Relation between Torque and Angular acceleration and it's Application Questions in Gujarati

(B) કોણીય ગતિ માટેના ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$,જ્યાં $\theta = 2\pi n$.
પ્રથમ $36$ પરિભ્રમણ માટે,કોણીય વેગ અડધો થઈ જાય છે: $\left(\frac{\omega_0}{2}\right)^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi \times 36)$.
$\frac{\omega_0^2}{4} = \omega_0^2 - 144\pi\alpha \implies 144\pi\alpha = \frac{3}{4}\omega_0^2 \implies \alpha = \frac{3\omega_0^2}{576\pi}$.
હવે,ધારો કે સ્થિર થવા માટે કુલ પરિભ્રમણની સંખ્યા $n'$ છે.
$0 = \omega_0^2 - 2\alpha(2\pi n')$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n' = \frac{\omega_0^2}{4\pi\alpha}$ મળે છે.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $n' = \frac{\omega_0^2}{4\pi} \times \frac{576\pi}{3\omega_0^2} = \frac{576}{12} = 48$ પરિભ્રમણ.
જરૂરી વધારાના પરિભ્રમણ $n' - 36 = 48 - 36 = 12$ પરિભ્રમણ છે.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $0\ rad/s$ છે અને અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 540\ r.p.m.$ છે.
પ્રથમ,ઝડપને $r.p.m.$ માંથી $r.p.s.$ માં ફેરવો: $n = \frac{540}{60} = 9\ r.p.s.$
$rad/s$ માં અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2\pi \times 9 = 18\pi\ rad/s$ છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સૂત્ર $\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha = \frac{18\pi\ rad/s}{6\ s} = 3\pi\ rad/s^2$.

(D) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ છે અને તેની લંબાઈ $l$ છે.
સળિયાનું વજન $W = Mg$ છે.
શરૂઆતમાં,સંતુલન માટે,દરેક માણસ દ્વારા લાગતું બળ $F$ એ $F + F = Mg$ છે,તેથી $F = \frac{Mg}{2} = \frac{W}{2}$ થાય.
જ્યારે એક માણસ સળિયાને છોડી દે છે,ત્યારે સળિયા તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા વજનના ટોર્કને કારણે બીજા છેડા (ધારો કે $A$) ની આસપાસ ફરવા લાગે છે.
છેડા $A$ ની આસપાસ ટોર્ક $\tau = Mg \frac{l}{2}$ છે.
છેડા $A$ ની આસપાસ સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{Ml^2}{3}$ છે.
$\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $Mg \frac{l}{2} = \left( \frac{Ml^2}{3} \right) \alpha$.
કોણીય પ્રવેગ માટે ઉકેલતા,$\alpha = \frac{3g}{2l}$ મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ $a = \frac{l}{2} \alpha = \frac{l}{2} \left( \frac{3g}{2l} \right) = \frac{3g}{4}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા,$Mg - F' = Ma$,જ્યાં $F'$ એ બાકી રહેલા માણસ દ્વારા લાગતું નવું બળ છે.
$F' = Mg - Ma = Mg - M \left( \frac{3g}{4} \right) = Mg \left( 1 - \frac{3}{4} \right) = \frac{Mg}{4} = \frac{W}{4}$.

(A) ધરીની સાપેક્ષમાં સળિયા પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ એ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ ને કારણે છે,જે ધરીથી $l/2$ અંતરે છે.
જ્યારે સળિયો શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,ત્યારે ધરીથી વજનની કાર્યરેખાનું લંબ અંતર $(l/2) \sin \theta$ છે.
તેથી,ટોર્ક $\tau = Mg \cdot (l/2) \sin \theta$ છે.
એક છેડેથી પસાર થતી ધરીની સાપેક્ષમાં $M$ દળ અને $l$ લંબાઈના સમાન સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{Ml^2}{3}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$Mg \frac{l}{2} \sin \theta = \left( \frac{Ml^2}{3} \right) \alpha$
$\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{Mg (l/2) \sin \theta}{Ml^2 / 3} = \frac{3g \sin \theta}{2l}$.

(A) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ગતિઊર્જા પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલી રહે તે માટે,કોણીય વેગનું મૂલ્ય પ્રારંભિક કોણીય વેગ જેટલું જ હોવું જોઈએ,એટલે કે $|\omega| = |\omega_0| = 20 \ rad/s$.
ટોર્ક અચળ પ્રતિપ્રવેગ આપે છે,તેથી $t$ સમયે કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 - \alpha t$ દ્વારા મળે છે.
આપણે અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = -20 \ rad/s$ જોઈએ છીએ (કારણ કે તે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે અને આપણે સમાન ગતિઊર્જા જોઈએ છીએ).
કિંમતો મૂકતા: $-20 = 20 - 2t$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $2t = 40$.
તેથી,$t = 20 \ s$.

(C) ભ્રમણ કરતા એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પાવર $P$ એ સૂત્ર $P = \tau \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ એ ટોર્ક છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ ($rad/s$ માં) છે.
આપેલ છે: પાવર $P = 100 \ kW = 100 \times 10^3 \ W$.
કોણીય ઝડપ $n = 1800 \ rev/min = \frac{1800}{60} \ rev/s = 30 \ rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 30 = 60\pi \ rad/s$.
સૂત્ર $\tau = \frac{P}{\omega}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tau = \frac{100 \times 10^3}{60\pi} = \frac{100000}{188.496} \approx 530.5 \ N-m$.
નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેતા,આપણને $\tau \approx 531 \ N-m$ મળે છે.

(C) ટોર્ક $\tau$ ને $\tau = r \times F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બંને કિસ્સામાં બળ $F$ અને પરિભ્રમણની અક્ષથી બળની કાર્યરેખા સુધીનું લંબ અંતર $r$ સમાન હોવાથી,ટોર્ક $\tau$ બંને $(a)$ અને $(b)$ માટે સમાન છે.
$\tau = I \alpha$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ (moment of inertia) છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે,આપણને મળે છે $\alpha = \frac{\tau}{I}$.
ટોર્ક $\tau$ અચળ હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\alpha \propto \frac{1}{I})$.
કિસ્સા $(b)$ માં,પરિભ્રમણની અક્ષ કિસ્સા $(a)$ ની સરખામણીમાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વધુ નજીક છે,જેના પરિણામે જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ ઓછી મળે છે. તેથી,કિસ્સા $(b)$ માં કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વધુ હશે.

(B) કોણીય ઝડપ $\omega$ ને અચળ રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$ એ કોણીય વેગમાન $L$ ના ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L = I\omega$. કારણ કે $\omega$ અચળ છે,$\tau = \frac{dL}{dt} = \omega \frac{dI}{dt}$.
સમય $t$ પર તંત્રની (સળીયો + જીવડું) જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{\text{rod}} + I_{\text{insect}}$ છે.
$I_{\text{insect}} = m r^2$,જ્યાં $r = vt$ એ સમય $t$ પર $O$ થી જીવડાનું અંતર છે.
તેથી,$I(t) = I_{\text{rod}} + m(vt)^2 = I_{\text{rod}} + mv^2t^2$.
$t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dI}{dt} = 2mv^2t$ મળે છે.
તેથી,ટોર્ક $\tau = \omega (2mv^2t) = (2m\omega v^2)t$ છે.
આ દર્શાવે છે કે $0 \le t \le T$ માટે $\tau$ એ $t$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
$t = T$ સમયે,જીવડું અટકી જાય છે,તેથી $\frac{dI}{dt} = 0$,અને ટોર્ક શૂન્ય થઈ જાય છે.
આમ,આલેખ $0 \le t \le T$ માટે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોવી જોઈએ અને ત્યારબાદ તે શૂન્ય થઈ જવી જોઈએ. આ આલેખ $B$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(A) ટૉર્ક $\vec{\tau}$ અને કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ વચ્ચેનો સંબંધ પરિભ્રમણ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$.
અચળ ટૉર્ક માટે,તેનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = \frac{\Delta L}{\Delta t}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = A_0$,અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_2 = 4A_0$ અને સમયગાળો $\Delta t = 4 \ s$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતાં: $|\vec{\tau}| = \frac{4A_0 - A_0}{4} = \frac{3A_0}{4}$.

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 1.2 \; kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,ચાકગતિ ઉર્જા $K_r = 1500 \; J$,અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 25 \; rad/s^2$.
ચાકગતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times \omega^2$.
$1500 = 0.6 \times \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{1500}{0.6} = 2500$.
તેથી,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{2500} = 50 \; rad/s$.
ચાકગતિના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
$50 = 0 + 25 \times t$.
$t = \frac{50}{25} = 2 \; s$.

(C) સળિયાનું વજન તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે બિંદુ $A$ થી $l/2$ અંતરે છે. આ વજન બિંદુ $A$ ને અનુલક્ષીને ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ છે:
$\tau = mg \times \frac{l}{2}$
ભ્રમણ ગતિ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ:
$\tau = I\alpha$
આપેલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{3}$ અને ટોર્કની કિંમત મૂકતા:
$mg \times \frac{l}{2} = \left(\frac{ml^2}{3}\right) \alpha$
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ માટે ઉકેલતા:
$\alpha = \frac{mg \times l/2}{ml^2/3} = \frac{mg \times l}{2} \times \frac{3}{ml^2} = \frac{3g}{2l}$

(D) વ્હીલ પર લાગતું પરિણામી ટોર્ક $\tau$ એ વ્યક્તિગત બળો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કનો સરવાળો છે. ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશાને ધન લેતા:
$\tau = (5 \ N \times r_2) + (10 \ N \times r_2) - (15 \ N \times r_1)$
અહીં $r_1 = 10 \ cm = 0.1 \ m$ અને $r_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$,અને $I = 1500 \ kg \cdot m^2$ આપેલ છે.
$\tau = (5 + 10) \times 0.2 - (15 \times 0.1)$
$\tau = (15 \times 0.2) - 1.5 = 3.0 - 1.5 = 1.5 \ N \cdot m$
સંબંધ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1.5}{1500} = \frac{1.5}{1.5 \times 10^3} = 10^{-3} \ rad/s^2$.

(D) ઘન તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
અહીં $M = 16 \ kg$ અને $R = \frac{0.5}{2} = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$ છે.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \times 16 \times (\frac{1}{4})^2 = 8 \times \frac{1}{16} = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 120 \ rpm = \frac{120 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 4\pi \ rad/s$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 0$ છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{4\pi - 0}{8} = \frac{\pi}{2} \ rad/s^2$ મળે.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = I\alpha$ છે.
$\tau = 0.5 \times \frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \ N \cdot m$.

(C) ટોર્ક $(\tau)$,જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ અને કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = I \alpha$ છે.
આપેલ છે:
ટોર્ક $\tau = 10^5 \ N \cdot m$
દળ $m = 10 \ kg$
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K = 50 \ m$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mK^2 = 10 \times (50)^2 = 10 \times 2500 = 25000 \ kg \cdot m^2$.
હવે,આ કિંમતોને ટોર્કના સમીકરણમાં મૂકતા:
$10^5 = 25000 \times \alpha$
$\alpha = \frac{100000}{25000} = 4 \ rad/s^2$.

(A) કોણીય સ્થાન $\theta (t) = 2t^3 - 6t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે:
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = 6t^2 - 12t$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ કોણીય વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 12t - 12$.
ભ્રમણ ગતિ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,ટોર્ક $\tau = I\alpha$ થાય. ટોર્ક શૂન્ય થવા માટે,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શૂન્ય હોવો જોઈએ (ધારી લઈએ કે જડત્વની ચાકમાત્રા $I \neq 0$ છે).
$\alpha = 0$ લેતા:
$12t - 12 = 0$
$12t = 12$
$t = 1 \text{ s}$.

(D) દરવાજો ખોલવા માટે જરૂરી ટોર્ક અચળ રહે છે.
ટોર્ક $\tau = r_1 F_1 = r_2 F_2$,જ્યાં $r$ એ ભ્રમણાક્ષથી અંતર છે અને $F$ એ લગાડેલું બળ છે.
આપેલ છે: $r_1 = 1.6 \ m$,$F_1 = 1 \ N$,$r_2 = 0.4 \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$1.6 \times 1 = 0.4 \times F_2$
$F_2 = \frac{1.6}{0.4} = 4 \ N$.
તેથી,જરૂરી બળ $4 \ N$ છે.

(A) આપેલ છે: ટૉર્ક $\tau = 30 \ Nm$,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2 \ kg \ m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad/s$,સમય $t = 10 \ s$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે કોણીય પ્રવેગ શોધી શકીએ:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{30}{2} = 15 \ rad/s^2$.
હવે,ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\theta = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 15 \times (10)^2$.
$\theta = \frac{1}{2} \times 15 \times 100 = 750 \ rad$.

(B) હિન્જની સાપેક્ષમાં સળિયા પર લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = 5L/6$ એ હિન્જથી અંતર છે.
આપેલ છે કે $F = Mg/2$,તેથી ટોર્ક $\tau = (Mg/2) \times (5L/6) = 5MgL/12$ થશે.
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = ML^2/3$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમના પરિભ્રમણના સમકક્ષ નિયમ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$5MgL/12 = (ML^2/3) \times \alpha$
$\alpha = (5MgL/12) \times (3/ML^2)$
$\alpha = 5g/4L$.

(A) આપેલ છે:
ટોર્ક $(\tau)$ = $1000 \ N-m$
જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ = $200 \ kg-m^2$
સમય $(t)$ = $3 \ s$
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $(\omega_0)$ = $0 \ rad/s$
પગલું $1$: કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ ની ગણતરી:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1000}{200} = 5 \ rad/s^2$
પગલું $2$: અંતિમ કોણીય વેગ $(\omega)$ ની ગણતરી:
ચાકગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$
$\omega = 0 + (5 \times 3) = 15 \ rad/s$

(A) જ્યારે દોરી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા વજનબળને કારણે $O$ બિંદુને અનુલક્ષીને ટોર્ક ઉત્પન્ન થાય છે,જે સળિયામાં કોણીય પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
ટોર્ક $\tau = I\alpha$,જ્યાં $I$ એ $O$ બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
સળિયાનું વજનબળ $mg$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે $O$ થી $\frac{L}{2}$ અંતરે છે.
તેથી,ટોર્ક $\tau = mg \times \frac{L}{2}$
$O$ બિંદુને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$ થાય.
ટોર્કને સરખાવતા: $mg \left( \frac{L}{2} \right) = \left( \frac{mL^2}{3} \right) \alpha$
$\frac{g}{2} = \frac{L\alpha}{3}$
$\alpha = \frac{3g}{2L}$

(C) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2 \ kg \ m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 60 \ rpm = \frac{60 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 2\pi \ rad/s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \ rad/s$,સમય $t = 1 \ minute = 60 \ s$.
ભ્રમણગતિના સમીકરણ મુજબ: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
પૈડું સ્થિર થતું હોવાથી,$0 = 2\pi + \alpha(60)$,તેથી કોણીય પ્રવેગ $\alpha = -\frac{2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30} \ rad/s^2$.
જરૂરી ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = |I\alpha| = 2 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \ Nm$ થાય.

(B) આપેલ છે:
બળયુગ્મ $\tau = 400 \ Nm$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 100 \ kg \ m^2$
સમય $t = 4 \ s$
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad \ s^{-1}$
બળયુગ્મ અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$\tau = I \alpha$
$400 = 100 \times \alpha$
$\alpha = 4 \ rad \ s^{-2}$
ચાકગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = \omega_0 + \alpha t$
$\omega = 0 + (4 \times 4)$
$\omega = 16 \ rad \ s^{-1}$

(C) આપેલ છે: પાવર $P = 200 \ hp$ અને કોણીય ઝડપ $\omega = 6000 \ rpm$.
પ્રથમ,પાવરને વોટમાં ફેરવો: $P = 200 \times 746 \ W = 1.492 \times 10^5 \ W$.
ત્યારબાદ,કોણીય ઝડપને રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડમાં ફેરવો: $\omega = 6000 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = 200\pi \ rad/s \approx 628.32 \ rad/s$.
પાવર,ટોર્ક $(\tau)$ અને કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \tau \omega$ છે.
તેથી,$\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{1.492 \times 10^5}{628.32} \approx 237.5 \ N \cdot m$.

(C) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 200 \ kg \cdot m^2$,ટોર્ક $\tau = 1000 \ N \cdot m$,સમય $t = 3 \ s$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad/s$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધી શકીએ છીએ:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1000}{200} = 5 \ rad/s^2$.
હવે,ચાકગતિના પ્રથમ સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = 0 + (5 \times 3) = 15 \ rad/s$.
આમ,$3 \ s$ પછી કોણીય વેગ $15 \ rad/s$ થશે.

(B) પિન $B$ ને દૂર કર્યા પછીની સ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે લંબાઈ $l = 0.2 \ m$ અને પહોળાઈ $b = 0.15 \ m$ છે.
જ્યારે પિન $B$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટ બિંદુ $A$ ની આસપાસ ફરવાનું શરૂ કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ છે:
$\tau = mg \left( \frac{l}{2} \right)$
સંબંધ $\tau = I_A \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I_A$ એ બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા છે:
$I_A \alpha = mg \left( \frac{l}{2} \right) \quad \dots(i)$
લંબચોરસ પ્લેટની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{CM} = \frac{M}{12}(l^2 + b^2)$ છે.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_A = I_{CM} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી બિંદુ $A$ સુધીનું અંતર છે:
$d^2 = \left( \frac{l}{2} \right)^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2 = \frac{0.2^2}{4} + \frac{0.15^2}{4} = \frac{0.04 + 0.0225}{4} = \frac{0.0625}{4} = 0.015625 \ m^2$
$I_A = \frac{20}{12}(0.2^2 + 0.15^2) + 20(0.015625) = \frac{20}{12}(0.0625) + 0.3125 = 0.104167 + 0.3125 = 0.416667 \ kg \cdot m^2$
હવે,સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મૂકતા:
$0.416667 \alpha = 20 \times 10 \times \left( \frac{0.2}{2} \right)$
$0.416667 \alpha = 20 \times 1 = 20$
$\alpha = \frac{20}{0.416667} = 48 \ rad/s^2$.

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 3 \times 10^2 \ kg \ m^2$,પ્રતિટોર્ક $\tau = 6.9 \times 10^2 \ N \ m$,પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_0 = 4.6 \ rad \ s^{-1}$,અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega = 0 \ rad \ s^{-1}$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ મળે:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{6.9 \times 10^2}{3 \times 10^2} = 2.3 \ rad \ s^{-2}$.
અહીં પ્રતિટોર્ક હોવાથી,$\alpha = -2.3 \ rad \ s^{-2}$ લેતા.
ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 4.6 + (-2.3)t$
$2.3t = 4.6$
$t = \frac{4.6}{2.3} = 2 \ s$.
આમ,પૈડું $2 \ s$ માં સ્થિર થઈ જશે.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.4 \ m$,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 8 \ rad \ s^{-2}$,દળ $m = 4 \ kg$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ ms^{-2}$.
વજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = mgr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,ટોર્ક એ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે $\tau = I\alpha$ સંબંધ ધરાવે છે.
ટોર્કના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$I\alpha = mgr$
$I \times 8 = 4 \times 10 \times 0.4$
$I \times 8 = 16$
$I = \frac{16}{8} = 2 \ kg \ m^2$.

(B) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 720 \ rpm = \frac{720}{60} \ rps = 12 \ rps$.
રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડમાં ફેરવતા: $\omega_0 = 2\pi \times 12 = 24\pi \ rad/s$.
વ્હીલ સ્થિર થાય છે,તેથી અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0$.
સમીકરણ $\omega = \omega_0 - \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = 8 \ s$:
$0 = 24\pi - \alpha(8) \implies \alpha = \frac{24\pi}{8} = 3\pi \ rad/s^2$.
ટોર્ક $\tau = I\alpha$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\tau = \left(\frac{24}{\pi}\right) \times (3\pi) = 72 \ Nm$.

(D) આપેલ કોણીય પ્રવેગ: $\alpha = 3t - t^2$.
કારણ કે $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$,તેથી $d\omega = (3t - t^2) dt$.
$t = 0$ થી $t = 2 \ s$ (જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય થાય છે) સુધી સંકલન કરતા:
$\omega = \int_{0}^{2} (3t - t^2) dt = [\frac{3t^2}{2} - \frac{t^3}{3}]_{0}^{2}$.
$\omega = (\frac{3(4)}{2} - \frac{8}{3}) = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18 - 8}{3} = \frac{10}{3} \ rad/s$.
$t > 2 \ s$ માટે કોણીય પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી,$t \ge 2 \ s$ માટે કોણીય વેગ $\frac{10}{3} \ rad/s$ જેટલો અચળ રહે છે.
તેથી,$6 \ s$ પછી કોણીય વેગ $\frac{10}{3} \ rad/s$ થશે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 240 \ rpm = \frac{240 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$.
કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = \pi \ rad/s^2$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 0 \ rad/s$.
સમીકરણ $\omega_2 = \omega_1 - \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 8\pi - \pi t \implies t = 8 \ s$.
સમીકરણ $\omega_2^2 = \omega_1^2 - 2\alpha \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = (8\pi)^2 - 2(\pi)\theta \implies 64\pi^2 = 2\pi\theta \implies \theta = 32\pi \ rad$.
ભ્રમણની સંખ્યા $N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{32\pi}{2\pi} = 16 \ \text{ભ્રમણ}$.

(B) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2 \ kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 60 \ rpm = \frac{60 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 2\pi \ rad/s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0$,સમય $t = 1 \ minute = 60 \ s$.
ચાકગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega = \omega_0 - \alpha t$.
$0 = 2\pi - \alpha(60) \implies \alpha = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} \ rad/s^2$.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = I\alpha$ દ્વારા મળે છે.
$\tau = 2 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \ N \cdot m$.

(C) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 60 \ rpm = \frac{60 \times 2\pi}{60} = 2\pi \ rad \ s^{-1}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0 \ rad \ s^{-1}$.
લીધેલ સમય $t = 1 \ minute = 60 \ s$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2 \ kg \ m^2$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30} \ rad \ s^{-2}$.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = I\alpha = 2 \times \left( -\frac{\pi}{30} \right) = -\frac{\pi}{15} \ Nm$.
આમ,જરૂરી ટોર્કનું મૂલ્ય $\frac{\pi}{15} \ Nm$ છે.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 10 \text{ rev/s} = 10 \times 2\pi \text{ rad/s} = 20\pi \text{ rad/s} \approx 62.8 \text{ rad/s}$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 5 \text{ rad/s}^2$.
સમય $t = 2 \text{ s}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 + \alpha t = 20\pi + (5)(2) = 62.8 + 10 = 72.8 \text{ rad/s}$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = (20\pi)(2) + \frac{1}{2}(5)(2)^2 = 40\pi + 10 = 125.6 + 10 = 135.6 \text{ rad}$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{135.6}{2 \times 3.14} = \frac{135.6}{6.28} \approx 21.59 \text{ પરિભ્રમણ}$.

(D) ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = F r \sin \theta = I \alpha$ છે.
અહીં,ચાર દળોની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 4 \times (m r^2) = 4 \times (2 \times (1/4)^2) = 4 \times (2 \times 1/16) = 0.5 \ kg \cdot m^2$ થાય.
$F = 24 \ N$ બળ દ્વારા $r = 1/2 \ m$ અંતરે અને $\theta = 30^{\circ}$ ખૂણે લાગતું ટોર્ક $\tau = F r \sin 30^{\circ} = 24 \times (1/2) \times (1/2) = 6 \ N \cdot m$ મળે.
$\tau = I \alpha$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$6 = 0.5 \times \alpha$ મળે.
તેથી,$\alpha = 6 / 0.5 = 12 \ rad/s^2$ થાય.

(B) મધ્યબિંદુ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ બંને અક્ષો માટે સમાન છે. ટોર્ક અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = I\alpha$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ (moment of inertia) છે.
$\tau$ અચળ હોવાથી,$\alpha = \frac{\tau}{I}$ થાય. તેથી,જે અક્ષ માટે જડત્વની આઘૂર્ણ ઓછી હશે,તેનો કોણીય પ્રવેગ વધુ હશે.
જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \sum mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અક્ષ $11'$ અને $22'$ ની સાપેક્ષે દળના વિતરણની સરખામણી કરતા,દળ અક્ષ $22'$ કરતા અક્ષ $11'$ થી વધુ દૂર વિતરિત થયેલું છે.
તેથી,$I_{11'} > I_{22'}$.
$\alpha$ એ $I$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,અક્ષ $22'$ પર કોણીય પ્રવેગ વધુ હશે કારણ કે $I_{22'} < I_{11'}$.

(D) આપેલ છે: જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0.20 \ kg \cdot m^2$,ત્રિજ્યા $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,બળ $F = 20 \ N$,સમય $t = 5 \ s$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
વ્હીલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 20 \ N \times 0.2 \ m = 4 \ N \cdot m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ટોર્ક અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tau = I \alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{4 \ N \cdot m}{0.20 \ kg \cdot m^2} = 20 \ rad/s^2$.
ભ્રમણ માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા: $\omega = \omega_0 + \alpha t$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = 0 + (20 \ rad/s^2) \times (5 \ s) = 100 \ rad/s$.

(B) ટોર્ક $\tau = I\alpha$ અને $\tau = RF$ છે.
તેથી,$I\alpha = RF \Rightarrow \alpha = \frac{RF}{I}$.
અહીં $R = 0.1 \ m$,$I = 10^{-3} \ kg \ m^2$ અને $F = (0.5t + 0.3t^2) \ N$ છે.
$\alpha = \frac{0.1 \times (0.5t + 0.3t^2)}{10^{-3}}$.
$t = 3 \ s$ મૂકતા:
$\alpha = \frac{0.1 \times (0.5(3) + 0.3(3)^2)}{10^{-3}}$
$\alpha = \frac{0.1 \times (1.5 + 2.7)}{10^{-3}}$
$\alpha = \frac{0.1 \times 4.2}{10^{-3}} = \frac{0.42}{10^{-3}} = 420 \ rad \ s^{-2}$.

(C) બિંદુ $A$ ની આસપાસ ટોર્ક $\tau$ એ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે છે,જે $A$ થી $l/2$ અંતરે છે.
$\tau = mg \times \frac{l}{2} = \frac{mgl}{2}$
ટોર્ક અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I\alpha$,જ્યાં $I$ એ $A$ ની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{ml^2}{3}$,તેથી:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{mgl/2}{ml^2/3} = \frac{mgl}{2} \times \frac{3}{ml^2} = \frac{3g}{2l}$

(A) આપેલ છે: $\theta(t) = 2t^3 - 6t^2$.
પ્રથમ,$\theta$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને કોણીય વેગ $\omega$ શોધો: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 6t^2 - 12t$.
ત્યારબાદ,$\omega$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધો: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 12t - 12$.
ટોર્ક $\tau$ એ સંબંધ $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
ટોર્ક શૂન્ય થવા માટે,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શૂન્ય હોવો જોઈએ (ધારી લઈએ કે $I \neq 0$).
$\alpha = 0$ લેતા,આપણને મળે છે: $12t - 12 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = 1 \ s$ મળે છે.

(D) જ્યારે દોરી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયો તેના વજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કને કારણે $P$ બિંદુની આસપાસ ફરશે.
ધારો કે $\alpha$ એ સળિયાનો પ્રારંભિક કોણીય પ્રવેગ છે.
$P$ બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ સળિયાની એક છેડાની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I = \frac{ML^2}{3} \quad ...(i)$
વળી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે ટોર્ક ($P$ થી $L/2$ અંતરે):
$\tau = Mg \times \frac{L}{2} \quad ...(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{ML^2}{3} \alpha = Mg \frac{L}{2}$
$\alpha = \frac{MgL}{2} \times \frac{3}{ML^2}$
$\alpha = \frac{3g}{2L}$

(D) આપેલ છે: નળાકારનું દળ, $M = 50\, kg$. નળાકારની ત્રિજ્યા, $R = 0.5\, m$. કોણીય પ્રવેગ, $\alpha = 2\, \text{rev } s^{-2}$.
કોણીય પ્રવેગને $SI$ એકમોમાં ફેરવતા: $\alpha = 2 \times 2\pi\, \text{rad } s^{-2} = 4\pi\, \text{rad } s^{-2}$.
દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = T \times R$ છે.
નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સંબંધ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $TR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$.
તણાવ $T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{1}{2}MR\alpha$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{1}{2} \times 50 \times 0.5 \times 4\pi = 50\pi$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા, $T = 50 \times 3.14 = 157\, N$.

(B) આપેલ છે:
વાહનની ઝડપ,$v = 54 \,km h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \,m s^{-1} = 15 \,m s^{-1}$.
પૈડાંની ત્રિજ્યા,$R = 0.45 \,m$.
પૈડાંની જડત્વની ચાકમાત્રા,$I = 3 \,kg m^2$.
વાહનને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય,$t = 15 \,s$.
પૈડાંની પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_i = \frac{v}{R} = \frac{15 \,m s^{-1}}{0.45 \,m} = \frac{1500}{45} \,rad s^{-1} = \frac{100}{3} \,rad s^{-1}$ છે.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_f = 0$ છે (કારણ કે વાહન સ્થિર થાય છે).
પૈડાંનો કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - \frac{100}{3}}{15} = -\frac{100}{45} \,rad s^{-2}$ છે.
સરેરાશ ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = I |\alpha| = 3 \,kg m^2 \times \frac{100}{45} \,rad s^{-2} = \frac{300}{45} \,N m = \frac{20}{3} \,N m \approx 6.66 \,kg m^2 s^{-2}$ થાય.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 3\, kg$,ત્રિજ્યા $r = 40\, cm = 0.4\, m$,બળ $F = 30\, N$.
પોલા નળાકારની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I = mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = 3\, kg \times (0.4\, m)^2 = 3 \times 0.16 = 0.48\, kg\cdot m^2$.
બળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $(\tau)$ $\tau = rF$ છે.
$\tau = 0.4\, m \times 30\, N = 12\, N\cdot m$.
સંબંધ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{12\, N\cdot m}{0.48\, kg\cdot m^2}$.
$\alpha = \frac{1200}{48} = 25\, rad/s^2$.

(B) ચાકગતિ ઉર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
અહીં $K = 750 \, J$ અને $I = 2.4 \, kg \cdot m^2$ આપેલ છે,તેથી:
$750 = \frac{1}{2} \times 2.4 \times \omega^2$
$750 = 1.2 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{750}{1.2} = 625$
$\omega = \sqrt{625} = 25 \, rad/s$.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\omega_0 = 0$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત):
$25 = 0 + 5 \times t$
$t = \frac{25}{5} = 5 \, s$.

(D) આપેલ છે: ટોર્ક $\tau = 1000 \; Nm$,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 200 \; kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$,સમય $t = 3 \; s$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધીએ છીએ:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{1000}{200} = 5 \; rad/s^2$.
હવે,ચાકગતિના પ્રથમ સમીકરણ $\omega = \omega_0 + \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\omega = 0 + (5 \; rad/s^2) \times (3 \; s) = 15 \; rad/s$.
આમ,$3 \; s$ પછી કોણીય વેગ $15 \; rad/s$ થશે.

(A) આપેલ છે: અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 540 \, r.p.m. = \frac{540 \times 2\pi}{60} \, rad/s = 18\pi \, rad/s$.
લીધેલ સમય $t = 6 \, s$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \, rad/s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$.
$\alpha = \frac{18\pi - 0}{6} = 3\pi \, rad/s^2$.

(C) આપેલ છે: ટોર્ક $\tau = 50 \ N \cdot m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0 \ rad/s$,કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 200 \ rad$,અને સમય $t = 5 \ s$.
ચાકગતિ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
પૈડું સ્થિર અવસ્થામાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $\omega_0 = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $200 = 0 \cdot (5) + \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot (5)^2$.
$200 = \frac{25}{2} \alpha$.
$\alpha = \frac{200 \cdot 2}{25} = 8 \cdot 2 = 16 \ rad/s^2$.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગ,$\omega_i = 900 \text{ rpm} = \frac{900 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 30\pi \text{ rad/s}$.
અંતિમ કોણીય વેગ,$\omega_f = 0 \text{ rad/s}$ (કારણ કે તે સ્થિર થાય છે).
લીધેલ સમય,$t = 1 \text{ મિનિટ} = 60 \text{ s}$.
કોણીય ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\omega_f = \omega_i + \alpha t$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = 30\pi + \alpha(60)$.
$\alpha = -\frac{30\pi}{60} = -\frac{\pi}{2} \text{ rad/s}^2$.
કોણીય પ્રતિપ્રવેગ એ કોણીય પ્રવેગનું મૂલ્ય છે,જે $\frac{\pi}{2} \text{ rad/s}^2$ થાય છે.