}{5} M R^2) \cdot (\frac{a}{R})$
$f = \frac{2}{5} Ma$ ---$(2)$
$(2)$ પરથી,$Ma = \frac{5}{2} f$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$F - f = \frac{5}{2} f$
$F = \frac{7}{2} f$
ગોળો સરકે નહીં તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ શરત $f \le \mu N$ નું પાલન કરવું જોઈએ,જ્યાં $N = Mg$.
તેથી,$f \le \mu Mg$.
$f$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $(f_{max} = \mu Mg)$ મૂકતા:
$F_{max} = \frac{7}{2} \mu Mg$.

(D) જ્યારે પૈડું અડધું પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે કણ બિંદુ $P$ થી ઉપરના બિંદુ $P'$ પર જાય છે.
પૈડાંના કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલું આડું અંતર $\pi R$ છે,તેથી કણનું આડું સ્થાનાંતર $\Delta x = \pi R$ થાય.
કણનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર એ પૈડાંનો વ્યાસ છે,એટલે કે $\Delta y = 2R$.
કુલ સ્થાનાંતર એ આડા અને શિરોલંબ સ્થાનાંતરનો સદિશ સરવાળો છે:
$S = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2} = R \sqrt{\pi^2 + 4}$.
અહીં $R = 5 \ m$ આપેલ હોવાથી,સ્થાનાંતર $S = 5 \sqrt{\pi^2 + 4} \ m$ થાય.

(B) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(K_{total})$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_t)$ અને ચાકગતિ ઊર્જા $(K_r)$ નો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
તકતી માટે,તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ છે. તે સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$v = r\omega$,તેથી $\omega = v/r$.
આ કિંમતોને ચાકગતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_r = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}mr^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{4}mv^2$
હવે,કુલ ગતિઊર્જાની ગણતરી કરીએ:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
કુલ ગતિઊર્જાનો ચાકગતિ ઊર્જાનો ભાગ:
$\frac{K_r}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{4}mv^2}{\frac{3}{4}mv^2} = \frac{1}{3}$

(C) ગબડતા ગોળાની કુલ ઊર્જા $E$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિ-ઊર્જા અને ચાકગતિ-ઊર્જાનો સરવાળો છે.
$E = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = \frac{v}{R}$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mK^2$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mK^2)\left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2}mv^2 \left(1 + \frac{K^2}{R^2}\right) = \frac{1}{2}mv^2 \left(\frac{R^2 + K^2}{R^2}\right)$
ચાકગતિ-ઊર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mK^2)\left(\frac{v^2}{R^2}\right) = \frac{1}{2}mv^2 \left(\frac{K^2}{R^2}\right)$
કુલ ઊર્જામાં ચાકગતિ-ઊર્જાનો ભાગ:
$\text{ભાગ} = \frac{K_{rot}}{E} = \frac{\frac{1}{2}mv^2 (K^2/R^2)}{\frac{1}{2}mv^2 (R^2 + K^2)/R^2} = \frac{K^2}{K^2 + R^2}$

(B) જ્યારે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ અડધું પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે રીંગનું કેન્દ્ર પરિઘના અડધા જેટલા અંતર જેટલું આગળ વધે છે,જે $\pi R$ છે.
સંપર્કબિંદુ,જે શરૂઆતમાં નીચે હતું,તે રીંગની ટોચ પર પહોંચે છે. આ બિંદુનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર રીંગના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2R$ થાય છે.
બિંદુનું સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $\pi R$ છે.
કુલ સ્થાનાંતર એ સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ સ્થાનાંતરનો સદિશ સરવાળો છે:
$\text{સ્થાનાંતર} = \sqrt{(\text{સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર})^2 + (\text{શિરોલંબ સ્થાનાંતર})^2}$
$\text{સ્થાનાંતર} = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2}$
$\text{સ્થાનાંતર} = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2}$
$\text{સ્થાનાંતર} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$

(B) મહત્તમ સંકોચન સમયે,નક્કર નળાકાર ક્ષણિક રીતે અટકી જશે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
નળાકારની ગતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો.
ગબડતા નળાકારની કુલ ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$ અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
આને સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા સાથે સરખાવતા,$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x^2 = \frac{3mv^2}{2k}$.
આપેલ છે કે $m = 3 \, kg$,$v = 4 \, m s^{-1}$,અને $k = 200 \, N m^{-1}$.
$x^2 = \frac{3 \times 3 \times (4)^2}{2 \times 200} = \frac{9 \times 16}{400} = \frac{144}{400} = 0.36$.
તેથી,$x = \sqrt{0.36} = 0.6 \, m$.

(B) સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે અને રેખીય તથા કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે,તેથી $\omega = \frac{v}{r}$.
આ કિંમતોને ચાકગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_r = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mr^2 \right) \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \left( \frac{5+2}{10} \right)mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
$K_t : (K_t + K_r)$ નો ગુણોત્તર $\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{7}{10}mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ થાય.

(C) $v = 2 \, m/s$ ની ઝડપ સાથે જમીન પર ગબડતા પૈડા માટે,પૈડાના દરેક બિંદુ પાસે આગળની દિશામાં સ્થાનાંતરીય વેગ $v_t = v$ હોય છે.
વધુમાં,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણને કારણે,પરિઘ પરના દરેક બિંદુ પાસે કેન્દ્રની સાપેક્ષે સ્પર્શકીય વેગ $v_R = v$ હોય છે.
આડા વ્યાસના અંતિમ બિંદુઓ પર,સ્થાનાંતરીય વેગ $v_t$ સમક્ષિતિજ હોય છે અને ભ્રમણીય વેગ $v_R$ શિરોલંબ (આગળના બિંદુ પર નીચેની તરફ,પાછળના બિંદુ પર ઉપરની તરફ) હોય છે.
આ બંને વેગ સદિશો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી વેગ $v_N$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_N = \sqrt{v_t^2 + v_R^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2}v$
$v = 2 \, m/s$ મૂકતા:
$v_N = 2\sqrt{2} \, m/s$.

(D) સરક્યા વગર ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યાં $I = mk^2$ અને $\omega = v/R$,જેમાં $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ વસ્તુની ત્રિજ્યા છે:
$K.E. = \frac{1}{2}mv^2 \left(1 + \frac{k^2}{R^2}\right)$
આપેલ છે: $m = 10 \ kg$,$R = 0.5 \ m$,$v = 2 \ m/s$,$K.E. = 32.8 \ J$.
કિંમતો મૂકતા:
$32.8 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2 \left(1 + \frac{k^2}{(0.5)^2}\right)$
$32.8 = 20 \left(1 + 4k^2\right)$
$1.64 = 1 + 4k^2$
$0.64 = 4k^2$
$k^2 = 0.16$
$k = 0.4 \ m$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,વેગ $v = 20 \ cm/s = 0.2 \ m/s$.
સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total}$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
$v = R\omega$ હોવાથી,$\omega = v/R$ મળે.
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5})$.
કિંમતો મૂકતા:
$K_{total} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.2)^2 \times 1.4 = 0.25 \times 0.04 \times 1.4 = 0.01 \times 1.4 = 0.014 \ J$.

(A) ગબડતા ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_T = K_{translational} + K_{rotational} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ થાય.
સરક્યા વિના ગબડતા હોવાથી,$v = R\omega$,તેથી $\omega = v/R$ મળે.
ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં $I$ અને $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $K_R = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$ મળે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_T = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_R}{K_T} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ થાય.

(D) ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(K_{total})$ નું સૂત્ર $K_{total} = K_{translational} + K_{rotational} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{K^2}{R^2})$ છે.
તકતી માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{1}{2}R^2$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ મળે.
ચાકગતિઊર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2(\frac{K^2}{R^2})$ છે.
કુલ ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{total}}{K_{rot}} = \frac{1 + \frac{K^2}{R^2}}{\frac{K^2}{R^2}}$ થાય.
$\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1 + 1/2}{1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(D) ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K_R = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (Mk^2) (\frac{v^2}{R^2}) = \frac{1}{2} Mv^2 (\frac{k^2}{R^2})$ છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K_T = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
આપેલ છે કે $K_R = K_T$,તેથી $\frac{1}{2} Mv^2 (\frac{k^2}{R^2}) = \frac{1}{2} Mv^2$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{k^2}{R^2} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k^2 = R^2$.
રીંગ (વલય) માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ હોય છે,તેથી $k^2 = R^2$ થાય છે.
આથી,તે પદાર્થ રીંગ (વલય) છે.

(A) ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(K_{total})$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $(K_t)$ અને ચાકગતિઊર્જા $(K_r)$ નો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે અને ગબડવાની શરત $v = R\omega$ (અથવા $\omega = v/R$) છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mv^2)$
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5})$
$K_{total} = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5}) = \frac{7}{10}mv^2$.

(B) ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total}$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_T$ અને ચાકગતિઊર્જા $K_R$ નો સરવાળો છે.
$K_T = \frac{1}{2}Mv^2$ અને $K_R = \frac{1}{2}I\omega^2$.
દડો લપસ્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$v = R\omega$,તેથી $\omega = v/R$.
$I$ અને $\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $K_R = \frac{1}{2} (\frac{2}{5}MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_T + K_R = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$ છે.
ચાકગતિ સાથે સંકળાયેલ ઊર્જાનો ભાગ $\frac{K_R}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ થાય.

(B) જમીન સાથેના સંપર્ક બિંદુ પર ઘર્ષણ બળ કાર્ય કરતું હોવાથી,કુલ ગતિ ઊર્જા સંરક્ષિત રહેશે નહીં.
જોકે,સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષે આ ઘર્ષણ બળનું ટોર્ક શૂન્ય થાય છે કારણ કે બળ બરાબર તે બિંદુ પર જ લાગે છે.
તેથી,સંપર્ક બિંદુની સાપેક્ષે ગોળાનું કોણીય વેગમાન અચળ રહેશે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$. જો $\vec{\tau} = 0$ હોય,તો $\vec{L} = \text{અચળ}$.

(C) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(K_{total})$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $K_{total} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5})$.
અહીં $m = 1 \ kg$ અને $v = 1 \ m/s$ આપેલ છે:
$K_{total} = \frac{1}{2} \times 1 \times (1)^2 \times \frac{7}{5} = \frac{7}{10} = 0.7 \ J$.

(D) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $K = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોલા ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{3}mR^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{3}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{5}{3})$.
આપેલ છે: $m = 2 \, kg$,$v = 0.5 \, m/s$.
$K = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.5)^2 \times \frac{5}{3} = 0.25 \times \frac{5}{3} = 0.4166... \approx 0.42 \, J$.

(B) સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(K_T)$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $K_T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે અને ગબડવાની શરત $v = R\omega$ હોવાથી,$\omega = v/R$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $K_T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
અહીં $m = 0.41 \ kg$ અને $v = 2 \ m/s$ આપેલ છે:
$K_T = \frac{3}{4} \times 0.41 \times (2)^2 = \frac{3}{4} \times 0.41 \times 4 = 3 \times 0.41 = 1.23 \ J$.

(C) સંપર્ક બિંદુ (ઉગમબિંદુ $O$) ની સાપેક્ષમાં ગબડતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન એ રેખીય ગતિને કારણે કોણીય વેગમાન અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણને કારણે કોણીય વેગમાનનો સરવાળો છે.
$L = L_{\text{linear}} + L_{\text{rotational}}$
$L = MvR + I_c\omega$
તકતી સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ $v = R\omega$ છે.
તકતીની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$L = M(R\omega)R + (\frac{1}{2}MR^2)\omega$
$L = MR^2\omega + \frac{1}{2}MR^2\omega$
$L = \frac{3}{2}MR^2\omega$

(C) સરક્યા વગર ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(K_T)$ નું સૂત્ર $K_T = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$K_T = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{7}{5})$.
અહીં $m = 50 \, g$,$v = 5 \, cm/s$ આપેલ છે,તેથી $K_T = \frac{1}{2} \times 50 \times (5)^2 \times \frac{7}{5} = 25 \times 25 \times 1.4 = 875 \, erg$.

(D) જ્યારે પૈડું સરક્યા વિના ગબડતું હોય,ત્યારે સંપર્કબિંદુ $M$ થી $r'$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુ $P$ નો વેગ $v_P = \omega \cdot MP$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = v/r$ છે. આમ,વેગ $MP$ ના પ્રમાણમાં છે. તેથી વિધાન $A$ સાચું છે.
સંપર્કબિંદુ $M$ નો જમીનની સાપેક્ષ વેગ $0$ છે,તેથી તે ક્ષણિક રીતે સ્થિર છે. તેથી વિધાન $C$ સાચું છે.
કેન્દ્રથી $d$ અંતરે આવેલા બિંદુનો વેગ $v_d = \sqrt{v^2 + (\omega d)^2 + 2v\omega d \cos \theta}$ છે. આ વેગ શિરોલંબ દિશા સાથેના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે,તેથી કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓના વેગ સમાન હોવા જરૂરી નથી. આમ,વિધાન $D$ ખોટું છે.
વિધાન $B$ ના સંદર્ભમાં,$v$ કરતા વધુ વેગ ધરાવતા બિંદુઓ પૈડાના ઉપરના અર્ધભાગમાં હોય છે અને $v$ કરતા ઓછો વેગ ધરાવતા બિંદુઓ નીચેના અર્ધભાગમાં હોય છે. ગતિશાસ્ત્ર મુજબ વિધાન $B$ સાચું છે.

(A) ગબડતા ગોળાની કુલ ગતિઊર્જા $K = K_{tr} + K_{rot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘન ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
બંને ગોળાઓનો વેગ સમાન $(v_1 = v_2)$ હોવાથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{\frac{7}{10}m_1v_1^2}{\frac{7}{10}m_2v_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$.
આપેલ છે કે $\frac{K_1}{K_2} = 2:1$,તેથી $\frac{m_1}{m_2} = 2:1$.
આ કિસ્સામાં ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર અપ્રસ્તુત છે કારણ કે બંને ગોળાઓ માટે વેગ સમાન છે.

(C) ગબડતી લૂપ માટે,કુલ ગતિઊર્જા $(KE_{roll})$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $KE_{roll} = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. કારણ કે $I = mr^2$ અને $\omega = V/r$,આપણને મળે છે $KE_{roll} = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(V/r)^2 = \frac{1}{2}mV^2 + \frac{1}{2}mV^2 = mV^2$.
સરકતી લૂપ માટે,ગતિઊર્જા $(KE_{slide})$ માત્ર સ્થાનાંતરિત હોય છે: $KE_{slide} = \frac{1}{2}mv^2$.
આપેલ છે કે ગતિઊર્જા સમાન છે,તેથી આપણે તેમને સરખાવીએ: $mV^2 = \frac{1}{2}mv^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $V^2 = v^2 / 2$,અથવા $V^2 / v^2 = 1 / 2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $V / v = \sqrt{1/2} = 1 / \sqrt{2} = \sqrt{2} / 2$ થાય છે.

(B) તકતી પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \mu g$ છે.
કેન્દ્રની આસપાસ ઘર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau = f r = \mu mgr$ છે.
કોણીય મંદન $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{\mu mgr}{\frac{1}{2}mr^2} = \frac{2\mu g}{r}$ છે.
$t$ સમયે,રેખીય વેગ $v = at = \mu gt$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 - \alpha t = \omega_0 - \frac{2\mu g}{r}t$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$v = r\omega$ શરત સંતોષાવી જોઈએ.
પદોને મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu gt = r(\omega_0 - \frac{2\mu g}{r}t)$.
$\mu gt = r\omega_0 - 2\mu gt$.
$3\mu gt = r\omega_0$.
$t = \frac{\omega_0 r}{3\mu g}$.

(D) જ્યારે કોઈ ગોળાને ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ રોલિંગની સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે.
જો ગોળાને એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે જેથી સંપર્ક બિંદુનો વેગ $v_p = v - r\omega = 0$ થાય,તો ગોળા અને સપાટી વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય છે.
આ કિસ્સામાં,સંપર્ક બિંદુ અને સપાટી વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી,તેથી ગોળા પર લાગતું ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
પ્રશ્નમાં એવું સ્પષ્ટ નથી કે $v \neq r\omega$,તેથી ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોવું શક્ય છે.
તેથી,આપેલા વિધાનોમાંથી કોઈ પણ (જે દાવો કરે છે કે બળ આગળ,પાછળ હોવું જોઈએ અથવા શૂન્ય ન હોઈ શકે) સાર્વત્રિક રીતે સાચું નથી.

(D) ખરબચડી આડી સપાટી પર ગતિ કરતા ગોળા માટે,ઘર્ષણ બળ સંપર્ક બિંદુ પર લાગે છે.
ઘર્ષણ બળ સંપર્ક બિંદુ પર લાગતું હોવાથી,સંપર્ક બિંદુની આસપાસ ઘર્ષણને કારણે લાગતું ટોર્ક શૂન્ય થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ બિંદુની આસપાસ કુલ બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તે બિંદુની આસપાસ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,સપાટી સાથેના સંપર્ક બિંદુની આસપાસ ગોળાનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.

(C) જ્યારે નળાકારને સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઘર્ષણ બળ $f = \mu mg$ સંપર્ક બિંદુના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
આ ઘર્ષણ બળ રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \mu g$ અને પ્રતિપ્રવેગી કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{fR}{\frac{1}{2}mR^2} = \frac{2\mu g}{R}$ આપે છે.
$t$ સમયે,રેખીય વેગ $v = at = \mu gt$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 - \alpha t = \omega_0 - \frac{2\mu g t}{R}$ છે.
સરક્યા વિના ગબડવાની સ્થિતિ ત્યારે શરૂ થાય છે જ્યારે $v = R\omega$ થાય.
સમીકરણો મૂકતા: $\mu gt = R(\omega_0 - \frac{2\mu gt}{R}) = \omega_0 R - 2\mu gt$.
$3\mu gt = \omega_0 R \Rightarrow t = \frac{\omega_0 R}{3\mu g}$.