Rolling On Inclined Plane Questions in Gujarati

(A) ઢળતી સપાટી પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $a_{solid} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/5} = \frac{5}{7}g \sin \theta$.
પોલી ગોળાકાર કવચ માટે,$I = \frac{2}{3}MR^2$,તેથી $a_{hollow} = \frac{g \sin \theta}{1 + 2/3} = \frac{3}{5}g \sin \theta$.
અહીં $\frac{5}{7} > \frac{3}{5}$ હોવાથી,નક્કર ગોળાનો પ્રવેગ પોલી ગોળાકાર કવચ કરતા વધારે છે.
તેથી,નક્કર ગોળો પહેલા નીચે પહોંચશે.

(A) $l$ લંબાઈ અને $\theta$ ખૂણાવાળી ઢળતી સપાટી પર ગબડતા પદાર્થ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t = \sqrt{\frac{2l(1 + K^2/R^2)}{g \sin \theta}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $K^2 = \frac{1}{2}R^2$,જેનો અર્થ છે કે $K^2/R^2 = 0.5$.
પોલા નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે,તેથી $K^2 = R^2$,જેનો અર્થ છે કે $K^2/R^2 = 1$.
સમય $t$ એ $\sqrt{1 + K^2/R^2}$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,જે પદાર્થ માટે $K^2/R^2$ નો ગુણોત્તર ઓછો હશે તે નીચે પહોંચવા માટે ઓછો સમય લેશે.
બંનેની સરખામણી કરતા,નક્કર નળાકારનો $K^2/R^2$ ગુણોત્તર ઓછો $(0.5 < 1)$ છે,તેથી નક્કર નળાકાર પહેલા નીચે પહોંચશે.

(A) ઘન ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^2$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઊર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$.
ગોળો લપસ્યા વિના ગબડતો હોવાથી,શુદ્ધ ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
ઊર્જાના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $mgh = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2$.
$mgh = (\frac{1}{2} + \frac{1}{5}) m v^2 = \frac{7}{10} m v^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{10}{7} gh$,તેથી $v = \sqrt{\frac{10}{7} gh}$.

(B) નળાકારની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$K_{rot} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4} Mv^2$ મળે છે.
સ્થાનાંતરીય ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{4} Mv^2 + \frac{1}{2} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$ થાય છે.
ચાકગતિ ઉર્જા અને કુલ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{rot}}{K_{total}} = \frac{\frac{1}{4} Mv^2}{\frac{3}{4} Mv^2} = \frac{1}{3}$ છે.

(B) $h$ ઊંચાઈએ નક્કર નળાકારની સ્થિતિઊર્જા $U = Mgh$ છે.
જ્યારે તે તળિયે પહોંચે છે,ત્યારે કુલ ગતિઊર્જા એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $K.E. = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$.
નળાકાર સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega = v/R$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$K.E. = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^{2}) (v/R)^{2} = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{4} M v^{2} = \frac{3}{4} M v^{2}$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$Mgh = \frac{3}{4} M v^{2}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{4}{3} gh}$ મળે છે.

(D) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ,$M$ એ દળ અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
આ કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1/2 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1/2} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
પ્રવેગ $a$ એ ત્રિજ્યા $R$ અને દળ $M$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,તમામ નક્કર નળાકારોનો પ્રવેગ તેમની ત્રિજ્યાને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન રહેશે.
તેઓ એક જ જગ્યાએથી એક જ સમયે સમાન પ્રવેગ સાથે શરૂઆત કરતા હોવાથી,તેઓ બધા એકસાથે ઢળતા સમતલના તળિયે પહોંચશે.

(D) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતી ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$. $v = R\omega$ હોવાથી,$\omega = v/R$ મળે. આ કિંમત મૂકતા,$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I(v/R)^2 = \frac{1}{2}Mv^2(1 + \frac{I}{MR^2})$. નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $Mgh = \frac{1}{2}Mv^2(1 + 1/2) = \frac{3}{4}Mv^2$,જેનો અર્થ છે $v = \sqrt{4gh/3}$. ઝડપ $v$ એ $k^2/R^2$ ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે,જ્યાં $I = Mk^2$. ખાસ કરીને,$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k^2/R^2}}$. પોલા નળાકાર માટે,$I = MR^2$,તેથી $k^2/R^2 = 1$. આમ,$v_{hollow} = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$. કારણ કે $\sqrt{gh} < \sqrt{4gh/3}$,પોલા નળાકાર માટે ઝડપ ઓછી હશે. સમાન ભૂમિતિ માટે ઝડપ એ દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $a$ અચળ હોય છે અને તે $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $L = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $L = 0 + \frac{1}{2}at^2$ મળે છે.
અહીં $a$ અચળ હોવાથી,$L = \frac{1}{2}at^2$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $L \propto t^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $t \propto \sqrt{L}$ મળે છે.

(C) $30^{\circ}$ ના ઢાળ પર $s = 10 \ m$ નું અંતર એ $h = s \sin(30^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \ m$ ની ઊંચાઈના તફાવતને અનુરૂપ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
પોલા નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = mr^2$ અને $\omega = v/r$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$
આમ,$v^2 = gh$.
$g = 9.8 \ m/s^2$ લેતા:
$v^2 = 9.8 \times 5 = 49$
$v = \sqrt{49} = 7 \ m/s$.

(B) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $a = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
તકતી માટે,$I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $a = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
પ્રવેગ માત્ર $\frac{I}{MR^2}$ (આકાર અવયવ) પર આધાર રાખતો હોવાથી,સમાન આકાર અવયવ ધરાવતા પદાર્થોનો પ્રવેગ સમાન હશે અને તેઓ એકસાથે તળિયે પહોંચશે.
નક્કર નળાકાર અને તકતી બંને માટે $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના આકાર અવયવો સમાન છે.
તેથી,નક્કર નળાકાર અને તકતી એકસાથે તળિયે પહોંચશે.

(C) ગબડતા દડાની કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર ગોળા (દડા) માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે. $v = r\omega$ હોવાથી,$\omega = \frac{v}{r}$ મળે.
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિઊર્જા તળિયેની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{7}{10}mv^2$
અહીં $h = l \sin \theta$ આપેલ છે,જ્યાં $l = 2 \ m$ અને $\theta = 35^{\circ}$ છે:
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh} = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot g \cdot l \sin 35^{\circ}}$
$g = 9.8 \ m/s^2$ લેતા:
$v = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot 9.8 \cdot 2 \cdot 0.57} = \sqrt{14 \cdot 2 \cdot 0.57} = \sqrt{15.96} \approx 4 \ m/s$.

(C) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,તળિયે તેનો વેગ $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k^2/r^2}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
તળિયે સૌથી પહેલા પહોંચવા માટે,પદાર્થનો વેગ સૌથી વધુ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર $k^2/r^2$ ની કિંમત સૌથી ઓછી હોવી જોઈએ.
ગોળા માટે: $I = \frac{2}{5}mr^2 \Rightarrow k^2/r^2 = 0.4$
તકતી માટે: $I = \frac{1}{2}mr^2 \Rightarrow k^2/r^2 = 0.5$
કવચ માટે: $I = \frac{2}{3}mr^2 \Rightarrow k^2/r^2 = 0.67$
રીંગ માટે: $I = mr^2 \Rightarrow k^2/r^2 = 1.0$
ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા: $0.4 < 0.5 < 0.67 < 1.0$.
વેગ એ $\sqrt{1 + k^2/r^2}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જેનો $k^2/r^2$ સૌથી ઓછો હોય તે પદાર્થ સૌથી પહેલા તળિયે પહોંચશે.
તેથી,તળિયે પહોંચવાનો ક્રમ: ગોળો,તકતી,કવચ,રીંગ છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વગર ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે,યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mr^2$ અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(\frac{v}{r})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$
$gh = \frac{3}{4}v^2$
$v = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$
અહીં $h = 2.0\ m$ અને $g = 9.8\ m/s^2$ લેતા:
$v = \sqrt{\frac{4}{3} \times 9.8 \times 2.0} = \sqrt{\frac{78.4}{3}} = \sqrt{26.133} \approx 5.11\ m/s$.
જો $g = 10\ m/s^2$ લેવામાં આવે તો:
$v = \sqrt{\frac{4}{3} \times 10 \times 2.0} = \sqrt{\frac{80}{3}} = \sqrt{26.66} \approx 5.16\ m/s$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $5.29\ m/s$ છે.

(C) સરક્યા વિના ગબડતા નળાકાર માટે,કુલ ગતિઊર્જા $(K)$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}}$
$K = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે અને ગબડવાની શરત $v = R\omega$ (અથવા $\omega = v/R$) છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v}{R})^2$
$K = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2$
$K = \frac{3}{4}Mv^2$
આમ,ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $\frac{3}{4}Mv^2$ છે.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$.
એક સમાન તકતી માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ છે.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{1}{2} mR^2}{mR^2}}$
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}}$
$a = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}}$
$a = \frac{2}{3} g \sin \theta$.

(B) ઘર્ષણ રહિત ઢળતી સપાટી પર સરકતા નક્કર નળાકાર માટે પ્રવેગ $a_{slide} = g \sin \theta$ છે.
ઢળતી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે પ્રવેગ $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
આ કિંમત ગબડતા નળાકારના પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a_{roll} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1/2 MR^2}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 0.5} = \frac{g \sin \theta}{1.5} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
ગબડતા અને સરકતા નળાકારના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_{roll}}{a_{slide}} = \frac{\frac{2}{3} g \sin \theta}{g \sin \theta} = \frac{2}{3}$ થાય.
આમ,પ્રવેગનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(B) ઢળતા પાટિયા પર $\theta$ ખૂણે ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$K$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્ર પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$1$. પ્રવેગ એ ઢાળના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે.
$3$. પ્રવેગ એ પદાર્થની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ અને ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે.
$4$. પ્રવેગ એ ઢળતા પાટિયાની લંબાઈ પર આધાર રાખતો નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ પદાર્થની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ ઢળતા સમતલ માટે,$a \propto \frac{1}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$.
જે પદાર્થ માટે $\frac{k^2}{R^2}$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ હશે,તેનો પ્રવેગ સૌથી ઓછો હશે અને તેથી તે તળિયે પહોંચવામાં સૌથી વધુ સમય લેશે.
વિવિધ પદાર્થો માટે $\frac{k^2}{R^2}$ ના મૂલ્યો:
$1$. રીંગ: $k^2 = R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = 1$
$2$. તકતી: $k^2 = \frac{R^2}{2} \implies \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
$3$. નક્કર ગોળો: $k^2 = \frac{2}{5}R^2 \implies \frac{k^2}{R^2} = 0.4$
$4$. નક્કર નળાકાર: $k^2 = \frac{R^2}{2} \implies \frac{k^2}{R^2} = 0.5$
રીંગ માટે $\frac{k^2}{R^2}$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ $(1)$ હોવાથી,તેનો પ્રવેગ ન્યૂનતમ છે અને તે સૌથી છેલ્લે તળિયે પહોંચશે.

(C) સ્થાનાંતરીય ગતિ ઉર્જા $K_{T} = \frac{1}{2} m v^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ રીંગનું દળ છે અને $v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{R} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m R^{2}$ અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતોને ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K_{R} = \frac{1}{2} (m R^{2}) (\frac{v}{R})^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$K_{T} = \frac{1}{2} m v^{2}$ અને $K_{R} = \frac{1}{2} m v^{2}$.
તેથી,રેખીય (સ્થાનાંતરીય) અને ચાકગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{T}}{K_{R}} = \frac{1}{1}$ એટલે કે $1:1$ થશે.

(D) નક્કર નળાકાર માટે,તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,જ્યાં $M$ દળ છે અને $R$ ત્રિજ્યા છે.
નળાકાર સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,રેખીય વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = R\omega$ છે.
ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(K.E.)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K.E. = K.E._{trans} + K.E._{rot} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
$v = R\omega$ મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2}M(R\omega)^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}MR^2\omega^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
કારણ કે $I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $MR^2 = 2I$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2}(2I)\omega^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = I\omega^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{3}{2}I\omega^2$.

(C) જ્યારે દડો સરક્યા વિના ગબડે છે ત્યારે કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
$h = 8R$ ઊંચાઈએ પ્રારંભિક ઉર્જા માત્ર સ્થિતિ ઉર્જા છે: $E_i = mgh = mg(8R) = 8mgR$.
બિંદુ $P$ પર,દડાની જમીનથી ઊંચાઈ $R$ છે. $P$ પર કુલ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરીય + ચાકગતિ) નો સરવાળો છે.
$E_P = mgR + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર દડા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mr^2$ છે. તે સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,$\omega = v/r$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$E_P = mgR + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = mgR + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = mgR + \frac{7}{10}mv^2$.
$E_i = E_P$ ને સરખાવતા: $8mgR = mgR + \frac{7}{10}mv^2$.
$7mgR = \frac{7}{10}mv^2$.
$v^2 = 10gR$.
$v = \sqrt{10gR}$.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરકવા (sliding) માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $L = \frac{1}{2} a_1 t_1^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ મળે છે.
તે જ ઢળતા સમતલ પર ગબડવા (rolling) માટે,રીંગનો પ્રવેગ (જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$) $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $L = \frac{1}{2} a_2 t_2^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{a_2}} = \sqrt{\frac{2L}{\frac{g \sin \theta}{2}}} = \sqrt{\frac{4L}{g \sin \theta}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}} = \sqrt{2} t_1$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે જે $h$ ઊંચાઈ પરથી ગબડે છે:
$Mgh = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
તકતી સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$\omega = v/R$ અને $I = \frac{1}{2} M R^2$.
$Mgh = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) (v/R)^2 = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{4} M v^2 = \frac{3}{4} M v^2$
$v = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$
બંને તકતીઓ સમાન ઊંચાઈ $h$ થી શરૂ થાય છે અને સમાન હોવાથી,ઢળતા સમતલની લંબાઈને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તળિયે તેમના વેગ સમાન હશે.
તેથી,$v_1 = v_2$.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર નળાકાર માટે,તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v}{R})^2$
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2$
$Mgh = \frac{3}{4}Mv^2$
$v^2 = \frac{4}{3}gh$
$v = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$.

(A) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ $(a)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$
જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે. $I = MK^2$ હોવાથી,આપણને $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7}g \sin \theta$.

(B) ઢળતા સમતલ પરથી નીચે ગબડતા પદાર્થ માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h(1 + \frac{k^2}{R^2})}{g \sin^2 \theta}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$,$g$ અને $\theta$ અચળ હોવાથી,$t \propto \sqrt{1 + \frac{k^2}{R^2}}$ થાય.
નક્કર ગોળા માટે,$\frac{k^2}{R^2} = 0.4$ છે.
તકતી માટે,$\frac{k^2}{R^2} = 0.5$ છે.
રીંગ માટે,$\frac{k^2}{R^2} = 1$ છે.
$\frac{k^2}{R^2}$ ના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$0.4 < 0.5 < 1$ મળે છે.
તેથી,લાગતા સમયનો ક્રમ $t_{sphere} < t_{disc} < t_{ring}$ થશે.
આમ,ગોળો સૌથી પહેલા સપાટી પર પહોંચશે,ત્યારબાદ તકતી અને છેલ્લે રીંગ પહોંચશે.

(C) ઢાળવાળા સમતલ પર લપસ્યા વિના ગબડતી વસ્તુનો રેખીય પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}}$
એક પાતળી સમાન વર્તુળાકાર રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે. કારણ કે $I = Mk^2$,તેથી $k^2 = R^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k^2}{R^2} = 1$.
આપેલ ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^o$ હોવાથી,આપણે સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીએ છીએ:
$a = \frac{g \sin 30^o}{1 + 1}$
કારણ કે $\sin 30^o = 1/2$,તેથી આપણને મળે છે:
$a = \frac{g(1/2)}{2} = \frac{g}{4}$

(D) ઢળતા સમતલ પર $h$ ઊંચાઈ અને $\theta$ ખૂણે ગબડતા પદાર્થ માટે લાગતો સમય $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g} \left( 1 + \frac{k^2}{R^2} \right)}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$,$g$ અને $\theta$ બંને માટે સમાન હોવાથી,સમયનો ગુણોત્તર $t_s / t_d = \sqrt{\frac{1 + k_s^2/R^2}{1 + k_d^2/R^2}}$ થશે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,તેથી $k_s^2/R^2 = 2/5$.
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $k_d^2/R^2 = 1/2$.
આ કિંમતો મૂકતા: $t_s / t_d = \sqrt{\frac{1 + 2/5}{1 + 1/2}} = \sqrt{\frac{7/5}{3/2}} = \sqrt{\frac{7}{5} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{14} : \sqrt{15}$ છે.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$.
અહીં,$h = l \sin \theta$,જ્યાં $l = 1.4\,m$ અને $\sin \theta = \frac{1}{10}$ છે.
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $k$ માટે $k^2 = \frac{2}{5}R^2$ થાય,તેથી $\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $h = 1.4 \times \frac{1}{10} = 0.14\,m$.
$v = \sqrt{\frac{2 \times 9.8 \times 0.14}{1 + \frac{2}{5}}} = \sqrt{\frac{2.744}{1.4}} = \sqrt{1.96} = 1.4\,m/s$.

(B) જ્યારે નક્કર ગોળો સરક્યા વગર ઢળતી સપાટી પર ગબડે છે,ત્યારે યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા તળિયે સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નક્કર ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mr^2$ અને $\omega = \frac{v_1}{r}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$mgh = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v_1^2}{r^2}) = \frac{7}{10}mv_1^2$.
તેથી,$v_1 = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$.
જ્યારે ગોળો ઘર્ષણ વગર સરકે છે,ત્યારે કોઈ ચાકગતિ થતી નથી,તેથી બધી સ્થિતિ ઉર્જા સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv_2^2$.
તેથી,$v_2 = \sqrt{2gh}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{10/7}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{7}}$.
તેથી,$v_1 = \sqrt{\frac{5}{7}} v_2$.

(A) સરક્યા વિના ગબડતા ઘન ગોળા માટે,કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યાં $I = \frac{2}{5}mr^2$ અને સરક્યા વિના ગબડવા માટે $\omega = \frac{v}{r}$ હોવાથી:
$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ $h$ ઊંચાઈ પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોવી જોઈએ (ધારો કે તે ટોચ પર શૂન્ય વેગ સાથે પહોંચે છે):
$\frac{7}{10}mv^2 = mgh$
$v^2 = \frac{10}{7}gh$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

(A) ઢાળ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,ઢાળની દિશામાં લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $Mg \sin \theta$ અને સ્થિત ઘર્ષણબળ $f$ છે. ગતિનું સમીકરણ $Mg \sin \theta - f = Ma$ છે,જ્યાં $a$ એ રેખીય પ્રવેગ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ચાકગતિ માટે,ટોર્કનું સમીકરણ $\tau = I \alpha = fR$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે. સરક્યા વિના ગબડતું હોવાથી,$a = R \alpha$,તેથી $f = I \alpha / R = I(a/R)/R = Ia/R^2$.
બળના સમીકરણમાં $f$ ની કિંમત મૂકતા: $Mg \sin \theta - Ia/R^2 = Ma$.
$a$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $Mg \sin \theta = Ma + Ia/R^2 = Ma(1 + I/MR^2)$.
આમ,$a = \frac{g \sin \theta}{1 + I/MR^2}$.

(D) જ્યારે નળાકાર ઢોળાવ પર ઉપર તરફ ગબડે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તે નીચે સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે,પરંતુ પરિભ્રમણને કારણે તે ઉપર જાય છે. ઘર્ષણ બળ તે દિશામાં લાગે છે જે સરકવાની વૃત્તિનો વિરોધ કરે છે,જે ઢોળાવ પર ઉપરની તરફ હોય છે જેથી ગબડવા માટે જરૂરી ટોર્ક મળી રહે.
જ્યારે નળાકાર ઢોળાવ પર નીચે તરફ ગબડે છે,ત્યારે તે નીચે સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે. આ સરકવાની વૃત્તિનો વિરોધ કરવા અને ગબડવા માટે જરૂરી ટોર્ક પૂરો પાડવા માટે ઘર્ષણ બળ ઢોળાવ પર ઉપરની તરફ લાગે છે.
તેથી,બંને કિસ્સાઓમાં (ચઢતી વખતે અને ઉતરતી વખતે),ઘર્ષણ બળ ઢોળાવવાળા સમતલ પર ઉપરની તરફ લાગે છે.

(B) ઢોળાવવાળા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુના પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા,$M$ એ દળ અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
ગોળીય કવચ માટે,$I_1 = \frac{2}{3} MR^2$. તેથી,$a_1 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{g \sin \theta}{5/3} = \frac{3}{5} g \sin \theta$.
ધન નળાકાર માટે,$I_2 = \frac{1}{2} MR^2$. તેથી,$a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{3/2} = \frac{2}{3} g \sin \theta$.
તેમના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3/5}{2/3} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{10}$ થાય.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઘર્ષણરહિત ઢોળાવવાળા સમતલ પરથી સરકે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$,જે $v_{slide} = \sqrt{2gh}$ આપે છે.
જ્યારે ઘન ગોળો સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઊર્જા બંનેમાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
ઘન ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}mr^2$ અને $\omega = \frac{v}{r}$. આ કિંમતો મૂકતા,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.
વેગ માટે ઉકેલતા,$v_{roll} = \sqrt{\frac{10}{7}gh} \approx \sqrt{1.43gh}$.
અહીં $\sqrt{2gh} > \sqrt{1.43gh}$ હોવાથી,સરકતા બ્લોકનો વેગ ગબડતા ગોળા કરતા વધારે હોય છે,તેથી લંબચોરસ બ્લોક તળિયે પહેલાં પહોંચશે.

(B) $L$ લંબાઈ અને $\theta$ ખૂણાવાળા ઢળતા સમતલ પર સરકવા માટેનો પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta$ છે.
સરકવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{a_1}} = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ છે.
તે જ ઢળતા સમતલ પર રોલિંગ કરવા માટેનો પ્રવેગ $a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$ છે.
રિંગ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ હોવાથી,$a_2 = \frac{g \sin \theta}{1 + 1} = \frac{g \sin \theta}{2}$ મળે.
રોલિંગ માટે લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{a_2}} = \sqrt{\frac{2L \times 2}{g \sin \theta}} = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}}{\sqrt{2} \times \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$t_1 : t_2 = 1 : \sqrt{2}$ થાય.

(C) ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{MR^2}}$,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ ઢળતા સમતલ માટે,$g$ અને $\theta$ અચળ છે. તેથી,પ્રવેગ $a$ એ $(1 + \frac{I}{MR^2})$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
જે પદાર્થ માટે $\frac{I}{MR^2}$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું હશે,તેનો પ્રવેગ સૌથી વધુ હશે અને તે સૌથી પહેલા તળિયે પહોંચશે.
- રીંગ માટે: $I = MR^2$,તેથી $\frac{I}{MR^2} = 1$.
- તકતી માટે: $I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $\frac{I}{MR^2} = 0.5$.
- ઘન ગોળા માટે: $I = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $\frac{I}{MR^2} = 0.4$.
- નળાકાર માટે: $I = \frac{1}{2}MR^2$,તેથી $\frac{I}{MR^2} = 0.5$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,ઘન ગોળા માટે આ ગુણોત્તર સૌથી ઓછો $(0.4)$ છે.
આમ,ઘન ગોળાનો પ્રવેગ સૌથી વધુ હોવાથી તે સૌથી પહેલા તળિયે પહોંચશે.

(D) ઢળતા સમતલ પર શુદ્ધ ગબડતા ઘન ગોળા માટે:
$(1)$ ઘર્ષણ બળ $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + \frac{MR^2}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઘન ગોળા માટે,$I = \frac{2}{5}MR^2$,તેથી $f = \frac{mg \sin \theta}{1 + 2.5} = \frac{2}{7}mg \sin \theta$. આમ,વિધાન $(1)$ ખોટું છે.
$(2)$ શુદ્ધ ગબડતી ગતિમાં,સંપર્ક બિંદુ ક્ષણિક સ્થિર હોય છે,તેથી ઘર્ષણ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી. તેથી,તે વિનાશી બળ નથી. વિધાન $(2)$ ખોટું છે.
$(3)$ ઘર્ષણ ઢાળની ઉપરની દિશામાં લાગે છે,જે ટોર્ક પૂરો પાડે છે જે કોણીય વેગ $\omega$ વધારે છે અને એક બળ જે સ્થાનાંતરિત ગતિનો વિરોધ કરે છે,આમ રેખીય પ્રવેગ ઘટાડે છે. વિધાન $(3)$ સાચું છે.
$(4)$ કારણ કે $f = \frac{2}{7}mg \sin \theta$,જો $\theta$ ઘટે,તો $\sin \theta$ ઘટે છે,અને તેથી ઘર્ષણ બળ $f$ ઘટે છે. વિધાન $(4)$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $(3)$ અને $(4)$ સાચા છે.

(A) ધારો કે $R = 3a$ એ સ્થિર રિંગની ત્રિજ્યા છે અને $r = a$ એ નાની ગબડતી રિંગની ત્રિજ્યા છે.
જ્યારે નાની રિંગ સમક્ષિતિજ સ્થાન $A$ પર હોય,ત્યારે તેના કેન્દ્રની સૌથી નીચેના બિંદુથી ઊંચાઈ $h = R - r = 3a - a = 2a$ થાય.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નાની રિંગ દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ સૌથી નીચેના બિંદુએ મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા,$\Delta U = mgh = mg(2a) = 2mga$.
સૌથી નીચેના બિંદુએ,ગતિ ઉર્જા $K$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
સરક્યા વિના ગબડતી રિંગ માટે,$I = mr^2$ અને $\omega = v/r$.
આ કિંમતો મૂકતા,$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$.
ઉર્જાને સરખાવતા: $2mga = mv^2$.
તેથી,$v^2 = 2ga$,જે આપણને $v = \sqrt{2ga}$ આપે છે.

(B) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિ ઉર્જા $(KE_{total})$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $(KE_{trans})$ અને ચાકગતિ ઉર્જા $(KE_{rot})$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$KE_{trans} = \frac{1}{2} mv^2$
$KE_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mr^2$ અને શુદ્ધ ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{r}$ થાય.
ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$KE_{rot} = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v^2}{r^2}) = \frac{1}{5} mv^2$.
હવે,કુલ ગતિ ઉર્જા:
$KE_{total} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{5+2}{10} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$.
ચાકગતિ ઉર્જાનો અંશ $\frac{KE_{rot}}{KE_{total}} = \frac{1/5 mv^2}{7/10 mv^2} = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{2}{7}$ થાય.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનો અંશ $\frac{KE_{trans}}{KE_{total}} = \frac{1/2 mv^2}{7/10 mv^2} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{7} = \frac{5}{7}$ થાય.
આમ,ચાકગતિ ઉર્જા કુલ ઉર્જાના $2/7$ ભાગ છે અને સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $5/7$ ભાગ છે.

(A) ધારો કે ગોળાનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
ઘન ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,રેખીય વેગ અને કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $v = R\omega$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
કુલ ગતિ ઊર્જા $(K_{total})$ એ ચાકગતિ ઊર્જા $(K_{rot})$ અને સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $(K_{trans})$ નો સરવાળો છે:
$K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5}MR^2) \times (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{5}Mv^2$.
$K_{trans} = \frac{1}{2}Mv^2$.
$K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = \frac{2+5}{10}Mv^2 = \frac{7}{10}Mv^2$.
ચાકગતિ ઊર્જાની ટકાવારી નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ટકાવારી} = \frac{K_{rot}}{K_{total}} \times 100 = \frac{\frac{1}{5}Mv^2}{\frac{7}{10}Mv^2} \times 100 = \frac{1}{5} \times \frac{10}{7} \times 100 = \frac{2}{7} \times 100 \approx 28.57\%$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $28\%$ મળે છે.

(D) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થના રેખીય પ્રવેગનું સૂત્ર $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ છે.
નક્કર ગોળા માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{2}{5}R^2$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5}$ મળે.
અહીં ઢાળનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin 30^{\circ}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g(1/2)}{7/5} = \frac{g}{2} \times \frac{5}{7} = \frac{5g}{14}$.
આમ,ગોળાનો રેખીય પ્રવેગ $\frac{5g}{14}$ થશે.

(A) $h$ ઊંચાઈના ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુનો વેગ $v$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{K^2}{R^2}}}$
અહીં,$h = L \sin\theta$ અને તકતી માટે,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ માટે $K^2 = \frac{R^2}{2}$ થાય,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2g(L \sin\theta)}{1 + \frac{1}{2}}}$
$v = \sqrt{\frac{2gL \sin\theta}{\frac{3}{2}}}$
$v = \sqrt{\frac{4gL \sin\theta}{3}}$

(A) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતી ઢાળવાળી સપાટી પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}mR^2$ છે અને ગબડવાની શરત $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2$
$mgh = \frac{7}{10}mv^2$
$v^2 = \frac{10}{7}gh$
$v = \sqrt{\frac{10}{7}gh}$

(C) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,તળિયે પહોંચતી વખતે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v$ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી મળે છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
નળાકાર માટે,તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2$.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{4}{3}gh$,તેથી $v = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$.

(A) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિ ઊર્જા $(E_{total})$ એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઊર્જા $(E_t)$ અને ચાકગતિ ઊર્જા $(E_r)$ નો સરવાળો છે.
$E_{total} = E_t + E_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
જ્યાં $I = mk^2$ અને $v = r\omega$ હોવાથી,$E_r = \frac{1}{2}mk^2(\frac{v^2}{r^2}) = \frac{1}{2}mv^2(\frac{k^2}{r^2})$.
તકતી માટે,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k^2 = \frac{1}{2}r^2$ છે,તેથી $\frac{k^2}{r^2} = \frac{1}{2}$.
$E_{total} = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{k^2}{r^2}) = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv^2$.
ચાકગતિ ઊર્જા $E_r = \frac{1}{2}mv^2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}mv^2$ છે.
કુલ ઊર્જાનો ચાકગતિ ઊર્જા તરીકેનો ભાગ $\frac{E_r}{E_{total}} = \frac{\frac{1}{4}mv^2}{\frac{3}{4}mv^2} = \frac{1}{3}$ થાય.

(B) ઢાળ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M K^2$ હોવાથી,આપણને $K^2 = \frac{I}{M}$ મળે છે.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I/M}{R^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{M R^2}}$.

(B) ગબડતી તકતીની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$K_{total} = K_{trans} + K_{rot} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
$K_{total} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2 = \frac{3}{4}Mv^2$
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર કુલ ગતિઊર્જાનું ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
$K_{total} = Mgh$
$\frac{3}{4}Mv^2 = Mgh$
$h = \frac{3v^2}{4g}$