Angular Momentum and Angular Impulse Questions in Gujarati

(C) કોણીય વેગમાનને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અક્ષીય સદિશો એવા સદિશો છે જે પરિભ્રમણની અસરો દર્શાવે છે અને તેમની દિશા જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે પરિભ્રમણના સમતલને લંબ હોય છે.
કોણીય વેગમાન પરિભ્રમણ ગતિનું વર્ણન કરતું હોવાથી,તેને અક્ષીય સદિશ (અથવા સ્યુડોવેક્ટર) તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘટકોના સ્વરૂપમાં,આ છે:
$\vec{L} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix}$
ગતિ $x-y$ સમતલમાં હોવાથી,$z = 0$ અને $p_z = 0$ છે. તેથી,$\vec{L} = \hat{k}(x p_y - y p_x)$.
આપેલ છે કે કણ $X$-અક્ષને સમાંતર $b$ અંતરે ગતિ કરે છે,તેથી તેનું સ્થાન $(x, y) = (vt, b)$ છે અને તેનું વેગમાન $\vec{p} = (mv, 0)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{L} = \hat{k}(vt \cdot 0 - b \cdot mv) = -mvb\,\hat{k}$.

(A) કોણીય વેગમાન $\vec L$ એ સ્થાન સદિશ $\vec r$ અને વેગમાન સદિશ $\vec p$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા મળે છે:
$\vec L = \vec r \times \vec p = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat i(2(-2) - (-1)(4)) - \hat j(1(-2) - (-1)(3)) + \hat k(1(4) - 2(3))$
$= \hat i(-4 + 4) - \hat j(-2 + 3) + \hat k(4 - 6)$
$= 0\hat i - 1\hat j - 2\hat k$
$= -\hat j - 2\hat k$
અહીં કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec L = 0\hat i - 1\hat j - 2\hat k$ માં $x$-અક્ષની દિશામાં કોઈ ઘટક નથી ($\hat i$ નો સહગુણક $0$ છે),તેથી સદિશ $\vec L$ એ $yz$-સમતલમાં છે.
આમ,કોણીય વેગમાન $x$-અક્ષને લંબ છે.

(B) સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું સ્થાનાંતર છે: $\vec{r} = \vec{r_1} - \vec{r_2} = (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = 4\hat{j}$.
રેખીય વેગમાન $\vec{p} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
$\vec{L} = (4\hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $\vec{L} = \hat{i}((4)(-1) - (0)(3)) - \hat{j}((0)(-1) - (0)(2)) + \hat{k}((0)(3) - (4)(2))$.
$\vec{L} = \hat{i}(-4) - \hat{j}(0) + \hat{k}(-8) = -4\hat{i} - 8\hat{k}$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,જો આપણે $\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1} = -4\hat{j}$ લઈએ,તો $\vec{L} = (-4\hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) = 4\hat{i} - 8\hat{k}$ મળે છે.

(B) કોણીય વેગમાન $L$ નું સૂત્ર $L = r \times p$ છે,જ્યાં $r$ એ સ્થાન સદિશ છે અને $p$ એ રેખીય વેગમાન છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ મુજબ: $L = [L] \times [M L T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$.
$SI$ એકમોમાં,આ $kg \cdot m^2/s$ ને અનુરૂપ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ Joule} = 1 \text{ kg} \cdot m^2/s^2$,તેથી $1 \text{ Joule} \cdot s = (1 \text{ kg} \cdot m^2/s^2) \times s = 1 \text{ kg} \cdot m^2/s$.
આમ,કોણીય વેગમાનનો એકમ $Joule \cdot s$ છે.

(D) કોણીય વેગમાન $\vec L$ ને $\vec L = \vec r \times \vec p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણ માટે,સ્થાન સદિશ $\vec r$ અને રેખીય વેગમાન $\vec p$ વર્તુળના સમતલમાં હોય છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\vec L$ ની દિશા પરિભ્રમણના સમતલને લંબ હોય છે.
કણ સમાન વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખતું હોવાથી,પરિભ્રમણનું સમતલ બદલાતું નથી.
તેથી,કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ રહે છે,ભલે કણની ઘટતી ઝડપને કારણે તેનું મૂલ્ય બદલાતું હોય.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L_{ang}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને તેના રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$L_{ang} = |\vec{r} \times \vec{p}| = |\vec{r} \times m\vec{v}| = m v r \sin(\theta)$.
અહીં,$r \sin(\theta)$ એ બિંદુ $O$ થી કણની ગતિની રેખા સુધીનું લંબ અંતર દર્શાવે છે,જે આકૃતિમાં $l$ તરીકે આપવામાં આવ્યું છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન $L_{ang} = m v l$ થશે.

(C) ચાકગતિ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $L = I \omega$ એ કોણીય વેગમાન છે.
આના પરથી,આપણે કોણીય વેગમાનને $L^2 = 2EI$ અથવા $L = \sqrt{2EI}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
પદાર્થ $A$ માટે,$L_A = \sqrt{2 E_A I_A}$.
પદાર્થ $B$ માટે,$L_B = \sqrt{2 E_B I_B}$.
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L_A}{L_B} = \sqrt{\frac{2 E_A I_A}{2 E_B I_B}} = \sqrt{\frac{E_A}{E_B} \cdot \frac{I_A}{I_B}}$ થાય.
આપેલ છે કે $I_A = I_B/4$,તેથી $\frac{I_A}{I_B} = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $E_A = 100 E_B$,તેથી $\frac{E_A}{E_B} = 100$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{L_A}{L_B} = \sqrt{100 \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{25} = 5$.

(C) કિલકિત બિંદુને અનુલક્ષીને તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન ગોળીને કારણે છે: $L_i = Mv(L/2)$.
અથડામણ પછી,ગોળી સળિયામાં ખૂંપી જાય છે,તેથી તંત્ર $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. તંત્રની અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{\text{rod}} + I_{\text{bullet}} = \frac{ML^2}{12} + M(L/2)^2 = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{4} = \frac{ML^2 + 3ML^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$,તેથી $Mv(L/2) = I_f \omega$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{MvL}{2} = \left(\frac{ML^2}{3}\right) \omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\omega = \frac{MvL}{2} \cdot \frac{3}{ML^2} = \frac{3v}{2L}$.

(A) ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L$ એ સૂત્ર $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
પોતાની ધરી પર ભ્રમણ કરતા નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
આપેલ છે: દળ $M = 2\ kg$,ત્રિજ્યા $R = 0.2\ m$,કોણીય વેગ $\omega = 3\ rad/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 2\ kg \times (0.2\ m)^2 = 1 \times 0.04 = 0.04\ kg\cdot m^2$.
હવે,કોણીય વેગમાનની ગણતરી કરતા:
$L = I\omega = 0.04\ kg\cdot m^2 \times 3\ rad/s = 0.12\ J-s$.
તેથી,અથડામણ પહેલાં નળાકારનું કોણીય વેગમાન $0.12\ J-s$ છે.

(B) કોઈ પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K$ અને તેના કોણીય વેગમાન $L$ તથા જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{L^2}{2I}$ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે બંને પદાર્થો માટે કોણીય વેગમાન $L$ સમાન છે,તેથી ગતિ ઉર્જા એ જડત્વની ચાકમાત્રાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $K \propto \frac{1}{I}$.
આપેલ છે કે $I_1 > I_2$,તેથી $K_1 < K_2$ થશે.
આમ,બીજા પદાર્થની (જેની જડત્વની ચાકમાત્રા ઓછી છે) ગતિ ઉર્જા વધુ હશે.

(A) નિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરતા દ્રઢ પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = I\omega$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ ભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
દ્રઢ પદાર્થ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અચળ રહે છે.
તેથી,$L \propto \omega$.
આ રેખીય સંબંધ સૂચવે છે કે $L$ અને $\omega$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા હશે,જેનો ઢાળ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ જેટલો હોય છે.

(D) ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેનું મૂલ્ય $L = mvr \sin \theta = mv d$ છે,જ્યાં $d$ એ ઉગમબિંદુથી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર છે.
$1$. $OA$ પરની ગતિ માટે,ગતિની રેખા ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $d = 0$ અને $L = 0$. વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. $DE$ રેખા માટે,$O$ થી $DE$ રેખાનું લંબ અંતર અચળ $(1 \ m)$ છે. તેથી,$DE$ પરના તમામ બિંદુઓ પર $L$ અચળ છે. વિધાન $B$ સાચું છે.
$3$. $B$ પર,લંબ અંતર $1 \ m$ છે અને વેગ $+y$ દિશામાં છે. $D$ પર,લંબ અંતર $1 \ m$ છે અને વેગ $+x$ દિશામાં છે. કોણીય વેગમાન એ સદિશ રાશિ છે. $B$ પર $\vec{L}$ ની દિશા $\vec{r} \times \vec{v} = (1\hat{i}) \times (v\hat{j}) = mv\hat{k}$ છે. $D$ પર $\vec{L}$ ની દિશા $\vec{r} \times \vec{v} = (1\hat{j}) \times (v\hat{i}) = -mv\hat{k}$ છે. આમ,તેઓ સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. જેમ કણ $BC$ રેખા તરફ ગતિ કરે છે,તેમ ઉગમબિંદુ $O$ થી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર $d$ અચળ રહે છે. તેથી,કોણીય વેગમાન બદલાતું નથી. વિધાન $D$ ખોટું છે.

(D) $O$ બિંદુને અનુલક્ષીને કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = m(\vec{r} \times \vec{v})$.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mrv \sin(\theta)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,ઉગમબિંદુ $O$ થી ગતિની રેખા $PC$ સુધીનું લંબ અંતર $\ell$ છે.
તેથી,$O$ ને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = mv\ell$ થશે.

(C) ઊગમબિંદુની સાપેક્ષે પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{p} = M\vec{v}$ છે.
પદાર્થ $X$-અક્ષને સમાંતર અચળ વેગ $\vec{v} = v\hat{i}$ થી ગતિ કરતો હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}$ છે.
તેથી,$\vec{L} = (x\hat{i} + y\hat{j}) \times (Mv\hat{i}) = Mv(x(\hat{i} \times \hat{i}) + y(\hat{j} \times \hat{i}))$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ છે,તેથી $\vec{L} = -Mvy\hat{k}$ મળે.
અહીં $M$,$v$ અને $y$ ($X$-અક્ષથી લંબ અંતર) ત્રણેય અચળ છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ અચળ રહે છે.

(D) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ ભ્રમણના સમતલમાં છે અને રેખીય વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શકની દિશામાં (તે પણ ભ્રમણના સમતલમાં) છે.
તેથી,$\vec{r} \times \vec{v}$ નો સદિશ ગુણાકાર એ $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ બંનેને લંબ દિશામાં મળે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ દિશા ભ્રમણના સમતલને લંબ હોય છે,જે ભ્રમણ અક્ષની દિશા દર્શાવે છે.

(C) ઉગમબિંદુને અનુલક્ષીને પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L$ નું સૂત્ર $L = |\vec{r} \times \vec{p}| = r p \sin \theta$ છે.
ગતિની ભૂમિતિ પરથી,ઉગમબિંદુથી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર $d = r \sin \theta$ છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનને $L = p \cdot d = (mv) \cdot d$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,વેગ $v = 2 \ ms^{-1}$,અને લંબ અંતર $d = 12 \ cm = 0.12 \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = (1 \ kg) \times (2 \ ms^{-1}) \times (0.12 \ m) = 0.24 \ kg \cdot m^2s^{-1}$ (અથવા $Js$).
આમ,કોણીય વેગમાન $0.24 \ Js$ છે.

(D) રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\vec{p} = m\vec{v} = 0.01 \ kg \times 5\hat{i} \ m/s = 0.05\hat{i} \ kg \cdot m/s$.
ઊગમબિંદુની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{L} = (10\hat{i} + 6\hat{j}) \times (0.05\hat{i})$.
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{L} = (10\hat{i} \times 0.05\hat{i}) + (6\hat{j} \times 0.05\hat{i})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,તેથી:
$\vec{L} = 0 + 6 \times 0.05 \times (-\hat{k}) = 0.3 \times (-\hat{k}) = -0.3\hat{k} \ J \cdot s$.

(D) કેન્દ્રગામી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
કોણીય વેગમાન $L = mvr$ હોવાથી,આપણે $v = \frac{L}{mr}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^2 = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^2}{m^2 r^2} = \frac{L^2}{mr^3}$.
$L^2$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$L^2 = F \cdot m \cdot r^3$.
અહીં $m = 2 \ kg$,$r = 2 \ m$,અને $F = 100 \ N$ આપેલ છે:
$L^2 = 100 \times 2 \times (2)^3 = 100 \times 2 \times 8 = 1600$.
વર્ગમૂળ લેતા:
$L = \sqrt{1600} = 40 \ J \cdot s$.

(C) સપાટી પર ગબડતી વસ્તુનું ઊગમબિંદુની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાન એ સ્થાનાંતરને કારણે મળતું કોણીય વેગમાન અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણને કારણે મળતા કોણીય વેગમાનનો સરવાળો છે.
$L = L_{\text{translation}} + L_{\text{rotation}}$
$L = MvR + I_c\omega$
તકતી સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય વેગ $v = R\omega$ થાય.
તકતીની તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_c = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$L = M(R\omega)R + (\frac{1}{2}MR^2)\omega$
$L = MR^2\omega + \frac{1}{2}MR^2\omega$
$L = \frac{3}{2}MR^2\omega$

(A) નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (0.3)^2 = 0.225 \ kg \ m^2$ છે.
$t = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 \ s$ સમયે $J = 3 \ kg \ m^2 s^{-1}$ નો કોણીય આઘાત આપવામાં આવે છે.
$30 \ s$ સુધીમાં આપવામાં આવેલા કુલ આઘાતની સંખ્યા $8$ છે ($t = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28$ પર).
કુલ કોણીય વેગમાન $L = \sum J = 8 \times 3 = 24 \ kg \ m^2 s^{-1}$.
$L = I\omega$ હોવાથી,કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{L}{I} = \frac{24}{0.225} = 106.67 \ rad/s \approx 106.7 \ rad/s$ થશે.

(C) નળાકારની તેની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} M R^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($M = 20 \ kg$,$R = 0.25 \ m$):
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.25)^2 = 10 \times 0.0625 = 0.625 \ kg \cdot m^2$
કોણીય વેગમાન $L$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા અને કોણીય વેગ $(\omega)$ નો ગુણાકાર છે:
$L = I \omega$
અહીં $\omega = 100 \ rad \cdot s^{-1}$ આપેલ છે:
$L = 0.625 \times 100 = 62.5 \ J \cdot s$

(A) કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ સ્થાનસદિશ $\vec{r}$ અને વેગમાન સદિશ $\vec{p}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે.
$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$\vec{L} = \hat{i}(2(-2) - (-1)(4)) - \hat{j}(1(-2) - (-1)(3)) + \hat{k}(1(4) - 2(3))$
$\vec{L} = \hat{i}(-4 + 4) - \hat{j}(-2 + 3) + \hat{k}(4 - 6)$
$\vec{L} = 0\hat{i} - 1\hat{j} - 2\hat{k} = -\hat{j} - 2\hat{k}$.
કોઈ સદિશ કોઈ અક્ષને લંબ હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) શૂન્ય થાય છે.
$X$-અક્ષને એકમ સદિશ $\hat{i} = (1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k})$ વડે દર્શાવી શકાય.
$\vec{L}$ અને $\hat{i}$ નો અદિશ ગુણાકાર: $(0)(1) + (-1)(0) + (-2)(0) = 0$.
અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,કોણીય વેગમાન $X$-અક્ષને લંબ છે.

(B) સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = (2m)(v)(a) + (m)(2v)(2a) = 2mav + 4mav = 6mav$.
અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = I_{rod} + I_{mass1} + I_{mass2} = \frac{(8m)(6a)^2}{12} + (2m)(a)^2 + (m)(2a)^2$.
$I_f = \frac{8m \cdot 36a^2}{12} + 2ma^2 + 4ma^2 = 24ma^2 + 2ma^2 + 4ma^2 = 30ma^2$.
$L_i = I_f \omega$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$6mav = 30ma^2 \omega$.
$\omega = \frac{6mav}{30ma^2} = \frac{v}{5a}$.

(D) કોઈ બિંદુ $P$ ને અનુલક્ષીને કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$.
તેનું મૂલ્ય $L = r p \sin \theta$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિસ્સામાં,કણ $PC$ રેખા પર ગતિ કરે છે અને બિંદુ $P$ એ જ રેખા પર આવેલું છે.
તેથી,બિંદુ $P$ ને અનુલક્ષીને કણનો સ્થાન સદિશ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ સાથે એકરેખસ્થ (collinear) છે.
આનો અર્થ એ છે કે સ્થાન સદિશ અને વેગ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ (અથવા $180^\circ$) છે.
ચૂંકિ $\sin(0^\circ) = 0$ હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L = mvr \sin(0^\circ) = 0$ થશે.

(B) ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = p \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ રેખીય વેગમાનનું મૂલ્ય છે અને $d$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી કણની ગતિની રેખા સુધીનું લંબ અંતર છે.
કણ એક સુરેખ રેખા $AB$ પર ગતિ કરતો હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ થી રેખા $AB$ સુધીનું લંબ અંતર $d$ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ માટે સમાન રહે છે.
જો કણ અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરતો હોય,તો તેનું રેખીય વેગમાન $p = mv$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
તેથી,રેખા $AB$ પરના કોઈપણ બિંદુએ,કોણીય વેગમાન $L = mv \cdot d$ અચળ રહે છે.
આમ,$L_A = L_B$.

(B) રિંગનું દળ $m = 10 \ kg$ અને ત્રિજ્યા $r = \text{વ્યાસ}/2 = 0.4/2 = 0.2 \ m$ છે.
રિંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2 = 10 \times (0.2)^2 = 10 \times 0.04 = 0.4 \ kg \cdot m^2$ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા છે.
આપેલ છે $n = 2100 \ \text{rpm} = 2100/60 \ \text{rev/s} = 35 \ \text{rev/s}$.
તેથી,$\omega = 2 \times \pi \times 35 = 70\pi \ \text{rad/s}$.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L = 0.4 \times 70\pi = 28\pi \ \text{kg} \cdot m^2/s$.
$\pi \approx 22/7$ લેતા,$L = 28 \times (22/7) = 4 \times 22 = 88 \ \text{kg} \cdot m^2/s$.

(D) બિંદુવત દળ પર દોરીના કારણે લાગતું બળ ત્રિજ્યાવર્તી છે,તેથી દોરીને ટૂંકી કરવામાં આવે છતાં કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
ધારો કે કણનું દળ $m$,પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \ m$,પ્રારંભિક રેખીય વેગ $v_1 = 4 \ m/s$ અને પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = v_1 / r_1 = 4 / 2 = 2 \ rad/s$ છે.
ધારો કે અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 1 \ m$,અંતિમ રેખીય વેગ $v_2$ અને અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$L_1 = L_2$
$m r_1 v_1 = m r_2 v_2$
$r_1 v_1 = r_2 v_2$
કિંમતો મૂકતા:
$2 \times 4 = 1 \times v_2$
$v_2 = 8 \ m/s$
નવો કોણીય વેગ:
$\omega_2 = v_2 / r_2 = 8 / 1 = 8 \ rad/s$
અંતિમ ગતિઊર્જા $(K_2)$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_1)$ નો ગુણોત્તર:
$K_2 / K_1 = (\frac{1}{2} m v_2^2) / (\frac{1}{2} m v_1^2)$
$K_2 / K_1 = v_2^2 / v_1^2$
$K_2 / K_1 = (8)^2 / (4)^2 = 64 / 16 = 4$
આમ,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(B) ઊગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ વેગ છે,અને $d$ એ ઊગમબિંદુથી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર છે.
રેખાનું સમીકરણ $2x - y + 4 = 0$ છે.
ઊગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $Ax + By + C = 0$ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 2$,$B = -1$,અને $C = 4$ છે.
$d = \frac{|4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \ m$.
આપેલ દળ $m = 5 \ kg$ અને વેગ $v = 3\sqrt{5} \ m/s$ છે.
$L = mvd = 5 \times (3\sqrt{5}) \times \left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$.
$L = 5 \times 3 \times 4 = 60 \ kg \ m^2 \ s^{-1}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર બળ તેનું વજન $mg$ છે જે નીચેની તરફ લાગે છે.
બિંદુ $P$ ને ઉગમબિંદુ તરીકે લેતા,કોઈપણ સમયે $t$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau = \vec{r} \times \vec{F} = x(t) \cdot mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x(t) = (v_0 \cos 45^{\circ})t = \frac{v_0}{\sqrt{2}}t$.
તેથી,$\tau = mg \cdot \frac{v_0}{\sqrt{2}}t$.
કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta L$ એ કોણીય આઘાત જેટલો હોય છે:
$\Delta L = \int_{0}^{t} \tau \, dt = \int_{0}^{t} \frac{mgv_0}{\sqrt{2}} t \, dt = \frac{mgv_0}{\sqrt{2}} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{t} = \frac{mgv_0 t^2}{2\sqrt{2}}$.
$P$ પાસે પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન શૂન્ય હોવાથી (પ્રારંભિક વેગની કાર્યરેખા $P$ માંથી પસાર થાય છે),$t = \frac{v_0}{g}$ સમયે કોણીય વેગમાન:
$L = \frac{mgv_0}{2\sqrt{2}} \left( \frac{v_0}{g} \right)^2 = \frac{mgv_0^3}{2\sqrt{2}g^2} = \frac{mv_0^3}{2\sqrt{2}g}$.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ કોણીય વેગમાન એ અથડામણ પછીના કુલ કોણીય વેગમાન જેટલું હોય છે.
નળાકારનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = $I\omega$
નળાકારની અક્ષને અનુલક્ષીને કણનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = $mvR$
કુલ પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = I\omega + mvR$
જ્યારે કણ રીમ પર ચોંટી જાય છે,ત્યારે તંત્રની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I + mR^2$ થાય છે.
ધારો કે નવો કોણીય વેગ $\omega'$ છે.
કુલ અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_2 = (I + mR^2)\omega'$
$L_1 = L_2$ સરખાવતા:
$I\omega + mvR = (I + mR^2)\omega'$
$\omega' = \frac{I\omega + mvR}{I + mR^2}$

(A) ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ સૂત્ર $L = r \times p = r \times (mv)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કણનો સ્થાન સદિશ છે અને $p$ એ તેનું રેખીય વેગમાન છે.
આને $L = m v d$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $d$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી કણની ગતિની રેખા સુધીનું લંબ અંતર છે.
કણ સીધી રેખા $AB$ પર ગતિ કરતો હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ થી આ રેખા સુધીનું લંબ અંતર $d$ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ માટે અચળ રહે છે.
તેથી,રેખા $AB$ પરના તમામ બિંદુઓ માટે કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
આમ,$L_A = L_B$.

(A) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને તેના રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ છે.
જેમ કે $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ બંને પરિભ્રમણના સમતલમાં આવેલા છે,તેથી જમણા હાથના નિયમ મુજબ તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{L}$ એ $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,કોણીય વેગમાન સદિશ પરિભ્રમણના સમતલને લંબ રેખાની દિશામાં હોય છે.

(A) કોણીય વેગમાન એ સ્થાન સદિશ અને રેખીય વેગમાનના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}$.
તે બે સદિશોના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોવાથી અને તેની દિશા ભ્રમણાક્ષની દિશામાં હોવાથી,તેને અક્ષીય સદિશ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(B) કોણીય વેગમાનના સિદ્ધાંત મુજબ, તંત્રના કોણીય વેગમાન $(\vec{L})$ માં થતા ફેરફારનો દર તે તંત્ર પર લાગતા પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક $(\vec{\tau}_{ext})$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, $\vec{\tau}_{ext} = \frac{d\vec{L}}{dt}$.
જો $\vec{\tau}_{ext} = 0$ હોય, તો $\frac{d\vec{L}}{dt} = 0$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $\vec{L}$ અચળ છે.
તેથી, તંત્રનું કોણીય વેગમાન ત્યારે જ બદલાય છે જ્યારે તંત્ર પર શૂન્યતર પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક લાગે.

(D) કોઈ બિંદુને અનુલક્ષીને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ની ચાકમાત્રાને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ ભૌતિક રાશિને કોણીય વેગમાન કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) કોઈ કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,સદિશ $\vec{L}$ એ $\vec{r}$ અને $\vec{p}$ બંનેને લંબ હોય છે.
કારણ કે $\vec{r}$ અને $\vec{p}$ બંને ભ્રમણના સમતલમાં આવેલા છે,તેથી તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{L}$ ભ્રમણના સમતલને લંબ હોવો જોઈએ.
નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થતી અને ભ્રમણના સમતલને લંબ રેખા એ ભ્રમણની ધરી છે.
તેથી,કોણીય વેગમાનની દિશા ભ્રમણની ધરીની દિશામાં હોય છે.

(D) કોઈ ભ્રમણ કરતા પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $(L)$ એ તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અને તેના કોણીય વેગ $(\omega)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$L = I \omega$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) રીંગની તેની અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દળ $m = 10 \ kg$ અને વ્યાસ $d = 0.4 \ m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = d/2 = 0.2 \ m$ થાય.
તેથી,$I = 10 \times (0.2)^2 = 10 \times 0.04 = 0.4 \ kg \cdot m^2$.
કોણીય વેગ $\omega$ (રેડિયન/સેકન્ડમાં) $\omega = 2\pi n$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ (પરિભ્રમણ/સેકન્ડમાં) છે.
આપેલ છે કે $n = 2100 \ rpm = 2100/60 \ rev/s = 35 \ rev/s$.
તેથી,$\omega = 2 \times \pi \times 35 = 70\pi \ rad/s$.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા મળે છે.
$L = 0.4 \times 70\pi = 28\pi \ kg \cdot m^2/s$.
$\pi \approx 22/7$ લેતા,$L = 28 \times (22/7) = 4 \times 22 = 88 \ kg \cdot m^2/s$.

(D) કોણીય વેગમાન $L$ એ સ્થાન સદિશ $r$ અને રેખીય વેગમાન સદિશ $p$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $L = r \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $L$ હંમેશા તે સમતલને લંબ હોય છે જેમાં $r$ અને $p$ બંને સદિશો આવેલા હોય છે.
સ્થાન સદિશ $r$ અને રેખીય વેગમાન સદિશ $p$ બંને કક્ષીય સમતલમાં આવેલા હોવાથી,કોણીય વેગમાન સદિશ $L$ કક્ષીય સમતલને લંબ હોવો જોઈએ.

(A) ચાકગતિ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{L^2}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$L$ માટે સૂત્રને કર્તા બનાવતા,$L = \sqrt{2EI}$ મળે.
અહીં $E = 10 \ J$ અને $I = 8 \times 10^{-7} \ kg \ m^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $L = \sqrt{2 \times 10 \times 8 \times 10^{-7}}$.
$L = \sqrt{160 \times 10^{-7}} = \sqrt{16 \times 10^{-6}}$.
$L = 4 \times 10^{-3} \ kg \ m^2/s$.

(C) ભ્રમણ કરતા પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L$ એ તેની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ અને તેના કોણીય વેગ $\omega$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$L = I \omega$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ભ્રમણ કરતા પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોતાની અક્ષ પર ભ્રમણ કરતા નક્કર ગોળા (પૃથ્વી) માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
સમયગાળા $T$ ના પદોમાં કોણીય વેગ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ થાય.
આ કિંમતોને કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \left( \frac{2}{5} M R^2 \right) \times \left( \frac{2 \pi}{T} \right) = \frac{4 \pi M R^2}{5 T}$.

(A) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{L}$ હંમેશા $\vec{r}$ અને $\vec{p}$ સદિશો ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
જેহেতু કણ ભ્રમણ સમતલમાં ગતિ કરે છે,તેથી $\vec{r}$ અને $\vec{p}$ બંને આ સમતલમાં આવેલા હોય છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ હંમેશા ભ્રમણ સમતલને લંબ હોય છે.

(A) આઘાત $J = Mv$ સળિયાના એક છેડે આપવામાં આવે છે. આ આઘાત સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ની આસપાસ કોણીય વેગમાન પ્રદાન કરે છે.
બે દડાની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સળિયાના મધ્યબિંદુ પર છે.
આઘાત $J$ દ્વારા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ આપવામાં આવેલ કોણીય વેગમાન $L_{CM} = J \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = L/2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી આઘાત લાગવાના બિંદુ સુધીનું અંતર છે.
$L_{CM} = (Mv) \times (L/2) = \frac{MvL}{2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષની આસપાસ સિસ્ટમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M(L/2)^2 + M(L/2)^2 = 2M(L^2/4) = \frac{ML^2}{2}$ છે.
સંબંધ $L_{CM} = I\omega$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{MvL}{2} = \left( \frac{ML^2}{2} \right) \omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{MvL/2}{ML^2/2} = \frac{v}{L}$.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = r \times p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ સ્થાન સદિશ છે અને $p$ એ રેખીય વેગમાન છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = p \times d$ છે,જ્યાં $d$ એ ઉગમબિંદુથી ગતિની રેખા સુધીનું લંબ અંતર છે.
અહીં,દળ $m$ અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેથી રેખીય વેગમાન $p = mv$ અચળ રહે છે.
ઉગમબિંદુથી ગતિની રેખા સુધીનું લંબ અંતર $d$ અચળ છે અને તે $a$ જેટલું છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન $L = mv \times a = mva$,જે એક અચળ મૂલ્ય છે.

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L = p \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p = mv$ એ રેખીય વેગમાન છે અને $d$ એ ઉગમબિંદુથી ગતિની રેખાનું લંબ અંતર છે.
ગતિની રેખા $Y = X + 4$ છે,જેને $X - Y + 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $X - Y + 4 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$d = \frac{|(1)(0) - (1)(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ એકમ.
રેખીય વેગમાન $p = mv = 5 \times 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ એકમ.
તેથી,કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય:
$L = p \times d = (15\sqrt{2}) \times (2\sqrt{2}) = 15 \times 2 \times 2 = 60$ એકમ.

(C) કોઈ પદાર્થ પર લાગતું સરેરાશ ટોર્ક $\bar{\tau}$ એ કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $\bar{\tau} = \frac{\Delta L}{\Delta t}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = 30\, kg\, m^2/s$
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = 20\, kg\, m^2/s$
સમયગાળો $\Delta t = 2\, s$
કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta L = L_f - L_i = 20 - 30 = -10\, kg\, m^2/s$.
સરેરાશ ટોર્કનું મૂલ્ય $|\bar{\tau}| = |\frac{-10}{2}| = 5\, N\, m$ થાય.

(D) ઉગમબિંદુને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\vec{r} = (1\hat{i} + 1\hat{j}) \ m$,$m = 2 \ kg$,અને $\vec{v} = 2(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \ m/s$.
તેથી,$\vec{p} = m\vec{v} = 2 \times 2(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 4(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \ kg \cdot m/s$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{L} = (\hat{i} + \hat{j}) \times 4(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{L} = 4 [(\hat{i} \times \hat{i}) - (\hat{i} \times \hat{j}) + (\hat{i} \times \hat{k}) + (\hat{j} \times \hat{i}) - (\hat{j} \times \hat{j}) + (\hat{j} \times \hat{k})]$
સદિશ ગુણાકારના નિયમો મુજબ: $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$,$\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{j} = 0$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$.
$\vec{L} = 4 [0 - \hat{k} - \hat{j} - \hat{k} - 0 + \hat{i}]$
$\vec{L} = 4(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.
$z$-અક્ષને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન એ $\vec{L}$ નો $z$-ઘટક છે,જે $L_z = -8 \ kg \cdot m^2/s$ છે.