Centre of mass (Point Mass) Questions in Gujarati

(D) દરેક દડાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
ત્રણેય દડા સમાન હોવાથી અને તેમના કેન્દ્રો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવતા હોવાથી,આ તંત્ર સંમિત છે.
કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ વ્યક્તિગત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રોના સ્થાનની ભારિત સરેરાશ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવેલા ત્રણ સમાન દ્રવ્યમાન માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર (Centroid) પર સંપાત થાય છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ તેની મધ્યગાઓનું છેદબિંદુ છે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ કણોની સિસ્ટમ અથવા દ્રઢ પદાર્થ માટે વ્યાખ્યાયિત એક વિશિષ્ટ બિંદુ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,તે એવું બિંદુ છે જ્યાં સિસ્ટમની સ્થાનાંતરિત ગતિનું વર્ણન કરવા માટે પદાર્થનું સમગ્ર દળ કેન્દ્રિત થયેલું માનવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) કોઈપણ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ એવું બિંદુ છે જ્યાં સ્થાનાંતરિત ગતિ માટે પદાર્થનું સમગ્ર દ્રવ્યમાન કેન્દ્રિત થયેલું ગણી શકાય છે. જો કે,જ્યારે ક્રિકેટ બેટ જેવા અસમાન પદાર્થને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પરથી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે મળતા બે ટુકડાઓનું દ્રવ્યમાન સમાન હોવું જરૂરી નથી.
ક્રિકેટ બેટમાં,દ્રવ્યમાન હેન્ડલ કરતા નીચેના ભાગમાં (બ્લેડમાં) વધુ કેન્દ્રિત હોય છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ભારે છેડા (બ્લેડ) ની નજીક હોય છે. જ્યારે બેટને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પરથી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે બ્લેડ ધરાવતો ભાગ (નીચેનો ટુકડો) વધુ દ્રવ્ય ધરાવે છે અને તેથી હેન્ડલવાળા ટુકડાની સરખામણીમાં તેનું દ્રવ્યમાન વધારે હોય છે.

(B) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણોની સિસ્ટમ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $r_1$ અને $r_2$ અંતરે,શરત $m_1 r_1 = m_2 r_2$ છે.
આ સૂચવે છે કે $r_1 / r_2 = m_2 / m_1$.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કોઈ પણ કણથી અંતર $r$ તે કણના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(r \propto 1/m)$.

(C) એક સમાન ત્રિકોણાકાર પ્લેટ (lamina) માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર (centroid) પર સ્થિત હોય છે.
જો ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો મધ્યકેન્દ્ર $(x_{cm}, y_{cm})$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{cm} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ અને $y_{cm} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.
આકૃતિ પરથી,શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(b, 0)$ અને $(0, h)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{0 + b + 0}{3} = \frac{b}{3}$
$y_{cm} = \frac{0 + 0 + h}{3} = \frac{h}{3}$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(\frac{b}{3}, \frac{h}{3})$ છે.

(C) $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે કણોની સિસ્ટમ માટે,જે તેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $r_1$ અને $r_2$ અંતરે આવેલા છે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની શરત $m_1 r_1 = m_2 r_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{m_2}{m_1}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી કણોના અંતરનો ગુણોત્તર તેમના દળના ગુણોત્તરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બે કણો વચ્ચેના અંતરને તેમના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં વિભાજિત કરે છે.

(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $R_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અપરિવર્તિત રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta R_{cm} = 0$.
તેથી,$m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
અહીં,દળ $m_1$ ને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતર સુધી ખસેડવામાં આવે છે. ધારો કે સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = d$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $m_1 d + m_2 \Delta x_2 = 0$.
$\Delta x_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\Delta x_2 = -\frac{m_1}{m_2} d$ મળે છે.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દળ $m_2$ ને $m_1$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ) $\frac{m_1}{m_2} d$ અંતર સુધી ખસેડવું જોઈએ.

(B) સળિયાની રેખીય ઘનતા અંતર સાથે $\lambda = 2 + x$ મુજબ બદલાય છે.
$x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના નાના ખંડ માટે,દળ $dm = \lambda \ dx = (2 + x) \ dx$ થાય.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_{cm}$ નીચે મુજબ મળે:
$x_{cm} = \frac{\int x \ dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{3} x(2 + x) \ dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \ dx}$
અંશની ગણતરી:
$\int_{0}^{3} (2x + x^2) \ dx = [x^2 + \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + \frac{3^3}{3}) - 0 = 9 + 9 = 18$.
છેદની ગણતરી (કુલ દળ $M$):
$\int_{0}^{3} (2 + x) \ dx = [2x + \frac{x^2}{2}]_{0}^{3} = (2(3) + \frac{3^2}{2}) - 0 = 6 + 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2}$.
તેથી,$x_{cm} = \frac{18}{21/2} = \frac{18 \times 2}{21} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7} \ m$.

(A) વસ્તુ શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ કરે તે માટે,લગાડવામાં આવેલું બળ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ માંથી પસાર થવું જોઈએ.
ધારો કે આડી સળિયા $AB$ નું દળ $m$ છે. કારણ કે ઉભી સળિયા $CD$ ની લંબાઈ $2l$ છે અને આડી સળિયા $AB$ ની લંબાઈ $l$ છે,સમાન ઘનતા ધારતા,સળિયા $CD$ નું દળ $2m$ થશે.
સળિયા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ $D$ પર છે,જે $C$ થી $2l$ અંતરે છે. ધારો કે $y_1 = 2l$.
સળિયા $CD$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર છે,જે $C$ થી $l$ અંતરે છે. ધારો કે $y_2 = l$.
$C$ ને ઉગમબિંદુ તરીકે લેતા,ઉભી ધરી પર તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન:
$y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$
$y_{cm} = \frac{m(2l) + (2m)(l)}{m + 2m} = \frac{2ml + 2ml}{3m} = \frac{4ml}{3m} = \frac{4l}{3}$
આમ,શુદ્ધ સ્થાનાંતરિત ગતિ સુનિશ્ચિત કરવા માટે બળ $C$ થી $\frac{4l}{3}$ અંતરે લગાડવું જોઈએ.

(C) ધારો કે ચાર પદાર્થોના સ્થાન $a(-x, -y)$,$b(x, -y)$,$c(x, y)$,અને $d(-x, y)$ છે.
સમાન દળ $m$ ધરાવતા બે પદાર્થોના સ્થાન $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય,તો તેમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચે મુજબ મળે: $X_{cm} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ અને $Y_{cm} = \frac{y_1 + y_2}{2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર રહે તે માટે,$x_1 + x_2 = 0$ અને $y_1 + y_2 = 0$ હોવું જોઈએ.
$1$. જોડી $a$ અને $c$ માટે: $a$ એ $(-x, -y)$ પર છે અને $c$ એ $(x, y)$ પર છે. યામોનો સરવાળો $(-x+x, -y+y) = (0, 0)$ થાય છે. તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર રહેશે.
$2$. જોડી $b$ અને $d$ માટે: $b$ એ $(x, -y)$ પર છે અને $d$ એ $(-x, y)$ પર છે. યામોનો સરવાળો $(x-x, -y+y) = (0, 0)$ થાય છે. તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર રહેશે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,$a$ અને $c$ ની જોડી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ઉગમબિંદુ પર જાળવી રાખે છે.

(B) ધારો કે ત્રણેય ગોળાઓના દળ $m_1 = m_2 = m_3 = 1 \ kg$ છે.
ધારો કે કેન્દ્રો $P, Q, R$ ના સ્થાન $x$-અક્ષ પર $x_P, x_Q, x_R$ છે.
$P$ એ ઉગમબિંદુ હોવાથી,$x_P = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x_{cm})$ નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_P + m_2 x_Q + m_3 x_R}{m_1 + m_2 + m_3}$
કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{1 \times 0 + 1 \times PQ + 1 \times PR}{1 + 1 + 1} = \frac{PQ + PR}{3}$
બધા કેન્દ્રો $x$-અક્ષ પર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $y_{cm} = 0$ છે.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું $P$ થી અંતર $\frac{PQ + PR}{3}$ છે.

(A) ધારો કે સીડીની લંબાઈ $L$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના નીચેના છેડાથી $L/2$ અંતરે છે. ધારો કે ભોંયતળિયા સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે: $x = (L/2) \cos \theta$ અને $y = (L/2) \sin \theta$. આ બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $x^2 + y^2 = (L/2)^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = (L/2)^2$ મળે છે. આ ઉગમબિંદુ (જ્યાં દીવાલ અને ભોંયતળિયું મળે છે તે ખૂણો) પર કેન્દ્રિત $L/2$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ છે. આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ખૂણા પર કેન્દ્રિત વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરે છે.

(B) બે પદાર્થો પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડવામાં આવતું હોવાથી,તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,જો તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
તેથી,બંને પદાર્થો તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર મળશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $M x_A = m x_B$ સંબંધ દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $x_A$ અને $x_B$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી પદાર્થોના અંતર છે.
અહીં $M > m$ હોવાથી,$x_A < x_B$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર વધુ દળ ધરાવતા પદાર્થની નજીક હોય છે,જે પદાર્થ $A$ છે.

(A) વિસ્ફોટ પહેલાં,કણ $x$-અક્ષ પર ગતિ કરતો હતો,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગનો $y$-ઘટક શૂન્ય હતો. પરિણામે,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y$-દિશામાં ગતિ કરશે નહીં,તેથી $y_{CM} = 0$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $0 = \frac{(m/4)(+15) + (3m/4)(y)}{m}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $0 = \frac{15}{4} + \frac{3y}{4}$.
$y$ માટે ઉકેલતા: $\frac{3y}{4} = -\frac{15}{4}$,જે આપણને $y = -5 \ cm$ આપે છે.

(D) સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર સ્થિત છે,જે પીવટથી $l/2$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયાને $\theta = 60^o$ ના ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h$ જેટલી ઊભી ઊંચાઈએ ઉપર જાય છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,સ્થાનાંતરિત સ્થિતિમાં પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું ઊભું અંતર $(l/2) \cos \theta$ છે.
પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પ્રારંભિક ઊભું અંતર $l/2$ છે.
તેથી,ઊંચાઈમાં વધારો $h$ નીચે મુજબ મળે છે:
$h = \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \cos \theta = \frac{l}{2}(1 - \cos \theta)$
સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો $\Delta U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $m = 400 \ g = 0.4 \ kg$,$l = 1 \ m$,$\theta = 60^o$,અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 0.4 \times 10 \times \frac{1}{2}(1 - \cos 60^o)$
$\Delta U = 4 \times 0.5 \times (1 - 0.5)$
$\Delta U = 2 \times 0.5 = 1 \ J$.

(B) સળિયાની રેખીય ઘનતા અંતર $x$ સાથે $\lambda = \frac{dm}{dx} = 2 + x$ મુજબ બદલાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} = \frac{\int_{0}^{3} x \lambda \, dx}{\int_{0}^{3} \lambda \, dx}$
$\lambda = 2 + x$ મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} x(2 + x) \, dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx} = \frac{\int_{0}^{3} (2x + x^2) \, dx}{\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx}$
સંકલન કરતા:
અંશ: $\int_{0}^{3} (2x + x^2) \, dx = [x^2 + \frac{x^3}{3}]_{0}^{3} = (3^2 + \frac{3^3}{3}) - 0 = 9 + 9 = 18$
છેદ: $\int_{0}^{3} (2 + x) \, dx = [2x + \frac{x^2}{2}]_{0}^{3} = (2(3) + \frac{3^2}{2}) - 0 = 6 + 4.5 = 10.5 = \frac{21}{2}$
તેથી,$x_{cm} = \frac{18}{21/2} = \frac{18 \times 2}{21} = \frac{36}{21} = \frac{12}{7} \ m$.

(A) ધારો કે તકતી $xy$-સમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે. તકતી પ્રથમ ચરણમાં છે.
$y=x$ રેખાની સાપેક્ષ સંમિતિને કારણે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ આ રેખા પર જ હોવું જોઈએ,તેથી $X_{cm} = Y_{cm}$.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધ-વર્તુળાકાર તકતી માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સંમિતિની અક્ષ પર વ્યાસથી $\frac{4R}{3\pi}$ અંતરે હોય છે.
ચતુર્થાંશ તકતી માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $X_{cm} = \frac{4R}{3\pi}$ અને $Y_{cm} = \frac{4R}{3\pi}$ છે.
ઉગમબિંદુ $O$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $d = \sqrt{X_{cm}^2 + Y_{cm}^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = \sqrt{\left(\frac{4R}{3\pi}\right)^2 + \left(\frac{4R}{3\pi}\right)^2} = \sqrt{2 \left(\frac{4R}{3\pi}\right)^2} = \sqrt{2} \frac{4R}{3\pi}$.

(D) ધારો કે આડા સળિયાનું દળ $m_1$ છે અને ઊભા સળિયાનું દળ $m_2$ છે.
આડા સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(L/2, 0)$ પર છે અને ઊભા સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0, L/2)$ પર છે.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$X_{cm} = \frac{m_1(L/2) + m_2(0)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 L}{2(m_1 + m_2)}$
$Y_{cm} = \frac{m_1(0) + m_2(L/2)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 L}{2(m_1 + m_2)}$
સળિયા અલગ-અલગ દ્રવ્યના હોવાથી,$m_1 \neq m_2$. ધારો કે $\lambda = m_2/m_1$. તો $X_{cm} = \frac{L}{2(1+\lambda)}$ અને $Y_{cm} = \frac{\lambda L}{2(1+\lambda)}$.
અહીં $X_{cm} + Y_{cm} = \frac{L}{2(1+\lambda)} + \frac{\lambda L}{2(1+\lambda)} = \frac{L}{2}$ થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા,માત્ર $(L/3, L/6)$ એ $X_{cm} + Y_{cm} = L/2$ શરતનું પાલન કરે છે (એટલે કે $L/3 + L/6 = L/2$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(L/3, L/6)$ છે.

(D) રીંગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.M.)$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
જીવા $AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ $(R/2, R/2)$ પર આવેલું છે.
સંયુક્ત તંત્રનું $C.M.$ રીંગના $C.M.$ અને જીવાના $C.M.$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોવું જોઈએ.
આ રેખાખંડ $0 \le x \le R/2$ માટે $y = x$ રેખા છે.
તેથી,તંત્રના $C.M.$ ના યામ $(x, x)$ હોવા જોઈએ જ્યાં $0 \le x \le R/2$ હોય.
વિકલ્પ $(A)$ $(R/3, R/3)$ આ શરતનું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $(B)$ $(R/3, R/2)$ એ $x = y$ શરતનું પાલન કરતું નથી.
વિકલ્પ $(C)$ $(R/\sqrt{2}, R/\sqrt{2})$ માં $x = R/\sqrt{2} \approx 0.707R$ છે,જે $R/2 = 0.5R$ કરતા વધારે છે,તેથી તે શક્ય વિસ્તારની બહાર છે.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હોઈ શકે નહીં.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વસ્તુઓ માટે તેમના ભૌમિતિક કેન્દ્રથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ ના સાચા સ્થાન નીચે મુજબ છે:
$[1]$ સમાન અર્ધવર્તુળાકાર તકતી માટે,$CM$ $\frac{4R}{3\pi}$ પર છે.
$[2]$ સમાન અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ માટે,$CM$ $\frac{2R}{\pi}$ પર છે.
$[3]$ નક્કર અર્ધગોળા માટે,$CM$ $\frac{3R}{8}$ પર છે.
$[4]$ અર્ધગોળાકાર કવચ માટે,$CM$ $\frac{R}{2}$ પર છે.
આ વિધાનોની સરખામણી કરતા,માત્ર વિધાન $[4]$ સાચું છે.

(D) અક્ષ $AA$ (જે $m_A$ માંથી પસાર થાય છે) ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AA} = m_B l^2$ છે.
અક્ષ $BB$ (જે $m_B$ માંથી પસાર થાય છે) ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{BB} = m_A l^2$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{I_{BB}}{I_{AA}} = 3$,તેથી $\frac{m_A l^2}{m_B l^2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{m_A}{m_B} = 3$ અથવા $m_A = 3 m_B$.
ધારો કે $m_A$ થી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $x_A$ છે. તો $m_B$ થી તેનું અંતર $(l - x_A)$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$m_A x_A = m_B (l - x_A)$.
$m_A = 3 m_B$ મૂકતા,આપણને $3 m_B x_A = m_B (l - x_A)$ મળે છે.
$m_B$ વડે ભાગતા,$3 x_A = l - x_A$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4 x_A = l$ થાય છે.
તેથી,$x_A = \frac{l}{4}$.

(D) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ છે. સળિયો ઘર્ષણવાળી સમક્ષિતિજ સપાટી પર શિરોલંબ મૂકવામાં આવ્યો છે.
સપાટી પર ઘર્ષણ હોવાથી,સળિયો નીચે પડે ત્યારે સંપર્ક બિંદુ $P$ સ્થિર રહે છે.
સળિયા-સપાટીના તંત્ર પર સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી (ધારી લઈએ કે ઘર્ષણ સરકવા દેતું નથી).
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ નું સમક્ષિતિજ સ્થાન બદલાતું નથી.
શરૂઆતમાં સળિયો શિરોલંબ છે,તેથી તેનું $CM$ સંપર્ક બિંદુ $P$ ની બરાબર ઉપર છે.
તેથી,$CM$ નો સમક્ષિતિજ યામ $P$ પર છે.
જ્યારે સળિયો સમક્ષિતિજ થાય છે,ત્યારે તેનું $CM$ હજુ પણ તે જ સમક્ષિતિજ સ્થાને હોવું જોઈએ જ્યાં તે શરૂઆતમાં હતું.
આમ,$CM$ બિંદુ $P$ પર જ રહે છે.

(D) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. શરૂઆતમાં,કણોના સ્થાન $-x_1$ અને $x_2$ છે,જેથી $m_1(-x_1) + m_2(x_2) = 0$,જેનો અર્થ થાય છે $m_1 x_1 = m_2 x_2$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે પ્રથમ કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું સ્થાન $-(x_1 - d)$ થાય છે. ધારો કે બીજા કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d'$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,તેથી તેનું નવું સ્થાન $(x_2 - d')$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ઉગમબિંદુ પર રાખવા માટે,નવી શરત છે:
$m_1(-(x_1 - d)) + m_2(x_2 - d') = 0$
$-m_1 x_1 + m_1 d + m_2 x_2 - m_2 d' = 0$
સમીકરણ $1$ મુજબ $m_1 x_1 = m_2 x_2$ હોવાથી,$m_1 x_1$ અને $m_2 x_2$ પદો રદ થાય છે:
$m_1 d - m_2 d' = 0$
$m_2 d' = m_1 d$
$d' = \frac{m_1}{m_2} d$

(A) ધારો કે $h$ ઊંચાઈ અને $R$ પાયાની ત્રિજ્યા ધરાવતો એક નક્કર શંકુ છે. પદાર્થની ઘનતા $\rho$ છે.
શિરોબિંદુને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર અને શંકુની અક્ષને $y$-અક્ષ પર લઈએ.
શિરોબિંદુથી $y$ અંતરે,$dy$ જાડાઈ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક પાતળી તકતી (disk) વિચારો.
સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$\frac{r}{y} = \frac{R}{h}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{h}y$.
આ તકતીનું દળ $dm = \rho \cdot \pi r^2 dy = \rho \pi \left(\frac{R}{h}y\right)^2 dy$ થાય.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $z_0$ (અથવા $y_{cm}$) નીચે મુજબ મળે:
$z_0 = \frac{\int y dm}{\int dm} = \frac{\int_0^h y \cdot \rho \pi \frac{R^2}{h^2} y^2 dy}{\int_0^h \rho \pi \frac{R^2}{h^2} y^2 dy}$
$z_0 = \frac{\int_0^h y^3 dy}{\int_0^h y^2 dy} = \frac{[y^4/4]_0^h}{[y^3/3]_0^h} = \frac{h^4/4}{h^3/3} = \frac{3h}{4}$.

(A) એક છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના નાના ઘટકનું દળ $dm = \lambda dx = \frac{k x^3}{L^3} dx$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$
$dm$ માટેનું પદ મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{\int_0^L x (\frac{k x^3}{L^3} dx)}{\int_0^L (\frac{k x^3}{L^3} dx)}$
$X_{cm} = \frac{\frac{k}{L^3} \int_0^L x^4 dx}{\frac{k}{L^3} \int_0^L x^3 dx}$
$X_{cm} = \frac{[\frac{x^5}{5}]_0^L}{[\frac{x^4}{4}]_0^L} = \frac{L^5 / 5}{L^4 / 4} = \frac{4}{5} L$

(D) ધારો કે ત્રણ દળોના સ્થાન $m_1 = M$ એ $(L, 0)$ પર, $m_2 = M$ એ $(-L, 0)$ પર, અને $m_3 = M$ એ $(L \cos \theta, L \sin \theta)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X, Y)$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$X = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{M(L) + M(-L) + M(L \cos \theta)}{3M} = \frac{L \cos \theta}{3}$
$Y = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{M(0) + M(0) + M(L \sin \theta)}{3M} = \frac{L \sin \theta}{3}$
$X$ અને $Y$ ના સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$X^2 + Y^2 = (\frac{L \cos \theta}{3})^2 + (\frac{L \sin \theta}{3})^2 = \frac{L^2}{9} (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \frac{L^2}{9}$
આમ, $COM$ દ્વારા અનુસરવામાં આવતો પથ $x^2 + y^2 = L^2/9$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે દરેક સમઘનનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધીએ છીએ. દરેક સમઘનની બાજુની લંબાઈ $1$ એકમ હોવાથી અને તે અક્ષો પર ગોઠવાયેલા હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો નીચે મુજબ છે:
સમઘન $1$ (ઉગમબિંદુ પર): $(0.5, 0.5, 0.5)$
સમઘન $2$ ($x$-અક્ષ પર): $(1.5, 0.5, 0.5)$
સમઘન $3$ ($y$-અક્ષ પર): $(0.5, 1.5, 0.5)$
સમઘન $4$ ($z$-અક્ષ પર): $(0.5, 0.5, 1.5)$
બધા ચાર સમઘન સમાન હોવાથી,આપણે દરેક સમઘનના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને તેના કેન્દ્ર પર રહેલા સમાન દળ $m$ ના બિંદુવત કણ તરીકે ગણી શકીએ છીએ.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$x_{\text{COM}} = \frac{m(0.5) + m(1.5) + m(0.5) + m(0.5)}{4m} = \frac{3.0}{4} = 0.75$
$y_{\text{COM}} = \frac{m(0.5) + m(0.5) + m(1.5) + m(0.5)}{4m} = \frac{3.0}{4} = 0.75$
$z_{\text{COM}} = \frac{m(0.5) + m(0.5) + m(0.5) + m(1.5)}{4m} = \frac{3.0}{4} = 0.75$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(0.75, 0.75, 0.75)$ અથવા $(3/4, 3/4, 3/4)$ છે.

(C) ધારો કે $1^{st}$ બ્લોકનું દળ $m_1 = m$ અને તેની લંબાઈ $x_1 = x$ છે. $n^{th}$ બ્લોકનું દળ $m_n = m/4^{n-1}$ અને તેની લંબાઈ $x_n = x/2^{n-1}$ છે.
ડાબી ધાર (અક્ષ $AA'$) ની સાપેક્ષમાં સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે દરેક બ્લોકના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ભારિત સરેરાશની ગણતરી કરીએ છીએ.
અક્ષ $AA'$ થી $n^{th}$ બ્લોકનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm,n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2^{n-1}} = \frac{x}{2^n}$ છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{m}{4^{n-1}} = m \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \dots \right) = m \left( \frac{1}{1 - 1/4} \right) = \frac{4m}{3}$ છે.
આખી સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{n=1}^{\infty} m_n x_{cm,n} = \frac{3}{4m} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{m}{4^{n-1}} \cdot \frac{x}{2^n} \right) = \frac{3x}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot 4^{n-1}} = \frac{3x}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot 2^{2n-2}} = \frac{3x}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{3n-2}} = \frac{3x}{4} \left( \frac{1/2}{1 - 1/8} \right) = \frac{3x}{4} \left( \frac{1/2}{7/8} \right) = \frac{3x}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{3x}{7}$ છે.
સિસ્ટમ પડવાની અણી પર હોય તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની ધાર પર હોવું જોઈએ,તેથી $L = X_{CM} = 3x/7$.

(D) ધારો કે દરેક ઈંટનું દળ $m$ છે. દરેક વ્યક્તિગત ઈંટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
નીચેની ઈંટ (ઈંટ $1$) ની ડાબી ધાર પર ઉગમબિંદુ $O$ લેતા:
$x_1 = \frac{L}{2}$
$x_2 = \frac{L}{2} + \frac{L}{10}$
$x_3 = \frac{L}{2} + \frac{2L}{10}$
$x_4 = \frac{L}{2} + \frac{3L}{10}$
$x_5 = \frac{L}{2} + \frac{2L}{10}$
$x_6 = \frac{L}{2} + \frac{L}{10}$
$x_7 = \frac{L}{2}$
તંત્રનું કુલ દળ $M = 7m$ છે.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = \frac{m(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7)}{7m}$
$x_{cm} = \frac{1}{7} [(\frac{L}{2}) + (\frac{L}{2} + \frac{L}{10}) + (\frac{L}{2} + \frac{2L}{10}) + (\frac{L}{2} + \frac{3L}{10}) + (\frac{L}{2} + \frac{2L}{10}) + (\frac{L}{2} + \frac{L}{10}) + (\frac{L}{2})]$
$x_{cm} = \frac{1}{7} [7(\frac{L}{2}) + 2(\frac{L}{10} + \frac{2L}{10} + \frac{3L}{10})]$
$x_{cm} = \frac{1}{7} [\frac{7L}{2} + \frac{6L}{5}] = \frac{47L}{70}$

(C) બે કણો (અથવા બે પદાર્થો) ના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર હંમેશા તેમના વ્યક્તિગત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર આવેલું હોય છે.
આ કિસ્સામાં,બે સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રો બિંદુ $A$ અને $B$ પર છે.
તેથી,સંયુક્ત તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર રેખાખંડ $AB$ પર હોવું આવશ્યક છે.
જેમ કે રેખા $AB$ એ વિસ્તાર $1$ અને વિસ્તાર $2$ વચ્ચેની સીમા છે,અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર આ રેખા પર હોવું જોઈએ,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $\vec{R}_{cm}$ ને $\frac{\int \vec{r} \, dm}{\int dm}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સમાન ઘનતા $\rho$ ધરાવતા પદાર્થ માટે,નાના કદના ભાગ $dV$ નું દ્રવ્યમાન $dm = \rho \, dV$ થાય છે.
આ કિંમતને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{R}_{cm} = \frac{\int \vec{r} \, \rho \, dV}{\int \rho \, dV}$.
સમાન ઘનતા ધરાવતા પદાર્થ માટે $\rho$ અચળ હોવાથી,તેને સંકલનની બહાર કાઢી શકાય છે:
$\vec{R}_{cm} = \frac{\rho \int \vec{r} \, dV}{\rho \int dV} = \frac{\int \vec{r} \, dV}{\int dV}$.
આ પદ એ પ્રશ્નમાં આપેલ કદના કેન્દ્રની વ્યાખ્યા સમાન છે.
તેથી,સમાન ઘનતા ધરાવતા પદાર્થ માટે,કદનું કેન્દ્ર એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમાન હોય છે.

(D) કણોની સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $\vec{R}_{cm} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}$ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર કણોના દળ $(m_i)$ અને તેમના સ્થાન $(\vec{r}_i)$ પર આધાર રાખે છે.
કણો વચ્ચેનું સાપેક્ષ અંતર એ તેમના સ્થાનનું વિધેય છે.
જોકે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર એ દળના વિતરણનો એક ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે અને તે કણો પર લાગતા બાહ્ય કે આંતરિક બળો પર આધાર રાખતું નથી.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $x_{cm}$ સૂત્ર $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = kx^2$ હોવાથી,દળનો ઘટક $dm = \lambda dx = kx^2 dx$ થશે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x (kx^2 dx)}{\int_{0}^{L} kx^2 dx} = \frac{k \int_{0}^{L} x^3 dx}{k \int_{0}^{L} x^2 dx}$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$x_{cm} = \frac{[x^4/4]_{0}^{L}}{[x^3/3]_{0}^{L}} = \frac{L^4/4}{L^3/3} = \frac{L^4}{4} \times \frac{3}{L^3} = \frac{3L}{4}$.

(B) ધારો કે $\rho$ એ તકતીઓની પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા છે. સમાન જાડાઈ અને દ્રવ્ય હોવાથી,$\rho$ બંને માટે અચળ છે.
મોટી તકતીનું દળ $(M_1)$ = $\pi(2R)^2 \rho = 4\pi R^2 \rho$.
મોટી તકતીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે,તેથી $x_1 = 0$.
નાની તકતીનું દળ $(M_2)$ = $\pi R^2 \rho$.
નાની તકતીનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $R$ અંતરે છે,તેથી $x_2 = R$.
તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2}{M_1 + M_2}$
$X_{cm} = \frac{(4\pi R^2 \rho)(0) + (\pi R^2 \rho)(R)}{4\pi R^2 \rho + \pi R^2 \rho}$
$X_{cm} = \frac{\pi R^3 \rho}{5\pi R^2 \rho} = \frac{R}{5}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી નાની તકતી તરફ $\frac{R}{5}$ અંતરે છે.

(A) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે $M$ દળ ઉગમબિંદુ $(x_1 = 0)$ પર છે અને $4M$ દળ $x_2 = 10 \ m$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{cm} = \frac{M_1 x_1 + M_2 x_2}{M_1 + M_2}$
$X_{cm} = \frac{M(0) + 4M(10)}{M + 4M} = \frac{40M}{5M} = 8 \ m$.
કણો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર અથડાશે.
તેથી,નાના કણ (દળ $M$) થી અંતર $8 \ m$ છે.

(B) ધારો કે સળિયાઓની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ છે.
દરેક સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મધ્યબિંદુ પર હોય છે. $y-$ અક્ષથી શરૂ થતા $l_i$ લંબાઈના સળિયા માટે,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x-$ યામ $x_i = l_i / 2$ છે.
દરેક સળિયાનું દળ $m_i = \lambda l_i$ છે.
લંબાઈઓ $L, L/2, L/4, \dots$ છે,તેથી દળ $M_1 = \lambda L, M_2 = \lambda L/2, M_3 = \lambda L/4, \dots$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રોના $x-$ યામ $x_1 = L/2, x_2 = L/4, x_3 = L/8, \dots$ છે.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x-$ યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = \frac{(\lambda L)(L/2) + (\lambda L/2)(L/4) + (\lambda L/4)(L/8) + \dots}{\lambda L + \lambda L/2 + \lambda L/4 + \dots}$
$X_{CM} = \frac{\lambda L^2 (1/2 + 1/8 + 1/32 + \dots)}{\lambda L (1 + 1/2 + 1/4 + \dots)}$
$X_{CM} = \frac{L}{2} \cdot \frac{(1 + 1/4 + 1/16 + \dots)}{(1 + 1/2 + 1/4 + \dots)}$
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશનો સરવાળો $= \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = 4/3$.
છેદનો સરવાળો $= \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
$X_{CM} = \frac{L}{2} \cdot \frac{4/3}{2} = \frac{L}{2} \cdot \frac{2}{3} = L/3$.

(D) સતત પદાર્થ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઘનતા $\rho(x) = \rho_0 \frac{x^2}{L^2}$ છે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ માટે દ્રવ્યમાનનો અંશ $dm = \rho(x) A dx = \rho_0 \frac{x^2}{L^2} A dx$ થાય.
કુલ દ્રવ્યમાન $M = \int_0^L dm = \int_0^L \rho_0 \frac{x^2}{L^2} A dx = \frac{\rho_0 A}{L^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L = \frac{\rho_0 A L}{3}$.
ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે દ્રવ્યમાનની મોમેન્ટ $\int_0^L x dm = \int_0^L x \left( \rho_0 \frac{x^2}{L^2} A \right) dx = \frac{\rho_0 A}{L^2} \int_0^L x^3 dx = \frac{\rho_0 A}{L^2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^L = \frac{\rho_0 A L^2}{4}$ છે.
તેથી,$x_{cm} = \frac{\frac{\rho_0 A L^2}{4}}{\frac{\rho_0 A L}{3}} = \frac{3L}{4}$.

(A) આકૃતિના આધારે ચોરસના ખૂણાઓના યામ નીચે મુજબ છે:
$2\,kg$ માટે $(0,0)$,$3\,kg$ માટે $(2,0)$,$5\,kg$ માટે $(2,2)$,અને $8\,kg$ માટે $(0,2)$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + m_4 x_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$
$X_{CM} = \frac{2 \times 0 + 3 \times 2 + 5 \times 2 + 8 \times 0}{2 + 3 + 5 + 8} = \frac{0 + 6 + 10 + 0}{18} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}\,m$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે:
$Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3 + m_4 y_4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}$
$Y_{CM} = \frac{2 \times 0 + 3 \times 0 + 5 \times 2 + 8 \times 2}{2 + 3 + 5 + 8} = \frac{0 + 0 + 10 + 16}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}\,m$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left( \frac{8}{9}, \frac{13}{9} \right)$ છે.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન સદિશનું સૂત્ર $\overrightarrow{r}_{cm} = \frac{m_{1} \overrightarrow{r}_{1} + m_{2} \overrightarrow{r}_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ છે.
અહીં $m_{1} = 1\,kg$,$\overrightarrow{r}_{1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $m_{2} = 3\,kg$,$\overrightarrow{r}_{2} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{r}_{cm} = \frac{1(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + 3(-2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k})}{1 + 3}$
$\overrightarrow{r}_{cm} = \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} - 6\hat{i} + 9\hat{j} - 12\hat{k}}{4}$
$\overrightarrow{r}_{cm} = \frac{-4\hat{i} + 12\hat{j} - 8\hat{k}}{4}$
$\overrightarrow{r}_{cm} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.

(A) ધારો કે તાર $AB$ અને $AC$ ની રેખીય ઘનતા $\lambda$ છે. તો તાર $BC$ ની રેખીય ઘનતા $2\lambda$ થશે.
$AB$ નું દળ $= 5\lambda$,$AC$ નું દળ $= 5\lambda$,$BC$ નું દળ $= 6 \times 2\lambda = 12\lambda$.
ત્રિકોણ $ABC$ ની $BC$ થી $A$ સુધીની ઊંચાઈ $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\,cm$ છે.
ધારો કે $BC$ એ $x$-અક્ષ પર છે,જ્યાં $B(0,0)$ અને $C(6,0)$ છે. તો $A$ ના યામ $(3,4)$ થશે.
$AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(1.5, 2)$ પર,$AC$ નું $(4.5, 2)$ પર અને $BC$ નું $(3, 0)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ $Y_{cm} = \frac{m_{AB}y_{AB} + m_{AC}y_{AC} + m_{BC}y_{BC}}{m_{AB} + m_{AC} + m_{BC}} = \frac{5\lambda(2) + 5\lambda(2) + 12\lambda(0)}{5\lambda + 5\lambda + 12\lambda} = \frac{20\lambda}{22\lambda} = \frac{10}{11}\,cm$.
આ અંતર પાયા $BC$ થી છે. $A$ થી અંતર $h - Y_{cm} = 4 - \frac{10}{11} = \frac{44-10}{11} = \frac{34}{11}\,cm$ થશે.

(A) ધારો કે પૃષ્ઠ દ્રવ્યમાન ઘનતા $\sigma$ છે. વર્તુળાકાર પ્લેટનો વ્યાસ $\ell$ છે,તેથી તેની ત્રિજ્યા $R = \ell/2$ છે. વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2 = \pi(\ell/2)^2 = \pi \ell^2/4$ છે. વર્તુળાકાર પ્લેટનું દ્રવ્યમાન $m_1 = \sigma A_1 = \sigma(\pi \ell^2/4)$ છે.
ચોરસ પ્લેટની બાજુની લંબાઈ $\ell$ છે,તેથી તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \ell^2$ છે. ચોરસ પ્લેટનું દ્રવ્યમાન $m_2 = \sigma A_2 = \sigma \ell^2$ છે.
ધારો કે વર્તુળાકાર પ્લેટનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. વર્તુળાકાર પ્લેટનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = 0$ પર છે. ચોરસ પ્લેટનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુથી $R + \ell/2 = \ell/2 + \ell/2 = \ell$ અંતરે છે. તેથી,$x_2 = \ell$.
સંયુક્ત તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{\sigma(\pi \ell^2/4)(0) + \sigma \ell^2(\ell)}{\sigma(\pi \ell^2/4) + \sigma \ell^2} = \frac{\ell^3}{\ell^2(\pi/4 + 1)} = \frac{\ell}{\pi/4 + 1} = \frac{4\ell}{\pi + 4}$.
$\pi \approx 3.14$ હોવાથી,$\pi + 4 \approx 7.14$ થાય. આમ,$x_{cm} = \frac{4\ell}{7.14} \approx 0.56\ell$.
ચોરસ પ્લેટ $x = \ell/2 = 0.5\ell$ થી $x = 3\ell/2 = 1.5\ell$ સુધી વિસ્તરેલી છે. $0.5\ell < 0.56\ell < 1.5\ell$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ચોરસ પ્લેટની અંદર આવેલું છે.

(A) ધારો કે દળ $m_1 = 1\,kg$,$m_2 = \frac{3}{2}\,kg$ અને $m_3 = 2\,kg$ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(a, 0)$ અને $C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$ પર આવેલા છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + \frac{3}{2}(a) + 2(\frac{a}{2})}{1 + \frac{3}{2} + 2} = \frac{\frac{3a}{2} + a}{\frac{2+3+4}{2}} = \frac{\frac{5a}{2}}{\frac{9}{2}} = \frac{5a}{9}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y_{CM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{1(0) + \frac{3}{2}(0) + 2(\frac{\sqrt{3}a}{2})}{1 + \frac{3}{2} + 2} = \frac{\sqrt{3}a}{\frac{9}{2}} = \frac{2\sqrt{3}a}{9} = \frac{2a}{3\sqrt{3}}$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $\left( \frac{5a}{9}, \frac{2a}{3\sqrt{3}} \right)$ છે.

(A) કણ અલગ પડેલો હોવાથી અને $x-$અક્ષ પર ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર $y-$દિશામાં કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી. તેથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $y = 0$ ($x-$અક્ષ) પર જળવાઈ રહેશે.
ધારો કે $m_1 = m/4$ અને $m_2 = 3m/4$ દળના ટુકડાઓના $y-$યામ અનુક્રમે $y_1$ અને $y_2$ છે.
$y-$દિશામાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $Y_{cm} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{(m/4)(15) + (3m/4)(y_2)}{m} = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{15}{4} + \frac{3}{4}y_2 = 0$.
$4$ વડે ગુણતા: $15 + 3y_2 = 0$.
$y_2$ માટે ઉકેલતા: $3y_2 = -15$,જે $y_2 = -5 \ cm$ આપે છે.

(C) સમાન દળ ઘનતા અને ઉચ્ચ સ્તરની સમપ્રમાણતા ધરાવતી કોઈપણ વસ્તુ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર સાથે સંપાત થાય છે.
સમઘન એ સમાન ઘનતા ધરાવતી અત્યંત સમપ્રમાણ ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુ હોવાથી,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર સ્થિત હોય છે,જે તે બિંદુ છે જ્યાં તેના મુખ્ય વિકર્ણો એકબીજાને છેદે છે.

(A) કણોના તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{R}_{cm} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 + m_3\vec{r}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
આપેલ છે:
$m_1 = 1\,kg, \vec{r}_1 = (\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k})\,m$
$m_2 = 2\,kg, \vec{r}_2 = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})\,m$
$m_3 = 3\,kg, \vec{r}_3 = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})\,m$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{R}_{cm} = \frac{1(\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) + 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 3(2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})}{1 + 2 + 3}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{(\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (6\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k})}{6}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{(1 + 2 + 6)\hat{i} + (4 + 2 - 3)\hat{j} + (1 + 2 - 6)\hat{k}}{6}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{9\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}}{6}$
$\vec{R}_{cm} = \frac{3(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})}{6} = \frac{1}{2}(3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})\,m$

(B) આકૃતિમાં દર્શાવેલ યામ પદ્ધતિ મુજબ:
- $D$ (ઉગમબિંદુ) પરના કણનું દળ $m_D = 4\,kg$ છે,જે $(0, 0)$ પર છે.
- $C$ પરના કણનું દળ $m_C = 3\,kg$ છે,જે $(1, 0)$ પર છે.
- $B$ પરના કણનું દળ $m_B = 2\,kg$ છે,જે $(1, 1)$ પર છે.
- $A$ પરના કણનું દળ $m_A = 1\,kg$ છે,જે $(0, 1)$ પર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$X_{cm} = \frac{m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C + m_D x_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{1(0) + 2(1) + 3(1) + 4(0)}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{5}{10} = 0.5\,m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $y$-યામ:
$Y_{cm} = \frac{m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C + m_D y_D}{m_A + m_B + m_C + m_D} = \frac{1(1) + 2(1) + 3(0) + 4(0)}{1 + 2 + 3 + 4} = \frac{3}{10} = 0.3\,m$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના યામ $(0.5\,m, 0.3\,m)$ છે.

(C) સતત પદાર્થ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $X_{cm}$ નું સૂત્ર: $X_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ છે.
અહીં $\lambda = \frac{M_0 x}{l}$ આપેલ છે,તેથી દળનો ઘટક $dm = \lambda dx = \frac{M_0 x}{l} dx$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_{cm} = \frac{\int_{0}^{l} x (\frac{M_0 x}{l} dx)}{\int_{0}^{l} (\frac{M_0 x}{l} dx)}$
$X_{cm} = \frac{\frac{M_0}{l} \int_{0}^{l} x^2 dx}{\frac{M_0}{l} \int_{0}^{l} x dx}$
$X_{cm} = \frac{[x^3/3]_{0}^{l}}{[x^2/2]_{0}^{l}}$
$X_{cm} = \frac{l^3/3}{l^2/2} = \frac{l^3}{3} \times \frac{2}{l^2} = \frac{2l}{3}$.

(C) ધારો કે તાર $AB$ ની લંબાઈ $x$ અને $BC$ ની લંબાઈ $y$ છે. રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ છે.
$BC$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(y/2, 0)$ પર છે અને તેનું દળ $m_1 = \lambda y$ છે.
$AB$ નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(x/2 \cos 60^{\circ}, x/2 \sin 60^{\circ}) = (x/4, x\sqrt{3}/4)$ પર છે અને તેનું દળ $m_2 = \lambda x$ છે.
તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો $x$-યામ:
$X_{cm} = \frac{m_1(y/2) + m_2(x/4)}{m_1 + m_2} = \frac{\lambda y(y/2) + \lambda x(x/4)}{\lambda(x + y)} = \frac{y^2/2 + x^2/4}{x + y}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ ની નીચે હોવાથી,તેનો $x$-યામ $A$ ના $x$-યામ જેટલો એટલે કે $x \cos 60^{\circ} = x/2$ હોવો જોઈએ.
બંનેને સરખાવતા:
$\frac{y^2/2 + x^2/4}{x + y} = \frac{x}{2} \Rightarrow y^2/2 + x^2/4 = x^2/2 + xy/2$.
$4$ વડે ગુણતા:
$2y^2 + x^2 = 2x^2 + 2xy \Rightarrow 2y^2 - 2xy - x^2 = 0$.
$x^2$ વડે ભાગતા અને $r = y/x$ લેતા:
$2r^2 - 2r - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$.
$r$ ધન હોવાથી,$r = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \approx \frac{1 + 1.732}{2} = 1.366 \approx 1.37$.

(B) ચલ રેખીય દળ ઘનતા $\mu(x)$ ધરાવતા સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \mu(x) dx}{\int_{0}^{L} \mu(x) dx}$
$\mu(x) = a + \frac{bx}{L}$ મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x(a + \frac{bx}{L}) dx}{\int_{0}^{L} (a + \frac{bx}{L}) dx} = \frac{\int_{0}^{L} (ax + \frac{bx^2}{L}) dx}{\int_{0}^{L} (a + \frac{bx}{L}) dx}$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
અંશ: $[\frac{ax^2}{2} + \frac{bx^3}{3L}]_{0}^{L} = \frac{aL^2}{2} + \frac{bL^2}{3} = L^2(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})$
છેદ: $[ax + \frac{bx^2}{2L}]_{0}^{L} = aL + \frac{bL}{2} = L(a + \frac{b}{2})$
આમ,$x_{cm} = \frac{L^2(\frac{a}{2} + \frac{b}{3})}{L(a + \frac{b}{2})} = L \frac{(\frac{3a + 2b}{6})}{(\frac{2a + b}{2})} = L \frac{3a + 2b}{3(2a + b)}$
આપેલ છે કે $x_{cm} = \frac{7}{12}L$,તેથી:
$\frac{3a + 2b}{3(2a + b)} = \frac{7}{12}$
$\frac{3a + 2b}{2a + b} = \frac{7}{4}$
$4(3a + 2b) = 7(2a + b)$
$12a + 8b = 14a + 7b$
$b = 2a$.