Energy conservation, Kinetic Energy,  Work and Power of Rotational Motion Questions in Gujarati

(B) ચાકગતિ ઉર્જા $(K_r)$ નું સૂત્ર $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
અહીં $I = 2.4 \ kg \cdot m^2$ અને $K_r = 750 \ J$ આપેલ છે,તેથી:
$750 = \frac{1}{2} \times 2.4 \times \omega^2$
$750 = 1.2 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{750}{1.2} = 625$
$\omega = \sqrt{625} = 25 \ rad/s$.
ધારો કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$25 = 0 + 5 \times t$
$t = \frac{25}{5} = 5 \ s$.

(D) ભ્રમણ કરતી ડિસ્કને અટકાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
આપેલ છે: દળ $M = 1\ kg$,ત્રિજ્યા $R = 40\ cm = 0.4\ m$,આવૃત્તિ $f = 10\ rev/s$.
ડિસ્કની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.4)^2 = 0.08\ kg\cdot m^2$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 10 = 20\pi\ rad/s$ છે.
પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \times 0.08 \times (20\pi)^2$ છે.
$K_i = 0.04 \times 400\pi^2 = 16\pi^2$.
$\pi^2 \approx 9.87$ લેતા,$K_i = 16 \times 9.87 = 157.92\ J \approx 158\ J$.
અંતિમ ચાકગતિ ઉર્જા $0$ હોવાથી,ડિસ્કને અટકાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = K_f - K_i = 0 - 158 = -158\ J$ થાય.
કાર્યનું મૂલ્ય $158\ J$ છે.

(D) કોઈ પદાર્થ પર લાગતા બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ બળ અને બળની દિશામાં થયેલા સ્થાનાંતરનો ગુણાકાર છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની ધાર પર લાગતા સ્પર્શક બળ $F$ માટે,$\theta$ (રેડિયનમાં) કોણીય વિચલન માટે ચાપ પરનું સ્થાનાંતર $s = R\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે બળ $F$ હંમેશા તકતીને સ્પર્શક છે,તે ચાપ પરના દરેક બિંદુએ સ્થાનાંતરને સમાંતર રહે છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$W = F \times s$
$W = F \times (R\theta)$
$W = FR\theta$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 10 \ kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $N_1 = 10 \ rpm$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2 \pi N_1}{60} = \frac{2 \pi \times 10}{60} = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ છે.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 5 \omega_1 = 5 \times \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3} \ rad/s$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કરવામાં આવેલ કાર્ય એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} I (\omega_2^2 - \omega_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2} \times 10 \times \left[ (\frac{5 \pi}{3})^2 - (\frac{\pi}{3})^2 \right]$.
$W = 5 \times \left( \frac{25 \pi^2}{9} - \frac{\pi^2}{9} \right) = 5 \times \frac{24 \pi^2}{9} = 5 \times \frac{8 \pi^2}{3} = \frac{40 \pi^2}{3}$.
$\pi^2 \approx 9.8696$ લેતા,$W = \frac{40 \times 9.8696}{3} \approx 131.59 \ J$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $131.4 \ J$ છે.

(C) ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} I \omega_i^2 = 200 \ J$ છે.
અહીં $I = 4 \ kg \cdot m^2$ આપેલ છે,તેથી $\frac{1}{2} \times 4 \times \omega_i^2 = 200$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $2 \omega_i^2 = 200$,એટલે કે $\omega_i^2 = 100$ અને $\omega_i = 10 \ rad/s$ મળે.
વિરોધક ટોર્ક $T$ દ્વારા ફ્લાયવ્હીલને સ્થિર કરવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય તેની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે: $W = T \theta = K.E.$
અહીં $T = 5 \ N \cdot m$ અને $K.E. = 200 \ J$ છે.
તેથી,$5 \times \theta = 200$,જે પરથી $\theta = 40 \ radians$ મળે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2 \pi} = \frac{40}{2 \pi} = \frac{20}{\pi}$ થાય.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$n \approx 6.366 \approx 6.4$ પરિભ્રમણ મળે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 2\pi n$ છે.
પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} I \omega_i^2 = \frac{1}{2} I (2\pi n)^2 = 2 I \pi^2 n^2$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી આવૃત્તિ $n' = 2n$ થાય છે.
નવો કોણીય વેગ $\omega_f = 2\pi (2n) = 4\pi n$ થાય છે.
અંતિમ ચાકગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} I \omega_f^2 = \frac{1}{2} I (4\pi n)^2 = 8 I \pi^2 n^2$ થાય છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,કરેલું કાર્ય $W$ એ ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = K_f - K_i = 8 I \pi^2 n^2 - 2 I \pi^2 n^2 = 6 I \pi^2 n^2$.

(C) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_1 = 20\ rad/s$.
$t = 4\ s$ સમયે અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_f = 0\ rad/s$.
કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_1 - \omega_f}{t} = \frac{20 - 0}{4} = 5\ rad/s^2$.
$t' = 2\ s$ પછીની કોણીય ઝડપ $\omega_2 = \omega_1 - \alpha t' = 20 - (5 \times 2) = 10\ rad/s$.
ટોર્ક દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} I (\omega_1^2 - \omega_2^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times 0.20 \times (20^2 - 10^2)$.
$W = 0.1 \times (400 - 100) = 0.1 \times 300 = 30\ J$.

(A) રોટેશનલ પાવર $(P)$ એ ટોર્ક $(\vec{\tau})$ અને કોણીય વેગ $(\vec{\omega})$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) છે.
$P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega}$
અહીં $\vec{\tau} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{\omega} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ આપેલ છે.
$P = (1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})$
$P = (1 \times 2) + (2 \times 3) + (3 \times 4)$
$P = 2 + 6 + 12$
$P = 20 \ W$

(B) કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ દરમિયાન ટોર્ક $\tau$ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \tau \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R$ ત્રિજ્યાની રિંગની રીમ પર $F$ બળ સ્પર્શીય રીતે લગાડવામાં આવે છે.
આ બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = F \times R$ છે.
કાર્યના સૂત્રમાં ટોર્કની કિંમત મૂકતા,આપણને $W = (F \times R) \times \theta$ મળે છે.
તેથી,બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = FR\theta$ છે.

(D) $l$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતા સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} ml^2$ છે.
સળિયાની સૌથી નીચેની સ્થિતિમાં તેની ચાકગતિ-ઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} ml^2) \omega^2 = \frac{1}{6} ml^2 \omega^2$ થાય.
જેમ સળિયો દોલન કરે છે,તેમ આ ગતિ-ઊર્જા દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પરિભ્રમણ અક્ષથી $l/2$ અંતરે હોય છે.
ધારો કે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ પ્રારંભિક ચાકગતિ-ઊર્જા જેટલો હોય છે:
$mgh = \frac{1}{6} ml^2 \omega^2$.
$h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{l^2 \omega^2}{6g}$ મળે છે.

(C) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $\ell$ અને તેનું દળ $m$ છે. સળિયો જમીન પરના સ્થિર છેડાની આસપાસ ફરે છે.
શરૂઆતમાં,સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ જમીનથી $h = \frac{\ell}{2}$ ઊંચાઈ પર છે.
જ્યારે સળિયો જમીનને અથડાય છે,ત્યારે સળિયા દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિઊર્જાનું રૂપાંતર ચાકગતિ ઉર્જામાં થાય છે.
સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો = $mg \Delta h = mg \frac{\ell}{2}$.
ચાકગતિ ઉર્જા = $\frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I$ એ છેડાને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$I = \frac{m\ell^2}{3}$.
બંનેને સરખાવતા: $mg \frac{\ell}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{m\ell^2}{3} \right) \omega^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$g\ell = \frac{\ell^2}{3} \omega^2$,તેથી $\omega^2 = \frac{3g}{\ell}$,જે આપે છે $\omega = \sqrt{\frac{3g}{\ell}}$.
ઉપરના છેડાનો વેગ $v = \omega \ell$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $v = \sqrt{\frac{3g}{\ell}} \times \ell = \sqrt{3g\ell}$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
ધારો કે દરેક કણ $A$,$B$ અને $C$ નું દળ $m$ છે. પીવટ (આધાર) થી $A$,$B$ અને $C$ ના અંતર અનુક્રમે $\frac{\ell}{3}$,$\frac{2\ell}{3}$ અને $\ell$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $mg(\frac{\ell}{3}) + mg(\frac{2\ell}{3}) + mg(\ell) = mg\ell(1/3 + 2/3 + 1) = 2mg\ell$.
ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I = m(\frac{\ell}{3})^2 + m(\frac{2\ell}{3})^2 + m(\ell)^2 = m\ell^2(\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + 1) = m\ell^2(\frac{14}{9})$.
બંનેને સરખાવતા: $2mg\ell = \frac{1}{2} (m\ell^2 \frac{14}{9}) \omega^2$.
$2g = \frac{7}{9} \ell \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{18g}{7\ell} \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{18g}{7\ell}}$.
દળ $B$ નો વેગ $v_B = \omega r_B = \omega (\frac{2\ell}{3})$ છે.
$v_B = \frac{2\ell}{3} \sqrt{\frac{18g}{7\ell}} = \sqrt{\frac{4\ell^2}{9} \cdot \frac{18g}{7\ell}} = \sqrt{\frac{8g\ell}{7}}$.

(A) ધારો કે સળિયાનું દળ $m$ છે અને તેની લંબાઈ $l = 2L$ છે.
સળિયો જમીન સાથે સંપર્કમાં રહેલા છેડાની આસપાસ ફરે છે. આ છેડાને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m l^2}{3} = \frac{m(2L)^2}{3} = \frac{4mL^2}{3}$ થાય.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = \frac{l}{2} \sin \alpha = L \sin \alpha$ છે.
સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો = $mgh = mg(L \sin \alpha)$.
ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{4mL^2}{3} \right) \omega^2 = \frac{2mL^2}{3} \omega^2$.
બંનેને સરખાવતા: $mgL \sin \alpha = \frac{2mL^2}{3} \omega^2$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{3g \sin \alpha}{2L} \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{2L}}$.

(A) કોઈ પદાર્થને સ્થિર કરવા માટે જરૂરી કાર્ય તેની ચાકગતિ ઉર્જા જેટલું હોય છે: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} I \omega^2$.
બધા પદાર્થો માટે કોણીય ઝડપ $\omega$ સમાન હોવાથી,કાર્ય એ જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) ના સમપ્રમાણમાં છે: $W \propto I$.
તેમની સંમિતિ અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$1$. ઘન ગોળો $(A)$: $I_A = \frac{2}{5} MR^2 = 0.4 MR^2$
$2$. પાતળી વર્તુળાકાર તકતી $(B)$: $I_B = \frac{1}{2} MR^2 = 0.5 MR^2$
$3$. વર્તુળાકાર રીંગ $(C)$: $I_C = MR^2 = 1.0 MR^2$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $I_C > I_B > I_A$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી કાર્ય માટેનો સંબંધ $W_C > W_B > W_A$ થશે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડે છે,ત્યારે તે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જા બંને ધરાવે છે.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_t = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દ્રવ્યમાન છે અને $v$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_r = \frac{1}{2}I\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ આ બંને ઊર્જાઓનો સરવાળો છે:
$K = K_t + K_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આ પ્રક્રિયામાં,સળિયાની સ્થિતિઊર્જાનું ભ્રમણીય ગતિઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે.
સળિયાની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U = mg \left( \frac{l}{2} \right)$,કારણ કે સળિયાનું ગુરુત્વકેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર હોય છે.
ભ્રમણીય ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$.
અહીં,$I$ એ સ્થિર છેડા $A$ ને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
ધારો કે જ્યારે સળિયો જમીન સાથે અથડાય ત્યારે તેનો કોણીય વેગ $\omega$ છે.
જ્યારે છેડો $B$ જમીન સાથે અથડાય ત્યારે તેનો વેગ $v_B = \omega l$ થાય,તેથી $\omega = \frac{v_B}{l}$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$mg \left( \frac{l}{2} \right) = \frac{1}{2} I \omega^2$
$mg \left( \frac{l}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{ml^2}{3} \right) \left( \frac{v_B}{l} \right)^2$
$mg \frac{l}{2} = \frac{1}{6} m v_B^2$
$v_B^2 = 3gl$
$v_B = \sqrt{3gl} = \sqrt{3 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \ m/s$.
આમ,વેગ આશરે $5.4 \ m/s$ છે.

(A) થયેલું કાર્ય એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} I (\omega_f^2 - \omega_i^2)$.
અહીં $I = \frac{9.8}{\pi^2} \ kg \ m^2$,$n_i = 600 \ rpm = 10 \ rev/s$,અને $n_f = 300 \ rpm = 5 \ rev/s$ આપેલ છે.
$\omega = 2\pi n$ હોવાથી,$\omega_i = 20\pi \ rad/s$ અને $\omega_f = 10\pi \ rad/s$ મળે.
$W = \frac{1}{2} \times \frac{9.8}{\pi^2} \times ((10\pi)^2 - (20\pi)^2)$.
$W = \frac{1}{2} \times \frac{9.8}{\pi^2} \times (100\pi^2 - 400\pi^2) = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (-300) = 4.9 \times (-300) = -1470 \ J$.
આમ,થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $1470 \ J$ છે (કારણ કે તંત્ર ઉર્જા ગુમાવે છે).

(B) ભ્રમણકક્ષાની ગતિ ઊર્જા $KE = \frac{L^2}{2I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
જ્યારે માણસ તેના હાથ વાળે છે, ત્યારે દ્રવ્યમાનનું વિતરણ એવી રીતે બદલાય છે કે જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ઘટે છે.
સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી, કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
જેમ $I$ ઘટે છે, તેમ ભ્રમણકક્ષાની ગતિ ઊર્જા $KE$ વધે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, માણસ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ ગતિ ઊર્જામાં થયેલા ફેરફાર $(\Delta KE = KE_f - KE_i)$ જેટલું હોય છે.
અંતિમ ગતિ ઊર્જા પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા કરતા વધારે હોવાથી, કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન છે.

(C) ધારો કે સળિયાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $c$ છે. $c$ ની સાપેક્ષ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{bar} = \frac{(8m)(6l)^2}{12} = 24ml^2$ છે.
અથડામણ પછી,દળ $m$ અને $2m$ અનુક્રમે કેન્દ્રથી $2l$ અને $l$ અંતરે સળિયા પર ચોંટી જાય છે.
$c$ ની સાપેક્ષ તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{bar} + m(2l)^2 + (2m)(l)^2 = 24ml^2 + 4ml^2 + 2ml^2 = 30ml^2$ છે.
અથડામણ પહેલાં $c$ ની સાપેક્ષ તંત્રનું કોણીય વેગમાન $L = (2m)(v)(l) + (m)(2v)(2l) = 2mvl + 4mvl = 6mvl$ છે.
કોઈપણ બાહ્ય ટોર્ક ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે: $L = I\omega$.
$6mvl = (30ml^2)\omega \Rightarrow \omega = \frac{6mvl}{30ml^2} = \frac{v}{5l}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ કુલ ઉર્જા એ ભ્રમણીય ગતિ ઉર્જા છે: $E = \frac{1}{2}I\omega^2$.
$E = \frac{1}{2}(30ml^2)\left(\frac{v}{5l}\right)^2 = 15ml^2 \times \frac{v^2}{25l^2} = \frac{15}{25}mv^2 = \frac{3mv^2}{5}$.

(A) નળાકારની પ્રારંભિક ચાકગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} I \omega_0^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} M R^2) \omega_0^2 = \frac{1}{4} M R^2 \omega_0^2$ છે.
જ્યારે નળાકાર $\theta = 2\pi$ ખૂણા જેટલો ફરે છે,ત્યારે નળાકાર પર વીંટળાયેલી દોરીની લંબાઈ $x = R \theta = R(2\pi) = 2\pi R$ થાય છે.
જ્યારે દોરી $x$ લંબાઈ જેટલી ખેંચાય છે ત્યારે તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} K x^2 = \frac{1}{2} K (2\pi R)^2 = \frac{1}{2} K (4\pi^2 R^2) = 2\pi^2 K R^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા એ બિંદુએ દોરીમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોવી જોઈએ જ્યાં નળાકાર ક્ષણિક રીતે અટકે છે ($\theta = 2\pi$ પર):
$\frac{1}{4} M R^2 \omega_0^2 = 2\pi^2 K R^2$.
$\omega_0$ માટે ઉકેલતા:
$\omega_0^2 = \frac{2 \pi^2 K R^2 \times 4}{M R^2} = \frac{8 \pi^2 K}{M}$.
તેથી,$\omega_0 = \sqrt{\frac{8 \pi^2 K}{M}}$.

(C) સળિયો તેના એક છેડાની આસપાસ દોલનો કરે છે. એક છેડામાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી નીચલા બિંદુએ રહેલી ચાકગતિ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} I \omega^2 = mgh$
$I$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} \left( \frac{ml^2}{3} \right) \omega^2 = mgh$
$\frac{1}{6} ml^2 \omega^2 = mgh$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{l^2 \omega^2}{6g}$

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 1.2 \, kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,ચાકગતિ ઉર્જા $K_r = 1500 \, J$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 25 \, rad/s^2$.
પગલું $1$: ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ કોણીય વેગ $\omega$ શોધો:
$K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$
$1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$
$1500 = 0.6 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$
$\omega = \sqrt{2500} = 50 \, rad/s$.
પગલું $2$: ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરીને જરૂરી સમય $t$ શોધો:
$50 = 0 + 25 \times t$
$t = \frac{50}{25} = 2 \, s$.

(D) ધારો કે સળિયાની લંબાઈ $l$ અને દળ $m$ છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ હોય,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ($N$ થી $l/2$ અંતરે) શિરોલંબ દિશામાં $h = (l/2) \sin \alpha$ જેટલું નીચે ઉતરે છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં,$I$ એ સ્થિર છેડા $N$ ની સાપેક્ષે સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
ઊર્જાના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{1}{2} (\frac{ml^2}{3}) \omega^2$
$mg(l/2) \sin \alpha = \frac{ml^2}{6} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g \sin \alpha}{l}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{l}}$
છેડા $M$ ની રેખીય ઝડપ $v = \omega l$ દ્વારા મળે છે:
$v = l \sqrt{\frac{3g \sin \alpha}{l}} = \sqrt{3gl \sin \alpha}$
આમ,ઝડપ $v$ એ $\sqrt{\sin \alpha}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) સળિયાનું દળ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલું હોય છે. જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં હોય,ત્યારે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સૌથી નીચલા બિંદુથી $h = \frac{l}{2}$ ઊંચાઈ પર હોય છે. જ્યારે તે શિરોલંબ સ્થિતિમાં પહોંચે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સૌથી નીચલા બિંદુ પર હોય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો $(PE)$ = ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો $(KE_{rot})$
$mg \left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં,$I$ એ એક છેડે રહેલા મિજાગરાને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા:
$mg \left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{ml^2}{3}\right) \omega^2$
$mg \frac{l}{2} = \frac{ml^2}{6} \omega^2$
$g = \frac{l}{3} \omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g}{l}$
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$

(D) સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળાની કુલ ગતિ ઊર્જા $(KE)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઊર્જાનો સરવાળો છે.
$KE_{total} = KE_{trans} + KE_{rot} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} MR^2$ અને સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$KE_{total} = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{5} Mv^2 = \frac{7}{10} Mv^2$
જ્યારે ગોળો સ્પ્રિંગને મહત્તમ અંતર $x_m$ સુધી દબાવે છે,ત્યારે સંપૂર્ણ ગતિ ઊર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઊર્જા $(U = \frac{1}{2} kx_m^2)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
બંનેને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} kx_m^2 = \frac{7}{10} Mv^2$
$x_m^2 = \frac{14}{10} \frac{Mv^2}{k} = \frac{7Mv^2}{5k}$
$x_m = v \sqrt{\frac{7M}{5k}}$

(B) જ્યારે સળિયો $\theta$ ખૂણે ફરે છે,ત્યારે ગુરુત્વકેન્દ્રનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h$ ભૂમિતિ દ્વારા મળે છે.
આકૃતિ પરથી,ધરી $B$ થી ગુરુત્વકેન્દ્રનું અંતર $L/2$ છે. પરિભ્રમણ પછી આ અંતરનો શિરોલંબ ઘટક $(L/2) \cos \theta$ છે.
ગુરુત્વકેન્દ્રનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h = L/2 - (L/2) \cos \theta = \frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો એ પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો $= Mgh = Mg \frac{L}{2}(1 - \cos \theta)$.
પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જા $= \frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I = \frac{ML^2}{3}$ એ છેડા $B$ ની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
બંનેને સરખાવતા: $Mg \frac{L}{2}(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} \left( \frac{ML^2}{3} \right) \omega^2$.
$Mg \frac{L}{2}(1 - \cos \theta) = \frac{ML^2}{6} \omega^2$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Mg \frac{L}{2} \cdot 2 \sin^2(\theta/2) = \frac{ML^2}{6} \omega^2$.
$MgL \sin^2(\theta/2) = \frac{ML^2}{6} \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{6g}{L} \sin^2(\theta/2)$.
$\omega = \sqrt{\frac{6g}{L}} \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)$.

(A) પાવર $P$ એ $P = \tau \cdot \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\tau = I \alpha$ અને $\alpha = \omega \frac{d\omega}{d\theta}$,તેથી $P = I \omega \frac{d\omega}{d\theta} \cdot \omega = I \omega^2 \frac{d\omega}{d\theta}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\omega^2 d\omega = \frac{P}{I} d\theta$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \omega^2 d\omega = \int \frac{P}{I} d\theta$,જે $\frac{\omega^3}{3} = \frac{P}{I} \theta$ આપે છે.
આમ,$\omega^3 \propto \theta$,અથવા $\omega \propto \theta^{1/3}$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi}$ હોવાથી,$\theta \propto n$ થાય છે.
તેથી,$\omega \propto n^{1/3}$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,સળિયાની પ્રારંભિક શિરોલંબ સ્થિતિમાં રહેલી સ્થિતિ ઉર્જા,તે જમીન પર અથડાય ત્યારે ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = Mg \frac{L}{2}$.
અંતિમ ચાકગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} I \omega^2$,જ્યાં $I$ એ જમીન પરના છેડાને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$I = \frac{ML^2}{3}$.
$U_i = K_f$ ને સરખાવતા:
$Mg \frac{L}{2} = \frac{1}{2} (\frac{ML^2}{3}) \omega^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$gL = \frac{L^2}{3} \omega^2$,જે આપે છે $\omega^2 = \frac{3g}{L}$,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$.
બીજા છેડાનો રેખીય વેગ $v = L \omega$ દ્વારા મળે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$v = L \sqrt{\frac{3g}{L}} = \sqrt{3gL}$.

(A) રોટરની કોણીય ઝડપ $\omega = 200 \; rad \; s^{-1}$ છે.
આ ઝડપ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = 180 \; N \; m$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ પર ટોર્ક $\tau$ આપતા એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \tau \times \omega$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$P = 180 \; N \; m \times 200 \; rad \; s^{-1}$
$P = 36000 \; W$
કિલોવોટમાં રૂપાંતર કરતા:
$P = 36 \; kW$
તેથી,એન્જિન દ્વારા જરૂરી પાવર $36 \; kW$ છે.

(N/A) ભ્રમણ ગતિમાં, કોણીય વેગ $(\omega)$ સાથે ફરતા પદાર્થ પર ટોર્ક $(\tau)$ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $(P)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \tau \cdot \omega$
જ્યાં:
$P$ એ પાવર છે જેનો એકમ વોટ $(W)$ છે,
$\tau$ એ ટોર્ક છે જેનો એકમ ન્યૂટન-મીટર $(N \cdot m)$ છે,
$\omega$ એ કોણીય વેગ છે જેનો એકમ રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ $(rad/s)$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ સાથે નિશ્ચિત અક્ષ પર ફરતા પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $(L)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = I \cdot \omega$
જ્યાં:
$L$ એ કોણીય વેગમાન છે જેનો એકમ કિલોગ્રામ-મીટર સ્ક્વેર પ્રતિ સેકન્ડ $(kg \cdot m^2/s)$ છે,
$I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે જેનો એકમ કિલોગ્રામ-મીટર સ્ક્વેર $(kg \cdot m^2)$ છે,
$\omega$ એ કોણીય વેગ છે જેનો એકમ રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ $(rad/s)$ છે.

(N/A) ધારો કે એક દ્રઢ પદાર્થ એક નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે,જેને $Z$-અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે છે. આ અક્ષ $X^{\prime} Y^{\prime}$ સમતલને લંબ છે.
ધારો કે બળ $\overrightarrow{F}_{1}$ પદાર્થના એક કણ પર બિંદુ $P_{1}$ આગળ લાગે છે અને તે અક્ષ પરના કેન્દ્ર $C$ સાથે $r_{1}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર ફરે છે,જ્યાં $CP_{1} = r_{1}$ છે.
$\Delta t$ સમયમાં,કણ $P_{1}$ થી $P_{1}^{\prime}$ સ્થાન પર જાય છે. કણનું સ્થાનાંતર $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ છે,જે $P_{1}$ આગળ સ્પર્શકની દિશામાં છે.
અહીં,$\Delta \theta = \angle P_{1} C P_{1}^{\prime}$ એ કણનું કોણીય સ્થાનાંતર છે.
બળ $\overrightarrow{F}_{1}$ દ્વારા કણ પર થતું કાર્ય નીચે મુજબ છે:
$dW_{1} = \overrightarrow{F}_{1} \cdot d\overrightarrow{S}_{1} = F_{1} dS_{1} \cos \phi_{1}$
કારણ કે $dS_{1} = r_{1} d\theta$ અને $\phi_{1} = 90^{\circ} - \alpha_{1}$ (જ્યાં $\alpha_{1}$ એ $\overrightarrow{F}_{1}$ અને ત્રિજ્યા સદિશ $\overrightarrow{r}_{1}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે),તેથી:
$dW_{1} = F_{1} (r_{1} d\theta) \cos(90^{\circ} - \alpha_{1}) = F_{1} r_{1} \sin \alpha_{1} d\theta$
ટોર્ક $\tau_{1} = r_{1} F_{1} \sin \alpha_{1}$ હોવાથી,થતું કાર્ય:
$dW_{1} = \tau_{1} d\theta$
દ્રઢ પદાર્થ પર થતું કુલ કાર્ય એ બધા કણો પર થયેલા કાર્યનો સરવાળો છે:
$dW = \sum dW_{1} = \sum \tau_{1} d\theta = \tau d\theta$
જ્યાં $\tau$ એ ભ્રમણાક્ષની આસપાસ પદાર્થ પર લાગતું કુલ ટોર્ક છે.

(N/A) ધારો કે એક દ્રઢ પદાર્થ એક નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે,જેને $Z$-અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે છે. આ અક્ષ $X^{\prime} Y^{\prime}$ સમતલને લંબ છે.
ધારો કે બળ $\overrightarrow{F}_{1}$ પદાર્થના કણ પર બિંદુ $P_{1}$ આગળ લાગે છે અને તે અક્ષ પરના કેન્દ્ર $C$ સાથે $r_{1}$ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર ફરે છે,જ્યાં $CP_{1} = r_{1}$ છે.
$\Delta t$ સમયમાં,બિંદુ $P_{1}$ થી $P_{1}^{\prime}$ પર જાય છે. કણનું સ્થાનાંતર $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ છે અને તે $P_{1}$ આગળ સ્પર્શકની દિશામાં છે.
અહીં,$\Delta \theta = \angle P_{1} C P_{1}^{\prime}$ એ કણનું કોણીય સ્થાનાંતર છે. બળ $\overrightarrow{F}_{1}$ દ્વારા કણ પર થતું કાર્ય નીચે મુજબ છે:
$dW_{1} = \overrightarrow{F}_{1} \cdot d\overrightarrow{S}_{1}$
$dW_{1} = F_{1} \Delta S_{1} \cos \phi_{1}$
કારણ કે $\Delta S_{1} = r_{1} \Delta \theta$ અને $\phi_{1} = 90^{\circ} - \alpha_{1}$,જ્યાં $\alpha_{1}$ એ બળ $\overrightarrow{F}_{1}$ અને ત્રિજ્યા સદિશ $\overrightarrow{r}_{1}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી:
$dW_{1} = F_{1} (r_{1} \Delta \theta) \cos(90^{\circ} - \alpha_{1})$
$dW_{1} = F_{1} r_{1} \sin \alpha_{1} \Delta \theta$
ટોર્ક $\tau_{1} = r_{1} F_{1} \sin \alpha_{1}$ હોવાથી,થતું કાર્ય:
$dW_{1} = \tau_{1} \Delta \theta$
આખા પદાર્થ માટે,કુલ કાર્ય એ બધા કણો પર થયેલા કાર્યનો સરવાળો છે:
$dW = \sum dW_{i} = \sum \tau_{i} \Delta \theta = \tau \Delta \theta$
જ્યાં $\tau$ એ પદાર્થ પર લાગતું કુલ ટોર્ક છે.

(N/A) સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,કોણીય સ્થાનાંતર $d\theta$ દરમિયાન ટોર્ક $\tau$ દ્વારા થતું કાર્ય એ ટોર્કનું કોણીય સ્થાનાંતર પરનું સંકલન છે.
અતિ સૂક્ષ્મ કાર્ય $dW = \tau \cdot d\theta$ છે.
$\theta_1$ થી $\theta_2$ સુધીના નિશ્ચિત કોણીય સ્થાનાંતર માટે,કુલ કાર્ય:
$W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau \, d\theta$.
જો ટોર્ક $\tau$ અચળ હોય,તો સૂત્ર નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$W = \tau (\theta_2 - \theta_1) = \tau \Delta \theta$.

(N/A) નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,ટોર્ક $\tau$ દ્વારા આપવામાં આવતો પાવર $P$ એ ટોર્ક અને પદાર્થના કોણીય વેગ $\omega$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આ સૂત્ર નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$P = \tau \omega$
જ્યાં:
$P$ એ તાત્ક્ષણિક પાવર છે,
$\tau$ એ પદાર્થ પર લાગતું ટોર્ક છે,
$\omega$ એ પદાર્થનો કોણીય વેગ છે.

(C) રેખીય ગતિમાં,કાર્યનું સૂત્ર $W = F \Delta x$ છે. બળ $F$ ની ચાકગતિમાં અનુરૂપ રાશિ ટોર્ક $\tau$ છે અને સ્થાનાંતર $\Delta x$ ની અનુરૂપ રાશિ કોણીય સ્થાનાંતર $\Delta \theta$ છે. તેથી,ચાકગતિમાં કાર્ય $W = \tau \Delta \theta$ થાય. આ $(1-b)$ સાથે સુસંગત છે.
રેખીય ગતિમાં,પાવરનું સૂત્ર $P = Fv$ છે. બળ $F$ ની ચાકગતિમાં અનુરૂપ રાશિ ટોર્ક $\tau$ છે અને વેગ $v$ ની અનુરૂપ રાશિ કોણીય વેગ $\omega$ છે. તેથી,ચાકગતિમાં પાવર $P = \tau \omega$ થાય. આ $(2-a)$ સાથે સુસંગત છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-a)$ છે.

(A) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સળિયાની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો તેની ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ધરીથી $L/2$ અંતરે હોય છે.
જ્યારે સળિયો આડી સ્થિતિમાંથી શિરોલંબ સ્થિતિમાં જાય છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = L/2$ જેટલું શિરોલંબ નીચે ઉતરે છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $Mgh = Mg(L/2) = MgL/2$.
એક છેડામાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = ML^2/3$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (ML^2/3) \omega^2 = \frac{ML^2 \omega^2}{6}$.
બંનેને સરખાવતા: $MgL/2 = \frac{ML^2 \omega^2}{6}$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{6gL}{2L^2} = \frac{3g}{L}$.
તેથી,$\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$.

(C) ધારો કે $m$ એ તકતી અને કણનું દળ છે. ધરીને અનુલક્ષીને તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} mR^2$ છે. $R$ અંતરે રહેલા કણની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{particle}} = mR^2$ છે. કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{disc}} + I_{\text{particle}} = \frac{1}{2} mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2} mR^2$ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કણની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્રની ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
કણ સૌથી ઉચ્ચ બિંદુથી સૌથી નીચલા બિંદુ સુધી $2R$ જેટલું શિરોલંબ અંતર કાપે છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો $= mg(2R) = 2mgR$.
ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો $= \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} mR^2 \right) \omega^2 = \frac{3}{4} mR^2 \omega^2$.
બંનેને સરખાવતા: $2mgR = \frac{3}{4} mR^2 \omega^2$.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા: $\omega^2 = \frac{8g}{3R}$.
આપેલ છે કે $\omega = 4 \sqrt{\frac{x}{3R}}$,તેથી $\omega^2 = 16 \left( \frac{x}{3R} \right) = \frac{16x}{3R}$.
$\omega^2$ માટેના પદોને સરખાવતા: $\frac{16x}{3R} = \frac{8g}{3R} \implies 16x = 8g$.
$g = 10 \text{ m s}^{-2}$ મૂકતા: $16x = 8(10) = 80$.
$x = \frac{80}{16} = 5$.

(A) કોઈ કણ પર લાગતા બળ $\vec{F}$ દ્વારા મળતો પાવર $P$,જ્યારે કણ $\vec{v}$ વેગથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિભ્રમણ કરતી વસ્તુ માટે,પરિભ્રમણની ધરીની સાપેક્ષે $\vec{r}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુનો વેગ $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ છે.
આ કિંમત પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = \vec{F} \cdot (\vec{\omega} \times \vec{r})$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C}$,આપણે પદને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$P = (\vec{F} \times \vec{\omega}) \cdot \vec{r} = \vec{r} \cdot (\vec{F} \times \vec{\omega})$.
વૈકલ્પિક રીતે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ચક્રીય ગુણધર્મ $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \vec{F} \cdot (\vec{\omega} \times \vec{r}) = [\vec{F} \vec{\omega} \vec{r}] = [\vec{\omega} \vec{r} \vec{F}] = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \times \vec{F})$.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ હોવાથી,પાવર $P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega} = (\vec{r} \times \vec{F}) \cdot \vec{\omega}$ થાય છે.

(A) કોણીય સ્થાન $\theta(t) = 5t^2 - 8t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનનું વિકલન છે: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 10t - 8$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય વેગનું વિકલન છે: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 10 \text{ rad/s}^2$.
વર્તુળાકાર તકતીની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
લગાડવામાં આવેલ ટોર્ક $\tau = I\alpha = (\frac{1}{2}MR^2)(10) = 5MR^2$ છે.
ટોર્ક દ્વારા મળતો પાવર $P = \tau \omega$ છે.
$t = 2$ સેકન્ડ પર,$\omega = 10(2) - 8 = 12 \text{ rad/s}$.
તેથી,$P = (5MR^2)(12) = 60 MR^2$ $W$.

(A) આપેલ છે: પૈડાનું દળ $M = 10 \ kg$,ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,બળ $F = 20 \ N$,સ્થાનાંતર $d = 1 \ m$.
પૈડું અવગણ્ય દળ ધરાવતા આરાઓ દ્વારા આધારિત હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2 = 10 \times (0.1)^2 = 0.1 \ kg \ m^2$ છે.
બળ $F$ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = F \times d = 20 \times 1 = 20 \ J$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલ કાર્ય એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta KE = \frac{1}{2} I \omega^2$.
કિંમતો મૂકતા: $20 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times \omega^2$.
$20 = 0.05 \times \omega^2$.
$\omega^2 = \frac{20}{0.05} = 400$.
$\omega = \sqrt{400} = 20 \ rad/s$.

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 1.2 \ kg \cdot m^2$,ચાકગતિ ઉર્જા $K_r = 1500 \ J$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 25 \ rad/s^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$.
$1500 = 0.6 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$.
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{2500} = 50 \ rad/s$.
ચાકગતિના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$50 = 0 + 25 \times t$.
$t = \frac{50}{25} = 2 \ s$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિ ઉર્જા $(P.E.)$ માં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ માં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સ્થિતિમાંથી જમીન પર પડે છે,ત્યારે તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = \frac{l}{2}$ જેટલી ઊંચાઈ નીચે ઉતરે છે.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $mgh = mg \left( \frac{l}{2} \right) = \frac{mgl}{2}$.
મિજાગરાવાળા છેડા $A$ ની સાપેક્ષે સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{ml^2}{3} \right) \omega^2 = \frac{ml^2 \omega^2}{6}$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડાને ચાકગતિ ઉર્જામાં વધારા સાથે સરખાવતા:
$\frac{mgl}{2} = \frac{ml^2 \omega^2}{6}$.
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{mgl}{2} \times \frac{6}{ml^2} = \frac{3g}{l}$.
તેથી,કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$ મળે છે.

(A) સળિયો તેના છેડામાંથી પસાર થતી આડી ધરી પર દોલન કરે છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી નીચલા બિંદુએ મહત્તમ ચાકગતિ ઉર્જા એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા સૌથી ઊંચા બિંદુએ મેળવેલી મહત્તમ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$1$. ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયા માટે તેના છેડામાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^{2}}{3}$ છે.
$3$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા મેળવેલી સ્થિતિ ઉર્જા $U = Mgh$ છે,જ્યાં $h$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
$4$. ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાને સરખાવતા: $Mgh = \frac{1}{2} I \omega^{2}$.
$5$. $I$ ની કિંમત મૂકતા: $Mgh = \frac{1}{2} \left( \frac{ML^{2}}{3} \right) \omega^{2}$.
$6$. સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $Mgh = \frac{ML^{2} \omega^{2}}{6}$.
$7$. $h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{L^{2} \omega^{2}}{6g}$.

(B) આપેલ છે: કાર્ય $W = 12000 \ J$,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = 10 \ Hz$,અંતિમ આવૃત્તિ $f_2 = 20 \ Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 2\pi(10) = 20\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 2\pi(20) = 40\pi \ rad/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કરેલું કાર્ય એ પરિભ્રમણ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} I \omega_2^2 - \frac{1}{2} I \omega_1^2 = \frac{1}{2} I (\omega_2^2 - \omega_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા:
$12000 = \frac{1}{2} I [(40\pi)^2 - (20\pi)^2]$.
$12000 = \frac{1}{2} I [1600\pi^2 - 400\pi^2]$.
$12000 = \frac{1}{2} I [1200\pi^2]$.
$\pi^2 = 10$ લેતા:
$12000 = \frac{1}{2} I [1200 \times 10]$.
$12000 = I [6000]$.
$I = \frac{12000}{6000} = 2 \ kg \cdot m^2$.

(D) સળિયો તેના છેડામાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને ફરે છે. આ ધરીને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3}ML^2$ છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ (મહત્તમ કોણીય ઝડપ વખતે) સળિયાની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^2)\omega^2 = \frac{1}{6}ML^2\omega^2$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h$ જેટલું ઉપર જાય છે. સળિયા દ્વારા પ્રાપ્ત સ્થિતિ ઉર્જા $U = Mgh$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,નીચેના બિંદુએ ચાકગતિ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{6}ML^2\omega^2 = Mgh$.
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{L^2\omega^2}{6g}$.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી નીચલા બિંદુએ રોટેશનલ ગતિ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$\frac{1}{2} I \omega^2 = Mgh$
$\therefore h = \frac{I \omega^2}{2Mg} \dots (i)$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,તેના છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને સમાન સળિયાની જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$:
$I = I_{cm} + Md^2 = \frac{ML^2}{12} + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2}{3} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$h = \frac{(\frac{ML^2}{3}) \omega^2}{2Mg} = \frac{ML^2 \omega^2}{6Mg} = \frac{L^2 \omega^2}{6g}$

(A) ચંદ્રની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા (કક્ષીય ગતિને કારણે) અને તેની ચાકગતિઊર્જા (પોતાની ધરી પર ફરવાને કારણે) નો સરવાળો છે.
$KE_{total} = KE_{translational} + KE_{rotational}$
$KE_{total} = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
અહીં કક્ષીય ઝડપ $v = R \omega$ અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ છે.
ચંદ્રની જડત્વની ચાકમાત્રા (તેને નક્કર ગોળો ધારતા) $I = \frac{2}{5} M r^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$KE_{total} = \frac{1}{2} M (R \omega)^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} M r^2) \omega^2$
$KE_{total} = \frac{1}{2} M R^2 \omega^2 + \frac{1}{5} M r^2 \omega^2$
$\omega^2 = (\frac{2 \pi}{T})^2 = \frac{4 \pi^2}{T^2}$ મૂકતા:
$KE_{total} = \frac{1}{2} M R^2 (\frac{4 \pi^2}{T^2}) + \frac{1}{5} M r^2 (\frac{4 \pi^2}{T^2})$
$KE_{total} = \frac{2 M \pi^2 R^2}{T^2} + \frac{4 M r^2 \pi^2}{5 T^2}$

(B) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
અહીં $M = \frac{10}{\pi^2} \,kg$ અને $R = 2 \,m$ આપેલ છે,તેથી $I = \frac{1}{2} \times \frac{10}{\pi^2} \times (2)^2 = \frac{20}{\pi^2} \,kg \cdot m^2$.
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_1 = 90 \,rev/min = 90 \times \frac{2\pi}{60} \,rad/s = 3\pi \,rad/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_2 = 120 \,rev/min = 120 \times \frac{2\pi}{60} \,rad/s = 4\pi \,rad/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કરેલું કાર્ય $W$ એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K = \frac{1}{2}I(\omega_2^2 - \omega_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1}{2} \times \frac{20}{\pi^2} \times ((4\pi)^2 - (3\pi)^2) = \frac{10}{\pi^2} \times (16\pi^2 - 9\pi^2) = \frac{10}{\pi^2} \times 7\pi^2 = 70 \,J$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,સળિયા દ્વારા ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ તેના દ્વારા મેળવેલી ચાકગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સળિયાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $L/2$ ઊંચાઈ પર લેતા) $U_i = mg(L/2)$ છે.
જ્યારે સળિયો જમીન સાથે અથડાય ત્યારે અંતિમ ચાકગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
અહીં,$I$ એ મિજાગરાવાળા છેડાને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I = \frac{mL^2}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંનેને સરખાવતા: $mg \frac{L}{2} = \frac{1}{2} (\frac{mL^2}{3}) \omega^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $g = \frac{L}{3} \omega^2$,જે $\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}$ આપે છે.
આપેલ કિંમતો $g = 10 \ m \ s^{-2}$ અને $L = 1 \ m$ મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{3 \times 10}{1}} = \sqrt{30} \ rad \ s^{-1}$.